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Introducción

Figura 2. Triángulo

EL TRIÁNGULO: Un polígono con propiedades especiales

Identificación de los puntos y las líneas notables del triángulo

1. ¿Sabes por qué se sostienen los triángulos?

2. ¿Son todos iguales?

Con ayuda de tu profesor vas a identificar, mucho más a fondo, a partir de la siguiente actividad, las características de los triángulos en general. A partir de la imagen de la introducción, define cuáles de las siguientes imágenes representan un triángulo. Sustenta tu respuesta en los recuadros que están debajo de cada imagen.

Figura 1. características del triángulo

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Figura 3. Elementos del triángulo

Describir propiedades del triángulo al trazar diferentes tipos de rectas y sus intersecciones.

Identificar las clases, los componentes y las propiedades de los polígonos de tres lados.Dibujar diferentes triángulos, realizando la construcción geométrica de sus líneas y puntos notables.

Elementos de composición de un triángulo

Objetivos de aprendizaje

Lo anterior se refuerza con la definición de triángulo: Con origen en el latín triangulus, la palabra triángulo se utiliza para identificar un polígono compuesto por tres lados. Esta figura geométrica se logra a partir de la unión de tres rectas que se interceptan en tres puntos desalineados. Cada uno de estos puntos donde las rectas se unen recibe el nombre de vértice, mientras que los segmentos que se pueden apreciar en el triángulo reciben el nombre de lados. (Tomada de http://definición.de/triángulo/)

Actividad 1

Teniendo en cuenta la actividad anterior, en equipos de tres personas realiza la siguiente actividad:A partir del siguiente triángulo completa las siguientes oraciones escribiendo los valores y las respuestas correctas en los recuadros.

A

B C

1. Un triángulo tiene lados, vértices y ángulos, y la suma de la medida de sus ángulos internos es grados.

2. El lado que se encuentra opuesto a un ángulo de 90 grados y el segmento perpendicular a una base y que va desde la base al vértice opuesto se llama .

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Un lado de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados y mayor que su diferencia

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, A+B+C=180º.

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. ∞ = A + B entonces ∞ = 180º -C.

En un triángulo el ángulo de mayor medida es el opuesto al lado de mayor medida

Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

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Actividad 2(Propiedades de los triángulos), Son cinco las propiedades generales de los triángulos

A

B

b

a

c

C

A

B

C

A

B

C

α

A

B

b

a

c

C

A

ac

C

A partir de la información anterior, observa la siguiente figura y responde:A

B

b

a

c

C

A

B

C

A

B

C

α

A

B

b

a

c

C

A

ac

C

Figura 4. Propiedades del triángulo

Figura 5. Elementos del triángulo

1. ¿Cuánto miden los ángulos C y B ? ____ y ____.

2. ¿Cuál es el lado mayor? ____ y ¿por qué?

_________________________________________________________________

3. Dados los lados a,b y c del triángulo, responde falso o verdadero a las siguientes proporciones:

a+b>c F V a<b+c F V

a>b -c F V a=b+c F V

4. ¿Cuál es la medida del ángulo D ? ______________________________________________________________

Según sus ángulos, el puede ser:

Tiene un ángulo recto Tiene tres ángulos agudos Tiene un ángulo obtuso

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Actividad 3Tipos de Triángulos, Triángulos según sus ÁNGULOS

Figura 6. Triángulos según sus ángulos

Figura 7. Triángulos según sus lados

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo

Según sus lados, el puede ser:

ESCALENONo tiene ningún lado igual

ISÓSCELESTiene al menos dos lados iguales

EQUILÁTERO Tiene tres lados iguales

Triángulos según sus LADOS

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1. Ejercicio: Teniendo en cuenta la explicación sobre los tipos de triángulos, clasifica los que aparecen en la tabla, según sus lados y ángulos, completa las oraciones de la descripción y dibuja un objeto de tu casa o barrio donde se encuentren estos triángulos, remarcándolo en el dibujo (te colocamos dos ejemplo de objetos) Haz la actividad en parejas.

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

Figura 8. Triángulos según sus lados No se pueden construir triángulos: Equilátero – Rectángulo, niEquilátero - Obtusángulo

Figura Tipo de triángulo según sus lados y ángulos

Descripción Dibujo objeto y lugar

__________-__________Todos sus lados son _________________________y tiene un ángulo ________________________.

__________-__________Todos sus lados son _________________________y sus ángulos son ________________________.

__________-__________

Tiene al menos _________________________lados __________________y un ángulo _____________.

__________-__________

Tiene ______________ lados _____________________ y todos sus ángulos son ________________.

__________-__________

Tiene al menos _________________________lados __________________y un ángulo _____________.

__________-__________

Todos sus lados son _________________________y tiene un ángulo _______________________.

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Actividad 4

Dibuja un cuadrado o rectángulo. Después traza una diagonal de un ángulo a su ángulo opuesto. Posteriormente, con la ayuda del transportador mide sus ángulos, y define qué tienen en común las medidas de cada triángulo con respecto a la del otro triángulo. Anota tus conclusiones. Después de realizar la actividad, puedes ver la animación y darte cuenta de que dicha propiedad se puede demostrar de diferentes formas. En la animación te presentamos una de ellas. Compara tus conclusiones con lo que presenta la animación.

Anota tus conclusiones de la construcción y también las que saques cuando veas la animación y compares con lo que hiciste.

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

(Propiedad sobre la suma de los ángulos internos del triángulo)

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Actividad 5(Incentro de un triángulo)

El Incentro y la bisectrices

En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determina cierto punto notable: circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro, respectivamente. (Shariguin, 1989) . A partir de esta actividad hasta la octava, desarrollaremos estos conceptos.

Las líneas que dividen en dos ángulos iguales, cada uno de los ángulos, se conocen como Bisectrices y el punto donde se encuentran todas las bisectrices (punto I), se denomina Incentro.

La distancia desde el Incentro a los tres lados del triángulo, es igual.

El Incentro es el centro del Circulo Inscrito, que resulta de dibujar una circunferencia dentro del triángulo, cuyo centro es I. Cuando dibujamos la circunferencia decimos que esta, está inscrita al triángulo ∆ ABC, y la denominamos como el Circulo inscrito del ∆ ABC, el cual hace tangencia con los lados del triángulo.

A

B C

IIncentro

Figura 9. Incentro

Figura 10. Características incentro Figura 11. Características incentro

Características del Incentro del triángulo

A

B C

A

B C

Círculoinscrito

DI

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A partir de la explicación anterior y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación: Si se desea construir tres casas que estén situadas a igual distancia de una escuela y sobre la carretera, ¿en qué punto deberán ir las casas y donde estaría la escuela?, si las carreteras están representadas por los segmentos del siguiente triángulo. Sitúa cada una de las casas y la escuela.

Carretera 1 Carretera 3

Carretera 2

Figura 12. Actividad incentro

Ejercicio 1

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Actividad 6(Las mediatrices y el cincuncentro del triángulo)

La rectas perpendiculares a cada lado, y que pasa por su punto medio, se llaman Mediatrices del triángulo; el punto donde se encuentran dichas líneas, se llama Circuncentro, que en esta imagen está representado por el punto O.

Observa esta otra característica del circuncentro y después resuelve el ejercicio

Definiendo como centro el punto O, podemos dibujar un círculo tomando como radio el segmento OA. Cuando dibujamos el circulo, el cual hace tangencia con los vértices del triángulo, se dice que circunscribimos el círculo O al ∆ABC y lo llamamos círculo circunscrito del ∆ABC.

La distancia del Circuncentro a los tres vértices es igual.

A

B

o

C

Circuncentro

A

B C

Circuncentro

Figura 13. Circuncentro

Figura 14. Características circuncentro

Figura 15. Características circuncentro

Características del circuncentro del triángulo

A

B C

Círculocircunscrito

O

Indica, exactamente, dónde debería quedar el parque. Utiliza para ello la construcción de las mediatrices y el circuncentro.

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A partir de lo explicado anteriormente y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación: se piensa construir un parque que quede a la misma distancia de 3 casas, las cuales aparecen en la siguiente figura:

Figura 16. Actividad circuncentro

Ejercicio 1

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NOTA: la distancia entre el Baricentro y cada vértice es de de la longitud total de la mediana correspondiente, como se puede observar en la siguiente gráfica:

Actividad 7(Las medidas y el baricentro)

Los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto se llaman medianas, y el punto donde se cortan las tres medianas se llama Baricentro o Centro de Gravedad, como se ilustra en la gráfica:

A

B C

Baricentro

G

23

A

GB C

Baricentro

23

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Figura 17. Baricentro

Figura 18. Características del baricentro

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A partir de la explicación anterior y de ver la animación de la actividad, resuelve la siguiente situación, usando para ello las medianas y el baricentro:Si en tu colegio se está construyendo el comedor y se piensa hacer una mesa en forma triangular, cuyas medidas serán 4, 4 y 6 metros, indica en tu material, el punto exacto donde debería ir la base de la mesa para que esta esté en equilibrio.

Mesa

4 Mt

4 Mt

6 Mt

Base

Figura 19. Actividad baricentro

Ejercicio 1

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Actividad 8Observa el video de la actividad, en el podrás ver la construcción de las líneas y puntos notables de los triángulos trabajados en esta unidad. Esta construcción es realizada con la ayuda del Geogebra.

Después de la observación del video en el que se representa la construcción de las líneas y puntos notables de los triángulos, partiendo de la figura 20, dibuja las líneas y puntos notables.

Además del Geogebra, que es un software gratis, podrás encontrar otros programas en la internet como Cabri (se debe pagar por adquirirlo), Compas and rules (gratis); entre otros, que te ayudaran a la aplicación de los temas vistos.Luego de ver el video realiza en tu casa ejercicios relacionados con la temática vista en Geogebra o en algún otro programa.

Figura 20. Triángulo geogebra

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Actividad 9(Las alturas y el ortocentro)

El Ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice).

Te en cuenta que la posición del ortocentro cambia según el triángulo, así:

Figura 21. Ortocentro

Figura 22. Características ortocentro

Triángulo Agudo

Ortoncentro interno Ortoncentro externo Ortoncentro en el vértice del ángulo recto

Triángulo Obtuso Triángulo Recto

Socializa y comparteA partir de la explicación anterior, y de ver el video de la actividad sobre altura y el ortocentro, reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes ejercicios. Posteriormente compartan la solución con otros compañeros y realicen las adecuaciones que consideren pertinentes en el material que reciban.

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1. Si un triángulo Obtusángulo Isósceles tiene un ángulo de 120 grados y sus lados iguales son de 5 cm, construye el triángulo y luego dibuja las alturas y el ortocentro.

2. Haz lo mismo con un triángulo Escaleno cuyos lados son de 6 cm, 7 cm y 8 cm.

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Los puntos y las líneas notables

Incentro: es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita, que equidista de sus tres lados.

Circuncentro: es el punto de corte de las tres mediatrices, y es el centro de la circunferencia circunscrita que tiene la misma distancia de los puntos de sus mediatrices.

Baricentro o Centro de Gravedad: es punto donde se cortan las tres medianas.

Ortocentro: es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo.

Ejercicio 1Si tenemos un triángulo rectángulo Isósceles, cuyos lados iguales son de 6 cm, construye el triángulo y dibuja las Alturas y el Ortocentro del triángulo.

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Ejercicio 2

Ejercicio 3

Si tenemos un triángulo Escaleno, cuyos lados son de 3cm, 4 cm y 5 cm., construye el triángulo y traza las medianas y Baricentro del triángulo.

Si tenemos un triángulo Equilátero con lados de 4 cm. construye el triángulo y traza las bisectrices y el incentro del triángulo.

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Lista de figuras

Figura 1. Características del triángulo

Figura 2. Triángulo

Figura 3. Elementos del triángulo

Figura 4. Propiedades de los triángulos

Figura 5. Actividad elemento del triángulo

Figura 6. Triángulos según sus ángulos

Figura 7. Triángulos según sus lados

Figura 8. Clasificación triángulos

Figura 9. Incentro

Figura 10. Características incentro

Figura 11. Características incentro

Figura 12. Actividad incentro

Figura 13. Circuncentro

Figura 14. Características circuncentro

Figura 15. Características circuncentro

Figura 16. Actividad circuncentro

Figura 17. Baricentro

Figura 18. Características baricentro

Figura 19. Actividad baricentro

Figura 20. Triángulo geogebra

Figura 21. Ortocentro

Figura 22. Características ortocentro

BibliografíaShaguirin, I. (1989) Problemas de planimetría. Geometría. Editorial Mir, Moscú.

ReferenciasShaguirin, I. (1989) Problemas de planimetría. Geometría. Editorial Mir, Moscú.

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