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CORPORATIVO INTERNACIONAL UNIVERSITARIO S.C.

Investigación:

MÉTODOS DE CONTEO Y RELACIONES DERECURRENCIA

TEORÍA DE GRAFOS

Presentado Por:

TERESA MIRANDA SANDOVAL

Nombre del Catedrático:

LIC. GABRIEL FLORES GONZÁLEZ

Lugar y fecha de elaboración:ATLACOMULCO, ESTADO DE MÉXICO A 25 DE FEBRERO DE 2012

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Matemáticas Computacionales

Teresa Miranda Sandoval 

2

ÍNDICE 

MÉTODOS DE CONTEO Y RELACIONES DE RECURRENCIA

Principios Básicos de Conteo...………..……………..……………………  3

Permutaciones…………………………………………………….………….  4

Combinaciones……………………………..……………………..………….  6

TEORÍA DE GRAFOS

Introducción…………………………………………………………………….  15

Recorridos Eulerianos…………….……….………….………..……………  22

Circuitos Hamiltonianos…….…………………………………...………….  24

Árboles y Colores………………………………….…………….……………  30

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Matemáticas Computacionales

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3RINCIPIO BÁSICO DE CONTEO 

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para

determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que

pueden variar.Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son

chocolate, fresa y vainilla.

 / Taza de chocolate

 / Chocolate < 

  / \ cono de chocolate

 / 

  / / Tasa de fresa

<-- fresa < 

\ \ cono de fresa

\

\ / tasa de vainilla

\ Vainilla <

\ Cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las

posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma.

Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.

/ Taza de chocolate

/

/ Tasa <-- tasa de fresa

/ \

/ \ tasa de vainilla

/

<

\

\ / cono de chocolate

\ /

\ Cono <-- cono de fresa

\

\ Cono de vainilla

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de

posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de

la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para

obtener 6 posibles resultados.

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4Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para

determinar el total de resultados.

PERMUTACIONES

Hay dos tipos de permutaciones:

1.  Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

2.  Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No

puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición 

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de

ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr 

(Porque hay n  posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n 

posibilidades para la segunda elección, y así.) 

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9)

y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones 

Así que la fórmula es simplemente: 

nr 

donde n  es el número de cosas

que puedes elegir, y eliges r de

ellas

(Se puede repetir, el orden

importa)

2. Permutaciones sin repetición 

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. 

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? 

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

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5Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección

tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones

sería: 

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000 

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería

solamente:

16 × 15 × 14 = 3360 

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre

16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función

factorial"

La función factorial  (símbolo: !) significa que se

multiplican números descendentes. Ejemplos: 

  4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

  7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

  1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que

parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero

ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían: 

16! = 20,922,789,888,000 

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14.

¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...= 16 × 15 × 14 = 3360 

13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14 

La fórmula se escribe: 

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6

donde n  es el número de cosas

que puedes elegir, y eliges r de

ellas(No se puede repetir, el orden

importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería: 

16! =

16! =

20,922,789,888,000  = 3360 

(16-3)! 

13! 

6,227,020,800 

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10

personas?

10! =

10! =

3,628,800 = 90 

(10-2)!  8!  40,320 

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90) 

Notación 

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como: 

COMBINACIONES

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no 

importa):

1.  Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)

2.  Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

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7. Combinaciones con repetición 

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego. 

2. Combinaciones sin repetición 

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los

números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado! 

La manera más fácil de explicarlo es: 

  imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),

  después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se

eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el

orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades

son:

El orden importa El orden noimporta

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades. 

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se

pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6 

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8(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4!  = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 

maneras distintas, ¡prueba tú mismo!) 

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para

reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos

interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes

paréntesis, así: 

donde n  es el número de cosas

que puedes elegir, y eliges r de

ellas

(No se puede repetir, el orden

no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación 

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones: 

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16! =

16! =

20,922,789,888,000  = 560 

3!(16-3)!  3!×13!  6×6,227,020,800 

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9O lo puedes hacer así: 

16×15×14 =

3360 = 560 

3×2×1  6 

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"

... o mejor todavía... 

¡Recuerda la fórmula! 

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que

elegir 13 bolas de 16.

16! =

16! =

16! = 560 

3!(16-3)!  13!(16-13)!  3!×13! 

Triángulo de Pascal 

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la

de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la

respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16: 

1 14 91 364 ...

1 15 105 455 1365 ...

1 16 120 560 1820 4368 ...

1. Combinaciones con repetición 

OK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón,

fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? 

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10Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son

  {c, c, c} (3 de chocolate)

  {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)

{b, v, v} (Uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.

El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar

una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

Imagina que el helado está en contenedores,

podrías decir "sáltate el primero, después 3

paladas, después sáltate los 3 contenedoressiguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de

chocolate!

Entonces es como si ordenaras a un robot que te

trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo

que quieres.

Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo

es tomar)

Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así: 

{c, c, c} (3 de chocolate):

{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y

uno de vainilla):

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores,

ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras

puedes ordenar flechas y círculos" 

Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas

(tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).

Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas

tengan círculos.

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11Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r 

de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con

números un poco distintos. Lo podrías escribir así: 

donde  n es el número de cosas que

puedes elegir, y eliges  r de ellas

(Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de

círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y

queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma... 

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?

(5+3-1)! =

7! =

5040 = 35 

3!(5-1)!  3!×4!  6×24 

COEFICIENTES BINOMIALES

Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones son

números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas

en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin

embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar

otras definiciones equivalentes.

Definición combinatoria 

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12, pues hay 10 formas de escoger (en rojo) 3 objetos a partir de un

conjunto con 5 elementos

Se tiene un conjunto con 6 objetos diferentes {A, B, C, D, E, F}, de loscuales se desea escoger 2 (sin importar el orden de elección). Existen 15

formas de efectuar tal elección: 

A,B A,C A,D A,E A,F

B,C B,D B,E B,F

C,D C,E C,F

D,E D,F

E,F

El número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n ,

puede denotarse de varias formas: , , , o . Así, en el

ejemplo anterior se tiene entonces que C (6,2)=15, puesto que hay 15

formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con 6 elementos.

Los números C(n ,k ) se conocen como «coeficientes binomiales», pero es

frecuente referirse a ellos como «combinaciones de n en k », o simplemente

«n en k ». Por tanto, la primera definición es: 

El coeficiente binomial es el número de subconjuntos de k elementos

escogidos de un conjunto con n elementos.

Es importante notar que la definición asume implícitamente que n y k son

naturales, y que además k no excede a n . Podemos definir C(n ,k )=0 si k >n ,

puesto que no es posible escoger más elementos que los que tiene el

conjunto dado (por tanto hay cero   formas de hacer la elección). Estas

precisiones cobrarán relevancia más adelante cuando se discutan

generalizaciones del concepto (por ejemplo, cuando n o k sean negativos o

cuando no sean números enteros). 

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13DEFINICIÓN ALGEBRAICA 

Hay 5×4×3 formas de escoger ordenadamente 3 objetos de un conjunto con

5.

La definición no permite calcular el valor de los coeficientes binomiales,

salvo listando los subconjuntos y contándolos. Sin embargo, existe una

fórmula explícita que nos proporciona el valor de C(n ,k ).

Supongamos que el conjunto original tiene 5 elementos, de los cuales se

deben escoger 3. Al momento de escoger el primero, se tiene 5 opciones

disponibles, pero una vez fijo el primero, sólo hay 4 opciones para el

segundo, y por tanto sólo 3 opciones para el último (pues no se puede

repetir los escogidos en los primeros 2 pasos). De este modo, la selección

puede hacerse de 5×4×3=60 formas. 

Sin embargo, en tal conteo, el orden en que se escogen los elementos hace

diferencia. Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E, es una selección

diferente de tomar B, luego C y luego E. Pero en la definición de coeficiente

binomial, no importa el orden en que se eligen los objetos, únicamente

cuáles  se escogen. Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB, CBE, ECB y

EBC son todas equivalentes. Del mismo modo, las elecciones ABC, ACB,

BCA, BAC, CAB y CBA son equivalentes, y así para cualquier terna de

letras.

De esta forma, el resultado obtenido (60) no es la cantidad de subconjuntos

de 3 elementos de {A, B, C, D, E}, sino que cada subconjunto está contado 6

veces, por lo que la cantidad de subconjuntos es realmente 60/6 = 10.

El argumento presentado para el ejemplo puede generalizarse de la

siguiente forma. Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se

van a escoger k  de ellos, la elección (ordenada) puede hacerse de 

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14n  × (n -1) × (n -2) ×... × (n-k +1)

Ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n -1,

en el tercero n -2, y así sucesivamente, terminando en el paso k  que tendrá

n-k +1 opciones.

Ahora, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones

«equivalentes». Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es

decir, k! formas de listarlos en distinto orden. Recordemos que k ! se lee k -

factorial y es igual a

K ! = 1×2×3×...× k  

Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de

un conjunto con n elementos es

.

Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por

1×2×3×···×(n-k)

La expresión anterior puede escribirse de forma más compacta usando

factoriales, expresión que es usada en ocasiones como la definición misma

de coeficiente binomial (sobre todo en textos elementales que no explican

el origen combinatorio de la misma):

El coeficiente binomial está dado por la fórmula

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15TEORÍA DE GRAFOS 

INTRODUCCIÓN 

En matemáticas  y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los

grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de

objetos llamados vértices  (o nodos) y una selección de pares de vértices,

llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.

Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los

vértices) conectados por líneas (las aristas). 

HISTORIA

Puentes de Königsberg. 

El trabajo de Leonard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de

Königsberg  es considerado el primer resultado de la teoría de grafos.

También se considera uno de los primeros resultados topológicos en

geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la

profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. 

En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular el

voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos. 

En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que

plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier

mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo

color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por

Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el

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16nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos

definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos. 

ESTRUCTURAS DE DATOS EN LA REPRESENTACIÓN DE GRAFOS 

Artículo principal: Grafo (estructura de datos)

Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La

estructura de datos usada depende de las características del grafo y el

algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y

usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se

usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos

dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las

matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades

de memoria.

ESTRUCTURA DE LISTA

GRAFO DE LISTA DE ADYACENCIA.

  lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de

pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa

una de las aristas.1

 

  lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los

cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no

dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa),

pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento

extra.

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17En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vértice i del grafo una

lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De

esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para

todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por

tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n)

donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a

cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un

campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el grafo sea

etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la

etiqueta.

ESTRUCTURAS MATRICIALES

  Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A

(aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la

información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)

  Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz

cuadrada M de tamaño n 2, donde n  es el número de vértices. Si hay

una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento m x ,y  

es 1, de lo contrario, es 0.

VÉRTICE (teoría de grafos) 

Los vértices constituyen uno de los dos elementos que forman un grafo.

Como ocurre con el resto de las ramas de las matemáticas, a la Teoría de

Grafos no le interesa saber qué son los vértices. 

Diferentes situaciones en las que pueden identificarse objetos y relaciones

que satisfagan la definición de grafo pueden verse como grafos y así aplicar

la Teoría de Grafos en ellos. 

Grafo

En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.

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18Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V ,A), donde V es el conjunto de

vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares

de la forma (u ,v ) tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a , 

b ) como ab .

En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas

no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de

los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más

claro.

Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red

de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de

una ciudad.

SUBGRAFO

Un subgrafo de un grafo G  es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas

son subconjuntos de los de G . Se dice que un grafo G contiene a otro grafo

H   si algún subgrafo de G  es H  o es isomorfo a H  (dependiendo de las

necesidades de la situación). 

El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G tal que contiene todas las

aristas adyacentes al subconjunto de vértices de G .

Definición: 

Sea G= (V, A). G’=(V’,A’) se dice subgrafo de G si:

1- V’ V

2- A' A

3- (V’, A’) es un grafo 

  Si G’=(V’,A’) es subgrafo de G, para todo v G se cumple gr (G’,v)≤

gr (G, v)

G2 es un subgrafo de G.

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19

ARISTAS DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDAS

En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo,

si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus

direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de

todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los

grafos que contienen aristas dirigidas se denominan grafos orientados,

como el siguiente:

Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos

prácticos (equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los

nodos, cada una en un sentido).

En el grafo anterior se ha utilizado una arista que tiene sus dos extremos

idénticos: es un lazo (o bucle), y aparece también una arista bidireccional, y

corresponde a dos aristas orientadas.

Aquí V = {a, b, c, d, e }, y A = { (a, c), (d, a), (d, e), (a, e), (b, e), (c, a), (c,

c), (d, b) }.

Se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de un vértice

v (y se indica como (v )), como la cantidad de aristas que llegan o salen de

él; para el caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es

simplemente la cantidad de aristas incidentes a este vértice. Por ejemplo, el

grado positivo (salidas) de d es 3, mientras que el grado negativo (llegadas)

de d es 0.

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20Según la terminología seguida en algunos problemas clásicos de

Investigación Operativa  (p.ej.: el Problema del flujo máximo), a un vértice

del que sólo salen aristas se le denomina fuente (en el ejemplo anterior, el

vértice d ); tiene grado negativo 0. Por el contrario, a aquellos en los que

sólo entran aristas se les denomina pozo o sumidero (en el caso anterior, el

vértice e ); tiene grado positivo 0. A continuación se presentan lasimplementaciones en maude de grafos no dirigidos y de grafos dirigidos. En

los dos casos, las especificaciones incluyen, además de las operaciones

generadoras, otras operaciones auxiliares.

CICLO EULERIANO

Un ciclo o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las aristas

de un grafo cortando cinco veces por cada arco (arista) del grafo, siendo

condición necesaria que regrese al vértice inicial de salida (ciclo = camino

en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final ometa). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene

todas las aristas de un grafo solamente una vez".

En la teoría de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada

arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado

que recorre cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar

dichos caminos fue discutido por primera vez por Leonard Euler, en el

famoso problema de los puentes de Königsberg. 

En relación con los ciclos eulerianos Carl Hierholzer publicó la primera

caracterización completa de los grafos eulerianos en 1873, probando

matemáticamente que de hecho los grafos eulerianos son exactamente

aquellos grafos que están conectados con todos y donde cada uno de los

vértices tiene grado par. 

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21CICLOS EULERIANOS

EJEMPLO:

En la imagen, es un ciclo euleriano, luego es un

grafo euleriano.

Un grafo es una representación, un modelo, compuesto por un número

determinado de vértices (nodos) y un número de arcos (aristas) que los

relacionan, cada arista o arco tiene la capacidad de relacionar dos nodos. La

palabra ciclo se emplea en teoría de grafos para indicar un camino cerrado

en un grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo,

como contrapartida un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos

los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el

camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano.

Si un grafo admite un ciclo euleriano, se denomina grafo euleriano.

HISTORIA

Problema de los puentes de Königsberg 

El origen de la teoría de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el

propio Leonard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete

puentes de la ciudad de Königsberg  (Prusia oriental en el siglo XVIII y

actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teoría de losgrafos. 

El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el río Pregel, en

Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes.

¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes

de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de

partida?

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22Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y

cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden.

Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta:

¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas? 

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que

inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de

cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en

todo momento).

CASOS

Dado un grafo conexo (no existen nodos aislados) y no dirigido

, si tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces tiene un

camino euleriano no cerrado. En caso de que todos los vértices tengan

grado par, tiene un ciclo euleriano.

TEOREMA

Dado no orientado y conexo; si tiene nodos de grado impar,

entonces puede ser escrito como unión de caminos (simples) distintossobre los arcos y valen las siguientes expresiones:

1) es euleriano;

2) con grado y par.

3) todos disjuntos (caminos distintos) en los arcos,

es decir con

va de un nodo de grado impar a un nodo de grado impar.

Un grafo admite un camino euleriano cuando tiene exactamente dos nodos

de grado impar (conexos a los caminos).

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23PROPIEDADES

  Un grafo conexo y no dirigido se dice que es euleriano si cada vértice

tiene un grado par.

  Un grafo no dirigido es euleriano si es conexo y si se puede

descomponer en uno con los vértices disjuntos.  Si un grafo no dirigido G es euleriano entonces su grafo-línea L (G ) se

dice que es también euleriano.

  Un grafo dirigido es euleriano si es conexo y cada vértice tiene

grados internos iguales a los externos.

  Un grafo no dirigido se dice que es susceptible de ser recorrido (en

inglés: trasversales) si es conexo y al menos dos vértices en el grafo

tienen grado impar.

CONTANDO CIRCUITOS EULERIANOS EN DÍGRAFOS 

El número de circuitos euleriano en los dígrafos  puede ser calculado

mediante el teorema denominado en Inglés: BEST-theorem, procedente de

los nombres de sus fundadores: de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith y

Tutte. 

En dicho teorema se menciona que dado un dígrafo euleriano G := (V , E ), el

número ciclos eulerianos no-equivalentes en el grafo es

O equivalentemente

Siendo C  cualquier cofactor de la matriz laplacianaº de G .

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24CIRCUITOS HAMILTONIANOS

Ciclo hamiltoniano

Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.

Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos

veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo

hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una

vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería

recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano

en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas

los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto

de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo,

un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin

pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un

ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro. 

Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo

hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la búsqueda por fuerza bruta de

todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos.

Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o

caminos hamiltonianos en grafos pequeños. 

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25El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el

conjunto de los NP-completos. 

GRAFOS SIMPLES

Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vérticescualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la

única que une dos vértices específicos. 

Un grafo que no es simple se denomina multígrafo. 

GRAFOS CONEXOS

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino;

es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino

posible desde a hacia b .

Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por

al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice

tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda

en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).

En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente)

conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia parasus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes

(fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son

(fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta

propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

GRAFO COMPLETO

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de

vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los

une.

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26El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente , siendo

el grafo completo de n  vértices. 

Un , es decir, grafo completo de n  vértices tiene exactamente

aristas.

La representación gráfica de los como los vértices de un polígono

regular da cuenta de su peculiar estructura.

GRAFO BIPARTITO

Un grafo G es bipartito si puede expresarse como (es

decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las

siguientes condiciones:

  V 1 y V 2 son disjuntos y no vacíos.

  Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.

  No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para

V2.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse

informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de

elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles

en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de lacolumna B.

SUBDIVISIÓN ELEMENTAL DE UNA ARISTA 

se convierte en

Se reemplaza la arista por dos aristas y

un vértice w .

Después de realizar esta operación, el grafo queda con un vértice y unaarista más. 

ELIMINACIÓN DÉBIL DE UN VÉRTICE 

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27Si y g (v ) = 2 (Sea v  un vértice del grafo y de grado dos) eliminarlo

débilmente significa reemplazarlo por una arista que une los vértices

adyacentes a v .

se convierte en

Entonces e ' y e '' desaparecen y aparece

HOMEOMORFISMO DE GRAFOS

Dos grafos G 1 y G 2 son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir

del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.

CIRCUITOS DE HAMILTON

Un problema similar a la determinación de un paseo o un circuito de Euler,

es el de determinar un paseo o circuito que pasa a través de un vértice en

un grafo una y sólo una vez.

Definición: 

Un paseo hamiltoniano es un paseo que pasa a través de cada uno de los

vértices exactamente una vez. 

Definición:

Un circuito hamiltoniano como un paseo circuito que pasa a través de cada

uno de los vértices exactamente una vez. 

NOTA:

No se conoce ninguna condición necesaria y suficiente para demostrar la

existencia de un paseo o un círculo de Hamilton en un grafo. 

Ejemplo:

Encuentre un circuito de Hamilton en el siguiente grafo:

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28El siguiente es un resultado general sobre la existencia de paseos o

circuitos hamiltonianos.

Sea G un grafo no dirigido de tipo lineal de n  vértices. Si la suma de los

grados para cada par de vértices de G es n - 1 o mayor, entonces existe un

paseo de Hamilton en G.

Ejemplo:

La consideración anterior es una condición suficiente pero no necesariapara la existencia de un paseo hamiltoniano en un grafo.

DEFINICIÓN: 

Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos los

vértices de G. Lo anterior quiere decir que un circuito hamiltoniano es una

trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice, no tiene arista

repetida y pasa por cada vértice una sola vez.

Ejemplo 12

¿Cuál de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano?

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29SOLUCIÓN:

  No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el siguiente: Si

se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se está en los demás vértices, en el v5 

se estará dos veces.  Si se empieza en v5, para luego ir a los vértices v1 o v4 ó a v3 o v2 

respectivamente, se tendrá que pasar de nuevo por v5 (puesto que se

empezará en v5). Para completar el circuito, se debe regresar a v5,

por lo que se pasa tres veces por él.

a.  Un ciclo hamiltoniano es: v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1 

CAMINO HAMILTONIANO

CICLO HAMILTONIANO.

Un camino hamiltoniano es un camino que pasa por cada vértice

exactamente una vez. Un grafo que contiene un camino hamiltoniano se

denomina un ciclo hamiltoniano o circuito hamiltoniano si es un ciclo que

pasa por cada vértice exactamente una vez (excepto el vértice del que parte

y al cual llega). Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se dice grafo

hamiltoniano.

En el campo matemático de la teoría de grafos, un camino hamiltoniano en

un grafo es un camino, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos

los vértices del grafo una sola vez. Si además el último vértice visitado esadyacente al primero, el camino es un ciclo hamiltoniano.

El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo

arbitrario se sabe que es NP-completo. 

Los caminos y ciclos hamiltonianos fueron nombrados después que William

Rowan Hamilton, inventor del   juego de Hamilton , lanzara un juguete que

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30involucraba encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un

dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaterniones, pero

esta solución no se generaliza a todos los grafos. 

ÁRBOLES Y COLORES

EJEMPLO DE ÁRBOL. 

Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un

árbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1

aristas, y hay nn-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles

son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número

posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se

encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que

derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la

averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también,

por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

GRAFOS PONDERADOS O ETIQUETADOS

En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico,

llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así

un grafo valuado.

Formalmente, es un grafo con una función v: A → R+.

Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n  ciudades

conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la

distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo

correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las

carreteras y la valuación será la distancia entre ellas. 

Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de

valuación mínima, pero sí para los caminos desde a  hasta b , sin más

condición. 

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31TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES

En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores.

Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son

necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos

países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los

países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un

mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido: 

Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa.

El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por elpaís central a y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores,

entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país

h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea

el mismo método. 

La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué

país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los

vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son

adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color

distinto del de sus vecinos.

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco

siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no

es nada obvio. Prueba de ello es que se han tenido que emplear

ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que

permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a

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32los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó

una demostración asistida por ordenador, lo que ha creado una fuerte

polémica dentro de la comunidad matemática, llegando en algunos casos a

plantearse la cuestión de que esta demostración y su aceptación es uno de

los momentos que han generado una de las más terribles crisis en el mundo

matemático.

COLORACIÓN DE GRAFOS 

COLORES EN LOS VÉRTICES. 

Definición: Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G,

ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una

arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los

vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de

colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático

de G y se escribe como C (G). Sea G un grafo no dirigido sea λ el número

de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de G.

Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable

λ, llamada polinomio cromático de G , que nos indique el número de

coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo deλ colores. 

Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y

e pertenece a Ε , entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el

grafo se obtiene por contracción de aristas. 

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33Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0 

Sea G= (V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G, λ)

es 0.

Sea G= (V, E), con a , b  pertenecientes al conjunto de vértices V pero {a,b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el

grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los

vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.