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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE PROCESOS Y SISTEMAS SECCIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL

INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF. YAMILET SANCHEZ MONTERO

INDICE INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

INDICE I. INTRODUCCIÓN 1 II. MODELAJE DE SISTEMAS FÍSICOS 2 2.1 UTILIDAD 2

2.2 ELEMENTOS BÁSICOS 2 2.3 SISTEMAS FLUÍDICOS 2 2.4 SISTEMAS MECÁNICOS 5 2.5 SISTEMAS TÉRMICOS 9 2.6 SISTEMAS ELÉCTRICOS 10 2.7 RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARA ELEMENTOS LINEALES 12

III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 13 3.1 LINEALIZACIÓN 13 3.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 13 3.3 FUNCIONES DE TRAMSFERENCIA A LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO 14 3.4 SISTEMA A LAZO CERRADO SOMETIDO A PERTURBACIÓN 14 3.5 GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL 19 1 IV. RESPUESTA TRANSITORIA

4.1. RESPUESTA ANTE DIFERENTES ENTRADAS 1

4.1.1. FUNCIÓN IMPULSO 1 4.1.2. FUNCIÓN ESCALÓN 2 4.1.3. FUNCIÓN RAMPA 2 4.1.4. FUNCIÓN PARÁBOLA 2

4.2. TIPO DE UN SISTEMA 2 4.3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 3

4.3.1. SISTEMAS TIPO CERO 3 4.3.2. SISTEMAS TIPO UNO 5

4.4. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 9

4.4.1. SISTEMA SUBAMORTIGUADO 10 4.4.2. SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO 11 4.4.3. SISTEMA SOBREAMORTIGUADO 11 4.4.4. CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO 12 4.4.5. ESPECIFICACIONES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA 12

JENNY MONTBRUN DI FILIPPO YAMILET SANCHEZ MONTERO i

INDICE INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

5. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS 14

5.1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 14 5.2. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 15

6. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE 18

6.1. ENTRADA TIPO ESCALÓN 19 6.2. ENTRADA TIPO RAMPA 19 6.3. ENTRADA TIPO PARÁBOLA 19 6.4. ERROR A LA PERTURBACIÓN 20

JENNY MONTBRUN DI FILIPPO YAMILET SANCHEZ MONTERO ii

I. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

I. INTRODUCCIÓN Para el estudio de los sistemas de control es necesario definir como proceso o sistema

físico a un conjunto de componentes que actúan conjuntamente, interactuando con el

medio. Los procesos o sistemas a estudiar en este curso, serán sistemas físicos, entre

los cuales se encuentran los siguientes.

Mecánicos (transacionales y rotacionales)

Fluídicos

Térmicos

Eléctricos

Dichos procesos pueden ser representados matemáticamente de diferentes formas,

entre las cuales podemos mencionar las siguientes.

Ecuaciones diferenciales

Función de Transferencia

Diagrama de bloques

Diagrama de flujo de señal

Los pasos a seguir por un ingeniero cuando conforta un problema de control de un

sistema dinámico son los siguientes:

Definir el sistema y sus componentes.

Formular el modelo matemático

a. Hacer una lista de las suposiciones necesarias.

b. Escribir las ecuaciones diferenciales.

Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.

Examinar las soluciones para validar el modelo matemático.

Reanalizar el sistema, las suposiciones y diseñar.

A continuación se desarrollaran cada uno de los puntos mencionados que tengan

relación con la representación matemáticas de sistemas físicos.

En un lazo de control, los controladores pueden realizar sus funciones de distinta forma

y pueden estar incluidos, dentro de diferentes esquemas de control. De allí, la

importancia de que se conozca a profundidad las diferentes acciones que puede

ejecutar un controlador y su efecto sobre la respuesta de un sistema de control. Se

pretende introducir al estudiante en dichos conocimientos, así como, en el

entendimiento de otros esquemas de control diferentes al esquema de retroalimentación

simple.

JENNY MONTBRUN DI FILIPPO YAMILET SANCHEZ MONTERO 1

I. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS


III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

II. MODELAJE DE SISTEMAS FÍSICOS 2.1 Utilidad

Realizar el análisis de la respuesta del sistema ante diferentes situaciones.

Diseño de procesos.

Análisis de sensibilidad a perturbaciones.

Diseño de sistemas de control.

2.2 Elementos básicos Para el modelaje de sistemas de control se pueden identificar ciertos elementos

básicos que describen el comportamiento de los sistemas.

Fuentes de energía: elementos que proporcionan energía proveniente del medio

externo.

Almacenadores de energía: elementos capaces de almacenar y ceder energía. Son

los elementos dinámicos del sistema.

Disipadores de energía: elementos que provocan pérdidas energéticas al medio

exterior.

Transformadores de energía.

A continuación se mostraran los diferentes elementos para los distintos tipos de

sistemas.

2.3 Sistemas fluídicos Este tipo de sistemas las variables que se manejan serán la presión P y el caudal Q.

2.3.1 Fuentes

Fuentes de presión Entradas al sistema

Fuentes de caudal 2.3.2 Almacenadores de energía

Almacenador de energía potencial (capacitor): Un tanque almacena energía en

forma de energía potencial por la altura de la columna fluídica.



Su relación constitutiva es:

0PhgP +⋅⋅ρ= (asumiendo que trabajamos con presiones manométricas)

hgP ⋅⋅ρ=

Derivando la relación constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento

( )dt

hgddtdP ⋅⋅ρ

= (como V = h · A)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

=A

Vgρdtd

dtdP

Considerando ρ, g y A constantes se obtiene una relación dinámica particular para el

caso lineal, cuya variable de estado es P.

QdtdV

dtdP

gρA

==⋅⋅

( 321 uuuQ −+= )

Si se desea tener a la altura h como la variable de estado, la relación dinámica del

elemento se puede escribir como:

QdtdhA =⋅

Almacenador de energía cinética (Inercia): la masa de fluido encerrada en una

tubería almacena energía en forma de energía cinética

m, masa encerrada en la tubería

v, velocidad del fluido

La relación constitutiva en este caso será la cantidad de movimiento lineal:

vmp ⋅= (m = ρ · V = ρ · A · L)

vALρp ⋅⋅⋅=

Derivando se obtendrá la relación dinámica general del elemento inercia



( )vALρdtd

dtdp

⋅⋅⋅=

Como dP/dt es igual a la fuerza aplicada sobre m se tiene la siguiente relación general:

F = ( vALρdtd

⋅⋅⋅ ) (v = Q/A y P = F/A)

( )QLρdtdPA ⋅⋅=⋅

Si la densidad es constante la relación dinámica particular para el caso lineal queda

representada por la siguiente ecuación, cuya variable de estado es Q.

dtdQ

ALρP ⋅

⋅= P… Presión total ejercida sobre la masa de fluido

2.3.3 Disipadores de energía

En general la relación constitutiva de estos disipadores son de la forma ∆P = f(Q), la

cual en los siguientes casos particulares es:

Pérdidas por fricción 2Qb∆P ⋅=

Pérdidas por accesorios Qb∆P ⋅= ó PbQ ∆=

2.3.4. Transformadores de energía

11

1 pAF

= 111 QAV =⋅ ; 11

1 pAF

= 122 QAV =⋅

Las relaciones de entrada y salida quedan como:

1

212 A

AFF ⋅= 2

112 A

AVV ⋅=

Ejemplo Para el siguiente sistema se desea obtener un modelo matemático que lo represente.



Fuentes: u1, u2.

Almacenadores: tanque (variable de estado = P), tubería (variable de estado = Q)

Disipadores: fricción, válvula.

Las ecuaciones diferenciales que va a tener en el modelo serán igual al número de

elementos almacenadores de energía, donde las variables involucradas sean

independientes. Se plantean cada una de las relaciones dinámicas expresadas en

función de variables de estado y entradas.

Tanque QuudtdP

gρA

21 −+=⋅⋅

Tubería OVÁLVULAFRICCIÓN P∆PPPdtdQ

ALρ

−−−=⋅⋅

QbQbPdtdQ

ALρ

22

1 ⋅−⋅−=⋅⋅

Las ecuaciones anteriores se conocen como una representación de estado.

2.4 Sistemas mecánicos Este tipo de sistemas se pueden dividir en sistemas mecánicos traslacionales, donde

las variables que se manejan serán la fuerza F y la velocidad lineal v y sistemas

mecánicos rotacionales donde las variables que se manejan serán el torque τ y la

velocidad angular ω.

2.4.1 Fuentes Traslacionales Rotacionales

Fuentes de fuerza

Fuentes de velocidad

Fuentes de torque

Fuentes de velocidad angular

2.4.2 Almacenadores de energía Almacenadotes de energía potencial (Capacitadores)

Traslacional: Un resorte almacena energía en forma de energía potencial

x = desplazamiento relativo entre los extremos.

F = fuerza ejercida entre los extremos del resorte.

K = constante de elasticidad, constante o f(x).

La relación constitutiva de este elemento es:



F = k · x

derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica tomando F como la variable de

estado

( xkd

)t

ddtdF

⋅=

Para k constante la relación dinámica particular para el caso lineal es:

vkdtdF

⋅= (v es la velocidad relativa entre los extremos)

También una barra con cierta elasticidad que sufre una compresión o expansión puede

ser representada como un capacitor.

Rotacional: Resortes helicoidales también almacenan energía en forma de energía

potencial

KT = constante de elasticidad torsional.

τ = torque.

φ = desplazamiento angular entre sus extremos.

La relación constitutiva de este elemento es:

τ = KT · φ

derivando la constitutiva, para KT constante, se obtiene la relación dinámica particular

para el caso lineal , tomando τ como variable de estado

ωKdtdτ

T ⋅=

Almacenadores de energía cinética (Inercias)

Traslacional: Una masa en movimiento almacena energía en forma de energía cinética.

m = masa del elemento

v = velocidad del elemento

La relación constitutiva del elemento es: vmp ⋅=

derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento tomando v como

variable de estado.

( vmdtd

dtdp

⋅= )



Para m constante se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal

dtdvmF ⋅=

Rotacional: Una masa girando almacena energía en forma de energía potencial

J = momento de inercia

ω = velocidad angular

La relación constitutiva del elemento es:

wjH ⋅=

derivando se obtiene la relación dinámica general función de la variable de estado ω

( )ωjdtd

dtdH

⋅=

Si J es constante la relación dinámica particular para el caso lineal será:

dtdωjτ =


Traslacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma F = f(v)

Roce con una superficie.

Resistencia al viento.

Un amortiguador.

Amortiguador

b = coeficiente de fricción viscosa

x = desplazamiento relativo entre sus

extremos.

F = fuerza aplicada.

v = velocidad entre sus extremos.

Este tipo de elemento proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Absorbe energía

y la disipa como calor. No almacena ni energía cinética ni potencial. Su relación

constitutiva es de la forma F = b⋅v

Rotacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma τ = f(ω)

Roce entre elementos que giran.



Resistencia al viento.

2.4.5 Transformadores de energía

22

11

LωVLωV

⋅=⋅=

→ 2

1

2

1

LL

VV

=

22

11

FLFL

⋅=τ⋅=τ

→ 1

2

2

1

LL

FF

=

τFRRωV

=⋅⋅=

2

1

2

1RRτ

=τ

; 1

2

2

1RR

ωω

=

Ejemplo Considere que en la figura se muestra un esquema simplificado

de una locomotora. Donde F es la fuerza impulsora, m1 y m2 las

masa de los vagones unidos a través de un resorte y un

amortiguador (Fa = R1 Va ) y el roce con el piso se representa

como f = R2 ⋅ Vi2 (i : Vagón)

Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:

Fuente de fuerza. (F)

Almacenadores: inercia 1 (V1), inercia 2 ( V2), capacitor (FR)

Resistencias: Amortiguador y fricción.

Se tienen 3 elementos almacenadores independientes → 3 ecuaciones de Estado (V1,

V2, FR, F)

Inercia 1 212211R

11 VR)V(VRFF

dtdV

m ⋅−−−−==

Inercia 2 222211R

22 VR)V(VRF

dtdVm −−−=



Capacitor )VV(kdt

dF21

R −=

2.5 Sistemas térmicos 2.5.1 Fuentes

Fuentes de temperatura.

Fuentes de flujo de calor 2.5.2 Almacenadores En este tipo de sistemas la única forma de almacenamiento de energía es

almacenando calor, lo cual puede realizarlo cualquier elemento que posea capacidad

de almacenamiento de calor. Por ejemplo una masa como la que se muestra a

continuación.

M = masa del elemento

Cp = Calor específico del elemento

T = Temperatura del elemento

q = Flujo de calor sobre el elemento

La relación constitutiva de dicho elemento será:

qTCpm =⋅⋅

derivando la expresión anterior se obtendrá la relación dinámica general tomando T

como variable de estado.

( ).

qTCpmdtd •

=⋅⋅

Si m y Cp son constantes, se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal. .

qdtdTCpm

•

=⋅⋅

2.5.3 Disipadores Se utilizan para representar mecanismos de transferencia de calor, los cuales son los

siguientes:



Mecanismo de Transferencia de Calor Flujo de Calor

Conducción (transferencia de calor entre dos cuerpos sólidos) .

T)(∆x

AKq ∆⋅⋅

=•

Convección (transferencia de calor entre un sólido y un fluido o dos fluidos) .

T)(Ahq ∆⋅⋅=•

Radiación (transferencia de calor entre una fuente luminosa y un cuerpo .

4TεKq ⋅⋅=•

Ejemplo Considere la aleta de enfriamiento que se muestre y obtenga su modelo.

Conducción y convección.

Se divide la aleta en tres elementos y se

suponen conocidos todos los

parámetros

Variable de estado = Ti Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:

Fuentes: T, To

Almacenadores: T1, T2, T3

Mecanismos de transferencia: Conducción y convección

Número de ecuaciones: tres

)T(Tah)T(T∆x

AK)T(T∆x

AKdt

dTCpm O11121

.

11

1 −⋅⋅−−⋅⋅

−−⋅⋅

=⋅⋅

)T(Tah)T(T∆x

AK)T(T∆x

AKdt

dTCpm O22232

.

122

2 −⋅⋅−−⋅⋅

−−⋅⋅

=⋅⋅

)T(Tah)T(T∆x

AKdt

dTCpm O333

.

323

3 −⋅⋅−−⋅⋅

=⋅⋅

2.6 Sistemas eléctricos 2.6.1 Fuentes

Fuentes de voltaje.

Fuentes de intensidad de corriente.



2.6.2 Almacenadores Puesto que la relación constitutiva es lineal sólo se mostrarán las relaciones dinámicas.

Elemento Relación dinámica Capacitor

.

idtdVC =

Variable de estado: V

Inductancia

.

VdtdiL =

Variable de estado: V

2.6.3 Disipadores

Este tipo de elemento solamente tiene Relación

Constitutiva .

iRV ⋅=

2.6.4 Transformadores

.

21 Vn1V ⋅=

i1 = n . i2n = relación de transformación

2.6.5 Leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff

Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos). “La suma algebraica de todas las

corrientes que entran y salen de un nodo es cero”, o lo que es lo mismo “ la suma de

las corrientes que entran a una nodo es igual a la suma de las que salen del mismo”.

Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas). “La suma algebraica de los voltajes

alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero”, o lo que es lo mismo, “la

suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje

alrededor de una malla”.



2.7 Resumen de ecuaciones diferenciales para elementos ideales 2.7.1 Almacenadores inductivos

Inductancia fluídica dtdQIP21 =

Masa traslacional

dtdv

MF 2=

Masa rotacional dt

dwJT 2=

Inercia eléctrica

dtdiLv 21 =

2.7.2 Almacenadores capacitivos

Capacitancia Fluídica dt

dPCQ 21

f=

Resorte trasnacional dtdF

K1v 21 =

Capacitancia Térmica dt

dTCq 2

t=

Capacitancia eléctrica dt

dvCi 21=


Resistencia fluídica 21f

PR1Q ⋅=

Amortiguador traslacional 21vfF ⋅=

Amortiguador rotacional 21wfT ⋅=

Resistencia térmica 21

t

TR1q ⋅=

Resistencia eléctrica 21v

R1i ⋅=



III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Para lograr representar un proceso utilizando funciones de transferencia se debe

proceder primero a mostrar como se puede linealizar de un conjunto de ecuaciones no

lineales.

3.1. Linealización Suponga que en la siguiente figura se muestra una función no lineal que se desea

linealizar alrededor de un punto Po. Para ello se debe tomar la derivada de dicha

función y evaluarse en el dicho punto.

y = x2

pO(x0,y0) ≡ punto de operación

( )OPo xxdxdym −=

m es la pendiente de la aproximación

lineal

La función linealizada quedará entonces,

( )OPo0 xxdxdyyy −+= expansión hasta la primera derivada en serie de Taylor

*0

*0

xxx

yyy

=−

=− variables de perturbación ** xmy ⋅=

En forma general, si se tiene una función f1 no lineal que depende de x variables y u

entradas

)u,...,u,u,x,...,x,x,x,x(ff n21n432111 =

La expresión lineal f1* en el punto de equilibrio p0

*np

n

n*1p

1

1*np

n

n*1p

1

1*1 u

uf...u

ufx

xf...x

xff

0000 ∂∂

++∂∂

+∂∂

++∂∂

=

3.2 Función de Transferencia Se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la



transformada de Laplace de la entrada, para las siguientes condiciones:

Condiciones iniciales iguales a cero.

Independiente de la entrada

Conocido G(s) puedo estudiar C(s) para todo C(s)

G(s) existe si el sistema es lineal e invariante en el tiempo

G es una función de s (G = f(s))

G(s) no aporta información sobre el sistema físico

Siempre se puede establecer la identificación del sistema

La función de transferencia se puede escribir en forma general como )s(D)s(N)s(G = ,

donde D(s) = 0 se conoce como la ecuación característica del sistema. Las

soluciones de N(s) = 0 son los ceros del sistema y las soluciones de D(s) = 0 son los

polos del sistema.

3.3 Función de transferencia a lazo abierto y a lazo cerrado Función de transferencia a lazo abierto

)s(H)s(G)s(E)s(B.A.L.T.F ⋅==

Función de transferencia a lazo directo

)s(G)s(E)s(C.D.L.T.F ==

Función de transferencia a lazo cerrado

H(s)G(s)1

G(s)R(s)C(s)F.T.L.C.

⋅+==

Ecuación característica a lazo cerrado

1 + G(s)·H(s) = 0

3.4 Sistema a lazo cerrado sometido a una perturbación



N(s) = 0 , )s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(G)s(R)s(C

21

21R

⋅⋅+⋅

=

R(s) = 0 , )s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(N)s(C

21

2N

⋅⋅+=

C(s) = CR(s) + CN(s)

Un sistema lineal debe cumplir con los siguientes principios:

Principio de superposición x1(t) + x2(2) → y1(t) + y2(2)

Principio de homogeneidad β x(t) → β y(t)

Ejemplo En la figura 1 se muestra un esquema simplificado de transporte de carga, para el cual

es necesario controlar la velocidad de desplazamiento de la carga, manipulando el

voltaje aplicado al motor. En la figura 2 se muestra en detalle el esquema del

motor donde ee = (eref – em), Ki amplifica dicho valor, Ra la resistencia eléctrica, La la

inductancia, Jm la inercia del motor y ωm la velocidad angular del motor que es

trasmitida a la barra. Las relaciones de transformación en el motor son τm = K2ia y

ea= Kaωm donde ea es la caída de potencial en la armadura. En la figura 3 se tiene la

curva de calibración del medidor de velocidad. La resistencia eléctrica presenta una

relación lineal, en tanto que, la resistencia en la polea es de la forma τ = R1ω2.

Motor

Carga VC

Radio “r” KT

mC

R1

J1

K1

Ra Laτ, ωm

ee

amplificador

iaJm

armadura Figura 1 Esquema del sistema Figura 2 Detalle interno del motor

Figura 3 Curva de calibración del elemento de medición



Se desea que usted realice lo siguiente:

Modelo del proceso (sin control y con control )

Diagrama de Bloques del proceso y Diagrama de Bloques del esquema de control,

en el cual estén especificados todas las funciones de transferencia.

Solución: Elementos del sistema

Almacenadores. Disipadores Transformadores Inductancia Eléctrica (La)

Inercia del motor (Jm)

Capacitor (KT)

Inercia (J1)

Inercia (mc)

Estos dos últimos son

dependientes

Resistencia Eléctrica

Roce en la Polea

Elemento de Medición

(esquema de control)

Transformación de sistema

eléctrico al mecánico

Se plantean tanto las ecuaciones de cada uno de los elementos almacenadores, como

las diferentes relaciones entre las distintas variables.

Modelo del proceso

aaaea eiReK

dtdiLa −⋅−⋅= 1 ...... ea = Ka ωm (1)

bmm

m dtd

J ττω

−= ...... τm = K2ia (2)

11 ωω

τ−= m

b

T dtd

K (3)

211

11 ωττω

⋅−−= Rdt

dJ cb (4)

Cc

c Fdt

dVm = (5)

Para completar el modelo se toman en cuentan las siguientes relaciones conocidas,

τC = r FC y ω1 =VC/r Reacomodando las ecuaciones (4) y (5) queda,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−τ=

dtdV

rJ

rV

Rr1

dtdV

m c12

c1b

cc



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−τ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

2c1

bc

21

c rVR

r1

dtdV

rJm (4’)

En el modelo de control se debe tener definir el error como:

ee = K1 (eref – em) = K1 (eref – m⋅VC)

Linealizando:

*a

*aa

*e1

*a KiReK

dtdi

La ω⋅−⋅−⋅= (6)

**2

*

bam

m iKdt

dJ τ

ω−⋅= (7)

rV

dtd

KC

mb

T

**

*1−= ω

τ (8)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−τ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + *

CCo21*

b

*c

21

c VVrR2

r1

dtdV

rJ

m (9)

NOTA: El punto de operación se calcula igualando a cero las ecuaciones (1), (2), (3) y

(4’) Aplicando Transformada de Laplace, eliminando los * y agrupando términos:

(Las + Ra)ia = K1⋅ee – Ka⋅ωm (6’)

Jm⋅s⋅ωm = K2⋅ia – τb (7’)

rVcs

K mbT

−= ωτ1 (8’)

rVV

rRs

rJm b

CCocτ

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 3

121 2)( ⇒ IV

rR2

rJm Co3

121

c =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ (9’)

Diagrama de Bloques del Esquema de control



Obtención de la Función de Transferencia del proceso GP(s) = )s(e)s(V

e

C , por reducción del

diagrama de Bloques (sin control):

Modificando el último lazo de la siguiente forma queda:

La sección marcada se reduce a lo siguiente.

T22T

1 KsIrrK

G+⋅⋅

=

Rearreglando...

La sección marcada se reduce a: IsrsJ

GG

m ⋅+⋅= 1

2

y a partir de allí, el Diagrama de Bloques del esquema de control se puede reducir

como sigue:



3.5 Gráficas de Flujo de Señal Una gráfica de flujo de señal se puede ver como una versión simplificada de un

diagrama de bloques, cuyos elementos básicos son los siguientes:

Nodos: se utilizan para expresar variables.

Ramas: Son segmentos lineales que tienen ganancias y direcciones asociadas. La

señal se transmite a través de una rama solamente en la dirección de la flecha. Nodo de entrada (fuente): Es un nodo que tiene solamente ramas de salida. Nodo de salida (pozo): Es un nodo que tiene solamente ramas de entrada. Trayectoria: es una sucesión continua de ramas que se dirigen en la misma

dirección. Trayectoria directa: es una trayectoria que empieza en un nodo de entrada y

termina en un nodo de salida, a lo largo de la cual ningún nodo se atraviesa más de

una vez. Lazo: es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde

ningún otro nodo se atraviesa más de una vez. Ganancia de la trayectoria: Es el producto de las ganancias de las ramas de una

trayectoria. Lazos disjuntos: Son lazos que no comparten ningún nodo en común.

A partir de estas definiciones es posible plantear el uso de la Fórmula de Ganancia de Mason para reducir Diagramas de Flujo de señal.

Fórmula de Ganancia para gráficas de Flujo de señal:

∑= ∆

∆==

N

1k

KK

ent

sal Myy

M

en donde:

yent = Variable del nodo de entrada



ysal = Variable del nodo de salida

M = Ganancia entre yent y ysal (Función de Transferencia)

N = Número total de trayectorias directas entre yent y ysal

Mk = Ganancia de la trayectoria directa k-ésima entre yent y ysal

∆ = 1 – (suma de las ganancias de todos los lazos)+(Σ productos de las ganancias de

todas las combinaciones de 2 lazos disjuntos)-(Σ productos de las ganancias de todas

las combinaciones de 3 lazos disjuntos)+...

∆k = igual a ∆ pero eliminando todos los lazos que toquen a la k-ésima trayectoria

directa.

Ejemplo G4

1 1 G1 G2 G3 1

-H1 -H2

-1

R YE

Número de trayectorias directas = 2 M1 = G1 G2 G3) M2 = G1 G4 Ganancias de los LazosL1 = G1 G2 (-H1) L2 = G2 G3 (-H2) L3 = G4 (-H2) L4 = G1 G2 G3 (-1) L5 = G1 G4 (-1)

Determinantes ∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 + L5) ∆1 = 1; ∆2 = 1 Función de Transferencia M = (M1⋅∆1 + M2⋅∆1) / ∆

Ejemplo La siguiente figura muestra un esquema de un intercambiador de calor en el cual se

desea controlar la temperatura de salida TS, manipulando el caudal de la camisa U

U, T2

Q, T 1 Q, TS

U, TC

El elemento medidor o termopar y el controlador tienen las curvas de calibración que se



muestran a continuación.

k C .. pendiente

Volts Acc. Control)(Volts

m.. pendiente

Temp Error ( Volts)

La capacitancias térmicas del líquido encerrado en la camisa y en el interior del

intercambiador son respectivamente MC⋅CpC = CC y Mi⋅Cpi = Ci. El flujo de calor entre la

camisa y el interior del intercambiador es )T(Rq 1 ∆=& , en tanto que no existe

transferencia de calor con el medio ambiente. Debe considerarse que la temperatura de

entrada T1 y su flujo Q son perturbaciones y que los valores de T1O, T2O, QO, UO, TO

(ambiente) son conocidos. Suponga además, que conoce la función de transferencia de

la válvula necesaria para implementar el esquema de control, 1S

kG V

Válvula +τ= . Se

desea que usted como ingeniero de planta realice lo siguiente: modelo del proceso,

diagrama de flujo de señal (proceso y esquema de control), función de transferencia del

proceso y función de transferencia del esquema de control. Solución

Variables de estado: TS, TC

Entradas: T1, T2, Q, U

Camisa: ( ) ( CS1C2CCC

C TTRTTCpUdt

dTC −+−⋅⋅ρ= ) (1)

Intercambiador: ( ) ( CS1S1iiS

i TTRTTCpQdt

dTC −+−⋅⋅ρ= ) (2)

Puesto que T1 y Q son perturbaciones las ecuaciones son no lineales y se deben

linealizar quedando como sigue:

( )*C

*S1

*CCC

*CCC

*2CC

*C

C TTRUoTCpUoTCpUoTCpdt

dTC −+⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ=

( ) ( ) ( )*C

*S1S1

*ii

*S

*1ii

*S

S TTRoToTQCpTTQoCpdt

dTC −−−⋅⋅ρ+−⋅⋅ρ=

El esquema de control a implantar es el que se muestra a continuación.



Para realizar el diagrama de flujo de señal se agrupan los siguientes términos:

K1 = ρc Cpc T20 K2 = ρc Cpc Tc0 K3 = ρc Cpc U0

K4 = ρi Cpi Q0 K5 = ρi Cpi (T10 – Ts0)

A partir de dicho diagrama, se obtiene la función del proceso eliminando todas las otras

entradas diferentes a la variable a manipular (U)

Número de caminos = 1 P1 = (K1 – K2)(1/Ccs)(R1)(1/Cis)

Número de lazos = 3 L1 = -(K3 + R1)/(Ccs) L2 = -(K4 + R1)/(Cis) L3 = R12/CcCis2

∆ = 1 – (L1 + L2 + L3) + (L1L2)

De allí que, la función de transferencia del proceso será:

Ts(s)/U(s) = ∆1 P1 / ∆


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS IV. RESPUESTA TRANSITORIA Sea y(t) la respuesta en el tiempo de un sistema en tiempo continuo; entonces:

)t(y)t(y)t(y sst += donde yt(t) es la respuesta transitoria (solución homogénea) y yss(t) la respuesta en

estado estacionario (solución particular). En la siguiente figura se puede apreciar el

comportamiento dinámico de un sistema, compuesto por la respuesta transitoria y la

permanente

El estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para el

posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. A

continuación se estudiara, tanto la respuesta transitoria, como la respuesta permanente

de un sistema.

4.1 Respuesta ante diferentes entradas 4.1.1 Entradas Tipo A continuación se mostraran las entradas típicas utilizadas para el análisis de la

respuesta de un sistema.

4.1.1.1 Función impulso

0 A 0

r(t) =

tottottot

>=<

reales NúmerosA ∈ ( ) )t(Atr δ⋅= donde δ(t) es la función impulso ≡ Delta de Dirac y su

transformada de Laplace es: L AR(s)(r(t)) ==


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS 4.1.1.2 Función escalón

0 A

r(t) = →

donde u(t) es escalón unitario y su transformada de

Laplace es: L

0t0t

<>

( ) ( )tuAtr ⋅=

A/sR(s)(r(t)) ==

4.1.1.3 Función rampa

( ) ( )tutbtr ⋅⋅= reales Númerosb ∈ Indica cómo

responde el sistema a señales que cambian

linealmente con el tiempo. Su transformada de

Laplace es: L 2b/sR(s)(r(t)) ==

4.1.1.4 Función parábola

( ) ( )tu2

tKtr2

⋅⋅

= RK ∈

El análisis de la respuesta temporal de un sistema se realizará detalladamente para

sistemas de primero y segundo orden, en tanto que, sistemas de orden superior se

analizarán aproximándolos a ordenes inferiores.

4.2 Tipo de un sistema Además de clasificar a los sistemas según su orden, es importante realizar una

clasificación adicional de los mismos según su tipo, la cual se realiza al escribir en

forma general cualquier función de transferencia como sigue.


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

( ))1)...(1()1()1)...(1()1(

21 +⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅

=sssssssK

sGp

Nmba

ττττττ

en donde las soluciones del numerador se conocerán como los ceros del sistema y las

del denominador como los polos. A partir de allí, SN representa un polo de multiplicidad

N en el origen, el cual define el tipo del sistema que no necesariamente es igual al

orden del sistema.

N=0 → sistema tipo 0

N=1 → sistema tipo 1

N=n → sistema tipo n

4.3 Sistemas de Primer Orden La respuesta de sistemas de primer orden se estudiaran tanto a lazo abierto como a

lazo cerrado para sistemas de tipo “cero” y de tipo “uno”.

4.3.1 Sistemas tipo cero. Para un proceso a lazo abierto como el que se muestra a continuación, donde R(s) es

un escalón de magnitud A, se tiene:

K ........ ganancia del proceso.

τ .......... constante de tiempo del proceso

La respuesta de dicho sistema ante esa entrada se puede obtener realizando la

antitransformada de C(s), tal como se muestra a continuación.

sA)s(R =

→ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅τ⋅=

1sK

sA)s(C

Aplicando fracciones ( )

1stKA

sKAsC

+⋅τ⋅⋅

−⋅

=

Antitransformando ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= τ

−t

e1KAtc



Para t = 0; ( ) ( ) 01 0 =−⋅= eKAtc

Para t = τ; ( ) ( ) AK632,0e1KAtc 1 ⋅⋅=−⋅= −

Para t = ∞, ( ) ( ) KAeKAtc ⋅=−⋅= ∞1

En la siguiente figura se aprecia dicha respuesta, en la cual se puede observar que a

mayor τ se tiene menor rapidez de la respuesta y a mayor K mayor valor de

establecimiento (c(∞)).

Además, se puede definir τ como el tiempo que tarda el proceso en alcanzar el 63,2 %

de su valor final y caracterizar también la respuesta transitoria por el tiempo que tarda

en establecerse (ts) tal como sigue:

ts = 3·τ → c(3·τ) = 0,95·c(∞) (Criterio del 5%)

ts = 4·τ → c(4·τ) = 0,98·c(∞) (Criterio del 2%)

Para el mismo sistema anterior también se puede hacer el análisis de su respuesta

transitoria a partir de la función de transferencia a lazo cerrado tal como sigue.

( )( ) )K1(s

K

1sK1

1sK

sRsC

LALA

LA

LA

LA

LA

LA

++⋅τ=

+⋅τ+

+⋅τ=

a partir de allí se pueden obtener tanto la ganancia del sistema a lazo cerrado como su

constante de tiempo.



LA

LALC K1

KK+

= y LA

LALC 1 τ+

τ=τ

→

( )( ) 1s

KsRsC

LC

LC

+⋅τ=

KLC = ganancia del sistema; τLC = constante de tiempo

Siendo dicha función de transferencia semejante a la de lazo abierto, la forma de la

respuesta a lazo cerrado también lo será, pero se deben considerar como ganancia a

KLC y τLC como la constante de tiempo. Además, a lazo cerrado se puede calcular el

error en estado estacionario, tal como sigue:

( ) ( )LALA

LAee K1

AK1

AKAcAee

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅−=∞−=∞=

4.3.2 Sistemas tipo 1 Para este tipo de sistema se estudiará solamente el lazo cerrado, pues la respuesta el

lazo abierto no alcanza ningún valor de establecimiento.

Al igual que en el caso anterior se obtienen la ganancia y la constante de tiempo a lazo

cerrado a partir de las de lazo abierto, así como, la respuesta ante una entrada escalón

de magnitud A.

( )( ) LALA

LA

1LA

LA

LA

LA

KsK

sK1

sK

sRsC

+⋅τ=

⋅τ+

⋅τ=

( )( ) 1s

1sRsC

+⋅τ=

, LA

LA

Kτ

=τ ; K=1

Para ( )

sAsR =



aplicando fracciones parciales...

( ) ( ) τ+−=

τ+⋅= 1s

AsA

1ssAsC

Antitransformando… ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= τ

−t

e1Atc,

t = 0 → ( ) ( ) 011 =−⋅= Atc

t = τ → ( ) ( ) A632,0e1Atc 1 ⋅=−⋅= −

t = ∞ → ( ) ( ) AAtc =−⋅= 01

( ) ( ) 0=−=∞−=∞= AAcAeess

En este caso se puede también analizar la respuesta de este tipo de sistema ante una

entrada rampa tal como sigue.

( ) 2sAsR =

→

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ+τ

+τ

−⋅=+⋅τ⋅

= 1sss1A

1ssAsC 22

→ ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅τ−τ−⋅= τ

−t

etAtc


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS La rapidez de la respuesta viene dada por τ y el estado estacionario será tal y como se

observa en la figura.

( ) ( ) τ⋅=∞−⋅=∞= ActAeess

Ejemplo En la siguiente figura se muestra un esquema de control de presión para un tanque

presurizado, cuya función de transferencia es desconocida (G1(s)). Con la intención de

averiguar dicha función de transferencia se realiza la siguiente experiencia sobre el

proceso. Estando la presión estable en 12 psi, se le da un escalón de 3 psi a la

referencia y se obtiene la respuesta que se muestra a continuación. Se desea que

usted realice lo siguiente, a partir de dicha información.

1) Identifique la función de transferencia del proceso (G1(s))

2) Grafique la respuesta a lazo abierto si la entrada es 52Pr =

.

3) Considere que hubo un error en la medición de la referencia y en realidad, el

escalón en la entrada era de 2,5 psi. Con esta nueva información realice

nuevamente el problema.

Solución 1) Al conocer la entrada y la salida a lazo cerrado, y observando el gráfico de la

respuesta se puede aproximar G1(s) a un sistema de primer orden de tipo cero pues la

respuesta presenta un error al escalón.

11 +⋅=

sKG

LA

LA

τ Como c(∞)= 14,5 – 12 y el valor de la amplitud es A = 3 se tiene



KLC · 3 = 2,5 → 8333,035,2

==LCK

La constante de tiempo a lazo cerrado se obtiene a partir de la gráfica, calculando el

63,2 % del valor final y leyendo el tiempo que tarda la repuesta en alcanzar dicho valor.

CSS – Co = C(τ) → (14,5 – 12) · 0,632 = 1,58 →C(τ) = 1,58 + 12 = 13,58

De allí, y por inspección sobre la gráfica, se tiene que la constante de tiempo a lazo

cerrado es 18. Teniendo ahora, tanto la ganancia como la constante de tiempo a lazo

cerrado, se puede conocer las de lazo abierto.

KLA ≈ 5 18

1=

+=

LA

LALC K

ττ →

833,01

=+

=LA

LALC K

KK τLA ≈ 108 →

1108

5 G1 +⋅=

s

2) Conocida la función de transferencia a lazo

abierto se puede graficar la respuesta ante una

entrada igual a 2/5 en la referencia. Como la

amplitud del escalón A es 2/5 y la ganancia a lazo

abierto, KLA, es 5, entonces la respuesta que

tiende a KLA * A, tenderá a 2. Además, la

respuesta alcanza 1,264 (63,2% del valor final)

cuando a transcurrido un tiempo igual a τ.

3) Si la entrada fuese un escalón de magnitud 2,5 y no de 3, el cálculo de la constante

de tiempo a lazo cerrado se realizaría de la siguiente forma:

A.KLC = (14,5 – 12) como A = 2,5 → KLC = 1 y τLC = 18 (de la gráfica)

Además, al observar la gráfica se aprecia que el valor final a lazo cerrado coincide con

la referencia, de donde se deduce que el error en estado permanente es cero. De allí

que, la forma de la función de transferencia a lazo abierto será de primer orden pero no

de tipo 0, sino de tipo 1. Por lo tanto G1 se puede obtener como sigue:

1181

1 1

1

+⋅=

+ sGG

→ ( )11 1

181 G

sG +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

→ sG

⋅=

181

1


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS 4.4 Sistemas de segundo orden Este tipo de sistemas requiere dos variables que definan su estado de energía, por lo

tanto su modelo podrá estar formado por dos ecuaciones diferenciales de primer grado.

Para el estudio de este tipo de sistemas partiremos del siguiente ejemplo. Un tanque de

área A, líquido de densidad ρ, tubería de longitud L y área a.

u

Modelo del proceso

QudtdP

ρgA

−=

RQPdtdQ

aρL

−=

Se desea conocer la función de transferencia entre u y Q, para lo cual se toma la

transformada de Laplace de dichas ecuaciones y queda:

s P(s) = (u(s) - Q(s)) / C C = A/ρg

s Q(s) = (P(s) - RQ(s)) / I I = ρL/a

A partir de allí se obtiene la función de transferencia

1)sCRsI(C1

u(s)Q(s)

2 +⋅⋅+⋅⋅=

→ 1/CI)sR/I(sCI1

u(s)Q(s)

2 +⋅+=

Para realizar el análisis de la respuesta de sistemas de segundo orden su función de

transferencia se escribe en función de ciertos parámetros característicos tal como

sigue:

)ωsω2(sωG(s) 2

nn2

2n

++=

ξ

ωn = Frecuencia natural no amortiguada.

ξ = Coeficiente de amortiguación

El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se describe en términos

de ξ y ωn, los cuales estarán en función de los parámetros físicos del sistema. Para 0 <

ξ < 1 se tiene un sistema Subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Para

ξ > 1 el sistema está sobre amortiguado y si ξ = 1 es sistema es críticamente

subamortiguado; en los dos últimos casos la respuesta no es oscilatoria. Si ξ = 0 no

existe amortiguación y la oscilación es permanente.


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Para el ejemplo anterior se pueden expresar ξ y ωn como sigue:

1/CIω2n = CI

1ωn =

R/I2ξ n =ω IC

2R

2ICIRξ ==

Ahora se ha de estudiar la respuesta ante una entrada escalón unitario, para los casos

mencionados anteriormente.

4.4.1 Sistemas subamortiguado (0 < ξ < 1)

( )2nn

2

2n

ωs2ξsω

u(s)Q(s)G(s)

++==

ω

Para una entrada escalón: ( )2nn

2

2n

s2ss1)s(Q

ω+ξω+

ω=

antitransformando se obtiene: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ξ−

ξ+ω−= ξω− )t(Sen

1)t(Cose1)t(Q d2d

tn

donde ωd = ωn21 ξ− se conoce como frecuencia natural amortiguada. Se puede

observar que la respuesta transitoria tiene una frecuencia de oscilación igual a ωd que

varía con ξ. Además, nótese que si el sistema no es amortiguado, la respuesta oscila

con ωn. Para sistemas amortiguados la frecuencia que se observa experimentalmente

es ωd. la cual siempre es menor que ωn.

4.4.2 Sistemas críticamente amortiguados (ξ = 1)

( )2n

2n

s)s(u)s(Q

ω+ω

= Para una entrada escalón: ( )2

n

2n

ss)s(Q

ω+ω

=

Antitransformando resulta: Q(t) = 1 – e-ωnt (1+ωnt)

Se puede apreciar que esta respuesta no es oscilatoria y que se parece a la del

sistema de primer orden.


IV. RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS 4.4.3 Sistemas sobreamortiguados (ξ > 1)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−ξ

ω+=

−−

2

ts

1

ts

2n

se

se

121)t(c

21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ξ−ξω=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ξ+ξω=

1s

1s

2n2

2n1

donde s1 y s2 son las soluciones de la ecuación característica, o denominador de la

función de transferencia.

Esta respuesta incluye dos términos de caída exponencial. Cuando ξ >> 1 uno de los

dos términos se hace despreciable frente al otro. Para una solución aproximada se

desprecia |s1| >> |s2|

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ξ−ξω−

−=1t 2

ne1)t(c

4.4.4 Características de la respuesta de un sistema subamortiguado Al igual que para sistemas de primer orden es necesario caracterizar la respuesta para

sistemas de segundo orden. Para una entrada escalón se especifican los siguientes

parámetros:

a) Tiempo de crecimiento (tr): Tiempo en que la respuesta crece de un 10% a un 90%

de su valor final.

b) Máximo pico (Mp): valor de máximo pico medido desde el valor final.

c) Tiempo de pico (tp): Tiempo en alcanzar el máximo pico.

d) Tiempo de establecimiento (ts): Es el tiempo necesario para que la respuesta sólo

oscile entre un 2 o 5 % del valor final.

4.4.5 Especificaciones sobre la respuesta transitoria Para un sistema que presenta la siguiente función de transferencia los valores

característicos de la respuesta pueden expresarse en función de los parámetros de la

función.

( )22

2

2)(

nn

n

sssG

ωξωω

++=



Tiempo de crecimiento: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξω

ω−ω

=n

d

darctg1tr

Tiempo pico: dtp

ωπ

=

Máximo pico: Mp = (C(tp) – C(∞))/C(∞)

( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ξ−ξπ−πωξω− ==

2

dn1

eeMp

Tiempo de establecimiento: Criterio del 2% n

44tsξω

=τ=

Criterio del 5% n

33tsξω

=τ=

En la siguiente figura se puede observar la relación entre la solución de la ecuación

característica o polos del sistema y su respuesta transitoria.


V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS La función de transferencia G(s) puede ser representada como (s)f(s)fG(s) 21= , a

partir de la cual se puede decir que la respuesta del sistema dependerá de f1(s) y f2(s).

Las raíces de f1(s) se conocen como los ceros del sistema y las de f2(s) como los polos.

Además, f2 se conoce como la ecuación característica del sistema y define el

comportamiento dinámico del mismo. Más específicamente, las soluciones de dicha

ecuación definen el comportamiento dinámico del proceso, por lo tanto, si se desea

modificar la respuesta de un sistema, se lograría modificando la ecuación característica

del mismo. Para un sistema de control a lazo cerrado, donde G(s) y H(s) representan

las funciones de transferencia del proceso, al añadir un controlador en la línea se

podría modificar la ecuación característica de lazo cerrado (ECLC) y así obtener la

respuesta deseada.

+

-G(s)

)s(H

Gc(s)

)s(H)s(G)s(G1)s(G)s(G

)s(Gc

c

⋅⋅+⋅

=

)s(H)s(G)s(G1ECLC c ⋅⋅+=

La ubicación de dichos polos en el plano complejo define el comportamiento del

sistema, tal como se mostrará a continuación.

5.1 Sistemas de primer orden (Ecuación característica)

1sk)s(G

+⋅τ=

01s)s(f 2 =+⋅τ= s = -1/τ (polo del sistema)

El polo del sistema se representa en el plano como se muestra a continuación, donde

se representan los polos de tres sistemas distintos de primer orden.

τ1> τ2> τ3

Se puede apreciar que a medida que τ es mayor el

valor numérico del polo decrece y se acerca más al

eje real.

τ↓ Sistema responde más rápidamente y tarda

menos en establecerse.

τ↑ Sistema responde más lentamente y tarda más

en establecerse.



Se concluye que a medida que el polo del sistema se acerca al eje imaginario, el

sistema tarda más en establecerse, por lo que a dichos polos se les conoce como polos

dominantes del sistemas.

5. 2 Sistemas de segundo orden

2nn

2

2n

s2s)s(G

ω+ξω+

ω=

2

nn 1js ξ−ω±ξω−= (polos del sistema)

Si ξ<1, los polos son imaginarios y se pueden representar de la siguiente forma en el

plano S.

θ

ξωn

n21 ωξ−

ξξ−

=ω/⋅ξ

ω/ξ−=θ

2

n

n2 11

tg

ξωξωCosθ

n

n ==

En la siguiente figura se detalla las características de la respuesta transitoria de un

sistema de segundo orden subamortiguado, según la ubicación de sus polos.

σ

jω

Igualωn

IgualωdIgualξ

Igualξωn

xx

xx

x

x

x

x

Los sistemas cuyos polos se encuentran sobre las líneas punteadas comparten la

característica temporal señalada.

Ejemplo Para un siguiente sistema cuya, función de transferencia es la que se muestra a

continuación, se desea que usted calcule lo siguiente: 12s4s

1G(s) 2 ++=



a) Valor de ξ, ωn , Mp, ts 2%

Se debe reescribir la función de transferencia como

41s5.0s41G 2 ++

=

2ξωn =0.5 ωn2 = ¼

ωn = ½ → ξ = 0.5

A partir de los valores de ξ y ωn se calculan las características solicitadas.

164%2 ==

n

tsξω

16.0eM2ξ1

ξπ

p == −

−

b) ¿Cuáles serán las raíces del sistema para los casos en que ωd se duplique y se

cuatriplique sin variar el valor del amortiguamiento? ¿Cuál tendrá mayor rapidez?

¿Cómo variará Mp ?

Como ξ se conserva, a partir de allí se puede calcular ωn para los dos casos

ωd o = 0,433 ωd 1 = 0,866 ωd 2 = 1,732

1 2nd ξ−ω=ω

ωn 1 = 1 ωn 2 = 2

La rapidez de respuesta se relaciona con la cercanía al origen que tengan los polos del

sistema. A medida que se acercan al eje imaginario el sistema es más lento y

viceversa, de allí que se verifica el valor de ξωn.

ξωn1 = 0,5 ξωn2 = 1

El sistema dos tendrá mayor rapidez de respuesta, en cuánto al pico se tiene que Mp1 =

Mp2 debido a que Mp = f(ξ) y como ξ se conserva, entonces el pico no cambia.

Ejemplo Se tienen dos sistemas de segundo orden cuyas raíces se muestran en el plano “s” a

partir de allí se desea hacer una comparación entre ambos.

a) Se necesita un sistema que

alcance, lo más rápido posible, la

condición de equilibrio y cuyo

Mp sea menor del 5%. ¿Cuál

escogería A o B? -4

-2

0

2

4

-4 -3 -2 -1 0

AB

b) Si se desea aumentar ξ al doble para el sistema de mayor rapidez, manteniendo la



misma ¿Cuáles deberían ser las raíces?

Solución

a) PA = 3 PB = 2

τA = 1/3 τB = ½

El sistema A es más rápido pues está más lejos del eje imaginario, el máximo pico de

ambos sistemas es igual por tener el mismo ξ .

ξ = Cos θ = Cos 45º = 0,707 %32,410004325,0eM21

p =⋅== ξ−

ξπ−

⇒ Se escoge el sistema A

b) ξ = 0,707 y se desea ξ = 0,407. Como además se debe mantener la rapidez, la

parte real de la raíz se debe mantener igual, la cual es igual a ξωn. De allí se obtiene

el nuevo ωn.

ωn = 2ωno = )32(2 ⋅ = 34 2

nn2,1 1s ξ−ω±ξω−= → js 328.632,1 ±−=


VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE Al igual que las características de respuesta transitoria es importante analizar el error

que pueda tener un sistema ante una perturbación dada. Para un sistema a lazo

cerrado como el siguiente.

En forma general se puede escribir la función de transferencia del lazo directo como

( ))1)...(1()1()1)...(1()1()(

21 +⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅

==sssssssKsHsGFTLA

pN

mba

ττττττ

Donde SN representa un polo de multiplicidad N en el origen. Como se mencionó

anteriormente, dependiendo del valor de N se define el tipo del sistema. A medida que

N aumenta el sistema se hace más exacto (menos error) pero su respuesta transitoria

desmejora considerablemente. Para calcular el error se debe conocer su función de

transferencia respecto de la entrada, la cual se obtiene a partir del diagrama de bloque,

como sigue:

Y(s)X(s)E(s) −= → E(s)G(s)X(s)E(s) −= → )X(s)G(s)11(E(s)

+=

Utilizando el teorema del valor final, se puede encontrar el valor del error en estado

estacionario.

( ) ( ) ( )( )sGsRslímsEslímtelíme

sstss +⋅

=⋅==→→∞→ 1

00

Como el error forma parte de la respuesta de un sistema depende de la entrada a la

cual sea sometido el mismo. A continuación se calcularán los errores en estado

estacionario o estado estable para diferentes tipos de entrada.

6.1 Entrada tipo escalón

Para r(t) = R . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGlím11

s1

sG1slíme

0s0sss

→→ +

=⋅+

=

Kp se define como la constante de error de posición estática, cuyo valor dependerá del



tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de posición.

( ) ( )p

ssp0s K11e 0GKsGlím

+===

→

Para un sistema tipo 0,

K)...1s(s)...1s(KlímK

10

a

0sp =+⋅τ⋅+⋅τ⋅

=→

Para un sistema tipo 1 o mayor

Kp = ∞, N ≥ 1

6.2 Entrada tipo rampa

Para r(t) = R . t . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGs1

s1

sG1slíme 20sss ⋅

=⋅+

=→

Kv se define como la constante de error estático de velocidad cuyo valor dependerá del

tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de velocidad.

( )v

ss0sv K1e sGslímK =⋅=

→

Sistema tipo 0,

0)...1s(

)...1s(KlímK1

a

0sv =+⋅τ

+⋅τ⋅=

→

Sistema tipo 1,

K )...1s(s

)...1s(KslímK1

a

0sv =+⋅τ⋅

+⋅τ⋅⋅=

→

Sistema tipo 2 o mayor,

1)...s(τs1)...s(τKs

límK1

Na

0sv ∞=+⋅⋅+⋅⋅⋅

=→

6.3 Entrada tipo Parábola

Para r(t) = R . t2 . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGslím1

s1

sG1slíme 2

0s

30sss ⋅=⋅

+=

→→

Ka se define como la constante de error estático de aceleración, cuyo valor dependerá

del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de aceleración.

( )a

ss2

0sa K1e sGslímK =⋅=

→ Para un sistema tipo 0,

0)...1s(

)...1s(KslímK1

a2

0sa =+⋅τ

+⋅τ⋅⋅=

→

Para un sistema tipo 1,

0)...1s(s

)...1s(KslímK1

a2

0sa =+⋅τ⋅

+⋅τ⋅⋅=

→ Para un sistema tipo 2,

K )...1s(s

)...1s(KslímK1

2a

2

0sa =+⋅τ⋅

+⋅τ⋅⋅=

→

Para un sistema tipo 3 o mayor,

1)...s(τs

1)...s(τKslímK

1N

a2

0sa ∞=+⋅⋅

+⋅⋅⋅=

→



Resumiendo Constante de error Error con retroalimentación unitaria

Tipo de sistema Kp Kv Ka Escalón Rampa Parábola

0 K 0 0 ( )KR

+1 ∞ ∞

1 ∞ K 0 0 KR

∞

2 ∞ ∞ K 0 0 KR

3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0

6.4 Error a la perturbación Basándose en la siguiente figura, se considerará una perturbación P(s) al proceso y se

estudiará su efecto sobre el error.

La respuesta C(s) ante variaciones tanto en R(s) como en P(s) será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsCsPsGsRsGsC 2121 +=⋅+⋅=

Donde C1(s) es el componenete de la salida dado R(s) y C2(s) es el componente de la

salida dado P(s). El error del sistema para Gm = 1, será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tetete GtctcGtrte

Gtctctrte G tctrte

prm21m

m21m

+=→−−=+−=→−=

donde er(t) es el error a la referencia y ep(t) el error a la perturbación. Para el caso en el

que no exista perturbación ep(t) = 0.


VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES A continuación se enumeran ciertos aspectos resaltantes que identifican la importancia

del estudio de la estabilidad de un sistema.

Se clasifica en estabilidad absoluta y estabilidad relativa. La absoluta nos dice,

como su nombre lo indica, si un sistema es estable o no, en tanto que, la relativa, nos

indica en que grado un sistema es estable. Un sistema es estable (absolutamente) si la

salida regresa eventualmente a su estado de equilibrio cuando el sistema se somete a

una perturbación, y es inestable si la salida o bien oscila indefinidamente, o diverge sin

límite de su estado de equilibrio, cuando el sistema sufre una perturbación.

La estabilidad puede determinarse según la ubicación de los polos en el plano s.

Polos en el semiplano derecho implican una respuesta oscilatoria creciente y por tanto

se dice que el sistema es inestable. Polos a lazo cerrado en el semiplano izquierdo

indican que la respuesta alcanzará el equilibrio característico de un sistema estable.

La ubicación de los ceros no tiene efecto en la estabilidad del sistema, afecta sólo la

respuesta dinámica.

La estabilidad es una propiedad del sistema en sí y no depende de la entrada o

función excitadora del sistema.

Este criterio se puede aplicar a sistemas a lazo abierto (L.A.) y a lazo cerrado (L.C.).

Recordar que los polos de lazo abierto son diferentes a los de lazo cerrado ya que

ambas funciones de transferencia son distintas.

Un sistema a lazo abierto inestable puede o no generar un sistema a lazo cerrado

estable.



Para estudiar la estabilidad de sistemas lineales se puede utilizar un criterio conocido

como el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, el cual será descrito a continuación.

7.1 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Para un sistema o proceso que tenga la siguiente función de transferencia como la

siguiente, donde los coeficientes son constantes y m ≤ n, se debe factorizar A(s) para

verificar en que parte del plano s se encuentran sus raíces.

( )( )

( )( )sAsB

asa...sasabsb...sbsb

sRsC

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0 =+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅

=−

−−

−

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar la cantidad de polos que

se encuentran en el semiplano derecho plano s sin factorizar A(s), cabe destacar que

sólo aplica a los polinomios con cantidad finita de términos.

7.1.1 Procedimiento 1. Escriba el polinomio en s de la siguiente forma:

0... 11

1 =+⋅++⋅+⋅ −−

nnnn

o asasasa

en donde ai ∈ R. Suponemos que an ≠ 0, se elimina cualquier raíz cero.

2. Si alguno de los coeficientes es menor que cero, ante la presencia de al menos un

coeficiente mayor que cero, hay una raíz o raíces imaginarias o que tiene partes reales

mayor que cero. En tal caso, el sistema no es estable, si lo que se está analizando es

la estabilidad absoluta el procedimiento debe terminar aquí. (Condición necesaria pero

no suficiente)

3. Si todos los ai > 0, ordene los ai en filas y columnas de acuerdo al siguiente patrón: sn a0 a2 a4 …

sn-1 a1 a3 a5 …

sn-2 b1 b2 b3 …

sn-3 c1 c2 c3 …

. . . .

. . . .

. . . .

s1 h1 h2

s0 g1

donde

1

30211 a

.aa-.aab =

1

50411 a

.aa-.aab =

hasta que las restantes sean cero.

Se sigue el mismo patrón para las c, d,.., etc.

Finalmente, el arreglo completo es triangular

y se conoce como tabla de Routh-Hurwitz



En base al criterio de estabilidad se concluye lo siguiente:

1.

2.

El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual al

número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.

Condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación

característica se encuentren el semiplano izquierdo del plano s es que todos los

coeficientes de la ecuación característica y todos los términos de la primera columna

del arreglo sean mayores que cero.

Ejemplos 1) Verifique la estabilidad de un proceso cuya ecuación característica sea la siguiente:

a) 06s4ss 23 =++−

Tiene un ai < 0 → no todas las raíces están el en semiplano izquierdo, con lo

que es suficiente para concluir que el proceso es inestable, pero se planteará la tabla

solamente para ejercitarse.

6s05,2s164s11s

0

2

3

−

6

5,20).4(6.5,2

5,24

6.11.4

1

1

=−−

=

=−

−−=

c

b

Dos cambios de signo implican dos polos en el semiplano derecho.

b) 06s11s6s 23 =+++

como todos los ai son mayores que cero, se cumple la con condición necesaria pero no

suficiente, por lo que se realiza la tabla para concluir respecto a la estabilidad.

6s010s166s

111s

0

2

3

6

100.66.10

106

611.6

1

1

=−

=

=−

=

c

b

No hay cambio de signo, lo que implica que no hay raíces en el semiplano derecho, por

lo tanto el sistema es estable.

7.1.2 Casos especiales 1) Si alguno de los término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero

no los demás o no hay términos restantes, el término cero se sustituye por un número



positivo muy pequeño (un ε que tiende a cero) y se evalúa el resto del arreglo. Si el

signo del coeficiente por encima del cero (ε) es igual al signo que esta por debajo del

mismo, se deduce que existen un par de raíces imaginarias.

2) Si todos los coeficientes de cualquier fila son iguales a cero, existen raíces de igual

magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano, es decir, dos raíces con

magnitudes iguales y signo opuesto y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este

caso se forma un polinomio auxiliar (P(s)) con coeficientes del renglón que está justo

arriba del renglón de ceros. Dicho polinomio auxiliar, que siempre es par (potencias

pares de s), se deriva P(s) y se colocan sus coeficientes en la fila de ceros.

Ejemplo

a) 03s2s2ss 234 =++++

0

1

2

3

4

ss

0s021s321s

∞

∞=

=−

=

=−

=

1

2

1

31

0.13.1

01

2.12.1

c

b

b

se debe modificar el arreglo…

3s

03s

3s021s321s

0

1

2

3

4

ε

ε−

3

30,3.2

1

11

=

−=⇒→

−=

d

ccε

εε

ε

Hay dos cambios de signo, o sea, dos raíces en el semiplano derecho, lo que indica

que el sistema es inestable.

b) 04s7s8s84ss 2345 =+++++

0

1

2

3

4

5

s000s044s066s484s781s

64

4.17.4

64

8.18.4

2

1

=−

=

=−

=

b

b

4

60.44.6

46

6.48.6

2

1

=−

=

=−

=

b

c

0

04

4.66.4

2

1

=

=−

=

d

d



Se debe sustituir la fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar 44)( 2 += ssP

sds

sdP 8)(=

4s008s044s066s484s781s

0

1

2

3

4

5

No hay cambios de signo, o sea, no hay raíces en el semiplano derecho del plano s.

Resolviendo:

( ) js 1s 4s4sP 22 ±=⇒−=⇒+⋅= tiene dos raíces en el eje jω y es marginalmente estable.

El criterio de Routh-Hurwitz es muy útil cuando la ecuación característica que se desea

analizar tiene algún parámetro involucrado, de forma tal que se podrán conocer los

rangos del parámetro para el cual el sistema es estable.

Ejemplo

04s)2(s3s 23 =++++ kK La primera condición que se debe cumplir es que todos los coeficientes sean mayor

que cero, lo cual sucederá si y solo si K es mayor que cero. A partir de allí se debe

plantear el arreglo y verificar los posibles valores de K para que no ocurra ningún

cambio de signo en la primera columna de la tabla.

04s0s

043s21s

01

1

2

3

bK

K +

03

4)2(31 ≥

−+=

KKKb

Para obtener el valor límite de K se debe cumplir que b1 sea mayor o igual a cero en el

límite.

K ≤ -2,528 ó K ≥ 0,528

Debido a que la primera restricción es que K sea mayor que cero, entonces para que el

sistema sea estable se debe cumplir que K ≥ 0,528.


VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS VIII. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la

respuesta temporal de un sistema, los controladores a analizar son:

Proporcional (P)

Proporcional derivativo (PD)

Proporcional integral (PI)

Proporcional integral derivativo (PID)

Inicialmente se describirá el efecto que tiene cada uno de ellos sobre la respuesta

temporal del sistema y más adelante se plantearán dos metodologías para especificar

el valor de los parámetros del controlador, una de ellas fundamentada en la reubicación

de los polos del sistema a lazo cerrado y la otra será una sintonización empírica del

controlador. Cada tipo de controlador será introducido tal como se puede apreciar en el

siguiente sistema de control, a partir del cual se realizará el estudio aquí planteado.

8.1 Controlador Proporcional (P) Un controlador proporcional tiene una Función de Transferencia de la siguiente forma:

PC K(s)G =

KP, conocida como la ganancia proporcional, tiene su efecto tanto en la parte transitoria

como en la parte permanente de la respuesta transitoria, ya que la ecuación

característica del sistema a lazo cerrado será 1+ KPG(s)H(s) = 0, por lo tanto la

ubicación de los polos dependerá del valor de KP. En cuánto a la respuesta

permanente, el error del sistema depende de la ganancia a lazo abierto, a mayor

ganancia menor error. De allí, que se podrá diseñar el valor de KP tal que el sistema

cumpla con ciertos requisitos. Concluyendo, la introducción de un controlador

proporcional tiene influencia sobre las respuestas transitoria y permanente, pero

limitada.

8.2 Controlador Proporcional Derivativo (PD) En este caso la Función de Transferencia del controlador es de la siguiente forma:


VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

s)T(1K(s)G DPC +=


Al introducir dicho controlador en el lazo abierto, se presentará una modificación mayor

en la ecuación característica a lazo cerrado, que la introducida con un controlador

proporcional, tal que la reubicación de los polos dependerá de los valores de KP y TD.

Por ello, con este tipo de controlador se tendrá un mayor manejo de la respuesta

transitoria a lazo cerrado, en tanto que, la respuesta permanente solamente se verá

influencia por el valor de KP. Esto último se confirma al verificar que la ganancia del

sistema a lazo abierto no se ve afectada por el valor de TD. Resumiendo, se puede

concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los siguientes efectos sobre el

sistema, mejora apreciable de la respuesta transitoria y mejora del error similar a la

proporcionada por un controlador proporcional puro.

8.3 Controlador Proporcional Integral (PI) En este caso la Función de Transferencia del controlador es

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=

sT1s

K)sT

1(1K(s)G IP

IPC

Como se puede apreciar este tipo de controlador introduce, además de una ganancia

proporcional, un polo en el origen y un cero en el eje real. Su efecto sobre la respuesta

transitoria es relativamente negativo, pues desmejora la estabilidad relativa del sistema

a lazo cerrado, en tanto que, su efecto sobre la respuesta transitoria es una mejora

radical. Esto es debido a la introducción de un cero en el origen, lo que aumenta el tipo

del sistema.

8.4 Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) En este caso la Función de Transferencia del controlador es como se muestra a

continuación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=++=

s1sTsTT

TK

)sT

1sT(1K(s)G I2

ID

I

P

IDPC

Como se puede observar se añaden dos ceros y un polo en el origen a la función de

transferencia de lazo abierto, a través de lo cual se puede lograr un buen manejo de la

respuesta temporal y una mejora radical en la respuesta permanente. Lo primero se

alcanza gracias a la reubicación de los polos a lazo cerrado y lo segundo, proviene del

VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS aumento del tipo de sistema a lazo abierto. Es importante hacer resaltar que la

escogencia del tipo de controlador a utilizar dependerá de las condiciones o

restricciones preestablecidas para el sistema de control.


IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS Este método consiste en reubicar los polos a lazo cerrado de un sistema variando el

tipo de controlador a añadir y los parámetros del mismo. A continuación se mostrarán

algunos ejemplos de diseño, utilizando el método de reubicación de polos para

sistemas sencillos, los cuales ponen en evidencia el efecto que cada tipo de

controlador tiene sobre la respuesta a lazo cerrado.

Ejemplo Los helicópteros son inestables sin adecuados sistemas de control. A continuación se

muestra un esquema de control para el ángulo de avance, dada una referencia en la

posición de la varilla de control del helicóptero.

Diseñe un controlador (Gc(s)) tal que la respuesta tenga 0,707 ≤ �≤ 1 y un tiempo de

establecimiento al 2% menor o igual a 2. Especifique posibles rangos para los

parámetros del controlador.

Si además se requiere que el ess≤ 1 (ante una entrada tipo rampa), verifique si el

controlador escogido anteriormente cumple con esto y de no ser así diseñe uno nuevo.

En cada caso especifique claramente la función de transferencia del controlador, así

como, el rango para el valor de sus parámetros y unos valores particulares escogidos

por usted.

Controladores disponibles Proporcional Prop. Derivativo Prop. Intergral Prop. Intergral Derivativo

PC K(s)G = s)T(1K(s)G DPC += )sT

1(1K(s)GI

PC += )sT

1sT(1K(s)GI

DPC ++=

Solución Inicialmente se debe analizar la respuesta que tiene el sistema a lazo cerrado sin

introducir ningún controlador para verificar si cumple o no con las restricciones

impuestas.

De no ser así, se debe analizar que parte de la respuesta temporal, transitoria o


IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS permanente, no cumple con lo establecido, para iniciar el diseño en forma razonada.

Para ello, se debe revisar la Ecuación característica a Lazo Cerrado (ECLC) sin

controlador y verificar las restricciones.

ECLC (sin controlador)

0)2(

)05,0(101 2 =−+

+ss → → 05,482 =++ ss

5,4

822 =

=

n

n

ω

ξω

24≤=

nst

ξω → 2≥nξω Esta restricción se cumple

5,42 =nω → 12,2=nω → 88,1=ξ No cumple con la otra restricción.

Como se puede observar, el sistema no está muy lejos de cumplir ambas restricciones,

por lo tanto, como sólo se debe mejorar ligeramente la respuesta transitoria, se puede

intentar el diseño de un controlador proporcional. Dicho controlador, además de ser el

más sencillo, es también el más fácil de diseñar. Para ello, se introduce en la ECLC el

controlador escogido.

ECLC (Controlador Proporcional)

02)(s0,05)10K(s1 2 =

−+

+ → → 00,5K)4(2)s(10Ks2 =++−+0,5K4

210K22 +=

−=

n

n

ω

ξω

K > 0,2 (Criterio de estabilidad) → ξωn = 5K – 1 > 2 → K > 0,6 (obligatorio)

24≤=

nst

ξω → 215 ≥−= Knξω → K ≥ 0,2 Esta restricción se cumple

Ahora se escogerá un valor para ξ =1 y se verificará que valor de K cumple con todas

las restricciones.

ξ = 1 → ωn ≥ 2 → 4 + 0,5K ≥ 4 (para todo K ≥ 0)

Por lo tanto, si se escoge un controlador proporcional cuyo parámetro K sea mayor que

0,6 se cumplirá con el requerimiento de la estabilidad, del tiempo de establecimiento y

del ξ. Ahora, se verifica si se cumple con la restricción del error.

)45,0(11

11

KKe

Pss +

=+

= → 15,04

4≤

+=

Kess → K ≥ 0

Un controlador proporcional cuya ganancia sea mayor de 0,6 cumplirá todos los

requisitos.


IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Ejemplo Para un esquema de control como el mostrado a continuación se requiere que el error

ante un escalón sea cero y que el tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea

menor que 0.5 (considere una entrada escalón unitario).

Controladores disponibles

Proporcional Prop. Derivativo Prop. Integral Prop. Integral Derivativo

PC K(s)G = s)T(1K(s)G DPC += )sT

1(1K(s)GI

PC += )sT

1sT(1K(s)GI

DPC ++=

a) Calcule los parámetros del controlador escogido para que esto se cumpla.

b) Si además se solicitase que el sistema no tuviese sobrepico (ξ=1), verifique si

ésto se cumple con el controlador diseñado y de no ser así modifique el

controlador y calcule los nuevos parámetros.

c) Discuta el comportamiento del PID en este caso en cuánto a mejoras en el

estado estacionario y en la respuesta transitoria, sin realizar el diseño del

controlador.

Solución ECLC (Sin controlador)

2s + 3 = 0 → ts = 3τ = 2 → ess es finito ante el escalón

De allí se puede concluir que, el sistema original sin controlador no cumple, ni las

restricciones transitorias ni las permanentes. Se analizará que tipo de controlador se

debe añadir.

El controlador proporcional mejorara el ts pero el error no será cero, de igual manera

será con el controlador PD. El controlador PI, al aumentar el tipo del sistema, cumple

con el requerimiento del error, aún cuando desmejora la respuesta transitoria se

intentará diseñar este tipo de controlador utilizando la parte proporcional para manejar

la respuesta transitoria.

a) ECLC (con un Controlador Proporcional Integral)

012

2s

T1sK1 I

P =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

s → 0K2)K21(Ts2T PPI

2I =+++ s


IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

0TK

2)K21(

sI

PP2 =++

+ s → IPn

Pn

TK

K

=

+=2

5,02

ω

ξω


El único requerimiento que se debe cumplir es que el tiempo de establecimiento sea

menor o igual a 3, de allí que se verifica el valor que debe deben tener los parámetros

del controlador.

5,05,0

63≤

+==

Pns K

tξω

→ 5,012 +≤ PK → 5,11≥PK

Ti puede tener cualquier valor.

b) Si además se solicita ξ = 1 entonces se verificaran los valores de los parámetros del

PI en el límite. Se toma KP = 11.5, con lo cual se satisface el establecimiento y se

calcula un TI de forma tal que se cumpla con el ξ.

125,02 =+= Pn Kξω → 6=nξω → 6=nω

IPn TK=2ω → IIP TTK 5,1136 == → 3194,0=IT

c) Caso PID. Si se añade una parte derivativa se tiene que

ECLC (con controlador PID)

012s

2s

T1ss)T(1K1 I

DP =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++

0TK2)K21()sT2K(2 IPP2

DP =++++ s

De esta expresión para la ecuación característica se observa que es posible lograr un

mayor manejo de todos los términos de la ecuación, lo que fundamentalmente se

revierte en mayores posibilidades de manejo de la respuesta temporal.

X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID El diseño de controladores se realiza en función del conocimiento del proceso, es decir,

a partir del modelo del proceso y del esquema de control. Si no se dispone de la

información antes descrita se plantea el uso de reglas de sintonización para

controladores, PID, donde la función de transferencia del controlador PID es de la

forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=++=

s1sTsTT

TK

)sT

1sT(1K(s)G I2

ID

I

P

IDPC

Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia

proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td basados en las

características de respuesta transitoria de una planta dada. La determinación de los

parámetros de los controladores PID puede ser realizada por ingenieros en el sitio

mismo efectuando experimentación en la planta.

Hay dos métodos denominados reglas de sintonización de Cohen – Coon y Ziegler –

Nichols, fundamentados en la experimentación en los cuales se pretende obtener, a

lazo cerrado, un sobrepaso máximo del 25 %.

10.1 Método de Cohen – Coon (Reacción) En este método se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un

escalón unitario, como se muestra en la siguiente figura. Si la planta no incluye

integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al

escalón unitario puede tener el aspecto de una curva en forma de S, como se observa

en dicha figura, en el caso en que la curva no presente esta forma, no se puede aplicar

el método.

La curva en forma en S se puede caracterizar con dos parámetros, el tiempo del atraso

L y la constante de tiempo τ. El tiempo de atraso y la constante de tiempo se

determinan trazando una línea tangente a la curva en la forma de S en el punto de

inflexión y se determinan las intersecciones de esta línea tangente con el eje del tiempo


X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS y con la línea c(t) = K, como se muestra en la siguiente figura. Entonces la función de

transferencia C(s)/U(s) se puede aproximar por un sistema de primer orden con atraso

de transporte.

( )( ) 1s

eKsUsC sL

+⋅τ⋅

=⋅−

Una vez identificado los parámetros del proceso, se obtienen los parámetros del

controlador utilizando la siguiente tabla.

Tipo de controlador Kp TI Td

P τ/L ∞ 0

PI 0,9 τ/L L/0,3 0

PID* 1,2 τ/L 2L 0,5L

*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L

10.2 Método de Ziegler – Nichols (Oscilación Continua) En este método, primero se hace Ti = ∞ y Td = 0 y usando solamente la acción del

controlador proporcional, tal como muestra en la siguiente figura, se incrementa Kp

desde cero hasta un valor crítico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez

oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo

para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.

De esta forma se puede determinar experimentalmente la ganancia crítica Kcr y el

período correspondiente Pcr de las oscilaciones sostenidas, a partir de los cuales se


X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS calculan los valores de los parámetros del controlador PID tal como se muestran a

continuación.

Tipo de controlador Kp Ti Td

P 5Κcr ∞ 0

PI 0,45Κcr 1/1,2Pcr 0

PID* 5Κcr 0,5Pcr 0,125Pcr

*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/Pcr

Ejemplo Se solicita que se sintonicen los parámetros del siguiente controlador utilizando el

método de oscilación continua.

Solución Se debe calcular el valor de la ganancia critica (si existe). Para ello se utiliza el criterio

de estabilidad de Routh en la ecuación característica a lazo cerrado. Tomando la

función de transferencia del controlador como Gc(s) = Kp.

Ecuación Característica a Lazo Cerrado

08)4)(ss(s

K1 P =++

+ → 0K32s12ss P23 =+++

P0

11

P2

3

Ks0bs

K12s321s

→ 012

K-12.32b P

1 ≥= → 384Kcr ≤

Con dicho valor de Kcr se sustituye en la ecuación característica y se calcula la

frecuencia de la oscilación sustituyendo s = jω

Ecuación Característica a Lazo Cerrado

03843212 23 =+++ sss ωjs =

0)32()12384(03843212

22

23

=−+−

=++−−

ωωω

ωωω

jjj

Como la solución que se busca es una raíz cuya parte real es cero, se tiene que:


X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS

012384 2 =− ω 5.66ω32ω2 =⇒=


A partir de dicho valor de ω se puede calcular el Período Crítico, Pcr, como:

11.132

22===

πωπPcr

Con dichos valores de Kcr y Pcr se calculan los parámetros del controlador.

13875.0125.0555.05.0

4.2306.0

====

==

PcrTdPcrTiKcrKp

En la siguiente gráfica se muestran las simulaciones correspondientes a la respuesta a

lazo cerrado, sin controlador y con el PID sintonizado con los parámetros originales, así

mismo, dos simulaciones adicionales en las cuales se han modificado el valor de los

parámetros del controlador logrando mejoras sustanciales en las respuestas.

X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS


CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Para mejorar el control de un proceso puede ser necesario incluir diferentes tipos de

esquemas de control, los cuales logran efectos diferentes, sobre las variables a

controlar, de los que se obtienen cuando se introduce un esquema en retroalimentación

simple. Entre otros, los esquemas de control a estudiar serán los que se mencionan a

continuación:

- Esquema de control en cascada.

- Esquema de control de alimentación adelantada.

- Esquema de control de relación.

11.1. Esquema de control en cascada

Para un sistema de control de retroalimentación simple sólo se involucra una variable

medida y una variable manipulada en el lazo de control, tal como se muestra a

continuación, donde se plantea un lazo de retroalimentación simple para el control de la

temperatura del crudo a la salida del horno.

Este tipo de esquema mantiene la temperatura del horno, Y(s), en su valor de

referencia, R(s), pero es indiferente a las distintas perturbaciones que se presenten en

el proceso. Por ejemplo, si se presenta una perturbación en el flujo del gas, el esquema

de control de retroalimentación simple no tomará ninguna acción sino hasta que se

presente, a posteriori, una variación en la temperatura de salida. Añadiendo un

esquema de control en cascada se logra minimizar el efecto de dicha perturbación.

Para este ejemplo se puede resumir el efecto del esquema en cascada, sobre la

perturbación flujo de gas, como sigue: el valor de referencia para el flujo de gas viene

establecido por el control de temperatura, el cual decide que valor debe el flujo de gas


CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS para que la temperatura de salida se encuentre en el valor deseado. Para ello se mide,

de forma continua, el flujo de gas de forma tal que el esquema de control será sensible

ante variaciones en dicha perturbación y se tomará una acción de control antes de que

la variable principal a controlar sea afectada. En la siguientes figuras se muestran el

esquema de control en cascada para el horno y su correspondiente diagrama de

bloques.

Otro ejemplo en el cual se puede añadir un esquema de control en cascada es un

reactor con reacción exotérmica, en el cual se busca mantener constante la

temperatura T de la mezcla. En la camisa circula un refrigerante cuya temperatura TR

se considera una perturbación. La temperatura Ti también puede considerarse como

una perturbación. La única variable manipulada es el flujo de refrigerante FR.

El diagrama de bloques de este esquema de control de retroalimentación simple es

semejante al que se mostró anteriormente para el horno, donde R(s) será la

temperatura del reactor T y R(s) será la referencia de dicha temperatura.

En dicho lazo de retroalimentación se mide la temperatura T, se lleva al controlador,

donde se compara con la referencia y de allí se emite la acción de control que va a la

válvula manipulando FR. Este esquema de control no será muy efectivo si cambia TR,

pues el esquema de control sólo tomará una acción ante dicho cambio, cuando T se

vea modificada.


CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Una forma de mejorar dicho esquema, es medir la temperatura del refrigerante TR, y

tomar una acción de control antes de que el cambio en dicha temperatura tenga efecto

sobre la temperatura T, si TR aumenta se debe aumentar FR y viceversa. Este esquema

de control es una cascada, pues se minimiza el efecto de una perturbación interna al

lazo de retroalimentación simple, donde se miden dos variables T y TR y se tienen dos

lazos con una sola variable manipulada (FR), tal como se muestra a continuación.

(a) El lazo de control que mide T (variable principal), usa como referencia el valor de T

fijado por el operador.

(b) El lazo de control que mide TR (variable secundaria), utiliza la salida del controlador

primario como referencia y es llamado el lazo esclavo.

Para el caso de la perturbación en Ti no se puede utilizar un esquema de control en

cascada pues dicha perturbación no es interna al lazo de retroalimentación simple, para

ello se planteará un esquema diferente que se estudiará a continuación.

Los ejemplos mencionados anteriormente son esquemas muy comunes en procesos

químicos. El diagrama de bloques de un esquema de control en cascada, en forma

general, puede ser resumido como sigue:

El proceso tiene como salida C(s),variable principal a controlar, cuya referencia viene

establecida por R(s). El lazo principal tiene un controlador que compara el valor real de

C(s) con su referencia y fija el valor de la referencia para el lazo de control secundario,


CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS cuyo controlador compara la señal proveniente del medidor secundario, o perturbación

a minimizar, con el valor su referencia. Finalmente se ejecuta una acción sobre la

variable manipulada de forma tal que el valor de la variable principal a controlar y de la

secundaria se acerquen a sus valores de referencia.

Resumiendo, un esquema de control en cascada tiene como objetivo minimizar las

perturbaciones internas al lazo de retroalimentación simple. Además presenta una

mayor rapidez de respuesta ante dichas perturbaciones que un sistema de control con

sólo retroalimentación simple.

11.2. Esquema de control en alimentación adelantada (Feed- forward) Un esquema de control en alimentación adelantada mide la perturbación y toma acción

para reducir el efecto de dicha variable sobre la variable a controlar. La diferencia entre

este tipo de esquema y el anterior es que la alimentación adelantada se utiliza para

minimizar las perturbaciones externas al lazo de retroalimentación simple. En el

siguiente ejemplo se puede apreciar el efecto que se busca al añadir este tipo de lazo.

Lazo I: Esquema de retroalimentación simple en el cual se

controla la temperatura T, manipulando el flujo de vapor. En este

lazo de control si se tienen variaciones de Ti , el controlador no

toma ninguna acción, sino hasta que la temperatura T se vea

modificada.

Lazo II: Este sería un lazo en alimentación adelantada, el cual

toma una acción una vez que mide una variación en la

temperatura (Ti ) a la entrada.

En general, en los siguientes diagramas se puede mostrar la diferencia entre un lazo de

retroalimentación simple y un alimentación adelantada.

Controlador

Proceso Variable Manipulada

VariableControlada

Perturbación

Esquemas de control en Alimentación Adelantada

Controlador

Proceso VariableManipulada

VariableControlada

Perturbación

Esquemas de control en retroalimentación

Simple En estos diagramas se puede observar claramente que un esquema en

retroalimentación simple toma acción una vez que se haya modificado la variable a


CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS controlar, en tanto que, la alimentación adelantada toma acción en el momento en que

la varía la perturbación.

Entre otras cosas, se puede concluir que en un esquema de control en alimentación

adelantada la variable a controlar no es la variable a medir, además, el controlar debe

incluir la información relativa al sistema, (fundamentada en un modelo del sistema),

pues este debe conocer el efecto que tiene la perturbación sobre la variable a controlar.

Esto implica que este controlador no es convencional, sino particular según el sistema.

A medida que sea mejor el modelo del sistema, mejor será el controlador en

alimentación adelantada.

Resumiendo, se puede concluir que:

La señal medida no es la señal controlada.

El controlador no es un controlador convencional (P, PI, PID) sino que depende del

modelo del proceso.

Debido a que no es un modelo perfecto el controlador tendrá allí su mayor debilidad.

Este esquema pareciera perfecto, pues, se adelanta a tomar acciones de control en el

momento en que aparecen perturbaciones, pero, sería necesario identificar todas las

perturbaciones posibles, para así poder implementar tantos lazos como sea necesario,

lo que no es posible. Además, si hubiese algún cambio en un parámetro físico no podrá

ser compensado, pues no sería detectable.

Por todo lo anterior, lo mejor sería introducir un esquema de control que contenga

alimentación adelantada y retroalimentación a la vez cuyo Diagrama de Bloques se

muestra seguidamente.


CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS 11.3. Esquema de control de relación Se utiliza para controlar la relación entre dos flujos, los dos flujos son medidos, pero

sólo uno es manipulado. Se pueden mostrar dos configuraciones para el control de

relación, las cuales se muestran a continuación.

Esquema (a): Se miden ambos flujos y se obtiene su relación, se compara con la

relación deseada (referencia) y se manipula uno de los flujos.

Esquema (b): Se miden ambos flujos, se multiplica el flujo no controlado por la relación

deseada y se utiliza como referencia para un controlador de flujo que manipulará el otro

flujo para obtener el resultado deseado.

Este tipo de esquema es muy utilizado en diferentes procesos químicos como, Relación

entre dos reactantes, relación aire (combustible, etc.)


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