2. Diseño de experimentos 2.1 Diseños Factoriales (dos factores)
Introduccion a los diseños factoriales
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INTRODUCCION A LOS DISEÑOS FACTORIALES
SEMANA 71
2
Diseños Factoriales
Referencia en el Texto: Capítulo 5
Principios generales de los experimentos factoriales
El factorial con dos factores con efectos fijos
La ANOVA para factoriales
Extensiones a más de dos factores
Factores Cuantitativos y Cualitativos - curvas y
superficies de respuesta
3
Diseños Factoriales
1. Principios básicos
2. Diseño factorial general
3. Superficices de respuesta
4. Bloques en factoriales
Diseños Factoriales
El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés en todos los factores
Los factores pueden ser cualitativos, cuantitativos o mixtos
Es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada factor.
En el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones
4
Definiciones Básicas
Definición del efecto de un factor: El cambio en la respuesta promedio cuando el factor es cambiado de nivel bajo a alto.
40 52 20 3021
2 230 52 20 40
112 2
52 20 30 401
2 2
A A
B B
A y y
B y y
AB
Efecto de la
Interacción Baja
Líneas paralelas
5
El caso de la Interacción
50 12 20 401
2 240 12 20 50
92 2
12 20 40 5029
2 2
A A
B B
A y y
B y y
AB
Efecto de la
Interacción Alta
Efecto de A depende del nivel que se elige para el factor B
Líneas se intersecan
6
Un vendedor de plástico para empaques flexibles esta ayudando a uno de sus clientes, el que reclama que el plástico que este le vende, no sella bien.
La forma de medir este sello es por medio de la fuerza requerida para separarlo, y las unidades con las que esto se mide son: gramos entre centímetros cuadrados.
Problema
Diseños Factoriales (Ejemplo)
7
Diseños Factoriales (Ejemplo)
El proceso de sellado
8
De acuerdo con su experiencia, el vendedor considera que el cierre de este material depende de las siguientes características: Temperatura Presión Grueso del plástico Tiempo de sellado.
Y ha definido las siguientes variables para realizar un experimento.
Diseños Factoriales (Ejemplo)
9
Variable respuesta: Y: fortaleza del sello (gr/cm2)
Factor Nivel alto
(+1)Nivel bajo (-1)
Temperatura (°C) 300 250
Presión (psi) 100 80
Grueso del material Pulgadas)
0.03 0.02
Tiempo sellado (s) 0.2 0.1
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Ho: efecto de temperatura = 0H1: efecto de temperatura 0…
A esto se le conoce por matriz de arreglo factorial
10
Temperatura Presión Grosor Tiempo Fuerza
-1 -1 -1 -1 150
-1 -1 -1 1 158
-1 -1 1 -1 141
-1 -1 1 1 163
-1 1 -1 -1 160
-1 1 -1 1 164
-1 1 1 -1 147
-1 1 1 1 168
1 -1 -1 -1 153
1 -1 -1 1 159
1 -1 1 -1 149
1 -1 1 1 160
1 1 -1 -1 170
1 1 -1 1 163
1 1 1 -1 171
1 1 1 1 178
Se realiza el experimento en la planta del cliente y se obtuvo los siguientes datos
Promedio temperatura baja: 156.38
Promedio temperatura alta: 162.88
Diseños Factoriales (Ejemplo)
11
Diseños Factoriales (Ejemplo)
12
153
Temperatura alta
159
149
160
170
163
171
178
162.88 Promedio
150
Temperatura baja
158
141
163
160
164
147
168
156.38 Promedio
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Efecto de un factor: es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor.
El efecto de “Temperatura”= 162.88 – 156.38 = 6.5
Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores
13
Diseños Factoriales (Ejemplo)
14
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura
Presión Fuerza
1 -1 153
1 -1 159
1 -1 149
1 -1 160
155.25
15
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura
Presión Fuerza
-1 -1150
-1 -1158
-1 -1141
-1 -1163
153
16
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura
Presión Fuerza
-1 1160
-1 1164
-1 1147
-1 1168
159.75
17
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura
Presión Fuerza
1 1 170
1 1 163
1 1 171
1 1 178
170.5
18
Principios Básicos
Estudios de los efectos de dos o más factores
En cada ensayo o réplica se estudian todas las
posibles combinaciones de los niveles de los factores
Diseños factoriale
s
19
Principios Básicos
Son ampliamente utilizados y de gran valor cuando se sabe poco sobre los niveles óptimos de los factores o no se sabe qué factores son importantes.
De gran valor en campos de estudio donde se sabe que la interacción de los factores es importante.
20
Ventajas y Desventajas
Ventaja de los diseños factoriales
Permite obtener más información que en un experimento de un
solo factor, se estudian efectos principales, efectos cruzados y
de interacción de los factores.
Desventaja de los diseños factoriales
Se requiere un mayor número de unidades experimentales que
en experimentos con un solo factor.
Se obtendrán resultados de combinaciones que pueden no ser
de interés para el investigador.
El análisis estadístico y la interpretación de resultados es más
complicada.
21
Definición del experimento factorial
Un experimento factorial queda definido
por el número de factores y niveles de
cada factor.
Un experimento con 3 niveles del factor
A, 4 del factor B y 2 del factor C, puede
ser denotado por:
3A4B2C
3X4X2
22
Tipos de interacciones
Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores
Efecto simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de los demás factores
Efecto de Interacción: Está dado por la variación que tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a otro de otro factor
Efecto cruzado: Esta dado por las combinaciones cruzadas de dos factores.
Veamos de que se trata…
23
Tipos de interacciones
Ejemplo: Datos de un experimento factorial 2x2
Niveles factor A
a1 a2
Niveles factor B b1 b2 b1 b2Medias 54 38 45 56
24
Tipos de interacciones
Niveles factor A
a1 a2
Niveles factor B b1 b2 b1 b2Medias 54 38 45 56
25
Tipos de interacciones
+
26
Tipos de interacciones
27
Tipos de interacciones
Cada línea corresponde a un efecto simple, y la interacción puede notarse cuando las líneas tienen
pendientes diferentes.
Recuerde: Efecto de interacción sobre la variable de respuesta es el que se produce cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro.
28
Tipos de interacciones
Ejemplos en los que NO hay interacción
29
Modelo de Regresión y la Superficie de Respuesta Asociada
0 1 1 2 2
12 1 2
1 2
1 2
1 2
The least squares fit is
ˆ 35.5 10.5 5.5
0.5
35.5 10.5 5.5
y x x
x x
y x x
x x
x x
30
El efecto de la Interacción en la Superficie de Respuesta
1 2
1 2
ˆ 35.5 10.5 5.5
8
y x x
x x
Suponer que se añadió un término de interacción al modelo:
Interacción es en realidad una forma de curvatura
31
Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un
dispositivo que se someterá a temperaturas extremas. El
único parámetro de diseño es el material de la placa o ánodo
de la batería.
El ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas a las
que operará el dispositivo, pero las puede controlar en el
laboratorio, para efectos de experimentación.
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)
32
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)
A = Tipo Material; B = Temperatura
1. Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura en la vida útil?
2. Existe una escogencia de material que daría larga vida, a pesar de la temperatura (un producto robusto) ?
33
El Experimento General de Dos Factores
a niveles de factor A; b niveles de factor B; n réplicas
Este es un diseño completamente aleatorizado
34
El Experimento General de Dos Factores
Modelo estadístico (efectos): 1,2,...,
( ) 1, 2,...,
1, 2,...,ijk i j ij ijk
i a
y j b
k n
Otros modelos (modelo de medias, modelo de regresión) pueden ser útiles
35
Extensión de ANOVA a Factoriales (Caso de Efectos Fijos) – pg. 178
2 2 2... .. ... . . ...
1 1 1 1 1
2 2. .. . . ... .
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b n a b
ijk i ji j k i j
a b a b n
ij i j ijk iji j i j k
y y bn y y an y y
n y y y y y y
breakdown:
1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)
T A B AB ESS SS SS SS SS
df
abn a b a b ab n
36
Tabla ANOVA – Caso Efectos Fijos
Texto da detalles del cálculo manual – ver pp. 180 & 181
37
Fuentes de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad
Cuadrado Medio F0 Valor P
Tipos de Materiales SSA 10683.72 a-1 2 5341.86 7.91 0.002
Temperatura SSB 39118.72 b-1 2 19559.36 28.97 0.0001
Interacción SAB 9613.78 (a-1)(b-1) 4 2403.445 3.56 0.0186
Error SSE 18230.75 ab(n-1) 27 675.212963
Total SST 77646.97 abn-1 35
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)
38
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) Resuelto con Minitab
Se debe definir la interacción de las variables en el modelo (A*B)
39
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
Modelo lineal general: Vida de la batería vs. Tipo de Mate, Temperatura Factor Tipo Niveles ValoresTipo de Material fijo 3 A1, A2, A3Temperatura fijo 3 15, 70, 125
Análisis de varianza para Vida de a batería, utilizando SC ajustada para pruebas
Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F PTipo de Material 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002Temperatura 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000Tipo de Material*Temperatura 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019Error 27 18230.8 18230.8 675.2Total 35 77647.0
S = 25.9849 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56%
Observaciones inusuales de Vida de a batería
Vida de a ResiduoObs batería Ajuste Ajuste SE Residuo estándar 3 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R 4 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R
R denota una observación con un residuo estandarizado grande.
Conclusiones?
40
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
41
Análisis Residual – Ejemplo 5-1
DESIGN-EXPERT PlotLife
Residual
No
rma
l % p
rob
ab
ility
Normal plot of residuals
-60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25
1
5
10
20
30
50
70
80
90
95
99
DESIGN-EXPERT PlotLife
PredictedR
es
idu
als
Residuals vs. Predicted
-60.75
-34.25
-7.75
18.75
45.25
49.50 76.06 102.62 129.19 155.75
Conclusiones?
42
DESIGN-EXPERT PlotLife
Run Number
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Run
-60.75
-34.25
-7.75
18.75
45.25
1 6 11 16 21 26 31 36
DESIGN-EXPERT PlotLife
Material
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Material
-60.75
-34.25
-7.75
18.75
45.25
1 2 3
DESIGN-EXPERT PlotLife
Temperature
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Temperature
-60.75
-34.25
-7.75
18.75
45.25
1 2 3
Análisis Residual – Ejemplo 5-1
Conclusiones?
43
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
La temperatura posee una relación indirectamente proporcional con respecto a la vida útil, cuando aumenta la temperatura la vida de la batería disminuye
El tipo de Material es un factor significativo en el diseño de las baterías
Cuál es la mejor combinación ?Podríamos decir que el
material A3 y la temperatura a 15?
44
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
Analizando el efecto de la interacción, el cuál no se logra analizar en el gráfico de efectos principales se puede concluir para los datos evaluados que la combinación que maximiza la vida de la batería es el tipo de material 2 a 15 grados centígrados
Hay que tomar en cuenta que si el lugar a donde se va a utilizar es mayor a 70 grados centígrados el material adecuado es el 3
45
Factores Cuantitativos y Factores Cualitativos
El procedimiento básico ANOVA trata cada factor como si
fueran cualitativos
Algunas veces un experimento involucra factores
cuantitativos y cualitativos, como el Ejemplo 5.1
Esto puede ser tomado en cuenta en el análisis para producir
un modelo de regresión para los factores cuantitativos en
cada nivel (o combinación de niveles) de los factores
cualitativos.
Estas curvas de respuesta y/o superficies de respuesta son de
considerable ayuda en las interpretaciones prácticas de los
resultados.
46
Factoriales con más de dos factores
Procedimiento básico es similar al caso de dos factores; todos los abc…kn combinaciones de tratamientos son corridos en orden aleatorio
ANOVA es también similar:
Ejemplo completo de tres factores en Sección 5-4 del texto
T A B AB AC
ABC AB K E
SS SS SS SS SS
SS SS SS
47
Otras consideraciones para el diseño factorial de dos factores
• Cuando se concluye que una interacción de dos factores tiene un
efecto estadísticamente importante sobre la respuesta, su
interpretación tiene prioridad sobre los efectos principales,
aunque estos también sean significativos.
• La verificación de la adecuación del modelo: mediante el análisis
residual ya conocido (supuestos de normalidad, varianza
constante e independencia de los residuos)
• En el caso de no asegurarse la normalidad y homogeneidad en los
residuos, se pueden utilizar métodos de análisis alternativos: no
paramétricos; modelos lineales generalizados y de análisis de
respuesta transformada. Estas situaciones exceden el alcance
del curso, pero pueden ser objeto de estudio individual posterior.
49 Diseño factorial general
50
Diseño factorial general
Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden
aplicarse al caso general:
a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del
factor C. Dispuestos en un diseño general.
Habrá abc…n observaciones totales si se hacen n réplicas
del experimento total.
Se necesitan al menos n≥2 para determinar una suma de
cuadrados debida al error si todas las interacciones están
incluidas en el modelo (si n=1 la varianza del error es no
estimable, es decir, no se puede separar el efecto de la
interacción del del error experimental)
51
Diseño factorial general
El Modelo del análisis de varianza de tres factores es
y ijkl i j k ij ik jk ijk ijk
Dónde:i = 1,2,3,… , a.j = 1,2,3,… , b.k = 1,2,3,… , c.l = 1,2,3,… , n.
52
Tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores con efectos fijos
Tabla de la página 195 del Montgomery, Tabla 5-12.
53
Práctica en grupos para la casa
A continuación se presenta los tiempos de supervivencia en
horas de animales asignados aleatoriamente a tres venenos
(v1, v2, v3) y tres antídotos (a1, a2, a3). El experimento fue
parte de una investigación para combatir los efectos de
ciertos agentes tóxicos y fue un diseño completamente al
azar.
54
Práctica en grupos para la casa
a) Efectúe el análisis de varianza y analice sus efectos con respecto al enunciado.
b) Realice el análisis gráfico de la interacción.
c) Se cree que el antídoto a2 es más efectivo que el a1 para contrarrestar el veneno v1, verifíquelo.
55 Superficies de respuesta
Modelos de efectos aleatorios
56
Superficie de respuesta
Hasta el momento nos hemos enfocado en experimentos que permiten:
Identifican unas pocas variables importantes de un gran número de candidatos.
Asegurar cómo unas pocas variables impactan una respuesta.
Pero, ¿cuáles son los niveles de estas variables que generan una respuesta óptima?..
Responder esto es lo que se busca con las superficies de respuesta.
57
Superficie de respuesta
Cuando varios de los factores de un experimento factorial
son cuantitativos, puede utilizarse una superficie de
respuesta para modelar la relación entre “y” y los factores
de diseño.
Las gráficas se obtienes por medio de ecuaciones lineales o
cuadráticas. La forma más fácil de obtener estas ecuaciones
es por medio de software especializado.
58
Superficie de respuesta
Cuando al menos dos de los factores son cuantitativos, resultan útiles para predecir la respuesta a niveles intermedios entre los factores
59
Se desea conocer el % de conversión de una
sustancia química como consecuencia de tres
factores (temperatura, tiempo y % de catalizador.
Superficie de respuesta (Ejemplo)
El ingeniero desea conocer a
profundidad el impacto de los
factores en la variable respuesta.
60
Superficie de respuesta (Ejemplo)
Comentarios ?
Cómo se predice el comportamiento de la variable respuesta ?
61
Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión
Design Points97
51
X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura
Actual FactorC: Catalizador = 2.50
40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00
80.00
82.00
84.00
86.00
88.00
90.00Conversión
A: Tiempo
B:
Te
mp
era
tura
78
80
80
82
84
86
88
6
Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)
Nos ayuda a entender el impacto de los factores en la variable respuesta, la simbología de los colores representan el impacto en la variable respuesta Es la proyección de la superficie de respuesta
Qué pasa cuando el % del catalizador pasa de 2.50 a 3?
62
Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión
Design Points97
51
X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura
Actual FactorC: Catalizador = 3.00
40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00
80.00
82.00
84.00
86.00
88.00
90.00Conversión
A: Tiempo
B:
Te
mp
era
tura 70
80
90
Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)
Se puede observar en la gráfica de contorno como los colores más cálidos se alcanza más rápido, con los mismos niveles de tiempo y temperatura.El % de Canalización es significativo e interactúa con los demás factores
63
Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)
64
Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión
Design points above predicted valueDesign points below predicted value97
51
X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura
Actual FactorC: Catalizador = 2.50
40.00 42.00
44.00 46.00
48.00 50.00 80.00
82.00
84.00
86.00
88.00
90.00
75
80
85
90
95
Co
nv
ers
ión
A: Tiempo B: Temperatura
Superficie de respuesta
65
Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversionX1 = A: timeX2 = B: temperatureX3 = C: catalyst
CubeConversion
A: time
B:
tem
pe
ratu
re
C: catalyst
A-: 40.00 A+: 50.00B-: 80.00
B+: 90.00
C-: 2.00
C+: 3.00
75.6805
73.0885
87.2617
69.1696
50.7374
93.6454
70.8186
98.2265
6
Superficie de respuesta (Cubo)
66
¿Cómo se maneja el experimento factorial si la programación de producción del ejemplo de la selladora, no permite correr todas las muestras en la misma máquina?
67Formación de Bloques en un diseño Factorial
Cuando no es factible o práctico hacer la aleatorización completa de las corridas, utilizamos bloques.
68
Formación de bloques en un diseño factorial
Las máquinas de sellado se convierten en una restricción sobre la aleatorización o un bloque.
El modelo de los efectos para este nuevo diseño es:
y ijkl i j k ij ik jk ijk m ijkm
Donde:δm: es el efecto del m-ésimo bloque.
Es importante que dentro de cada bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está totalmente aleatorizadas
69
Formación de bloques en un diseño factorial
Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante.
Si estas interacciones existen no pueden separarse del error.
70
Tabla del análisis de varianza de un diseño factorial de dos factores en bloques completos aleatorizados
Tabla de la página 208 del Montgomery, Tabla 5-18.
71
Práctica en grupos para la casaSe realizó un experimento con un arreglo factorial 2A3B en 4 campos de cultivo, para evaluar el efecto en el rendimiento de maíz obtenido con dos tipos de abono (a1 y a2) y tres dosis (b1=20, b2=30, b3=40 kg/ha). Los resultados obtenidos en TM/ha se presentan a continuación:
72
Realice el análisis de los efectos y el análisis de varianza para este caso.¿A qué conclusiones se puede llegar?
Práctica en grupos para la casa
GRACIAS
SEMANA 773