Introducción a las redes de optimización
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Introducción a las redes de
optimización
Cárcamo Núñez José Roberto
Introducción a las redes de optimización
2
Índice
0 Presentación
1 Introducción
1.1 Nomenclatura de una red
2 Modelo del tipo ruta más corta.
3 Modelo del tipo flujo máximo.
4 Modelo del tipo de flujo a costo mínimo.
5 Modelo del tipo redes de actividad.
6 Conclusiones
Introducción a las redes de optimización
3
Las redes de optimización son problemas que surgen en una gran variedad de
situaciones, en las cuales se pueden aplicar para solucionar problemas.
Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la
vida diaria y son un claro ejemplo de donde pueden ser aplicados los
problemas que veremos en este documento.
Estas redes se utilizan ampliamente en áreas tan diversas como producción,
distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones,
administración de recursos y planeación financiera, para nombrar sólo unos
ejemplos.
¿Qué es una red?
En análisis de redes una red son rutas invisibles sobre las cuales se van a
mover los “recursos” o las “entidades” de los problemas.
Para que una red cumpla con su función, debe estar unida a las “locaciones ”
por medios de “interfaces”.
Una red puede estar conformada por muchos tramos, los cuales están
separados por “nodos” y cada “nodo” debe tener su respectiva “interfaz”.
Cuando una red cambia de dirección en un punto que no esté conectado a una
“locación”, se habla de un “punto de quiebre”
0 Presentación.
Introducción a las redes de optimización
4
En este documento sólo se podrán plantear las bases de la metodología de
redes actual. Sin embargo, se dará una introducción a cuatro tipos
importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo
resolverlos.
Los problemas que veremos en este documento serán los siguientes:
Ruta más corta
Flujo Máximo
Flujo a costo Mínimo
Redes de Actividad
Con estos problemas se pueden hacer muchos ejercicios y también tratar de
modelar dado a que muchos modelos aunque suenen diferentes se podrían
plantear en los problemas antes mencionados.
Se asume que el lector sabe de las siguientes temas:
Teoría de grafos.
Optimización lineal.
Los cuáles serán importantes para entender los esquemas y los
planteamientos que veremos a continuación.
1 Introducción
Introducción a las redes de optimización
5
Red. Consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas ya sea
que no tengan una dirección o la contengan, que unen ciertos pares de
puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices y las líneas se llaman
arco o aristas.
Nodo o vértice. Es un
circulo en un diagrama de
redes que representan un
aspecto importante de un
problema, representa el
origen y destino de bienes
de un problema a resolver.
Arco o arista. Es una línea
que conecta dos nodos en
un diagrama esquemático que representa una relación entre estos dos
nodos, es la curva que une a dos nodos para poder establecer una
conexión
entre ellos.
1.1 Nomenclatura de una red.
Introducción a las redes de optimización
6
Flujo. Es el contenido que pasa de un nodo a otro por medio de los
arcas antes mencionados.
Algunos ejemplos de Redes en la vida diaria
Existen algunos ejemplos de la vida que mostraremos esto es para que el
lector pueda ver que en verdad la optimización de redes puede existir en
muchos casos.
Nodos Arcos Flujo
Cruceros
Aeropuertos
Estaciones de bombeo
Centros de trabajo
Caminos
Líneas aéreas
Tuberías
Rutas de manejo de
materiales
Vehículos
Aviones
Fluidos
Trabajos
Introducción a las redes de optimización
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En este tipos de problemas consiste en encontrar la distancia mínima de un
nodo origen a un nodo destino atreves de un modelo red conexa que conecte
a ambos, en caso de empate al aplicar el algoritmo, estos se rompen en forma
arbitraria.
Usualmente los arcos no están orientados (no contienen una dirección) es
decir, son ligaduras que permiten viajar en cualquier dirección, aunque
también están permitidos los arcos que solo permiten viajar en una dirección.
EJEMPLO:
Este ejemplo trata de un segmento de las rutas mas cortas que se llaman árbol
de peso mínimo.
1.-Las distancias en millas entre ciudades de Indiana: Gary, Fort Wayne,
Evansville, Terre Haute y South Bend, se muestran en la siguiente tabla. Es
necesario construir un sistema estatal de carreteras que una todas estas
ciudades. Suponga que por razones políticas no es necesario construir una
carretera a Gary y Fort Evansville ¿Cuál es la longitud mínima de la carretera
requerida?
1.Gary 2.Fort Wayne 3.Evansville 4.Terre Haute 5.South Bend
1.Gary -- 112 213 100 158
2.Fort Wayne 112 -- 299 101 179
3.Evansville 213 299 -- 113 303
4.Terre Haute 100 101 113 -- 106
5.South Bend 158 179 303 106 --
Este lo podemos modelar de varias formas pero nos enfocaremos a que se
asume que el lector pude relacionar la tabla con un grafica de red el cual se
2 Modelo del tipo ruta mas corta.
Introducción a las redes de optimización
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muestra en estos momentos.
Podemos observar que existen muchas rutas en este caso se utiliza un método
llamada “kruscal” también existe otro método que puede ayudar a estos
grafos que no contienen dirección se llama “PRIM” pero es un poco menos
exacto porque el algoritmo deja que el que lo esté aplicando puede tomar
caminos incorrectos
Algoritmo:
1. Se crea una lista de todos los caminos existentes y los costos que tienen
en forma ascendente.
costo Ruta
100 (1,4)
101 (2,4)
106 (4,5)
112 (1,2)
113 (3,4)
158 (1,5)
179 (2,5)
213 (3,1)
299 (2,3)
303 (5,3)
1
2
5 4
3
112
158
213
100
299
101
179
113 303
106
Introducción a las redes de optimización
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2. Se toman las rutas de menor costo CUIDANDO que no se CREEN
circuitos dentro de la grafica
costo Ruta
100 (1,4)
101 (2,4)
106 (4,5)
112 (1,2)
113 (3,4)
158 (1,5)
179 (2,5)
213 (3,1)
299 (2,3)
303 (5,3)
Aquí podemos ver que ya existe una ruta que conecte a todos los nodos
a un costo mínimo esto quiere decir que se toman todas las rutas cortas
para crear un árbol de peso mínimo y así en nuestro ejemplo podemos
conectar las ciudades con una distancia mínima .
Introducción a las redes de optimización
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Estos tipos de modelos se utilizan para reducir los “embotellamientos” entre
ciertos puntos de inicio y destino en una red, existe un flujo que viaja desde
un único lugar origen a un único lugar destino a través de que conectan con
nodos intermedios, también los arcos que conectan a la red contienen un
sentido y contienen una capacidad que no puede ser excedida
Ejemplo:
Se necesita que del nodo 1 llegue la cantidad de flujo máximo al nodo 7
Para este método se necesita crear una primero solución en el cual
empíricamente enviemos unidades por los arcos que salen del nodo 1 y que
todas las unidades enviadas puedan llegar al nodo 7.
3 Modelo del tipo flujo máximo.
Introducción a las redes de optimización
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En este caso podemos observar que podamos enviar de esta forma las
unidades que enviaremos.
Como vemos en este grafo se observa que tanto los arcos que salen del nodo
1 ya están saturados es decir llegamos a el máximo de unidades que podamos
enviar por los arcos que dan un total de 6 unidades y con respecto a los arcos
que llegan al nodo 7 también están saturados por lo tanto llegamos a una
solución óptima para este problema.
Introducción a las redes de optimización
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El objetivo de estos modelos es encontrar un flujo máximo por donde pasar
los requerimientos a un costo mínimo.
El modelo de Flujo de Costo Mínimo en una Red se plantea de la manera
siguiente
bi>0 si i es un nodo origen
bi<0 si i es un nodo destino
bi=0 si i es un nodo de transbordo
Una condición necesaria para que el modelo tenga solución factible es que
bi=0, es decir, que el flujo total generado en los nodos origen sea igual al
flujo total absorbido por los nodos destino.
Cuando esta condición no se cumple (problemas de transporte no balanceado
en los que la oferta es diferente a la demanda) se generan nodos ficticios que
generen o que absorban flujo. Los costos asociados a los arcos que parten o
llegan a estos nodos es cero.
Con frecuencia bi y uij son valores enteros. Las variables xij son variables
4 Modelo del tipo de flujo a costo minimo.
Introducción a las redes de optimización
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enteras y no se requiere agregar esta condición al modelo (unimodularidad).
Con este modelo es posible plantear un problema de transporte, de
transbordo, de flujo máximo y de camino más corto.
Ejemplo:
3.- GrainCo abastece de maíz a tres granjas avícolas desde tres silos. Las
cantidades de oferta en los tres silos son 100, 200 y 50 mil bushels(1 bushel =
35.23 litros). GrainCo usa principalmente ferrocarril para transportar su maíz
a las granjas, a excepción de tres rutas, en las que se usan camiones. La
siguiente figura muestra las rutas disponibles entre los silos y las granjas. Los
silos se representan con los nodos 1, 2 y 3, cuyas cantidades de suministro
son [100], [200] y [50], respectivamente. Las granjas se representan con los
nodos 4, 5 y 6, cuyas demandas son [-150], [-80] y [-120], respectivamente.
Las rutas permiten transbordos entre los silos. Los arcos (1,4), (3,4) y (4,6)
son de camiones, con capacidades mínimas y máximas Por ejemplo, la
capacidad de la ruta (1,4) es de 50 a 80 mil bushels y costo de $1. Los costos
de transporte, por bushel, se indican en sus arcos respectivos. (Capacidad
mínima, Capacidad máxima, Costo).
Teniendo la siguiente red:
Teniendo el siguiente modelo de programación lineal.
Introducción a las redes de optimización
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Resolviendo el problema tenemos los siguientes resultados:
Por el arco (1,3) pasaran 50 mil bushels con un costo de $4
Por el arco (1,4) pasaran 50 mil bushels con un costo de $1
Por el arco (2,4) pasaran 150 mil bushels con un costo de $1
Por el arco (2,5) pasaran 50 mil bushels con un costo de $6
Por el arco (3,4) pasaran 70 mil bushels con un costo de $1
Por el arco (3,5) pasaran 30 mil bushels con un costo de $2
Por el arco (4,6) pasaran 120 mil bushels con un costo de $2
Con un costo total mínimo de $1,070.00.
Introducción a las redes de optimización
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Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, critical
path method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa,
program evaluation and review technique) se basa en redes, y tienen por
objetivo auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se
define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que
cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT
es contar con un método analítico para programar las actividades.
Ejemplo.
4.- En la siguiente tabla se muestran las actividades a realizar así como su
tiempo esperado y la desviación estándar calculados con las formulas en la
imagen de la tabla.
Esto se puede modelar con un grafo en el cual se puede mostrar mejor el
como las actividades se van desarrollando, además se puede observar grafica
5 Modelo del tipo redes de actividad.
Introducción a las redes de optimización
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que actividad inicia cuando una actividad termine.
Revisión hacia adelante (Método de la ruta crítica) del ejemplo es:
Para la actividad A : [0, 4.2, 4.2]
Para la actividad B : [4.2, 2.3,6.5]
Para la actividad C : [4.2, 3.5, 7.7]
Para la actividad D : [4.2, 1.25, 5.45]
Para la actividad Ficticia : [7.7, 0, 7.7]
Para la actividad E : [7.7, 5.7, 13.4]
Por lo que la duración del proyecto sera de 13.4.
Revisión hacia atrás (CPM) del ejemplo es:
Para la actividad E : [7.7, 0, 13.4]
Para la actividad Ficticia : [7.7, 0, 7.7]
Para la actividad D : [12.15, 7.95, 13.4]
Para la actividad C : [4.2, 0, 7.7]
Para la actividad B : [5.4, 1.2, 7.7]
Para la actividad A : [0, 0, 4.2]
Se puede observar que las actividades que componen la ruta crítica son:
La actividad A, la actividad C y la actividad E.
El tiempo esperado para completar el proyecto es de 13.4 semanas con una
desviación de 2.33 semanas, por lo que el intervalo estimado para el proyecto
Introducción a las redes de optimización
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es de [11.1, 15.73] semanas.
Para la obtención de los datos anteriores, para el tiempo total del proyecto se
sumó el tiempo esperado de cada actividad que compone la ruta crítica al
igual que para su desviación total se sumaron las desviaciones de las
actividades que componen la ruta crítica.
Introducción a las redes de optimización
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Dentro de estos problemas podemos ver que existen varios métodos en los
cuales pueden ayudar a averiguar la solución óptima de cada uno de los
problemas.
Los cuatro tipos de problemas que mostramos anterior mente podemos decir
que son los problemas más generales que existen y son 4 grupos en que se
pueden clasificar.
Tipo de
problema Características Planteamientos Métodos
Ruta más corta
Obtener una ruta
que sea más
pequeña que los
demás caminos
que puedan
crearse de un
nodo origen a un
nodo final
Arboles de
peso mínimo.
Arborescencia
Entre dos
nodos
específicos
ruta segura
Producción
Remplazo
mochila
PRIM
KRUSKAL
Dijsktra
Dijsktra
generalizado
Floyd
Flujo máximo
Obtener el flujo
máximo que se
pueda enviar del
nodo inicial al
nodo final
nodos iniciales
y finales
múltiples
requerimiento
de capacidades
Algoritmo de
Ford y
Fulkerson
6 Conclusiones
6.1 Clasifica los problemas.
Introducción a las redes de optimización
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Flujo a costo
mínimo
Obtener el flujo
máximo a un
costo minimo
para poder
optimizar costos
y flujo
Redes
marginales
Planeación de
producción
Asignación de
tareas a
empleados
Método de
eliminación de
circuitos
negativos
Ruta mas corta
Método
simplex
Redes de
actividad
Obtener un
tiempo
determinado para
la realización de
una actividad o
de algún proyecto
que requiera una
empresa
Obtención de
tiempos
Modelo lineal
Gantt
supuestos
CMP
Introducción a las redes de optimización
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[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/optimizacion-redes/optimizacion-
redes.pdf
[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/optimizacion-redes/optimizacion-
redes.shtml
[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
http://es.slideshare.net/adncstell/52-la-ruta-mas-corta-31401934
[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
http://www.angelfire.com/ak5/bustosfarias/21_flujo_maximo.pdf
[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/g-flujo-a-costo-minimo
[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/h-redes-de-actividad
[imagen] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/g-flujo-a-costo-minimo
[imagen] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:
https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/h-redes-de-actividad
7 Referencias.