Cap. 1. Introducción a la Mecánica Cuántica 1

CAPITULO 1. Introducción a la Mecánica Cuántica 1) Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo Naturaleza ondulatoria:

• Existencia de difracción e interferencias. • La luz puede ser polarizada. • La luz no tiene masa en reposo. • Maxwell: la luz es radiación electromagnética de

longitud de onda muy corta. Naturaleza corpuscular:

• Radiación del cuerpo negro. Hipótesis de M. Planck (intercambio de energía entre materia y radiación sólo puede tener lugar por cuantos de energía)

• Efecto fotoeléctrico. (E = h.νννν) [1.1] • Efecto Compton • Espectros atómicos y moleculares.

Radiación del cuerpo negro

Representación Experimento de la radiación de un cuerpo negro del cuerpo negro Relación de Rayleigh-Jeans Relación de Planck

λλ

π=λρ d

Tk8)T,(d

4B

1e

dhc8)T,(d

Tk/hc5 B −λ

λπ

=λρ λ

Cap. 1. Introducción a la Mecánica Cuántica 2

2) Hipótesis de Louis de Broglie y naturaleza ondulatoria de las partículas Cualquier partícula de masa m y velocidad v tiene, asociada con ella, una onda de longitud de onda:

λλλλ = mvh

= ph [1.2]

h = constante de Planck = 6.6256. 10 -34 J s m v = p = cantidad de movimiento o impulso lineal. En 1927 Davisson y Germer observaron difracción de electrones por un cristal de Ni. En 1932 Stern observó los mismos efectos con átomos de helio y moléculas de hidrógeno.

Ejemplo 1.1. ¿Qué diferencia de potencial sería necesaria para acelerar un electrón de tal forma que presente una longitud de onda de 0.05 Å (longitud de onda normalmente usada en la difracción de electrones). Solución: V = diferencia de potencia e = Carga del electrón = 1.6020 10-19 C La energía adquirida por el electrón sometido a esa diferencia de potencial se transforma en energía cinética (1/2)m v2 = p2/2m . m = masa del electrón = 9.1091 10-31 kg. T= V.e = (1/2)m v2 = p2 2m

V = 2

2

e m 2h

λλλλ= 2101931

234

)m10 05.0( C10 6020.1 kg10 1091.29)s.J10 6256.6(

−−−−−−−−−−−−

−−−−

= 60.159 V.

Ejemplo 1.2. Un electrón se mueve con una velocidad de 3 109 cm/s. a) ¿Qué longitud de onda tiene su onda asociada? b) Si toda la energía cinética que posee se convierte en un fotón de luz, ¿cuál es la

longitud de onda de ese fotón? Solución:

a) [1.2] →→→→ λ λ λ λ = s/cm10 3 g10 1091.9

s.erg10 6256.6

928

27

−−−−

−−−−

= 2.4245 10-9 cm = 0.242 Å

b) T(e-) = (1/2) m v2 = (1/2) 9.1091 10-28 g (3 109 cm/s)2 = 4.0991 10-9 erg. νννν = c/λλλλ ; (c = 2.9979 108 m s-1). λλλλ = h.c/ T = 4.8457 10-8 cm = 4.86 Å

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3) Principio de incertidumbre de Heisenberg La dualidad onda-corpúsculo de la materia y la radiación impone ciertas limitaciones en la información que se puede obtener acerca de un sistema microscópico.

W

PantallaRendija

θ

A

DC

P

E

Q

θ

y

x

ppx = p senθ

Partícula de momento p que se mueve en la dirección y, atraviesa una rendija de anchura w e incide en una placa fotográfica.

Incertidumbre en la posición de la partícula, δδδδx ≈≈≈≈ w La curva de intensidades indica que la partícula es difractada fundamentalmente entre un ángulo - θ θ θ θ (px = -p senθθθθ) y θ θ θ θ (px = p senθθθθ) => δδδδpx ≈≈≈≈ 2.p senθθθθ Primer mínimo en la difracción: la diferencia entre las distancias recorridas por las partículas que atraviesan la

rendija en A y en D es λλλλ/2. sen θ θ θ θ = λ λ λ λ /w →→→→ δδδδx.δδδδpx ≈≈≈≈ 2.p λ λ λ λ ≈≈≈≈ 2 h. (Como consecuencia de los postulados de la mecánica cuántica, se verá mas tarde que δδδδx.δδδδpx ≥ h/4ππππ.) En general el producto de las incertidumbres de dos variables conjugadas es ≥ h/4ππππ.

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4) Revisión de algunos conceptos matemáticos 4.1) Operadores: Operación matemática que transforma una función en otra.

Tienen un símbolo; x∂∂∂∂∂∂∂∂, a ; ∫∫∫∫ ...

A f(x) = g(x) - Suma/resta de operadores: (Â ± Ê) f(x) = Â f(x) ± Ê f(x) - Producto de operadores: (Â . Ê) f(x) = Â ( Ê f(x))

• Propiedad asociativa (si): Â(Ê.Î)= (Â.Ê)Î • Propiedad conmutativa (no neces.) (Â.Ê)====(Ê.Â)

- Conmutador: el conmutador de dos operadores es otro operador: [Â,Ê] = (Â.Ê)-(Ê.Â) [1.3] [Â,Ê] = 0, los operadores  y Ê conmutan.

Ejemplo 1.3. Compruebe si conmutan los operadores x y x∂∂∂∂∂∂∂∂

. Calcule el conmutador

[ x ,x∂∂∂∂∂∂∂∂

].

Solución:

( x x∂∂∂∂∂∂∂∂

) f(x) = x x

)x(f∂∂∂∂

∂∂∂∂ [1.4]

(x∂∂∂∂∂∂∂∂

x) f(x) = x∂∂∂∂∂∂∂∂

(x f(x)) = f(x) + x x

)x(f∂∂∂∂

∂∂∂∂ [1.5]

[1.4]-[1.5] = (-1) f(x) ≠≠≠≠ 0 →→→→ [x,x∂∂∂∂∂∂∂∂

] = -1 (no conmutan)

- Potencias: (Â)n = Â.Â.Â... (n veces). - Valores propios: Â f(x) = a f(x) [1.6]

f(x) →→→→ función propia de  a →→→→ valor propio de  (cte)

Ejemplo 1.4. Compruebe si la función eax es función propia del operador x∂∂∂∂∂∂∂∂.

Solución: x∂∂∂∂∂∂∂∂

(eax) = a eax , eax es función propia y a es su valor propio.

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- Operadores lineales. • Â(f(x)+g(x)) =  f(x) +  g(x) • Â(n f(x)) = n  f(x) (n es un número)

4.2) Números complejos z = a + i b (a= parte real, b= parte imaginaria)

b r = |z|= módulo b = r sen αααα r a = r cos αααα αααα αααα = argumento b/a = tg αααα a - αααα r = (a2+b2)1/2

- b z = r cos αααα + i r sen αααα eiαααα = cos α α α α + i sen αααα →→→→ z = r eiαααα Número complejo conjugado de z

z* = a - i b = r cos α α α α - i r sen α α α α = r e-iαααα z*.z = a2 + b2 = r2 = |z|2 (número real) Funciones complejas h(x) = f(x) + i g(x) El producto de una función compleja por su compleja conjugada es una función real: h(x)*.h(x) = |h(x)|2

5) Postulados de la Mecánica Cuántica 5.1) Primer postulado El estado de un sistema viene descrito por la función de onda Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, que es función de las coordenadas de las partículas que

componen el sistema y del tiempo: ΨΨΨΨ(q1,q2,q3 ..., t).

ΨΨΨΨ(x,t), función de estado de una partícula que se mueve sólo sobre el eje x.

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Interpretación de Born: ΨΨΨΨ(x,t)2 dx = probabilidad de encontrar a la partícula a un tiempo t en la región comprendida entre x y x+dx. ΨΨΨΨ(x,t)2 = ΨΨΨΨ*(x,t)ΨΨΨΨ(x,t) Función densidad de probabilidad.

∫∫∫∫2222)))),,,,((((ΨΨΨΨ

b

a

dxtx = Probabilidad de encontrar la partícula entre a y b

Condición de normalización:

∫∫∫∫∞∞∞∞

∞∞∞∞−−−−

ΨΨΨΨ dx)t,x(2

= ∫ ΨΨ∞

∞−dx )t,x(* )t,x( = 1 [1.7]

La función de onda debe ser aceptable:

• Función continua y de primera derivada continua.

• Función unívoca. • Función de cuadrado integrable.

Funciones de ondas no aceptables. 5.2) Segundo postulado A cada observable le corresponde un operador de tal manera que:

2h

i i x p - p x xx ππππ======== h

Operador impulso = x

i

px ∂∂∂∂∂∂∂∂====

h

Operador posición = xx ====

Operador energía cinética = 2

222x

xx

m 2

m 2

pT

∂∂∂∂∂∂∂∂

−−−−========h

22

2

2

2

2

2

22

m 2

zyx

m 2

T ∇∇∇∇−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

hh [1.8]

Operador Hamiltoniano, )z,y,x(V m 2

H 22

++++∇∇∇∇−−−−====h

[1.9]

Cap. 1. Introducción a la Mecánica Cuántica 7

5.3) Tercer postulado (postulado de descomposición espectral) Cuando un sistema está descrito por una función de onda ΨΨΨΨ, el valor promedio del observable a es igual al valor esperado del correspondiente operador Â

<a> = ∫∫∫∫∫∫∫∫

ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ

ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ

d *

d A* [1.10]

E H 333 ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

E H 222 ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ d *

d H* E E∫ τΨΨ∫ τΨΨ

==><

E H 111 ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ Si la función ΨΨΨΨ1 es función propia de Â, la medida del

observable siempre es el valor propio correspondiente. Â ΨΨΨΨ1 =

a1 ΨΨΨΨ1

Sólo los valores propios del operador asociado a un observable pueden obtenerse en la medida de ese observable. 5.4) Cuarto postulado El sistema evoluciona en el tiempo según la ecuación de

Schrödinger dependiente del tiempo.

ΨΨΨΨ====∂∂∂∂ΨΨΨΨ∂∂∂∂−−−− Hti

h [1.11]

ddoonnddee H eess eell ooppeerraaddoorr hhaammiillttoonniiaannoo.. 5.5) Quinto postulado Principio de exclusión de Pauli (en mecánica cuántica no relativista):’La función de onda de un sistema de electrones debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones cualesquiera’.

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6) Consecuencias de los postulados 6.1) Operadores hermíticos Los operadores de observables físicos son hermíticos.Son operadores lineales que además cumplen:

∫∫∫∫ ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ dA* nm = {{{{ }}}}*dA* mn∫∫∫∫ ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ ; ∫∫∫∫ ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ dA* nm = ∫∫∫∫ ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ d*)A( nm [1.12]

• Los operadores hermíticos tienen valores propios reales.

• Las funciones propias de los operadores hermíticos son ortogonales.

∫∫∫∫ ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ d* nm = 0 (si m ≠≠≠≠ n)

∫∫∫∫ ττττΨΨΨΨΨΨΨΨ d* nm = δδδδmn (delta de Kronecker) [1.13]

m = n →→→→ δδδδmn = 1 (condición de normalización) m ≠≠≠≠ n →→→→ δδδδmn = 0 (condición de ortogonalidad)

• Las funciones propias de los operadores hermíticos forman un conjunto completo. Es decir, una función de estado no propio de ese operador puede expresarse como combinación lineal de sus funciones propias. (principio de

superposición de estados).

 ΨΨΨΨi = ai ΨΨΨΨi (i= 1,2, ....∞∞∞∞) ψ ψ ψ ψ = c1 ΨΨΨΨ1 + c2 ΨΨΨΨ2 + c3 ΨΨΨΨ3 + … 6.2) Funciones degeneradas Las funciones propias distintas que tienen el mismo valor propio se llaman degeneradas. La combinación lineal de funciones propias degeneradas da lugar a otra función de estado propia y con el mismo valor propio.  f1 = a f1 ;  f2 = a f2 ...  fn = a fn g = c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn  g =  (c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn )  g = c1 Âf1 + c2 Âf2 + ... + cn Âfn  g = c1 a f1 + c2 a f2 + ... + cn a fn = a g  g = a(c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn)= a g

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6.3) Observables Si dos observables han de tener simultáneamente valores precisamente definidos, sus correspondientes operadores deben conmutar. Dos operadores hermíticos que conmutan tienen un conjunto de funciones propias comunes. 6.4) Funciones propias Si f es una función propia de un operador lineal, la función kf también es función propia del operador con el mismo valor propio  f = a f  (kf) = k  f = k a f = a (kf) 6.5) Principio de incertidumbre.  y Ê no conmutan. El sistema está en un estado ΨΨΨΨ. Desviación del observable ∆∆∆∆a = a - < >a

δδδδa = 222 aaa >>>><<<<−−−−>>>><<<<====>>>>∆∆∆∆<<<< [1.14]

δδδδa es la incertidumbre, indeterminación o desviación estándar (raíz cuadrada del promedio de las desviaciones al cuadrado).

(δδδδa δδδδb)2 ≥≥≥≥2

]B,ˆ[*∫ ΨΨ τdA41 [1.15]

Ejemplo 1.5 Demuestre el principio de incertidumbre para las magnitudes físicas x y px.

[ ]

22*

2

1

ˆ,ˆ*2

1

hhh ==ΨΨ≥∂∂

ΨΨ≥∂∂

∫

∫

idipx

dpxpx

x

xx

τ

τ

Cap. 1. Introducción a la Mecánica Cuántica 10

6.6) Estados estacionarios. Ecuación de Schrödiger independiente del tiempo.

Si se tiene un sistema estacionario ( V ≠≠≠≠ f(t) y H sólo depende de la posición)

)z,y,x(Vm2

H 22

++++∇∇∇∇−−−−====h

La función de onda total se puede expresar como producto de funciones de onda. )q( )t()t,q( ψψψψφφφφ====ΨΨΨΨ [1.17] De acuerdo con el cuarto postulado (ec.[1.11])

t)(q, )q(Ht

)t,q(i

ΨΨΨΨ====∂∂∂∂

ΨΨΨΨ∂∂∂∂−−−−h

(q) )q(H )t(t

)t( )q(

iψψψψφφφφ====

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂ψψψψ−−−−

h

)q(H)q(

1t

)t()t(

1i

ψψψψψψψψ

====∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂

φφφφ−−−−h

[1.18]

kt

)t()t(

1i

====∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂

φφφφ−−−−h

[1.19]

k)q(H)q(

1====ψψψψ

ψψψψ →→→→ (q) k)q(H ψψψψ====ψψψψ [1.20]

Para calcular el valor de k:

(q) (t) E (q) (t) H ψψψψφφφφ====ψψψψφφφφ

(q) E (q) H ψψψψ====ψψψψ (k = E) [1.21] 1.21 es la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Et

)t()t(

1i

====∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂

φφφφ−−−−h

dtE i

)t()t(d

h−−−−====

φφφφφφφφ

h-iEt/e A)t( ====φφφφ Se llaman sistemas estacionarios ya que la probabilidad de encontrar al sistema no depende del tiempo. Función densidad de probabilidad: t)(q,* )t,q()t,q(

2ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

(q) (q) (q)* e (q) e )q(*)t,q(2iEt/-iEt/2

ψψψψ====ψψψψψψψψ====ψψψψψψψψ====ΨΨΨΨ hh

Cap. 1. Introducción a la Mecánica Cuántica 11

6.7) Sistemas independientes E = E1 + E2 →→→→

21 HHH ++++====

1111 EH ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ y 2222 EH ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

Si se supone que

21ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

221112212121 HH)HH(HH ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++====ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++====ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨ E)EE(EEH 2121221112 ΨΨΨΨ es función propia del hamiltoniano con E (E1+E2) como valor propio.