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FES. Superconductividad

Introducción

Durante muchos años la superconductividad ha sido considerada como la más misteriosa y extraordinaria propiedad de los metales. Inicialmente fue una curiosidad de laboratorio y actualmente su introducción en determinados sectores es incuestionable (máquinas eléctricas, aceleradores de partículas, equipos médicos, trenes de levitación magnética, etc.)

Aparte de los aspectos prácticos los fundamentos que explican el fenómeno para los materiales metálicos son conocidos, la teoría de Bardenn, Cooper y Schrieffer (conocida como teoría BCS) ha sido capaz de explicar el fenómeno.

La superconductividad no es un hecho asilado de algunos metales. Más de 20 elementos metálicos pueden convertirse en superconductores en determinadas condiciones. Ciertos semiconductores también pueden presentar este fenómeno, y la lista de aleaciones estudiadas puede pasar del millar.

Como veremos la propiedades de los metales en el estado superconductor no pueden entenderse dentro del marco de la aproximación de electrones independientes. Las tres propiedades mas importantes son:


1. Un material superconductor parece no tener resistencia eléctrica en un campo eléctrico constante. Establecida una corriente y en ausencia de campo no ha sido posible detectar un decaimiento de la misma (por lo menos durante el tiempo que se tuvo la paciencia de observar el fenómeno, el record parece estar en dos años).

2. Un semiconductor se puede considerar como un material diamagnético perfecto. Una muestra en equilibro térmico en el seno de un campo magnético no demasiado alto origina en su superficie corrientes eléctricas que crean un campo magnético opuesto al aplicado y que hace que el campo en el interior del material sea nulo.

3. Un superconductor se comporta como si tuviera un gap de anchura 2∆ centrada en el nivel de fermi. Entonces un electrón de energía ε puede ser acomodado ( o extraído ) del estado superconductor si εF- ε (o ε-εF) excede ∆. La energía gap decrece con la temperatura alcanzando un valor máximo a bajas temperaturas y un valor nulo en la temperatura de transición Tc.

Las teorías de la superconductividad son general muy especializadas. Como la mayor parte de las teorías explicadas en este curso están basadas en la aplicación de la mecánica cuántica no relativista aplicada a electrones y cores. Como ya hemos dicho no se puede estudiar el problema desde la teoría de electrones independientes. El tratamiento riguroso exige métodos de teoría de campos aunque como iremos viendo se pueden encontrar explicaciones parciales usando teorías parciales más simples.

Nuestro estudio se centrará en los superconductores de baja temperatura crítica, que son los que pueden entenderse utilizando la teoría BCS.


La superconductividad fuedescubierta por Kammerling Onesen 1911 (Kammerling Ones fue elprimero que logró licuar el Helio loque le permito realizar estosexperimentos) al observar que laresistencia del mercurio se anulabacompletamente por debajo de los4.3K. Este fenómeno ocurría en unintervalo de temperaturas muy cortode 0.05K..

La resistividad del Hg usado era de 172.7 Ω en estado líquido a 0ºC. En estado sólido a -38,8ºC era de 39,7 Ω. A 4.3 K había descendido a 0.084 Ω. Al baja más la temperatura el valorseguía siendo extremadamente bajo.

Como en la mayor parte de los áreas de la ciencia el fenómeno fue descubierto de formaexperimental antes de que se pudiese explicar teóricamente . Pasaron 45 años hasta que sedesarrollo una teoría rigurosa que explicase el fenómeno.

Descubrimiento


Como se puede ver en la tabla periódica muchos elementos mono-atómicos sonsuperconductores. Es este por tanto un fenómeno bastante común.


Temperatura crítica (Tc)

La temperatura crítica de un superconductor (Tc) es aquella en la que en ausencia de campomagnético aplicado se produce la transición del estado superconductor al estado normal. Enlos elementos conocidos estas temperaturas van desde unas milésimas de kelvin hastaaproximadamente 20 K (superconductores de baja temperatura que se pueden entendersegún la teoría BCS) (ver datos en la diapositiva siguiente). Las correspondientes energíastérmicas asociadas KTc varían entre 10-7 eV hasta las milésimas de eV; energías bastantepequeñas para las que estamos acostumbrados a manejar en este curso.

¿se harán todos los materiales metálicos superconductores a temperaturas suficientementebajas?. No lo sabemos; en la investigación experimental con estos materiales a bajastemperaturas la mayor dificultad es trabajar con muestras suficientemente puras que nocontengan elementos magnéticos extraños ya que estos pueden reducir la temperaturacrítica de forma drástica.


Valores experimentales de las temperaturas críticas de superconductores de baja

temperatura crítica


Propiedades magnéticas. Efecto Meissner

Efecto Meissner en una esfera superconductora en presencia de un campo magnético constante; al bajar la temperatura por debajo de la temperatura de transición las líneas de inducción B son expulsadas del interior de la esfera. Por tanto el material se comporta como un diamagnético perfecto con susceptibilidades muy superiores a las de los materiales diamagnéticos estándar.

La explicación se basa en que la aparición de corrientes superficiales que originan un campo que anula el externo en el interior del material. Este hecho tiene las siguientes consecuencias sobre los valores de la inducción y magnetización de estos materiales

(CGS) 4 0

(SI) 0

Donde Ba es el campo externo aplicado


Es posible hacer desaparecer la superconductividad aplicando un campo magnético suficientemente alto (Hc). Este campo es función de la temperatura tal y como se muestra en la figura. La ley fenomenológica de variación del campo crítico con la temperatura se ajusta bien a una ecuación de tipo parabólico:

Hc=H0(1-T2/Tc2)

La parte bajo la curva corresponde al estado superconductor y la parte superior la estado normal

Campo magnético crítico Hc


Curvas experimentales de la evolución del campo crítico con la temperatura

Relación entre el campo crítico a 0 K y la temperatura de transición en ausencia de campo.


Un aspecto interesante es la independencia de la propiedad de resistividad nula y el diamagnetismo perfecto de los superconductores.

En la ecuación de Ohm E=ρj, como ρ=0 y j es un valor finito E debería ser 0 y por tanto teniendo en cuenta la ecuación de Maxwell

!"# 0

Lo que implica que el campo no debería variar cuando se reduce la temperatura por debajo de la temperatura de transición.

El efecto Meissner contradice esta resultado y sugiere la independencia de los fenómenos eléctricos y magnéticos. En este sentido es más correcto definir el superconductor como un material que desde un punto de vista eléctrico tiene resistividad nula y desde el punto de vista magnético es un diamagnético perfecto.


Superconductores de Tipo I y de Tipo II

Se clasifica a estos dos materiales en función de como es la curva magnetización-campo.

1. Aquellos materiales que cumplen con la relación

se denominan superconductores de tipo I o

superconductores blandos. En general los valores de Hc son suficientemente bajos como para que estos materiales no tengan aplicaciones técnicas útiles en las bobinas de imanes superconductores.

1. Otros materiales tienen una curva de imanación diferente. Suelen ser aleaciones o metales de transición con valores elevados de la resistividad eléctrica en el estado normal; es decir el camino libre electrónico en el estado normal es pequeño. Estos materiales tienen propiedades eléctricas superconductoras hasta un campo Hc2 , presentando en el rango entre el campo crítico inferior Hc1 y el superior Hc2 un efecto Meissner incompleto (es decir B≠0 en el interior del material). El valor de Hc2 puede ser 100 veces superior al de Hc. En la región comprendida entre los dos campos el superconductor está atravesado por líneas de flujo y se dice que se encuentra en estado vórtice.


Resultados experimentales para superconductores de tipo II

Líneas de flujo en un superconductor de tipo II cuando el campo aplicado está entre los campos críticos Hc1 y Hc2


Entropía

En todos los superconductores la entropía se reduce marcadamente al enfriar el material por debajo de Tc. El que la entropía en el estado normal sea superior a la del estado superconductor índica que el estado superconductor es más «ordenado» que el estado normal. Por tanto en el paso del estado normal al superconductor hay una modificación del «orden» en la sistema de electrones del sólido.


Calor específico y gap de energía

El calor específico para el galio en los estados normal y superconductor se comparan en la figura adjunta. Como se puede observar hay un enorme cambio en esta propiedad entre lo que sucede en el estado normal y lo que se tiene en el estado superconductor. Cuando nos acercamos a la temperatura crítica desde temperaturas más altas, primero el calor específico crece rápidamente y luego desciende a cero según una ley exponencial (con 1/T).

Aplicando un campo magnético es posible comparar los comportamientos normal y superconductor. En experiencias como las de la figura se pudo demostrar que la contribución electrónica AT desaparece y es sustituida por una ley de tipo exponencial que pone de manifiesto la existencia de un gap de energía 2∆ que superan los electrones al aumentar la temperatura pasando al estado normal.


Esta banda prohibida es de naturaleza diferente a la de los aislantes. El argumento de la

exponencial $ ∆&'( con ∆≈1.4KBTc

El valor de la banda prohibida es 2∆≈2 (1.4KBTc).

La tabla siguiente muestra los valores de la banda prohibida para algunos materiales.


Además en la figura de la diapositiva 14 se observa que el paso del estado normal al superconductor es una transición de fase de segundo orden, donde no hay calor latente pero si una discontinuidad en el calor específico. Además la banda prohibida de energía decrece de forma continua cuando se incrementar la temperatura hasta alcanzar la temperatura de transición.


Efecto isotópico.

La temperatura de transición Tc se ha observado que depende de la masa isotópica con una expresión del tipo

)*+ Constante

En principio no hay ninguna razón por la que la temperatura de transición pueda depender del número de neutrones a parte del hecho ya estudiado según el cual las vibraciones reticulares dependen de la masa atómica.Este resultado fue la clave que llevó a pensar que las vibraciones de la red estaban implicadas en la superconductividad y fue la base para introducir el concepto de par de Cooper.


Resumen de los resultados experimentales fundamentales


Estudiaremos algunas de las teorías que han permitido comprender el fenómeno de la superconductividad de baja temperatura.

Teoría de London de la superconductividad. F.London, H. London, Proc. Ro. Soc. A149, 71 (1935)

La teoría propuesta se basa en la idea de dos fluidos de Gorter y Casimir, modelo que también se usa el estudio del He-4 y sus propiedades de superfluido.

Suponen que un superconductor puede considerarse compuesto de electrones «normales» y electrones «superconductores».

De esta forma cuando T<Tc solo una fracción de los electrones ns(T)/n del número total de electrones n=nn+ns participan en la super-corriente. Aunque la corriente normal y la super-corriente van a moverse paralelas en presencia de un campo E, London admite que la primera es despreciable frente a la segunda y la desprecia.

Supongamos que un campo E actúa momentáneamente sobre el material superconductor, los electrones superconductores serán acelerados libremente, sin disipación de energía, de forma que su velocidad deberá satisfacer la ecuación:


,- #

Y para la densidad de corriente:

.- /-,-

Combinando ambas ecuaciones obtenemos la primera ecuación de London

.- 0/-

ETomando rotacionales en esta ecuación y usamos la ley de Faraday para la inducción magnética

!"# 133 (CGS)

!" .- /-0

33

Integrando esta ecuación con respecto al tiempo se lleva a la segunda ecuación de London

!".- /-0


Uno de los logros de esta teoría es la justificación del efecto Meissner. De nuevo admitimos que la contribución de los electrones normales es despreciable y además se admite que las variaciones del campo B son pequeñas (o nulas) evitando la existencia de corrientes de desplazamiento.

En estas condiciones y partiendo de las ecuaciones de Maxwell

!" 4 .4

Tomando rotacionales y sustituyendo la segunda ecuación de London

!"!" !0 4 !".4 1

Λ0

Λ 04/-0

0

Donde a Λ se le denomina profundidad de penetración de London que para los superconductores típicos toma valores del orden 102-103 Å


La solución de la ecuación a lo largo de una dirección x!0 1Λ0

" 0 $6 78

Donde B(0) es el campo en la superficie del material. Así vemos que Λ mide la profundidad de penetración del campo magnético, que al ser muy pequeña, justifica el hecho de que en el interior del superconductor no existe un campo magnético. Es decir justifica el efecto Meissner si las dimensiones de la muestra son grandes frente a Λ


Otra forma de llegar a la segunda ecuación de London es escribiendo directamente la expresión de la densidad de corriente para el superconductor situado en el seno de un campo magnético representado por el potencial vector A.

,- 9

, 1 :

9;Y la densidad de corriente será:

. /-,- :/- /-0

9;

Si admitimos que en el estado superconductor p=0, tenemos que

. /-0 9 Y por tanto !".- /-0

!"9 /-0

El éxito del concepto de Par de Cooper, que veremos después, es que permite explicar porque en el estado superconductor p=0.


Teoría de Ginzburg-Landau (1950)

Estudiaremos la situación que se muestra en la figura adjunta. En el cual un anillo metálico es situado en el seno de un campo magnético (a). Se reduce la temperatura para pasar al estado superconductor (b). En esta situación las líneas de campo son expulsadas del material. Por último se elimina el campo externo aplicado (c), en esta situación las líneas de flujo quedan «atrapadas». El flujo Φ a través del centro no puede disminuir ya que según la ley de Faraday la 3∅/3 debe ser igual a la circulación de E alrededor del anillo, que es cero en un superconductor

3Φ3 ?# 0

A medida que removemos el campo externo se origina una super-corriente que circular alrededor del anillo y en superficie para conservar constante el flujo a través del anillo. Estas corrientes fluirán cerca de la superficie (hasta una profundidad Λ)


La densidad de corriente en presencia de un campo magnético caracterizado por un potencial vector A es:

B=∇xA∇A=0 p=mv+qA/c

Llamaremos Ψ a la función de onda de la partícula superconductora en el estado de más baja energía y Ψ Ψ*=constante e igual a la densidad de carga ρ(r). La función de onda se puede escribir como:

Sustituyendo en la expresión para J se obtiene:


Como en el interior del cilindro la densidad de corriente es cero las ecuaciones previas nos permiten llegar a la siguiente identidad.


@?!A ?9

Ahora bien según el teorema de Stokes, se sabe que la circulación de A a través de una línea cerrada es igual al flujo de B a través de dicha espira.

@?!A Φ


La circulación de un gradiente desde un punto a otro (digamos del punto 1 al 2) es la diferencia de los valores de la función en los dos puntos. Es decir

?!A A0 A

Si escogemos los dos puntos extremos 1 y 2 coincidentes de modo que formen una espira, podríamos pensar que θ2 y θ1 tomarían el mismo valor y que por tanto la integral sería nula. Sin embargo el único requisito físico que podemos hacer es el que ya hicimos cuando establecimos las condiciones cíclicas. Haga lo que haga θ, cuando da una vuelta al anillo, al llegar al punto de inicio, la función de onda debe ser la misma.

Esto sucederá si la diferencia entre los valores de θ2 y θ1sea 2πn siendo n cualquier numero entero. Por tanto llegamos a que:

B 2/@


La conclusión de este análisis es que el flujo atrapado debe de ser un múltiplo entero de 2π@/q. Si se considerase el anillo como un objeto clásico conductividad perfecta (es decir, infinita) pensaríamos que cualquiera que fuse le flujo que tuviésemos inicialmente, este se conservaría. Pero la teoría cuántica de la superconductividad dice que el flujo puede ser cero o múltiplos enteros de 2π@/q, debe ser múltiplo entero de la unidad cuántica básica (fluxón).

London predijo que el flujo atrapado por un anillo superconductor estaría cuantizado de acuerdo a las ecuaciones previas con un valor de q igual a la carga electrónica. Según London la unidad de flujo básica debería ser 2π@/e que es alrededor de 4x10-7 gauss cm2.

Las experiencias realizadas por Doll-Nabaüer en 1961 permitieron demostrar que la unidad de flujo básica tenía un valor mitad del predicho por London, es decir 2x10-7 gauss cm2.

Por tanto en la teoría de la superconductividad había que admitir que q=2e, lo que cuadra perfectamente con la teoría BCS y el concepto de par de Cooper.


Los pares de Cooper (1950)

Cooper postula que existe una «nueva entidad en la estructura electrónica» que se forma por una interacción atractiva entre dos electrones y que se produce por la deformación de la red.

La idea esquemática es la siguiente: cuando un electrón viaja a través de la estructura cristalina debido a su carga negativa va dejando una deformación que debe afectar a los cores cargados positivamente. Esta «estela» que está asociada a una concentración de carga positiva puede atraer a un segundo electrón. Es decir el efecto final es una atracción entre electrones a través de la deformación de la red.

La distancia entre los dos electrones se puede estimar a partir de: la velocidad de los electrones (vF) es de 10 cm/s y la frecuencia de vibración de los átomos es ωD. La red tiene su máxima deformación en un tiempo τ=2π/ωD=10-13 s tras el paso del electrón, durante ese tiempo el electrón se ha desplazado una distancia de Λ= vF τ= 1000Å. Por tanto los electrones del par están separados distancias lo suficientemente grandes como para que la repulsión electrostática esté completamente apantallada.


La modelización de la interacción previa se puede realizar a través de los esquemas que siguen de interacción e-fonón.

Donde lo que tenemos es que un electrón en el estado k1 emite un fonón virtual q, pasando al estado k1

´= k1-q. Otro electrón en el estado k2 absorbe dicho fonón pasando al estado k2

´= k2+q . Este proceso trae consigo la aparición de la interacción electrón-electrón citada.


En la interacción previamente descrita se debe conservar el momento por lo que:

k1+ k2= k1´+ k2

´=K

Como la interacción está restringida a una capa esférica con un espesor de @ωD por encima de la energía de fermi, los posibles estados estarán en las zonas más oscuras de la figura adjunta. Esta área y como consecuencia el numero de fonones que reducen la energía es máximo para K=0, por tanto el caso más probable es en el que k1=- k2

Por otra parte otra de las características fundamentales del Par de Cooper es que los espines de los electrones son opuestos y que el par de Cooper se comporta como una partícula bosónica (no como una par de Fermiones).


Por tanto el par de Cooper tiene la siguientes características fundamentales:

• Está formado por 2 electrones que interactúan de forma atractiva a través de un fonón

• No tiene momento (p=0) porque k1=- k2

• No tiene spin, y es un bosón. Por tanto no obedece el principio de exclusión de Pauli y estas partículas tienden a coexistir en un mismo nivel cuántico y por ello se dice que tienen un comportamiento coherente con ausencia de colisiones.

• Al tener estas partículas un comportamiento idéntico pueden ser descritas por una función de onda a un partícula, es decir una función de onda de una sola variable, como en la teoría de Ginzburg-Landau.

• A temperaturas por debajo de Tc no se dispone de la energía necesaria para «romper» los pares de Cooper a menos que exista un campo magnético superior a Hc.

• Existe un gap de energía asociado a la energía de ligadura del par de Cooper. • La masa de los iones influye en el comportamiento del par de Cooper (efecto

isotópico) porque la interacción se produce a través de un fonón y la relación de dispersión de fonones depende de dicha masa.


El Hamiltoniano BCS

La teoría BCS toma el concepto de par de Cooper como base para explicar la superconductividad. Para poder encontrar el comportamiento del sistema se parte de un Hamiltoniano que tiene en cuanta las interacciones electrón-fonón.

D EF $FG F HGF,JGH,JHFJ

Para poder encontrar las propiedades de este tipo de sistemas.


Un gran descubrimiento fueron los superconductores de alta Tc:

Aplicaciones reales de la superconductividad

Los superconductores de alta temperatura crítica son cerámicos (no son metales) y

no cumplen la teoría BCS. A día de hoy todavía se está trabajando en desarrollar una

teoría que consiga justificar la superconductividad de este tipo de materiales

Superconductividad de alta temperatura crítica


Nobel

A día de hoy no existe aún una teoría aceptada universalmente que explique el fenómeno de la supercondutividad de alta temperatura crítica


Los superconductores de alta temperatura han abierto la posibilidad de usar estos materiales en aplicaciones industriales en distintos sectores.

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