Introduccion a la Programacion Lineal

J. Montealegre I. Flores

Febrero de 2015

1. Desigualdades en el plano cartesiano

Si en un plano P consideramos una recta L este queda dividido en tres conjuntos: el conjuntode puntos que estan en la recta misma, y los semiplanos P1 y P2 formados por los puntos queestan a uno y otro lado de la recta L.

Consideremos la recta vertical x = a.

ax ax

X

Y

Los puntos que estan en la recta son aquellos que satisfacen su ecuacion. Los puntos que estana la izquierda satisfacen la inecuacion x < a, y los puntos que estan a la derecha satisfacen lainecuacion x > a.

Ejemplo 1.1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y < x+ 1.

Solucion. Primero graficamos a la recta y = x+ 1.

X

Y

1+= xy

Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este esel caso, entonces el semiplano que representa graficamente a la inecuacion es el que contiene

al origen.

X

Y

1+< xy

Notar que los puntos que estan en la recta satisfacen y = x+ 1, lo que se indica con un trazodiscontinuo. �

Ejemplo 1.2. Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto determinado por lassiguientes desigualdades:

x+ 2y ≤ 6x+ y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 0.

Indicar los vertices del polıgono formado.

Solucion. Como las desigualdades deben satisfacerse simultaneamente, se debe graficar lainterseccion de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

La inecuacion x+ 2y ≤ 6 es equivalente a la inecuacionx

6+

y

3≤ 1, por lo que en este caso

la region a considerar se encuentra abajo de la recta (incluyendo a la recta)x

6+

y

3= 1. Por

otro lado, la inecuacion x+ y ≤ 4 es equivalente a la inecuacionx

4+

y

4≤ 1 y la region que le

corresponde tambien se ubica debajo de la rectax

4+

y

4= 1.

Es claro que la region que corresponde a x ≥ 0 es el semiplano ubicado a la derecha del ejeY , y la que corresponde a y ≥ 0 es el semiplano ubicado arriba del eje X.

De lo anterior se concluye que la region buscada es la que se muestra en el grafico

X

Y

4=+ yx

62 =+ yx

�

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2. Programacion lineal

La teorıa de la programacion lineal fue desarrollada en la decada 1940 - 1950 por matematicostales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programacion linealsirve para encontrar el valor maximo o el valor mınimo de una expresion lineal sujeta a un con-junto de desigualdades lineales. La aplicacion mas comun abarca el problema general de asignarrecursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es, en formaoptima. Tiene aplicaciones en la investigacion de operaciones, ciencias administrativas, fısicay biologıa.

Veamos el ejemplo de una fabrica que produce una gama de artıculos y que dispone deuna variedad de recursos (personal, materias primas, maquinas, creditos, etc.) cada uno de loscuales supone un costo a considerar. ¿Cual debe ser la polıtica a seguir si se quieren conseguirlos maximos beneficios?

Ejemplo 2.1. Supongamos que una compania fabrica dos tipos de artefactos, manuales yelectricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricacion el uso de tres maquinas: A, B y C.Un artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante dos horas, de una horaen la maquina B y de una hora en la maquina C. Un artefacto electrico requiere de unahora en A, dos horas en B y una hora en C. Supongase, ademas, que el numero maximo dehoras disponibles por mes para el uso de las tres maquinas es 180, 160 y 100, respectivamente.La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los electricos. Sila compania vende todos los artefactos que fabrica ¿cuantos de ellos de cada tipo se debenelaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?

Solucion. Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla

A B CUtilidadUnidad

Manual 2 h 1 h 1 h $4

Electrico 1 h 2 h 1 h $6

Horas disponibles 180 160 100

Consideremos

x : numero de artefactos manuales que se fabrican en el mes.

y : numero de artefactos electricos que se fabrican en el mes.

p : utilidad mensual.

La utilidad esP = 4x+ 6y

y la funcion objetivo es maximizar P sujeta a la condicion de que x e y deben ser una solucionpara el sistema de inecuaciones

2x+ y ≤ 180, (1)

x+ 2y ≤ 160, (2)

x+ y ≤ 100, (3)

x ≥ 0, (4)

y ≥ 0. (5)

A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La region quesatisface simultaneamente las condiciones (1) a (5) se denomina region factible. �

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Formulacion del problema de programacion lineal

Del ejemplo anterior podemos establecer que la formulacion general de un problema deprogramacion lineal es la siguiente:

Obtener los valores x1, x2, x3, . . . , xn que maximicen o minimicen la llamada funcionobjetivo

z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + · · ·+ cnxn

Sujeta a las condiciones

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn ≤ (≥) b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn ≤ (≥) b2...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn ≤ (≥) bm

Conx1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, · · · , xn ≥ 0

llamadas las condiciones de no negatividad. �

Ejemplo 2.2. Una fabrica produce tres productos de caucho: A,B y C y los tres productosrequieren de cuatro materias primas diferentes. La cantidad de cada materia prima usada porlibra del producto final se muestra en la tabla

Cantidad (onz/lb)

Producto Mat. Prima 1 Mat. Prima 2 Mat. Prima 3 Mat. Prima 4

A 4 2 4 6

B 3 2 2 9

C 6 3 5 2

La fabrica debe producir al menos 1000 libras de A, 500 libras de B y 400 libras de C parael fin de mes, pero se sabe que se pueden vender mas de cada uno de los tres productos. Losinventarios de los que dispone la fabrica son: 500 libras de la materia prima 1, 425 libras de lamateria prima 2, 650 libras de la materia prima 3 y 1100 libras de la materia prima 4. Cadalibra de A produce a la fabrica una ganancia de $7, cada libra de B una ganancia de $7 y cadalibra de C una ganancia de $6. Se debera establecer un plan de produccion de modo que lasganancias sean maximas.

Solucion.

1. Determinacion de las variables. Sean

x : numero de libras de Ay : numero de libras de Bz : numero de libras de Cu : la ganancia al mes

2. Determinacion de la funcion objetivo. Del enunciado se tendra que la ganancia totaldebera ser igual a la suma de las ganancias obtenidas por los tres productos. Ası, lafuncion objetivo es

max u = 7x+ 7y + 6z.

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3. Determinacion de las restricciones. Identificamos restricciones de

a) Cantidad de materia prima. Primero tenemos que cada libra tiene 16 onzas y ası ten-emos de la tabla que

4x+ 3y + 6z ≤ 8000

2x+ 2y + 3z ≤ 6800

4x+ 2y + 5z ≤ 10400

6x+ 9y + 2z ≤ 17600

b) Demanda de los productos. De los datos tenemos que

x ≥ 1000

y ≥ 500

z ≥ 400

c) De no negatividad.x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Ası, nuestro problema de Programacion lineal es

max 7x+ 7y + 6z

sujeta a

4x+ 3y + 6z ≤ 8000

2x+ 2y + 3z ≤ 6800

4x+ 2y + 5z ≤ 10400

6x+ 9y + 2z ≤ 17600

x ≥ 1000

y ≥ 500

z ≥ 400

con

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. �

Ejemplo 2.3. Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Tipo I y Tipo II.Durante la produccion las parrillas requieren del uso de dos maquinas A y B. El numero dehoras necesarias en ambas esta indicado en la tabla siguiente.

Maquina A Maquina B

Tipo I 2 horas 4 horas

Tipo II 4 horas 2 horas

Si cada maquina puede utilizarse 24 horas por dıa y las utilidades en los modelos son de $4y $6, respectivamente, ¿cuantas parrillas de cada tipo deben producirse por dıa para obteneruna utilidad maxima?¿Cual es la utilidad maxima?

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Solucion. Construimos la siguiente tabla

Maquina A Maquina B Utilidades

Tipo I 2 horas 4 horas 4

Tipo II 4 horas 2 horas 6

Total horas a usar 24 24

Sea x el numero de parrillas del Tipo I, y el numero de parrillas del Tipo II y u la utilidadpor producir parrillas Tipo I y Tipo II, con u = 4x+ 6y.

Entonces el problema es equivalente a

Maximizar 4x+ 6ysujeta a 2x+ 4y ≤ 24

4x+ 2y ≤ 24x ≥ 0, y ≥ 0. �

Ejemplo 2.4. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 deproteınas. El alimento A tiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteınas; el alimento Bcontiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteınas. si el alimento A cuesta $1.20 por unidady el B $0.80 por unidad, ¿cuantas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizarel costo?¿Cual es el costo mınimo?

Solucion. De los datos se tiene la siguiente tabla

Carbohidratos Proteınas Costo

Alimento A 2 4 1.20

Alimento B 2 1 0.80

Total 16 20

Sean x : unidades en el alimento A, y : unidades en el alimento B, C : costo por la compra dex unidades de A y y unidades de B. Tenemos entonces

Problema original Problema equivalenteMinimizar C = 1,20x+ 0,80y Maximizar C1 = −1,20x− 0,80y

sujeto a sujeto a2x+ 2y ≥ 16 2x+ 2y ≥ 164x+ y ≥ 20 2x+ 2y ≥ 16x ≥ 0, y ≥ 0 x ≥ 0, y ≥ 0

donde C1 = −C. �Ejemplo 2.5. Un fabricante produce un artıculo en dos presentaciones: A y B, usando lasmaterias primas m1 y m2. Diariamente se necesita por lo menos 18 kg. de m1 y 12 kg. de m2;y como maximo 34 horas de mano de obra. Se requiere 2 kg. de m1 para cada artıculo A y 1kg. de m1 para cada artıculo B. Para cada artıculo de A y B se requiere 1 kg. de m2. Ademasen la fabricacion de un artıculo de A se emplean 3 horas y 2 horas en un artıculo de B. Si lautilidad por artıculo en el modelo A es de $5 y $3 por el artıculo B, ¿cuantos artıculos de cadamodelo deben producirse para maximizar la utilidad y cual es esta utilidad maxima?

Solucion. Se tiene la tabla

m1 m2 Horas Utilidad

A 2 1 3 5

B 1 1 2 3

El problema es Maximizar z = 5x+ 3y, sujeta a:

2x+ y ≥ 18x+ y ≥ 123x+ 2y ≤ 34 �

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3. Metodo grafico de resolucion de un PPL

Ejemplo 3.1. Supongamos que una compania fabrica dos tipos de artefactos, manuales yelectricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricacion el uso de tres maquinas: A, B y C.Un artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante dos horas, de una horaen la maquina B y de una hora en la maquina C. Un artefacto electrico requiere de unahora en A, dos horas en B y una hora en C. Supongase, ademas, que el numero maximo dehoras disponibles por mes para el uso de las tres maquinas es 180, 160 y 100, respectivamente.La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los electricos. Sila compania vende todos los artefactos que fabrica ¿cuantos de ellos de cada tipo se debenelaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?

Solucion. Segun sabemos del ejemplo 2.1, si consideramos

x : numero de artefactos manuales que se fabrican en el mes.

y : numero de artefactos electricos que se fabrican en el mes.

p : utilidad mensual.

el Problema de Programacion Lineal es

max P = 4x+ 6ysujeta a 2x+ y ≤ 180,

x+ 2y ≤ 160,x+ y ≤ 100,x ≥ 0, y ≥ 0.

Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a lafuncion de utilidad. Usaremos el geogebra como una herramienta para resolver el problema,siguiendo los siguientes pasos:

1. Trazar las rectasL1 : 2x+ y = 180,

L2 : x+ 2y = 160,

L3 : x+ y = 100,

L4 : x = 0

yL5 : y = 0.

Para graficar una recta en geogebra se puede hacer de varias maneras:

i. Una manera es digitar en la barra de entrada la ecuacion de la recta, por ejemplopara la recta L1 se digitara tal cual la ecuacion 2x+y = 180 y luego presionar enter.

ii. Tambien podemos etiquetar la recta, darle color, modificar su grosor, cambiar elestilo del trazo, etc. Esto es importante porque en el metodo grafico al trabajar conmuchas rectas es necesario diferenciarlas.

iii. La forma de poder editar una recta es seleccionarla, ya sea en la vista grafica oen la vista algebraica. Una vez seleccionada, presionar el boton derecho del mouse

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y elegir propiedades de la lista desplegada. Se abrira una ventana donde se puedeseleccionar que caracterısticas de la recta se desean modificar.

2. Graficar las regiones que representan las inecuaciones

2x+ y ≤ 180,

x+ 2y ≤ 160,

x+ y ≤ 100,

x ≥ 0

yy ≥ 0.

La interseccion de estas regiones sera la region factible, pues los puntos (x, y) que estanen ella satisfacen las restricciones del problema.

Luego hallamos los vertices de la region factible intersectando las rectas que forman loslados de dicha region. Por ejemplo, para hallar el vertice C se intersectan las rectas L2

y L3. En geogebra se intersecta de la siguiente manera: de la barra de herramientaselegimos el boton interseccion, una vez activado este boton hacemos clic en las rectas L2

y L3 y como resultado se obtiene el punto C.

En nuestro caso, tenemos

A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D (0, 0) E (0, 80) .

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3. Se sabe, por el teorema de Weierstrass que una funcion lineal afın definida sobre unaregion factible acotada y no vacıa tiene un valor maximo (o mınimo) y se puede encontrareste valor en un vertice de la region factible. Esta afirmacion permite hallar solucionesoptimas, para lo cual usaremos la herramienta deslizador del geogebra, de la siguientemanera:

Seleccionamos el boton deslizador de la barra de herramientas y hacemos clic en unespacio vacıo de la vista grafica, aparece una ventana donde daremos el nombre k (arbi-trario) al deslizador, ademas ingresamos los valores mınimo y maximo del intervalo deldeslizador, de tal manera que al deslizar la funcion objetivo U , esta comprenda todos lospuntos de la region factible. En nuestro caso el valor mınimo es 0 y el valor maximo 520.

El tercer paso del metodo descrito, es equivalente a evaluar la funcion objetivo en cada unode los vertices de la region factible y despues elegir aquel en que la funcion objetivo resulteoptima. En nuestro caso, si evaluamos la funcion objetivo en cada punto, se tiene:

P (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520

P (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440

P (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360

P (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0

P (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.

Por consiguiente, P tiene un valor maximo de $520 en A, en donde x = 40 e y = 60.

Observacion 3.1. Cuando la region factible no esta acotada, la funcion objetivo P puede notener un valor maximo o mınimo.

Ejemplo 3.2. Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Tipo I y Tipo II.Durante la produccion las parrillas requieren del uso de dos maquinas A y B. El numero dehoras necesarias en ambas esta indicado en la tabla siguiente.

Maquina A Maquina B

Tipo I 2 horas 4 horas

Tipo II 4 horas 2 horas

Si cada maquina puede utilizarse 24 horas por dıa y las utilidades en los modelos son de $4y $6, respectivamente, ¿cuantas parrillas de cada tipo deben producirse por dıa para obteneruna utilidad maxima?¿Cual es la utilidad maxima?

Solucion. Como en el ejemplo 2.3, si x es el numero de parrillas del Tipo I, y el numerode parrillas del Tipo II y u la utilidad por producir parrillas Tipo I y Tipo II, entonces el

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problema es equivalente amax 4x+ 6y

sujeta a 2x+ 4y ≤ 244x+ 2y ≤ 24x ≥ 0, y ≥ 0.

El maximo valor de u se da en el punto A (4, 4), u = 40. �

Ejemplo 3.3 (Ejemplo 2.3). Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratosy 20 de proteınas. El alimento A tiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteınas; el alimentoB contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteınas. si el alimento A cuesta $1.20 porunidad y el B $0.80 por unidad, ¿cuantas unidades de cada alimento deben comprarse paraminimizar el costo? ¿Cual es el costo mınimo?

Solucion. Sean

x : unidades en el alimento A,

y : unidades en el alimento B,

C : costo por comprar x unidades de A, y

y unidades de B.

Tenemos, ejemplo 2.4, que el proble-ma es equivalente a

max C1 = −1,20x− 0,80ysujeto a 2x+ 2y ≥ 16

2x+ 2y ≥ 16x ≥ 0, y ≥ 0.

C1 sera maximo cuando x e y asumen (ambos) valores mas pequenos. Este valor maximode C1 se dara en el punto E. Las coordenadas de E se determinan resolviendo el sistema

2x+ 2y = 164x+ y = 20

de donde se obtiene E (4, 4). Ası, C1 = −1,20 (4)− 0,80 (4) = −8, pero como C1 = −C = −8,entonces C = 8. Por tanto, el mınimo de C = 8, se da en E (4, 4). �

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Ejemplo 3.4. Un fabricante produce un artıculo en dos presentaciones: A y B, usando lasmaterias primas m1 y m2. Diariamente se necesita por lo menos 18 kg. de m1 y 12 kg. de m2;y como maximo 34 horas de mano de obra. Se requiere 2 kg. de m1 para cada artıculo A y 1kg. de m1 para cada artıculo B. Para cada artıculo de A y B se requiere 1 kg. de m2. Ademasen la fabricacion de un artıculo de A se emplean 3 horas y 2 horas en un artıculo de B. Si lautilidad por artıculo en el modelo A es de $5 y $3 por el artıculo B, ¿cuantos artıculos de cadamodelo deben producirse para maximizar la utilidad y cual es esta utilidad maxima?

Solucion. Como en el ejemplo 2.5, el problema esmax 5x+ 3y, sujeta a:

2x+ y ≥ 18x+ y ≥ 123x+ 2y ≤ 34

Resolviendo el sistema correspondiente a las restriccionesanteriores, se tiene

2x+ y = 18x+ y = 123x+ 2y = 34

A (6, 6), B (2, 14) y C (10, 2). La grafica correspondientees

En el punto A (6, 6) se tiene que z = 48, en el punto B (2, 14) se tiene que z = 52 y en elpunto C (10, 2) z = 56. Por tanto, del modelo A se deben producir 10, del modelo B se debenproducir 2 y la utilidad maxima es de $56. �

4. Ejercicios propuestos

1. Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo entres maquinas, I, II y III. Los requerimientos (en horas) y la utilidad (en dolares) decada unidad de A y B, ası como, la disponibilidad mensual (en horas) de cada maquina,estan dados en el siguiente cuadro.

I II III Utilidad por producto

A 2 4 3 $250

B 5 1 2 $300

Disponibilidad mensual 200 240 190

Determine cuantas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar lautilidad total.

2. Un agricultor comprara fertilizantes que contienen tres nutrientes:A, B y C. Los requer-imientos mınimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dosmezclas populares de fertilizantes en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, condos unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidadesde A, 2 de B y 12 de C.¿Cuantas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor paraminimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?

3. Una companıa extrae minerales de un yacimiento. Del numero de libras de minerales Ay B que puede ser extraıdo por cada tonelada de los filones I y II esta dado en la tabla

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siguiente junto con los costos por tonelada. Si la companıa debe extraer al menos 3000libras de A y 2500 de B, ¿cuantas toneladas de cada filon deben ser procesados con el finde minimizar el costo? ¿Cual es el costo mınimo?

Filon I Filon II

Mineral A 110 lb 200 lb

Mineral B 200 lb 50 lb

Costo por tonelada $50 $60

4. Una companıa petrolera, que tiene dos refinerıas, necesita al menos 800, 1400 y 500barriles de petroleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada dıa, la refinerıaI produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras quela refinerıa II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio.Si los costos diarios son de $2500 para operar la refinerıa I y de $2000 para la refinerıaII, ¿cuantos dıas debe ser operada cada refinerıa para satisfacer los requerimientos deproduccion a un costo mınimo?¿Cual es el costo mınimo? (Suponga que existe un costomınimo).

5. Una persona posee un capital de 10 millones de soles y le aconsejan que los invierta endos tipos de acciones A y B. Las de tipo A tienen mas riesgo pero producen un beneficiodel 10%. Las de tipo B son mas seguras pero producen solo el 7% anual.Despues de varias deliberaciones decide invertir como maximo 6 millones de soles en lacompra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Ademas,decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿ Como de-bera invertir su capital para que el beneficio anual sea maximo?

6. Una empresa fabrica tres tipos de alimentos para animales: A, B y C. Para tal efecto,necesita dos fases, la primera (I) de fabricacion en maquina, y una segunda fase (II) demano de obra. Dispone de 120 horas mensuales en la fase I y de 260 en la II, y para sufabricacion necesita para cada alimento las siguientes horas en cada una de las fases

Horas I Horas II

A 0.1 0.2

B 0.25 0.3

C – 0.4

Si el beneficio que se obtiene por cada tipo de alimento es de $3, $5 y $4, respectivamente,establecer un programa de fabricacion en el mes para que la utilidad sea maxima.

7. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender toda su produccion a lossiguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto B a $3500 y el productoC a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de trabajo, 2 de acabado y 3unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de 2 horas de trabajo,3 de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C requiere 3horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este periodo deplanificacion se dispone de 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidadesde materia prima. Formule y construya el modelo lineal que maximice los ingresos de laempresa.

8. Una maquina de fabricar papel produce rollos de 82 cm de ancho. Se han recibido los

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siguientes pedidos:60 rollos de 58 cm85 rollos de 26 cm85 rollos de 24 cm50 rollos de 23 cm

Plantear el problema de como cortar los rollos de 82 cm, a fin de satisfacer los pedidos yminimizar el desperdicio.

9. Una companıa promueve periodicamente servicios publicos, seminarios y programas. Ac-tualmente los planes de promocion para este ano estan en marcha. Los medios alternativospara realizar la publicidad ası como los costos y la audiencia estimados por unidad depublicidad, ademas de la cantidad maxima de unidades de publicidad en que puede serusado cada medio se dan en la tabla siguiente

Restricciones TV Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100000 18000 40000

Costo por unidad de publicidad $2000 $300 $600

Uso maximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el50% del total de unidades de publicidad autorizados. Ademas la cantidad de unidadessolicitadas en television debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto totalpara promociones se ha limitado a $18500. Formular un programa lineal que optimice laaudiencia total o la cantidad de personas que vean la publicidad.

10. Un Banco abre de Lunes a Viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experiencias anteriores se sabeque va a necesitar la cantidad de cajeros senaladas en la tabla siguiente

Periodo de tiempo 8− 9 9− 10 10− 11 11− 12 12− 1 1− 2 2− 3 3− 4

Cajeros requeridos 4 3 4 6 5 6 8 8

Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 a.m. a 4 p.m., los 5 dıas,excepto la hora de almuerzo. El Banco determina cuando debe almorzar cada cajero,pero debe ser entre las 12 m y 1 pm o entre la 1 pm y las 2 pm. A los empleados a tiempocompleto se les paga S/.180 la hora (incluida la de almuerzo). Tambien hay trabajadoresa tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada dıa y se lespaga S/. 110 la hora, sin ningun otro pago. A fin de mantener la calidad del servicioel Banco desea tener un maximo de 5 cajeros contratados a tiempo parcial. Se deseaminimizar los costos de empleados contratados.

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