Introducción al Cálculo

Guía Teórico Práctica

(Primera Parte)

Primer Cuatrimestre 2015

2

FUNCIONES

Definición de función. Terminología.

Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B (en símbolos, : A Bf ), es una correspondencia que a

cada elemento de A le asigna uno y sólo un elemento de B. El conjunto A, formado por los elementos que tie-

nen correspondiente, se llama dominio de la función y lo notamos Dom f. El conjunto B, que contiene a los

correspondientes, se llama codominio de la función y lo notamos Codom f.

Al elemento en Codom f que es correspondiente de un elemento x de A lo llamamos imagen de x y lo nota-

mos f(x). Por último, todos los elementos de Codom f que son imagen de algún elemento de A forman un

subconjunto denominado Imagen de f.

Ejemplo. En la siguiente sucesión de figuras,

vimos (CIU 2015, pág. 30) que hay una relación entre la posición que ocupa cada figura en la sucesión y la

cantidad de puntos que contiene. Esta relación se puede modelizar mediante la función:

2: A B, ( ) f f x x

Donde

A (dominio) es el conjunto de todas las posibles posiciones dentro de la sucesión (1; 2; 3; ⋯),

B (codominio) es un conjunto que contiene a todas las posibles cantidades de puntos necesarios pa-

ra armar cada figura (1; 4; 9; ⋯), aunque puede contener también otros elementos que no perte-

nezcan a la relación.

x (un elemento cualquiera del dominio) representa una posición genérica dentro de la sucesión,

2

( ) f x x es la correspondencia o regla de asignación que nos dice cómo calcular ( )f x a partir

de un valor cualquiera de x .

Ejercicio 1.

(a) ¿Cuál de los siguientes conjuntos numéricos es el dominio de f : , o ? Fundamentar.

(b) ¿Cuál de los siguientes conjuntos de números representa a la imagen de f ? Fundamentar.

1; 2 ; 3; 4 ; ; 50 ; 51; 52 ;A , 1; 4 ; 9 ;16 ; ;144 ;169 ;196 ;B , 2 ; 4 ; 8 ;16 ; ; 64 ;128 ; 256 ;C

Notación de función

También trabajamos en el CIU (pág. 32) con una notación que nos permite representar cualquier elemento

del dominio y su correspondiente imagen de manera compacta y precisa: la notación de función. Siguiendo

con la sucesión del ejemplo anterior,

(9) 81f

Se lee: “f de 9 es 81” o “la imagen de 9 es 81”. Significa, en términos de nuestro ejemplo, que para armar la

figura de la posición 9, hacen falta 81 puntos.

Ejercicio 2.

Siguiendo con la sucesión del ejemplo, traducir de notación de función a lenguaje coloquial:

(a) (11) 121f (b) ( ) 256f x (c) (10) 4 (5)f f

3

Ejercicio 3.

Siguiendo con la sucesión del ejemplo, traducir las siguientes expresiones de lenguaje coloquial a notación

de función. Decir si son verdaderas o falsas:

(a) La figura que está en la posición 20 tiene 400 puntos.

(b) La figura en la posición 8 requiere más puntos que la figura en la posición 2.

(c) La figura de posición 11 requiere 77 puntos menos que la de posición 14.

Variables dependientes, variables independientes

En nuestro ejemplo, la cantidad de puntos ( ( )f x ) que tiene una figura cualquiera de la sucesión, depende

de su posición ( x ). Por eso a ( )f x la llamamos variable dependiente. A x , por contraste, la llamamos varia-

ble independiente.

Ejercicio 4

Identificar en cada caso la variable independiente y la dependiente. Completar los espacios en blanco.

(a) El perímetro P de un cuadrado es función de la longitud L de sus lados: _____ = f(____) = 4 ∙ _____.

(b) La cantidad B de becas otorgadas es el 10% del total de alumnos A: _____ = g(____) = 0,1 ∙ _____.

Evaluar una función

Evaluar una función es determinar qué valor toma la variable dependiente, para un cierto valor concreto de

la variable independiente. Si conocemos la expresión algebraica de la función, por ejemplo: 2( ) 3 2g x x x

y queremos evaluarla para 4x , sustituímos la variable independiente x por el valor 4: 2(4) 4 3 4 2g

y obtenemos el correspondiente valor de la variable dependiente:

(4) 6g

También podemos evaluar una función a partir de su representación gráfica:

Ejercicio 5.

(a) Dada la función representada gráficamente a la dere-cha, evaluar: (5)f , (3)f , (1)f , y (0)f a partir del gráfico.

(b) Verificar analíticamente los valores hallados en (a), re-emplazándolos en la expresión algebraica de la función:

2( ) 6 6y f x x x .

Funciones y ecuaciones

A veces nos interesa conocer cuál o cuáles son los valores de la variable independiente que producen un

cierto valor particular de la variable dependiente. Para lograr esto necesitamos resolver una ecuación.

4

Ejercicio 6.

(a) Resolver las siguientes ecuaciones, a partir del gráfico del Ejercicio 5.

(a.1) 2( ) 6 6 3f x x x (a.2) 2( ) 6 6 2f x x x (a.3) 2( ) 6 6 6f x x x

(b) Verificar analíticamente la validez de las soluciones halladas.

Las funciones y el cambio

La Tabla 1 muestra la población P de una colonia de hormigas, al cabo de t meses de su comienzo.

t (meses) 0 3 6 9 12

P = f(t) 1000 2500 4000 7000 2800

Tabla 1

Para describir los cambios o variaciones en la población de hormigas, comparamos valores de la variable

dependiente P, para distintos momentos (distintos valores de la variable independiente t).

Variación en los primeros 6 meses (6) (0) 4000 1000 3000P f f hormigas

Variación entre el mes 6 y el 9 (9) (6) 7000 4000 3000 P f f hormigas

Variación entre el mes 9 y el 12 (12) (9) 2800 7000 4200 P f f hormigas

Usamos la letra griega (delta) para indicar variación.

Vemos que la variación en los primeros 6 meses de la colonia fue la misma que entre el mes 6 y el mes 9

(3000 hormigas más), aunque esta información no nos dice gran cosa acerca de la velocidad de crecimien-

to de la colonia. Para esto se suele calcular la tasa (o razón) promedio de cambio, que relaciona el creci-

miento de la población con el tiempo transcurrido:

Razón Promedio de Cambio en los primeros 6 meses 3000

500 /6

P hormigashormigas mes

t meses

Razón Promedio de Cambio entre el mes 6 y el 9 3000

1000 /3

P hormigashormigas mes

t meses

Vemos que, en promedio, la colonia crece el doble de rápido entre el mes 6 y el 9 que entre el mes 0 y el 6.

Cómo calcular la razón promedio de cambio

Cuando en una función ( )y f x la variable independiente cambia de un valor inicial ix a un valor final fx ,

tenemos:

Cambio de la variable independiente valor final de x – valor inicial de x f ix x x

Cambio de la variable dependiente valor final de y – valor inicial de y f iy y y

La razón promedio de cambio de una función ( )y f x entre ix x y fx x está dada por:

Razón promedio de cambio( ) ( )cambio en la variable dependiente

cambio en la variable dependiente

f i

f i

f x f xy

in x x x

5

Ejercicio 7.

Calcular la razón promedio de cambio de la función 2

( ) 6 6 y f x x x en los siguientes intervalos de la

variable independiente: (a) Entre 0 y 2 (b) Entre 2 y 4 (c) Entre 4 y 6.

Verificar los valores calculados de y usando el gráfico del Ejercicio 5. Relacionar los signos de los valores

obtenidos con el crecimiento o decrecimiento de la curva.

Ejercicio 8.

Para la colonia de hormigas de la Tabla 1:

(a) ¿Cuánto varió la población en los últimos 6 meses?

(b) ¿Cuál fue la razón promedio de cambio de la población para los últimos 6 meses?

Uso de unidades de medida para interpretar la razón promedio de cambio

Las unidades de medida de las variables nos ayudan a interpretar el significado de la razón promedio de

cambio en un problema determinado.

Ejercicio 9.

Una flecha se arroja verticalmente hacia arriba des-de la azotea de un edificio. Su altura a con respecto al piso, transcurrido un tiempo t , está dada aproxi-madamente por:

2( ) 100 40 5 , 0 10a f t t t t

(con a expresada en metros y t en segundos).

a) Representar gráficamente, en el par de ejes de la

derecha, la relación entre la altura de la flecha y

el tiempo transcurrido. Aclarar qué variable se

representa en cada eje.

b) Calcular la razón promedio de cambio de a entre

0t y 4t ; trazar en el gráfico los segmentos

que representan a t y a a .

c) Ídem ítem (b) entre 6t y 10t . ¿Por qué da

negativa?

d) ¿En qué unidades se mide la razón promedio de

cambio? ¿De qué magnitud física se trata?

Ejercicio 10 (repaso).

Dada la gráfica de una función, determinar la razón promedio de cambio entre los valores indicados. Trazar

en cada gráfica los segmentos que representan a x y a y .

Gráfica 1 Gráfica 2

6 LA FUNCIÓN LINEAL

Hay una gran cantidad de fenómenos y situaciones de la vida real que se pueden modelizar satisfactoria-

mente mediante una función lineal. Por eso, nuestro objetivo ahora es conocerla y manejarla. Vamos a estu-

diar un ejemplo de función lineal:

Ejercicio 11.

En una factura de electricidad se lee la siguiente información, correspondiente a una casa de familia en la que se consumieron 143 KW-h:

Descripción Cantidad (KW-h)

Valor unitario ($/KW-h)

Total ($)

Cargo fijo ----- ----- 40,00 Cargo variable por consumo 143,0 0,50 71,50 Importe Total ----- ----- 111,50

a) Calcular cuál sería el importe total (cargo fijo + cargo variable) correspondiente a un consumo de (a.1) 100 KW-h; (a.2) 150 KW-h.

b) Expresar la relación entre el consumo C y el importe total facturado I mediante notación de función. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál la independiente?

c) Escribir una expresión algebraica que permita calcular el importe total I para un consumo C cual-quiera.

d) Completar la siguiente tabla de valores y representar la función en el gráfico de la derecha.

Consumo C

Importe total I

0

25

50

75

100

125

150

e) Calcular la razón promedio de cambio I

C

, para valores de C entre: (e.1) 25 y 75 (e.2) 75 y 125

(e.3) 0 y 150. Marcar en los tres casos en el gráfico, los segmentos representativos de I y C .

f) ¿En qué unidades se mide la razón promedio de cambio? ¿Cuál es su interpretación práctica?

Toda función lineal se caracteriza por presentar una razón promedio de cambio constante. Esto quiere

decir que el cociente

R.P.C( ) ( )cambio en la variable dependiente

constantecambio en la variable dependiente

f i

f i

f x f xy

in x x x

,

va a dar siempre el mismo resultado para una función lineal determinada, independientemente del par de

valores ix ,

fx que elijamos para calcularla.

7 Ejercicio 12.

El gerente de Aguas Fueguinas perdió el archivo donde guardaba la información de costos de su empresa.

Necesita reconstruir una estructura aproximada de costos, que le permita estimar a cuánto va a ascender su

costo de producción, que llamaremos C , en función del volumen de agua que planea envasar, que llamare-

mos V . Conserva dos datos: en el mes de enero se envasaron 25.000 litros de agua de mesa, con un costo

total de $77.500, mientras que en el mes de febrero se envasaron 40.000 litros, con un costo total de

$100.000. Sabe, por experiencia, algo muy importante: la relación entre la cantidad de litros envasa-

dos y el costo total puede representarse satisfactoriamente mediante un modelo lineal.

a) Calcular el valor de la razón promedio de cambio

C

V , a partir de los datos de producción y costo de

enero y febrero. ¿En qué unidades se mide? ¿Qué representa, en términos del problema?

b) Sabemos que, por tratarse de un modelo lineal, la razón promedio de cambio se mantiene cons-

tante para cualquier par de valores de V y sus valores de C correspondientes. Utilizar esta informa-

ción para estimar el costo de producción de marzo, en el cual se planea utilizar la capacidad máxima:

50.000 litros.

c) Ídem b), para el mes de abril, durante el cual la planta va a estar cerrada por vacaciones, o sea 0V . Es-

te valor de C corresponde al llamado costo fijo, porque debe pagarse independientemente del volumen

envasado (principalmente sueldos, aportes y alquiler).

d) Encontrar una expresión explícita ( )C f V que permita estimar el costo de producción C de un mes

cualquiera, en función del volumen V a envasar ese mes. Verificar que la expresión obtenida es compa-

tible con los datos del problema.

e) Representar gráficamente ( )C f V (Escalas sugeridas: $10.000 : 1 cm y 5.000 litros : 1 cm). Repre-

sentar en el gráfico todos los datos y los resultados obtenidos en los ítems a) al d).

Ejercicio 13.

Una compañía puede vender 4.000 unidades de un cierto producto si fija el precio de venta por unidad en $2,50. Experiencias recientes indican que, si el precio de venta aumenta a $5,50 la demanda cae a 1.600 unidades. Suponiendo que la relación entre precio de venta y cantidad demandada es lineal:

a) Calcular el valor de la razón promedio de cambio

q

p , siendo q la cantidad demandada, expresada en

unidades, y p el precio por unidad, expresado en $. El signo de

q

p, ¿es positivo o negativo? ¿Por qué?

¿Qué interpretación se le puede dar al valor calculado, en los términos del problema?

b) ¿Qué cantidad demandará el mercado si el producto se ofrece a $4,00?

c) Hallar una expresión explícita que, a partir del precio de venta p , permita calcular la cantidad deman-

dada q . Verificar que la expresión obtenida es compatible con los datos del problema.

d) ¿Cuál sería la cantidad demandada si el bien fuera gratuito?

e) ¿A qué precio dejaría de haber demanda?

f) Representar gráficamente ( )q f p (Escalas sugeridas: 1.000 u : 1 cm y $1,00 : 1 cm). Representar en

el gráfico todos los datos y los resultados obtenidos en los ítems a) al e).

Ejercicio 14.

Determinar una ecuación de la forma

y m x b , para cada una de las

siguientes rectas. Comparar en cada

caso: (a) La razón promedio de cambio,

con el coeficiente m del término lineal,

y (b) la intersección entre la recta y el

eje y , con el término independiente b.

(i) (ii) (iii)

8 LA FUNCIÓN LINEAL (CONTINUACIÓN)

La familia de las Funciones Lineales

Las funciones lineales con las que trabajamos en los Ejercicios 11 a 14 pueden llevarse a la misma forma al-

gebraica:

y m x b , donde

m es la razón promedio de cambio de la función que, como ya dijimos, permanece constante para

una recta en particular.

b es la ordenada del punto donde la recta corta al eje y1 (también llamada ordenada al origen).

Al conjunto de todas las funciones lineales se las puede considerar como una familia de funciones, en la cual

cada miembro de la familia (cada recta en particular) se distingue de los demás porque tiene un valor ca-

racterístico de m y un valor característico de b .

Ejercicio 15.

Completar la siguiente tabla, comparando las funciones de los Ejercicios 11 a 13, con la forma genérica de la

función lineal: y m x b . Identificar en cada caso qué variable se corresponde con y , qué variable se co-

rresponde con x , y qué valores toman m y b .

Ejercicio Función y x m b

11 0,50 40I C

12 40000 1,50C V

13 6000 800 p q

Para tener presente:

La razón promedio de cambio de una función lineal es la pendiente de la recta asociada.

La razón promedio de cambio m de una función lineal

indica cuánto varía (crece o decrece) el valor de y, por

cada unidad que aumenta x. Desde el punto de vista

gráfico, m nos da la pendiente de la recta, que es una

medida de su inclinación.

Si 0m , la recta es creciente de izquierda a

derecha.

Si 0m , la recta es decreciente de izquierda a

derecha.

Si 0m , la recta es horizontal.

La pendiente de una recta vertical no está definida

(¿por qué?).

Recapitulando y generalizando Cómo obtener la expresión y m x b cuando se conocen dos puntos de una recta.

Paso a paso Ejemplo: Ejercicio 13 Caso general

a) Conocemos dos puntos pertenecien-tes a la recta:

(2,50; 4000)

(5,50; 1600)

;1 1

( )x y

;2 2

( )x y

b) Determinamos la razón promedio de cambio (o pendiente de la recta).

1600 4000800

5,50 2,50

qRPC m

p

2 1

2 1

y y yRPC m

x x x

1 Se llama ordenada de un punto del plano xy al valor de su coordenada y . Por ejemplo, la ordenada del pun-to (2; 5) es 5. Análogamente, se llama abscisa de un punto al valor de su coordenada x (en nuestro ejemplo, 2). El eje x es el eje de abscisas; el eje y es el eje de ordenadas.

9 c) Una vez calculado el valor de m, in-

troducimos las variables, sustitu-yendo un par de valores conocidos.

4000800

2,50

q

p

1

1

y ym

x x

d) Obtenemos una forma explícita de la función.

4000 800 2,50q p

800 800 2,50 4000q p

800 6000q p

11y y m x x

1 1y m x m x y

1 1

,y m x b

donde b m x y

Cómo obtener la expresión y m x b cuando se conoce un punto de una recta y la pendiente.

Si conocemos un punto 1 1( );x y que pertenece a la recta, y su pendiente m , usamos el procedimiento des-

cripto arriba, pero comenzando directamente desde el paso c).

Ejercicio 16: Entrenamiento y repaso.

Escribir una ecuación de la recta que cumpla las condiciones dadas. Usar la forma y m x b . Representar

gráficamente. a) Pasa por (2; 1) y (1; 6). b) Pasa por ( ̶ l; ̶ 2 ) y (4; 3). c) Ordenada al origen: ̶ 3; abscisa al origen: 1.

d) Pasa por (2; 3) ; su pendiente es 1. e) Pasa por ( ̶ 2; 4 ); su pendiente es ̶ 1. f) Ordenada al origen: 4; su pendiente es 2/3.

Casos especiales: rectas verticales y horizontales

Una ecuación de la recta vertical

que pasa por el punto ( );a b es:

x a . En este caso, la pendiente m

no está definida (tiende a infinito).

Una ecuación de la recta horizon-

tal que pasa por el punto ( );a b es:

y b (cuánto vale en este último

caso la pendiente m?).

Por ejemplo, en el punto (3;-2),

Y en un punto genérico (a;b),

Ejercicio 17.

Escribir una ecuación de la recta que cumpla las condiciones dadas. Representar gráficamente. a) Es horizontal; pasa por el punto ( ̶ 4; 7). b) Es vertical; pasa por el punto ( ̶ l; ̶ 2 ). c) Pasa por (4; 0); es paralela al eje x.

d) Pasa por ( ̶ l; ̶ 2); es paralela al eje y. e) Pasa por ( ̶ 3; 4); es perpendicular al eje x. f) Pasa por (0; ̶ 3); es perpendicular al eje y.

Rectas paralelas, rectas perpendiculares

Dos rectas no verticales son pa-

ralelas si y sólo si tienen la mis-

ma pendiente.

Por ejemplo, la recta 6 5y x

y la recta 6 9y x son parale-

leas, porque en ambos casos es

6m .

Dos rectas con pendientes 1m y

2m son perpendiculares si y sólo si

1 21m m , que equivale a decir:

21

1

mm

Un caso particular: una recta horizontal (pendiente nula) es

perpendicular a una recta vertical (pendiente no definida, tiende a

infinito).

Por ejemplo, la recta 6 5y x y la recta 1

64y x son

perpendiculares porque 1

6 16

.

10

Ejercicio 18.

Escribir una ecuación de la recta que cumpla las condiciones dadas. Usar la forma y m x b . Representar

gráficamente. a) Pasa por (2; 1); es paralela a 4 2y x .

b) Pasa por ( ̶ l; ̶ 2 ); es paralela a 3 2y x

c) Pasa por (2; 3); es perpendicular a 2 4y x .

d) Pasa por ( ̶ 3; 0); es perpendicular a 1

34y x .

Ecuaciones lineales

Cuando tenemos una función lineal y queremos determinar para qué valor de la variable independiente se obtiene un cierto valor de la variable dependiente, podemos plantear una ecuación lineal. Ejercicio 19.

(a) Para la función 0,50 40I C del Ejercicio 11, determinar analíticamente qué valor de consumo apa-

rece en una factura cuyo importe total es de $85,00. Verificar la validez de la solución hallada.

(b) Para la función 40000 1,50C V del Ejercicio 12, determinar analíticamente qué volumen de produc-

ción genera un costo total de $55.750. Verificar la validez de la solución hallada.

(c) Para la función 6000 800q p del Ejercicio 13, determinar analíticamente qué precio genera una

cantidad demanda de 4.944 unidades. Verificar la validez de la solución hallada. Sistemas de ecuaciones lineales

Cuando tenemos dos funciones lineales, y queremos determinar para qué valor de la variable independiente se obtiene el mismo valor de la variable dependiente en las dos funciones, podemos plantear un sistema de dos ecuaciones lineales. Ejercicio 20.

Una lámpara incandescente es más barata que una de luz fría que da la misma prestación, pero el consumo eléctrico de la lámpara incandescente es más alto. El costo total (en pesos) de adquisición y operación de cada lámpara, durante un período de t horas, está dado por las funciones

( ) 0,50 0,004f t t para una lámpara incandescente, y

( ) 5,00 0,001g t t para una lámpara de luz fría.

(a) ¿Para qué cantidad de horas de funcionamiento las dos alternativas tienen el mismo costo total? Verifi-car la validez de la solución hallada.

(b) Representar en un único par de ejes las dos funciones de costo total (Escalas sugeridas: 1cm : 1$ y 1cm : 250 h). Comparar la solución gráfica con la analítica.

(c) ¿Qué lámpara conviene comprar si el uso que se le va a dar es de 1000 h? Usar el gráfico para funda-mentar la respuesta.

Ejercicio 21.

La población de Campo Largo crece de acuerdo con la función ( ) 1500 1000f t t , donde t representa la

cantidad de años transcurridos desde su fundación. La población de Arroyo Verde, fundada el mismo año

que Campo Largo, evoluciona según la expresión ( ) 7500 3000g t t .

a) Determinar analíticamente cuánto tiempo pasó desde las fundaciones, hasta que ambas localidades tu-

vieron la misma cantidad de habitantes.

b) Representar en un único par de ejes las dos funciones de población (Escalas sugeridas: 1cm : 1000 habi-

tantes y 1cm : 0,5 años.). Comparar la solución gráfica con la analítica.

c) ¿Qué localidad tenía más habitantes a los 2 años de haber sido fundada? Usar el gráfico para fundamen-

tar la respuesta.

11

La función cuadrática.

Otra función muy utilizada para modelizar un gran variedad de fenómenos de la vida real es la función

cuadrática. Vemos un ejemplo en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 22.

La empresa L&C fabrica y vende un cierto artículo, para el cual la función de demanda está representada

por la expresión lineal ( ) 80 2p f q q , que permite estimar a qué precio p debe ofrecerse el artículo,

en función de la cantidad q que se desea vender. El encargado de ventas desea saber qué cantidad debe

vender, con el fin de maximizar sus ingresos totales por ventas.

a) Completar la tabla de la izquierda y representar ( )I g q en el sistema de ejes de la derecha.

Cantidad q

Precio ( ) 80 2p f q q

Ingreso por ventas ( )I g q p q

0

5

10

15

20

25

30

35

40

b) De acuerdo con el gráfico: (b.1) ¿Cuál es el máximo ingreso posible, y cuántas unidades hay que vender

para lograrlo? (b.2) ¿Para qué valores de q el ingreso por ventas I se hace cero?

c) A partir de la tabla, encontrar una expresión algebraica para ( )I g q que permita calcular el ingreso

por ventas I como función de la cantidad vendida q . ¿Es ésta una función lineal? Fundamentar la res-

puesta desde dos puntos de vista: gráfico y algebraico.

La familia de las Funciones Cuadráticas

Las funciones cuadráticas pueden expresarse algebraicamente como polinomios de grado 2: 2

( ) , , , , 0.y f x a x b x c con a b c constantes a

Al término 2a x se lo denomina término cuadrático o término principal, y al coeficiente a , coefi-

ciente principal.

Al término b x se lo denomina término lineal.

Al término c se lo denomina término constante.

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva denominada parábola, del tipo

de la representada en el Ejercicio 22 (a).

Al conjunto de todas las funciones cuadráticas se las puede considerar como una familia de funciones, en la

cual cada miembro de la familia (cada parábola en particular) se distingue de los demás porque tiene valo-

res característicos de a , b y c , respectivamente.

Ejercicio 23.

Para la función del Ejercicio 22 (c), identificar qué variable se corresponde con y , qué variable se corres-

ponde con x , y qué valores toman a , b y c .

12

Funciones cuadráticas: información básica.

Cuando trabajamos con una función cuadrática, necesitamos cierta informa-ción básica, que nos permite tener una idea general de su comportamiento. Desde el punto de vista gráfico, las pre-guntas básicas que suelen plantearse acerca de cualquier parábola que anali-cemos son: 1. ¿Cuál es su eje de simetría? 2. ¿Cuáles son las coordenadas de su

vértice? 3. ¿Es cóncava hacia arriba ( ) o hacia

abajo ( )? 4. ¿Cuál es la ordenada del punto donde

corta al eje y ? (En otras palabras,

¿cuál es su ordenada al origen?). 5. Si corta al eje x , ¿en qué punto/s lo

hace?

Es posible responder todas estas preguntas aún sin disponer del gráfico, si conocemos la correspondiente

expresión algebraica. Vamos a trabajar con la parábola representada en el gráfico de arriba y, paralelamen-

te con una parábola genérica.

Información básica Parábola genérica:

2( ) , 0y f x a x b x c a

Parábola del ejemplo: 2

( ) 2 4 6y f x x x

Coeficiente del término cuadrático:

a 2a

(No olvidar el signo) Coeficiente del término li-neal:

b 4b

Coeficiente del término independiente:

c 6c

Ecuación del eje de si-metría: 2

bx

a

41

2 ( 2)x

(Verificar en el gráfico).

Coordenadas del vértice:

El vértice está sobre el eje de si-metría, por lo tanto su coordenada x es

2v

bx

a

La coordenada y del vértice se ob-

tiene reemplazando x por vx en la

función: 2

)(v v v vy f x a x b x c

41

2 ( 2)vx

(Verificar en el gráfico).

2(1) 2 1 4 1 6 8

vy f

(Verificar en el gráfico).

Concavidad:

Si 0a , la parábola es cóncava hacia arriba ( ).

Si 0a , la parábola es cóncava hacia abajo ( ).

2 0a , por lo tanto la parábola es cóncava hacia abajo ( , verificar en el gráfico).

Ordenada al origen (orde-nada de la intersección con el eje y ):

Para cualquier curva (no sólo para la parábola) la intersección con el eje y se produce cuando 0x .

2(0) 0 0f a b c c

2(0) 2 0 4 0 6 6f

(Verificar en el gráfico).

13

¿Corta al eje x ?

Para responder esta pregunta sin recurrir al gráfico, debemos evaluar

el signo de la expresión 24b a c ,

llamada usualmente discriminante.

Si 24 0b a c la parábola no

corta al eje x .

Si 24 0b a c la parábola

corta al eje x en dos puntos.

Si 24 0b a c la parábola

corta (o toca) al eje x en un punto.

2 24 4 4 ( 2) 6 64 0b a c

Como el discriminante es mayor que cero, la parábola corta al eje x en dos

puntos. (Verificar en el gráfico).

Si corta al eje x , ¿en qué punto/s lo hace?

Si la parábola corta (o toca) al eje x ,

los puntos de intersección 1 2;x x ,

también llamados raíces o ceros de la función, se obtienen mediante las expresiones:

1

24

2

b b a cx

a

; y

2

24

2

b b a cx

a

Si el discriminante 24 0b a c ,

1 22

v

bx x x

a

1

4 64

2 ( 2)1x

2

4 64

2 ( 2)3x

(Verificar en el gráfico).

Ejercicio 24.

Responder las preguntas 1 a 5 de la página anterior, para la función 2

80 2 qI q del Ejercicio 22. Veri-

ficar las respuestas en el gráfico ya realizado.

Ejercicio 25.

Responder las preguntas 1 a 5 de la página anterior, para las funciones cuadráticas que se dan a continua-

ción. Realizar en cada caso un esquema de la parábola correspondiente, que muestre, como mínimo: eje de

simetría, vértice, concavidad, intersección con el eje y (y su simétrico), e intersecciones con el eje x (si

existen).

a) 2

2 2 12y x x b) 2

1 92 3 xy x c) 2

8 16xy x

d) 2

8 8 2xy x e) 2

2 4 4y x x f) 2

8 20y x x

g) 218

2y x h)

22y x

La función cuadrática en su forma factorizada

Como vimos en el CIU, los polinomios reducibles se pueden re-escribir como productos de polinomios de

menor grado. Considerando las funciones cuadráticas como polinomios de grado 2, es posible re-escribirlas

como producto de dos polinomios de grado 1, de la siguiente forma: 2

1 2) )( ) ( (y f x a x b x c a x x x x

Donde a es el coeficiente del término cuadrático, y 1 2,x x son las raíces de la función. Cuando el discrimi-

nante es menor que cero, y la parábola NO corta al eje x , el polinomio 2a x b x c es irreducible (no es

posible factorizarlo).

14 Ejercicio 26.

Reescribir en su forma factorizada, 1 2( () )y a x x x x , las funciones del Ejercicio 25 que tengan dis-

criminante no negativo. Verificar que la forma factorizada 1 2( () )a x x x x es equivalente a la forma

polinómica 2a x b x c

Ejercicio 27.

Cada uno de los gráficos de la derecha representa una función cuadrática.

(a) Si las funciones se escriben de la forma 2

y a x b x c , indicar en cada caso los respec-

tivos signos de a y c . (b) ¿Cuáles de estas funciones pueden representarse

de la forma factorizada 1 2( () )y a x x x x ?

(c) ¿En qué casos es 1 2x x ?

(d) ¿Cuáles son en cada caso, los respectivos signos

de 1x y 2x ? (Suponer que 1 2x x ).

Ejercicio 28.

El peso promedio de un bebé durante el primer año de vida es aproximadamente una función cuadrática

del tiempo. En el mes m , el peso promedio p , expresado en Kg, puede estimarse mediante

2( ) 0,02 0,8 3,6p m m m

(a) ¿Cuál es la interpretación práctica del valor 3,6 ? (b) ¿Cuál es el peso promedio estimado de un bebé

de un año? (c) Si el peso del bebé es de 7,4 Kg, ¿cuál debería ser su edad aproximada en meses, según esta

fórmula?

Ejercicio 29. Una jardinera desea duplicar el área de su jardín rectangular de 4m por 6m. Quiere agregar una franja de

ancho uniforme a los cuatro lados de su jardín. ¿Cuál debe ser el ancho de la franja?

Ejercicio 30. Una piedra se deja caer de la azotea de una torre. A los t segundos de haber sido soltada, está a una altura

2( ) 125 5h f t t (con h expresada en metros). (a) ¿Cuál es la altura de la torre? (b) ¿A qué altura se

encuentra la piedra al cabo de 3 segundos, y cuántos metros ha caído desde que se la soltó? (c) ¿Cuánto

tarda la piedra en llegar al piso? (d) ¿En qué momento pasa la piedra por el piso 12, ubicado a 55 m de al-

tura?

Ejercicio 31. Como vimos en el Ejercicio 22, la empresa L&C calcula sus ingresos totales en función de la cantidad de

artículos que vende: 2

( ) 80 2I g q q q . Sabiendo que sus costos totales pueden estimarse mediante la

función ( ) 300 10C h q q :

(a) Calcular para qué valores de q el ingreso total es igual al costo total. Verificar analíticamente.

(b) Representar ( )C h q en el par de ejes del Ejercicio 22. Verificar gráficamente la validez de los resulta-

dos hallados en (a).

Ejercicio 32.

Dada la parábola de ecuación 2

( ) 2 4 6y f x x x (ver Ejemplo previo al Ejercicio 24):

(a) Determinar analíticamente los puntos donde se corta con la recta de ecuación ( ) 2 6y g x x .

(b) Representar ( )y g x en el par de ejes del Ejemplo previo al Ejercicio 24. Verificar gráficamente la vali-

dez de los resultados hallados en (a).

15

La función homográfica

Ejercicio 33. Silvestre vende pan en una feria. Compra el kg de pan a $3, y lo vende a $6. El alquiler del puesto le cuesta

$60 por día, independientemente de cuántos kg venda.

a) Escribir una expresión algebraica para ( )I f q , que permita calcular el ingreso por ventas I , en fun-

ción de la cantidad q de pan vendido.

b) Escribir una expresión algebraica para ( )C g q que permita calcular el costo total C , en función de la

cantidad q de pan vendido.

c) ¿Cuánto pan se debe vender para que el ingreso por ventas cubra los costos totales? (En otras palabras:

¿cuál es la cantidad de equilibrio eq del negocio?). Resolver el problema en forma analítica.

Silvestre acaba de enterarse de que habrá un aumento del costo del pan, aunque todavía no sabe de cuánto.

Se pregunta cuánto pan deberá vender, para seguir cubriendo su costo total, cuando tenga que pagar más

de $3 por kg. (Aclaración: Silvestre NO puede aumentar el precio de venta, que en todos los casos sigue

siendo de $6 por kg).

d) Ídem (c), pero suponiendo que el costo del kg de pan (de aquí en más vc ) pasa a ser de $4.

e) Completar la tabla de la izquierda. ¿Puede describirse la relación entre vc y

eq mediante una función

lineal? Justificar la respuesta a partir del comportamiento de la razón promedio de cambio

e

v

q

c.

f) Representar la función ( )q h ce v en el sistema de ejes de la derecha.

Costo variable

vc

Cant. equilibrio

eq

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

5,50

5,75

6,00

g) Escribir una expresión algebraica para ( )q h ce v , que permita calcular la cantidad mínima de pan eq

que se debe vender, en función de vc , costo variable por kg. ¿Pertenece esta función a la familia de fun-

ciones cuadráticas? Justificar. h) Silvestre estima que podría vender unos 45 kg de pan por día. ¿Cuál sería en ese caso el máximo costo

variable vc que podría pagar por kg, sin perder dinero? Resolver analíticamente y verificar en el gráfi-

co. Ídem si pudiera vender 80 kg. i) Calcular cuánto pan se debería vender para cubrir el costo total, si el costo variable fuera de:

i.1) $5,85; i.2) $5,99; i.3) $5,9999.

j) ¿Existe alguna cantidad de pan a vender suficientemente grande como para cubrir los costos totales, si se compra el pan a $6,00?

k) Expresar el dominio y la imagen de la función ( )q h ce v mediante notación de intervalos.

16 A continuación vamos a trabajar con una función similar a la del Ejercicio 33, pero con un dominio más am-

plio que el requerido para estudiar el caso de Silvestre. Para evitar confusiones entre un contexto y el otro,

vamos a cambiar los nombres de las variables.

Ejercicio 34

a) Dada la función

60( )

6y f x

x

,

representarla gráficamen-te en el par de ejes de la derecha.

b) ¿Cuál es su ordenada al origen?

c) ¿Corta la curva al eje x ? ¿Por qué?

d) ¿Corta la curva a la recta vertical de ecuación 6x , que aparece en el gráfico? ¿Por qué?

e) Expresar el dominio y la imagen de ( )y f x en

notación de intervalos.

La familia de las funciones homográficas

Las funciones que acabamos de utilizar son miembros de una familia cuya forma genérica es:

( )a x b

y f xc x d

, con , , ,a b c d constantes.

A los miembros de esta familia se las llama funciones homográficas. Lo que distingue a un miembro de es-

ta familia de los demás, es qué valores toman en concreto las constantes , , ,a b c d . Las funciones homográfi-

cas se representan gráficamente mediante curvas denominadas hipérbolas.

Ejercicio 35 ¿Qué valores toman , , ,a b c d en el caso de i) 60

( )6

f xx

y ii) 60 3

( )x

f xx

?

Asíntota vertical

Si reescribimos la función del Ejercicio 34, en forma de producto, (6 ) 60y x , queda claro por qué el

valor 6x no pertenece al dominio de la función: el factor (6 )x tomaría en ese caso el valor 0, y no exis-

te ningún valor de y que, multiplicado por 0, dé 60 (por eso la división por cero no está definida).

La reescritura en forma de producto también pone en evidencia que, cuanto más se aproxime el valor de x

a 6, más pequeña va a ser la diferencia (6 )x , y por lo tanto más grande deberá ser y , para que el resulta-

do de la multiplicación siga siendo 60. En estos casos, decimos que la función 60

( )6

y f xx

, tiene una

asíntota vertical en 6x . Esta asíntota aparece trazada en el gráfico del Ejercicio 34.

Ejercicio 36

Hallar la ecuación de la asíntota vertical para una hipérbola genérica ( )a x b

y f xc x d

. (Sugerencia: deter-

minar para qué valores de x se hace 0 el denominador).

Asíntota horizontal y = 0

17 Asíntota horizontal

Reescribiendo una vez más la función del Ejercicio 34 en forma de producto, (6 ) 60y x , se observa

también que el valor 0y no pertenece a la imagen de la función, porque no existe ningún valor de x tal

que 0 (6 ) 60x .

La reescritura en forma de producto también pone en evidencia que, cuanto más se aproxime el valor de y

a 0, más grande deberá ser el factor (6 )x , para que el resultado de la multiplicación siga siendo 60. En es-

tos casos, decimos que la función 60

( )6

y f xx

, tiene una asíntota horizontal en 0y . Esta asíntota

también aparece trazada en el gráfico del Ejercicio 34, superpuesta con el eje x .

En el caso más general, la expresión ( )a x b

y f xc x d

, no puede tomar nunca el valor

ay

c , porque para

que esto ocurriera deberían ser simultáneamente 0b y 0d , y en ese caso la curva no sería una hipérbo-

la (¿por qué?). Vemos entonces que el valor a

yc

no pertenece a la imagen de la función: la función tiene

una asíntota horizontal en a

yc

.

Ejercicio 37

Hallar el valor de x para el cual la hipérbola genérica ( )a x b

y f xc x d

corta el eje x .

Ejercicio 38

Hallar el valor de y para el cual la hipérbola genérica ( )a x b

y f xc x d

corta el eje y .

Ejercicio 39

Para la función 2 8

( )2 4

xy f x

x

,

a) Determinar analíticamente: (a.1) La ecuación de su asíntota vertical. (a.2) La ecuación de su asín-tota horizontal. (a.3) Su abscisa al origen. (a.4) Su ordenada al origen.

b) Verificar analíticamente que, cuanto mayor es el valor de x considerado, más se aproxima

( )y f x al valor 2

12

a

c

c) Verificar en el gráfico la validez de los resultados de (a) y (b).

d) Determinar dominio e imagen de la función.

Ejercicio 40

Para cada una de las siguientes funciones: 6 12

( )6 3

xf x

x

6 12( )

6 3

xg x

x

6 12( )

6 3

xh x

x

6 12

( )6 3

xi x

x

Hallar:

(a) La ecuación de su asíntota vertical. (b) La ecuación de su asíntota horizontal. (c) Su abscisa al origen. (d) Su ordenada al origen. (e) Representar gráficamente las asíntotas y las intersecciones con los ejes. Trazar las hipérbolas.

(f) Indicar dominio e imagen.

(g) Verificar que, cuanto mayor es x , más se aproxima el valor de ( )y f x al valor a

c

18

La función homográfica – Segunda parte

En los Ejercicios 39 y 40 vimos cómo la función crece (o decrece) muy rápidamente, a medida que el deno-

minador se aproxima cada vez más a cero, mientras que el numerador no. En el caso límite, cuando el de-

nominador toma el valor cero, la función no está definida y aparece una asíntota vertical.

No todas las funciones homográficas tienen asíntotas

Un caso diferente se plantea cuando no solamente el denominador, sino también el numerador de la función,

se anulan ambos para el mismo valor de x . Veamos un ejemplo.

Ejercicio 41

Para la función 4 16

( )2 8

xy f x

x

:

a) Determinar el valor de x para el cual el denominador se hace 0.

b) Completar la siguiente tabla de valores:

x -10 -5 -4,1 -4,01 -4 -3,99 -3,9 -3 10

( )y f x

c) Representar gráficamente la función. Identificar en el gráfico, si existen: (c.1) ordenada al origen; (c.2) intersección con el eje x . (c.3) Asíntotas.

d) Expresar el dominio y la imagen de ( )y f x en notación de intervalos y en notación de conjuntos.

Simplificación

Cuando el numerador y el denominador se anulan para el mismo valor de x , existe necesariamente un fac-

tor común entre ellos, y es posible hacer una simplificación. En el caso del Ejercicio 41,

4 16 4 ( 4) 42

2 8 2 ( 4) 2

x x

x x

, siempre que 4 0x , es decir, que 4x .

Recordemos que, cuando simplificamos una fracción, estamos dividiendo el numerador y el denominador

por la misma expresión (en este caso, dividimos por 4x ). La restricción 4x se debe entonces a que,

como vimos, la división por 0 no está definida.

Funciones equivalentes, excepto en un punto.

La función 4 16

( )2 8

xy f x

x

coincide en todos sus puntos con la función ( ) 2y g x , excepto para

4x . Esto se debe que ( )g x está definida para 4x , mientras que ( )f x no. Por lo tanto estas dos

funciones no son exactamente iguales, aunque sus representaciones gráficas son casi idénticas. Como vimos,

la gráfica de ( )f x no tiene una asíntota vertical, sino un hueco, donde ( )f x no está definida.

Ejercicio 42

Decir cuáles de las siguientes funciones homográficas presentan asíntota vertical, y cuáles no. Fundamen-

tar. Representar gráficamente. Indicar dominio e imagen.

a) 2 4

( )2

xf x

x

b)

2 4( )

6 12

xf x

x

c) 2 12

( )6

xf x

x

d)

2 12( )

6

xf x

x

19 Resumiendo y generalizando:

Características principales de la función homográfica

Hipérbola genérica:

( )a x b

y f xc x d

Hipérbola del Ejercicio 39: 2 8

( )2 4

xy f x

x

Coeficientes ; ; ;a b c d 2; 8; 2; 4a b c d

(No olvidar el signo)

Ecuación de la asíntota vertical: d

xc

(2)

4

22x x

(Verificar en el gráfico).

Por qué aparece una asíntota vertical.

Cuánto más se acerca x al valor d

c , más se acerca el denominador

al valor 0, y más grande es el valor de la función resultante (positivo o negativo).

x no puede tomar el valor d

c , porque la división por 0 no está de-

finida. (d

xc

no pertenece al dominio de la función).

Ecuación de la asíntota horizon-tal:

ay

c (1)

21

2y y

(Verificar en el gráfico).

Por qué aparece una asíntota horizontal:

Cuánto más grande es el valor de x (positivo o negativo) más se

acerca la función al valor a

c.

y no llega nunca a tomar el valor a

c, por muy grande que sea el va-

lor de x considerado. (a

yc

no pertenece a la imagen de la fun-

ción).

Ordenada al origen (ordenada de la intersección con el eje y ):

Para cualquier curva (no sólo para la hipérbola) la intersección con el eje y se produce cuando 0x .

0(0)

0

a b by f

c d d

2 0 8 8(0) 2

2 0 4 4y f

(Verificar en el gráfico).

Abscisa al origen (abscisa de la intersección con el eje x ):

Para cualquier curva (no sólo para la hipérbola) la intersección con el eje x se produce cuando 0y .

( ) 0a x b

y f xc x d

bx

a

(1)

84

2x

(Verificar en el gráfico).

Ejercicio 43

Para cada una de las siguientes funciones: 4 8

( )8 2

xf x

x

6 2( )

2 3

xg x

x

12 6( )

6 3

xh x

x

1( ) i x

x

Hallar:

(a) La ecuación de su asíntota vertical. (b) La ecuación de su asíntota horizontal. (c) Su abscisa al origen. (d) Su ordenada al origen. (e) Representar gráficamente las asíntotas y las intersecciones con los ejes (un gráfico para cada función).

Luego trazar la curva correspondiente.

(f) Indicar dominio e imagen.

(g) Verificar que, cuanto mayor es x , más se aproxima el valor de ( )y f x al valor a

c

2 Siempre que el numerador y el denominador no se anulen simultáneamente para un mismo valor de x .

20

La función exponencial.

Ejercicio 44.

En una colonia de bacterias, compuesta inicialmente por 3 millones de individuos, la población se duplica

una vez por hora (ver esquema siguiente).

a) Completar la tabla de la derecha. b) Explicar por qué la población P no se

puede modelizar mediante una función li-neal.

c) ¿Cuánto vale el factor de variación

( )

( 1)

f t

f t ? ¿Depende de t ?

d) Escribir una expresión que permita calcu-lar la población en un tiempo cualquiera,

( )f t , a partir de la población existente

una hora antes, ( 1)f t . (A este tipo de

expresiones se las denomina recursivas). e) Obtener una expresión que permita calcu-

lar la población ( )P f t , a partir del va-

lor de t .

Tiempo (horas)

( )t

Población (millones)

( )P f t

Razón prome-dio de cambio

( ) ( 1)

( 1)

f t f t

t t

Factor de va-riación

( )

( 1)

f t

f t

0 ----- -----

1

2

3

4

5

f) ¿Cuál es la principal diferencia entre la expresión obtenida en (e) y las expresiones lineales y cuadráti-cas?

g) Representar gráficamente ( )P f t para las primeras 6 horas de vida de la colonia ( 0 6t ). (Escalas

sugeridas: 1 hora:1cm; 24 millones de bacterias:1cm). h) Calcular la cantidad de bacterias: (h.1) a las 3 horas y media; (h.2) a las 10 horas; (h.3) 2 horas antes

de haberse iniciado la medición (suponemos que la expresión hallada en el punto (e) es válida también para valores de t anteriores al inicio de la medición).

El cambio también puede expresarse mediante factores.

Muchas veces los cambios de cantidad se describen mediante factores, como en el Ejercicio 44, o como

cuando decimos, por ejemplo, “se triplicó la venta de entradas” (factor: 3), o “la demanda de corbatas cayó a

la mitad” (factor: 1/2).

Ejercicio 45.

Una propiedad vale inicialmente $950.000. Si el factor de variación anual es de 1,16, calcular el valor al cabo

de: (a) 1 año (b) 2 años (c) 7 años (d) t años (e) 1 año y 6 meses

Ejercicio 46.

Al ser tratada con lavandina, la población de una colonia de bacterias empieza a disminuir. La cantidad de

bacterias que sobreviven al cabo de t minutos está dada por la expresión 34

( ) 8000 t

N g t . Represen-

tar gráficamente la relación entre N y t, para Calcular la población para (a) 0 10 t

Así como usamos las funciones lineales para describir cantidades que varían con una razón promedio de

cambio constante, para las cantidades que varían según un factor de variación constante vamos a usar

las funciones exponenciales. Por ejemplo, para la colonia de bacterias del Ejercicio 44 vimos que

( ) 3 2t

P f t , donde

3 es el valor inicial y 2 es el factor de variación

21

Los procesos con factor de variación constante (sea éste mayor o menor que 1)

se modelizan mediante funciones exponenciales.

La familia de las funciones exponenciales

Todos los procesos de variación exponencial con los que vamos a trabajar en nuestro curso pueden mode-

lizarse mediante una función de la forma genérica:

( )t

y f t a b ,

donde a (valor inicial, 0a ) y b (factor de variación, 0b ) son ambos constantes.

Si se trata de un proceso de crecimiento es b > 1; si es de disminución, es b < 1)

Ejercicio 47.

Decir cuáles de las siguientes funciones son exponenciales. En ese caso, identificar el valor inicial y el factor

de variación. (a) 0,25 4t

y (b) 4

0,25y t (c) 4 0,25t

y (d) 0,25

4y t

Ejercicio 48.

Modelizar cada situación mediante una función exponencial. Decir en cada caso si se trata de una función

creciente o decreciente.

(a) La población P de una localidad es de 72.000 habitantes, y su factor de variación anual es de 0,95.

(b) El costo inicial C de un artículo es de $37, y su factor de variación anual es de 1,18.

Ejercicio 49.

¿Qué información podemos obtener de las siguientes expresiones algebraicas?

(a) 12 3t

N , donde N es la cantidad de bacterias en una muestra al cabo de t horas.

(b) 1500 1,02t

C , donde C es el valor de un depósito a plazo fijo al cabo t meses.

Ejercicio 50.

Los siguientes gráficos corresponden a funciones exponenciales. Deducir en cada caso una expresión alge-

braica correspondiente, y verificar en el gráfico la validez de la expresión hallada.

a)

b)

c)

d)

Dominio de las funciones exponenciales.

En el Ejercicio 44 (h.1) calculamos la población de bacterias para 3,5t y en (h.3) para 2t (los valores

negativos de t corresponden a valores anteriores al valor inicial). Como los ejemplos sugieren, la variable

independiente t puede tomar cualquier valor. Por eso, el dominio de las funciones exponenciales es el

conjunto de los números reales. Es decir que Dom = ℝ. (En consecuencia, las funciones exponenciales NO

tienen asíntota vertical, aunque su rápido crecimiento induciría a pensar que sí).

Imagen de las funciones exponenciales.

Como en la función ( )t

y f t a b , tanto a como b son mayores que 0, el producto ta b también será

siempre mayor que 0, aunque puede tomar valores tan cercanos a 0 como queramos. Por esta razón, las

22 funciones exponenciales presentan una asíntota horizontal en 0y , y la imagen de las funciones expo-

nenciales es el conjunto de los números reales positivos. Es decir que Im = ℝ+, o también Im = (0; ∞).

Ejercicio 51.

(a) Verificar numéricamente que, para valores positi-

vos cada vez más grandes de t, la función ( ) 3 0,5t

f t

toma valores cada vez más cercanos a 0.

(b) Verificar numéricamente que, para valores nega-tivos cada vez más grandes de t, la función

( ) 3 2t

y g t toma valores cada vez más cercanos a 0.

La función exponencial (continuación). Los procesos de variación (tanto crecimiento como decrecimiento) exponencial se describen, algunas veces,

mediante su factor de variación, y otras veces mediante su variación porcentual.

Relación entre factor de variación y variación porcentual.

En toda función exponencial ( )t

y f t a b , la relación entre el factor de variación b y la variación

porcentual r es:

1b r

Ejercicio 52.

Un girasol joven crece en altura 5% por día. (a) Si el día que comienza la medición su altura es de 15 cm, es-

cribir una expresión que describa la altura h del girasol, en cm, al cabo de t días. (b) Calcular la altura del gi-

rasol: (b.1) a los 4 días de iniciada la medición y (b.2) 3 días antes de iniciada la medición.

Ejercicio 53.

Un fragmento de metal radiactivo pesa 100 gramos, y pierde 1% de su peso por hora. (a) Escribir una ex-

presión que describa su peso p, en gramos, al cabo de t horas. (b) Calcular el peso del fragmento: (b.1) a las

9 horas, 45 minutos de iniciada la medición y (b.2) 6 horas, 15 minutos antes de iniciada la medición.

Ejercicio 54.

Calcular el valor final y el factor de variación correspondientes a cada una de las variaciones porcentuales

dadas en la siguiente tabla:

Valor inicial Variación

porcentual Valor final

Factor de variación

iV r fV f

i

Vb

V 1 rb

500 20%

500 2%

500 20%

500 2%

500 245%

Ejercicio 55.

Dar el factor de variación equivalente a cada una de las siguientes tasas de variación porcentual:

(a) 60% de aumento (b) 18% de disminución (c) 327% de aumento (d) 99% de dismi-

nución

( ) 3 0,5t

y f t ( ) 3 2t

y g t

23 Ejercicio 56.

Dar la variación porcentual equivalente a cada uno de los siguientes factores de variación.

(a) 1,052 (b) 0,76 (c) 3,55 (d) 0,04

Ejercicio 57.

Teniendo en cuenta que el factor de variación debe cumplir siempre la condición: 0b , ¿qué valores puede

tomar r ?

Ecuaciones exponenciales y logaritmos.

Ejercicio 58.

Un estudio sobre una colonia de hongos determinó que su biomasa se multiplica aproximadamente por 10

cada año. En el momento en que se iniciaron las mediciones ( 0t ), la biomasa de la colonia era de 1 kg.

a) Escribir una expresión ( )H f t que permita estimar la biomasa de la colonia, transcurridos t años.

b) Utilizar la expresión obtenida en a) para completar la siguiente tabla.

t (años)

0 0,25 0,50 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

( )H f t

(kg)

c) Estimar, a partir de la tabla anterior, cuánto tiempo debe pasar desde el inicio del estudio hasta que la biomasa de la colonia sea de c.1) 25 kg, c.2) 75 kg y c.3) 100 kg.

Para determinar cuánto tiempo debe transcurrir hasta que la biomasa alcance, por ejemplo, 25 kg, sin recu-

rrir a la tabla o al tanteo, necesitamos resolver una ecuación en la cual la incógnita es el exponente t :

10 25t

Para resolver esta ecuación utilizamos el concepto de logaritmo, que recordamos en el siguiente cuadro.

La igualdad

10 10 10 1000

Puede dar lugar a dos afirmaciones equiva-lentes:

Expresión coloquial Expresión simbólica

1000 es el resultado de elevar 10 a la tercera potencia, o

310 1000

3 es el exponente al cual hay que elevar 10 para que dé 1000.

103 log 1000

Vemos que la ecuación 10 25t es equivalente a esta otra:

10log 25t . La ventaja de este segundo planteo

es que 10

log 25 puede obtenerse directamente, y con mayor precisión, con una calculadora científica.

Ejercicio 59.

Resolver el Ejercicio 58.(c) utilizando la calculadora. Comparar los resultados obtenidos con los valores es-

timados a partir de la tabla.

Ejercicio 60.

Reescribir las siguientes ecuaciones exponenciales utilizando la definición de logaritmo y resolverlas con

calculadora. Verificar la validez de la solución hallada.

(a) 10 10000t

(b) 10 0, 0001t

(c) 10 2345t

(d) 10 10000 t

24 Ejercicio 61.

Reescribir las siguientes igualdades, usando exponentes en lugar de logaritmos. Verificar con la calculadora.

(a) log 10 1 (b) log 0,001 3 (c) log 0,328 0, 484 (d) log 380 2,58

Ejercicio 62.

Reescribir las siguientes ecuaciones, usando exponentes en lugar de logaritmos. Resolver.

(a) log 100 x (b) 1

log100

x (c) log 1 x (d) log 0 x

(e) log 1 x (f) log 10 x (g) 5log 10 x

Ejercicio 63.

(a) Calcular: (i) log7

10 (ii) log4,9

10 (iii) log0,05

10

(b) Hallar el valor de x que satisface la ecuación log

10 c

x utilizando la definición de logaritmo (c > 0).

Propiedades de los logaritmos

Para a > 0, b > 0 y cualquier valor de x se cumplen las siguientes propiedades:

(i) log (a ∙ b) = log a + log b (ii) log (a : b) = log a − log b (iii) log (ax) = x ∙ log a

Ejercicio 64.

Verificar: (i) log (3 ∙ 8) = log 3 + log 8 (ii) log (18 : 5) = log 18 − log 5 (iii) log (74

) = 4 ∙ log 7

Logaritmos de base distinta de 10.

Volviendo al Ejercicio 44, podríamos utilizar un logaritmo para responder a la pregunta: ¿cuánto tiempo

tardará la población de bacterias en alcanzar los 45 millones de individuos? Planteamos la ecuación:

3 2 45 t , equivalente a esta otra:

2 2

45log log 15

3

t . Surge un inconveniente: la calculadora permite

obtener en forma directa logaritmos de base 10, pero no de base 2. Esto se resuelve haciendo el siguiente

cálculo auxiliar, que permite obtener logaritmos en base 2 con la calculadora:

2

log 15log 15

log 2

En general, para obtener con la calculadora el logaritmo de un número cualquiera x en una base genérica

a , debemos hacer el siguiente cambio de base:

loglog

log

xxa a

Ejercicio 65.

Resolver las siguientes ecuaciones. Verificar la validez de las soluciones halladas.

(a) 5 20t (b) 100

x (c) 8 1,5 60,75

x (d) 40 15 6000

x

25

La función logaritmo

Definimos la función logaritmo de base a de la siguiente forma: logay

x y a x

Donde a es un número positivo distinto de 1. En otras palabras,

loga x es el exponente al que se debe elevar la base a , para obtener como resultado x .

Dominio e imagen de la función logaritmo. Representación gráfica.

En la figura se observa la representación gráfica de la función logy x , que permite visualizar las

siguientes características. Dominio e imagen de las funciones logarítmi-cas. la función logarítmica presenta una asíntota

vertical en 0x , y su dominio es el conjunto de los números reales positivos. Es decir que Dom = ℝ+, o también Dom = (0; ∞).

la imagen de la función logarítmica es el

conjunto de los números reales. Es decir que Im = ℝ. (Las funciones logarítmicas NO tienen asíntota horizontal, aunque el lento crecimien-to que se observa en la gráfica induciría a pen-sar que sí).