Intuicionismo (filmat)
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5/21/2018 Intuicionismo (filmat)
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EL INTUICIONISMO
Seminario de Filosofa de las Matemticas
Miguel lvarez L.
2013Torre de Babel. M. C. Escher
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Algunos antecedentes filosficos...
Immanuel Kant:
Lo esencial y caracterstico del conocimiento
matemtico puro con respecto a todos los otros
conocimientos a priori, es que, en absoluto, no
debe proceder de los conceptos, sino siempre
mediante la construccin de stos.
Arthur Schopenhauer:
Conforme a todo esto, espero que no quede ninguna duda
de que la evidencia de las matemticas, convertida en
modelo y smbolo de toda evidencia, no se basa
esencialmente en demostraciones sino en la intuicin
inmediata que aqu, como en todo, constituye el
fundamento ltimo y la fuente de toda verdad.
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Luitzen Egbertus Jan Bertus Brouwer
1881 1996
Matemtico y filsofo holands.
Fundador del intuicionismo y principal
exponente del mismo.
Escribi varios artculos y dionumerosas charlas exponiendo sus ideasacerca de la matemtica y de la labordel matemtico.
Como filsofo se vio profundamenteinfluido por el pensamiento deSchopenhauer, lo que tuvorepercusiones en todos los aspectos desu vida.
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Dos postulados del pensamiento intuicionista:
La matemtica es una actividad de la mente esencialmenteno lingstica, que se origina en la percepcin del
movimiento del tiempo.
This perception of a move of time may be
described as the falling apart of a life
moment into two distinct things, one of
which gives way to the other, but is retained
by memory. If the twoity thus born is
divested of all quality, it passes into the
empty form of the common substratum ofall twoities. And it is this common
substratum, this empty form, which is the
basic intuition of mathematics
Brouwer.
Natalia Goncharova, El Ciclista 1913.
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Dos postulados del pensamiento intuicionista:
Slo hay dos maneras de construir una entidad matemtica:o definindola como igual a otras ya construidas, uobtenindola de ellas mediante la aplicacin de
procedimientos (potencialmente) infinitos ms o menoslibres.
Admitting two ways of creating new mathematical
entities: firstly in the shape of more or less freely
proceeding infinite sequences of mathematical entities
previously acquired ; secondly in the shape of
mathematical species, i.e. properties supposable for
mathematical entities previously acquired, satisfyingthe condition that if they hold for a certain
mathematical entity, they also hold for all
mathematical entities which have been defined to be
equal to it
Brouwer.Paul lee, Bauhaus 19!3.
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El Intuicionismo como antimetafsica
Los intuicionistas rechazan la pregunta por laesencia de los nmeros.
La pregunta correcta no es:Existe el nmero k?
Sino esta otra:
Puedo construir en mi mente el n
mero k?
La matemtica entendida en este sentido no nos proporciona verdadalguna acerca del mundo exterior, sino que slo se ocupa de construccionesmentales (Heyting).
Giaco"o Balla, Nu"eri #nna"orati19!$.
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Diferencias ms importantes (con laMatemtica formalista):
1. Rechazo de los axiomas de existencia
2. Rechazo del tertium non datury todas lasinferencias basadas en l.
3. Rechazo de la regla de eliminacin de ladoble negacin y la demostracin por absurdo enuno de sus sentidos.
4. Rechazo de la nocin de infinito actual.
5. Reduccin de la lgica a la matemtica (y noal contrario).
6. Rechazo del mtodo axiomtico y la teora dela demostracin. MC Escher. %rriba & %ba'o.
19().
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Rechazo de los Axiomas de Existencia
AXIOMA DE EXISTENCIA:
Existe algn nmero que es tal-y-tal
FORMALISMO: Cmo se verifica?* Los existenciales se verifican slodecticamente.* Pero no se puede hacer eso con unnmero, puesto que no estn enninguna parte...* Luego, quedan dos opciones:
1) O lo acepto como Axioma, o2) Lo demuestro indirectamente (porreduccin al absurdo)
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Rechazo de los Axiomas de Existencia
Un ejemplo:
Considrese el Axioma del Supremo:
Todo subconjunto no vaco y acotado superiormente de R tiene unsupremo
Axiomas de los Racionales Axioma del Supremo
Axiomas de los Racionales + Axioma del Supremo = Axiomas de los Reales
FORMALISMO / LOGICISMO:
Por lo tanto, lo aceptamos comoAxioma y seguimos adelante.
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Rechazo de los Axiomas de Existencia
AXIOMA DE EXISTENCIA:
Existe algn nmero que es tal-y-tal
INTUICIONISMO: No tiene sentido! Ms bien:
Puedo construir un nmero que es tal-y-tal
Esta afirmacin no puede ser aceptada sinms, porque...
...Si la acepto, es porque puedo construir talnmero. Bien, dnde estla construccin?
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Rechazo de los Axiomas de Existencia
El formalista/logicista acepta el Axioma del Supremo y sigue su trabajo...
Pero eso es TRAMPApara el Intuicionista.
El primer gran logro de un intuicionista es la
CONSTRUCCIN DE LOS NMEROS REALES
MC Escher, relativit&
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Rechazo del tertium non datury todas sus consecuenciasdeductivas
FORMALISMO/LOGICISMO:
Un nmero existe o no existe
Un nmero tiene una propiedad o no la tiene
Un cierto conjunto contiene a un elemento, o no lo contiene
Una cierta propiedad general se cumple, o no se cumple (en arreglo a lasconvenciones clsicas de la lgica aristotlica)
Por lo tanto, aplica el tertium non
datury todas sus consecuenciasdeductivas.
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Rechazo del tertium non datury todas sus consecuenciasdeductivas
INTUICIONISMO:
Puedo construir este nmero, o no puedo construirlo
PERO
Tal vez todava no he podido hacerlo, o
puede que sea imposible construirlo
Por lo tanto, no es cierto que unnmero slo pueda ser o no serconstruido; luego, en particular,
razonamientos como elModus
Tollendo Ponens no son vlidospara el intuicionista.
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Rechazo del tertium non datury todas sus consecuenciasdeductivas
Considrese el desarrollo decimal de Pi.Si en algn momento aparece la secuencia 0123456789, entonces k=1.Si no aparece la secuencia 0123456789, entonces k=0.
Sea P:
2k/1 < 1 o bien 1/2k < 1
Formalista: la afirmacin P es verdadera, porque si k=1, entonces1/2k < 1; y si k=0, entonces 2k/1 < 1.
Intuicionista: la afirmacin P no es verdadera ni falsa; porque no sabemoscul de los dos trminos de la disyuncin es verdadero; porque no tenemosuna construccin del nmero k.
N*T%+ %l "enos en los ri"eros doscientos "illones de deci"ales de Pi, la cadena $1!3(-)/9 noocurre ni una sola ve0.
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Rechazo de la eliminacin de la Doble Negacin y
revisin de la reductio ad absurdum
Eliminacin de la Doble negacin: Negar la negacin de A es igual a afirmarA. Formalmente:
~ ~ A A
Pero la validez de este postulado se sigue directamente del tertium nondatur. Si l no aplica para el intuicionista, este tampoco.
Negacin (en sentido intuicionista): Si una construccin lleva a un
resultado contradictorio (por ejemplo, que 1=0) entonces dicha
construccin es imposible.Pero mostrar que sea contradictorio suponer la contradictoriedad de
una construccin, no es lo mismo que llevarla a cabo; luego no es
cierto que:
~ ~ A A
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Sin embargo, aunque el intuicionismo no acepte la eliminacin de la DobleNegacin, sadmite su introduccin:
A ~ ~ A
Porque si puedo construir un objeto matemtico, sera contradictoriosuponer que es contradictorio construirlo.
Por lo tanto, el intuicionista acepta slo las reducciones al absurdo quetienen esta forma:
Construyo ALlego a contradiccin
Niego A (la declaro contradictoria)
[ (A F) ~ A ]
Rechazo de la eliminacin de la Doble Negacin y
revisin de la reductio ad absurdum
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Rechazo del infinito actual
Infinitudes una palabra relativa aprocesos de trmino indefinido:
Puedo contar hasta el infinito (infinitamente) Puedo extender una lnea hasta el infinito (infinitamente)
En teora de conjuntos y algunas ramas de geometr
a, infinito actual esuna nocin de cantidad:
Los nmeros naturalesson infinitos Los puntos en una recta son infinitos.
El intuicionismo slo acepta la nocin de infinito en su primera acepcin,conocida como infinito potencial, ya que la segunda supone considerarobjetos que no pueden construirse.
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Rechazo del infinito actual
Definicin conjuntista de infinito actual:
Un conjunto es infinito si puede ponerse en correspondencia uno-a-unocon alguno de sus subconjuntos propios
En Castellano:
En un conjunto infinito no es cierto que el todo es mayor que cualquierade sus partes
ESTA NOCIN ATENTA CONTRA NUESTA PRIMERA Y MS ESENCIAL
INTUICIN DEL ESPACIO: QUE EL TODO ES MAYOR QUE CUALQUIERADE SUS PARTES.
Para Brouwer y otros intuicionistas (comoKronecker) la teora de conjuntos no es una
rama de la matemtica.
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Rechazo del infinito actual
Punto a favor de los intuicionistas:
El infinito actual ha permitido demostrar algunos teoremas extraos,por decir lo menos:
Que existen infinitos ms grandes que otros infinitos (Cantor) Que los trminos de una sucesin convergente simple pueden
reordenarse para que el lmite de ella sea cualquier nmero quequeramos, finito o infinito (Riemann).
Que una esfera puede desensamblarse en ocho partes, y estas luegopueden ser reensambladas para formar dos esferas, cada una de igual
volumen que la original (Banach-Tarski).
Brouwer slo acepta el infinito actual de los nmeros reales si se llega auna construccin estricta de l.
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El Intuicionismo y la Lgica
LOGICISMO:
La Matemtica forma parte de la Lgica
Axioma lgico:(P = Q) [ (Q = R) (P = R) ]
Afirmacin matemtica:8/2 = 44 = 2 2
Especificacin:
(8/2 = 4) [ (4 = 2 2) (8/2 = 2 2) ] Modus Ponens (dos veces):
8/2 = 2 2
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El Intuicionismo y la Lgica
INTUICIONISMO:
La Lgica forma parte de la Matemtica
Construccin matemtica:
8/2 = 44 = 2 2
Constatacin directa (por naturaleza de la igualdad):
8/2 = 2 2
Generalizacin del procedimiento (teorema lgico de la matemtica):
Si P = Q y Q = R, entonces P = R
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El Intuicionismo y la Lgica
Arend Heyting (1898 1980), discpulo deBrouwer. Trabajen el desarrollo de una lgicaformal intuicionista (pese a que su maestro ledeca que era una tarea inservible).
Fue adems uno de los ms eminentesintuicionistas y un asiduo defensor de las ideasoriginales de Brouwer.
EN CONCRETO, en la semntica de Heyting:
Las conectivas no son interdefinibles (Pv ~P) no es una tautologa (~~A A) tampoco. (P Q) no es equivalente a (~P v Q) ~(Ex)A(x) (x)~A(x) tampoco es tautologa.
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Rechazo de la Teora de la deduccin y la axiomatizacin
Brouwer:
Los nmeros naturales son objetos primitivos de la intuicin.Un nio puede aprender a usarlos sin mucho esfuerzo.
Las construcciones son autoevidentes.
Rechazo del formalismo:
Las matemticas no son un mero juego de ajedrez.Las matemticas deben fundarse en la intuicin pura para poderdefender su validez universal.
No hay forma de hallar ni formular los axiomas.
Rechazo del logicismo:
Si las matemticas se fundan en la lgica, sobre quse funda la lgica?
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Legado del Intuicionismo
En matemticas:
Contraejemplos brouwerianos
En lgica:
La semntica intuicionista de Heyting El sistema de deduccin natural y el clculo de
secuentesde Gerhard Gentzen. Las Lgicas positiva y minimal de Ingebrigt
JohanssonMC Escher, C&cle
MC Escher, tars
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Ultraintuicionismo
El matemtico y poeta ruso Alexander Esenin-Volpin es el principal exponente de unacorriente llamada Ultraintuicionismo(ultrafinitismo, actualismo o finitismo estricto)que cuenta en la actualidad a numerosos
matemticos y fil
sofos entre sus filas.
Ultraintuicionismo:
Rechazo de los infinitos tanto actuales comopotenciales.
Sostienen que las matemticas deben
construirse, pero que cada una de talesconstrucciones debe ser pragmticamenteposible.
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Bibliografa:
Stanford Encyclopedia of philosophy:
Brouwer Intuitionism in the Philosophy of mathematics Intuitionistic logic
Libros:
Introduccin al Intuicionismo Arend Heyting The Blackwell guide to Philosophical logic ed Lou Goble Filosofa de las Matemticas Barker Riddles in mathematics E. P. Northrop
Wikipedia:
Intuitionism Intuitionistic logic Ultrafinitism Alexander Esenin-Volpin Gerhard Gentzen Arend Heyting
http://plato.stanford.edu/entries/brouwer/http://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=0pa4t8Jqup/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=LUl2ib88mD/SISIB/304300025/123https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC4QFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism&ei=pP-UUq2NE47QkQfhq4DYBA&usg=AFQjCNFR5lIdqfaKmTB4Q-DMD-8LuTA5ng&sig2=nv7hXGyjuSf-zSZQZhvMaw&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic&ei=xv-UUpbJMtSrkQe-s4DoAQ&usg=AFQjCNH6Aq5yWKdexZta2QmVZITsM2W6kQ&sig2=fWfnS5WMgdb-6QCtiqcI5Q&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism&ei=NwCVUvOBO9CtkAf1s4CAAw&usg=AFQjCNGnNFFlhs9oUx3f6Zf7GFP9dcJNUg&sig2=v9V5V6zvyoVzYF2mtRSKVw&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Esenin-Volpin&ei=UgCVUr69OYrIkAec6YDwDA&usg=AFQjCNFbpxYNnyTTSH3ubFUqj6ACVEeA2A&sig2=7hoyon0UpnYnR6OReplDbg&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://es.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen&ei=hQCVUqWZB8nnkAex0oCAAQ&v6u=https://s-v6exp1-ds.metric.gstatic.com/gen_204?ip=190.45.192.169&ts=1385496709500747&auth=fmo5m6qrk57ejmtophstyocfjtraolu5&rndm=0.7303055976517498&v6s=2&v6t=2735&usg=AFQjCNGT8mxqBFBS5fZRmcfbNwR2QKMFSg&sig2=j98sWMWOxCn5hCQ09O70fA&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&cad=rja&ved=0CEUQFjAI&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Arend_Heyting&ei=ogCVUp_uNYKnkQeflYDwCw&usg=AFQjCNG-cJWulrDLmKeW18Ri-r2smLN1Mg&sig2=bpnR4L7CCroYjVpB6zDCYQ&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&cad=rja&ved=0CEUQFjAI&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Arend_Heyting&ei=ogCVUp_uNYKnkQeflYDwCw&usg=AFQjCNG-cJWulrDLmKeW18Ri-r2smLN1Mg&sig2=bpnR4L7CCroYjVpB6zDCYQ&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://es.wikipedia.org/wiki/Gerhard_Gentzen&ei=hQCVUqWZB8nnkAex0oCAAQ&v6u=https://s-v6exp1-ds.metric.gstatic.com/gen_204?ip=190.45.192.169&ts=1385496709500747&auth=fmo5m6qrk57ejmtophstyocfjtraolu5&rndm=0.7303055976517498&v6s=2&v6t=2735&usg=AFQjCNGT8mxqBFBS5fZRmcfbNwR2QKMFSg&sig2=j98sWMWOxCn5hCQ09O70fA&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Esenin-Volpin&ei=UgCVUr69OYrIkAec6YDwDA&usg=AFQjCNFbpxYNnyTTSH3ubFUqj6ACVEeA2A&sig2=7hoyon0UpnYnR6OReplDbg&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism&ei=NwCVUvOBO9CtkAf1s4CAAw&usg=AFQjCNGnNFFlhs9oUx3f6Zf7GFP9dcJNUg&sig2=v9V5V6zvyoVzYF2mtRSKVw&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CCwQFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic&ei=xv-UUpbJMtSrkQe-s4DoAQ&usg=AFQjCNH6Aq5yWKdexZta2QmVZITsM2W6kQ&sig2=fWfnS5WMgdb-6QCtiqcI5Q&bvm=bv.57155469,d.eW0https://www.google.cl/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CC4QFjAA&url=http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism&ei=pP-UUq2NE47QkQfhq4DYBA&usg=AFQjCNFR5lIdqfaKmTB4Q-DMD-8LuTA5ng&sig2=nv7hXGyjuSf-zSZQZhvMaw&bvm=bv.57155469,d.eW0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=LUl2ib88mD/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=d24Y081m2O/SISIB/304300025/5/0http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=0pa4t8Jqup/SISIB/304300025/123http://catalogo.uchile.cl/uhtbin/cgisirsi/?ps=8E8KPxI397/SISIB/304300025/123http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/http://plato.stanford.edu/entries/intuitionism/http://plato.stanford.edu/entries/brouwer/