Introducción a la geometría
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Universidad NacionalAutónoma de México
Antecedentes de Geometría
Ing. Jaime Martínez Martínez
Facultad deIngeniería
División de Ciencias Básicas
Departamento de Mecánica
y Análisis
Semestre 2004-1
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Elementos de Geometría Básica
para IngenierosAdaptación de un trabajo realizado por alumnos que cursaron la AsignaturaAnálisis Gráfico en el semestre 2001-2
Cruz Andrade Jorge Pedro
Romero Serrano Noe de Jesús Sánchez Galicia Roberto
Uribe López Oscar
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ÍndiceGeometría: definición.
Elementos básicos:
conceptos y teoremas.
Polígonos: características,
clasificación. Triángulos.
Circunferencia y círculo.
Áreas, perímetros y volúmenes.
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Geometría
Definición.
� Geometría (del griego geo,
'tierra'; metrein, 'medir '), rama delas matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. Se le con-sidera como la ciencia de la posi-ción, la forma y la magnitud , y quetiene por objeto el estudio de la ex-
tensión considerada bajo sus tresdimensiones línea, superfice ycuerpo.
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Elementos Geométricos Básicos
� Punto
� Línea
� Superficie
� Cuerpo
� Estos elementosno tienendefinición.
Sin embargo es importante tener una idea concreta de dichos elementos.
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Punto
� Se le considera como laintersección de dos líneas
y es denotado con una letramayúscula. Es la mínimaexpresión de la extensión y,
por tanto no tiene longitud,
ni anchura ni altura; sólo
nos indica una posición en
el espacio.
P
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LíneaSe considera generada por un punto en movimiento que siguecierta dirección . Su longitud es
indefinida. También se le con-sidera como la intersección dedos planos.
Es posible conceptualizarla como
aquello que limita a una super-ficie o como un conjunto de pun-
tos que tienen como única medida
la longitud.
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SuperficieSuperficie
Se considera generada por una líneaSe considera generada por una línea
en movimiento con una direcciónen movimiento con una dirección
determinada.determinada.
Se entiende intuitivamente como laSe entiende intuitivamente como laforma experior de los cuerpos.forma experior de los cuerpos.
También se considera como el límiteTambién se considera como el límite
que separa a un cuerpo del espacioque separa a un cuerpo del espacioque lo rodea.que lo rodea.
Es importante resaltar que superficieEs importante resaltar que superficie
y área no son sinónimos.y área no son sinónimos.
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Cuerpo
Se le considera como la parte del
espacio limitado por superficies
llamadas caras.
El sólido entonces está limitado
por superfcies planas, como los poliedros, por curvas, como la es-
fera, o planas y curvas, como el
cilíndro.
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Ángulo. Es la magni-
tud de rotación deuna semirrecta que
gira sobre otra que
permanece f ija.
A
E
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TIPOS DE ÁNGULOS
Ángulo agudo es menor de 90°
Ángulo recto mide 90°
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Ángulo obtuso mayor de 90°y menor de 180°
Ángulo llano es igual a 180°
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Ángulo entrante es mayor de180° y menor de 360°
Ángulo perigonal es igual a 360°
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Ángulos adyacentes complementarios.
O
E
F
A
BC
Son dos ángulos quesuman un ángulo recto
Ángulos Adyacentes Suplementarios
O
E
F
A
B
C
Son dos ángulos que sumandos ángulos rectos
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Ángulos opuestos por el vértice.
Son dos ángulos tales quelos lados de uno de ellos,son las prolongaciones de
los lados del otro.
O
A
B
C
D
OA
B C
D
EDos ángulos se llamanconsecutivos si tienen un
lado común que separe alos otros dos.
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Ángulos formados por dos rectas paralelas, cortadas por una secante.
� Correspondientes (a, e) (c, g), ( b,f ),(d, h).
� Adyacentes (a,c), ( b, d), (e, f ),
(e,g), (f,h), (g,h), (c, d)� Opuestos por el vértice (a,d), ( b,c),
(e, h), (g, f ).
� Alternos internos (c, f ), (d, e)
� Alternos externos (a, h), ( b, g).
� Colaterales internos (c, e), (d, f ).
� Colaterales externos (a, g), ( b, h).
a b
h
c d
e f
g
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Polígonos� Definición
� Clasificación
� Características
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PoligonalEs la unión de segmentos de un plano
que se intersecan sólo en sus extremos,sin formar otro segmento. Los extre-
mos de los segmentos que integran la
poligonal se llaman vértices de la poli-
gonal y los segmentos son lados de la
poligonal.
Poligonal abierta. Es una poligonal
donde se puede determinar cual es su
lado inicial y cual su lado final.
Poligonal cerrada. Es cualquier poli-
gonal que no tiene determinados su
lado inicial y lado final.
Abierta
Cerrada
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PolígonosUn polígono es una poligonal
cerrada.Polígono circunscrito. Es aquél cuyoslados son tangentes a una circunferencia.
Polígono inscrito. Es aquél cuyos vértices pertenecen a una circunferencia.
Polígono convexo. Es áquél cuyos ángu-los interiores (todos) son menores de180°.
Polígono cóncavo. Es aquél que tieneal menos un ángulo interior mayor de
180°.
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Clasificación de los Polígonos
Escriba aquí el nombre
Escriba aquí el cargo
ConvexosLos que tienen sus diagonales en el interior
del polígono
CóncavosLos que tienen alguna diagonal en el
exterior del polígono
Regulares e Irregurales
Poligonos
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Clasificación de acuerdo a sus lados
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
Paralelogramos
Tienen dos pares de lados paralelos
Rectángu lo Isósceles Escaleno
Trapecios
Un icamente tienen un par de lados paralelos
Simétr ico Asimétr ico
Trapezoides
No t ienen lados paralelos
Cuadr iláteros
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La suma de los ángulos interiores y ángulos exteriores deun polígono.
Teorema. La suma de los ángulosinteriores (S) de un polígono con-vexo es igual a tantas veces dos án-
gulos rectos como lados menos dostiene el polígono.
Características
La suma de los ángulos exteriores
de todo polígono convexo es iguala cuatro ángulos rectos.
S = 180° (n-2)
Ángulo exterior de un polígono. Son cada uno de los ángulos formadosal prolongarse sucesivamente los lados de un polígono convexo.
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TriángulosUn polígono con una trascendencia diferente.
� Definición
�Elementos
�Clasificación
�Congruencia
� Semejanza
�Rectas y puntos notables
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Definición� Es la porción de plano
limitado por tres rectasque se cortan dos a dos.
� Polígono de tres lados.
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Características� Los puntos de intersecciónson los vértices detriángulo: A , B, C.
� Los segmentosdeterminados, son loslados del triángulo:a, b, c. A
B
C
a
b
c
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Elementos del triángulo
� Un triángulo tiene
como elementos:3 ángulos
3 lados
3 vértices
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Clasificación de los triángulosSegún los lados que loconforma.
Según sus ángulosinteriores.
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Atendiendo a sus ladosTriángulo Equilátero
Es aquél que tiene sus
tres lados congruentes
CBAtambién,CA !!!! BC A B
A B
A B
C
Triángulo Isósceles
Es aquél que tiene dos lados congruentes
B BC A B !! Atambién,
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.desigualessontambiénángulossusqueAsi
C.BA
tantoloor CA
{{
{{
p
BC B
� TTriángulo
Escaleno
Es aquél quetiene todos sus
ladosdesiguales A B
C
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� Acutángulo
Es aquél que tiene lostres ángulos agudos.
Atendiendo a sus ángulos
A B
C
A B
CObtusángulo
Es aquél que tieneun ángulo obtuso.
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� RTriángulo Rectángulo
Es aquél que tiene un ángulorecto.
Hay que resaltar que los lados de untriángulo rectángulo reciben nombresespeciales:
Catetos son los lados que forman alángulo recto.
Hi potenusa es el lado opuesto al
ángulo recto: BC
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Rectas y puntos notables del
triánguloEn el estudio de los tríánguloslos siete sabios de Grecia des-
cubrieron y desarrollaron através de la busqueda de las propiedades de elementos
geométricos, trazos que hacen
al triángulo un poligono bas-tante trascentedente.
� Mediana
� Altura� Bisectriz
� Mediatriz
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MedianaEs el segmento trazadodesde un vértice hasta el
punto medio del ladoopuesto:
Hay tres medianas unacorrespondiente a cadalado. Se designan con la
letra ³m´ y un subíndiceque indica el lado:
� Donde el punto deintersección G de lasmedianas se denominabaricentro.CQyBP,AR
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Altura
� Es la perpendicular trazadadesde un vértice opuesto oa su prolon- gación:
Hay tres alturas, unacorrespondiente a cadalado. Se designan con la
letra h y un subíndice queindica el lado. El punto O
donde concurren las tresalturas se llama ortocentro.
CNBP,, AM
ALTURAS
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Bisectriz� Es la recta notable que
corresponde a la bisectrizde un ángulo interior. Por
lo tanto hay tres bisectrices para cadaángulo, aquí nombradas
por las letras griegas , ,.
<1 = <2;<3 = <4;<5 = <6;
� El punto I dondeconcurren las tres
bisectrices se llamaincentro.
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Mediatriz� Es la perpendicular en
el punto medio de cada
lado se denominan conla letra ³M´ y unsubíndice que indica ellado.
� El punto K deintersección de la tres
mediatrices se llamacircuncentro.
;
;
;
c
b
a
M KT
M KU
M KS
!
!
!
MEDIATRIZ
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ConceptosSemejanzaSe refiere a elementos geométricos quetienen la misma forma pero diferente medida.
EquivalenciaSe da cuando elementos geométricos tienenla misma área pero diferente forma.
Congruencia
Se da cuando dos figuras son semejantes yequivalentes al mismo tiempo.Se presenta cuando mediante superposicióndirecta los puntos de una figura caen exac-tamente sobre la otra.
� HomólogoSe designa así a los lados o a
los ángulos correspondientes defiguras que son congruentes osemenjantes.
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Primer CriterioDos triángulos son semejantes
si por lo menos tienen dos
ángulos homólogos congruentes. U E E' U'
egundo Criterio
A
C B
A'
C' B'
Dos triángulos son semejantessi tienen proporcionales dos
lados homólogos y el ángulo
comprendido entre ellos es
congruente.
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Tercer Criterio� Dos triángulos son
semejantes cuandotiene proporcionalessus tres lados
homólogos.
Q R
P'
Q' R '
R 'Q'P'PQR
entonces
R 'P'PR yR 'Q'QR ;Q'P'PQi
(}(
}}}
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Congruencia en triángulos
� Dos triángulos son congruentes si y
solo sí on semejantes y equivalentes,
es decir los ángulos homólogos
interiores son congruentes así comocongruentes sus lados homólogos.
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Primer Criterio
� Dos t riángulos soncongruentes si tienenrespectivamente dos
lados homólogoscongruentes y elángulo comprendidoentre ellos también
es congruente.P R
Q
P' R '
Q'
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Segundo Criterio
� Dos triángulos soncongruentes cuandotienen respectivamentecongruentes un ladohomólogo y susángulos adyacentes.
P
Q
R P' R '
Q'
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Tercer Criterio
� Dos triángulos soncongruentes cuandotienen respectivamente
congruentes sus treslados homólogos.
P R
Q
P' R '
Q'
''' RQ P PQR (}(
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Teorema del Cateto� En todo triángulo
rectángulo un cateto es
media proporcionalentre la hipotenusa ysu proyección sobreella.
2
2)ABq(
tantoloor
bqc
b
C B
!
!
!
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Teorema de Pitágoras� La relación aritmética entrelos catetos y la hipotenusade cualquier triángulorectángulo se conoce con el
nombre deTeorema de Pitágoras elcual se enuncia de lasiguiente manera:en un triángulo rectángulo
la suma de los cuadradosconstruidos sobre los cate-tos es igual al cuadradoconstruido sobre la hipo-tenusa.
c b
a b
2
a2
c
2
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Teorema de la altura
� La altura relativa a hi- potenusa de un trián-gulo rectángulo es me-dia proporcional entrelos segmentos en quedivide a ésta.
2hq p !
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Circunferencia. Es el
conjunto de puntos quese encuentran a la mismadistancia de otro puntofijo, llamado centro.
Círculo. Es el conjuntode puntos de la circunfe-
rencia y de los del interior de ella.
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Rectas y segmentos asociados la
circunferencia� Radio. Es un segmento
que une al centro concualquier punto de lacircunferencia.
� Cuerda. Es un segmentoque une dos puntos de lacircunferencia.
� Diámetro. Es una cuerdaque pasa por el centro dela circunferencia.
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Rectas y segmentos asociados a la
circunferencia� Secante. Es una recta que
corta a la circunferencia endos puntos.
� Tangente. Es una recta quecorta a la circunferencia en
un solo punto.
� Punto de tangencia. Es el punto que tienen en comúnla tangente y la circunferencia.
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Ángulos en la circunferencia
� Ángulo central
� Ángulo interior
� Ángulo inscrito� Ángulo semi-inscrito
� Ángulo exterior
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Ángulo central
� Es el ángulo formado por dos radios.
� Es el ángulo que tienesu vértice en el centrode la circunferencia.
AB
E
O
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Ángulo interior � Es el ángulo formado
por dos cuerdas y que
tiene su vértice dentrode la circunferencia.
A
B
C
D
E
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Ángulo inscrito
� Es el ángulo formado por dos cuerdas que se
cortan en un punto dela circunferencia A
B
C
E
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Ángulo semi-inscrito
� Es el ángulo formado por una cuerda y una
tangente, tiene su vérticeen el punto de tangencia.
� Es el ángulo que tiene suvértice en la
circunferencia y uno desus lados es una tangentey el otro una secante.
E
A B
C
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Ángulo exterior
� Es el ánguloformado por dossecantes que se
cortan en un puntoexterior de lacircunferencia.
A
B C
D E
E
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Figuras en el círculo
� Segmento circular
� Sector circular
� Corona circular � Trapecio circular
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Segmento Circular
� Es la zona delimitada por una cuerda dentro
de un círculo.
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Sector circular
� Es la zona de un círculodelimitada por dosradios
Sector circular
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Corona Circular
� Es la porción del planolimitada por dos
circunferenciasconcéntricas.
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Perímetros, áreas yvolúmenes
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Perímetro
Es la medida de límite o
frontera, de un polígono,
se obtiene sumando todaslas longitudes de sus lados.
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Área
Es la medida de la superficiedelimitada por el perímetro.
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Algunas fórmulas para calcular áreas
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Volumen
Es la medida del espacio que se localiza en el interior y exterior del sólido geométrico.
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Algunas fórmulas para calcular volúmenes
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Bibliografía
� Jesus García Arenas y Celestí Bertran Infante
³Geometría y Experiencias´Editorial:
Biblioteca de Recursos Didacticos Alambra
Longman Editores
Alambra Mexicana
5 reimpresión
México 1997
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Bibliografía
� Doctor J. A. Baldor
³Geometría plana y del espacio; y trigonometría´Editorial:
Publicaciones Cultural
Décima Sexta reimpresión
México 1999
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Bibliografía
� Daniel Robles Robles y Maria de Lourdes Minquini yCastañeda
³El Matemático de Segundo de Secundaria´Editorial:
Fernández Editores
Tercera Edición
México 1993
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Bibliografía
� Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer
³Trigonometría (Serie Shaums)´Editorial:
McGraw Hill
Segunda Edición
México 1991
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Bibliografía
� Arquimedes Caballero
³Matemáticas Primer Curso´Editorial:Esfinge
Trigésima Sexta ediciónMexico 1992
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Bibliografía
� Arquimedes Caballero
³E jercicios de Arimética y Geometría para lasEscuelas Primarias´ ( Cuadernos Alfa)Editorial:Esfinge
Vigésimo Quinta Edición
Mexico 1985
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Bibliografía
� Microsoft
³Enciclopedia Encarta´Editorial:
Microsoft
1999 y 2000
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Bibliografía
� Lectus Vergara
³Enciclopedia Temática de Matemáticas LectusVergara´Editorial:
Lectus Vergara
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