Introducción al Cálculo Simbólico a través de Mapleinn-edu.com/Maple/IntroduccionCS02.pdf ·...
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Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa
Ricardo Villafaña Figueroainn-edu.com
Introducción al Cálculo Simbólico a través de Maple
A manera de introducción, podemos decir que los lenguajes computacionales de cálculo simbólico son aquellos que permiten la representación y el manejo computacional de expresiones algebraicas.
=
=
Los lenguajes de cálculo simbólico trabajan con variables o letras tal como lo haría un profesor en un pizarrón o en notas de clases para demostrar algún teorema o derivar alguna fórmula matemática.
=
Su capacidad de cálculo se puede observar en la facilidad con que realizan operaciones algebraicas básicas como son: suma, resta, multiplicación, división y potenciación de monomios y polinomios.
=
Así mismo, tienen capacidades de simplificación, factorización y expansión de expresiones algebraicas.
simplify
= factor
Esta amplia gama de facilidades permiten al profesor disponer de una calculadora algebraica para acelerar cálculos o una herramienta didáctica para explicar o ejemplificar conceptos teórico- prácticos del álgebra.
El cálculo simbólico hace por el álgebra, por la trigonometría, por el cálculo y por el álgebra lineal lo que la calculadora científica hace por la aritmética.
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Además de las capacidades básicas mencionadas, los lenguajes de cálculo simbólicocuentan con una amplia gama de funciones matemáticas para solucionar sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales, encontrar raíces reales y complejas de polinomios.
solve for x
solve
Cuentan con herramientas, notaciones y símbolos que amplían su uso en la trigonometría, en la geometría analítica y en el cálculo integral y diferencial; proporcionando con esto un contexto pedagógico muy amplio para la explicación conceptual del álgebra, sus herramientas y sus consecuentes aplicaciones en las matemáticas, en la ingeniería y en las ciencias.
= 15
= 120
= 3
=
=
3
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Los lenguajes simbólicos tienen la capacidad de generar gráficas a partir de funciones o representaciones algebraicas.
x0 5 10
20
40
60
80
100
Esta capacidad de graficación permite al estudiante comprender más fácilmente las relaciones subyacentes entre la estructura matemática y su representación visual, al mismo tiempo que hace posible que el estudiante derive expresiones matemáticas a través de la visualización de una gráfica o viceversa (apropiación visual).
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La graficación también permite crear modelos cambiando el valor de los parámetros que generan las gráficas y con esto analizar y entender con mayor profundidad las relaciones entre cada parámetro y la gráfica que representa.
x0 5 10
20
40
60
80
La capacidad y flexibilidad de los lenguajes de cálculo simbólico se pueden ampliar continuamente a través de sus facilidades de programación y creación de bibliotecas de funciones matemáticas especializadas. Estas facilidades han hecho que lenguajes comerciales como Mathematica, Maple, Maxima y Mathcad se conviertan en verdaderos hitos de la computación moderna por sus amplias aplicaciones pedagógicas, de investigación y de aplicación en áreas tan diversas como la Biología, la Medicina, la Farmacia, la Genética y las Ciencias Jurídicas, entre otras.
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Representación simbólica o algebraicas de expresiones matemáticas
En un lenguaje de cálculo simbólico se utilizan los mismos símbolos que en el álgebra tradicional: variables, constantes, operadores aritméticos, operadores lógicos, signos de igualdad, desigualdad, etc. Con estos operadores representamos y realizamos operaciones algebraicas.
Ejemplos de representaciones y operaciones algebraicas:
Sumas y restas: =
=
Multiplicaciones y divisiones:
=
=
Ecuaciones:
Desigualdades: solución para x
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Resultados numéricos y simbólicos
Los lenguajes de cálculo simbólico tienen la capacidad de realizar tanto cálculos numéricos como simbólicos. Observe la diferencia en el cálculo de las siguientes expresiones:
Cálculo numérico: solución aproximada
Cálculo simbólico/ algebraico: solución exacta
Fracciones 2.142857143 = 157
Radicales 7.071067810 =
Factoriales = 2432902008176640000
En el cálculo numérico tenemos soluciones aproximadas. En el cálculo simbólico tenemos solucionesexactas.
En el siguiente ejemplo se muestra el resultado simbólico (exacto) de y su resultado numérico
aproximado a 50 decimales:
= 157
= 2.1428571428571428571428571428571428571428571428571
La representación exacta del número pi:
=
El número pi con 100 decimales:
= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986\
28034825342117068
Observe que los cálculos numéricos pueden llevarse prácticamente a cualquier precisión.
Nota.La función evalf evalúa expresiones numéricas y permite precisar el número de dígitos o decimales a
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Los lenguajes de cálculo simbólico como calculadora científica
Un lenguaje como Maple puede utilizarse como una calculadora científica:
Cálculos simples: = 8
= 7.0
Cálculos utilizando fórmulas o funciones:
= 5
=
= 0.6989700043
Cálculos complejos = 931.8400000
= 9.313432836
A continuación se muestran los principales operadores aritméticos y algunas de las funciones aritméticas-científicas de la biblioteca de Maple.
Operadores aritméticos
Suma
Resta
Multiplicación
División
Potencia
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Funciones de biblioteca:
Raíz cuadrada = 5
Valor absoluto = 5
= 5
Signo = 1
=
= 0
Parte entera = 5
Redondeo = 6
= 6
= 5
Parte fraccionaria
= 0.8
Truncado de un número
= 5
Menor de los enteros mayores del número dado
= 6
= 6
= 6
=
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Módulo (resto de la división entera de dos números dados)
= 1
Cociente entero (cociente de dos números dados)
= 3
Funciones trigonométricas
Seno =
Coseno =
Tangente = 1
Cosecante =
Secante =
Cotangente = 1
Exponencial = e10
Logaritmo neperiano
= 0
Logaritmo natural
= 1
Logaritmo en base b
= 12
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Los lenguajes de cálculo simbólico como calculadora algebraica
Operaciones algebraicas básicas
De manera general, Maple realiza y simplifica automáticamente las siguientes expresiones: Sumas, productos, cocientes y potenciasNúmeros racionales expresados en forma fraccionariaReducción de monomios semejantesExpresiones en los que pueda aplicarse la propiedad asociativa
Ejemplos de operaciones algebraicas básicas:
Suma y resta =
=
= x
Multiplicación y división
=
=
Potencias =
=
Combinación de operaciones =
=
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8. 8.
2. 2.
7. 7.
1. 1.
6. 6. 5. 5.
3. 3. 4. 4.
Operaciones/ transformaciones algebraicas avanzadas
Una expresión algebraica se puede representar de múltiples formas. Por ejemplo, la expresión
se puede representar como . Esta representación dependerá de la operación u operaciones que se deseen realizar con la expresión dada. Maple dispone de numerosas funciones para representar o transformar expresiones algebraicas. A continuación se muestran algunos ejemplos de estas funciones. Cada una de estas funciones se tratan con más detalle en la siguiente sección.
SImplificación (simplify)Expansión (simplify)Factorización (factor)Descomposición en fracciones simples (convert/ parfrac)Integración de fracciones bajo un denominador común (convert/ confrac):Agrupación de términos con respecto a una variable (collect)Combinación en un solo término sumas, productos o potencias (combine/ radical/symbolic)Seleccionando partes de una expresión algebraica (coeff/ degree)
Resultado devuelto sin el uso de la función
Resultado devuelto con la función
Simplificación algebraica (simplify): =
=
=
=
Expansión algebraica (expand):
=
=
=
=
Factorización algebraica (factor):
=
=
=
=
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Descomposición en fracciones simples(convert/ parfrac):
= 1 =
=
Integración de fracciones bajo un denominador común (convert/ confrac):
=
=
= 1
= 1
Agrupación de términos con respecto a una variable(collect):
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Combinación en un solo término sumas, productos o potencias
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Seleccionando partes de una expresión algebraica
Coeficientes
Definir el polinomio:
Coeficiente de la x elevado a la 2: = 3
Coeficiente de la x elevado a la 1: = 2
Coeficiente de la x elevado a la 0 (término independiente):
= 5
Todos los coeficientes: =
Exponentes (potencia mayor de una expresión algebraica)
Definir el polinomio:
Exponente de p: = 2
Definir el polinomio:
Exponente de p: = 3
Exponente de la variable x: = 2
Exponente de la variable y: = 3
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Simplificación de expresiones algebraicas (función simplify)
Transformaciones algebraicas para obtener la expresión más sencilla o simple de la expresión dada
Normalmente la simplificación de expresiones algebraicas se realiza de manera automática como se observa en los siguientes ejemplos:
=
=
=
Sin embargo, si intentamos simplificar la siguiente expresión tendríamos como resultado:
=
En estos casos es necesario utilizar el comando correspondiente de simplificación (simplify):
=
Simplificación de cocientes algebraicos:
=
=
Simplificación de radicales:
=
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Simplificación de raíces anidadas con la función radnormal:
=
Racionalización de expresiones con la función rationalize:
=
=
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Expansión de expresiones algebraicas (función expand)
Multiplicación de productos y potencias
Observemos el siguiente ejemplo:
Multiplicación directa:
=
Simplificación:
=
El método directo de la multiplicación y el método de la simplificación no desarrollan la expresión; la función expand sí lo hace:
=
Veamos otros dos ejemplos de expansión algebraica:
=
=
Ejemplos de expansión algebraica aplicada a binomios y trinomios:
=
=
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Expansión con suposiciones (uso de la función assume)
Consideramos la expansión de la siguiente expresión:
=
Observamos que el comando expand no regresa el resultado esperado. Para resolver este problema, hay que proporcionarle al sistema de cálculo más información respecto al dominio de la X; en este caso, que considere como dominio del valor de X todos los valores mayores o iguales a cero. Esta suposición se logra con la función assume, tal como se muestra en el siguiente ejemplo:
= x~
=
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Expansión de un coeficiente en fracciones parciales (función parfrac)
El comando parfrac separa y simplifica un cociente polinomial en fracciones parciales
El intentar simplificar el cociente con el comando expand devuelve el siguiente resultado:
= 1
En este caso, es necesario utilizar la función parfrac con la función convert para obtener el resultado deseado:
=
=
=
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Factorización de expresiones algebraicas (función factor)
Reducción a productos o factores
El comando factor se utiliza para reducir expresiones algebraicas a productos o factores.
Factorización de polinomios:
=
=
Factorización de diferencia de cuadrados:
=
=
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:
=
=
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Factorización de un trinomio de la forma:
=
=
Factorización de número enteros (función ifactor)
=
=
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Solución de ecuaciones (función solve)
La función solve se utiliza para obtener las soluciones de una ecuación del tipo
Una solución
Resolver la ecuación
= 2
Resolver la ecuación
=
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Dos soluciones
Resolver la ecuación
Resolver la ecuación
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Solución de un sistema de ecuaciones
solve({f1, f2, fn, () .. ()})
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con dos variables:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con tres variables:
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Solución gráfica de ecuaciones
Encontrar la solución gráfica de la ecuación
x0 5 10
5
10
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Encontrar la solución gráfica de la ecuación
x0 5 10
20
40
60
80
100
120
140
160
180
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Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones
x0 5 10
y
2
4
6
8
10
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Vectores, matrices y determinantes
Definición de un vector:
Operaciones con vectores
Número de elementos del vector:
= 5
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Acceso a los elementos del vector
Acceso al primer elemento del vector (los elementos se enumeran a partir del número uno):
= 5
Acceso al tercer elemento del vector;
= 1
Cada uno de los elementos que forman el vector:
Ordenamiento de vectores
Ordenamiento de menor a mayor de un vector:
=
Ordenamiento de mayor a menor de un vector:
=
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Sumatoria de los elementos de un vector
= 23
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Operaciones con matrices
Definir las matrices M1 y M2:
Suma y diferencia de matrices
Suma de matrices:
=
Resta de matrices:
=
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Producto de una matriz por un escalar
Multiplicar lmatriz M1 por 5:
=
Producto de matrices
Multiplicar las dos siguientes matrices (operador &*)
=
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Inversa de una matriz
Invertir la siguiente matriz y multiplicar el resultado obtenido por la matriz original:
=
=
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Acceso a los elementos de una matriz
Sea la matriz A formado por los siguientes elementos:
Acceder al elemento que se encuentra en la primera fila, primera columna:
= a
Acceder al elemento que se encuentra en la segunda fila, tercera columna:
= f
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Determinantes
Obtener el determinante de la siguiente matriz:
Cargar la biblioteca para el cálculo de determinantes:
= 0
Obtener el determinante de la siguiente matriz:
=
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Cálculo se sumatorias (función sum)
Sumatoria numérica de los primeros cinco números naturales:
= 15
Sumatoria simbólica de los primeros cinco números naturales:
=
Cálculo de productos (función mul)
Producto numérico de los primeros cinco números naturales:
= 120
Producto simbólico de los primeros cinco números naturales:
=
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Cálculo de límites (función limit)
Ejemplos básicos de cálculo de límites:
= 19
= 3
= 4
Cálculos del límite por la izquierda y por la derecha:
=
=
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Cálculo de derivadas (función diff)
Calcular la derivada de las siguientes expresiones y simplificar el resultado si es necesario:
=
=
=