Introducción a Los Procesos Estocásticos

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA

DE MADRID MASTER EN AUTOMÁTICA Y ROBÓTICA

MADRID, 22 DE SEPTIEMBRE DE 2015

TÉCNICAS AVANZADAS EN EL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL GABRIEL VINICIO MOREANO SANCHEZ

NÚMERO DE MATRÍCULA: M15128 TRABAJO NUMERO 2

Técnicas Avanzadas en el diseño de sistemas de Control

INTRODUCCIÓN A LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS

1.- Objetivo:

Conocer un proceso estocástico, aprender a determinar si es estacionario o no, como

calcular sus características estadísticas y llegar a conocer si se trata de un proceso

ergódico, en caso afirmativo aprender a conocer el ruido blanco.

2.- Desarrollo teórico y práctico

De los datos entregados por el profesor se asume que ha registrado un determinado proceso obteniendo señales discretas de 2000 muestras cada una, y si organizamos los datos en forma matricial tenemos:

[

𝑋1(𝑘)𝑋2(𝑘)𝑋3(𝑘)𝑋4(𝑘)

⋮𝑋2000(𝑘)]

=

[

𝑋1(𝑘1)𝑋2(𝑘1)𝑋3(𝑘1)𝑋4(𝑘1)

⋮𝑋2000(𝑘1)

𝑋1(𝑘2)𝑋2(𝑘2)𝑋3(𝑘2)𝑋4(𝑘2)

⋮𝑋2000(𝑘2)

𝑋1(𝑘3)𝑋2(𝑘3)𝑋3(𝑘3)𝑋4(𝑘3)

⋮𝑋2000(𝑘3)

⋯⋯⋯⋯⋱⋯

𝑋1(𝑘2000)𝑋2(𝑘2000)𝑋3(𝑘2000)𝑋4(𝑘2000)𝑋5(𝑘2000)𝑋6(𝑘2000)]

El valor que estamos registrando en un instante de tiempo ti depende de la señal que

observemos, Xj (tr ) <> Xi (tr ), estas son variables aleatorias y el conjunto de los datos registrados provienen de un proceso estocástico o aleatorio. Podemos determinar que un proceso estocástico es una secuencia de variables aleatorias.

𝑋(𝑘) = {𝑋(𝑘1) 𝑋(𝑘2) 𝑋(𝑘3) … 𝑋(𝑘2000)} Si el proceso está completamente caracterizado podríamos calcular que valor toma cada variable aleatoria. Pero en la práctica es imposible calcular la función de densidad de probabilidad conjunta, es ese caso se utilizan los parámetros estadísticos clásicos. 2.1.- Cálculo de Medias y Varianzas A continuación se observan la ecuación que se utilizan cuando se conoce la función de densidad de probabilidad de X(kj ) y la ecuación que se utiliza cuando se conocen los valores que toma X(kj ) en infinitas realizaciones.


𝐸(𝑋(𝑘𝑟)) = ∫ 𝑋𝑓𝑋(𝑘𝑟)+∞

−∞

𝑋𝑑𝑥

𝐸(𝑋(𝑘𝑟)) = lim𝑛→∞

1

𝑛 ∑ 𝑋𝑘(𝑘𝑟)

𝑛

𝑘=1

Aplicando la ecuación para cuando se conocen los valores en infinitas realizaciones podemos construir el primer tramo del script para procesos estocásticos de la siguiente forma: 1.- Creamos un lazo de repetición que mantendrá fijo el instante de tiempo donde se espera calcular el valor medio de todas las muestras. 2.- Dentro del primer lazo se genera un segundo que variara el valor del K requerido, es decir, cambiara la muestra para poder realizar el sumatorio de valores. 3.- Cuando se genere el sumatorio el primer lazo terminara el cálculo para ese momento y cambiara de tiempo hasta el valor indicado. Veamos cómo se generó el script hasta aquí: X; r = 1; k = 1; suma = 0; for k = 1:2000 suma = 0; for r = 1:2000 suma = suma + X(k,r); end media(k) = suma / 2000; plot(media,'b.') end

EL resultado de Medias es un vector media(K) compuesto de 2000 valores, se puede observar la gráfica resultante en la figura 1. Para el cálculo de la función de varianzas se utilizan las siguientes ecuaciones:

𝜎2(𝑋(𝑘𝑟)) = 𝐸((𝑋(𝑘𝑟) − 𝐸(𝑋(𝑘𝑟))2) = ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋(𝑘𝑟))

2𝑓𝑋(𝑘𝑟)+∞

−∞

𝑋𝑑𝑥

𝜎2(𝑋(𝑘𝑟)) = lim𝑛→∞

1

𝑛 ∑(𝑋𝑘(𝑘𝑟) −𝐸(𝑋(𝑘𝑟))

2

𝑛

𝑘=1


Figura 1. Función de Medias

Para determinar la función de Varianzas solo hace modificar el script anterior añadiendo un lazo más de repetición que actúe de acuerdo a ecuación mostrada anteriormente, es decir, que para un k fijo restar el valor correspondiente de la muestra Xk para la media X(K) del instante de cálculo, el lazo de repetición añadido seria el siguiente: var2 = 0; for r = 1:2000 var1 = X(k,r) - media(k); var1 = var1^2; var2 = var2 + var1; end varianza(k) = var2 / 2000; plot(varianza,'b.')

Se vacía la variable var2 antes del lazo para no confundir los procesos, el resultado del cálculo de la función varianzas se observa en la figura 2 y se trata otro vector de 2000 elementos.

Figura 2. Función de Varianzas


2.2.- Procesos Estocásticos Estacionarios Formalmente, un proceso {X(k)} se denomina estrictamente estacionario si para cualquier T:

𝑓𝑥(𝑋(𝑘1), 𝑋(𝑘2)… . . 𝑋(𝑘𝑛)) = 𝑓𝑥(𝑋(𝑘1 + 𝑇), 𝑋(𝑘2 + 𝑇)… . . 𝑋(𝑘𝑛 + 𝑇))

Es decir los parámetros estadísticos en tj y ti = tj + T son iguales; por otro lado, un proceso {X(k)} se denomina débilmente estacionario si las funciones medias y varianzas con constantes. Seleccionamos una K inicial para comprobar si el proceso del ejercicio es estacionario o no, para ello tomamos una distancia d arbitraria y a fin de determinar este caso específico tomamos un k también arbitrario. Las condiciones a comparar en el siguiente script son las medias y varianzas tanto en k como en k + d. Escribimos un script donde se comparen los valores obtenidos de medias y varianzas. mediaKI = median(X(:,120)) varKI = var(X(:,120)) k2 = X(:,120) + 20; mediak2 = median(k2)- 20 vark2 = var(k2)

Para este fragmento del script observamos que se tomó como ejemplo una distancia d = 20 y un K inicial de 120, los resultados obtenidos son: mediaKI = 5.1808

varKI = 1.3433

mediak2 = 5.1808

vark2 = 1.3433

Para un segundo intento tomamos d = 15 y K inicial 480 con los siguientes resultados.

mediaKI = 4.9578

varKI = 1.3194

mediak2 = 4.9578

vark2 = 1.3194

Para ambos intentos los valores de varianza y media coinciden por lo que podemos

determinar que el proceso es débilmente estacionario.


2.3.- Covarianza y Ergodicidad Si el proceso es estacionario se pueden aplicar ecuaciones simplificadas de covarianza que estará netamente en función de las distancias de K que se tomen.

𝐶𝑥(𝑘1, 𝑘2) = lim𝑛→∞

1

𝑛∑(𝑋𝑘1 − 𝐸(𝑋𝑘1))(𝑋𝑘2 − 𝐸(𝑋𝑘2))

𝑛

𝑖=1

𝐶𝑥(𝑘1, 𝑘2) = 𝐶𝑥(𝑘1 + 𝑑, 𝑘2 + 𝑑)

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑑 = −𝑘1

𝐶𝑥(𝑘1, 𝑘2) = 𝐶𝑥(0, 𝑘2 − 𝑘1) = 𝐶𝑥(𝑖)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑖 = 𝑘2 − 𝑘1

Se pueden determinar las covarianzas con el siguiente script para obtener unas 50 medidas, es decir, para unas 50 diferencias (k2 – k1), la distancia d que se utilizó arbitrariamente es d = 50.

for i = 1:48 k1 = i * 40; k2 = k1 + 50; M1 = X(:,k1)- mean(X(:,k1)); M2 = X(:,k2)- mean(X(:,k2)); producto = M1.*M2; c = median(producto); cov(i) = c; end

Para determinar si el proceso es ergódico o no se realiza el límite de las covarianzas a partir de un k inicial, nos basamos en el script anterior y solo modificamos para tener un k inicial fijo para todas las distancias.

for i = 1:50 k1 = 40; k2 = k1 * i; M1 = X(:,k1)- mean(X(:,k1)); M2 = X(:,k2)- mean(X(:,k2)); producto = M1.*M2; c = median(producto); cov(i) = c; end

Se observa que nuestro k inicial es 40 y se van alargando las distancias hasta 2000, en la figura 3 podemos observar la evolución del límite de covarianzas y como tiende a cero gracias a ello podemos concluir que el proceso es ergódico.


Figura 3. Evolución de límite a infinito de covarianzas.

2.4.- Comprobación de la media Conociendo que el proceso es ergódico se puede realizar una verificación de la media utilizando el promedio de una sola realización.

𝑆 = 1

𝑁∑ 𝑋(𝑘)

𝑁

𝑘=1

aux = 0; for n = 1:2000 aux = aux + X(:,n); end

s = aux/2000; s = median(s)

s = 5.0008 De acuerdo al pequeño código desarrollado obtenemos la variable s que coincide con la media obtenida al inicio del ejercicio. 2.5.- Espectro de Potencia El espectro de potencia de un proceso de segundo orden estacionario es la transformada de Fourier de su covarianza.


Calculando el espectro de potencia y si es constante podremos determinar si se trata de ruido blanco o no, partiendo de las ecuaciones:

𝑆𝑥(𝜔) = ∑ 𝐶𝑥(𝑖)𝑒−𝑗𝑖𝜔𝑇

∞

𝑖= −∞

↔ 𝐶𝑥(𝑖) = 𝑇

2𝜋∫ 𝑆𝑥(𝜔)𝑒𝑖𝑗𝜔𝑇𝑑𝜔

𝜋𝑇

−𝜋𝑇

Ya que la covarianza es una señal par se deduce que:

𝑆𝑥(𝜔) = 𝐶𝑥(0) + 2∑𝐶𝑥(𝑖)cos (𝑖𝜔𝑇)

∞

𝑖=1

De acuerdo a la correlación se puede definir como:

𝑆(𝜔) = 1 + 2 ∑𝜎(𝑖)cos (2𝜋𝜔)

∞

𝑖=1

Desarrollamos el siguiente script únicamente definiendo los parámetros no existentes aun y los demás datos serán los obtenidos de los ejercicios anteriores. T = 0.01; aux3 = 0; aux2 = 0; for a = 1:50 fr = X(:,a)*T; w = 2 * pi * fr aux1 = cov(a) * cos(i*w*T); aux2 = 2 * aux1; aux3 = aux2 + 1.5; P = aux3; end

Al generar la gráfica del espectro de potencias se obtiene la figura 4.


Figura 4. Espectro de potencia del proceso estacionario de segundo orden

Al revisar la gráfica del espectro de potencias podemos observar que tenemos una gran cantidad de ruido pero que permanece constante dentro de ciertos límites por lo que se podría considerar ruido blanco. 3.- Bibliografía:

Transparencias de clase “Agustin Jimenez Avello”.

Procesos Estocásticos transparencias Universidad de Cantabria.

Introducción a Los Procesos Estocásticos

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