Introduccion a la Investigacion de Operaciones
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Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
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Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
SESIÓN 01.
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
SESIÓN 01.1
1.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................. 2
1.2 UN POCO DE HISTORIA ................................................................................................................................... 5
1.3 DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO). .............................................................. 6
1.4 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. .......................................................... 7
1.5 ESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN. ......................................... 9
1.6 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL .............................................................................................. 11
1.4 MODELOS FÁCILES ................................................................................................................................... 15
1.5 MODELOS CON POCO GRADO DE DIFICULTAD ........................................................................ 24
1.6 MODELOS CON RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD ............................................................. 39
1.7 MODELOS DIFÍCILES ................................................................................................................................ 46
1.7 SOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES CON SOLVER........................................................................... 53
1.8 HOJA DE TRABAJO 01 ................................................................................................................................... 65
Contenidos:
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Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
1.1 INTRODUCCIÓN
Una decisión puede ser clasificada en estructurada si envuelve una serie de factores que
puedan ser cuantificados y luego formulados en términos matemáticos. La Investigación de
Operaciones es una herramienta de apoyo a la decisión estructurada, y durante el presente
curso vamos ver que algunos problemas pueden ser formulados matemáticamente.
Para mostrar los factores que intervienen en la formulación de un problema de
programación lineal, utilizaremos una situación problemática basada en el juego a doble
mano. A este problema denominaremos El planeamiento de un jugador.
Resulta que Paquito está saliendo con dos de sus vecinas, llamadas Katy y Fiorella. Por tal
motivo debe tomar la decisión con quien de las vecinas debe salir. Obviamente, lo primero
que pasa por su cabeza, es salir con las dos al mismo tiempo, cierto?, pero salir con las dos
al mismo tiempo puede causar problemas dado que ellas no aceptarían salir juntas sobre
todo porque se sabe que son muy celosas.
Por otro lado, salir todo el día con una vecina no es muy bueno económicamente dado que
Paquito no dispone del dinero suficiente, pero por encima de esta limitación Paquito está
decidido disfrutar de su buena suerte al haber conquistado a sus dos vecinas; así que está
pensando en alguna estrategia que le permita decidir cuantas veces al mes debe salir con
cada una de sus vecinas. ¿Cuál es la decisión?.
Paquito recordando las sabias enseñanzas de su profesor del curso de Investigación de
Operaciones, curso que a propósito llevó por segunda matricula, decide elaborar un modelo
matemático que le permita determinar cuántas veces al mes salir con cada una de sus
vecinas.
El primer paso que realiza es representar con letras y subíndices el número de salidas al
mes con cada una de sus vecinas, de la siguiente forma:
1x : Representa la cantidad de veces al mes, que debe salir con Katy.
2x : Representa la cantidad de veces al mes, que debe salir con Fiorella.
Estas expresiones son denominadas variables de decisión 1x y 2x , las cuales son la parte
más importante para la representación matemática de un problema, estás son escogidas
libremente.
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Podemos pensar que Paquito puede salir con sus vecinas cuantas veces quisiera, pero uno
de sus principales problemas es la falta de dinero (problemas financieros), puesto que
Paquito sabe que a Katy le gusta de frecuentar lugares caros y una salida le genera un gasto
de 180 soles, sin embargo Fiorella es más sencilla y gusta frecuentar lugares más baratos,
así ella le genera un gasto de 100 soles.
Se sabe que Paquito recibe una mensualidad 800 soles por mes, dinero que a propósito le
envían sus padres para sus estudios. Conociendo los gastos que generan sus vecinas,
Paquito se pregunta cómo hacer para no terminar endeudado. Por tanto comienza hacer
sus cuentas del siguiente modo:
Como una salida con Katy le cuesta 180 soles y como 1x representa el número de veces al
mes que sale con Katy, entonces al mes terminaría gastando 180 1x soles. Del mismo modo
salir con Fiorella le cuesta 100 soles y como sale 2x veces al mes con ella, entonces al mes
terminaría gastando 100 2x soles.
Paquito sabe que no puede gastar más de 800 soles mensuales, por tanto representa este
inconveniente del siguiente modo:
Pero los inconvenientes para salir con ellas no quedan allí, porque la diferencia entre las dos
no son sólo los gastos por salida, sino que también tiene problemas con el tiempo. Es
decir, salir con Katy requiere en promedio 4 horas de su tiempo, mientras que una salida
con Fiorella requiere en promedio 2 horas.
El problema con el tiempo es porque Paquito tiene que estudiar, porque de no ser así sus
calificaciones bajarían y sus padres dejarían de asignarles los 800 soles mensuales.
Consideremos que Paquito sólo dispone de 20 horas libres por mes. Como podemos
garantizar que él no empleará más tiempo del que dispone, así usando la notación anterior,
tenemos:
Gasto total del
mes
800100180 21 xx
Total disponible por mes
Total de horas
2024 21 xx
Tiempo libre
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Paquito debe comenzar a unir todo lo pensado anteriormente
800100180 21 xx
2024 21 xx
Para poder planear y decidir cuantas veces tendrá que salir con Katy ( 1x ) y cuantas con
Fiorella ( 2x ), tomando en cuenta el dinero y tiempo disponible. A la vez podrá saber cuántas
horas y cuanto de dinero consumirá, así como cuánto dinero y tiempo le sobrará.
1° Caso
¿Cuánto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 2 veces?, es decir 31 x y 22 x ,
verificamos cuánto dinero y cuánto tiempo consume.
740)2(100)3(180 (dinero gastado)
16)2(2)3(4 (tiempo gastado)
¿Cuánto le sobra?
Como podemos ver al salir tres veces con Katy y dos veces con Fiorella, Paquito consume
740 soles y 16 horas, sobrando al final del mes 60 soles y 4 horas.
2° Caso
¿Cuánto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 4 veces?, es decir 31 x y 42 x ,
verificamos cuánto dinero y cuánto tiempo consume.
940)4(100)3(180 (dinero gastado)
20)4(2)3(4 (tiempo gastado)
¿Cuánto le sobra?
Como podemos ver al salir tres veces con Katy y cuatro veces con Fiorella, Paquito consume
940 soles y 20 horas, generándole una deuda de 140 soles dado que él dispone sólo de 800
soles, por otro lado consume todo el tiempo disponible del mes que son las 20 horas.
Por lo tanto, Paquito no puede salir tres veces con Katy y cuatro veces con Fiorella, dado
que está situación es imposible, dentro de las condiciones que fueron propuestas.
Pero nos falta un objetivo
Podemos notar que nos falta un objetivo, es decir debemos pensar que es lo quiere Paquito
para obtener el mayor beneficio al salir con sus vecinas. Una opción puede ser, salir la
mayor cantidad de veces con las dos sin importar la preferencia por ellas; está situación
queda expresada del siguiente modo:
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Maximizar 21 xx
Otro posible objetivo puede ser construido del siguiente hecho; a Paquito le gusta dos veces
más Katy que Fiorella, entonces podemos crear un coeficiente que represente su
preferencia; es decir un valor unitario para Fiorella y el doble para Katy. Obteniendo el
siguiente objetivo
Maximizar 212 xx
De esta forma se logra formalizar dos modelos diferentes:
0,
2024
800100180
:.
21
21
21
21
xx
xx
xx
as
xxMax
0,
2024
800100180
:.
2
21
21
21
21
xx
xx
xx
as
xxMax
OBJETIVO DEL CURSO:
En el curso de Investigación de Operaciones trabajaremos con problemas de optimización
lineal, veremos que en problemas reales de optimización siempre se busca maximizar o
minimizar una cantidad específica, llamada objetivo, que depende de un número finito de
variables de entrada, estas variables pueden ser independientes unas de las otras o
relacionadas unas con las otras por medio de una o más restricciones.
Para introducirnos a este inmenso campo de la optimización; en primer lugar hacemos un
repaso de la historia de la Investigación de Operaciones.
1.2 UN POCO DE HISTORIA
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a principios de 1937, cuando se
hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una
empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi
siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra
mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos
escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación,
en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa
hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico
a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran
investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros
equipos de IO.
El inicio formal de la investigación de operaciones tuvo lugar en Inglaterra a finales de 1939,
cuando la estación de investigación de Bawdsey, bajo la dirección de A. Rowe, fue encargada
del desarrollo de políticas óptimas para el nuevo sistema de detección militar llamado radar.
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Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos
contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés, a través de sus investigaciones para
mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un
papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte.
Tabla 1.1. Antecedentes de la Investigación de operaciones.
AÑO AUTOR TÉCNICA DESARROLLADA
1759 Quesnay Modelos primarios de programación
matemática.
1905 G.Jordan. Modelos lineales.
1874 Warlas. Modelos primarios de programación
matemática.
1891 Minkousky. Modelos lineales.
1903 Farkas. Modelos lineales.
1897 Markov. Modelos dinámicos probabilísticos.
1905 Erlang. Líneas de espera.
1920-30 Konig Egervary Asignación.
1937 Morgerstern. Lógica estadística.
1937 Von Newman. Teoría de juegos.
1939 Kantorovich. Distribución.
1947 G.Dantzig. Método SIMPLEX.
1950’s
Bellman. Programación dinámica.
Kun-Tucker. Programación no lineal.
Gomory. Programación entera.
Ford-Fulkerson. Redes de flujo.
Markowitz. Simulación.
Raifa. Análisis de decisiones.
Arrow-Karli. Inventarios.
1.3 DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).
No existe una definición exacta para La Investigación de Operaciones, de manera muy
general decimos que la Investigación de Operaciones trata sobre la búsqueda de la mejor
utilización (técnica, económica, social, política) de recursos (escasos) y procesos (diversos), a
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través de la aplicación de métodos científicos, buscando la mejor satisfacción (utilidad,
placer) del cliente (usuario, público) definidos en un contexto (conjunto, totalidad).
El desarrollo de un trabajo de IO envuelve equipos multidisciplinarios para la aplicación de
los métodos científicos a problemas reales encontrados en los sistemas de producción de
bienes y servicios, como herramienta auxiliar para la toma de decisiones en cualquier sector
y nivel de economía.
Según Churchman, Ackoff y Arnoff: “la investigación de operaciones es la aplicación, por
grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de
las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que
mejor sirvan a los objetivos de la organización”.
Por tal motivo, decimos que la investigación de operaciones utiliza los resultados de muchas
áreas científicas aunque fundamentalmente se encuentra en la matemática, la economía, el
cálculo de probabilidades y la estadística.
1.4 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
Es posible de una forma bastante general resumir el proceso de modelado o de construcción
de modelos bajo el punto de vista operacional, por los pasos sugeridos en el siguiente
flujograma.
Figura 1.1. Metodología de la Investigación de Operaciones
Definición del problema
Formulación construcción del modelo matemático
Validación el modelo
Reformulación del modelo
Aplicación del modelo
Simulación del modelo
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Donde:
1. La definición del problema es una de las fases más importantes del proceso y
comprende la clara percepción del desafío colocado. El problema debe ser traducido en
elementos palpables englobando:
Descripción exacta de los objetivos del estudio.
Identificación de las variables de decisión o control existentes.
Nivel de detalle (reconocimiento de las limitaciones, restricciones y exigencias del
sistema).
La descripción de los objetivos es una de las actividades más importantes en todo el
proceso de estudio pues a partir de ella es que el modelo es creado. De la misma forma es
esencial que las alternativas de decisión y las limitaciones sean explicitadas, para que las
soluciones obtenidas al final del proceso sean válidas y aceptables.
2. El secreto para construir un modelo de optimización depende de una adecuada
traducción, también denominada “formulación”. El propio término formular largamente
empleada para explicar el proceso de construcción de modelos de optimización, trae
consigo una enorme carga cuantitativa y matemática.
Por otro lado, una adecuada formulación depende también de elementos que escapan al
contenido estrictamente técnico, envolviendo la percepción del elaborador del modelo (o
equipo de elaboración) y una facultad cognitiva de alto nivel.
Las fórmulas o ecuaciones del modelo no se encuentran listas y acabadas de la
naturaleza, ellas tienen que ser identificadas o creadas. Extrañamente, el rigor de la
traducción es obtenido a través de procesos poco rigurosos o conocidos, envolviendo:
La intuición.
La experiencia.
La creatividad.
El poder de síntesis, etc.
Esto nos trae dos consecuencias inmediatas para formulación de modelos:
Existe una enorme dificultad en el proceso de formulación.
Existe una fuerte tendencia a considerar la actividad de formulación de un modelo
como un arte.
En esta fase de formulación del modelo de optimización son definidos los tipos de
variables a utilizar en la representación, así como el nivel apropiado de agregación de las
variables. También deben ser representadas las restricciones del problema, tanto las
cuantitativas como las de naturaleza lógica.
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El modelo deberá ser adecuado a la naturaleza de los datos de entrada y de salida, así
como ser capaz de expresar las funciones de desempeño que posiblemente serán exigidos
en el proceso de optimización. (Función objetivo)
3. Validación del modelo, es necesario verificar la validez del modelo. Un modelo es válido
si tomando en cuenta su inexactitud en representar el sistema, él es capaz de dar una
predicción aceptable del comportamiento del sistema. Un método común para verificar la
validez del modelo es analizar su desempeño con datos pasados del sistema y verificar si
él logra reproducir el comportamiento que el sistema presentó. Es importante observar
que este proceso de validación no se aplica a sistemas inexistentes, es decir en proyectos.
En este caso la validación es hecha por la verificación de la correspondencia entre los
resultados obtenidos y algún comportamiento esperado del nuevo sistema.
4. Una vez evaluadas las ventajas y la validación de la solución obtenida, esta debe ser
convertida en reglas operacionales. La implementación, por ser una actividad que altera
una situación existente, es una de las etapas críticas del estudio. Es conveniente que sea
controlada por el equipo responsable, pues eventualmente los valores de la nueva
solución, cuando llevados a la práctica pueden demostrar la necesidad de corregir las
relaciones funcionales del modelo conjunto de posibles cursos de acción exigiendo la
reformulación del modelo en alguna de sus partes.
1.5 ESTRUCTURA Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN.
Un modelo representa o describe los elementos relevantes de una situación y sus
interacciones existentes entre ellos. La concepción de un modelo tiene por finalidad facilitar
el entendimiento y la manipulación de las relaciones que ocurren entre los diversos
parámetros que integran un sistema o proceso, abstraídas de una realidad.
Como el proceso de modelado depende del espíritu creativo del hombre, tal vez no podemos
definir claramente los límites de los modelos de Programación Matemática y sus
aplicaciones. Generalmente podemos decir que su empleo clásico seria:
“Utilizar de forma eficiente recursos limitados y que pueden ser disputados por
actividades alternativas”
En los modelos matemáticos, la representación de determinado sistema es generalmente
realizada por tres conjuntos principales de elementos:
1. Variables de decisión y parámetros: las variables de decisión son las incógnitas a
ser determinadas por la solución del modelo. Los parámetros son los valores fijos en el
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Formulación del problema.
Construcción del modelo.
Ejecución de los análisis
Implementación y actualización.
problema. Simbólicamente, las variables de decisión son representadas por letras
minúsculas con subíndices como: ix , ni ,...,3,2,1
2. Restricciones: de modo a llevar en cuenta las limitaciones físicas del sistema, el
modelo debe incluir restricciones que limitan las variables de decisión a sus valores
posibles (o viables). Estas restricciones pueden ser expresadas matemáticamente por
medio de ecuaciones e inecuaciones.
3. Función objetivo: es una función matemática que define la calidad de la solución en
función de las variables de decisión. En forma general es representada como una
función de varias variables ),...,,( 21 nxxxfz .
Podemos resumir de forma sucinta los pasos del proceso de análisis cuantitativo conforme
se expresa en el siguiente flujo:
Figura 1.2. Proceso de análisis cuantitativo
La etapa de formulación comprende:
La definición de las variables controlables (de decisión o control) y las no controlables
(externas o de estado).
La elaboración de la función objetivo y del criterio de optimización.
La formalización de las restricciones del modelo.
La etapa de construcción del modelo engloba:
La elaboración de la estructura de entrada y salida de información.
Las formulas de interrelación.
Los horizontes de tiempo.
La etapa de ejecución de los análisis comprende:
Análisis de sensibilidad de la solución.
Levantamiento de la precisión de los datos.
Estudio de la estabilidad computacional.
Levantamiento de las demás especificaciones del modelo.
La etapa de implementación de los resultados y la actualización del modelo comprende:
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Modelos de optimización
Estocástico Determinístico
Lineal
Entero
Binario
Continuo
No lineal
Convexo
Restricto
Irrestricto
No convexo
Un gran proceso de feedback repasando las etapas anteriores, haciendo uso del
modelo en el sistema de producción o prestación de servicios.
Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Deterministicos (MD) y
Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros
asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos
Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una
distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación
Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Deterministas.
Figura 1.3. Clasificación de los modelos de optimización
1.6 MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la
situación siguiente:
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias
variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.
Así un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un
comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este
sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la
Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general
permite una buena aproximación de la realidad.
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La formulación del problema a ser solucionado por programación lineal sigue algunos pasos
básicos:
Debe ser definido el objetivo básico del problema, es decir la optimización a ser
alcanzada. Por ejemplo maximizar ganancias, desempeños o bienestar social;
minimizar costos, perdidas, tiempo. Tal objetivo será representado por una función
objetivo, a ser maximizada o minimizada.
Para que esta función objetivo sea matemáticamente especificada, deben ser definidas
las variables de decisión involucradas. Por ejemplo, número de máquinas, área a ser
explorada, etc. Normalmente se asume que todas estas variables poseen solamente
valores positivos.
Estas variables están sujetas a una serie de restricciones, normalmente representadas
por inecuaciones. Por ejemplo, cantidad de equipos disponibles, tamaño del área a ser
explorada, etc.
Todas las expresiones, deben estar de acuerdo con la hipótesis principal de la programación
lineal, es decir todas las relaciones entre las variables deben ser lineales. Esto implica
proporcionalidad de las cantidades envueltas.
A continuación desarrollamos algunos ejemplos que nos permitirá conocer un poco más
acerca de los problemas de programación lineal.
Problema 1.1. Yemito es un aficionado de los juguetes electrónicos y planea construir dos
tipos de juguetes electrónicos (Ben10 y DinoRey). Él sabe que para construir un juguete
Ben10 debe necesitan 9 sensores electrónicos y 3 horas de trabajo. Mientras que para
construir un DinoRey se necesitan 1 sensor electrónico y 1 hora de trabajo. Yemito pidió a su
papá comprar los sensores electrónicos, pero éste sólo compro 18 sensores electrónicos. Por
otro lado, Yemito tiene planeado trabajar en sus juguetes el día sábado de 8:00 am hasta las
8:00 pm, por tal motivo dispone de 12 horas para trabajar en la construcción de los juguetes.
Yemito tiene planeado vender estos juguetes en su escuela, obteniendo una utilidad de 4
dólares por cada juguete Ben10 y un dólar por cada juguete DinoRey. Sabiendo que logra
vender todos los juguetes construidos, se pide elaborar un modelo de programación lineal
para optimizar sus utilidades.
Solución:
Para elaborar el modelo de programación lineal seguimos los siguientes pasos:
1. Definición de las variables de decisión:
En este caso estamos interesados en saber cuántos juguetes Ben10 y DinoRey debe
construir, por tal motivo declaramos las variables de decisión de la siguiente forma:
1x : Cantidad de juguetes Ben10 construidos
2x : Cantidad de juguetes DinoRey construidos
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Una vez declaradas las variables de decisión, debemos expresar la función objetivo
utilizando dichas variables.
2. Elaboración de la función objetivo:
Dado que nuestro propósito es maximizar la utilidad total y sabemos que por la fabricación
de un Ben10 tenemos una utilidad de 4 dólares, entonces la utilidad total generada por el
modelo ben10 es de $ 14x , de igual forma el modelo DinoRey genera una utilidad de $1 2x .
Por tanto si queremos obtener la utilidad total generada por la fabricación de los dos
juguetes tendremos 214 xxz .
Como nuestro objetivo es maximizar la utilidad, tenemos la siguiente función objetivo:
Max 214 xxz .
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Antes de construir las restricciones del problema, debemos tener presente las siguientes
observaciones:
No se puede utilizar lo que no se tiene.
La cantidad utilizada debe ser menor o igual a la cantidad disponible
Restricción de sensores electrónicos
Sabemos que disponemos de 18 sensores electrónicos y que para fabricar un Ben10, se
necesita de 9 sensores electrónicos y para un DinoRey se necesita 1 sensor electrónico. Por
tanto podemos decir que 189 21 xx .
Restricción de horas de trabajo
De igual modo, se dispone de 12 horas de trabajo, pero para fabricar un Ben10 se
necesita 3 horas de trabajo y para un DinoRey se necesita 1 hora de trabajo. Por tanto
podemos decir que 123 21 xx .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, es decir,
mayores o iguales a cero tenemos que 01 x y 02 x .
4. Modelo final:
Finalmente podemos expresar el modelo de programación lineal de la forma siguiente
0,
123
189
:
4
21
21
21
21
xx
xx
xx
asujeto
xxzMax
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Observaciones:
Para determinar la función objetivo debe tomarse en cuenta lo siguiente:
a. Si tenemos como datos solo costos ya sean de materia prima, mano de obra, uso de
máquina, transporte, depreciación, etc. Nos indica indudablemente que la Función
Objetivo (F.O.) será de MINIMIZACIÓN.
b. Si el enunciado solo tiene datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a
recibir por unidad producida la F.O. será de MAXIMIZACIÓN.
c. Si el enunciado tiene datos de costos y ganancias, entonces construimos la F.O. de la
siguiente manera:
GANANCIAS - COSTOS =UTILIDAD, la que tendrá como F.O. MAXIMIZAR.
d. Si no se tiene ningún dato económico y solo se tienen tiempos, el tiempo se
minimiza, si nos da solo producción, la producción se ha de maximizar, si el modelo
corresponde a contratar personal, la función objetivo se debe minimizar.
Las restricciones o limitaciones en los modelos lineales se representan por
desigualdades o igualdades: ,,
Muchos problemas tienen expresiones características que nos pueden anunciar que
tipo de restricción debemos usar, por ejemplo:
Las restricciones deben tener las mismas unidades en tanto en su lado izquierdo como
derecho.
La no negatividad de algunas variables es muy importante para definir la solución de
algunos modelos, por lo tanto se dice que todas las variables son 0 .
A partir de ahora mostraremos una gran variedad de aplicaciones de modelos lineales con la
finalidad de que se familiarice con los modelos de programación lineal. Para este fin se ha
etiquetado a los problemas según su nivel de dificultad, por tal motivo al lado derecho de
cada problema colocamos un icono que identificará el nivel de dificultad
En la siguiente tabla se muestran los niveles de los problemas y sus respectivos iconos de
identificación.
Usar Para expresiones como:
Cómo máximo, a lo más, disponibilidad, demanda máxima.
Cómo mínimo, por lo menos, al menos, demanda mínima.
Total, proporción
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1.4 MODELOS FÁCILES
Problema 1.2.
Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre
menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de
la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre
menor o igual a 18 unidades.
Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un
beneficio máximo, sabiendo que cada litro de vino deja un beneficio de 8 soles y cada litro de
vinagre de 2 soles. Suponiendo que todo lo que se produce se vende.
Solución:
En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla
1. Definición de las variables de decisión:
1x : Cantidad de litros de vino a producir.
2x : Cantidad de litros de vinagre a producir.
2. Elaboración de la función objetivo:
El beneficio total que nos da el vino, lo obtenemos multiplicando el total de vino producido
por su respectivo beneficio obteniendo litroxlitro
soles18 , de la misma forma determinamos el
beneficio total de la producción del vinagre litroxlitro
soles22 . Obteniendo un beneficio total
de 21 28 xx soles. Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:
Maximizar 21 28 xxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de
vinagre más cuatro unidades
Tipo de problema Icono de identificación
FÁCIL
POCO GRADO DE DIFICULTAD RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD DIFÍCIL
DESAFIO
Vino Vinagre
Beneficio (S/)
8 2
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42 21 xx
El triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se
mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.
1843 21 xx
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 01 x , 02 x .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,0
1843
42
:
28
21
21
21
21
xx
xx
xx
asujeto
xxzMax
Problema 1.3. PRODUCCIÓN
Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos departamentos. En el
departamento A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para
fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En el departamento B se invierten tres
días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de
obra y maquinaria, el departamento A dispone de 300 días operario, y el departamento B de
270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de $6000 y por cada
automóvil $2000 ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las
ganancias? (Considere que para la producción se debe utilizar ambos departamentos).
Solución:
En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Número de vehículos del tipo )(2,)(1 automóvilcamióni a producir.
2. Elaboración de la función objetivo:
Camión
Automóvil
Disponibilidad
Departamento A (Días-operario)
7 2 300
Departamento B (Días-operario) 3 3 270
Beneficios ($) 6000 2000
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El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de vehículos
producidos. Obteniendo así, un beneficio total de 21 20006000 xx soles. Finalmente
tenemos la siguiente función objetivo:
Maximizar 21 20006000 xxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de días-operario en el departamento A.
Podemos ver que, sólo disponemos de 300 días-operario en el departamento A; pero
para producir cada camión se necesita de 7 días-operario y para producir cada
automóvil se necesita de 2 días-operario. Por tanto la restricción de días-operario en el
departamento A, queda expresado como: 30027 21 xx .
Restricción de días-operario en el departamento B.
Podemos ver que, sólo disponemos de 270 días-operario en el departamento B; pero
para producir cada camión se necesita de 3 días-operario y para producir cada
automóvil se necesita de 3 días-operario. Por tanto la restricción de días-operario en el
departamento A, queda expresado como: 27033 21 xx .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 01 x , 02 x .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,0
27033
30027
:
20006000
21
21
21
21
xx
xx
xx
asujeto
xxzMax
Problema 1.4. INVERSIÓN
Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero. La captación de depósitos lleva una
hora para convencer al cliente y otra de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una
hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de
horas de trabajo disponibles es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el
trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar
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18
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depósitos. ¿Cuántas operaciones de cada tipo le convienen realizar para obtener el máximo
beneficio?.
Solución:
En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Número de operaciones del tipo )(2,)(1 préstamosdepósitosi a realizar.
2. Elaboración de la función objetivo:
El beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el número de depósitos y
préstamos respectivamente. Obteniendo así, un beneficio total de 213
4xx soles.
Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:
Maximizar 213
4xxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de horas para convencer al cliente.
Podemos ver que, sólo disponemos de 40 horas, para convencer al cliente, de los
cuales se necesita de una hora para convencer al cliente de realizar un depósito y un
préstamo respectivamente. Por tanto la restricción queda expresado como: 4021 xx .
Restricción de horas de trabajo burocrático.
Podemos ver que, sólo disponemos de 60 horas, para realizar el trabajo burocrático, de
los cuales se necesita de 1 y 2 horas para realizar un depósito y un préstamo
respectivamente. Por tanto la restricción queda expresado como: 602 21 xx .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 01 x , 02 x .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
Depósitos Préstamos Disponibilidad
Trabajo para convencer al cliente (hora/operación)
1 1 40
Trabajo burocrático (hora/operación) 1 2 60
Beneficios ($/operación) 1 1+1/3
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0,0
602
40
:
3
4
21
21
21
21
xx
xx
xx
asujeto
xxzMax
Problema 1.5. MEZCLAS
Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor.
Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a
un costo mínimo. Pearce está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la Tabla 1.2
se muestra la información dietética importante por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de
maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elabore un modelo de PL para determinar la
mezcla dietética que satisfaga los requisitos diarios a un costo mínimo.
Tabla 1.2. Nutrientes por libra de grano
Nutriente
(mg)
Maíz Soya Avena Alfalfa Necesidades (mg)
Proteína 15 30 15 7 Mínimo 50
Calcio 40 10 40 45 Mínimo 150
Grasas 20 50 8 25 Máximo 120 y Mínimo 25
Calorías 850 1500 1200 4000 Mínimo 5000
Costo por
libra
70 45 40 90
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Número de libras de 4,3,2,1i (maíz, soya, avena y alfalfa respectivamente) a comprar.
2. Elaboración de la función objetivo:
El costo total se obtiene multiplicando el costo de cada libra con la cantidad de libras
compradas. Obteniendo así, un costo total de 4321 90404570 xxxx . Finalmente tenemos
la siguiente función objetivo:
Minimizar 4321 90404570 xxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de proteínas.
507153015 4321 xxxx .
Restricción de calcio.
15045401040 4321 xxxx .
Restricción de grasas.
252585020 4321 xxxx .
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1202585020 4321 xxxx .
Restricción de calorías.
5000400012001500850 4321 xxxx .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 0,,, 4321 xxxx .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,,,
5000400012001500850
1202585020
252585020
15045401040
507153015
:
90404570
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
asujeto
xxxxzMin
Problema 1.6. ENCUESTA
Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita
comunicar por lo menos a 150 esposas, 120 maridos, 100 varones adultos solteros y 110
mujeres adultas solteras. Cuesta $2 realizar una llamada telefónica durante el día, y $5
realizar una llamada telefónica durante la noche (debido a mayores costos laborales). Estos
datos se muestran en la Tabla 1.3. Se pueden realizar a lo más la mitad de estas llamadas en
la noche, por disponer de un número limitado de empleados. Formule un PL que minimice los
costos para completar la encuesta.
Tabla 1.3. Porcentaje de personas que contestan las llamadas
Persona que contesta % de llamadas diurnas % de llamadas nocturnas
Esposa 30 30
Marido 10 30
Soltero 10 15
Soltera 10 20
No contestan 40 5
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Número de llamadas realizadas en horario 2,1i (diurno y noche respectivamente).
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2. Elaboración de la función objetivo:
El costo total por las llamadas realizadas se obtiene multiplicando el costo de cada
llamada según el horario por la cantidad de llamadas realizadas. Obteniendo así, un costo
total de 21 52 xx . Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:
Minimizar 21 52 xxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de esposas encuestadas.
1503.03.0 21 xx .
Restricción de maridos encuestados.
1203.01.0 21 xx .
Restricción de varones solteros encuestados.
10015.01.0 21 xx .
Restricción de mujeres solteras encuestadas.
1102.01.0 21 xx .
Restricción realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche.
2
212
xxx
.
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 0, 21 xx .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,
0
1102.01.0
10015.01.0
1203.01.0
1503.03.0
:
52
21
12
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
asujeto
xxzMin
Problema 1.7. PESCA
Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como
máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas
de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de
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10 soles el kilo y el precio del rape es de 15 soles el kilo, ¿qué cantidades debe pescar para
obtener el máximo beneficio?
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Número de toneladas de peces del tipo 2,1i (merluza y rape respectivamente) a
pescar.
2. Elaboración de la función objetivo:
Para obtener el beneficio total multiplicamos el valor de un kilo de merluza y rape por la
cantidad vendida de cada uno de ellos, para esto, debemos transformar la unidad de
medida de nuestra variable dado que está en toneladas. Obteniendo así, un beneficio total
de 21 100015100010 xtn
kg
kg
solesx
tn
kg
kg
soles .
Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:
Minimizar 21 1500010000 xxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de pesca de merluza.
20001 x .
Restricción de pesca de rape.
20002 x .
Restricción de pesca máxima.
300021 xx .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 0, 21 xx .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,
3000
2000
2000
:
1500010000
21
21
2
1
21
xx
xx
x
x
asujeto
xxzMin
Problema 1.8.
Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro
requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la Tabla
1.4.
Tabla 1.4. Materia prima y mano de obra
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Materia Prima Mano de obra
Compacto 200 18
Subcompacto 150 20
Costo unitario ($) 10 70
Total disponible 80 000 9 000
La división de comercialización ha estimado que a los más 1500 compactos pueden venderse
a $10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno.
Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a
fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos).
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Cantidad de unidades de carros 2,1i (compactos y subcompactos, respectivamente) a
producir.
2. Elaboración de la función objetivo:
Dado que se desea maximizar la ganancia, debemos saber que:
Ganancia=Precio de venta-Costos de producción
Como la materia prima tiene un costo de $10 y para la elaboración de un compacto se
utiliza 200 unidades de materia prima, se tiene un costo de total de $2000 por cada
compacto producido y $ 1500 por cada subcompacto.
Del mismo modo, la mano de obra tiene un costo de $70 y para la elaboración de un
compacto se utiliza 18 unidades de mano de obra, se tiene un costo total de $1260 por
cada compacto producido y $1400 por cada subcompacto.
Finalmente obtenemos la siguiente función objetivo:
Maximizar 212121 1400126015002000800010000 xxxxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de materia prima.
80000150200 21 xx .
Restricción de mano de obra.
90002018 21 xx .
Restricción de número máximo de compactos.
15001 x .
Restricción de número máximo de subcompactos.
2002 x .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 0, 21 xx .
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4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,
200
1500
90002018
800001509200
:
51006740
21
2
1
21
21
21
xx
x
x
xx
xx
asujeto
xxzMax
1.5 MODELOS CON POCO GRADO DE DIFICULTAD
Problema 1.9. MEZCLA
Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de
dulces: Easy Out Candy y Slugger Candy, que se componen solamente de azúcar, nueces y
chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 onzas de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de
chocolate. La mezcla para producir Easy Out Candy tiene que contener por lo menos 20% de
nueces.
La mezcla para producir Slugger Candy tiene que contener por lo menos 10% de nueces y por
lo menos 10% de chocolate. Cada onza de Easy Out Candy se vende a 25 centavos (de dólar),
y una onza de Slugger Candy a 20 centavos. Formule un PL que le permita maximizar sus
ingresos por la venta de dulces.
Solución:
En primer lugar ordenamos un poco la información dada en la siguiente tabla
Easy Out Candy Slugger Candy Disponible
Azúcar 100 onzas
Nueces Por lo menos 20% Por lo menos 10% 20 onzas
Chocolate Por lo menos 10% 30 onzas
Precio de Venta $0,25 $0.20
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Cantidad de onzas usadas del ingrediente 3,2,1i (azúcar, nueces y chocolate
respectivamente) para elaborar el tipo de dulce 2,1j (Easy Out Candy y Slugger
Candy respectivamente).
2. Elaboración de la función objetivo:
Maximizar )(2.0)(25.0 322212312111 xxxxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de la disponibilidad del azúcar.
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1001211 xx .
Restricción de la disponibilidad de las nueces.
202221 xx .
Restricción de la disponibilidad de chocolates.
303231 xx .
Porcentaje de nueces en Easy Out Candy:
)(2.0 31211121 xxxx
Porcentaje de nueces en Slugger Candy:
)(1.0 32221222 xxxx
Porcentaje de chocolate en Slugger Candy:
)(1.0 32221232 xxxx
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 2,1,3,2,1;0 jixij .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
2,1,3,2,1;0
)(1.0
)(1.0
)(2.0
30
20
100
:
)(2.0)(25.0
32221232
32221222
31211121
3231
2221
1211
322212312111
jix
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
asujeto
xxxxxxzMax
ij
Problema 1.10. PRODUCCIÓN
Sunco produce dos tipos de acero en tres diferentes acerías. Durante un mes dado, cada
acería dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y costo de producción de una tonelada
(ton) de acero, difiere de una fábrica a otra, debido a las diferencias en los hornos de cada
fábrica En la Tabla 1.5, se muestran el tiempo y costo de producción para cada fábrica. Cada
mes. Sunco tiene que producir por lo menos 500 ton de acero 1 y 600 ton de acero 2.
Formule un PL para minimizar los costos para producir el acero deseado.
Tabla 1.5. Producir una tonelada de acero
Acero 1 Acero 2
Costo tiempo Costo Tiempo
Acería 1 $10 20 min $11 22 min
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Acería 2 $12 24 min $9 18 min
Acería 3 $14 28 min $10 30 min
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Toneladas que la acería 3,2,1i produce del acero 2,1j .
2. Elaboración de la función objetivo:
Minimizar 323122211211 10149121110 xxxxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de tiempo de producción acería 1:
hhtonx
tontonx
ton
min60200
min22
min20 1211 .
602002220 1211 xx
Restricción de tiempo de producción acería 2:
602001824 2221 xx .
Restricción de tiempo de producción acería 3:
602003028 3231 xx .
Producción de acero1:
500312111 xxx
Producción de acero2:
600322212 xxx
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 2,1,3,2,1;0 jixij .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
2,1,3,2,1;0
600
500
120003028
120001824
120002220
:
10149121110
322212
312111
3231
2221
1211
323122211211
jix
xxx
xxx
xx
xx
xx
asujeto
xxxxxxzMin
ij
Problema 1.11. PRODUCCIÓN
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Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
Funco fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de
roble o de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla de roble y de 210 pies de tabla de
pino. Una mesa requiere 17 pie de roble, o bien 30 pies de pino y una silla necesita 5 pies de
roble, o bien, 13 pies de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dólares y cada silla a 15
dólares. Formule un PL que se puede usar para maximizar los ingresos.
Solución:
En primer lugar ordenamos la información dada en la siguiente tabla
Mesa Silla Disponible
Roble 17 5 150
Pino 30 13 210
Precio de Venta $40 $15
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Número de unidades de tipo 2,1i (mesa y silla respectivamente), elaborado a base de
2,1j (roble y pino, respectivamente)
2. Elaboración de la función objetivo:
Maximizar )(15)(40 22211211 xxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de disponibilidad de roble:
150517 2111 xx
Restricción de disponibilidad de pino:
2101330 2212 xx
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 2,1,2,1;0 jixij .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
2,1,2,1;0
2101330
150517
:
)(15)(40
2212
2111
22211211
jix
xx
xx
asujeto
xxxxzMax
ij
Problema 1.12. PRODUCCIÓN
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FACULTAD DE INGENIERÍA
Se va a elaborar un producto a base de tres componentes que se producen en tres diferentes
departamentos, disponiendo de los datos mostrados en la Tabla 1.6. El objetivo es determinar
el número de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maximizar el
número de unidades completas del producto final. Formule como un modelo de Programación
lineal.
Tabla 1.6. Capacidad y tasa de producción de las componentes
Departamento Capacidad
(horas)
Tasa de Producción (unid/h)
C1 C2 C3
1 250 12 10 18
2 300 9 12 11
3 360 10 5 12
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Número de horas a laborar para la producción del componente 3,2,1i en el
departamento 3,2,1j .
2. Elaboración de la función objetivo:
Maximizar Pz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Restricción de número de unidades del componente 1:
Pxxx 131211 10912
Restricción de número de unidades del componente 2:
Pxxx 232221 51210
Restricción de número de unidades del componente 3:
Pxxx 333231 121118
Capacidad de horas del departamento 1:
250312111 xxx
Capacidad de horas del departamento 2:
300322212 xxx
Capacidad de horas del departamento 3:
360332313 xxx
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 3,2,1,3,2,1;0 jixij .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
29
Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
2,1,2,1;0
360
300
250
121118
51210
10912
:
332313
322212
312111
333231
232221
131211
jix
xxx
xxx
xxx
Pxxx
Pxxx
Pxxx
asujeto
PzMax
ij
Problema 1.13. PERSONAL
Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata para trabajar
6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5
días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el
mismo sueldo semanal. En la Tabla 1.7 se presentan las necesidades de contratación.
Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el
hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El
gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo
mínimo. Formule este problema como un programa lineal.
Tabla 1.7. Necesidades de contratación de camareras
Día Camareras
necesarias
Lunes 150
Martes 200
Miércoles 400
Jueves 300
Viernes 700
Sábado 800
Domingo 300
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Camareras que ingresan a trabajar el día DSVJMiMLi ,,,;,, (lunes, martes, miércoles,
jueves, viernes, sábado y domingo)
2. Elaboración de la función objetivo:
Minimizar DSVJMiML xxxxxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
30
Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
Para construir las restricciones del problema, utilizamos la siguiente tabla, en la cual se
muestra los días en las que están presentes los trabajadores según el día que comienzan a
trabajar. (Por ejemplo; los trabajadores que inician sus labores el día viernes trabajan
hasta el martes)
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO
Lx Lx Lx Lx Lx
Mx Mx Mx Mx Mx
Mix Mix Mix Mix Mix
Jx Jx Jx Jx Jx
Vx Vx Vx Vx Vx
Sx Sx Sx Sx Sx
Dx Dx Dx Dx Dx
Restricción del día lunes:
1506 DSVJL xxxxx
Restricción del día martes:
2006 DSVML xxxxx
Restricción del día miércoles:
4006 DSMiML xxxxx
Restricción del día jueves:
3006 DJMiML xxxxx
Restricción del día viernes:
7006 VJMiML xxxxx
Restricción del día sábado:
8006 SVJMiM xxxxx
Restricción del día domingo:
3006 DSVJMi xxxxx
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que DSVJMiMLixi ,,,,,,;0 .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
31
Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
DSVJMiMLix
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
asujeto
xxxxxxxzMin
i
DSVJMi
SVJMiM
VJMiML
DJMiML
DSMiML
DSVML
DSVJL
DSVJMiML
,,,,,,;0
3006
8006
7006
3006
4006
2006
1506
:
Problema 1.14. MEZCLA
Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para producir tres tipos de vino
mezclado. Se establecen restricciones al porcentaje de la composición de las mezclas.
Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y de la mezcla C pero a la mezcla A se le
considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones.
Elabore un modelo de PL que hará el mejor uso de las cosechas con que se cuenta.
Tabla 1.8. Composición de las mezclas
Mezcla Vendimia
Precio de
venta (gal)
1 2 3 4
A Por lo menos 75% de 1 y 2 * Cuando más 50% 70
B Por lo menos 35% de 1 y 2 * * 40
C * * * Cuando más 40% 30
Oferta (gal) 180 250 200 400
(*) Señala que no existe restricción.
Solución:
Vendimia 1 Vendimia 2 Vendimia 3 Vendimia 4
Mezcla A Ax1 Ax2 Ax3 Ax4
Mezcla B Bx1 Bx2 Bx3 Bx4
Mezcla C Cx1 Cx2 Cx3 Cx4
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Número de galones a utilizar de la vendimia 4,3,2,1i para la elaboración de la mezcla
CBAj ,,
2. Elaboración de la función objetivo:
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
32
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galxxxxgal
galxxxxgal
galxxxxgal
zMaximizar CCCCBBBBAAAA 43214321432130$40$70$
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Mezcla A: en la expresión por lo menos 75% de 1 y 2, se tiene que ver quiénes son la
que componen la mezcla A para ubicarlas como denominador, en el numerador se
tiene a las vendimias 1 y 2 , obteniéndose la siguiente expresión:
75.04321
21
galxxxx
galxx
AAAA
AA
Por otro lado, en la expresión cuando más 50%, el denominador es igual a la restricción
anterior por que se refiere a la misma mezcla pero el numerador es solo con respecto a
la vendimia 4, la expresión queda:
50.0
4321
4 galxxxx
galx
AAAA
A
Mezcla B: En la expresión por lo menos 35% , el denominador esta formado por todas la
vendimias pero el numerador se refiere sólo a las vendimias 1 y 2, la expresión es:
35.04321
21
galxxxx
galxx
BBBB
BB
Mezcla C: En la expresión cuando más 40%, el denominador esta formado por todas la
vendimias pero el numerador se refiere sólo a la vendimia 4, la expresión es:
40.0
4321
4 galxxxx
galx
CCCC
C
Oferta de la vendimia 1: se tiene en oferta 180 galones, como esto es lo máximo que se
dispone entonces la restricción queda:
galgalxxx CBA 180111
Oferta de la vendimia 2: se tiene en oferta 250 galones, como esto es lo máximo que se
dispone entonces la restricción queda:
galgalxxx CBA 250222
Oferta de la vendimia 3: se tiene en oferta 200 galones, como esto es lo máximo que se
dispone entonces la restricción queda:
galgalxxx CBA 200333
Oferta de la vendimia 4: se tiene en oferta 400 galones, como esto es lo máximo que se
dispone entonces la restricción queda:
galgalxxx CBA 400444
Francisco Ismael Pinillos Nieto
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33
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Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que CBAjixij ,,,4,3,2,1;0 .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
CBAjix
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
asujeto
xxxxxxxxxxxxzMax
ij
CBA
CBA
CBA
CBA
CCCC
BBBB
AAAA
AAAA
CCCCBBBBAAAA
,,,4,3,2,1;0
400
200
250
180
06.04.04.04.0
035.035.065.065.0
05.05.05.05.0
075.075.025.025.0
:
304070
444
333
222
111
4321
4321
4321
4321
432143214321
Problema 1.15. PRODUCCIÓN
Química S.A. diluye cada litro de ácido sulfúrico concentrado con 20 litros de agua destilada
para producir H2SO4. De manera similar, cada litro de ácido clorhídrico concentrado se
diluye con 30 litros de agua destilada para producir HCL. Estos dos productos son vendidos a
escuelas de segunda enseñanza a $0.10 por botella de 100 mililitros (esto es, 0.1 litros). La
compañía actualmente tiene 50000 botellas vacías en inventario. Suponga que existe una
cantidad virtualmente ilimitada de agua destilada que cuesta $0.15 por litro.
Tabla 1.9. Costos y suministros
Acido
Sulfúrico
Acido
Clorhídrico
Costo ($/litro) 12 18
Suministro(litros) 200 150
Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ácido concentrado por diluir para
maximizar las ganancias totales.
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
1x : Número de litros de H2SO4 concentrado
2x : Número de litros de HCL concentrado
1y : Número de litros de agua para concentrado de H2SO4
Francisco Ismael Pinillos Nieto
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2y : Número de litros de agua para concentrado de HCL
1p : Número de litros de H2SO4 para venta
2p : Número de litros de HCL para venta
2. Elaboración de la función objetivo:
Maximizar litrosxlitros
litrosxlitros
litrosyylitros
litrosplitros
litrosplitros
z 21212118$12$15.0$
10.0
10.0$
10.0
10.0$
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Cantidad de H2SO4:
2001 x
Cantidad de HCL:
1502 x
Cantidad de botellas:
botellaslitroyxlitro
botellalitroyx
litro
botella50000
1.0
1
1.0
12211
Proporción:
20
1
1
1 y
x
30
1
2
2 y
x
Producción:
111 yxp
222 yxp
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos
que 0,,,,, 212121 ppyyxx .
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
0,,,,,
030
020
500001010
150
200
:
181215.01.01.0
212121
222
111
22
11
2211
2
1
212121
ppyyxx
yxp
yxp
yx
yx
yxyx
x
x
asujeto
xxyyppzMax
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Problema 1.16. JUEGOS
Un matemático desea distribuir fichas de valor entre 1 y 6 en un tablero de 3 filas y 3
columnas, con tal que la suma de este de 6, ¿Cuál debe ser el valor de cada ficha a colocar
con tal que se cumpla el objetivo propuesto?
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Valor de la ficha de la fila 3,2,1i y la columna 3,2,1j .
2. Elaboración de la función objetivo:
Minimizar 333231232221131211 xxxxxxxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Filas:
6
6
6
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
Columnas:
6
6
6
332313
322212
312111
xxx
xxx
xxx
Valores:
61
61
61
61
61
61
61
61
61
33
32
31
23
22
21
13
12
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
No negatividad:
0ijx
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
Francisco Ismael Pinillos Nieto
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3,2,1,3,2,1;0
61
61
61
61
61
61
61
61
61
6
6
6
6
6
6
:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231232221131211
jix
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
asujeto
xxxxxxxxxzMin
ij
Problema 1.17. AGRICULTURA
Una cooperativa agrícola grande del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera
cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua
disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la
Tabla 1.10 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos,
aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación
en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres
de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la Tabla 1.11 reflejan el
máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se
requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6,
5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500,
$350 y $200, respectivamente.
Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha
adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno
disponible. Plantee un modelo de PL para el problema que permita la cooperativa a
determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que
se maximice la utilidad total esperada para la cooperativa.
Tabla 1.10. Disponibilidad de agua y tierras
Granja Disponibilidad de agua
(pies cúbicos)
Disponibilidad de tierra
(acres)
1 480000 450
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
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2 1320000 650
3 370000 350
4 890000 500
Tabla 1.11. Cantidades máximas de acres
Cultivo Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4
A 200 300 100 250
B 150 200 150 100
C 200 350 200 300
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ijx : Número de acres a sembrar en la granja 4,3,2,1i con el cultivo 3,2,1j .
2. Elaboración de la función objetivo:
Maximizar 433323134232221241312111200$350$500$
xxxxacres
acresxxxxacres
acresxxxxacre
z
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Cantidad máxima de acre en cada granja para cada cultivo:
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
acresacresx
300
100
250
200
150
100
350
200
300
200
150
200
43
42
41
33
32
31
23
22
21
13
12
11
Agua Disponible para la granja 1:
cos480000cos4000cos5000cos6000
131211 cúbipiesacresxacre
cúbipiesacresx
acre
cúbipiesacresx
acre
cúbipies
Agua Disponible para la granja 2:
cos1320000cos4000cos5000cos6000
232221 cúbipiesacresxacre
cúbipiesacresx
acre
cúbipiesacresx
acre
cúbipies
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Agua Disponible para la granja 3:
cos370000cos4000cos5000cos6000
333231 cúbipiesacresxacre
cúbipiesacresx
acre
cúbipiesacresx
acre
cúbipies
Agua Disponible para la granja 4:
cos890000cos4000cos5000cos6000
434241 cúbipiesacresxacre
cúbipiesacresx
acre
cúbipiesacresx
acre
cúbipies
Cantidad de Acres por Granja 1:
acresacresxxx 450131211
Cantidad de Acres por Granja 2:
acresacresxxx 650232221
Cantidad de Acres por Granja 3:
acresacresxxx 350333231
Cantidad de Acres por Granja 4:
acresacresxxx 500434241
Proporción de acres a cultivar
acres
acresxxx
acres
acresxxx
650450
232221131211
acres
acresxxx
acres
acresxxx
350650
333231232221
acres
acresxxx
acres
acresxxx
500350
434241333231
No negatividad:
0ijx
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
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3,2,1,4,3,2,1;0
0350500
0650350
0450650
500
350
650
450
890000400050006000
370000400050006000
1320000400050006000
480000400050006000
300
100
250
200
150
100
350
200
300
200
150
200
:
200350500
434241333231
333231232221
232221131211
434241
333231
232221
131211
434241
333231
232221
131211
43
42
41
33
32
31
23
22
21
13
12
11
433323134232221241312111
jix
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
asujeto
xxxxxxxxxxxxzMax
ij
1.6 MODELOS CON RAZONABLE GRADO DE DIFICULTAD
Problema 1.18.
Se está diseñando un vehículo espacial para llevar astronautas a Marte y traerlos de regreso.
Este vehículo tendrá tres compartimentos, cada uno con su propio sistema de mantenimiento
de la vida independiente. El elemento clave en cada uno de estos sistemas es una pequeña
unidad oxidante que provoca un proceso químico para producir oxigeno. Sin embargo, no
pueden probarse con anticipación y solo se logra algo en provocar este proceso químico. Por
lo tanto, es importante tener unidades de apoyo para cada sistema. En virtud de la diferencia
en los requerimientos para los tres compartimentos, las unidades que se necesitan para cada
uno tienen características un tanto diferentes. Ahora debe tomarse una decisión sobre
cuantas unidades proporcionar a cada compartimento, tomando en cuenta las limitaciones
de diseño sobre la cantidad total de espacio, peso y costo que pueden ser asignadas a estas
unidades en relación con la nave completa. La Tabla 1.12 se resume estas limitaciones así
como las características de las unidades individuales por cada compartimento.
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Tabla 1.12. Espacio, peso y probabilidades de fallas en los compartimientos
Compartimento Espacio
(pulg3)
Peso (lb) Costo ($) Probabilidad de
falla
1 40 15 30000 0.3
2 50 20 35000 0.4
3 30 10 25000 0.2
Disponibilidad 500 200 400000
Si todas las unidades fallan en solo uno o dos de los compartimentos, los astronautas pueden
ocupar el compartimento, o los compartimentos restantes y continuar su viaje espacial pero
con cierta perdida en la cantidad de información científica que puede ser obtenida. Sin
embargo, si todas las unidades fallan en los tres compartimentos, entonces los astronautas
todavía pueden regresar la nave con seguridad, pero el viaje en conjunto debe ser
completamente abortado a gran costo. Por lo tanto, el objetivo es minimizar la probabilidad de
que esto ocurra, sujeto a las limitaciones antes mencionadas y a la restricción adicional de
que cada compartimento tenga una probabilidad de no más del 0.05 de que todas sus
unidades fallen. Plantéese el modelo de programación lineal para este problema. (Sugerencia:
úsense logaritmos)
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
ix : Número de unidades de apoyo en el compartimento 3,2,1i .
2. Elaboración de la función objetivo:
Prob (compart. 1) Prob (compart. 2) Prob (compart. 3)
Minimizar 321 2.04.03.0xxx
z
Dado que dicho objetivo no es lineal, debemos linealizar dicha función objetivo, para esto
utilizamos las propiedades de los logaritmos, tomando zZ ln , obtenemos
Minimizar )2.0ln()4.0ln()3.0ln( 321 xxxZ
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Espacio:
500305040 321 xxx
Peso:
200102015 321 xxx
Costo:
400000250003500030000 321 xxx
Probabilidad de falla en el compartimiento 1:
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)3.0ln(
)05.0ln(05.03.0 1
1 xx
Si existe una unidad en el compartimiento 1, la probabilidad de falla seria de 0.3, si
hubieran dos unidades, la probabilidad seria (0.3) (0.3) = (0.09), y de modo general, si
hubieran 1x unidades, la probabilidad seria 13.0x
Probabilidad de falla en el compartimiento 2:
)4.0ln(
)05.0ln(05.04.0 2
2 xx
Probabilidad de falla en el compartimiento 3:
)2.0ln(
)05.0ln(05.02.0 3
3 xx
No negatividad:
0,, 321 xxx
4. Modelo Lineal:
0,,
)2.0ln(
)05.0ln(
)4.0ln(
)05.0ln(
)3.0ln(
)05.0ln(
400000250003500030000
200102015
500305040
:
)2.0ln()4.0ln()3.0ln(
321
3
2
1
321
321
321
321
xxx
x
x
x
xxx
xxx
xxx
asujeto
xxxZMin
Problema 1.19.
Una familia de granjeros posee 100 acres de tierra y tiene $30000 en fondos disponibles para
inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra
durante los meses de invierno (de mediados de septiembre a mediados de mayo), 4000
horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan cualesquiera de estas horas-hombre, los
miembros más jóvenes de la familia usarán para trabajar en una granja vecina por
$4.00/hora, durante los meses de invierno, y $4.50/hora, durante el verano.
El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de tres cultivos y dos tipos de animales: vacas
lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir en los cultivos. Sin embargo, cada vaca
requerirá un desembolso de $900 y cada gallina requerirá de $7. Cada vaca requerirá 1.5
acres de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno, y otras 50
horas-hombre durante el verano. Cada vaca producirá un ingreso anual neto en efectivo de
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$800 para la familia. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0,6
horas hombre durante el verano y un ingreso anual neto en efectivo de $5. El gallinero puede
acomodar un máximo de 300 gallinas y el tamaño del granero limita el rebaño a un máximo
de 32 vacas. Las horas hombres y los ingresos estimados por acre plantado en cada uno de
los tres cultivos se muestran en Tabla 1.13
Tabla 1.13. Distribución de horas hombre e ingresos estimados
Frijol de soya Maíz Avena
Horas hombre en invierno 20 35 10
Horas hombre en verano 50 75 40
Horas anual neto en efectivo($) 375 550 250
La familia desea saber cuántos acres deben plantarse en cada uno de cultivos y cuántas
vacas y gallinas deben tener para maximizar su ingreso neto de efectivo.
Plantéese el modelo de programación lineal para este problema.
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
1x : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya.
2x : Número de acres de tierra asignados para el maíz.
3x : Número de acres de tierra asignados para la avena.
4x : Número de vacas.
5x : Número de gallinas.
6x : Horas-hombre ociosas en invierno.
7x : Horas-hombre ociosas en verano.
2. Elaboración de la función objetivo:
Minimizar 7654321 5.445800250550375 xxxxxxxz
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Acres:
acresacresxxxx 1005.1 4321
Tamaño del gallinero:
gallinasgallinasx 3005
Tamaño del rebaño:
vacasvacasx 324
Horas-hombre en invierno:
brehorasbrehorasxxxxx hom/3500hom/100103520 64321
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Horas-hombre en verano:
brehorasbrehorasxxxxxx hom/4000hom/6.050407550 754321
Fondos:
30000$7$900$
54 gallinasxgallinas
vacasxvaca
No negatividad:
0ix
4. Modelo Lineal:
0,,,,,,
300007900
40006.050407550
3500100103520
32
300
1005.1
:
5.445800250550375
7654321
54
754321
64321
4
5
4321
7654321
xxxxxxx
xx
xxxxxx
xxxxx
x
x
xxxx
asujeto
xxxxxxxzMin
Problema 1.20.
La corporación Brady produce armarios. Necesitan semanalmente 90 000 pies cúbicos de
madera procesada. Puede conseguir madera procesada de dos maneras.
Primero, puede comprar madera de un proveedor eterno, y después secarla en su propio
horno. Segundo, puede cortar troncos en sus propios terrenos, convertidos en madera en su
propio aserradero y, finalmente, secar la madera en su propio horno. Brady puede comprar
madera clase 1 o clase 2. La madera clase 1 cuesta 3 dólares/pie cúbico y produce 0.7 pie
cúbico de manera útil luego de secarla. La madera clase 2 cuesta 7 dólares/pie cúbico y
produce 0.9 pie cúbico de madera útil ya seca. Le cuesta 3 dólares a la compañía cortar un
tronco. Después de cortarlo y secarlo, un tronco produce 0.8 pie cúbico de madera. Brady
incurre en un costo de 4 dólares/pie cúbico de madera seca. Cuesta 2.50 dólares/pie cúbico
procesar troncos en el aserradero. El aserradero puede procesar semanalmente hasta 35 000
pie cúbico de madera. Se puede comprar cada semana hasta 40 000 pies cúbicos de madera
de clase 1, y hasta 60 000 pies cúbicos de madera de clase 2. Semanalmente, se disponen de
40 horas para secar madera de clase 1, madera clase 2, o troncos, es el siguiente. Clase 1, 2
segundos, clase 2, 8 segundos, troncos, 1.3 segundos. Formule un PL para ayudar a Brady a
minimizar los costos semanales para satisfacer las demandas de madera procesada.
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
T : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya.
1PCL : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 1 semanalmente.
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2PCL : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 2 semanalmente.
2. Elaboración de la función objetivo:
Minimizar
semana
troncoT
tronco
pie
piesemana
piePCL
pie
utilpie
utilpie
semana
piePCL
pie
utilpie
utilpiesemana
troncoT
semana
pie
pie
semana
piePCL
piesemana
piePCL
piesemana
troncoT
tronco
piePCL
piesemana
piePCL
piez
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
8.05.22
19.05.2
17.05.2
8.04
24
14
27
13
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Compra:
semana
pie
semana
piePCL
33
400001
semana
pie
semana
piePCL
33
600002
Tiempo de secado:
h
seg
semana
h
tronco
segtroncoT
semana
piePCL
pie
seg
semana
piePCL
pie
seg3600403.128.01
2 3
3
3
3
Capacidad de aserradero:
semana
pietroncoT
tronco
utilpiepiePCL
pie
utilpiepiePCL
pie
utilpie 333
3
33
3
3
35008.029.017.0
Pedido:
semana
utilpietroncoT
tronco
utilpie
semana
piePCL
pie
utilpie
semana
piePCL
pie
utilpie 333
3
33
3
3
900008.029.017.0
No negatividad:
02,1, PCLPCLT
4. Modelo Lineal:
02,1,
900008.029.017.0
35008.029.017.0
3600403.128.012
600002
400001
:
8.05.2219.05.217.05.28.0424142713
PCLPCLT
TPCLPCL
TPCLPCL
TPCLPCL
PCL
PCL
asujeto
TPCLPCLTPCLPCLTPCLPCLzMin
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
45
Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
Problema 1.21.
Un consumidor requiere, durante los próximos cuatro meses, 50, 65, 100 y 70 unidades,
respectivamente, de cierto artículo (no se permiten demandas pendientes). Los costos de
producción son 5 dólares, 8 dólares, 4 dólares y 7 dólares por unidad, durante estos meses.
El costo de almacenaje de un mes al siguiente, es de 2 dólares por unidad (aplicado al
terminar el inventario). Se estima que cada unidad sobrante al final del cuarto mes, tendrá
que venderse a 6 dólares. Formule un PL que minimice los costos netos para cumplir con las
demandas durante los próximos cuatro meses.
Solución:
Mes
1 2 3 4
Demanda 50 65 100 70
Costo de
producción $5/unid $8/unid $4/unid $7/unid
1. Definición de las variables de decisión:
iI : Número de unidades en el mes 4,3,2,1i .
iP : Número de unidades producidas en el mes 2,1i .
iD : Número de unidades demandadas en el mes 4,3,2,1i .
2. Elaboración de la función objetivo:
Minimizar unidIunid
unidIIIunid
unidPunid
unidPunid
unidPunid
unidPunid
z 432143216$427$4$8$5$
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
Inventario y demanda en el mes 1:
501
1101
D
DPII
Inventario y demanda en el mes 2:
65
.
2
2212
D
DPII
Inventario y demanda en el mes 3:
1003
3323
D
DPII
Inventario y demanda del mes 4:
704
4434
D
DPII
No hay nada guardado
00 I
No negatividad:
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
46
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0,,,,,,,,,, 43213214321 PPPPDDDIIII
4. Modelo Lineal:
0,,,,,,,,,,
70
100
65
.
50
:
6427485
43213214321
4
4434
3
3323
2
2212
1
1101
43214321
PPPPDDDIIII
D
DPII
D
DPII
D
DPII
D
DPII
asujeto
IIIIPPPPzMin
1.7 MODELOS DIFÍCILES
Problema 1.22.
Gracias a una adecuada estrategia de marketing y a la calidad del producto, cierta pequeña
fábrica de canastos de mimbre ha recibido pedidos que superan su actual capacidad de
producción. Durante las próximas cuatro semanas debe entregar 52, 65, 70 y 85 canastos,
respectivamente. Actualmente cuenta con seis artesanos.
La gerencia general de la fábrica ha decidido contratar personal nuevo para poder cumplir
sus compromisos comerciales. Dada la escasez de artesanos, se deberá contratar personal sin
experiencia. Un novato puede ser entrenado para llegar a ser aprendiz durante una semana.
La segunda semana trabaja como aprendiz para ganar experiencia. Comenzando la tercera
semana (después de dos semanas de trabajo) se transforma en artesano.
La producción estimada y sueldos de los empleados es la siguiente:
PRODUCCIÖN SALARIOS
Canastos/semana $/semana
Artesano dedicado sólo a la
producción
10 30
Artesano dedicado a
producción y entrenamiento
5 40
Aprendiz 5 15
Novato 1 5
Cada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana (el entrenamiento de un novato
sólo dura una semana). Todo excedente de producción semanal puede ser guardado para
cumplir los siguientes compromisos comerciales.
Francisco Ismael Pinillos Nieto
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47
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Los analistas de la empresa estiman que la demanda semanal de canastos difícilmente
superará los noventa canastos, por lo que han decidido terminar el período sin novatos y
aprendices, pero con al menos nueve artesanos. Los reglamentos sindicales de la empresa
prohíben los despidos por reducción de personal.
Formule un modelo de programación lineal que permita definir las contrataciones a realizar,
de modo de cumplir los compromisos comerciales a costo mínimo.
Solución.
Para resolver el problema se utilizarán las siguientes variables de decisión:
1. Variables de decisión:
ijx : Personal de tipo 4,3,2,1i (artesano productor, artesano instructor, aprendiz y novato
respectivamente) trabajando en semana 4,3,2,1j .
jz : Sobreproducción de semana 4,3,2,1j .
Variable secundaria:
i : Salario del empleado del tipo 4,3,2,1i .
2. Función Objetivo:
Se debe de cumplir con los compromisos a costo mínimo.
Min
4
1
4
1j iiji xZ
3. Restricciones:
Semana 1:
52510
2
52510
6
4121111
2141
412111
2111
xxxz
xx
xxx
xx
Semana 2:
655510
2
655510
1324222122
2242
132422212
21112212
4132
zxxxxz
xx
zxxxx
xxxx
xx
Semana 3:
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48
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705510
2
705510
2334323133
2343
233432313
3222122313
4233
zxxxxz
xx
zxxxx
xxxxx
xx
Semana 4:
9
85510
14
33414
33231314
4334
x
zxx
xxxx
xx
Naturaleza de las variables:
0, Zzx jij
Problema 1.23.
La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día y la ciudad 2 produce 400 toneladas
por día. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 ó 2, y cada incinerador puede
procesar hasta 500 toneladas de basura por día. El costo de incinerar la basura es US$
40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineración reduce cada
tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos
depósitos. Cada depósito puede recibir a lo más 200 toneladas de cenizas por día. El costo es
de US$ 3/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las
distancias en millas se muestran en la tabla.
Formule el problema de programación lineal que se puede usar para minimizar los costos.
Incinerador 1 Incinerador
2
Ciudad 1 30 5
Ciudad 2 36 42
Botadero 1 Botadero 2
Incinerador 1 5 8
Incinerador 2 9 6
Solución.
El objetivo del problema es minimizar los costos involucrados en el traslado e incineración de
la basura. Este costo está asociado al costo de transporte (función de la distancia) y al costo
de incinerar (función del incinerador y la cantidad). Para conseguir este objetivo se debe
considerar las posibles decisiones que admite el problema:
La cantidad de basura a trasladar desde cada ciudad (1 y 2) a cada uno de los incineradores
(1 y 2).
La cantidad de ceniza a trasladar desde cada incinerador (1 y 2) a cada uno de los botaderos
(1 y 2).
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49
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Para esto, asumimos algunos supuestos y características:
Toda la basura producida en un día debe ser incinerada durante ese mismo día.
Los botaderos no cobran por recibir las cenizas.
Existe indiferencia en escoger el incinerador 1 ó 2 con relación a cualquier variable
que no sea el costo por tonelada incinerada.
El costo de transporte es una función exclusiva de la distancia recorrida, dejando de
lado cualquier otro factor.
La decisión se tomará exclusivamente desde el punto de vista de los costos.
El análisis se realizará en el período de un día, dado los datos entregados.
Formulación:
1. Variables de decisión:
De acuerdo al objetivo y los supuestos planteados, determinamos las siguientes variables de
decisión:
ijX : Cantidad de basura en toneladas transportada desde la ciudad 2,1i hasta el
incinerador 2,1j .
ijY : Cantidad de ceniza en toneladas transportada desde el incinerador 2,1i hasta el
botadero 2,1j .
2. Función objetivo: Con la tabla de distancias dadas y los costos de incineración, se
plantea la función objetivo:
221221112221121122211211 3040698542365303 XXXXYYYYXXXXZ
3. Restricciones:
Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad
máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las restricciones del
problema
Capacidad máxima del incinerador 1:
5002111 XX
Capacidad máxima del incinerador 2:
5002212 XX
Producción de basura de la ciudad 1:
5001211 XX
Producción de basura de la ciudad 2:
4002221 XX
Recepción máxima del botadero 1:
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2002111 YY
Recepción máxima del botadero 2:
2002212 YY
No negatividad de las variables:
0,Xij ijY
Cabe destacar que todas las variables deben ser positivas y no necesariamente enteras dado
que representan peso de basura o de ceniza. Es importante agregar también dos condiciones
relativas a que cada tonelada de basura que entra al incinerador es transformada en 0.2
toneladas de ceniza, luego:
Relativo al incinerador 1:
121121112.0 YYXX
Relativo al incinerador 2:
222122122.0 YYXX
Las condiciones anteriores pueden ser agregadas al problema como dos restricciones más, o
bien despejar dos de ellas en función de otras tres, de modo de reducir el problema a un total
de seis variables.
Problema 1.24. PLANEACION DE PRODUCCION DE CASSINELLI E HIJOS S.A.C
La empresa de bebidas gaseosas Enrique Cassinelli e Hijos S.A. es de origen trujillano, se
dedica a la producción y comercialización de bebidas gaseosas Cassinelli, en diferentes
presentaciones y sabores.
Su comercialización se realiza tanto en la ciudad de Trujillo como en la zona norte (Chiclayo,
Piura, Talara) y nor Oriente (Bagua, Jaen, Tarapoto).
Actualmente Cassinelli tiene una participación en el mercado de Trujillo de 10%, Concordia
14%, Kola Real 11%, Triple Kola 13.4%, Inka Kola 13.8%, Coca Cola 14.2%, y el 23.6%
corresponde a otras marcas.
Gaseosas Cassinelli posee un potencial para tener una importante participación en el
mercado , ya que posee características que se ajustan a una bebida agradable y es percibida
como una bebida regional ,sin embargo presenta una baja recordación por alojamiento de la
marca del mercado, por lo que le hace perder preferencia ante otras marcas de gaseosas.
Por lo tanto la Gerencia General ha encomendado al Departamento de Producción realizar un
plan de Producción para maximizar sus ganancias mensuales.
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Santos Santiago Javez Valladares
51
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Como se menciono, la empresa Enrique Cassinelli e hijos se dedica a la fabricación de
bebidas gaseosas, siendo las presentaciones comercializadas las que se demuestran a
continuación:
Tabla 1.14. Presentación de las bebidas gaseosas
TIPO DE BEBIDA PRESENTACION
Gaseosa NR de 2.65 Lt. Caja x 12 unidades
Gaseosa NR de 1.75 Lt. Caja x 12 unidades
Gaseosa NR de 0.60 Lt. Caja x 12 unidades
Gaseosa NR de 0.296Lt. Caja x 24 unidades
La empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 48 horas a la
semana. Esta planta tiene una capacidad de producción de 160,000 caja/mes.
El proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas (Áreas de trabajo)
1. En el Dpto. de Elaboración se realiza la preparación de jarabes el mismo que cuenta
con 4 trabajadores permanentes.
2. En el Dpto. de Envasado se realiza trabajos inherentes al proceso de envasado y
presentación final del producto. Este Dpto. cuenta con 15 trabajadores
Las horas requeridas en ambos departamentos para producir 1000 cajas de cada uno de los
productos mencionados en la Tabla 1.14, se muestran en la Tabla 1.15.
Tabla 1.15. Requerimientos horas/1000 cajas
2.65 lt. 1.75lt 0.60 lt 0.296 lt
Dpto. Elaboración 2.65 1.75 1.75 1.07
Dpto. Envasado 4.41 2.91 1.29 1.78
La demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002 se muestra en la siguiente
Tabla 1.16
Tabla 1.16. Demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002
TIPO DE BEBIDA DEMANDA
Gaseosa NR de 2.65 Lt. 10,552 cajas/mes
Gaseosa NR de 1.75 Lt. 40,556 cajas/mes
Gaseosa NR de 0.60 Lt. 56,712 cajas/mes
Gaseosa NR de 0.296 Lt. 56,880cajas/mes
TOTAL OCTUBRE 2002 164,700 cajas/mes
El Dpto. de Contabilidad de la empresa estima un margen de ganancia para cada producto,
de:
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52
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Tabla 1.17. Margen de ganancia por producto
TIPO DE BEBIDA MARGEN DE GANANCIA
(soles/caja)
Gaseosa NR de 2.65 Lt. 1.38
Gaseosa NR de 1.75 Lt. 1.22
Gaseosa NR de 0.60 Lt. 1.02
Gaseosa NR de 0.296 Lt. 1.05
La Gerencia ha solicitado determinar el Plan de Producción semanal óptimo para el mes de
octubre 2002.
Para determinar el plan de producción óptimo, el objetivo general es elaborar un modelo
lineal que permita hallar el plan de producción óptimo y como objetivos específicos tenemos
que determinar la cantidad de cada tipo de gaseosa que se debe elaborar semanalmente y
obtener la máxima utilidad en la producción de gaseosas Cassinelli.
1. Variables de decisión:
ijX : Número de cajas a producir de gaseosa del tipo 4,3,2,1i (NR de 2.65 lt, NR de 1.75 lt,
NR de 0.60 lt, VR de 0.296 lt) en la semana 4,3,2,1j .
2. Función objetivo:
Maximizar el precio de venta*producción
cajasXXXXcaja
ScajasXXXX
caja
S
cajasXXXXcaja
ScajasXXXX
caja
SZMax
4443424134333231
2423222114131211
05.1/02.1/
22.1/38.1/
3. Restricciones:
Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad
máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las restricciones del
problema
Demanda de gaseosas:
cajascajasXXXX 1055214131211 Gaseosas NR de 2.65 Lt.
cajascajasXXXX 4055624232221 Gaseosas NR de 1.75 Lt.
cajascajasXXXX 5671234333231 Gaseosas NR de 0.60 Lt.
cajascajasXXXX 5688044434241 Gaseosas NR de 0.296 Lt.
Producción de gaseosas:
cajastcajasXXXX 114131211 Gaseosas NR de 2.65 Lt.
cajastcajasXXXX 224232221 Gaseosas NR de 1.75 Lt.
Francisco Ismael Pinillos Nieto
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53
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cajastcajasXXXX 334333231 Gaseosas NR de 0.60 Lt.
cajastcajasXXXX 444434241 Gaseosas NR de 0.296 Lt.
Capacidad de producción:
cajascajastttt 1600004321
Tiempo de producción en el departamento de elaboración:
10004807.117.175.165.2
41312111 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h (Semana 1)
10004807.117.175.165.2
42322212 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h
(Semana 2)
10004807.117.175.165.2
43332313 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h
(Semana 3)
10004807.117.175.165.2
44342414 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h
(Semana 4)
Tiempo de producción en el departamento de envasado:
10004878.129.191.241.4
41312111 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h (Semana 1)
10004878.129.191.241.4
42322212 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h
(Semana 2)
10004878.129.191.241.4
43332313 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h
(Semana 3)
10004878.129.191.241.4
44342414 cajaXcaja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
hcajaX
caja
h
(Semana 4)
No negatividad de las variables:
0Xij
1.7 SOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES CON SOLVER
Solver es una herramienta para resolver problemas de programación lineal y no lineal,
utilizando para este fin métodos numéricos. Solver se puede utilizar para optimizar funciones
de una o más variables, sin o con restricciones. Microsoft Excel Solver utiliza diversos
métodos de solución, dependiendo de las opciones que se seleccionen. Para los problemas de
programación lineal utiliza el método Simples, para problemas lineales enteros utiliza
“Branch and Bound y para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal
(GRG2).
Solver, busca el valor óptimo para una celda, llamada celda objetivo, en esta celda escribimos
la fórmula de la función objetivo ),...,,( 21 nxxxf .
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
54
Investigación de Operaciones
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Solver cambia los valores de un grupo de celdas, llamadas celdas variables o cambiantes. En
estas celdas se localizan los valores de las variables de decisión nxxx ,...,, 21 , que deben estar
relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo.
Para agregar las restricciones a Solver, escribimos en la celda seleccionada la fórmula
),...,,( 21 ni xxxg correspondiente a cada restricción del problema a resolver, y tenemos que
especificar si la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda que
contiene la constante ib (disponibilidad de los recursos). También, si fuese el caso, se puede
especificar que los valores sean enteros, para evitar resultados absurdos en algunos
problemas de optimización.
Solver es un complemento de Excel y como tal debemos instalar esta herramienta, para esto,
primero hay que fijarse si en la barra de herramientas- Datos aparece el icono de Solver, si
no se encuentra entonces tendremos que instalarlo.
Figura 1.4. Ubicación del icono Solver
Para instalar este complemento vamos al botón oficce y selecionamos opciones de Excel
Figura 1.5. Opciones en botón office
Al hacer click en opciones de Excel, se muestra el siguiente cuadro de dialogo. Activamos
complementos, seleccionamos Solver, y hacemos clik en ir
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
55
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Figura 1.6. Opciones de Excel
Aparecerá el siguiente cuadro de dialogo, del cual debemos activar la casilla Solver y
finalmente damos aceptar.
Figura 1.7. Complementos disponibles
Utilizaremos el Problema 1.1 como modelo para explicar de una manera clara el uso de
Solver.
0,
123
189
:
4
21
21
21
21
xx
xx
xx
asujeto
xxzMax
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56
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Escribiremos la función objetivo en una celda (celda objetivo) cambiando el valor de otras
celdas (celdas variables). La celda donde se encuentra la función objetivo debe contener la
formula que dependa de las celdas variables. Porque de no ser así, al cambiar el valor de una
celda no cambiará el valor de la celda objetivo.
En primer lugar escribimos la formula de la función objetivo =4*C7+D7 en la celda D4,
utilizando como celdas variables la celda C7 y D7, para las variables 1x y 2x respectivamente.
Figura 1.8. Declaración de celda objetivo
A continuación ingresamos las restricciones del problema. Para la restricción correspondiente
a los sensores electrónicos, escribimos en la celda B12 la siguiente expresión =9*C7+D7 y
para la restricción de mano de obra escribimos en la celda B13 la siguiente expresión
=3*C7+D7.
La disponibilidad de sensores electrónicos la escribimos en la celda D12 y la disponibilidad
de mano de obra es ingresada en la celda D13.
Figura 1.9. Declaración de restricciones
Una vez ingresado los datos del problema enseguida utilizamos el complemento Solver
ubicado en la barra de herramientas -> Datos
Al hacer click en la opción Solver aparecerá el siguiente cuadro de dialogo,
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
57
Investigación de Operaciones
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Figura 1.10. Ejecución de Solver
Ahora explicaremos cada una de las opciones que aparecen en este cuadro de dialogo
Figura 1.11. Parámetros de Solver
Parámetros de Solver
1. Celda objetivo. Específica la celda objetivo que se desea maximizar o minimizar. Esta
celda debe contener la fórmula que representa a la función objetivo.
2. Valor de la celda objetivo. Especificamos si se desea maximizar o minimizar la celda
objetivo, o bien definirla con un valor específico. Si desea un valor específico, introdúzcalo
en el cuadro.
3. Cambiando las celdas. Se especifican las celdas correspondientes a las variables del
problema, estas pueden ajustarse hasta que se satisfagan las restricciones en el problema
1
2
3
4
8
7
5
6
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
58
Investigación de Operaciones
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y la celda objetivo alcance su valor. Las celdas variables deben estar directa o
indirectamente relacionadas con las celdas objetivo.
Estimar Estima todas las celdas que no contienen ninguna fórmula a las que se hace
referencia en la fórmula la celda objetivo y coloca sus referencias en el cuadro
Cambiando las celdas.
4. Sujeto a las siguientes restricciones. Muestra una lista de las restricciones actuales en
el problema.
Agregar Muestra el cuadro de diálogo Agregar restricción.
Figura 1.12. Agregar las restricciones
4.1 Referencia de celda. Especifica las celdas que serán consideradas como las
restricciones del problema. Las celdas variables deben estar directa o indirectamente
relacionadas con estas celdas.
4.2 Referencia de la desigualdad. Especifica el tipo de desigualdad correspondiente a la
restricción.
4.3 Restricción. Especifica las celdas que serán consideradas como la disponibilidad de
los recursos del problema.
Cambiar Muestra el cuadro de diálogo Cambiar restricción.
Eliminar Elimina la restricción seleccionada.
5. Resolver Inicia el proceso de solución del problema definido.
6. Cerrar Cierra el cuadro de diálogo sin resolver el problema. Retiene todos los cambios que
se hayan realizado mediante los botones Opciones, Agregar, Cambiar o Borrar.
7. Restablecer todo Borra los valores actuales del problema y restablece todos los valores a
sus valores originales.
8. Opciones Muestra el cuadro de diálogo Opciones de Solver, donde pueden cargarse y
guardarse los modelos de problema y las características de control avanzado del proceso
de solución.
4.1
4.2
4.3
Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
59
Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
Figura 1.13. Opciones de Solver
Aquí pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución, cargarse o
guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no
lineales. Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los
problemas.
8.1 Tiempo máximo Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Puede especificarse
un valor tan grande como 32.367, pero el valor predeterminado 100 (segundos) es
adecuado para la mayor parte de los pequeños problemas.
8.2 Iteraciones Limita el tiempo que tarda el proceso de solución mediante la limitación
del número de cálculos provisionales. Aunque puede especificarse un valor tan grande
como 32.767, el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los
pequeños problemas.
8.3 Precisión Controla la precisión de las soluciones mediante el número que se especifica
para determinar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite
inferior o superior. Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1.
Cuantas más posiciones decimales tenga el número que se escriba, mayor será la
precisión; por ejemplo, 0,0001 indica una precisión mayor que 0,01.
8.4 Tolerancia El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface
las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y seguir
considerándose aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tienen
restricciones enteras. Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución.
8.5 Convergencia Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que el
número del cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones, Solver se
detendrá. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe
indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantas más posiciones decimales
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tenga el número que se escriba, menor será la convergencia; por ejemplo, 0,0001 indica
un cambio relativo menor que 0,01. Cuanto menor sea el valor de convergencia, más
tiempo se tardará en encontrar una solución.
8.6 Adoptar un modelo lineal Seleccione esta opción para acelerar el proceso de solución
cuando todas las relaciones del modelo sean lineales y desee resolver un problema de
optimización lineal.
8.7 Adoptar no-negativo Hace que Solver presuponga un límite de 0 (cero) para todas las
celdas ajustables en las que no se haya establecido un límite inferior en el cuadro
Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción.
8.8 Usar escala automática Seleccione esta opción para utilizar la escala automática
cuando haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados; por
ejemplo, cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en inversiones de
millones de dólares.
8.9 Mostrar resultado de iteraciones Seleccione esta opción para hacer que Solver deje
de mostrar temporalmente los resultados de cada iteración.
8.10 Estimación Especifica el enfoque que se utiliza para obtener los cálculos iniciales de
las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales.
Tangente Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente.
Cuadrática Utiliza la extrapolación cuadrática, que puede mejorar en gran medida los
resultados de problemas no lineales.
8.11 Derivadas Especifica la diferencia que se utiliza para calcular las derivadas parciales
del objetivo y las funciones de la restricción.
Progresiva Se utilizan para la mayor parte de los problemas, en los que los valores de
restricción cambian relativamente poco.
Central Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian rápidamente, en
especial cerca de los límites. Aunque esta opción necesita más cálculos, puede ser útil
cuando Solver devuelve un mensaje que indica que no puede mejorarse la solución.
8.12 Buscar Especifica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar la
dirección en que se hace la búsqueda.
Newton Utiliza un método quasi-Newton que normalmente necesita más memoria
pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugada.
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Gradiente Conjugado Necesita menos memoria que el método Newton, pero
normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un nivel de exactitud concreto.
Use esta opción cuando se trate de un problema grande y la utilización de memoria
deba tenerse en cuenta, o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se
descubra un progreso lento.
8.13 Cargar modelo Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede
especificar la referencia del modelo que desee cargar.
8.14 Guardar modelo Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede
especificar la ubicación en la que desee guardar el modelo. Haga clic únicamente
cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo
se guardará de forma automática.
Una vez que todos estos parámetros fueron ingresados, finalmente hacemos click en resolver
Figura 1.14. Resolver con Solver
Y aparecerá el siguiente cuadro de dialogo que muestra un mensaje de finalización y los
valores resultantes más próximos a la solución que se desee.
Figura 1.15. Resultados de Solver
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Utilizar solución de Solver Haga clic para aceptar la solución y colocar los valores
resultantes en las celdas ajustables.
Restaurar valores originales Haga clic para restaurar los valores originales en las
celdas ajustables.
Informes Genera el tipo de informe que especifique y lo coloca en una hoja
independiente del libro. Elija un tipo de informe y, a continuación, haga clic en Aceptar.
Respuesta Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus
valores originales y sus valores finales, las restricciones y la información acerca de éstas.
Sensibilidad Proporciona información acerca de la sensibilidad de la solución a que se
realicen pequeños cambios en la fórmula definida en el cuadro Definir celda objetivo del
cuadro de diálogo Parámetros de Solver o de las restricciones. No se genera este informe
para los modelos que tengan restricciones enteras. En modelos no lineales, el informe
facilita los valores para las gradientes y los multiplicadores de Lagrange. En los modelos
lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con
aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha.
Límites Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores
correspondientes, los límites inferior y superior, así como los valores del objetivo. No se
genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. El límite inferior
es el valor mínimo que puede tomar la celda ajustable mientras se mantienen todas las
demás celdas ajustables fijas y se continúa satisfaciendo las restricciones. El límite
superior es el valor máximo.
Guardar escenario Abre el cuadro de diálogo Guardar escenario, donde puede guardar
los valores de celda para su uso con el Administrador de escenarios de Microsoft Office
Excel.
Al seleccionar las opciones indicadas y haciendo click en resolver, obtenemos tres hojas en
las cuales se muestran los resultados obtenidos. Empezaremos por analizar el informe de
respuestas
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Figura 1.16. Informe de respuestas de Solver
En la celda D8 se ubica el valor original de la función objetivo, en este caso inicialmente los
valores ubicados en las celdas C7 y D7 correspondientes a la variables de decisión eran cero,
generando inicialmente el valor de cero en la celda objetivo.
En la celda E8 aparece el valor óptimo final obtenido por Solver y en las celdas E13 y E14
aparecen los valores óptimos para las variables de decisión.
Con respecto a la saturación de las restricciones o limitaciones la celda D19 indica que se
utilizaron 18 sensores electrónicos y la celda D20 indica que se utilizaron 12 horas de mano
de obra. Esto quiere decir que todos los recursos fueron utilizados. La celda correspondiente
al estado F19 y F20 indican este hecho.
Las siguientes figuras serán analizadas en la Sesión 03 cuando se trate del tema de
sensibilidad de los modelos lineales
Figura 1.17. Informe de sensibilidad de Solver
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Figura 1.18. Informe de límites de Solver
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1.8 HOJA DE TRABAJO 01
Formular y resolver con Solver cada uno de los problemas enunciados.
Ejercicio 1.1.
Una persona tiene S/500 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante
riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo S/300 en A y como mínimo S/100 en B, e invertir en A
por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus S/500 para maximizar sus
intereses anuales?
Ejercicio 1.2.
Alice, gerente de la Food Fast, proporciona albergues para cachorros. El alimento para perros
Kennel se hace mezclando dos productos de soya para obtener una "dieta para perros bien
balanceada". En la Tabla 1.18 se dan los datos para los dos productos. Si Alice quiere
asegurarse de que sus perros reciban al menos 8 onzas de proteínas y 1 onza de grasa
diariamente, ¿cuál sería la mezcla del costo mínimo de los dos alimentos para perro?
Tabla 1.18. Costo y porcentaje de proteínas y grasas por producto
Producto
de soya
Costo por
onza
Proteína
(%)
Grasas
(%)
1 $0,60 50 10
2 $0,15 20 20
Ejercicio 1.3.
Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de
percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades,
pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada
contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en
cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta
S/210, mientras que los del mayorista B cuestan S/300 cada uno. ¿Cuántos contenedores
deben pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con
el menor coste posible?
Ejercicio 1.4.
Una planta produce dos tipos de productos, en la misma línea de ensamble. La línea de
ensamble consta de tres departamentos. Los tiempos de ensamblaje en los departamentos
son dados en la Tabla 1.19.
Tabla 1.19. Tiempos de ensamblaje
Departamento Producto 1
(unidades/minuto)
Producto 2
(unidades/minuto)
1 8 9
2 5 6
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Cada departamento tiene disponible las 8 horas de trabajo diario. Sin embargo los
departamentos requieren mantenimiento diario, que utilizan el 5%, 8% y 6% del tiempo
disponible para cada departamento diariamente.
La planta desea saber las unidades semanales (se trabaja 6 días a la semana) que se
ensamblaran a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (ociosos) en los tres
departamentos.
Ejercicio 1.5.
Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no
provechosa. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está
considerando dedicar esta capacidad en exceso a uno o más de tres productos, llamémoslos
los productos1, 2 y 3. La capacidad disponible de la máquina que podría limitar la
producción se resume en la Tabla 1.20
Tabla 1.20. Tiempos disponibles de por tipo de máquina
TIPO DE MAQUINA TIEMPO DISPONIBLE (horas/semana)
FRESADORA 500
TORNO 350
RECTIFICADORA 150
El número de horas de máquina requerida por cada unidad de los productos respectivos
es muestran en la Tabla 1.21.
Tabla 1.21. Coeficiente de Productividad (en horas máquina por unidad)
TIPO DE MAQUINA PRODUCTO 1 PRODUCTO 2 PRODUCTO 3
FRESADORA 9 3 5
TORNO 5 4 0
RECTIFICADORA 3 0 2
El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es
mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es
de 20 unidades por semana.
La utilidad unitaria será de $30, $12 y $15, para los productos 1, 2 y 3, respectivamente.
Formúlese un modelo PL para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto
para maximizar la utilidad.
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Ejercicio 1.6.
La empresa Elit elabora yogurt y jugos a base de mango y durazno, esta empresa compra su
materia prima al precio de $0,50 por kilogramo de mango y $0,30 por kilogramo de durazno,
las cantidades máximas que puede comprar es de 1600 kilogramos de mango y 2100
kilogramos de durazno.
El mercado de venta de yogurt es de 9000 botellas como máximo y para jugo no hay límite, el
precio de venta del yogurt y de jugo es de $5 y $3 por cada botella respectivamente; estos
datos y otros se dan en la Tabla 1.22
Tabla 1.22. Disponibilidad y costo de las frutas
Yogurt Jugos Disponible Costo
Mango 2 kg/botella 3 kg/botella 1600 kg $0.50/kg
Durazno 3 kg/botella 1 kg/botella 2100 kg $0.30/kg
Venta máxima 9000 botellas
P. Venta $5/botella $3/botella
Elabore un modelo lineal para la empresa Elit.
Ejercicio 1.7.
El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan
nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de
cinco fuentes. Carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo.
Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de generación medidas en Megawatt-
horas (MW-hr), y los costos unitarios de generación se dan en la Tabla 1.23.
Lilliput necesita 50 000 MW-hr de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso
para producir 10 000MW-hr para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de
energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones.
1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía
total generada por Lilliput.
2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón.
3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la
Tabla 1.24
4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la
generada a partir del petróleo.
Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo.
Tabla 1.23. Capacidades de generación y costos
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Tabla 1.24. Datos de polución en la generación de energía
Ejercicio 1.8.
Cada semana Florida Citrus, Inc., usa una sola máquina durante 150 horas para destilar
jugo de naranja y de toronja en concentrados, estos jugos están almacenados en dos tanques
separados de 1000 galones cada uno antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25
galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de
jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado.
El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6 por galón, cada galón de jugo de
toronja cuesta $2 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El
concentrado de jugo de toronja se vende después en $8 por galón. Formule un modelo de PL
para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana.
Ejercicio 1.9.
La Fargo Water Co. tiene tres depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25
millones de litros de agua fresca, respectivamente. Diariamente tiene que abastecer cuatro
áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de
litros, respectivamente.
Tabla 1.25. Costo de bombeo por millón de litros
AREA
Deposito A B C D
Fuente de Energía Capacidad Total
(MW-hr)
Costo de Generación
($/MW-hr)
Carbón 45000 6
Gas Natural 15000 5,5
Nuclear 45000 4,5
Hidroeléctrica 24000 5
Petróleo 48000 7
Fuente de Energía
Contaminante (gm/MW-hr)
Dióxido de
azufre
Monóxido
de Carbono
Partículas
de Polvo
Desechos
Sólidos
Carbón 1,5 1,2 0,7 0,4
Gas Natural 0,2 0,5
Nuclear 0,1 0,2 0,7
Hidroeléctrica
Petróleo 0,4 0,8 0,5 0,1
Kg máximos
permitidos
75 60 30 25
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2 3 2 5 3
3 4 1 2 3
Formule el problema de la Fargo Water Co. como un modelo de programación lineal. Asuma
que el exceso de agua no representa un costo para la compañía.
Ejercicio 1.10.
La Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas
que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres
tipos son normal, especial y extra, y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra,
respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los
costos de estos ingredientes son:
Maní: $0.90 por libra
Pasas: $1.60 por libra
Algarrobo: $1.50 por libra
Los requerimientos de las mezclas son:
Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente.
Especial: cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos.
Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní.
Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana un máximo de 1000
libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la
fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe
limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las
utilidades.
Ejercicio 1.11.
Una compañía de seguros cree que necesitarán las siguientes cantidades de computadoras
personales durante los próximos seis meses: enero, 9; febrero, 5; marzo, 7; abril, 9; mayo,10;
junio,5. Se pueden rentar computadoras por un período de uno, dos o tres meses, a las
rentas unitarias siguientes: renta por un mes, 200 dólares; renta por dos meses, 350 dólares;
renta por tres meses, 450 dólares.
Formule un PL que permita minimizar los costos de renta de computadoras requeridas.
Puede suponer que si se renta una máquina por un período que se prolongue más allá de
junio, habrá que promediar el costo de la renta. Por ejemplo, si se renta una computadora por
tres meses, a principios de mayo, entonces se tendrá que aplicar una cuota por la renta
2/3(450)=300 dólares, y no 450 dólares, a la función objetivo.
Ejercicio 1.12.
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Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de
un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5%
de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente
¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición
requerida a un costo total mínimo?
Jugo de
Naranja
Jugo de
Toronja
Jugo de
Arándano
Existencia Costo
[gal] [$/gal]
Bebida A 40 40 0 200 1,50
Bebida B 5 10 20 400 0,75
Bebida C 100 0 0 100 2,00
Bebida D 0 100 0 50 1,75
Bebida E 0 0 0 800 0,25
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una
determinada bebida.
Ejercicio 1.13.
Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que
entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan
3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben
$0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están
dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior
durante este período.
Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por
hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos
mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato
bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del
taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el
contrato.
Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se
requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un
dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede
ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado.
Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de
obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado.
Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto
producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades?
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Ejercicio 1.14.
Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno
de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de
cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la
reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye
$1.70, 3 años después.
Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar
invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará
disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio
de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea
saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año
6.
Formule el modelo de programación lineal para este problema.
Ejercicio 1.15.
Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y
jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres
tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años,
después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos
del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor
de salvataje).
Vehículo Costo
[US$]
Ingresos primer
año [US$]
Ingresos segundo
año [US$]
Automóvil 7000 3000 5400
Camioneta 6500 2300 5300
Jeep 5800 2100 5000
Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede
también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El
costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión
inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del
crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000
para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para
efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo
excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse
en pagos futuros.
Formule un modelo de programación lineal para el problema. Defina claramente variables,
función objetivo y restricciones.
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Ejercicio 1.16.
LSDC está desarrollando una comunidad de casas y condominios en los alrededores del lago
Saddleback, Texas. La idea es utilizar 300 acres de tierra de tal forma de maximizar sus
ganancias ofreciendo una apropiada variedad de diferentes alternativas de casas
constituyendo diferentes productos. Además, la corporación desea analizar la factibilidad de
desarrollar 10 acres para un complejo deportivo y de recreación.
LSDC está ofreciendo 4 productos: (1) La serie Gran Estado (2) La colección Glen Wood (3)
Casas con vista al lago y (4) casas en Condominio. Cada uno de estos productos tiene 4
planos con diferentes estilos, tal como se describe en la siguiente lista:
Plano Precio venta
(US$)
Tamaño (ft2)
Dormitorios Baños Pisos Tamaño Garage
(autos)
Gran Estado
Trump 700 4000 5+manzarda 4 2 3
Vanderbilt 680 3600 4+manzarda 3 2 3
Hughes 650 3000 4 3 1 3
Jackson 590 2600 3 3 1 3
Glen Wood
Gran Ciprés 420 2800 4+manzarda 3 2 3
Lazy Oak 380 2400 4 3 2 2
Wind Row 320 2200 3 3 2 2
Orangewood 280 1800 3 2 ½ 1 2
Vista al lago
Bayview 300 2000 4 2 ½ 2 2
Shoreline 270 1800 3+manzarda 2 ½ 2 2
Docks Edge 240 1500 3 2 ½ 1 2
Golden Pier 200 1200 2 2 1 2
Condomio
Stream 220 1600 3 2 2 -
Weeping Wilow 160 1200 2 2 1 -
Picket Fence 140 1000 2 1 ½ 1 -
Tamaño de los lotes.
Todos los lotes incluyen el terreno donde se instalará la casa, el garage (el cual no está
considerado dentro de los metros cuadrados de la casa) y espacio para jardín. Este no incluye
el parking ni el espacio para parques, carreteras, etc.
Todos los modelos de la serie Gran Estado se construyen sobre lotes de 1 media-acre, y 50
medias-acre se usan exclusivamente por las casas Gran Estado. El precio de venta de estas
casas tendrá un 30% adicional más US$50.000 que los modelos que no están en el lago. (Por
ejemplo, el modelo Trump a US$700.000 se vendería en US$960.000 si se situara en el lago).
Cada una de la serie Gran Estado debe tener al menos ocho unidades en el lago.
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Algunos modelos Gran Ciprés (de la serie Glen Wood) podrían construirse sobre lotes
“premiados” de un-cuarto-acre. Estas casas se venden en US$40.000 más que los modelos
similares sobre lotes standards. Además, algunos de los modelos Bayview (en la serie vista al
lago) pueden construirse sobre lotes “premiados” de un-sexto-acre, los cuales se venden en
US$30.000 más del precio de los modelos construidos en terrenos standards. No más del
25% del total de los modelos Ciprés y 25% del total de los modelos Bayview se pueden
construir en lotes “premiados”.
Los tamaños de los lotes en el condominio son fijos y son de 1500 pie-cuadrados.
El lote mínimo standard para casas de la serie Glen Wood y con vista al lago (excepto los
modelos “premiados”) es de un-décimo-acre. Los tamaños de los lotes para ciertos modelos
pueden ser mayores si el siguiente cálculo excede a 1/10 acre.
Tamaño Lote= (Área de la Casa)+(Tamaño del Jardín)+(Tamaño del Garage).
Área de la Casa.
El área de la casa de cualquier casa de un piso es el metraje cuadrado del aviso de la casa. El
área de la casa para casas de dos-pisos es de 75% del metraje cuadrado del aviso de la casa.
Área para Jardín.
Para casas de la serie Glen Wood, el jardín es de 1200 pies cuadrados para casas de un-piso
y lo mismo que el área de la casa para casas con dos-pisos. Para casas con vista al lago el
tamaño del jardín es 900 pies cuadrados para casas de un-piso. Para casas de dos-pisos de
esta misma serie de casas el tamaño de jardín será de 600 pies cuadrados más 50% del área
de la casa.
Tamaño del Garage.
Garage para dos autos ocupan 500 pies cuadrados de área y para tres autos ocupa 750 pies
cuadrados. Note que los modelos en el condominio no tienen terreno para garage.
Parking.
La ley exige tener un espacio de parking por dormitorio para cada unidad construida. Por
ejemplo, un espacio exterior de parking para dos autos es necesario para una casa de 4
dormitorios que posee un garage para dos autos. Cada parking exterior ocupará 200 pies
cuadrados de espacio. Hasta un máximo de 15 acres del proyecto podrán utilizarse para
parking exterior. Todos los parking del condominio son exteriores.
Carreteras, Parques...etc
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Francisco Ismael Pinillos Nieto
Santos Santiago Javez Valladares
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Investigación de Operaciones
FACULTAD DE INGENIERÍA
Un total de 1000 pies cuadrados por casa se está pensando para la construcción de
carreteras y pequeños parques para hacer el proyecto más agradable estéticamente hablando.
Variedad.
Como parte del proyecto se han definido ciertos requerimientos máximos y mínimos arrojados
por el departamento de estudios de mercado (Condominio está incluido).
Casas con Máximo Mínimo
2-dormitorios 25% 15%
3-dormitorios 40% 25%
4-dormitorios 40% 25%
5-dormitorios 15% 5%
Además, ninguno de los cuatro productos (Gran Estado, Glen Wood, Vista al lago, y
Condominio) pueden ser más que el 35% ni menos que el 15% de las unidades construidas
en el desarrollo. Más aún, dentro de cada producto, cada plano debe ocupar entre 20% y 35%
del total de unidades de ese producto. Por razones de estética hasta un máximo del 70% de
las casas de un-piso (salvo las de condominio) pueden ser casas de dos-pisos.
Abordables.
En el área del lago cualquier casa avaluada en US$200.000 o menos es considerada
“abordable”. El gobierno exige al menos 15% del proyecto pueda ser considerado como
abordable.
Ganancias.
LSDC ha determinado los siguientes porcentajes de los precios de ventas como ganancias
netas:
Gran Estado 22%
Glen Wood 18%
Vista al lago 20%
Condominio 25%
Objetivos.
LSDC necesita determinar el número de unidades de cada plano de cada producto a
construir, de tal manera de maximizar sus ganancias.
Si LSDC construye un complejo de recreación y deportivo en 10-acres, esto podría reducir el
área utilizable en 10-acres y a un costo de alrededor US$8 millones. Sin embargo, LSDC cree
que esto puede cargarse al costo de las casas como sigue:
Gran Estado 5%
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Glen Wood 3%
Vista al lago 2%
Condominio 5%
*Excepto para el modelo Golden Pier, es decir todavía puede ser catalogada como abordable.
Informe:
Prepare un informe detallado analizando este proyecto y haga sugerencias para la
construcción. De recomendaciones si conviene o no construir el complejo deportivo. Haga un
análisis apropiado de “qué sucede si..” (Análisis de sensibilidad) y haga un resumen de sus
recomendaciones finales.
Consideraciones y supuestos.
Antes de resolver el problema es importante especificar la interpretación dada a algunas
frases del enunciado del problema:
Se entiende que cuando se habla de “1 media-acre” se está hablando de la mitad de
un acre, es decir ½ acre. Es decir “50 medias-acre”, en términos de superficie son 25
acres.
Cuando se dice que “50 medias-acres se usan exclusivamente por las casas Gran
Estado”, se dice que sólo se destinarán 25 acres al total de casas de la serie Gran
Estado, ni una acre más ni uno de menos. Esto se reflejará como una igualdad en una
de las restricciones.
La frase “el lote mínimo standard para casa de la serie Glen Wood y con vista al
mar...”, suponemos que con “vista al mar” es en realidad con “vista al lago” y que se
refiere al producto Vista al Lago, y no a que algunas casas de la serie Glen Wood
tienen como propiedad tener vista al lago. Luego se entiende que la frase se refiere al
tamaño del lote mínimo para casas de las series Glen Wood y Vista al Lago.
Se supondrá también que cuando se habla del “aviso de la casa” se refiere a la
información del primer cuadro del enunciado.
Las manzardas no se considerarán como dormitorios (para el cálculo del parking).
Los porcentajes que aparecen asociados a la variedad se trabajarán sobre el total de
todas las casas.
Para la condición asociada a la proporción de las casas de dos pisos frente a las de un
piso, no se considerarán las casas del condominio de un piso, es decir sólo se
considerarán las casas del condominio de dos pisos para esta restricción.
Para la segunda parte, se considerará que los porcentajes que aparecen en la última
tabla se refieren al valor (precio de venta) de las casas y no a un aumento porcentual
exclusivamente de las utilidades de cada casa.
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Para llevar todo a un mismo sistema de unidades se utilizará la conversión:
1 acre = 43.560 ft2 (pies cuadrados)
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