INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE...

ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

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INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1.1. RESISTENCIA DE MATERIALES

1.1.1. Conceptos

Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de ESTABILIDAD I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro.

Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples. a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como

caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo.

Fig. 1.1: Barra de eje curvo Fig. 1.2: Barra de eje recto

La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la barra.

b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras

dimensiones.

Fig. 1.3: Placa


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c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en

comparación con las otras dimensiones.

Fig. 1.4: Bóveda

d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden.

En la Resistencia de Materiales (Estabilidad II) se estudian principalmente, los casos de barras que tienen sección constante y eje recto.

Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios moti-vos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la fa-lla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo.

La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las defor-

maciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha di-cho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deforma-bles.

La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, acep-

tables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, em-pleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser jus-tificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas.

Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:

a) Dimensionamiento b) Verificación

En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido:

§ Con seguridad § En perfecto estado § Con gastos adecuados

El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario co-nocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes.


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1.1.2. Hipótesis fundamentales

a) El material se considera macizo (continuo).

El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detec-tarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.

Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas.

b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos).

El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios.

c) El material de la pieza es isótropo.

Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones.

d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas.

Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en un sólido no sometido a cargas.

Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial.

e) Es válido el principio de superposición de efectos.

Ya se ha hecho uso de este principio en la cátedra de ESTABILIDAD I, para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando:

- Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación con las dimensiones del sólido.

- Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”.

Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio corres-pondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración inicial, es decir, sin defor-maciones.

Lo que hemos enunciado en este último párrafo es válido en la mayoría de los casos, no obs-tante, cuando analicemos el problema del pandeo de una barra elástica veremos que este criterio no puede ser aplicado.

f) Es aplicable el principio de Saint – Venant

Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del cálculo.

g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas

Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y como veremos en el ca-


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pítulo 11, las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.

1.1.3. Método

Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general éstas son inagotables.

Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. De-

bemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran al-tura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca impor-tancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas al-turas, la variación de la temperatura con la altura, etc.

Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes,

según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales.

Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente

cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una serie de problemas reales comunes al esquema dado.

Fig. 1.5

Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en:

a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra. b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas

prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas.

d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto.

El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de las deformaciones.

Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas

pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamen-te en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real.

Fig. 1.1


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Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materia-

les, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera:

1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático). 2) Resolución matemática del problema 3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.

1.2. CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIONES ESPECÍFICAS

Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 1.6 la función de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión.

Si consideramos los componentes de prensa, vemos que los

mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, las que como ya se ha estudiado en ESTABILIDAD I, generan esfuerzos internos. Por ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza.

Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un

corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre en equilibrio (ver figura 1.7), en esta sección debe aparecer una fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada. Ahora bien, ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la que se indica en la figura 1.7, aunque no lo podemos afirmar rigurosa-mente si no hacemos un buen estudio del problema.

Fig. 1.6

Fig. 1.7 Fig. 1.8

σ

=


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Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un mo-

mento tordente. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un con-junto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura 1.8. También podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que a-hora las fuerzas son yacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes

A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuer-

zos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente.

Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos

partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabe-mos que en la sección originada aparecerán fuerzas que man-tienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o tensión resultante en el punto P, al siguiente límite.

∆Ω∆

=ρ→∆Ω

F lim

0 (1.1)

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: in-tensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2)

Sistema Internacional de Unidades Fuerza Newton 1 N ≅ 0,1 Kgf Momento Newton × metro N.m Presión Pascal Pa = N / m2

El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas ten-sión normal (σ) y tensión tangencial (τ). Ver figura 1.10.

Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante

superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa, así mismo, que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento δ.

Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas

uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica”

∆∆Ω

Fig. 1.9

τσρ

Fig. 1.10


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Lδ

=ε (1.2)

Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si

todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε.

De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una

tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem.

Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga – Desplazamiento (F – δ):

Fig. 1.12

Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y longitud; manteniendo las características del material constante.

Dónde: Ω2 > Ω1

L2 > L1

Fig. 1.13

δ

L Ω

F

L1 Ω1 L2 Ω2

Fig. 1.11


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Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga – Desplazamiento va a variar

si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra.

Fig. 1.14

1.3. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

1.3.1. Elasticidad y Plasticidad

Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F

cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo contrario se dice que es “parcialmente elástico”.

La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada.

En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos.

1.3.2. Ley de Hooke

La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida

dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por debajo de un cierto valor σp, llamado tensión de propor-cionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales.

ε=σ . E (1.3)

arc tg E

ε

σ

Fig. 1.15

F

δ

Ω2 – L1

Ω2 – L2

Ω1 – L2


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E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudi- nal, o módulo de Young. El valor de E es una característi-ca de cada material. 1.3.3. Diagrama tensión - deformación (σ - ε ) del acero común

Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente.1

Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales σ calculables a través de la siguiente expresión:

Ω=σ

P (1.4)

Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) para cada escalón de carga, se pueden graficar los valores (σ ; ε), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas.

Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente.

En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características:

a) Período elástico

1 Área de "Ensayo de Materiales"

L

Ω

Fig. 1.16: Probeta de acero


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Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que producida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %.

Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta propor-cionalidad entre tensiones y deformaciones.

( ) (1.6) reducido delasticida de Módulo :zona segunda laEn

(1.5) E :zonaprimer laEn

=ε=εσ

=εσ

=εσ

fdd

dd

En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí.

b) Período elasto-plástico

Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A me-dida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un va-lor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia).

c) Período plástico (fluencia)

Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumen-tan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados lí-mites de fluencia superior e inferior, respectivamente.

La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia.

Fp8.0 σ≅σ (1.7)

Las investigaciones demuestran que durante

la fluencia se producen importantes deslizamientos relativos entre los cristales. Como consecuencia de estos deslizamientos, en la superficie de la probeta a-parecen las llamadas líneas de Chernov - Lüders, que forman con el eje de la misma un ángulo de 45º.

d) Período de endurecimiento y de estricción Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la

fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada defor-mación de rotura, produciéndose la rotura física.

Fig. 1.18

Fig. 1.19:

Fenómeno de estricción


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La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación es-

pecífica correspondiente a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado “estricción”.

Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR y cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura εR.

Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial.

Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “coeficiente de

estricción lateral”, el cual se define según la siguiente expresión:

f

fi

Ω

Ω−Ω=ϕ

Dónde: Ωi = área inicial Ωf = área final En los aceros comunes ϕ ≈ 50 %

Si al realizar el ensayo de un acero común, una vez alcanzado un punto tal como el M de la gráfica de la figura 1.14, se descarga la probeta, se llega a una tensión nula a través de una recta paralela a la que define el período elástico, quedando una defor-mación remanente. Si la probeta vuel-ve a cargarse retoma la curva en el punto N, pero con un nuevo recorrido donde ya no existe el período de fluen-cia. Así mismo, la zona recta se pro-longa hasta un valor σ'p > σp.

El fenómeno anterior de denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también

puede lograrse por laminado en frío, trafilado o torsión. El trafilado se utiliza para endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con confor-maciones superficiales), para hormigón armado.

Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama σ - ε resulta ser substancialmente distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes:

11..11..11..11..FFiigg.. 11..1133

R ε

σ

ε

Diagrama convencional

Diagrama efectivo

Fig. 1.20: Diagrama efectivo y convencional

σ

ε α α

M N

σ'p

σp

Fig. 1.21: Endurecimiento mecánico del acero dulce


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§ Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados

que los aceros comunes. § No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de

escurrimiento plástico. § La deformación de rotura se reduce considerablemente. § Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido,

este se determina en forma convencional como la tensión para la cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %.

Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran

capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura fí-sica, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los mate-riales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce brus-camente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frági-les”.

1.3.4. Diagrama tensión – deformación para otros materiales

Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε es una curva continua sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva σ - ε en compresión.

En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres valores del módulo de elasticidad:

a) Módulo al origen E= tg α (1.9) b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la

pendiente a la curva σ - ε en cada punto:

0 tg

dd

E α=εσ

= (1.10)

c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α1.

Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre:

ε×=σ E k (1.11)

donde el coeficiente k depende del material (valor medio,ya que depende de muchas variables):

0,2 %

σ

σR σF

σp

εp εR = 12 % ε

Fig. 1.22:

Límite Convencional de Fluencia σ 0,2

εR

α1

ε

α 0

α

σR σ

Fig. 1.23: Módulos tangentes y secantes


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Material Coeficiente k Hormigón k = 1,15 Cobre k = 1,10 Latón k = 1,085 Cuero k = 0,70

En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales

presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso del hormigón.

1.3.5. Diagramas ideales

Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resu-men las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales.

El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluen-cia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan sig-nificativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura.

εF ε

σ

σF

εR ε

σ

σR

ε

σ

σF = σR

Fig. 1.25.1: Diagrama ideal Fig. 1.25.2: Diagrama ideal Fig. 1.25.3: Diagrama ideal para un material dúctil para un material frágil para un material plástico

En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura,

prescindiéndose entonces del tramo curvo. Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que

sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión.

σ

ε

hormigón

cuero

Fig. 1.24


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1.4. CONSTANTES ELÁSTICAS

El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad.

1.4.1. Módulo de elasticidad longitudinal (E)

Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L.

La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε. Admitiendo para el

material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión ΩP

=σ , será proporcional a la deformación ε.

La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo

de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas.

1.4.2. Módulo de elasticidad transversal (G)

Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en su cara superior.

L ∆L

P Ω

P

Fig. 1.26

ε=σ

=εσ

=α

E

Etg (1.12)

γ γ

Ω

Fig. 1.28: Distorsión

α

σ

ε

Fig. 1.27


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La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al

ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como τ, siendo:

Ω=τ

P (1.13) τ = tensión tangencial o tensión de corte

De la misma forma que se grafica la relación

σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del acero común la gráfica representativa, es similar a la ya vista para las tensiones normales.

Dentro del campo lineal elástico, la constante que vincula la tensión tangencial con la deformación angular, es llamada módulo de elasticidad transversal (G).

γ=τ

=γτ

=β

G

Gtg

(1.14)

Para el acero común τFl ≅ 0,57 σFl

1.4.3. Módulo de elasticidad de volumen (K)

Se define como el módulo de elasticidad de volumen (K), a la constante que permite obtener la deformación cúbica específica de un paralelepípedo elemental sometido a presión uniforme.

Sea un paralelepípedo inicialmente de lados ∆x, ∆y, ∆z, sometidos a una presión hidrostática p; cada una de las aristas experimentará un acortamiento, lo cual se traduce en una variación de volumen ∆V = Vf - Vi.

La deformación específica volumétrica está dada por:

i

ifv V

VV −=ε (1.15)

Esta deformación se vincula a la presión actuante mediante una constante de proporcionalidad,

el módulo K.

v K p ε= (1.16)

τ

β

γ

τ F l

Fig. 1.29: Diagrama Tensión – Distorsión angular

∆

∆

∆

Fig. 1.30: Elemento diferencial


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Siendo εv adimensional, la unidad de K será (Kg/cm2). Este módulo de elasticidad volumétrica

no es independiente de los dos vistos anteriormente.

1.4.4. Coeficiente de Poisson

Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella.

aa

;LL

tL

∆=ε

∆=ε

Llamando con εL el alargamiento específico en dirección de la fuerza y ε t la deformación es-

pecífica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre:

L

t

ε

ε−=µ (1.17)

o bien:

t

L1m

ε

ε−=

µ=

El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para

materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso µ < 0,50

Valores de Constantes Elásticas según el material

Material E (t/cm2) µ Acero Cobre Bronce Hierro fundido Aluminio Madera (paralela a la fibra) Hormigón Mampostería de ladrillo Caucho Corcho

2.000 a 2.100 1.160 a 1.300

1.100 750 a 1600

760 80 a 120 150 a 350

< 120 0.01

-

0.22 a 0.33 0.31 a 0.34 0.32 a 0.35 0.23 a 0.27 0.32 a 0.36

- 0.10 a 0.20

- 0.47

≈ 0.00

a P P

L L + ∆ L

a + ∆ a

Fig. 1.31


/2004 17

1.5. CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN ADMISIBLE Y DE

CARGA ADMISIBLE En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar

la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por e-jem-plo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha de-bilitado por la existencia de vicios ocultos.

La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo úni-co que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla.

“La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satis-factoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible”.

Existen numerosas causas de incertidumbres: § Las hipótesis de cargas § Las hipótesis de cálculo § Los errores de cálculos § Defectos del material § Errores de las dimensiones § Errores de ejecución

El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el ba-

sado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no debe superar cierto valor.

ν

σ≤σ L

máx (1.18)

σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado ν: un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad”

Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de ma-

teriales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación νσ /L recibe el nombre de “tensión admisible”.

admL σ=

ν

σ (1.19)

La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre

que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general probabi-lísticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, la norma CIRSOC (SIREA). Para los casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían en-tre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes.


/2004 18

Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad,

es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre res-pecto de ellos.

En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en di-cha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke, ya que la tensión de trabajo resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de las tensio-nes, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta.

ν

σ=σ F

adm

ν

σ=σ 0,2

adm

ν

σ=σ R

adm

Fig. 1.32: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales

Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de

tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo elástico, y método de cálculo plástico.

El coeficiente de seguridad a través del criterio plástico se establece en base a relación de

cargas. Entenderemos como máxima carga estructural, el límite del valor de carga que puede soportar una estructura sin dejar de cumplir satisfactoriamente los fines constructivos a que está destinada. En este caso el valor del coeficiente de seguridad viene dado por

)P(P

P

) Admisible(Carga real CargalEstructura Carga Máxima

admtrab

rotp

==ν

En la materia nos referiremos al coeficiente ? que compara tensiones.

1.5.1.1 Ejemplos de cálculo del Coeficiente de Seguridad. Interpretación del concepto de tensión

admisible ..

Dimensionar las barras de la figura con secciones circulares macizas de acero común. Condición: Ω1 = Ω2.

σ σ σ

σFl σadm

σ0,2 σadm

σR σadm

ε ε ε


/2004 19

α1 = 45ºP

B

C

α1

A

α2

P

X 2

C

X 1

D . C . L .

α2 = 30º P = 3 tn.

==υ

σ=σ 2cm

tnFl 40,171,140,2

37St Acero :Material

X1 = 1,53 tn X2 = 2,19 tn

2

cmt

adm

máxnec

cm56,140,1

t 19,2X

2

==σ

=Ω

Tabla

∅ Ω (mm) (cm2)

10 0,78 12 1,13 16 2,01 20 3,14

De Tabla adopto una barra de ∅ 16 mm y de sección Ω = 2,01 cm2

Tensión de trabajo. Coeficiente de seguridad del sistema:

20,2

20,209,140,2

09,1cm 2,01 t19,2X

16,376,040,2

76,0cm 2,01 t53,1X

Sistema

2T

Fl2cm

t2

2

22T

1T

Fl1cm

t2

1

11T

2

2

=ν

==σ

σ=ν⇒==

Ω=σ

==σ

σ=ν⇒==

Ω=σ

Mediante el ejemplo anterior tratamos de diferenciar el concepto de tensión admisible, respecto del de tensión de trabajo o de servicio. En el primer caso se determina un valor de referencia, al cual se llega adoptando un coeficiente de seguridad (1,71), que como proyectistas lo estimamos razonable. En tanto los de tensión de trabajo corresponderían a los valores reales que tendría el sistema proyectado, de acuerdo al material utilizado.


/2004 20

1.6. ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN

Vamos a analizar el proceso de deformación de un sólido elástico desde el punto de vista energético. Las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo elástico realizan cierto trabajo que designaremos W. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del sólido deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del sólido, es decir, se transforma en energía cinética K. El balance de la energía, en el supuesto que no haya pérdidas por fricción, calor, etc., es el siguiente:

W = U + K (1.20)

Si la carga se aplica lentamente, la velocidad del desplazamiento de las masas del cuerpo será

pequeña, con lo que la energía cinética será despreciable, luego:

W = U (1.21)

Al descargar el cuerpo, debido a la energía potencial, se realiza cierto trabajo, el necesario para devolver al cuerpo su forma o-riginal. En este sentido, un sólido es un a-cu-mulador de energía, comportándose como un resorte.

Si consideramos, por ejemplo, el caso de una barra traccionada mediante una fuerza que varía en forma estática, para un valor de carga P´ la misma tendrá un desplazamiento δ´. Si a partir de ese instante se realiza un in-cremento de la carga, el alargamiento δ´ ten-drá un incremento dδ´. La fuerza P realizará en consecuencia un trabajo, el que producirá un incremento de la energía de deformación acumulada.

dW = dU = P' dδ ' + ½ dP' dδ '

Como el término ½ dP' dδ ' tiende a cero por ser infinitésimo de orden superior, podemos afir-

mar: dW = dU ≅ P´ dδ ’ (1.22)

Para un determinado valor de P, la energía acumulada será:

δ==δ= ∫δ ∆

P21

OAB area ´d P´ UO

(1.23)

Podemos ver que el trabajo de la fuerza se obtiene tomando la mitad del producto de la fuerza

por el desplazamiento correspondiente. Si la relación entre fuerza y desplazamiento no es lineal, el coeficiente ½ es otro. Si la carga mantiene su valor constante desde el comienzo, el coeficiente se hace igual a la unidad.

En algunas aplicaciones es de importancia la energía de deformación por unidad de volumen,

también denominada “energía específica de deformación”.

δ

d ` δ

δδ δ

PΩ

P

Fig. 1.33: Energía de deformación acumulada en una barra


/2004 21

∫

∫∫

∫

ε

εε

δ

εσ==

εσΩ=εΩσ=

Ωσ=ε=δδ=

O

OO

O

d VolU

u

d L d L U

PL d dd P U

(1.24)

Podemos ver que la energía de deformación por unidad de

volumen resulta ser igual al área encerrada por el diagrama σ - ε. Si la tensión se encuentra dentro del período lineal elástico:

22

E21

E21

21

u ε=σ

=σε= (1.25)

dε` εεε`

σ

σ

σ`

ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

/2005 1

2

SOLICITACION NORMAL Y CORTE PURO

2.1 SOLICITACION NORMAL 2.1.1 Tracción y compresión, tensiones y deformaciones

El problema que vamos a estudiar a continuación se refiere a las piezas que están sometidas exclusivamente a esfuerzos internos normales, de tracción o compresión.

Si trazamos sobre la superficie de una barra prismática una red de líneas rectas, unas paralelas y otras perpendiculares al eje de la barra, y sometemos a la misma a una fuerza de tracción, observaremos que después de la deformación las rectas de la red permanecen ortogonales entre sí en toda la superficie, excepto en una zona pequeña próxima al punto de aplicación de la fuerza y de la que ahora prescind i-remos, mientras que las distancias entre las rectas va-rían. Las rectas horizontales se desplazan hacia abajo, permaneciendo rectas y horizontales. Es de suponer que en el interior de la barra tiene lugar el mismo fe-nómeno, lo cual permite enunciar una hipótesis: “Las secciones transversales de las barra, que eran planas y perpendiculares a su eje antes de la defo r-mación, permanecen planas y normales a éste des-pués de ocurrir la deformación”. Esta hipótesis, que tiene suma importancia, se conoce como “hipótesis de las secciones planas o hipótesis de Bernoulli – Navier”, y los ensayos confirman las fórmulas que se basan en la misma. Lo expuesto sobre las deformaciones nos permite suponer que en las secciones transversales de las barras actúan solamente tensiones normales, distribuidas uniformemente. Por razones de equi-librio debe entonces ocurrir:

∫ ∫Ω Ω Ω

=σ→Ωσ=Ωσ=Ωσ=P

* d d P (2.1)

Los ensayos también demuestran que al estirar la barra, su longitud aumenta, mientras que sus

dimensiones transversales disminuyen. Cuando se trata de compresión, el fenómeno se invierte. Si consideramos que el material tiene un comportamiento elástico lineal podemos calcular analíticamen-te el valor de δ.

L

a b a ' b '

P δ

P

Fig. 2.1


/2005 2

E*L*P

E*L*P

E

L*

E L *

Ω=δ

Ω=

σ=δ

σ=εε=δ

Puede verse que el desplazamiento δ es directamente proporcional a la carga P aplicada y a la

longitud inicial L de la barra. Así mismo, δ resulta inversamente proporcional al producto Ω *E, el cual se denomina “Rigidez Axial”. Efectivamente, este producto representa la oposición de la pieza a la deformación, para lo cual ésta emplea sus propiedades geométricas y mecánicas.

Recordemos que no solo existe una deformación longitudinal sino que las dimensiones trans-versales también varían, obteniéndose una deformación ε’.

εµ−=ε . ' (2.3)

La suposición anterior sobre la distribución uniforme de las tensiones internas en la sección

transversal es valida siempre y cuando no se analicen las zonas próximas a la aplicación de la carga. Aquí se obra de acuerdo al principio de Saint- Venant ya enunciado, el que para el caso concreto de barras establece que la zona de perturbación influye en distancias no superiores a las dimensiones de la sección transversal.

Es de hacer notar, también, que las fórmulas anteriores son válidas cualquiera sea el signo de σ, es decir, tanto para solicitaciones de tracción como de compresión. Sin embargo, para estas últ imas tiene sus limitaciones. En efectos, en los cuerpos sujetos a compresión la fórmula 2.1 pierde validez cuando la esbeltez de la pieza supera ciertos valores, a partir de los cuales se presenta un fenómeno denominado “pandeo”, cuyo estudio lo realizaremos en el capítulo 10.

Conociendo la relación existente entre P y δ podemos obtener las siguientes expresiones para la energía de deformación:

22 P E

L

21

L

E

21

P 21

UΩ

=δΩ

=δ= (2.4)

2.1.2 Aplicaciones

En los problemas de dimensionamiento deberán cumplirse dos condiciones básicas, las cuales surgen de despejar el área de la sección transversal, de las fórmulas anteriormente vistas.

δ

σ

≥Ω

adm

adm

EL P

P

(2.5)

En los problemas de verificación deberán cumplirse, también, dos condiciones.

admadm E L P

P

δ≤Ω

σ≤Ω

(2.6)


/2005 3

A continuación vamos a desarrollar un ejemplo, para el cual se desea dimensionar las barras

del reticulado de la figura 2.2 Para las barras 1 y 2 debe emplearse madera con: σadm = 80 kg/cm2 δadm = L/300 E = 100 t/cm2 Para la barra 3 debe emplearse acero con: σadm = 2.400 kg/cm2 δadm = L/500 E = 2.100 kg/cm2 - Barras 1-2

2trab

adm

nec 2

2

admnec

kg/cm 73 38.72830

P

B.C. cm 0.94 300283

cm 0.2 100*7.38283*2.83

E L P

cm 38.7 cm 2,54 1" siendo , 2"x 3" de escuadría una Adoptamos

cm 35.4 80

2.83

P

tn2.83 P

==Ω

=σ

→=<=→δ≤Ω

Ω>=Ω→=

==σ

≥Ω

=

- Barra 3

kg/cm 1770 1.132000

P

B.C. cm 0.8 500400

cm 0.34 2100*13.1

400*2

E L P

cm 1.13

12 1 Adoptamoscm 0.83 24002000

P

tn2 P

2trab

nec 2

2

admnec

==Ω

=σ

→=<==Ω

Ω>=Ω

φ→==σ

≥Ω

=

4 t n

1 2

3

2 . 8 3 t n

2 t n4 m

2 t n

2 . 8 3 t n

2 t n

4 m

2m

Fig. 2.2


/2005 4

En general, cuando existen varias condiciones de dimensionamiento se emplea una de ellas y

se verifican las demás. Si alguna de éstas no es satisfecha se procede a redimensionar. Cuando se emplean las fórmulas 2.5, por razones de economía se trata de que se cumplan las

igualdades, lo que no siempre es posible ya que debemos adoptar piezas cuyas secciones transversales existan comercialmente.

Si en el ejemplo anterior quisiésemos saber el valor del descenso de la estructura en el punto de aplicación de la carga exterior de 4 tn, podríamos calcularlos mediante consideraciones energéti-cas. En efecto, el trabajo que realiza esa fuerza se convierte en energía de deformación, la cual será igual a la suma de la energía absorbida por cada barra.

cm 0.46

2*2.100*1.13

400 *

21

2*2.83* 100*38.7

283 *

21

4 21

P E

L

21

P 21

22

3

1i

2i

ii

i

=δ

+

=δ

Ω=δ ∑

=

Aunque el cálculo anterior parezca muy simple debemos señalar que pudo realizarse merced a

que tenemos una sola carga exterior y además calculamos el corrimiento correspondiente a su punto de aplicación. Para casos mas generales deben aplicarse otros criterios de cálculo, los que no son tra-tados en este curso.

2.1.3 Influencia del peso propio en la solicitación axial

En el estudio que realizamos en el primer ítem de este capítulo solo hemos tenido en cuenta las cargas exteriores, sin considerar el efecto que pudiera tener el peso propio de la estructura. Esto esta permitido cuando esta influencia es despreciable en relación a las tensiones originadas por las cargas exteriores.

A continuación estudiaremos el caso de barra de sección constante sometida a una carga exte-rior y a su propio peso.

( ) x** P Nx

Ωγ+= (2.7)

γ = peso específico del material

( )( )

( )

( )

L P

L

L

x

P llamando

x P

N

adm

admo

admoLx max

ox

o

x

x

γ−σ=Ω

γ−σ≤σ

σ≤γ+σ=σ

γ+σ=σΩ

=σ

γ+Ω

=Ω

=σ

=

P

d x

xγ Ω x

L

Fig. 2.3


/2005 5

Esta última expresión nos permite establecer el límite de utilización de la barra de sección

constante. En efecto, cuando σadm= γ*L, el denominador se anula y Ω adquiere un valor infinito. La longitud límite resulta ser:

γ

σ≤ adm

maxL (2.9)

A partir de esta longitud es necesario recurrir a las barras de sección variable. Por otra parte,

cuando las dimensiones de las barras son grandes y la influencia del peso propio es considerable, el proyectar la barra con sección constante es antieconómico.

A continuación vamos a calcular el desplazamiento máximo producido cuando además de una carga exterior actúa el peso propio.

Si a la distancia x del borde inferior de la figura 2.3 consideramos un elemento de longitud dx, el mismo tendrá aplicada una carga que viene dada por la ecuación 2.7, la cual le producirá un alar-gamiento ∆x.

( )

E L W

21

E L P

)barraladetotalpeso( WL LE 2L

E L P

2EL

E L P

dxxEE

P

dxxEE

Pdx

E

Ndx

Edx

2L

0

L

0 x

x

x

Ω+

Ω=δ

=ΩγΩΩγ

+Ω

=δ

γ+

Ω=

γ

+Ω

=∆=δ

γ

+Ω

=Ω

=σ

=ε=∆

∫∫ (2.10)

De la última expresión se puede deducir que el alargamiento total resulta ser igual a la suma

de dos términos, uno de ellos corresponde al alargamiento producido por la carga exterior y el otro corresponde a alargamiento debido el peso propio. Este último puede ser definido como el alarga-miento de una barra ideal con su peso concentrado en la mitad de su longitud.

En lo que sigue vamos a ver la forma geométrica que tendría que tener una barra sometida a carga exterior en su extremo y a su propio peso, para que fuese un sólido de igual resistencia, es decir, que la tensión fuese constante en todas las secciones.

Supongamos que aislamos un elemento diferencial de longitud dx:

dW Ω + dΩ Ω d x

σ

σ

σ= cte = σ adm

d W = γ Ω d x

P

dx Ω + dΩ Ω

Ω o

x

Fig.2.4


/2005 6

( )

( )

( )

σγ

σγ

+

σγ

σ=Ω

σ==Ω→=

==Ω

+σγ

=Ω→σγ

=ΩΩ

=Ωγ−Ωσ←=−Ωσ−Ω+Ωσ

x

admx

adm

C0

xC

cx

adme P

Pe 0x para

e e e)x(

cx ln integrado dx d

0 dx dequilibriopor 0Wdd

(2.11)

En la práctica, la ley exponencial de la ecuación última puede aproximarse como se indica el

al figura 2.5. 2.1.4 Deformaciones térmicas

Los cambios de temperatura producen deformación en los materiales. En el caso de materiales homogéneos e isótropos, un cambio de ∆T grados origina una deformación lineal uniforme en todas las direcciones.

Las deformaciones térmicas lineales se calculan mediante: ∆l = α . l . ∆T

donde α es el coeficiente de dilatación térmica lineal

Material α (x 10-6/ºC) Aluminio Fundición

Cobre Acero

Hormigón

23.2 10.4 16.7 11.7 10.8

2.1.5 Problemas hiperestáticos en tracción y compresión

Como ya sabemos, un sistema resulta hiperestático cuando la cantidad de grados de libertad (g) del mismo resulta menor que la cantidad de restricciones de vínculo (r) impuestas; las que, por o-tro lado, no configuran ningún caso crítico.

g < r ∉ caso crítico

La definición anterior nos permite dar un concepto de los sistemas hiperestáticos a través de consideraciones cinemáticas. Desde el punto de vista estático, la condición de hiperestaticidad viene dada por el hecho de que la cantidad de ecuaciones (E) que surgen de los planteos de equilibrio de la Estática es menor que la cantidad de incógnitas reactivas planteadas (I).

E < I

Fig. 2.5


/2005 7

Para poder resolver estas estructuras es necesario agregar a las ecuaciones mencionadas, (I -

E) ecuaciones de compatibilidad. Estas reciben este nombre precisamente porque tratan de expresar la compatibilidad entre las deformaciones y la vinculación existente, que como hemos dicho, resulta su-perabundante.

A continuación vamos a tratar algunos ejemplos simples donde solamente se involucran de-formaciones por esfuerzos normales. a) Ejemplo 1

En este caso deseamos calcular las solicitaciones en las barras 1 y 2 de la figura 2.6. A la barra horizontal la suponemos perfectamente rígida.

Si planteamos las ecuaciones de equilibrio de la barra rígida tendremos:

∑

∑

∑

=−+→=

=−++→=

=→=

0aPaRaR 0M

0PVRR 0y

0H 0x

2211A

A21

A

De estas tres ecuaciones podemos observar que la

primera se cumplen con la nulidad del esfuerzo horizontal HA, lo cual es obvio, y que las dos ecuaciones restantes no son suficientes para determinar las tres incógnitas faltantes.

Para poder calcularlas necesitamos una ecuación adicional, la cual puede obtenerse si imagi-namos la forma en que se deformará el sistema. En efecto, teniendo en cuenta que la barra inferior es rígida podemos establecer:

222

22

111

11

22

22C

11

11B

1

B

2

c

Ea

lR

Ea

lR

E

lR

E

lR

aa

Ω=

Ω

Ω=δ

Ω=δ

δ=

δ

Luego, resolviendo el siguiente sistema, pueden obtenerse las tres incógnitas restantes.

222

22

111

11

2211

A21

aE

lR

aE

lR

0aPaRaR

0PVRR

Ω=

Ω

=−+

=−++

Para determinar los corrimientos en los puntos B y C, hemos supuesto que las barras 1 y 2 se

encuentran en el período elástico en el que tiene validez la ley de Hooke. Luego de calculadas las in

Pa

1

C

2

Ba1

a2l1

l2

P

R2R1HA

δCδB

VA

Fig. 2.6


/2005 8

cógnitas deberá verificarse si esto es cierto, en caso contrario deberá tenerse en cuenta la expresión que verdaderamente corresponda para los corrimientos.

Una observación importante a tener presente es que para poder plantear numéricamente la ecuación de compatibilidad, las barras tendrán que estar predimensionadas. Esta es una característica sumamente importante de las estructuras hiperestáticas, donde las solicitaciones dependen de sus ca-racterísticas mecánicas y geométricas. Por esta razón el proceso de dimensionamiento suele ser itera-tivo. b) Ejemplo 2

Deseamos determinar las relaciones de vínculo de la es-tructura del esquema de la figura 2.7. Para resolver este problema en primera instancia vamos a con-siderar que el vínculo superior no existe.

21oA

PPR +=

Como el extremo B se encuentra libre, en corresponden-cia con el mismo existirá un corrimiento:

( )E

cPcbP21o

B Ω

++=δ

Dado que en la realidad en B tenemos un empotramiento, el desplazamiento en dicho lugar

deberá ser nulo. Para producir esto es que el vínculo genera una reacción RB de manera tal de anular el desplazamiento total.

( )

( )l

cPcbPPP R RR

RRR

l

cPcbPR

E

lR

0

2121A

1AB

1A

oAA

21B

B1B

oB

1B

1B

oBB

++−+=→=

−=

++=→

Ω=δ

δ−δ→=δ−δ=δ

c) Ejemplo 3

Queremos calcular las tensiones produc idas en las barras 1 y 2 cuando existe un incremento de temperatura ∆t.

En primera instancia supongamos que hemos eliminado el vínculo en B, con lo que a raíz del incre-mento de la temperatura el punto B tiene un desplaza-miento:

t2t1bal ∆α+∆α=∆

P1

P2

P2

P1

l b

a

c

RA

δ B δ B

RA1

1RB

a b

A B21

Fig. 2.8

Fig. 2.7

Fig. 2.9


/2005 9

Sin el vínculo en B la estructura resulta isostática, lo que significa que la dilatación térmica no

genera solicitaciones. Ahora bien, debido a que el punto B no puede desplazarse, aparece una fuerza reactiva que tiende a anular el desplazamiento.

22

11

BA

1122

B11

B

22

BBB

R ;

R

)equilibrio de razones(por R RR

Ea

Eb

lR

E

aR

E

bR l

Ω=σ

Ω=σ

==

Ω+

Ω

∆=→

Ω+

Ω=δ∆=δ

d) Ejemplo 4

Deseamos determinar las tensiones origina-das en la columna del esquema de la figura 2.10. La misma esta formada por dos materiales distintos, y la placa superior es infinitamente rígida. Planteando las ecuaciones de equilibrio tendremos:

P PP 21

=+

Dónde P1 Y P2 son las fuerzas que deben absorber el material 1 y 2 respectivamente. Como la placa superior es infinitamente rígida, el despla-zamiento será igual para ambos materiales.

Fig. 2.11

l 1

2

P

Fig. 2.10

( )

( )

( )

( ) ( ) 1122

22

11

11

2

112

1

2

1

2

11

2

1

22

22

2

11

121

1

P 1

P P

1P P

1P

P

1P

P P..nP

)geométrica cuantía( y E

E llamando

PE

EP

E

lP

E

lP

ση=Ωηϕ+

η=

Ωηϕ+ηϕ

=Ω

=σ

Ωηϕ+=

Ω=σ

ηϕ+ηϕ

=

ηϕ+=→ϕ=

Ω

Ω=ϕ=η

Ω

Ω=→

Ω=

Ω→δ=δ

ε ε

σ

σ 1

σ 2


/2005 10

2.2 ENVOLVENTES CILÍNDRICAS DE PEQUEÑO ESPESOR

Consideremos un tubo de longitud indefinida de radio interior r, de espesor de pared e (peque-ño en relación con r), y sometido a una diferencia de presión, p, entre el interior y el exterior.

10 er

≥ (2.12)

En un punto cualquiera del espesor de la pared se ori-

ginan dos tensiones normales, una radial σr y otra circunferen-cial σc. Ambas tensiones varían a lo largo del espesor e de la pared según leyes determinadas.

La tensión σc varía entre el borde interno de la pared y

el externo, pero por ser el espesor e muy pequeño en relación al radio, esta variación no es muy importante, pudiéndose ad-mitir una distribución uniforme. La tensión σr alcanza en el borde interno el valor de pi, y de pe en el borde exterior; y siendo que σc resulta mucho más grande que p, las tensiones σr pueden ser despreciadas sin cometer mayor error.

Para deducir el valor que adquiere σc consideremos el equilibrio de una faja de envolvente de largo unitario y que de-sa-rrolla un arco ds.

er p

0dr p2d

e 2

dr pds pRp 1eRc 2

d2

d sen

0Rp 2

d sen Rc 2 0y

02

d cos Rc

2d cos Rc 0x

dr ds

cc

c

=σ→=θ−θ

σ

θ==σ=θ

≅θ

=−θ

→=

=θ

−θ

→=

θ=

∑

∑

(2.13)

De acuerdo con la ley de Hooke, la deformación específica circunferencial será:

e Er p

Ec

c=

σ=ε (2.14)

El aumento de longitud del desarrollo de la sección del conducto será:

cr 2 s επ=∆

Fig. 2.12


/2005 11

A este aumento de longitud de circunferencia corresponde un aumento del radio:

cr

2s

r ε=π

∆=∆

Con lo que la correspondiente deformación específica radial será:

r

r rr

crcc

rε=ε→ε=

ε=

∆=ε (2.15)

Si el cilindro se encuentra cerrado en sus

extremos, las expresiones anteriores serán válidas para secciones alejadas de los extremos, de acuer-do con el principio de Saint-Venant. La existencia de cierres extremos origina además tensiones lon-gitudinales σL, uniformemente distribuida sobre el área de la sección transversal del conducto.

La fuerza resultante sobre los extremos es:

2r p R π=

El área de la sección transversal del con-ducto puede tomarse aproximadamente como:

er 2 π=Ω

Luego: 2e2

rper2

r p c2

L

σ==

ππ

=σ (2.16)

Como consecuencia de la tracción longitu-

dinal, el radio sufre una contracción debido al co-eficiente de Poisson:

2c

L

Lcr

ε=ε

εµ−ε=ε

cr 21 ε

µ

−=ε (2.17)

Recientemente hemos estudiado el problema relativo a tubo de paredes delgadas para lo cual hemos hecho algunas hipótesis simplificativas. Cuando el espesor de los tubos aumentan ya no es po-sible ignorar las tensiones radiales σr, y además es necesario considerar la verdadera ley de variación para las tensiones circunferenciales σc. El estudio de los tubos de paredes gruesas puede encararse a través de los desarrollos realizados por Lamé, y puede consultarse la bibliografía que se sita al final del último capítulo.

p

pp pRR

σL σL σL

σc

σc

Fig. 2.13


/2005 12

Q

2.3 SOLICITACIÓN POR CORTE PURO 2.3.1 Conceptos generales

Según hemos visto en el capítulo I al definir tensión, el vector tensión total puede descomponerse en un vector normal a la sección y en uno yacente en la misma, al cual denominaremos “tensión tangencial”.

Así como ya vimos algunos problemas en los que se in-volucró la presencia de tensiones normales, ahora vamos a tratar otros donde solamente aparecen tensiones tangenciales.

El problema de corte puro se presenta cuando en una sec-ción de una pieza actúa exclusivamente un esfuerzo de corte. En este caso puede suponerse que solamente se desarrollan tensio-nes tangenciales, y que las mismas se distribuyen uniformemen-te. Luego, por razones de equilibrio deberá ocurrir:

Ω=τ→Ωτ=Ωτ=Ωτ= ∫∫ ΩΩ

Q dd Q (2.18)

Antes de continuar debemos aclarar que la hipótesis anterior es correcta en cuanto a suponer

que el esfuerzo de corte genera tensiones tangenciales; sin embargo, la suposición de que estas son constantes es irreal; por lo que la fórmula 2.18 debe solo considerarse como representativa del valor me-dio de las tensiones tangenciales.

Las hipótesis anteriores son aceptadas en algunos casos como veremos a continuación, para facilitar el cálculo, ya que el estado tensional real suele ser muy complicado. Por otro lado, la aproxi-mación introducida debe ser tenida en cuenta en la elección del adecuado coeficiente de seguridad.

En los siguientes casos podemos admi-

tir esfuerzos de corte puro:

- Vigas de muy pequeña luz donde la rotura

se produce por corte puro, ya que el efecto de flexión es despreciable (fig. 2.16).

- El corte en una plancha metálica mediante el empleo de una cizalla.

- Punzonamiento, por ejemplo, la perfora-ción de hojas.

- Uniones con remaches, bulones, soldadu-ra, pernos, etc.

Fig. 2.14

Fig. 2.15

Fig. 2.16

ρ σ

d Ω


/2005 13

Fig. 2.18

γγ

2.3.2 Deformación por corte, energía de deformación

Si en una pieza que está sometida a un esfuerzo de corte puro consideramos una tajada de longitud ∆l, compro- baremos que las dos secciones que la definen se desplazan una distancia ∆h, como consecuencia del esfuerzo Q.

lh

tg∆∆

=γ≅γ (2.19)

El ángulo γ se denomina “ deformación angular o

ángulo de distorsión ”. Los ensayos demuestran que en el caso de muchos materiales, hasta ciertos límites de solicita-

ción, se verifica una relación lineal entre las tensiones tangenciales y las deformaciones angulares. Esta relación puede expresarse de la siguiente manera:

γ=τ G (2.20)

Dónde G recibe el nombre de módulo de elasticidad transversal. La ley anterior resulta ser la

ley de Hooke para el caso de tensiones tangenciales. Los valores de G dependen del material.

Acero G ≅ 810 tn/cm2 Hormigón G ≅ 83 tn/cm2

El valor de la tensión tangencial admisible (τadm) no es único para cada material, sino que de-

pende de varios factores: - De la forma en que se manifiesta el esfuerzo de corte dentro de la pieza. - De si está combinado o no con otras solicitaciones - Del tipo de elemento de que se trate.

En cuanto a la energía especifica de deformación, podemos decir que, en forma análoga a lo

estudiado para el caso de tensiones normales, la misma puede calcularse como el área que encierra el diagrama τ - γ.

Si el material se encuentra en el período elástico lineal, tenemos:

22

G 21

G21

21

u γ=τ

=γτ= (2.21)

Si deseamos obtener el valor de la energía de deformación debemos multiplicar estas expresiones por el volumen del elemento.

h Q21

l) ( ) (21

l 21

l u dv u ∆=∆γΩτ=∆Ωγτ=∆Ω=

lhG

21

G lQ

21

h Q 21

U22

∆∆Ω

=Ω

∆=∆= (2.22)

Fig. 2.17

Q Q

∆ h

∆ l

γ


/2005 14

2.3.3 Aplicaciones al cálculo de elementos de unión

a) Ejemplo 1 Dimensionamiento de la chaveta de unión entre un

eje y una polea

admadm

Q b a

b aQ

τ≥→τ≤=τ

Consideremos que el motor que mueve al eje tiene

una potencia P, y que el eje gira a una velocidad angular ω, el momento tordente originado se calcula como:

ω=

PM

T

Al querer arrastrar el eje a la polea, el momento tor-

dente produce un esfuerzo de corte Q en el plano medio de la chaveta.

Por equilibrio: r

Pr

MQ T

ω==

adm r P

b aτω

≥

Adoptamos una de las dos medidas, a o b, se puede obtener la otra.

b) Ejemplo 2 Dimensionamiento de la unión del

esquema mediante remaches o bulones. Si llamamos n a la cantidad de bulones a co-locar:

adm

2

adm21

1

P4d

n

4d

n

PP

nP

P

τ≥

π→τ≤

π=

Ω=τ

=

Eligiendo el diámetro d puede determinarse la cantidad n de bulones, o viceversa. Luego de e-

legidos los bulones, dado que tenemos un esfuerzo de tracción, deberá verificarse:

( )

d-a ePP

admneta

σ≤=Ω

=σ

En cuanto a la cantidad de bulones o remaches y diámetro a adoptar existen condiciones regla-

mentarias a respetar, pero el estudio de las mismas escapa a los alcances de este curso. Por otro lado, las verificaciones que hemos hecho no son las únicas que deben realizarse para completar el cálculo.

r

a

bQ

Q

Fig. 2.19

PP ee

P Pa

Fig. 2.20


/2005 15

c) Ejemplo 3 En la figura 2.21 está representada una junta soldada de dos planchuelas, unidas por cordones

de soldadura. Se trata de soldaduras en ángulo compuestas por dos cordones laterales y dos frontales.

Al calcular las soldaduras en ángulo, se considera que la sección peligrosa de la costura co-

incide con el plano de la bisectriz del ángulo recto ABC. Así pues, el área de la sección peligrosa de una costura frontal es: b x 0.7 k y el de una costura lateral es: l x 0.7 k, siendo k el cateto de la costu-ra.

En el plano representado en la figura, el cateto es igual al espesor de las planchas. Las tensio-nes tangenciales se consideran distribuidas uniformemente en el área de la sección peligrosa. Tenien-do en cuenta esta hipótesis, la carga admisible correspondiente a la costura serán:

Tadm frontal = (b 0.7 k).τadm. Tadm lateral = (L.0.7 k).τadm.

Es obvio que para conseguir una junta resistente, será necesario que la resistencia total admi-sible de la costura no sea inferior a la fuerza que actúa sobre la junta. Es decir:

(2 Tadm frontal + 2 Tadm lat.) ≥ P

Con los ejemplos anteriores se ha pretendido hacer una ejercitación del problema de corte pu-

ro. Oportunamente en otras asignaturas se profundizará el estudio para los tipos de uniones más fre-cuentes.

Fig. 2.21

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES

/2005 1

3 ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES

3.1 DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES

Consideremos el caso de un sólido en equilibrio bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de manera que las cargas pueden orientarse según el siste-ma de referencia.

Sobre cada una de las caras existirá un vector ten-sión total de manera tal que el cubo elemental se encuen-tre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse se-gún los ejes de referencia de manera que en cada una de las seis caras tendremos en general una tensión normal y dos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un estado de tensiones de estas características se dice que es un “estado triple o espacial”.

En determinadas circunstancias las cargas actuan-tes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este esta-do se denomina “doble o plano”.

Cuando los vectores tensión son paralelos a un eje, el estado se denomina “simple o lineal”.

En realidad, la definición de un estado como sim-ple, doble o triple no solo depende de estado de cargas actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como veremos mas adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elemento diferencial tiene una rota-ción, inclusive puede convertirse en un estado triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tene-mos un estado doble, por ejemplo, es probable que no en-contremos, por rotación del elemento, una posición para el cual el estado sea lineal.


/2005 2

Para poder entendernos con claridad al referirnos a las tensiones, vamos a establecer ciertas convenciones: σi : el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tens iones normales son paralelas ( σx, σy, σz ). Serán positivas cuando produzcan tracción. τij : el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan las tensiones tangenciales, y el sub-índice j indicará el eje al que resultan paralelas ( τxy, τxz, τyz, τyx, τzx, τzy ).

Tanto las tensiones normales como la tangenciales varían punto a punto en el interior de un cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensiones quedan expresadas como funciones:

σ = σ(x,y,z) τ = τ(x,y,z)

3.2 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL

Consideremos, como en la figura 3.3, un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensio-nes, punto que hacemos coincidir con el origen de coordenadas; y tres planos perpendiculares que pa-san por el punto, coincidentes con los planos coordenados. Supongamos además un segundo punto B del mismo sólido, de coordenadas dx, dy y dz..

Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos del sólido son cont i-nuas y derivables. Las tensiones que actúan en los planos que pasan por B pueden definirse como las que actúan en los planos paralelos pasantes por A mas el correspondiente incremento. Así tendremos,

por ejemplo, dxxs

y xxx ∂

∂+σσ tomando como incremento el primer término del desarrollo en serie

de Taylor.


/2005 3

El prisma elemental estará sometido a fuerzas actuantes en sus caras como consecuencia de las tensiones, además existirá una fuerza de masa que supondremos aplicada en el baricentro. Llamare-mos X, Y, Z a las componentes de dicha fuerza por unidad de volumen.

Si planteamos el equilibrio del prisma elemental tendremos:

0dzdydxXyzx

0dzdydxXdzdxdzdxdyy

dydxdydxdzz

dzdydzdydxx

0F

yxzxx

yxyx

yx

zxzx

zxxx

xx

=

+

∂

τ∂+

∂τ∂

+∂σ∂

→

=+τ−

∂

τ∂+τ+

+τ−

∂τ∂

+τ+σ−

∂σ∂

+σ→=∑

0Xzyxzxyxx =+

∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

σ∂

:obtiene se , 0 F ; 0F Por Zy =Σ=Σ

0Zzyx

0Yzyx

zyzxz

zyyxy

=+∂

σ∂+

∂

τ∂+

∂

τ∂

=+∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

Continuando con las ecuaciones de momento, para lo cual suponemos trasladada la terna de

ejes al baricentro del elemento, tendremos:

02dz

dydx2

dzdydxdz

z-

2dy

dzdx2

dydzdxdy

y 0xM

zyzy

zy

yz

yz

yz

=τ−

∂

τ∂+τ

−τ+

∂

τ∂+τ→=∑

Despreciando diferenciales de orden superior nos queda:

zyyzzxxzyxxy

yxxy

zxxz

zyyzzyyz

0Mz

0My

nteIdenticame

0dzdydxdzdydx

τ=ττ=ττ=τ

τ=τ→=

τ=τ→=

τ=τ→=τ−τ

∑∑

ECUACIONES DIFERENCIALES DEL EQUILIBRIO (3.1)

(3.2)


/2005 4

Estas últimas ecuaciones reciben el nombre de “LEY DE CAUCHY o LEY DE RECIPRO-CIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES”, cuyo enunciado es: “En dos planos normales cualesquiera, cuya intersección define una arista, las componentes normales a ésta de las tensiones tangenciales que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista”.

Las ecuaciones diferenciales del equilibrio tienen nueve incógnitas, las que considerando la ley de Cauchy se reducen a seis. Ahora bien, siendo que sólo disponemos de tres ecuaciones, el nu-mero de incógnitas excede el número de ecuaciones, con lo que concluimos que este problema resulta ESTATICAMENTE INDETERMINADO. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse sólo si se es-tudian las CONDICIONES DE DEFORMACION y se tienen en cuenta las propiedades físicas del cuerpo dado (por ejemplo la ley de Hooke).

La determinación del estado tensional de un cuerpo siempre resulta indeterminado por cond i-ción interna e implica la consideración de ecuaciones de compatibilidad, las cuales establecen rela-ciones entre las deformaciones, en forma similar a como las ecuaciones diferenciales del equilibrio re-lacionan a las tensiones entre sí.

Hay dos ciencias que tratan de resolver este problema:

- La Teoría de la Elasticidad - La Resistencia de Materiales

En la primera aparecen otras ecuaciones diferenciales aparte de las de equilibrio, se agregan e-cuaciones de contorno y se trata de obtener la solución mediante la integración de las ecuaciones dife-renciales. El proceso es complejo y en muchos casos es muy difícil de encontrar la solución rigurosa del problema, recurriendo a métodos numéricos. En el ámbito de la Resistencia de Materiales, en cambio, se hacen hipótesis aproximadas, aplicables a distintos casos particulares, y que se verifican experimentalmente.

Cuando resolvimos el problema de la solicitación normal, sin haberlo mencionado específica-mente, hemos utilizado una ecuación de compatibilidad: la Ley de Bernoulli. En efecto, esta ley nos permitió establecer que las deformaciones especificas debían permanecer constantes, con lo que debi-do a la Ley de Hooke resultó que las tensiones normales también debían ser constante en la sección transversal.

P d P

d P

d P

∫∫∫ ΩΩΩ=Ω

Ω=Ω

Ω=Ωσ→

Ω=σ (3.3)

Si hubiésemos intentado resolver el problema sólo a partir de las tensiones, se podrían haber

encontrado numerosas leyes de variación σ(x,y) cuya integral en el área de la sección transversal diera como resultado el valor P. Sin embargo, ninguna de estas leyes daría ε= cte., que es lo que se observa experimentalmente.

Para resolver otros problemas como los de torsión, flexión, etc., deberemos seguir un camino similar al indicado, ya que como hemos visto, las ecuaciones de la Estática no resultan suficiente para determinar el estado tensional de un cuerpo.

3.3 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE

La experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento de una barra, el alargamiento longitudinal va acompañado de acortamientos transversales que son proporcionales al longitudinal. Si en un cubo diferencial actúa solamente σx tendremos:

Ex

x

σ=ε


/2005 5

si además actúa σy tendremos un valor adicional:

E´ y

yx

σµ−=εµ−=ε

y lo mismo si actúa σz. En consecuencia podemos establecer las siguientes leyes:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzz

zxyy

zyxx

E1

E1

E1

σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε

σ+σµ−σ=ε

Puede demostrarse que las tensiones tangenciales no provocan alargamientos ni acortamien-

tos, sólo cambios de forma, de modo tal que puede establecerse:

G

G

Gyz

yzxz

xz

xy

xy

τ=γ

τ=γ

τ=γ (3.5)

Más adelante veremos que las tres constantes elásticas E, µ y G no son independientes sino

que están relacionadas:

( )µ+=

12E

G (3.6)

Las seis leyes anteriores, que vienen dadas por las ecuaciones 3.4 y 3.5, constituyen la deno-

minada “Ley Generalizada de Hooke”.

3.4 ESTADO DOBLE 3.4.1 Variación de las tensiones en el punto según la orientación del plano.

Un elemento definido por tres planos normales entre sí, esta sometido a un estado plano,

cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas. Analicemos el elemento de la siguiente figura:

(3.4)


/2005 6

α=α=

cos .dsdy sen .dsdx

Adoptamos las siguientes convenciones de signos:

Tensiones normales: serán positivas cuando produzcan tracción. Tensiones tangenciales: serán positivas cuando produzcan un giro de momento con sentido horario

respecto a un punto interior del prisma. Angulo α : El ángulo se mide a partir del plano vertical y se considera positivo cuando es antihorario.

El plano definido mediante el ángulo α es paralelo al eje z. Los tres planos determinados por los ejes x, y, y el ángulo α pasan por el mismo punto; de allí que no tenemos en cuenta fuerzas de ma-sa sobre dicho elemento.

Recordamos por Cauchy: τxy= τyx (3.7) Tomando en profundidad una distancia unitaria (dz = 1) y planteando proyecciones de fue r-

zas sobre la dirección 1, por razones de equilibrio tenemos:

=ατ−α−ασ

+α−ασ

+σ+σ

=

=ατ−−ασ

+−ασ

+σ+σ

=

=ατσ+σσ+σ

+ασ+ασ=

=αατασ+ασ=σ

=ατ+ασ+ατ+ασ−σ

=

α

α

∑

2 sen)sen(cos2

)sen(cos22

2 sen)1sen2(2

)1cos2(22

2 sen-2

-2

sencos

cos sen2 - sen cos

01 . cosdx1 . sen dx 1 . sendy1 .cosdy1 . ds

01 direc/s F

xy22y22xyx

xy2y2xyx

xy

yxyx2y

2x

xy2

y2

x

xyyxyx

ατ−ασ−σ

+σ+σ

=σα

2 sen2cos22

xy

yxyx (3.8)


/2005 7

Similar a lo anterior, proyectamos fuerzas sobre la dirección 2:

( ) ( ) sencos sencos

01 . sendx1 . cos dx 1 . cosdy1 .sendy1 . ds

02 direc/s F

22xyyx

yxyxyx

α−ατ+αασ−σ=τ

=ατ+ασ+ατ−ασ−τ

=

α

α

∑

( )ατ+α

σ−σ=τ α 2cos2sen

2 xyyx (3.9)

Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominan tensiones complementa-

rias. Para calcularlas podemos reemplazar en las ecuaciones anteriores, que son válidas para cua lquier ángulo α, por ( α+90º ).

( ) ( )

( ) ( )α−τ−α−σ−σ

+σ+σ

=

ατ−ασ−σ

+σ+σ

=σα

2sen2cos22

`2sen`2cos22

'

xy

yxyx

xyyxyx

Si analizamos la siguiente suma:

tensiones de Invariante cte.' yx ←=+=+ σσσσ αα (3.10)

podemos ver que la suma de las tensiones normales correspondientes a dos planos ortogonales se mantienen constantes, por lo que a esta suma se la denomina invariante de tensiones. 3.4.2 Valores máximos y mínimos

En el ítem anterior hemos visto la manera de poder calcular el valor de las tensiones cuando el prisma elemental tiene una rotación; ahora vamos a tratar de determinar la rotación que debería tener para que las tensiones alcancen valores extremos. Para obtener máximos y mínimos, derivamos e igualamos a cero.

( ) 02cos22sen d

dxyyx

=ατ−ασ−σ−=α

σα

(Idem 3.9)

yx

xy22tg

σ−σ

τ−=α σ (3.11)

Observando esta última ecuación, podemos ver que la misma queda satisfecha por dos valores de α, los cuales difieren entre sí 90º. Re-emplazando entonces en la ecuación 3.8 por estos valores llegamos a obte-ner las expresiones correspondientes a las tensiones normales máxima y mínimas. Para ello nos apoyamos en la construcción gráfica de la figura, de donde resulta muy simple obtener los valores de cos 2ασ y sen 2α.


/2005 8

( )( )

( ) 2

xy

2

yx

yx

minmax

2

xy

2

yx

2

xy

2

yxyx

421

2

42

4

2

τ+σ−σ±σ+σ

=σ

τ+σ−σ

τ+σ−σ±

σ+σ=σ

α σ

Si calculamos el valor de τα para ασ

( )( )

( )0

4

4

2

2 2xy

2yx

yxxy2

xy2

yx

xyyx =τ+σ−σ±

σ−στ+

τ+σ−σ

τ−σ−σ=τ α σ (3.12)

podemos ver que las tensiones máximas y mínimas, no sólo se producen simultáneamente en planos ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichos planos las tensiones tangenciales son nulas. Las ten-siones máximas y mínimas se denominan “tensiones principales” y los ejes perpendiculares a los pla-nos donde actúan, “ejes principales”.

A continuación vamos a tratar de determinar las tensiones tangenciales máximas y mínimas.

( )

τσσ

τ

τ

α

αα→α

−=α

τ

σ−σ+=α

=ατ−ασ−σ=α

τ

2 de 90º difiere 2 2tg1

2tg

22tg

02sen22cosd

d

xy

yx

xyyx

(3.13)

Los planos donde se producen las tensiones principales difieren 45º de aquellos donde las ten-

siones tangenciales son máximas y mínimas.

( )( )

( )( )

( ) (3.14) 421

4

2

4

2

2

xy

2

yxminmax

2

xy

2

yx

xyxy

2

xy

2

yx

yxyx

minmax

τ+σ−σ±=τ

τ+σ−σ±

τ+τ+

τ+σ−σ±

σ−σ

σ−σ=τ

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 2

xy

2

yx

xyxy

2

xy

2

yx

yxyxyx

2

xy

2

yx

xy

2

xy

2

yx

yx

4

2

22

42

2

4

22sen

42cos

τ+σ−σ

ττ±

τ+σ−σ

σ−σσ−σ±

σ+σ=σ

τ+σ−σ±

τ−=α

τ+σ−σ±

σ−σ=α

α σ

σσ


/2005 9

Calculemos el valor de σατ para ατ, siendo 2

2tgxy

yx

στ ατ

σ−σ=α

( )( )

( )( ) 2

44

2

22yx

2xy

2yx

yxxy

2xy

2yx

xyyxyx σ+σ=

τ+σ−σ

σ−στ−

τ+σ−σ

τσ−σ+

σ+σ=σατ

2yx σ+σ

=σατ (3.15)

3.5 CIRCULO DE MOHR PARA TENSIONES 3.5.1 Trazado y justificación en el estado doble

Si consideramos las ecuaciones 3.8 y 3.9, y las reordenamos, elevamos al cuadrado y suma-mos miembro a miembro tendremos:

ατ+ασ−σ

=τ

ατ−ασ−σ

=σ+σ

−σ

α

α

2cos2sen2

2sen2cos22

xyyx

xyyxyx

2xy

2yx2

2

yx

22τ+

σ−σ=τ+

σ+σ−σ αα (3.16)

Esta última expresión resulta ser la ecuación de una circunferencia con centro sobre un eje

asociado a las tensiones normales σ, y de abscisa (σx + σy )/2 . El radio de la circunferencia es:

( ) 2xy

2yx

2xy

2yx 4

21

2τ+σ−σ=τ+

σ−σ (3.17)


/2005 10

La propiedad fundamental de esta circunferencia es que cada punto de ella está asociado a un par de valores (σ, τ) correspondiente a un plano.

Desde el punto de vista práctico el trazado

de la circunferencia es muy simple:

- Ubicamos los puntos A y B de coordenadas: A (σx, τxy) B (σy, τyx)

- La circunferencia con centro en C, pasante por

A y B define el llamado “Circulo de Mohr”, cuyo radio coincide con el indicado en la ecuación 3.17

2xy

2yx22

yx

2RARCr

2yx

RC

2OC

τ+

σ−σ=+=

σ−σ=

σ+σ=

(3.18)

Si por el punto A trazamos una paralela a la dirección del τ respectivo y por el punto B tra-

zamos una paralela a la dirección del τ respectivo, dichas rectas se cortan en el punto P, el cual pre-senta propiedades muy importantes. Este punto P se denomina “punto principal de Mohr”.

Si por el punto principal de Mohr trazamos una recta paralela al plano respecto del cual de-seamos evaluar las tensiones actuantes, la misma corta a la circunferencia en el punto M.


/2005 11

A continuación vamos a demostrar que las coordenadas de ese punto (OT;MT) se correspon-

den con los valores de σα y τα. Para ello, previamente justificaremos las siguientes relaciones trigonométricas entre ángulos

presentes en la Fig. 3.8, que utilizaremos para la referida demostración. a) 2/θ=ω

en

ω=∆

cos .r 2. DA : DAE

en ω=ωω=ω=∆

2sen .r sen . cos .r . 2 sen . DA AA' : 'DAA876

ademas:

en θ=∆

sen .r AA' : 'CAA876

entonces: 2/θ=ω b) α=δ .2

2 0 - 2 m.a.m. restando

180º 2 2 2 PCMen

180º 2 4 2 luego

2:será PAC

)( sdenominamo lo APC ángulo al mos tene: PAC en

α=δ⇒=δα

=γ+α+δ+θ

=γ+α+θ

γ+α⇒

α+γ+α⇒α

∆

∧

∧∆

876

Una vez demostradas ambas relaciones, definimos el ángulo β

( )

)8.3.(Ec2sen2cos22

OT

r2senr

r22cosr

2

)sen2sencos2(cosrOCOT

2cosrOCcosrOCCTOCOT

2

xy

yxyx

xyyxyx

≡σ=ατ−ασ−σ

+σ+σ

=

τα−

σ−σα+

σ+σ=

θα−θα+=

θ+α+=β+=+=

θ+α=β

α


/2005 12

( )

)9.3.(Ec2cos2sen2

TM

sen2cosrcos2rsen 2rsenrsenTM

xy

yx ≡τ=ατ+ασ−σ

=

θα+θα=θ+α=β=

α

El círculo de Mohr no sólo resulta práctico para determinar las tensiones presentes en un plano cualquiera , sino que a partir del mismo pueden obtenerse las tensiones principales y sus planos prin-cipales, o las tensiones tangenciales máxima y mínima. En el circulo de la figura 3.9 hemos represen-tado las tensiones recientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuación. En el mis-mo también puede verse que en correspondencia con las tensiones principales existen tangenciales nulas.

A través del círculo de Mohr podemos analizar algunos casos particulares que nos interesan. a) Corte puro


/2005 13

En este estado vemos que existe un elemento girado a 45º con respecto al solicitado por corte puro, tal que sus caras están sometidas a tensiones normales de tracción y compresión, iguales en va-lor absoluto y numéricamente iguales a la tensión tangencial. b) Tracción simple

3.5.2 Trazado en el estado triple

Así como es posible determinar las tensiones principales en un estado doble, éstas también pueden calcularse en un estado triple. Si suponemos que estas tensiones son conocidas, es posible demostrar que el par de tensiones (σ,τ) correspondiente a un plano incli-nado cual-quiera se corresponde con las coordenadas de cierto punto ubicado dentro del área rayada ind icada en la figura 3.12, encerrada por los círculos, definidos, en este caso por las tres tensiones principales.

Un hecho importante a destacar es el que se observa en el circulo de la fig. 3.13. Allí te-nemos un estado triple donde σ3=0, y puede verse que la tensión tangencial máxima resulta mayor que la que correspondería al estado plano correlacionado con las tensiones principales σ1 y σ2 exclusivamente.

ESTABILIDAD II CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

/2005 1

4 TEORIAS DE FALLAS O DE COMPARACIÓN

4.1 CONCEPTOS COMPLEMENTARIOS SOBRE ENERGIA ESPECIFICA DE DEFORMACION

4.1.1 Energía total de deformación

La energía específica de deformación en un punto de un sólido sujeto a un estado de tensión cualquiera, es una función tanto de las tensiones actuantes como de las deformaciones. En los capítulos anteriores ya hemos analizado el valor de la energía de deformación por unidad de volumen para algunos casos simples:

γτ=

εσ=

21

u:puroCorte

21

u:axialEsfuerzo

Las expresiones anteriores surgen de la consideración del comportamiento del material como elástico lineal, es decir, que vale la Ley de Hooke.

En el caso más general de un estado triple tendremos que considerar la energía específica de deformación correspondiente a cada tensión.

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]

( ) ( )[ ] [ ]2yz

2xz

2xyzyzxyx

2z

2y

2x

yzyz

xzxz

xyxyyxzz

zxyyzyxx

yzyzxzxzxyxyzzyyxx

G21

22E1

u

G21

G21

G21

E1

21

E1

21

E1

21

u

21

21

21

21

21

21

u

τ+τ+τ+σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ=

ττ+

ττ+

ττ+

σ+σµ−σσ+

+

σ+σµ−σσ+

σ+σµ−σσ=

γτ+γτ+γτ+εσ+εσ+εσ=

(4.1)

En el caso particular de un estado doble, la expresión anterior se reduce a la siguiente:

[ ] 2xyyx

2y

2x G2

12

2E1

u τ+σσµ−σ+σ= (4.2)

y en el estado lineal

2x2E

1u σ= (4.3)

4.1.2 Relación entre las constantes elásticas


/2005 2

4.1.2.1 Relación entre E y G

Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencial en una determinada posición, la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente al mismo deberá mantenerse se la suponemos rotado.

Si tenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45º de esa posición nos encontraremos en el elemento sometido a tensiones de tracción y compresión, las que en valor absoluto serán iguales entre sí e iguales e la tensión tangencial. Si evaluamos la energía de deformación por unidad de volumen en ambos casos obtendremos:

[ ] [ ]

( )µ+=

=µ+

→τ=τµ+

=

µτ+τ=σσµ−σ+σ=

τ=

12E

G

G21

E1

G21

E1

u

22E21

2E21

u

G21

u

22

2221

22

21

2

De esta manera hemos encontrado la relación existente entre E, G, y µ, relación de la que ya habíamos hablado anteriormente.

4.1.2.2 Relación entre módulos E y K Consideramos un cubo inicialmente de lados unitarios, sometido a tensiones normales σx, σy, σz.

Fig. 4.2

La longitud final de cada lado del cubo será: lx = (1 + εx) ly = (1 + εy) lz = (1 + εz)

Volumen final Vf = (1 + ε x) (1 + εy) (1 + εz)

Por Ser ε i valores pequeños, se desprecian los términos de productos de 2º y 3º orden: Vf = 1 + ε x + εy + εz

σ1

σ2

σ1 = σ2 = τ Fig. 4.1 (4.4)


/2005 3

Calculando la deformación específica volumétrica

zyxi

ifv V

VVε+ε+ε=

−=ε

Reemplazando los ε i en función de las tensiones normales:

( )( )[ ]µ−σ+σ+σ=ε 21E1

zyxv

Para el caso particular en que σx = σy = σz = σp (Estado de tensión hidrostática)

( ) pctte21Ep

3v σ×=µ−σ

=ε

Anteriormente llamamos K a la constante que vincula a la tensión con la deformación específica volumétrica.

( )µ−=→ε⋅=σ

213E

KKp v módulo de elasticidad volumétrico

Como ε ≠ 0 , el valor entre paréntesis: (1 – 2µ) > 0 , o sea, µ < 0,5

4.1.3 Energía por variación de volumen y por variación de forma

La energía específica de deformación puede considerarse como respuesta de dos partes:

FV uuu += (4.5)

uv = energía necesaria para producir el cambio de volumen del elemento diferencial infinitésimo considerado.

uF = energía que origina el cambio de forma o distorsión del elemento, también llamada “energía de distorsión”.

Ya hemos indicado que las distorsiones angulares no provocan cambio de volumen, solo de forma. Por otro lado, las deformaciones específicas producen cambios de volumen y forma.

De la expresión correspondiente a “u” vamos a separar la parte inherente a las tensiones tangenciales y la que depende de las tensiones normales.

[ ] ( )[ ]2yz

2xz

2xy

2yz

2xz

2xy E

1G21

u τ+τ+τµ+

=τ+τ+τ=τ (4.6)

( )[ ]zyzxyx2z

2y

2x 2

2E1

u σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ=σ (4.7)

Consideramos a continuación un elemento sometido exclusivamente a tensiones normales σx, σy, σz y llamemos:

3zyx

p

σ+σ+σ=σ (4.8)


/2005 4

En la figura 4.3 hemos expresado este caso como suma de los dos estados allí indicados.

Fig. 4.3

[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]=σ−σ+σµ−σ−σ+

+σ−σ+σµ−σ−σ+σ−σ+σµ−σ−σ=ε

σµ−

=σµ−σ=ε=ε

ε+ε+ε=ε

PZXPZ

PZXPYpZYpxVC

ppppVB

zyxV

2E1

2E1

2E1

E213

2E3

3

(4.9)

VAVBp

3

zyxVC 03E21

p

ε=ε→=

σ−σ+σ+σ

µ−=ε

σ4434421

(4.9)

De la ecuación 4.9 puede verse que el estado C no presenta cambio de volumen. El estado B, donde todas las caras están sometidas a la misma tensión, se denomina “estado de tensión hidrostática”.

[ ] ( )

( ) [ ]zyzxyx2z

2y

2xV

2zyx2

p2pVBV

222E621

u

3E2213

63E21

uu

σσ+σσ+σσ+σ+σ+σµ−

=

σ+σ+σµ−=σµ−σ==

(4.10)

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]zyzxyx2z

2y

2xF

zyzxyx2z

2y

2x

zyzxyx2z

2y

2xF

VF

E321

u

222E621

-

2E21

u

uuu

σσ−σσ−σσ−σ+σ+σµ−

=

σσ+σσ+σσ+σ+σ+σµ−

−σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ=

−=

(4.11)

Para el caso general donde además de tensiones normales existen tensiones tangenciales, resulta:

( ) ( )[ ]2yz

2xz

2xyzyzxyx

2z

2y

2xF 3

E321

u τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σµ−

= (4.12)

La importancia de la energía por cambio de forma estriba en que a ella se le atribuye la fluencia, o sea, el escurrimiento plástico.

En función de las tensiones principales:

( )[ ]232

231

221F )()()(

E61

u σ−σ+σ−σ+σ−σµ+

=

Aσy

σz

σxσx

σzσy

= σp

Bσp

σp

σp

σp

σp

+σx-σp

C

σy-σp

σy-σp

σx-σp

σz-σp

σz-σp


/2005 5

4.2 TEORIAS DE COMPARACION – TEORIAS DE FALLA. 4.2.1.1 Introducción. Componentes ingenieriles pueden estar sujetos a cargas complejas de presión, tracción, compresión, torsión, flexión, o una combinación de ellas, de forma tal que para un cierto punto del material se producen tensiones en más de una dirección. Para una determinada relación de valores, tales tensiones combinadas pueden causar la fluencia o fractura del material, aún cuando individualmente no alcancen los guarismos de falla. La predicción de límites seguros para el uso del material bajo tensiones combinadas requiere la aplicación de un criterio de falla. Existen gran cantidad de criterios de falla, algunos de los cuales son aptos para predecir la falla por fractura en un caso, y en otros por fluencia. A los primeros los llamamos criterios de fractura y a los segundos, criterios de fluencia. Todos los criterios de falla considerados en el presente capítulo están basados en valores de tensiones, de modo que su aplicación involucra el cálculo de valores numérico de tensiones que caracterizan las tensiones combinadas, y luego la comparación de este valor con la resistencia de fluencia o de fractura del material. Un material dado puede fallar tanto por fluencia como por fractura, dependiendo de sus propiedades y del estado de tensiones, de modo que en general debe ser considerada la posibilidad de que cualquiera de los dos eventos ocurra primero. 4.2.1.2 Necesidad de un criterio de falla: La necesidad de la cuidadosa consideración de un criterio de falla es ilustrada por los ejemplos de la figura 4.13.

Fig. 4.13

Para estos ejemplos se asume que el material es un metal dúctil, el comportamiento del mismo se aproxima al lineal elástico, perfectamente plástico. El ensayo de tracción uniaxial proporciona el módulo de elasticidad E, y la tensión de fluencia σf (ver fig. 4.13a). Asumamos ahora que aplicamos también una compresión transversal de igual valor que la tracción (4.13 fig.b) en este caso se observa experimentalmente que la tensión σy necesaria para causar la fluencia del material es de alrededor de la mitad del va lor del ensayo de tracción uniaxial. Este resultado es fácilmente verificado realizando un simple ensayo de torsión en un tubo hueco de pared delgada, dónde el estado de tensiones deseado existe para una orientación de 45º respecto al eje del tubo.

σy

Tracción Uniaxial

σy

σx

σx =-σy Tracción con Compresión Transversal

σz

σy

σx

σy

σx

σx =σx Tracción Biaxial

σx =σy =σz=-p Compresión Hidrostática

σy ≅ σf

εy

σy

E 1- µ γ 1

-εy

-σy

E 1-2 µ γ 1

σf

εy

σy

1

E 1+µ

σy ≅ σf /2

εy

σy

E

σf


/2005 6

Fig. 4.14

Consideramos ahora otro ejemplo, la tracción transversal σx de igual magnitud que σy. (4.13 fig.c) Como la compresión transversal disminuye la resistencia a la fluencia, la intuición sugiere que la tracción transversal la incrementa. Pero un experimento demostrará que el efecto de la tracción transversal será pequeña o ausente sobre la fluencia. El experimento podría ser realizado presurizando una esfera hueca de pared delgada hasta la fluencia, o por una combinación de presión y tracción en un tubo de pared delgada. Si se cambia el material por uno frágil, por ejemplo: fundición de acero gris, ni tensiones trasversales de tracción ni de compresión tienen mucho efecto en su fractura. Un hecho experimental adicional de interés es que, es difícil y quizás imposible, hacer llegar a la fluencia a un material si es ensayado bajo presiones hidrostáticas, dónde σx = σy = σz tanto en tracción como en compresión. Esto es ilustrado en la figura 4.13.d. La tracción hidrostática es difícil de lograr experimentalmente, pero la compresión hidrostática consiste en colocar una muestra del material en una cámara presurizada. Así, se necesitan criterios de falla que sean capaces de reflejar tales efectos de tensiones combinadas ya sea para la fluencia o la fractura. Aunque deberían emplearse, en general, ambos criterios, (fractura y fluencia), los materiales que típicamente se comportan como dúctiles, generalmente tendrán limitada su utilidad por fluencia, y aquellos que se comportan típicamente como frágiles están limitados por la fractura. Una alternativa a los criterios de falla basados en tensiones, es analizar específicamente fisuras en el material utilizando los métodos especiales de la mecánica de fractura, tema que escapa a la formación de grado. En la mayoría de los tratamientos que siguen, se asume que el material es homogéneo e isótropo. Los criterios de fluencia considerados en este capítulo predicen el comienzo de la deformación plástica, mas allá de donde la Ley de Hooke cesa de describir completamente el comportamiento tensión- deformación. 4.2.1.3 Forma general del criterio de falla. Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado más general que puede presentarse ante una condición de solicitación. En la práctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinación de tensiones, atento a las dificultades para poder concretarlo como al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por tal razón se necesitan Hipótesis, Teorías o Criterios que permitan evaluar, comparar y relacionar un estado de tensión cualquiera con los resultados experimentales del ensayo típico de tracción, cuyo costo es relativamente bajo. En la materia consideraremos dos posibilidades de falla: a) Falla para materiales Dúctiles. b) Falla para materiales Frágiles. En la aplicación de un criterio de fluencia, la resistencia del material está dado por su resistencia de fluencia. La resistencia de fluencia más comúnmente disponible es la resistencia a la tracción σ0, determinada a partir de un ensayo uniaxial utilizando las deformaciones plásticas ya descriptas.

τ

45º

σ1=τ σ2=-τ σ3=0


/2005 7

Fig. 4.15 En la aplicación de un criterio de fractura, se utiliza usualmente la resistencia última a la tracción σu. Los criterios de fractura para materiales isotrópicos pueden ser expresados en la forma matemática siguiente:

fallalaenf cσσσσ =),,( 321 ( 4.13) Dónde se predice que ocurre la falla (fractura o fluencia), cuando una función matemática específica, f, de las tensiones normales principales es igual a la resistencia de falla del material, σc, en un ensayo de tracción uniaxial. La expresión matemática también puede ser presentada en función de componentes de tensión según un sistema de ejes cartesianos que no sea el de las tensiones principales. La resistencia de falla es tanto la resistencia de fluencia, o la resistencia última, dependiendo de si es de interés la fluencia o la fractura. Un requerimiento para que sea válido el criterio de falla es que debe dar el mismo resultado sin importar la elección del sistema de coordenadas original del problema. Si cualquier caso particular de la Fig. 4.13, es dibujado en el espacio de tensiones principales, esto es, en el sistema de coordenadas tridimensional, σ1,σ2,σ3, la función f forma una superficie que es llamada superficie de falla. La superficie de falla puede ser tanto, una superficie de fractura o de fluencia. En la discusión de los criterios de falla, procedemos a la consideración de varias funciones específicas f, de ese modo tendremos varios tipos de superficies de falla. Consideremos un punto en una pieza dónde las cargas aplicadas resultan en valores particulares de las tensiones normales principales σ1 σ2 σ3, y dónde la propiedad del material σc es conocida, y también donde ha sido elegida una función específica f. Es entonces útil definir una tensión efectiva σ , la cual es un valor numérico simple que caracteriza el estado de tensiones aplicadas.

En particular, σ = f (σ1,σ2,σ3) ( 4.14 ) Dónde f es la misma función que en Ec. 4.13. Así, establece que la falla ocurre cuando:

σ = σc ( en la falla) ( 4.15) No se espera la falla si:

σ < σc (4.16) También el factor de seguridad contra la falla es:

? = σc /σ (4.17) En otras palabras, las tensiones aplicadas pueden ser incrementadas por el factor ? antes de que la falla ocurra. Por ejemplo, si ? = 2, las tensiones aplicadas pueden ser duplicadas antes de que se produzca la falla. NOTA: al factor de seguridad es preferible expresarlo en términos de cargas aplicadas. Si cargas y tensiones son proporcionales, como es frecuente, el factor de seguridad en tensiones es idéntico al factor en cargas.

σ0

ε

0,002


/2005 8

Se debe tener precaución si no existe tal proporcionalidad, como en los problemas de pandeo. Procederemos ahora a discutir varios criterios de falla, alguno de los cuales son apropiados para fluencia y otros para fractura. Los subíndices para las tensiones principales se asumirán que están asignados en cualquier orden particular relativo a sus magnitudes. 4.2.2.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION NORMAL (o Teoría de Rankine) Quizás el más simple de los criterios es aquel en que se espera la falla cuando la mayor de las tensiones principales alcanza la resistencia uniaxial del material. Como esta aproximación ha tenido gran suceso en la predicción de la fractura de materiales frágiles debería ser considerado como un criterio de fractura distinguiéndolo del criterio de fluencia. El criterio de fractura de la máxima tensión normal puede ser especificado por una función particular, f, como sigue:

σR = MAX(|σ1| ,|σ2|, |σ3|) (en la fractura) (4.18) Dónde la notación máxima indica que, de los valores separados por comas, el elegido es el mayor de los mismos. Se consideran valores absolutos de forma tal que puedan ser considerados tensiones de compresión, y se asume que la resistencia última σu es la misma en tracción que en compresión. Un conjunto particular de tensiones aplicadas puede ser caracterizado por la siguiente tensión efectiva:

σ N = MAX(|σ1| ,|σ2|, |σ3|) (4.19)

Dónde el suscrito N especifica el criterio de la máxima tensión normal. Así, se espera la fractura cuando σ N = σR, pero no cuando es menor, y el factor de seguridad contra la fractura es:

? = σR / σ N (4.20) 4.2.2.2 Representación gráfica del criterio de la máxima tensión normal Para EPT, tal que σ3= 0, este criterio puede ser representado gráficamente en una gráfica de σ1 versus σ2 por un cuadrado (Fig. 4.16(a)). Cualquier combinación de σ1 y σ2 que caiga dentro del área cuadrada es segura y cualquiera en su perímetro corresponde a la fractura. Nótese que el cuadrado es la región que satisface:

MAX(|σ1|,|σ2|)≤σR (4.21) Las ecuaciones para las cuatro líneas rectas que forman los bordes de esta región segura son obtenidas (ver Fig. 4.16.b)

σ1=σR, σ1= -σR

(4.22) σ2=σR, σ2= -σR


/2005 9

a) b)

Fig. 4.16: Localización de falla para el criterio de la máxima tensión normal para EPT

Para el caso general, dónde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, la Ec.4.19 indica que la región segura es la acotada por:

σ1= ± σR, σ2= ± σR, σ3= ± σR (4.23) Cada una de las cantidades de arriba representa un par de planos paralelos normales a uno de los ejes principales e interceptan cada uno en +σR y -σR . La superficie de falla es asimismo un simple cubo (ver Fig. 4.17). Si uno de los valores de σ1, σ2 o σ3 es cero, entonces sólo necesita considerarse la región bidimensional formada por la intersección del cubo con el plano de las dos restantes tensiones principales. Tal intersección es mostrada para el caso de σ3= 0, y el resultado es por supuesto el cuadrado de la Fig. 4.16.

Fig. 4.17 : Superficie de falla tridimensional para el criterio de la máxima tensión normal. 4.2.2.3 Interpretación gráfica del factor de seguridad Consideremos un punto en la superficie de una pieza o componente, dónde prevalece EPT, de forma tal que σ 3= 0. Además, asumamos que incrementando la carga aplicada, dicho incremento de carga provoca un aumento en las tensiones σ1 y σ2, manteniéndose constante la relación σ2/σ1, está situación se conoce como carga proporcional. Por ejemplo, para cargas de presión en un tubo de pared delgada, con extremos cerrados, las tensiones mantienen la relación σ2/σ1 =0.5, dónde σ1 es la tensión circunferencial y σ2 la longitudinal.

σ2

σ1

σR

-σR σR

-σR

DN

D (σ1, σ2)

fractura

σ1

σ2= -σR

σ2= σR

σ1= -σR σ1= -σR

σ2

σ3

σR σ2

σ3=0

σ1

σR

(σ1, σ2, σ3)

σR

0

DN

D


/2005 10

En tal caso, la interpretación gráfica del factor de seguridad, puede ser hecha como es ilustrada en la figura 4.16 (a). Sea D la distancia desde el origen al punto correspondiente a las tensiones aplicadas (σ1–σ2). Luego extendemos la línea recta hasta que toque la línea de fractura, y denotamos la distancia resultante como DN. El factor de seguridad contra la fractura es la relación entre dichas longitudes.

? = DN / D (4.24) Para el caso particular de EPT, y asumiendo por conveniencia que σ1 tiene el mayor valor absoluto y es positivo, ec. 4.24 puede verificarse como sigue:

( ) 121 , σσσσ == MAXN (4.25) Por semejanza de triángulos en la Fig. 7.16 (a)

DDNR =

1σσ

(4.26)

Como el factor de seguridad es ? =σu / σ N, las dos ecuaciones de arriba se combinan para dar la (4.24). Extendiendo el procedimiento, la ecn. 4.24 es fácil de aplicar teniendo en cuenta los signos y magnitudes relativas de σ1 y σ2. Tal representación gráfica del factor de seguridad, y específicamente la de la ecuación 4.24, también se aplica al caso general tridimensional ilustrado en la figura 4.17. Las distancias D y DN, son medidas aún sobre una línea recta, pero en este caso la línea puede estar inclinada con respecto a los tres ejes principales. Tal interpretación del coeficiente de seguridad en términos de longitudes de líneas para carga (tensiones) proporcional, es válida para cualquier superficie de falla físicamente razonable, tales como las discutidas más adelante. 4.2.3.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION DE CORTE La fluencia de materiales dúctiles, normalmente ocurre cuando la máxima tensión de corte en cualquier plano alcanza un valor crítico τf ,el cual es una propiedad del material .

τf = τmáx. (en la fluencia) (4.27) Esta es la base del criterio de la máxima tensión tangencial, también conocido como CRITERIO DE GUEST o de TRESCA. Para metales, tal aproximación es lógica, basada en el hecho que los mecanismos de fluencia en una escala microscópica son deslizamientos de planos de cristales, la cual es una deformación por corte que se espera sea controlada por las tensiones de corte. 4.2.3.2 Desarrollo del Criterio de Falla de la Máxima Tensión Tangencial De capítulos anteriores recordemos que la máxima tensión tangencial es la mayor de las tres tensiones principales de corte, la cual actúa en planos orientados a 45° con respecto a los ejes de tensiones principales. A partir de las tensiones normales principales podemos señalar:

2,

2,

221

331

232

1

σ−σ=τ

σ−σ=τ

σ−σ=τ (4.28)

Por lo tanto, este criterio de fluencia puede plantearse como sigue:


/2005 11

fluencialaenMAXf 2

,2

,2

133221

−−−=

σσσσσστ (4.29)

La tensión de fluencia en corte, τf, para un cierto material podría ser obtenida directamente de un ensayo de corte simple, tal como un tubo cilíndrico hueco sometido a torsión. De cualquier manera, sólo se dispone en general de resistencia de fluencia σf de ensayos de tracción, de forma que es más conveniente calcular τf a partir de σf. En un ensayo uniaxial, para las tensiones definidas como resistencia de fluencia, tenemos,

σ1 = 0 , σ2 = σ3 = 0 (4.30) Sustituyendo estos valores en el criterio de fluencia (Ec. 4.29) tendremos: τf = σf / 2 (4.31) Nótese que en un ensayo uniaxial, la máxima tensión de corte ocurre en planos orientados a 45° con respecto al eje de la tensión aplicada. Este hecho y la ecn. 4.31 son fácilmente verificables usando el CIRCULO de MOHR. (Ver Fig.4.18).

Fig. 4.18: plano de la máxima tensión de corte en un ensayo uniaxial.

La ec. 4.29 puede entonces escribirse en términos de σf.

fluencialaenMAXf 2

,2

,22

133221

−−−=

σσσσσσσ (4.32)

ó ( ) fluencialaenMAXf ,, 133221 σσσσσσσ −−−= (4.33)

La tensión efectiva es definida más convenientemente como en la ec. 4.15, de forma tal que iguale a la resistencia uniaxial σf en el punto de fluencia.

( )133221 ,, σ−σσ−σσ−σ=σ MAXS (4.34) Dónde el subíndice “s” especifica el criterio de la máxima tensión tangencial. (“S”→ de Shear) El factor de seguridad contra la fluencia es :

? sσ

σ 0= (4.35)

4.2.3.3 Representación gráfica del criterio de la máxima tensión tangencial

σ1 σ1

τ’ = σ1/2

.

σ’ = σ1/2 σ

τ

0

90o

(σ1 , 0)

(σ , t ) σ1

45o


/2005 12

Para EPT, al que σ3=0, el criterio de la M.T.T. puede ser representado en un gráfico σ1-σ2 (Ver 4.19 (a)). Los puntos sobre el hexágono distorsionado corresponden a la fluencia, y los puntos dentro del mismo son seguros. El lugar de falla puede obtenerse sustituyendo σ3 = 0 en el centro de fluencia de ecuación .

( )1221 ,, σσσσσ −= MAXf (4.36) La región de no fluencia, dónde σ S < σf , es así la región acotada por dos líneas:

σ1 - σ2 = ± σf ; σ2 = ± σf ; σ1 = ± σf (4.37) Estas líneas son mostradas en la figura 4.19 (b). Nótese que la primera ecuación de arriba da un par de líneas paralelas con pendiente unitaria, y los otros dos pares dan líneas paralelas a los ejes coordenados. Para el caso general, dónde las tres tensiones principales normales son distintas de cero los contorno de la región de no fluencia son obtenidas de la ecuación 4.33.

σ1 - σ2 = ± σf , σ2 - σ3 = ± σf , σ1-σ3 = ± σf (4.38) Cada uno de los cuales da un par de planos inclinados los cuales son paralelos a la dirección de la tensión principal que no aparece en la ecuación. Por ejemplo, la primera ecuación representa un par de planos paralelos a la dirección de σ3

Fig. 4.19: Localización de la falla para el criterio de la máxima tensión tangencial para EPT.

Estos tres pares de planos forman un tubo con una sección transversal hexagonal (ver Fig. 4.20). El eje del tubo es la línea:

σ1 = σ2 = σ3 (4.39)

El diagrama de la siguiente figura es particularmente interesante pues permite visualizar a escala un estado de tensión tridimensional.

σf

σ1

σ2

σf

-σf

-σf 0

σ1 - σ2= σf

σ1- σ2= - σf

σ1

σ2

σf

-σf

-σf 0

σ2= σf

σ1= σf

σ1= - σf

σ2= -σf


/2005 13

(a) (b) Fig. 4.20: Superficie de falla tridimensional para el criterio de fluencia de la máxima tensión tangencial. a) El límite del principio de fluencia está representado por un prisma hexagonal del cual el eje es la diagonal (s1 = s2 = s3). b) El sistema de ejes s1, s2, s3 está ilustrado según una proyección isométrica. 4.2.3.4 Las Tensiones Hidrostáticas y el Criterio de la Máxima Tensión de Corte Consideremos el caso especial de un estado tensional en el que las tensiones principales son todas iguales:

σ1 = σ2 = σ3 = σh (4.40) De forma tal que es un estado de tensión hidrostática σh .

Por ejemplo, el material podría estar sujeto a una presión P, de forma tal que σh =-p. Este caso corresponde a un punto sobre el eje del cilindro hexagonal, de fig 4.20. Para tal punto, la tensión efectiva σ S de ecuación 4.34 es siempre cero, y entonces, el factor de seguridad contra la fluencia es infinito. Así, el criterio de la M.T.T. predice que presiones hidrostáticas actuando solas no producirán la falla. Esto parece ser sorpresivo, pero de hecho concuerda con resultados experimentales en metales bajo compresión hidrostática. Los ensayos en tracción hidrostática son esencialmente imposibles, pero probablemente ocurriría la fractura frágil, sin fluencia, para altos niveles de tensiones, aún en materiales normalmente dúctiles. La interpretación del factor de seguridad en términos de longitud de líneas desde el origen en un espacio de tensiones principales es también válida para el criterio de la MTT. Para los casos tridimensionales, pueden usarse las proyecciones de las longitudes normales al eje. Esto es debido a que se espera que las tensiones afecten la fluencia sólo en la medida en que ellas se desvían del eje del tubo hexagonal.

? = D’s /D’ (4.41) Donde D’s es la distancia proyectada correspondiente a la fluencia, y D’ a las tensiones aplicadas (ver fig. 4.20 b). Ejemplo 1: Un punto de una pieza de material cuyo sf = 3030 kg/cm2, es sometido al siguiente estado de tensiones: σx = 500; σy = 1000; τ xy = 600 kg/cm2. ¿Cuál es el factor de seguridad contra la fluencia? Solución: Primero, notemos que estamos en un caso de EPT, determinamos las tensiones principales normales a partir del círculo de Mohr o de ecuaciones ya conocidas:

σ3

σ3 = 0 σ2

σ1

eje σ3

σ2 σ1

(σ1,σ2,σ3) D´S D´


/2005 14

xyyxyx 2

2

21 22, τ

σσσσσσ +

−±

+= s1 ; s2 = 1400 ; 100 kg/cm2

La tercer tensión principal normal es: s3 = 0

La ecuación 4.34 da entonces la tensión efectiva para el criterio de M.T.T.

( )( )( ) 2

1221

133221

kg/cm 01401400;100;1001400

;;

;;

=−−=

−−=

−−−=

MAX

MAX

MAX

s

s

s

σ

σσσσσ

σσσσσσσ

Por lo tanto el factor de seguridad contra la falla es:

16,214003030

===s

f

σ

σν

Ejemplo 2: Consideremos un tubo hueco de pared delgada cerrado en sus extremos y con una presión externa P. El espesor de la pared es “t”, el radio interno es “r”, y el material dúctil tiene una resistencia de fluencia σf. Encontrar una ecuación para el espesor requerido correspondiente a los valores de r y un factor de seguridad de ? contra la fluencia. Solución: De acuerdo a lo que vimos en la materia:

radialdireccionPallongitudindirecciontrP

gencialdireccióntrP

zyx −=σ=σ=σ2.

tan.

Asumiendo que r/t es relativamente grande, σz es pequeña comparada con σx y σy, de forma tal que el problema puede simplificarse adoptando σz = 0 como una aproximación. Debido a que no hay tensiones tangenciales aplicadas, las tensiones de arriba son tensiones principales.

0,2.

,.

321 =σ=σ=σ=σ=σ=σ zyx trP

trP

De la ecuación 4.34, la tensión efectiva para el criterio de la M.T.T. es:

( )133221 ;; σ−σσ−σσ−σ=σ MAXs

trP

trP

trP

trP

trP

MAXs..

0;02.

;2..

=

−−−=σ

El factor de seguridad contra la fluencia es:

? rP

tf

s

f

.

.σ

σ

σ==

el cuál da el espesor requerido:


/2005 15

f

rPXt

σ..

=

4.2.4.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION. (también conocido como teoría de Hubert-Mises-Hencky) Este es otro criterio comúnmente empleado para metales dúctiles, y dice que el principio de fluencia se produce cuando la energía de distorsión alcanza un valor crítico. De acuerdo a lo visto anteriormente en este capítulo, la energía de distorsión (o energía por variación de forma) por unidad de volumen en base a las tensiones principales viene dada por: u = 1 + µ [(s1 – s2)2 + (s1 – s3)2 + (s2 – s3)2 ] (4.42) 6E Para el caso de carga uniaxial, y el valor de la tensión de fluencia u* = 1 + µ [ 2 s 2f] (4.43) 6E Podemos considerar que u* constituye el valor crítico como la cuestión señalada en el enunciado del criterio de Von Mises para el caso del ensayo uniaxial. De ahí: s f = 1 [(s1 – s2)2 + (s1 – s3)2 + (s2 – s3)2 ] (4.44) 2 Para el caso de EPT donde s1 ? 0 ; s2 ? 0 ; s3 = 0 , la expresión queda s 2f = s 21 + s 22 - s 1 s 2 (4.45) 4.2.4.2 Representación gráfica del criterio de máxima energía de distorsión. La expresión (4.45) es la ecuación de una elipse con su eje mayor a lo largo de la línea σ1 = σ2 la cual cruza los ejes en los puntos ±σf. Nótese que la elipse tiene inscripto dentro el hexágono distorsionado del criterio de la máxima tensión tangencial.

Fig. 4.21: Localización de falla para el criterio de fluencia de la máxima energía de distorsión para EPT y su comparación con el criterio de la máxima tensión de corte.

Para el caso general, dónde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, el contorno de la región de no falla como la especificada por la ecuación 4.44 representa una superficie cilíndrica circular con su eje a lo largo de la línea σ1 = σ2 = σ3. (ver fig. 4.22). La vista a lo largo del eje del cilindro da un círculo. Si cualquiera de la tensiones σ1 , σ2 , σ3, es cero, entonces la intersección de la superficie cilíndrica con el plano de las dos tensiones principales restantes da la elipse de la fig 4.21

σ1

σ2

σf

-σf

-σf 0


/2005 16

Fig. 4.22: Superficie de falla tridimensional para el criterio

de fluencia de la máxima energía de distorsión. El factor de seguridad contra la fluencia puede interpretarse similarmente en términos de las distancias desde el eje del cilindro (ver fig. 4.22 b). La superficie de fluencia de forma de tubo hexagonal del criterio de la máxima tensión de corte, es de hecho inscripta dentro de la superficie cilíndrica del criterio de energía de distorsión. Ejemplo de Aplicación. Un punto de una pieza está solicitado según el siguiente estado tensional: s x = -500 kg/cm2 ; sy = +1000kg/cm2 ; txy = +600 kg/cm2 . Si el material tiene una tensión de fluencia s f = 3030 kg/cm2, determinar el Coeficiente de Seguridad aplicando: a) Criterio de Guest-Tresca (tmáx). b) Criterio de Von Mises (Energía de distorsión) Cálculo de tensiones principales:

22

21 )600(2

10005002

1000500, +

−−

±+−

=σσ

s1 = 1210 kg/cm2 s2 = -710 kg/cm2 Para cada criterio, calculamos el valor de la tensión efectiva s = f(s1 s2 s3), tal como se indica en la teoría del capítulo. En base a ello el factor de seguridad contra la falla ? = s falla = s f s s a) s/ criterio de tmáx Para nuestro caso las tensiones principales tienen distinto signo; calculamos s en base a: s = s1 - s2 = 1210 + 710 = 1920 kg/cm2 ? = 3030 = 1,578

eje σ1

σ3

σ3 = 0

σ2

γ

α

β

eje

a)

n

b)

D’(σ1, σ2, σ3)

σ3

D’H

σ1 σ2


/2005 17

1920 b) s/ criterio de Von Mises. En este caso recurrimos a la expresión s 2 = s 21 + s 22 – s1 s2 s 2 = (1210)2 + (710)2 + 1210 x 710 ; s = 1681 kg/cm2 ? = 3030 = 1,802 1681 Los valores calculados nos indican que el criterio de las tensiones tangenciales máximas es más conservativo que el de la energía de distorsión. Ayuda a interpretar el significado de los factores de seguridad, recurrir a los gráficos con los cuales representamos los criterios de falla. 4.2.5 Discusión y comparación de los criterios de falla básicos. Los tres criterios de falla discutidos hasta aquí, pueden considerarse como básicos entre la cantidad de criterios disponibles. Tanto el criterio de la máxima tensión de corte como el de la máxima energía de distorsión, son ampliamente utilizados para predecir la fluencia en materiales dúctiles, especialmente metales. Recordemos que en ambos criterios la presión hidrostática no afecta la fluencia, y que la superficie de fluencia del tubo hexagonal del criterio de la máxima tensión tangencial esta inscripto dentro de superficie del cilindro circular del criterio de la energía de distorsión. Por ello estos dos criterios nunca dan predicciones dramáticamente diferentes para el comportamiento en fluencia bajo tensiones combinadas, no existiendo estado de tensiones donde las diferencias excedan el 15%. Esto puede verse en la fig. 4.23, dónde la distancia del eje del cilindro a las dos superficies de fluencia difieren en su cantidad máxima en los puntos dónde el circulo esta más alejado del hexágono.

Fig. 4.23 De la geometría, la distancia en esos puntos tiene una relación de 2 /√3 = 1,155. Debido a esto el factor de seguridad y las tensiones efectivas para un estado de tensiones dado, no puede diferir en más de esa cantidad. Para EPT, σ3 = 0, tal desviación máxima ocurre para corte puro, dónde σ1 = -σ2 = t, y también para σ1 = 2 σ2, como en la carga de presión de un tubo de pared delgada con sus extremos cerrados. De cualquier manera nótese que en algunas situaciones el criterio de la máxima tensión tangencial y el de la energía, dan predicciones sobradamente diferentes que el de la máxima tensión normal. Comparemos la superficie de fluencia tubular de ambos con el cubo de la fig. 4.17, y consideremos estados de tensiones cercanas al eje del tubo (σ1 = σ2= σ3 ) pero bien mas allá de los contornos del cubo. Para EPT, se comparan los tres criterios en fig. 4.24.

σ0

σ0 σ0

D’H

Máxima tensión de corte

σ3

σ1 σ2

Energía de distorsión

D’S


/2005 18

Dónde ambas tensiones principales tienen el mismo signo, el criterio de la máxima tensión tangencial es equivalente al de la máxima tensión normal. Así mismo, si las tensiones principales tienen distinto signo, el criterio de la máxima tensión normal difiere considerablemente de los otros dos.

Fig. 4.24 Localización de falla para EPT para los tres criterios El método más conveniente para comparar experimentalmente criterios de falla es ensayar tubos huecos de pared delgada bajo varias combinaciones de esfuerzo axial, torsión y presión, produciendo así varios estados planos de tensiones. Algunos datos obtenidos de esta manera para fluencia de material dúctil y fractura de material frágil se muestran en la figura 4.24. El acero de fundición gris sigue el criterio de la tensión normal, mientras que los datos de fluencia tienden a caer entre los dos criterios de fluencia, quizás coincidiendo mejor en general con el criterio de la energía de distorsión máxima. El criterio de la máxima tensión tangencial es más conservador. Basado en datos experimentales para metales dúctiles similares a los de la figura 4.24, este criterio parece presentar un límite inferior que es raramente violado. La diferencia máxima del 15% entre los dos criterios de fluencia es relativamente pequeña comparado con los factores de seguridad comúnmente utilizados y las incertidumbres usualmente involucradas en el diseño mecánico, de esa forma la elección entre los dos carece de mayor importancia. Si se desea ser conservador, debería elegirse el criterio de la máxima tensión tangencial.

4.2.6 Teoría de Mohr

“Los límites de fluencia y de rotura de un material quedan definidos por las tensiones que desarrollan en los planos de deslizamientos y fractura. La tensión tangencial en el plano de fractura o escurrimiento alcanza para el estado límite un valor máximo, que es función de la correspondiente tensión normal y de las características del material”.

Supongamos un punto sujeto a un determinado estado de tensión y hagamos crecer las tensiones principales σ1 y σ2 hasta alcanzar la rotura si se trata de un material frágil, o el comienzo de la fluencia si es dúctil. Alcanzando el estado de rotura dibujemos la circunferencia de Mohr. Repitiendo el concepto para otros estados de tensión obtendremos toda una familia de circunferencias que corresponden a estados de rotura. La curva envolvente se denomina “envolvente de Mohr o curva de resistencia intrínseca”.

Al

Acero, Ni, Cr, Mo

Fundición de hierro gris

1

1

-1

-1

σ2/σc

σ1/σc

Máx. Egía.Dtsión distorsiónoctaédricas

Máx. tensión de corte


/2005 19

Fig. 4.25

Dado un estado de tensión, el mismo será determinante de la rotura o fluencia si la circunferencia de Mohr corta la curva o es tangente a la misma.

La dificultad de esta teoría radica en que la curva intrínseca puede conocerse en forma experimental. Sin embargo, tiene una ventaja importante en cuanto a que es mas general que las anteriores, siendo aplicable tanto a materiales dúctiles como frágiles, aunque responde más a las características de rotura de los últimos.

Una de las aplicaciones más importantes que tiene la teoría de Mohr es en la Mecánica de Suelos, para el estudio de la capacidad portante de los mismos.

σ

τ

σ 2

σ 1

M5 M4

M 3

M2

M 1

ESTABILIDAD II CAPITULO V: TORSIÓN

/2005 1

5 TORSIÓN

5.1 INTRODUCCION Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple, cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma. La solución rigurosa del problema, para cualquier sección sólo puede obtenerse aplicando la Teoría de la Elasticidad, lo que escapa a los alcances de este curso. Con las herramientas de que dis-ponemos en la Resistencia de Materiales vamos a realizar el estudio para algunas secciones particula-res tales como la circular, la anular y los tubos de paredes delgadas, para las cuales la solución se en-cuentra planteando hipótesis muy sencillas. Para otras secciones tales como las rectangulares o los perfiles laminados, solamente analizaremos los resultados. El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la tor-sión combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede lle-garse a otros casos de torsión compuesta.

5.2 SECCION CIRCULAR Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica experimentalmente tan-to en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La hipótesis referida establece que las sec-ciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma. Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas cont inúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices. A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la compatibilidad de las defo r-maciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su distribución. Su-pongamos en primera instancia que aparecen tensiones normales σ. Su distribución no podría ser uni-forme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas ε variaran también punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana. En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen única-mente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que: ∫

Ω

= 0 dO zx

t (5.1)

∫

Ω

=Ωτ 0 d zy

(5.2)


/2005 2

( )∫Ω

=Ωτ+τ Mt d xyzyzx

(5.3)

Resulta evidente que si tomamos un ele-

mento diferencial en coincidencia con el borde de la sección, la tensión tangencial τ deberá ser tan-gente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de τ radial, la que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplica-da sobre una generatriz del cilindro. Esto que ocu-rre en el borde puede admitirse que también acon-tece en el interior, con lo que las tensiones tan-genciales beberían ser normales al radio. Ade-más, para que puedan cumplirse las ec. 5.1 y 5.2 debe ocurrir que las tensiones tangenciales sean antimétricas a lo largo de los diámetros de la sec- ción. De lo visto podemos obtener algunas conclusiones:

- sólo existen tensiones tangenciales - su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica - su dirección es normal al radio A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las tensiones. Para ello cons i-deramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo que giran ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la deno-minaremos “ángulo específico de torsión ”.

rR

Rr

R 1R'BB

r 1r'AA

RR

RR

γ=γ→

γ=

γ

γ=θ→γ≅θ=

γ=θ→γ≅θ=

))

))

(5.4)

El ángulo γ resulta ser el “ángulo de distor-sión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo θ es pequeño entonces los arcos se con-funden con las tangentes, lo que permite establecer γ ≅ tg γ. De acuerdo a la ley de Hooke:

rG

rG rGR

G R

θ=τ

θ=γ

≅γ=τ

(5.5)

Fig. 5.1

Fig. 5.2


/2005 3

De la expresión 5.5 se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:

p2

2

max

IG dr G Mt

dr G dr Mt

R G

θ=Ωθ=

Ωθ=Ωτ=

θ=τ

∫

∫∫

Ω

ΩΩ

pIG

Mt=θ (5.6)

rIMt

p

=τ (5.7)

El ángulo de torsión específico θ resulta directamente proporcional al momento torsor e inver-samente proporcional al producto G. Ip que recibe el nombre de “Rigidez a la torsión” y que mide la resistencia a dejarse retorcer. Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensión tangencial máxima.

pppmax W

Mt

RIMt

R IMt

===τ (5.8)

WP= módulo o momento resistente polar

3

adm

34

p

admpadm

pmax

Mt16D

16D

D/232D

W

Mt

W WMt

τπ≥→

π=

π=

τ≥→τ≤=τ

(5.9)

En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza.

∫∫ =θ=φl pl

dlIG

Mtdl (5.10)

Para el caso particular en que Mt = cte. en todo el cuerpo entonces:

p

IG lMt

l =θ=φ (5.11)

Fig. 5.3


/2005 4

Si interesa evaluar la energía de deformación absorbida en la torsión, su expresión es la siguiente:

G2

u2τ

=

∫ ∫ ⋅Ωτ

==τvol vol

2

dldG2

dVoluU

∫

∫∫ ∫

∫ ∫

=

Ω=Ω=

Ω

⋅=

ΩΩ

Ω

l

2

2

l

22

2

l

2

dlGIp2

MtU

drIpsi;drdlGIp2Mt

U

dG21

IprMt

dlU

(5.12)

Si analizamos un elemento diferencial del interior de una barra circular torsionada encontraremos un estado de corte puro. Como ya hemos visto, para este caso las tensiones prin-cipales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario e iguales al valor de las tensiones tangenciales. Además actúan a 45º con respecto a los planos de las secciones, formando super-ficies helicoidales. 5.3 SECCIÓN ANULAR

El análisis de este tipo de sección se efectúa par-tiendo de las fórmulas deducidas para la sección circular llena. La única condición es que debe limitarse la varia-ción de r entre el radio exterior y el interior.

−π

=τ

42

413

2

max

D

D1D

Mt 16 (5.13)

Vamos a comparar la eficiencia de una sección anular para absorber torsión con relación a una sección maciza de igual resistencia.

Fig. 5.4

Fig. 5.5

Fig. 5.4


/2005 5

Fig. 5.6

−=→τ=τ

−π

=τ

π=τ

42

413

23

maxmax

42

413

2

max

3max

D

D1DD

D

D1D

Mt 16

DMt 16

hm

h

m

(5.14)

3 42

2

1 1DD D

Dα−=→=α D: diámetro de la sección maciza igualmente resisten-

te a la hueca.

( )

( ) ( )

( )2

324

h

m

222

21

22h

3 2422

2

m

11

1D4

DD4

1D44

D

α−α−

=ψ=Ω

Ω

α−π

=−π

=Ω

α−π

=π

=Ω

(5.15)

Puede verse que, 1≥ψ , lo que significa que la sección hueca es más conveniente que la sección llena ya que siempre se requiere menor área para resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área con diámetro, ya que para igual resistencia el diáme-tro de la sección maciza será menor que el exterior de la hueca. Lo que im-porta es que aún con menor diámetro, la sección maciza es siempre mas pe-sada y por ende más cara.

Lo que concluimos reciente-mente se debe a que las tensiones des-arrolladas en la parte central de la sec-ción maciza son muy pequeñas y no tienen un aporte muy significativo, por lo que para resistir a la torsión las secciones más convenientes son las huecas. En efecto, si considero una sección anular tal que D2 = 2 D1, o sea α= 0.50, obten-dremos ψ= 1.28. vemos entonces que la sección maciza igualmente resistente es un 28% más pesada que la anular.

5.4 SECCIÓN TUBULAR CERRADA DE PEQUEÑO ESPESOR Consideremos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muy delgadas con rela-ción a la menor dimensión de la misma (ver Fig. 5.7), sometida a torsión. Admitamos también que el espesor e del tubo varía en forma cont inua. Debido al pequeño espesor del tubo es posible suponer que las tensiones tangenciales son constantes en intensidad y dirección a lo largo del espesor, y que la dirección coincide con la tangente al contorno medio de la sección en el punto considerado.


/2005 6

Si en una sección s-s tomamos un elemento diferencial de ancho e y longitud ds (ver Fig. 5.8), sobre el mismo actuará una fuerza elemental dT.

ds e dT τ= (5.16)

Si elegimos un punto cualquiera del plano de la sección y llamamos r a la distancia al mismo de la fuerza dT ten-dremos:

ds erdTrMt

ssτ== ∫∫

Si separamos del tubo una tajada de longitud unitaria y luego aislamos una porción seccionando al eje del tubo (Fig. 5.9), tendremos que según la ley de Cauchy aparecen tensiones verticales que dan dos resultantes T1 y T2, las cua-les deberán ser de igual intensidad por razones de equilibrio.

2211

222

111

e e 1 e T

1 e T

τ=τ→

τ=

τ=

Dado que las secciones 1 y 2 son arbitrarias, de lo an-terior podemos establecer:

.ctee =τ (5.18)

luego retomamos la ecuación 5.17 obtenemos:

Ω

Ω∫

∫∫

Ωτ=→Ω=

τ=τ=

de 2 Mt d 2dsr

ds r e ds e rMtss

Bredt de Fórmula e 2

Mt

Ω=τ (5.19)

Ω: área que encierra la línea media de la sección Puede verse que en este tipo de sección la tensión tangencial es inversamente proporcional al espesor de la misma, lo que significa que la tensión tangencial máxima ocurre en el lugar donde el espesor es mínimo.

Fig.5.7


/2005 7

Si deseamos conocer el ángulo especifico de torsión, podemos calcularlo a través de consideraciones energéticas.

UT

ext=

Si tomamos una porción del tubo de longitud unitaria, el giro relativo entre las dos secciones extremas será igual al ángulo específico de torsión.

∫∫

∫∫∫

Ω=θ→

Ω=

θ

ΩΩ

=ΩΩ

×=τ

=θ

ΩΩ

s2s2

2

dse22

2

22

2

V

2

eds

G4Mt

e

dsG8

Mt2

Mt

de1

G8Mt

dG21

e4Mt

1dVG22

Mt

(5.20)

5.5 SECCIONES DE OTRA FORMA 5.5.1 SECCIÓN RECTANGULAR En barras de sección no circular, durante la torsión las secciones no permanecen planas, sino que se curvan (alabean). Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre. El cálculo de las tensiones tangenciales en las barras de sección no circular representa un problema bastante complicado que se resue l-ve por los métodos de la Teoría de la Elastici-dad. Exponemos a continuación los resulta-dos fundamentales para barras de sección rec-tangular cuando a > b. Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida para la rectangular, en un punto como el A de la figura 5.10 debería existir una tensión tangencial τA perpendicular al radio vector rA, lo que daría componentes τzx y τzy no nulas, apareciendo tensiones τxz y τyz exteriores que contradicen la hipótesis de tor-sión simple. La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular. La solución exacta del problema, atribuida a Saint Venant, como mencionamos antes, pertene-ce al dominio de la Teoría de la Elasticidad. En la figura 5.11 hemos indicado la ley de variación de las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del lado mayor.


/2005 8

Fig. 5.11

Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse me-diante las fórmulas 5.21, 5.22 y 5.23 respectivamente. Los coeficientes α, β y ?, que son funciones de la relación de lados a/b, pueden obtenerse de la tabla 5.1.

2maxzy b aMt

α=τ (5.21)

maxzymaxzxτγ=τ (5.22)

G b aMt

3β=θ (5.23)

Tabla 5.1

a/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 ∞ j

α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

γ 1.00 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742


/2005 9

5.5.2 SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denomi-nado de la Analogía de la Membrana, el cual no lo desarrollaremos en este curso. Para este tipo de secciones se puede su-poner una distribución lineal de tensio-nes a través del espesor. Además, la teo-ría mencionada muestra que las tensio-nes varían muy poco si se suponen en-derezados los perfiles de modo de trans-formarse en rectángulos muy alargados. Para rectángulos muy alargados resulta:

2max

b a31

Mt=τ (5.24)

G b a31

Mt

3

=θ (5.25)

Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento tordente Mt. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión.

Si llamamos: 3iiti

ba31

J =

Entonces: GJM

titiθ=

Donde Mt i corresponde al momento torsor que absorbe un rectángulo i cualquiera que consti-tuye la sección.

( )

∑∑

∑

∑∑∑

===τ

=

=θ→θ==

tj

i

tj2ii

3ii

2ii

iimax

tj

titi

tjtjttj

J

bMt

Jba31

ba31Mt

ba31

Mt

J

JMt M

JMt

G G JMM

i3jj

imaxb

b a31

Mt

∑=τ (5.26)

Fig.5.12


/2005 10

∑=θ

Gb a31

Mt

3ii

(5.27)

Usualmente el término ∑ = Jtb a31 3

ii se denomina Momento de inercia torsional.

En el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resulta mayor que el calcula-do mediante la expresión anterior. Es to se debe a que los contornos redondeados incrementan la rigi-dez de la sección.

∑η= 3ii

b a31

Jt (5.28)

- para perfiles doble T : η ≅1.20 - 1.30 - para perfiles U : η ≅ 1 < η < 1.30 Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsión. Vamos a tratar de evidenciar esto comparando las rigideces de dos secciones huecas, una cortada y otra entera.

( )

eR21

GMt

e

R2

GR4

Mte

dsG 4

Mt

3m

1

m22

m

21

π=θ

π

π=

Ω=θ ∫

( )

12m

2

m2

1

3m

2

300101

Re

Si

Re

31

GeR231

Mt

θ=θ→=

=

θ

θ

π=θ

(5.29)

De este ejemplo puede verse que una seción hueca es mucho mas rígida que una sección abierta. Por esto se debe evitar que las barras de sección abierta trabajen a torsión. 5.5 PROBLEMA HIPERESTATICO En la torsión, al igual que en los esfuerzos axiales, se encuentran problemas que no pueden ser resueltos solamente por las ecuaciones de equilibrio. En estos problemas el número de incógnitas es superior al de las ecuaciones de equilibrio que podemos utilizar. El orden a seguir para la solución de estos casos coincide con el empleado al resolver los problemas hiperestáticos de la tracción (compre-sión).

Fig. 5.13


/2005 11

Veamos, en calidad de ejemplo, una barra empotrada en sus extremos, con un momento exte-rior aplicado en el tramo.

Esta barra es estáticamente indeterminada, puesto que para calcular los dos momentos reacti-vos en los empotramientos la estática nos propone solamente una ecuación de equilibrio.

Σ Mz = 0 ⇒ MA + MB – M (5.30)

Retiramos un empotramiento sustituyéndolo por el momento desconocido X.

En el sistema estáticamente determinado, el giro de la sección B es consecuencia del momento exterior M y del momento X. Por condición de deformación, la viga isostática debe tener un compor-tamiento equivalente al de la pieza original.

0X

B

M

BB=ϕ+ϕ=ϕ (5.31)

B

2t1t

1t

2t1t1tB

M

Ib

Ia

1I

aMX

0IGbX

IGaX

IGaM

=+⋅

⋅=

=

⋅⋅

+⋅⋅

−⋅⋅

=ϕ

(5.32)

Fig. 5.14

Fig. 5.15

ESTABILIDAD II CAPITULO VI: FLEXIÓN

/2005 1

6

FLEXION 6.1. FLEXION EN VIGA DE EJE RECTO - INTRODUCCION

Supongamos una viga de eje recto, de sección constante, con determinadas condiciones de vín- culo, sometido a un estado de cargas genérico:

Consideremos una sección m- m y aislamos la porción de la izquierda. Para restablecer el equi- brio, trasladamos al baricentro de m- m el efecto de las acciones actuantes a la derecha.

La fuerza y el momento resultante admiten componentes según la dirección del eje de la pieza, y componentes en el plano de la sección.

m-m: sección normal al eje de la pieza

M

R: Fuerza resultante M: Momento resultante

R Rz → N R’ → Q Q x Q y

Mz → Mt M M → Mf M x M y

P3

P2 P1

P4 m

m

z

x y

m

m

R P1

Fig. 6.1

Fig. 6.2

Fig. 6.3

R

R

R‘

G

M

M z

M’

G


/2005 2

Consideramos ahora una viga de eje recto, de sección constante, sometida a un estado de car-

gas que no produce momento torsor:

η ,ξ : ejes principales de inercia

Fig. 6.4 f : eje de carga ≡ traza del plano de momento en el plano de la sección.

Veamos los diferentes casos de efectos de flexión que se pueden presentar, según los esfuerzos

existentes en la sección genérica y la ubicación del plano de cargas respecto de los ejes principales de inercia. M ≠ 0 Si f = Eje principal→ Flexión Compuesta Recta o Normal N ≠ 0 Si f ≠Eje principal→ Flexión Compuesta Oblicua

M ≠ 0 Si f = Eje principal→ Flexión Simple Recta o Normal N = 0 Si f ≠Eje principal→ Flexión Simple Oblicua

Q ≠ 0 M ≠ 0 Si f = Eje principal→ Flexión Pura Recta o Normal N = 0 Si f ≠Eje principal→ Flexión Pura Oblicua

Q = 0 6. 2. MOMENTO DE INERCIA

El contenido temático de este punto es dictado en la materia Estabilidad I 6. 3. FLEXION PURA RECTA O NORMAL 6.3.1. Conceptos generales – Diagrama de tensiones

Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porción de viga aledaña a la sección m - m .

El estado de cargas es simétrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican.

Sección m Flexión Compuesta

Sección m Flexión Simple

Sección m Flexión Pura


/2005 3

La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes

principales de inercia.

Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento genérico dΩ en la sección m –m .

Por condición de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la sección m

- m, se debe cumplir:

0Qd.;0Qd.;0Nd.yxyxz xz

==Ωτ==Ωτ==Ωσ ∫∫∫ΩΩΩ

xzyztzxyzxMMy.d. ; 0Mx.d. ; 0MM)x.dy.d.( ==Ωσ==Ωσ===Ωτ+Ωτ ∫∫∫

ΩΩΩ

Para establecer una relación entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse condiciones de deformación. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z , originalmente recto, experi-menta una ligera curvatura, conociéndose a esta ultima con el nombre de elástica.

Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeñas. Dichos desplazamientos pueden considerárselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su longitud.

Para el común de las vigas podemos suponer una relación l/h ≈10. Para esta situación es válido lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones próximas entre si, alejadas de los puntos de apli-

Fig. 6.5

Fig. 6.6

z

y

G ≡ z

σz τzx

d Ω

τzy

y

x

x


/2005 4

cación de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados dos líneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.-

A medida que se carga la viga, las líneas pintadas continúan siendo rectas, pero ya no paralelas entre sí; tendrán un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y norma-les al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pasó de su posición recta original a la forma curva de la elástica.

En base a lo expuesto se admiten como hipótesis: a) Después de la deformación, cada sección transversal se conserva plana y normal al eje

deformado.( Hipótesis de Bernoulli- Navier). b) En la deformación, unas fibras del sólido se acortan y otras se alargan, existiendo entre

ambas una capa de fibras que no sufren variación. Dicha capa se conoce como zona o capa de fibras neutras.

c) Las deformaciones que se producen en las fibras están comprendidas dentro del campo de validez de la Ley de Hooke. Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de

la misma, y en consecuencia, por ser γτ .G= , no existen tensiones tangenciales.- Para encontrar una relación entre tensiones normales y el Momento, analizamos el compor-

tamiento de una fibra genérica de la porción definida por las secciones 1-1 y 2-2. Llamamos: dϕ: giro relativo entre las secciones 1 y 2. O: Centro de curvatura de la pieza deformada ρ: Radio de curvatura de las fibras neutras m- m: Capa de fibras neutras n-n: Intersección de capa de fibras neutras con la sección AB: Fibra en estudio

Fig. 6.7

Fig. 6.8

dϕ C B

D E

A

m m

n n y


/2005 5

Trazamos por D una paralela a OE . Comparamos los triángulos OED con DBC:

ρ=→==

ρy

AB

BCABEDcomo;

yBCOE

Pero =ABBC

alargamiento de la fibra por unidad de longitud = ε

ρ=ε

y ; además por Hooke y.ctey.

EyEE z

zz =ρ

=σ→ρ

=σ

→σ

=ε (6.1)

De acuerdo a esta última expresión, la variación de la tensión normal será lineal y directamente

proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la sección por el eje neutro (n- n). Las deformaciones axiales εz , se acompañan por deformaciones transversales εx debidas al e-

fecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento εz por debajo del eje neutro tienen εx de acor-tamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformación transversal es despreciable y no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la sección.-

- Determinación de la posición y dirección del eje neutro:

∑ = 0Fcondiciónporz

∴=→Ωρ

=Ωρ

==Ωσ Ω

ΩΩΩ∫∫∫ 0Sd.y

Ed.y.

E0d.

nzel eje neutro es bari-

céntrico.

∑ = 0Mcondiciónpory

∴=→Ωρ

=Ωρ

==Ωσ ∫∫∫ΩΩΩ

0Id.x.yE

d.x.y.E

0d.x.nyz

el eje neutro y

el eje de carga son ejes conjugados xn ≡→

∑ = 0Mcondiciónporx

→ρ

=Ωρ

=Ωρ

==Ωσ ∫∫∫ΩΩΩ

n22

xzI.

Ed.y

Ed.y.

EMd.y.

x

x

n

x

I

M

I

ME==

ρ→ (6.2)

Reemplazando, tenemos: ECUACION FUNDAMENTAL (6.3)

DE LA FLEXION

y.I

M

x

xz

=σ


/2005 6

Para el caso de la sección trapezoidal:

A la zona comprimida le asignamos tensiones de signo (-); a las fibras traccionadas signo (+).

De (6.2) obtenemos: I.E

M1 x=ρ

(6.4)

El valor ρ1

resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexión. En la expresión podemos a-

preciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente propor-cional al producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexión.

La rigidez a la flexión mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello impone las propiedades mecánicas del material (E) y las propiedades geométricas de la sección (I).-

6.3.2. Módulo Resistente – Dimensionamiento

De la fórmula de Tensión podemos ver que todos los puntos de la sección con la misma

ordenada “y” tendrán igual tensión, siendo esta máxima y mínima en los extremos, o sea, en las fibras superiores e inferiores de la sección. En general no suele hablarse de tensión máxima o mínima, sino de máxima tensión de tracción y máxima tensión de compresión.-

El diagrama de tensiones resulta ser un esquema espacial, pero por simplicidad y atendiendo a lo anterior, se lo representa usualmente con un plano.

n

σ1

z

y

G

σ2

x n

σ2

σ1

y

G

M

C1

z C2 y

M

x

Fig. 6.9

Fig. 6.10

y

f

Y2

Y1

x ≡ n

G ≡ z

(+)

(-)

σ1

σ2

σ


/2005 7

Las tensiones extremas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

1

1

x1

x1 W

M

cI

Mc.

I

M===σ

2

2

x2

x2 W

M

cI

Mc.

I

M===σ (6.5)

A los valores W1 y W2, que resultan ser el cociente entre el momento de inercia de la sección

transversal respecto del eje “x” y la distancia desde dicho eje a la fibra mas alejada de la sección, los llamaremos “módulos de los momentos resistentes”.

En los problemas de dimensionamiento debemos distinguir entre los materiales cuya resistencia es la misma a tracción que a la compresión, y aquellos en que ambas resistencias son distintas.

21mín

admmínadm

mínmáx

W,WmínW

MW

W

M

=

σ≥→σ≤=σ

(6.6)

adm22adm2

22

adm11adm1

11

MW

W

M

MW

W

M

σ≥→σ≤=σ

σ≥→σ≤=σ

(6.7)

En el primer caso conviene que la sección sea simétrica, de manera tal que W1 = W2, con lo

que puede llegarse prácticamente a valores iguales a la tensión admisible tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Si la pieza no es simétrica respecto del eje neutro, un de las dos fibras extremas no es aprovechada íntegramente.

En el segundo caso vale todo lo opuesto a lo anterior. En general sería recomendable una sección no simétrica, de manera de aprovechar las tensiones máximas, tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Módulo resistente de algunas secciones usuales: a) Rectángulo:

Podemos apreciar que el módulo resistente depende del cuadrado de la altura, siendo conveniente que el mayor lado del rectángulo sea ubicado en forma perpendicular al eje “x”.

En el segundo caso:

En el primer caso:

h

b

x x

6h.b

W

2h

12h.b

2hI

W2

x

3

xx

=→==

x b

h

x

6b.h

W

2b

12b.h

2bI

W2

x

3

xx

=→==


/2005 8

b) Círculo:

32

d.4r.

r4r.

W33

4

x

π=

π=

π

=

c) Triángulo:

24

h.bh

36h.b

W12

h.b

3h

36h.b

W2

32

3

2x

2

3

1x====

Desde el punto de vista del dimensionamiento, el parámetro geométrico que influye es el módulo resistente, pero desde el punto de vista económico la pieza cuesta en función del área de la sección transversal, y no de su módulo resistente. Por razones de economía se trata de buscar secciones que provean el módulo resistente requerido con la menor área posible. Para poder realizar una comparación económica entre las distintas secciones vamos a definir el siguiente coeficiente de rendimiento:

h.

Wmín

Ω=ψ (6.8)

En la medida que este coeficiente aumenta, la sección en mas económica:

167,061

h.b6/h.b

2

2

≈==ψ

125,081

4/h.32/h.

3

3

≈=π

π=ψ

083,0121

2/h.b24/h.b

2

2

≈==ψ

32,0≈ψ

6.3.3. Brazo de palanca elástico:

Definiremos como brazo de palanca elástico a la distancia que existe entre la resultante de compresión y la resultante de tracción del diagrama de tensiones.

h

1/3h

2/3h

r

2

1

b

h

h

h


/2005 9

y.I

M

x

xz

=σ

2xx2x2 x2

'

1xx1x1 x1

SIM

d.yIM

d.y.IM

d.N

SIM

d.yIM

d.y.IM

d.N

=Ω=Ω=Ωσ=

=Ω=Ω=Ωσ=

∫∫∫

∫∫∫

ΩΩΩ

ΩΩΩ

1x

x

1x

x

x

1x S

Iz

S

I

I

S.MM

NM

z

'NN

=→===

=

(6.9)

Numéricamente, el brazo de palanca elástico se calcula como el cociente entre el momento de inercia con respecto al eje “x”, y el momento estático de media sección con respecto al mismo eje.

Rectángulo: h67,0h.128

4h

.2h.b12h.b

z

3

≈==

Círculo: d57,0d.163

r..83

3r4

.2r.12r.

z2

4

≈π

=π=

ππ

π

=

Triángulo: h56,0h.169

h.b.814

36h.b

z2

3

≈==

6.3.4 Energía de deformación.

Si aislamos de una barra una tajada elemental de ancho ∆l, y suponemos que sobre las secciones límites actúan dos momentos M que mantienen la porción en equilibrio, entonces obtendremos:

y.1

y.I

M2.

uρ

=ε=σεσ

=

ρ=

1.y

IM

.21

u 2

∫∫∫Ω

∆Ω∆

ρ=Ω∆

ρ== d.yl.

1.

IM

.21

d.l.1

y.I

M.

21

dVol.uU 22

volvoll

l.1

.M.21

Ul

∆ρ

=∆


/2005 10

La energía de deformación absorbida por toda la pieza es igual a la suma de la que absorbe

cada una de las tajadas.

l1

.M.21

Ul

∆ρ

=∆

Si ponemos la curvatura en función del momento, tendremos:

EI.2l.M

U2

= (6.10)

A continuación vamos a ver un ejemplo de aplicación, calculando el giro en los apoyos de la

viga de sección constante de la figura 6.12:

θ=

θ= .M.M

21

.2Text

l.EI2

Mdl

EI2M

dl.EI2

MU

2

L

2

L

2

==

= ∫∫

EI2L.M

L.EI2

M.MUT

2

ext=θ→=θ→= (6.11)

6.4. FLEXION RECTA EN SECCIONES DE DOS MATERIALES

Vamos estudiar este problema apoyándonos en el ejemplo de la figura 6.13, que trata de una viga de sección rectangular de madera que esta reforzada inferiormente mediante un fleje de acero. El fleje esta unido a la madera de manera tal que se deforma solidariamente con ésta.

En base a la consideración anterior, es posible continuar aceptando como válida la Ley de Navier- Bernoulli, es decir que la sección plana antes de la deformación se mantiene plana luego de la deformación.

Fig. 6.13


/2005 11

De acuerdo a la Ley de Navier- Bernoulli:

ρ=ε

y)y(

y considerando la ley de Hooke:

y.E1

E)y()y( ρ

=ε=σ

luego:

dy.b.d.dN)y()y(

σ=Ωσ=

dy.y.b.E1

dNρ

=

por razones de equilibrio debe ocurrir que:

∫∫ΩΩ ρ

== dy.b.E.1

.ydN.yM 2 (6.12)

Al resolver esta integral en toda el área, nos encontraremos con elementos “dy” donde el

material es madera y otros donde es acero.

dy.y.b.E1

dN

dy.y.b.E1

dN

aa2

mm1

ρ=

ρ=

resultaría muy práctico si de alguna manera, en forma ficticia, pudiésemos convertir uno de los materiales en el otro, de manera tal que esto facilite las integraciones.

[ ] dy.y.b.E1

dy.y.b.n.E1

dN

dy.y.b.E

E.E

1E

E.y.dy.b.E

1dN

hm

b

am2

n

am

am

m

maa1

h

ρ=

ρ=

ρ=

ρ=

321

43421

Si en la zona donde tenemos acero cambiamos el ancho verdadero de la sección por uno

ficticio bh = n.b que denominamos “ancho homogeneizado”, en la ecuación del momento no aparecen los diferentes materiales. Por otro lado sabemos que:

0dy.b.E.y1

0dN. =ρ

→= ∫∫ΩΩ

(6.13)

En esta integral no podemos sacar como factor común “E”, ya que éste es función de “y”; sin

embargo, si realizamos la homogeneización, esto sería posible ya que en la zona donde esta el acero estaríamos tomando el ancho bh.-

0dy.b.yE

hm =

ρ ∫Ω

(6.14)

El cumplimiento de esta última ecuación nos hace ver que la ordenada “y” debe medirse a

partir del baricentro de la sección homogeneizada.


/2005 12

Como conclusión podemos decir que valen las expresiones generales de la flexión recta, a

condición de que tomemos en lugar de la sección real, la misma homogeneizada.

2xh

21xh

1y.

IM

y.IM

=σ=σ (6.15)

la tensión σ1 sería la que correspondería si en la fibra 1 tuviésemos madera. Como el ancho real es bh/n, luego la tensión real en el acero será:

1a1.n σ=σ (6.16)

Esto último tal vez pueda ser apreciado mas exactamente si observamos en la fig.6.13 la fibra

3. Si consideramos dos fibras ubicadas infinitamente próximas a ésta, una del lado de la madera y otra del acero, ambas tienen prácticamente la misma deformación; sin embargo, debido a la diferencia de módulos de elasticidad las tensiones son distintas, con lo que el diagrama real de tensiones resulta dis- continuo.

Si en lugar de tener dos materiales hay mas, la homogeneización deberá realizarse sobre la base de uno de ellos. En la Fig.6.14 se indica el caso de una sección rectangular compuesta de tres materia-les distintos.

6.5. FLEXION OBLICUA 6.5.1. Fórmula de dos términos

Como ya hemos dicho, este caso se presenta cuando la línea de fuerzas no coincide con uno de

los ejes principales de inercia. Dado que los ejes principales de inercia son perpendiculares, y el vector representativo del momento es perpendicular al eje de fuerzas, también podemos decir que la flexión oblicua surge cuando el vector momento no coincide con alguno de los ejes principales de inercia.

Esta situación se presenta con mucha frecuencia en los elementos estructurales que forman parte de los techos inclinados. Las cargas gravitacionales originan un eje de fuerza vertical, el cual no coincide con los ejes principales, los cuales se orientan según el plano del techo.

f

n

f α

ς

M η

M ς

α

n

η

θ M

Fig. 6.15


/2005 13

Si analizamos este problema de flexión debemos decir que:

α=

α=

=≠≠

η

ζ

ηζ

sen.MM

cos.MM

0N;0M;0M

(6.17)

Como podemos aplicar el principio de superposición de efectos, siendo cada uno de los valores

de componentes de momento casos de flexión recta, la tensión normal se obtiene a través de :

( ) ( ) ζ+η=σ+σ=ση

η

ζ

ζ

ηζ.

I

M.

I

MMM

(6.18)

Esta expresión recibe el nombre de fórmula de los dos términos en la flexión oblicua simple.

Si queremos encontrar la ecuación del eje neutro, planteamos la condición de tensión normal nula.

ζ−=η→=ζ+η→=ση

ζ

ξ

η

η

η

ζ

ζ .I

I.

M

M0.

I

M.

I

M0

La ecuación del eje neutro indica que este resulta baricéntrico pero no coincidente con algunos

de los ejes principales de inercia. Para:

α=θ=ζη

→αξ−=η→

α=

α=

η

ζ

η

ζ

η

ζtg.

I

I.1tgtg..

I

I

sen.MM

cos.MM (6.19)

En la figura anterior podemos ver como el diagrama de tensiones puede obtenerse por

superposición de efectos. Algo importante a tener en cuenta es que las tensiones σ son perpendiculares a la sección, es decir son tensiones σz. El diagrama se dibuja abatido para poder representarlo con mayor comodidad.

En el caso de una sección transversal doblemente simétrica como la de la figura 6.16. la tensión normal máxima puede calcularse de la siguiente forma:

Fig. 6.16


/2005 14

admmáx

máxmáx

máxmáxmáx

W

M

W

M

W

M

W

M

I

M.

I

M.

I

M.

I

M

σ≤+=σ

+=

ζ

+

η

=ζ+η=σ

η

η

ζ

ζ

η

η

ζ

ζ

η

η

ζ

ζ

η

η

ζ

ζ

(6.20)

Esta formula de dimensionamiento no es directa como la de flexión recta, ya que la misma

depende de dos parámetros geométricos. El proceso de dimensionamiento resulta entonces iterativo, debiendo proponerse una sección y verificar la ecuación anterior.

Para realizar un procedimiento lo mas acertado posible puede tenerse presente lo siguiente:

[ ]

η

ζ

ηζζ

ηζζ

ηη

ζζ

ζζ

ζ

η

η

ζ

ζ

=

σ

+≥

+=

+=+=σ

W

Wr

M.rMW

M.rM.W1

M.W

WM.

W1

W

W.

W

M

W

M

adm

r

máx

(6.21)

r ≅ 7 a 9 r ≅ 4 a r ≅ h / b Proponiendo un valor de “r” puede obtenerse un valor de Wx necesario, y con éste se elige la

sección. Como el valor de “r” no resulta en general tal como se lo supone, debe siempre verificarse la

ecuación. Si esta ecuación no se cumple, entonces deberá adoptarse otra sección. Cuando la sección no es doblemente simétrica, los puntos donde se dan la máxima tensión de

compresión y tracción no tienen porqué tener simultáneamente como coordenadas los valo res de xmáx e ymáx. Por esta razón suele resultar muy práctico dibujar la sección en escala y trazar el eje neutro, como el diagrama de tensiones resulta perpendicular a dicho eje es posible determinar gráficamente las posiciones donde las tensiones son máximas, aún sin calcular los valores.

6.5.2. Fórmula de un término. En virtud de considerar como válidas las hipótesis de Navier- Bernoulli y la Ley de Hooke,

podemos decir que la tensión normal que surge como consecuencia del efecto de flexión será proporcional a la distancia al eje neutro medida desde el punto de aplicación de la misma.

Hipótesis de Navier- Bernoulli: ρ

=ε ny


/2005 15

Ley de Hooke: ε=σ . E

Entonces:

nn)y()y(y.y.E

1E ψ=

ρ=ε=σ (6.22)

Sobre un elemento diferencial de área, debido a la tensión σ, existirá una fuerza dN:

Ωσ= d.dN

Por razones de equilibrio:

0S0d.yd.y.

0d.dN

nnn==Ωψ=Ωψ

=Ωσ=

∫∫

∫∫

ΩΩ

ΩΩ (6.23)

para que la condición dada por la ecuación anterior se satisfaga, debe ocurrir que el eje neutro

sea baricéntrico. En la figura 6.17 así lo ubicamos porque ya conocíamos el resultado a partir de lo desarrollado en el ítem anterior.

También por razones de equilibrio deberá ocurrir:

0dN.xf

=∫Ω

(momento con respecto al eje de fuerzas)

0Id.y.x

0d.y.x.dN.x

nfnf

nff

==Ω

=Ωψ=

∫

∫∫

Ω

ΩΩ (6.24)

De la última ecuación se obtiene que el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados de iner-

cia. Si desarrollamos la ecuación :

β=∫Ω

sen.MdN.yn

(momento con respecto al eje neutro)

obtenemos:

nn

2n

2nn I

sen.Msen.MI.d.yd.y.dN.y

β=ψ→β=ψ=Ωψ=Ωψ= ∫∫∫

ΩΩΩ

Fig. 6.17


/2005 16

con lo que:

nn

yIsen.M β

=σ (6.25)

Esta última fórmula recibe el nombre de fórmula de un término en la flexión oblicua simple, y

para poder utilizarla es necesario tener previamente ubicado en el eje neutro. La posición del mismo queda definida conociendo el valor del ángulo β . Para calcular el valor de este ángulo, puede emplearse la siguiente expresión:

ϕ−

ϕ−=β+ϕ

tgII

tgII)(tg

.yxy

.xyx (6.26)

Debido a que también hay que conocer el momento de inercia con respecto al eje neutro, suele

ser conveniente aplicar el círculo de Mohr para inercias (círculo de Mohr- Land). Usando el círculo de Mohr, en realidad no es necesario medir el ángulo β , ya que puede

medirse directamente In/senβ . In / sen β = AP x Esc.Inercia.

nn

y.

senI

M

β

=σ

La fórmula de un término puede resultar práctica, pero puede ser usada únicamente en verifi-

caciones, es decir, cuando la sección ya ha sido dimensionada. Luego de las conclusiones obtenidas en este ítem, podemos dar un nuevo concepto de flexión

recta y oblicua. La flexión se dice recta cuando el ángulo que forma el eje de fuerzas y el eje neutro es un ángulo recto, es decir, que ambos ejes son perpendiculares. Como el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados, esto solo puede darse cuando el eje de fuerzas coincide con un eje principal de inercia. Cuando la flexión no es recta se dice que es oblicua.


/2005 17

6.6.FLEXION EN VIGA DE EJE CURVO

Para estudiar el efecto de la flexión en una viga de eje curvo, se considerarán solamente secciones que tengan un eje de simetría y el plano de acción del Momento Flector conteniendo a dicho eje de simetría y al eje de la pieza. Analizaremos, como en temas anteriores, solo el caso de relación lineal entre solicitación y deformación y de que el módulo de elasticidad es el mismo a tracción que a compresión. Consideremos un elemento curvo como el que se muestra en la figura. El punto O define la posición del centro de curvatura; la pieza esta sometida únicamente a Momento. De todo el sector curvo estudiaremos el comportamiento de la porción definida por el ángulo ϕ, determinándose dos secciones próximas entre si, la AB y la CD. Ambas secciones tienen su bari-centro a distancia R de c.c.

Debido a M, la porción en estudio se va a deformar; hay fibras que se acortan, fibras que se a- largan y fibras neutras. Como hipótesis suponemos que las secciones perpendiculares al eje de la pie-za, permanecen planas luego de deformadas.

La sección CD permanece plana luego de deformarse y ocupa una posición C’D’ con un giro relativo dϕ, suponiendo que la sección AB se mantiene en su posición primitiva.

Aunque la hipótesis básica de deformación es la misma que para vigas rectas, y por Ley de Hooke, la tensión normal σ = E.ε acá tenemos una variante. La longitud inicial de una fibra como la EF depende de la distancia al centro de curvatura ρ . por lo tanto, aunque la deformación total de las fibras de (descriptas por el pequeño ángulo una viga dϕ) sigue una ley lineal, con las deformaciones específicas no sucede esto. El alargamiento de una fibra genérica, EF es (r-ρ). dϕ, donde r es la dis-tancia desde el punto O hasta la superficie neutra (no conocida todavía), siendo su longitud inicial i-gual a ρ x ϕ .

La deformación ε de nuestra fibra arbitraria es:

ϕ×−ϕ×

=ϕ×ρ

ϕ×ρ−=

∆=ε

)yr(dyd)r(

ll

(6.27)

siendo “y” la distancia de la fibra genérica respecto de la superficie neutra. Para el elemento dΩ , la tensión normal:

)yr(y

.d.E

.E−ϕ

ϕ=ε=σ (6.28)

En esta ultima ecuación, para la misma sección E, dϕ, ϕ, r son constantes)yB(

yA−×

=σ∴ ,

expresión que representa una función hiperbólica. En (6.28 ) tenemos dos incógnitas, que son la ubicación de las fibras neutras ”r” y el giro re-

lativo dϕ. Para definirlas utilizaremos dos condiciones de la estática.


/2005 18

Teniendo en cuenta que sobre la sección, solo se ha aplicado M, debe cumplirse que la suma de las fuerzas que actúan perpendicularmente a la sección tome valor 0.

.d.rd.E.

.d.)yr(

yd.E.d.

)yr(y

.d.

.Ed.0FN ∫∫∫∑ ∫

ΩΩΩΩ

Ωρ

ρ−ϕ

ϕ=Ω

−ϕϕ

=Ω−ϕ

ϕ=Ωσ→=

Siendo E, dϕ, ϕ, constantes, deberá ser nula la integral

∫∫

Ω

Ω

ρΩ

Ω=→=Ω

ρρ−

.d

r0.d.r

(6.29)

Observando que el eje así definido difiere de la posición del baricentro (G). Una vez conocida la posición del eje neutro, la expresión para la distribución de esfuerzos se

obtiene igualando el momento externo aplicado, al momento interno resistente. Tomamos momento en la sección respecto del eje “n” determinado por las fibras neutras:

∫ ∫

∫∫∫

∫∫

∫∫∑ ∫

Ω Ω

ΩΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩ

Ω−=Ω−

+Ω−

ϕϕ

=

Ω

−+Ω−

ϕϕ

=

Ω

−

+−ϕ

ϕ=Ω

−+

−ϕϕ

=

Ω−ϕ

ϕ=Ω

−ϕϕ

=Ωσ=→=

d.yd.y

0d.yd.E.

d.)yr(

yrd.y

d.E.M

d.yr

y.ry

d.E.d.yy

)yr(yd.E.

M

.d.)yr(

yd.E.d.

)yr(y

.d.

.Ey.d.M0M

2

22

n

(6.30)

donde la integral representa el momento estático del área de la sección recta respecto de la lí-

nea neutra. Siendo “e” la separación entre le baricentro y la línea neutra, se debe cumplir:

∫Ω

−=Ω=Ω− rResiendoe.d.y (6.31)

La distancia “e” se mide en sentido contrario al considerado como positivo para “y”.

Finalmente:

C

CC

D

DD

y.

e.M

y.

e.M

y.

e.M

e.Md.E.

e..d.E.

M

ρΩ=σ

ρΩ=σ

ρΩ=σ

Ω=

ϕϕ

→Ωϕ

ϕ=

(6.32) Fig. 6.20

A diferencia del caso de viga de eje recto, donde la variación de tensión es lineal , en el caso de

eje curvo, la variación es hiperbólica. El eje neutro no coincide con el baricentro geométrico de la sección, trasladándose hacia el Centro de Curvatura.

σinferior = σC

* G n n

σsuperior = σD

ESTABILIDAD II CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

/2005 1

7

TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

7.1 FORMULA DE JOURAVSKI - COLIGNON

En el capítulo 6 hemos estudiado la distribución de tensiones en la sección recta de una pieza sometida a flexión pura. En este capítulo abordaremos el estudio del estado tensional cuando tenemos una sección de una pieza sometida a flexión y corte. La presencia de Q origina en la sección tensiones tangenciales: estas tensiones, variables a lo largo de la altura, producen distorsión entre los elementos de la pieza, lo que hace que las secciones originalmente planas, al deformarse por la suma de los efec-tos de flexión y corte ya no sigan siendo planas. Sin embargo este alabeo del plano de las secciones transversales no influye sensiblemente sobre el valor de las tensiones normales para el caso de las re-laciones l/h habituales. Es decir, podemos seguir calculando σ como si fuera un caso de flexión pura.

El tema ya tiene un pequeño antecedente, visto en capítulo 2, “el problema de corte puro”. Para ese caso se concluyó que el esfuerzo de corte no era sino la fuerza resultante de un conjunto de tensio-nes tangenciales que podían admitirse distribuidas uniformemente, y cuyo valor se calculaba mediante la expresión:

Ω=τ

Q (7.1)

En la práctica el problema de corte puro no existe, puesto que en general aparece conjuntamen-

te con la flexión. En estas circunstancias, como veremos seguidamente, la hipótesis de tensiones tan-genciales uniformes resulta incorrecta, de manera que el valor de τ obtenido con la expresión 7.1 so-lamente representa el valor medio de la tensión.

No obstante lo recientemente expuesto, existen algunos problemas, especialmente en lo que se refiere a elementos de unión, donde los esfuerzos de flexión pueden considerarse como secundarios, siendo aplicable la expresión anterior dada la simplicidad que representa.

En algunas estructuras como las vigas, que están predominantemente flexadas, es muy impor-tante considerar la distribución real de tensiones, para lo cual nos basaremos en la denominada “Teo-ría de Jouravski”, quien desarrolló en un trabajo sobre puentes, publicado en 1856, una teoría sobre la resistencia de secciones rectangulares constituidas por laminas superpuestas vinculadas entre sí. Jou-ravski calculó los esfuerzos rasantes que veremos luego, sin preocuparse de las tensiones que ocurren en el plano de la sección, cuya expresión se debe a Colignon.

Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 7.1, la

que supondremos de sección constante. Aislemos un trozo de la misma delimitado por las secciones 1 y 2, separadas éstas por dz.

En la sección 1-1 actúa un momento flector M y un esfuerzo de corte Q. En la 2-2, el momento será distinto al de la 1-1, pero lo expresaremos en función de M como M+dM, mientras que el esfuerzo de corte mantiene su valor Q.


/2005 2

Como consecuencia de la flexión, en una fibra situada a una distancia “y” del eje neutro, se originarán en 1-1 tensiones:

yInM

=σ (7.2)

y en la 2-2

( )

yIn

MdMd

+=σ+σ (7.3)

Supongamos ahora separada una parte del

prisma de longitud dz por una superficie cilíndri-ca como se muestra en la fig.7.3. En la parte ra-yada actúan tensiones normales que originan una fuerza N.

∫ΩΩ= dy

InM

N (7.4)

En la sección 2-2 ocurre algo similar:

( )

∫ΩΩ

+=+ dy

InMdM

NdN (7.5)

Ambas fuerzas son coaxiales y su resultante vale:

∫ΩΩ= dy

InMd

Nd (7.6)

Esta fuerza elemental tiende a hacer deslizar la parte superior del prisma ubicado por enc ima

de la superficie cilíndrica, con respecto al resto del mismo. A esta acción se oponen tensiones tangen-ciales τ que actúan en la superficie curva de separación.

Para estas tensiones longitudinales admitiremos: a) que su dirección es paralela al eje de la pieza b) que varían en forma continua sobre la superficie curva.

Si llamamos s a la longitud de la curva de intersección de la superficie con el plano de la sec-ción recta, tendremos:

∫ τ=s

dsdzTd (7.7)

Fig. 7.2

Fig. 7.3


/2005 3

por equilibrio: NdTd = (7.8)

∫∫ τ=ΩΩ SS

dsdzydIn

dM

SdsSIn1

dzdM

dsdzydIn

dMmS

snSS

τ=τ=→τ=Ω ∫∫∫Ω

=τ

mvalor medio de τ

SI

S Q

n

sn

m=τ Fórmula de Jouravski-Colignon (7.9)

De acuerdo con la ley de Cauchy, las

tensiones τ de resbalamiento longi-tudinal dan origen en el plano de la sección a tensiones tangenciales, normales en cada punto de la curva s a su correspondiente tangente, y cuyo valor medio está dado por la expresión 7.9.

7.2 DISTRIBUCION DE TENSIONES EN SECCIONES USUALES 7.2.1 Sección rectangular

Analicemos una sección rectangular de ancho b y altura h. Si consideramos una traza s – s pa-ralela al eje x, las tensiones tangenciales pueden suponerse constantes en todo el ancho b.

Fig. 7.4

Fig. 7.5

−=

+

−=

+

−

−=

==

=

22

3

4h

b21

S

2h

2h

b21

S

21

2h

2h

bS

bs 12h b

I

s I

S Q

y

yy

yyy

sn

sn

s

n

n

n

sn

zyτ


/2005 4

La distribución de las tensiones tangenciales es parabólica, alcanzando el valor máximo en co-

rrespondencia con el eje neutro.

Ω==τ

Q5.1

bhQ

23

max (7.11)

Acá podemos apreciar lo que habíamos expuesto ante-

riormente en cuanto a que la distribución real de tensiones tan-genciales difiere bastante de la hipótesis de corte puro. También se observa que las tensiones tangenciales se anulan en las fibras superiores e inferiores. Esto es lógico, por cuanto si en esos luga-res τzy≠0, de acuerdo con la ley de Cauchy aparecerían en la cara superior e inferior de la pieza prismática tensiones tangenciales longitudinales, las cuales se transformarían en cargas exteriores actuantes, cuya existencia no hemos considerado.

La fórmula de Jouravski – Colignon nos permite calcular el valor de las tensiones tangenciales verticales τzy, pero debemos aclarar que también aparecen tensiones tangenciales τzx, cuya ley de distribución puede conocerse si se trata el problema desde el punto de vista de la teoría de la elasticidad. Cuando el rectángulo en muy ancho, estas tensiones alcanzan valores significativos, en caso contrario pueden despreciarse.

Obviamente, en cualquier caso las tensiones τzx constitu-yen un sistema autoequilibrado, con resultante Rx=0.

7.2.2 Sección circular

En secciones simétricas de contorno curvilí-neo no es posible considerar la existencia de tensio-nes tangenciales τzy solamente. En efecto, en los pun-tos del contorno la tensión tangencial debe tener una dirección coincidente con la tangente a la curva que define la sección, ya que de no ser así existiría una componente de la tensión perpendicular a esta tan-gente, lo que por Cauchy generaría una tensión tan-gencial longitudinal externa. En la figura 7.7 se ilus-tra lo que sucedería si τA fuese vertical.

Fig. 7.6

−=

2

h21

bhQ

23 y

zyτ (7.10)

b12h b

h21

4hb

21Q

3

22

−

=

y

zyτ

Fig. 7.7


/2005 5

Si admitimos entonces que las tensiones en un punto

como el A son tangentes al contorno, resulta evidente que aparecen tensiones τzy y τzx.

Para las tensiones tangenciales τzy admitimos la vali-dez de la formula de Colignon, siendo constantes en todo el ancho AB. Para las tensiones τzx se considera una ley de va-riación lineal.

α

τ=

α

τ=τ

τ=τ

tgtg

xx

)y(A

A

A

zyzy

zx

Azxzx

ατ=τ

tgxx

Az yz x (7.12)

Según la ecuación 7.12, para una ordenada “y” cua l-quiera, todas las tensiones tangenciales actuantes en el ancho correspondiente concurren a un punto M.

CMx

tg1

CMx

CMtgx

xzy

zx

zyzxA

=α

=τ

τ

τ=τ→=α

Para el caso particular de una sección circular, apli-

cando Colignon : xy

yx

zy Ib

S Q=τ

( )

4

22

zy R yR

Q34

π−

=τ (7.13)

( )22

22422zyzx

222A

A

yRyx

yRR Q

34

yRyx

yyR

y

xtgx

−−

π=

−τ=τ

−==α

yxR Q

34

4zx π=τ (7.14)

En cualquier punto la tensión tangencial τ puede obtenerse por composición de τzy y τzx.

Fig.7.8

Fig. 7.9

Fig. 7.10


/2005 6

2zx

2zy

τ+τ=τ (7.15)

El valor de τzy máximo se produce para y = 0, donde τzx = 0 para todo valor de x.

Ω≅

Ω=

π=

π−=τ

Q33.1

Q34

RQ

34

R R

Q34

24

2

max (7.16)

En la ultima ecuación podemos ver el valor de la tensión tangencial máxima es 33% mayor

que el valor correspondiente al caso de corte puro. 7.2.3 Sección doble T

En la figura 7.11 hemos tratado de idealizar un perfil laminado doble T. Para un corte s1-s1 si-tuado en el ala tendremos según la formula de Colignon:

−=

−

=τ 22

22

zyy

4h

I 2Q

b

y4

h b

21

IQ

(7.17)

Para un corte s2-s2 situado en el alma tendremos:

( )

( )

−

−+=τ

−

−+

=τ

22

zy

22

zy

yt2h

t-het b

I 2Q

e

yt2h

2e

t-h2t b

IQ

(7.18)

Fig. 7.11


/2005 7

Puede verse que la variación de τzy según las ecuaciones 7.17 y 7.18 resulta ser parabólica. En una sección como la s3-s3 aparece una discontinuidad, lo cual se debe a que en la fórmula

de Colignon la tensión tangencial es inversamente proporcional al ancho de la pieza a la altura de la fibra considerada, y la sección tiene un cambio brusco de ancho.

Lo que hemos indicado recientemente es incongruente. En efecto, si el diagrama (a) de la figu-

ra 7.11 fuese totalmente valido, en un elemento como el k tendríamos una tensión tangencial τzy no nula, lo que significaría que según Cauchy debería aparecer tensiones rasantes longitudinales en las caras interiores de las alas, donde, por tratarse de una superficie libre de solicitaciones exteriores, no puede haber tensiones.

La situación real es la siguiente: en un punto tal como M, de la superficie de una de las alas

existen tensiones τzy y τzx. Las primeras, salvo en la zona ABC de unión de ala y alma, varían según diagramas parabólicos que se anulan en correspondencia con los bordes superior e inferior del ala (ver diagramas (c) en la fig. 7.11), y su valor máximo es muy pequeño, por lo que pueden despreciar-se. Para la zona ABC puede suponerse que varían linealmente desde el valor correspondiente a la sec-ción s3-s3 en el alma, hasta anularse en el borde del perfil (ver diagramas (b) en la fig. 7.11).

En cuanto a las tensiones τzx, su magnitud es tal que no siempre son despreciables. Tienen un

papel importante en las secciones para las que la línea de fuerzas coincide con un eje principal de i-nercia que no es eje de simetría de la sección.

A continuación vamos a desarrollar las expresiones que nos permiten establecer la ley de va-

riación de las tensiones tangenciales τzx a lo largo de las alas. Supongamos el mismo perfil de la figura 7.11 al que le efectuamos un corte vertical en una de

las alas. Si el perfil está solicitado por flexión, sobre la parte separada existirán tensiones normales. Siguiendo un razonamiento similar al aplicado el deducir la fórmula de Jouravski – Colignon pode-mos establecer la siguiente:

yI

dMMd y

IM +

=σ+σ=σ

∫ ∫− −=Ωσ= 2

h

2h

2h

2ht t

yxdyI

MdN

(7.19)

∫ −

+=+ 2

h

2h t

yxdyI

)dMM(dNN

xttS

IdM

)th(2t

xI

dMydyx

IdM

yxdyI

dMdN 2

h

2h

2h

2h

=−=== ∫∫ −−

Sx: momento estático respecto del eje neutro del área en la figura 7.12


/2005 8

Por razones de equilibrio debe resultar dN= dT

xxzS

IMd

dzt dT =τ= (7.20)

It

QS

It

S

dzMd xx

xz==τ (7.21)

Por Cauchy, en el área rayada antes mencionada aparecen tensiones tangenciales horizontales

τzx = τxz.

( )

( )x

I 2t-h Q

xt 2t-ht

IQ

zx

zx

=τ

=τ

(7.22)

Según la ecuación 7.22 las tensiones τzx varían linealmente desde

cero en el extremo del ala hasta un máximo en correspondencia con el borde del alma donde x =(b-e)/2.

En la figura 7.13 se muestran los diagramas correspondientes a las cuatro semialas del perfil. Puede a-preciarse que el conjunto de las tensiones tangenciales determina un flujo de tensiones en el sentido de la fuerza de corte. Por otro lado, razones de simetría hacen que para cada una de las alas los esfuerzos horizontales derivados de las tensiones τzx se anulen entre sí.

Fig. 7.12

Fig. 7.13


/2005 9

Salvo en casos muy especiales las perfiles I no trabajan bajo tensiones tangenciales muy altas

en relación con las tensiones normales de flexión. Siendo además que τzx max<< τzy max, usualmen-te las tensiones τzx son ignoradas en el dimensionamiento.

I PN en25.0maxzymaxzx

τ≅τ (7.23)

Del diagrama de distribución de las tensiones τzy se observa que éstas son prácticamente cons-

tantes en el alma.

I PN enh e

Q17.1

maxzy≅τ (7.24)

7.3 CURVAS ISOSTÁTICAS

Consideramos una viga como la de la figura y aplicado un cierto estado de cargas; una sección genérica m-m, está solicitada por momento flector y por esfuerzo de corte. Para una fibra ub icada a u-na distancia yo el elemento está sometido a tensión normal (σyo) y a tensión tangencial (τyo) en caras o planos determinados por la dirección del eje de la pieza; los valores que toman ambas tensiones pue-den ser calculados utilizando ecuaciones vistas con anterioridad. Aislando el elemento podemos con-cluir que tenemos un estado plano de tensiones. El círculo de Mohr permite encontrar las direcciones y el valor de las tensiones principales.

Fig. 7.14

Fig. 7.15


/2005 10

Manteniéndonos en la misma sección pero cambiando la ubicación de la fibra (es decir para

distintos yo), varían los valores de σyo y de τyo; esto conlleva que también varíen las direcciones y los valores de las tensiones principales. A lo largo de m-m en los diferentes elementos, obtendríamos di-recciones de tensiones σ1 y σ2 tales como se indica más abajo.

Si tomamos secciones m-m lo suficientemente próximas entre sí y en cada una de ellas toma-

mos elementos muy cercanos, prolongando las rectas que definen las direcciones principales hasta cortarse, obtendremos poligonales, cuyas envolventes constituyen las curvas denominadas isostáticas o también trayectorias de tensiones principales, cuya propiedad fundamental reside en el hecho de que, en cualquier punto de las mismas la tangente nos dá la dirección de una de las tensiones principa-les, siendo la segunda de dirección ortogonal. En consecuencia por el punto considerado pasará una segunda curva isostática, resultando así dos familias de curvas, ortogonales.

En los bordes libres, sin solicitación exterior, el mismo borde constituye la isostática de una de las familias, mientras que las de la segunda familia son normales al borde. Ello puede observarse en la siguiente figura, donde se reproducen las isostáticas de una viga rectangular simplemente apoyada, so-licitada por carga repartida.

Fig. 7.16

Fig. 7.17


/2005 11

7.4 DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN TRANSVERSAL

Considerando el caso de una sección sujeta a flexión recta transversal, es decir que actúan simultáneamente un momento flector y un esfuerzo de corte.

Como ya sabemos, debido al momento flector existen tensiones normales cuya ley de distri-bución es lineal, alcanzando los valores máximos el las fibras mas alejadas del eje neutro. Debido al esfuerzo de corte se generan tensiones tangenciales, con una ley de distribución que depende de la forma de la sección, pero que en general es parabólica y con un máximo en el eje neutro.

Como consecuencia de la actuación simultánea de estos esfuerzos existen puntos con tensio-

nes normales solamente, con tensiones tangenciales solamente y con tensiones normales y tangencia-les simultáneas.

Los requerimientos de seguridad de la pieza son: - σ solamente: σ < σadm - τ solamente τ < τadm - σ y τ simultáneamente σc < σadm

Este último caso corresponde a un estado doble, por ello debe verificarse aplicando una teoría de falla.

En la figura 7.18 se muestra lo que sucede cuando la sección es rectangular. En este caso la verificación de un punto como el 2 no es necesaria pues puede demostrarse que está en mejores con-diciones que cualquiera de los otros tres. Sin embargo, en el caso de una sección doble T (Fig.7.19), un punto en correspondencia con el cuello del perfil puede estar en peores condiciones que un punto como el 1 o el 3. Esto se debe a que si bien σ2 < σmáx y τ2 < τ máx , ambos valores son próximos a los máximos y actúan simultáneamente.

Verificaciones:

admmax3

admmax1

τ<τ=σ

σ<σ=σ

Fig. 7.18


/2005 12

adm22

22

3 σ<τ+σ (expresión a utilizar por corresponder el perfil a material dúctil)

7.5 ABSORCIÓN DE ESFUERZOS RASANTES LONGITUDINALES EN VIGAS

Al estudiar la fórmula de Jouravski – Colignon hemos visto que en una sección transversal de una viga sometida a flexión y corte aparecen tensiones tangenciales. La existencia de estas tensiones está relacionada a la aparición de esfuerzos rasantes longitudinales, los cuales se absorben interna-mente por la propia continuidad de la pieza.

Veamos que sucede con estos esfuerzos en los casos de vigas compuestas, es decir, vigas cuya

sección transversal queda conformada mediante diferentes elementos unidos entre sí, como por ejem-plo, una sección cajón de una viga de madera formada por cuatro tablones unidos mediante clavos o tornillos, o una sección doble T de acero formada por perfiles angulares y planchuela unidos mediante remaches o bulones.

Para poder conformar la pieza se utilizan elementos de unión. Estos elementos deben cumplir

la misión de transmitir los esfuerzos rasantes longitudinales entre los distintos elementos constitutivos de la pieza de manera tal que funcionen en conjunto.

Fig. 7.19

Fig. 7.20


/2005 13

Para comprender esto analicemos el si-

guiente ejemplo, que se trata de una ménsula con una carga concentrada en el extremo. Pri-meramente supongamos que la viga está consti-tuida por una única pieza:

2x

max h bl P 6

Wl P

==σ (7.25)

En segunda instancia consideremos que la

viga está formada por cuatro láminas superpues-tas, las cuales no están vinculadas entre sí. Como las laminas no tienen fricción entre si, cada una de ellas se flexiona independientemente. La fuerza exterior que corresponde a cada lámina es P/4, con lo que la tensión máxima en cada una de ellas será:

4h b

l P 6

4h

6b

l 4P

22max=

=σ (7.26)

En el segundo caso la tensión resulta mayor, lo mismo

que la flecha. Esto se debe a que como no se pudieron absorber los esfuerzos rasantes en las superficies de contacto de las láminas, se pierde rigidez.

Si las laminas se unen, por ejemplo, con pernos rígi-

dos, se observa que la barra trabajará como una unidad, en forma similar a la primera situación. Lo que ocurre es que los pernos, trabajando al corte, absorben los esfuerzos rasantes longitudinales.

El esfuerzo rasante se define como el producto de las tensiones tangenciales por el ancho b de la sección en la su-perficie de deslizamiento.

I

S Qb

I b

S Qb H

sn

sn ==τ= (7.27)

El esfuerzo rasante resulta ser un esfue rzo por unidad de longitud de eje de la pieza y depende del esfuerzo de corte (Q), del momento de inercia de la sección (I) y del momento estático con res-pecto al eje neutro de la parte de la sección que tiende a separarse del conjunto (Sn

s). Siendo que H de

Fig. 7.21

Fig. 7.22

Fig. 7.23


/2005 14

pende de Q, varía a lo largo del eje de la pieza según lo hace éste. En el caso del voladizo del ejemplo Q=cte, por lo que H=cte.

I

S Qb H

I

S Qb H

2n

22

1n

11

=τ=

=τ=

Cada elemento de unión que se coloca debe absorber el esfuerzo rasante que le corresponde

según su zona de influencia.

e HT = (7.28) Si se usan bulones, por ejemplo:

n e HTbulbuladm

Ωτ≤=

n: cantidad de bulones en paralelo en una misma sección.

n4d

e Hbuladm

2

τπ

≤ (7.29)

Si se elige el diámetro de los bulones puede calcularse la separación a que deben colocarse, o

bien, si se establece esta separación puede determinarse el diámetro necesario.

7.6 CENTRO DE CORTE

Consideramos un perfil U como el de la figura 7.26, sometido a flexión y corte, y en el que el eje de fuerza coincide con el eje principal de inercia “y”. Supongamos en primera instancia que es valida la teoría de Jouravski.

Fig. 7.24

Fig. 7.25


/2005 15

( ) ( )

( )

t I

S Q

2t

t-hxS

I e

S Q

t-h2t

e-by4

h2e

S

xzx

x

yn

zy

22

yn

=τ

=

=τ

+

−=

(7.30)

(7.31)

Las fuerzas horizontales H, iguales en valor absoluto para ambas pero de signo contrario, for-man un par MH.

( ) ( ) ( )I 4

te-bth Qt-h HM

22

H

−== (7.32)

La resultante de las tensiones tangenciales τzy da como resultado el esfuerzo de corte Q’, pero aplicado en el eje del alma. Vemos entonces que no se cumplen las condiciones de equivalencia entre esfuerzos externos e internos de la sección. En efecto, al admitir la teoría de Jouravski aparece un esfuerzo de corte mas un momento torsor.

( ) ( )

δ+

−=δ+=

I 4te-bth

Q QMM22

Ht (7.33)

Por hipótesis sólo teníamos flexión y corte, por lo tanto en este caso no es aplicable esta teo-ría, no siendo posible admitir la hipótesis de Navier – Bernoulli de la conservación de las secciones planas. Para que haya equilibrio interno deben existir tensiones que generen la anulación del par que aparecería según Jouravski, quedando la sección sometida a un par torsor. Cuando esto ocurre, como ya se ha visto, la sección se alabea. Si el plano de fuerzas en lugar de pasar por el baricentro G de la sección, lo hace por el punto O situado sobre el eje de simetría y desplazado de la recta de acción Q’, una distancia et=MH/Q, en-tonces existiría un momento torsor externo que lograría la equivalencia con los esfuerzos internos originados según la teoría de Jouravski. El punto O determinado en la forma indicada recibe el nom-bre de “centro de corte”.

Fig. 7.26 ( ) ( )I 2

e-b th Qmaxzx

−=τ

( ) ( )( )I 4

te-bth Q2te-bH

2

maxzx

−=τ=


/2005 16

En secciones como la que estamos estudiando la flexión se produce sin que aparezca torsión y

sin alabeo, si el eje de fuerzas pasa por el centro de corte. En el caso de un perfil ángulo de alas iguales el centro de corte se encuentra en el punto de

concurrencia de los ejes de ambas alas. 7.7 ENERGIA DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZO DE CORTE

Consideramos una viga de sección constante de la cual aislamos un elemento de longitud dz.

2u

γτ=

τ (7.35)

( )

( ) ∫

∫∫

Ω

Ω

Ω=

Ω==

ddz

dzddVol

dz

Voldz

2

2

G2U

G22U

τ

τγτ

(7.36)

A los efectos se simplificar los cálculos energéticos hacemos el siguiente reemplazo:

Ωη=Ω

Ωη=Ωτ→

Ωη=τη=τ ∫∫ ΩΩ

22

2

222

medio

Qd

Qd

Q

llamando:

2k η= (7.37)

resulta

( ) ∫ Ω=→

Ω=

z

2

Q

2

dz dzG 2

QkUdz

G 2 Qk

U (7.38)

Fig. 7.27

Fig. 7.28


/2005 17

El coeficiente k recibe el nombre de “coeficiente de corte”. Veamos, por ejemplo, el valor del

mismo para una sección rectangular.

Ω==

+

−=Ωτ

+−=Ω

−=Ωτ

−=τ

∫

∫∫∫

Ω

−ΩΩ

2

62

525324

2

22

2h

2h

4224

2

222

2

2

22

22

Q2.1

30144

hb4

bhQ2h

52

2h

3h

h16 h

bI 4

Qd

dy byy2

h16 h

I 4Q

dy4

hI 4

Qd

y4h

I 2Q

20.1k = (7.39)

En perfiles doble T y U el coeficiente de corte resulta ser aproximadamente igual al cociente

entre el área de la sección transversal y el área del alma calculada para la altura total del perfil.

h ek

Ω≅ (7.40)

7.8 INFLUENCIA DEL CORTE EN ELASTICAS DE VIGAS

Al deducir ecuaciones de elástica hemos de tener en cuenta solamente las deformaciones pro-ducidas por momento flector. El hecho de no considerar las deformaciones por corte, se debe a que usualmente estas no inciden en la elástica.

Vamos a apreciar lo que hemos dicho recientemente calculando en el siguiente ejemplo la fle-cha máxima, tomando en cuenta tanto la que es originada por flexión como la producida por corte.

PxM dxEI2

MU

2Pf

T

UUT

(x)

L

0

2

M

ext

QMext

==

=

+=

∫

G2LkP

EI6LP

2Pf

LG2

Pkdx

G2kQ

U

LEI6P

dxxEI2P

U

232

L

0

22

Q

L

0

32

22

M

Ω+=

Ω=

Ω=

==

∫

∫

GkPL

f y EI3

PLf con

GkPL

EI3PL

fQ

3

M

3

Ω==

Ω+=

Fig. 7.29


/2005 18

Supongamos ahora que el material es acero y que la sección es rectangular. Vamos a comparar

fM con fQ.

( ) 2.6E

12E

G

k EI 3LG

GPL k

3EIPL

f

f 2

3

Q

M

≅µ+

=

Ω=

Ω

=

( )

2

3

2

Q

M

hL

3.1

12bh

E2.1*6.2*3

EL bhff

==

(7.42)

Para una relación frecuente L/h= 10 resulta fM = 130 fQ, de lo que puede verse que el hecho de

despreciar el efecto de corte implica un error menor que el uno por ciento. Cuando la relación L/h es baja, por ejemplo L/h = 1 donde fM = 1.30 fQ, el error que se comete

es muy grande. En este caso el error es del orden del 40 %.

ESTABILIDAD II CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN

/2005 1

8

DEFORMACIONES EN LA FLEXIÓN

8.1 ANALISIS DE DEFORMACIONES 8.1.1 Generalidades

Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante para

garantizar el buen comportamiento estructural como la verificación de la resistencia. Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte

de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo. No sólo esto es muy significativo sino que también pueden aparecer problemas colaterales tales como fisuración en tabiques de mampostería que apoyen sobre la estructura y en cielorrasos.

Los elementos de máquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematu-ros u originar efectos vibratorios inadecuados.

El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante desde el punto de vista constructivo. En efecto, si se conoce por ejemplo, la flecha máxima que tendrá una viga de hormigón armado sometida a las cargas permanentes, cuando se la construye puede contraflecharse el encofrado de manera tal de compensar esa deformación, de modo que la pieza quede para ese estado de cargas sin deformación aparente.

Por otro lado, no es posible conocer las características dinámicas y vibratorias de un elemento estructural sino se analizan deformaciones. Así mismo, y atendiendo a lo que hemos demostrado en el artículo 3.2, el análisis de las deflexiones resulta imprescindible para la resolución estática de piezas flexadas hiperestáticas.

Todo esto ha motivado la existencia de numerosos métodos de cálculo de deformaciones, algunos aplicables a cualquier tipo de estructuras y otros solamente a estructuras lineales. A continuación analizaremos algunos de estos métodos.

8.1.2 Línea elástica 8.1.2.1 Ecuación

Llamaremos “Línea elástica” a la forma que adopta el eje de una viga al producirse la defor-mación de la misma por acción de las cargas exteriores.

Para deducir la ecuación de la elástica vamos a suponer que las deformaciones son pequeñas. Además solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores. (ver art. 7.8)


/2005 2

El ángulo que forma la tangente a la elástica en un pun-

to con respecto a la horizontal, es el mismo que habrá girado la sección recta en dicho punto con respecto a la vertical.

Si consideramos otra sección ubicada a una distancia dz con respecto a la anterior, entre ambas habrá un giro relativo dθ.

dsd1

ddsθ

=ρ

→θρ= (8.1)

dzd1 dzds θ=

ρ→=≅

Por ser θ un ángulo pequeño:

ρ==

θ→=θ≅θ

1dzdy

dzd

dzdy

tg2

2

(8.2)

Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores

crecientes de z corresponden valores decrecientes de θ. En consecuencia, en la ecuación 8.2 debemos afectar al primer tér- mino de un signo menos.

EIM1

dzdy

2

2

=ρ

=− (8.3)

EI

M´´y (z)−= Ecuación diferencial de la línea Elástica (8.4)

Cuando la barra es muy flexible y los desplazamientos no son pequeños debe utilizarse para la

curvatura la expresión rigurosa:

23

2

2

2

dzdy

1

dz

dy1

+

−=ρ

(8.5)

Conocida en cada caso la función que define la variación del momento flector, por integración

de la ecuación diferencial 8.4 se determina la correspondiente ecuación de la línea elástica, la que permite obtener el corrimiento máximo o “flecha”.

En la práctica usualmente se acotan los valores relativos flecha – luz (f/L). Cuando las vigas tienen luces muy grandes y cargas de poca consideración, son frecuentemente determinantes en el dimensionamiento las condiciones relativas a las flechas.

5001

a 3001

lf

max

=

(8.6)

Fig. 8.2

cc

θ

d

c

ρ

θ

θ

dz

dy

dsP

z


/2005 3

Para la deducción de la ecuación de la elástica, en algunas circunstancias resulta mas práctico partir de la ecuación del corte o de la carga. Eso no es ningún inconveniente ya que conocemos la si-guiente relación:

)z(qdzQd

zdMd

2

2

−== (8.7)

luego:

EI

My (z)ll −=

EI

Qy (z)lll −= (8.8)

EI

qy (z)lV =

8.1.2.2. Ejemplos de aplicación a) Elástica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente repartida.

1

32l

(z)ll

2

(z)

C6zq

4qLz

yEI

MyEI

2zq

z2

qLM

+−=

−=

−=

21

43

CzC24zq

12qLz

yEI +++−=

Para encontrar las constantes de integración debemos considerar las siguientes condiciones de borde:

+

−

−=

++−=

=→=++−→=

=→=

=

=

Lz

Lz

2Lz

EI 24qL

y

z24

qL24zq

z12qL

EI1

y

24Lq

C0LC24Lq

12qL

0y

0C0y

344

)z(

343

)z(

3

11

44

)Lz(

2)0z(

(8.9)

Fig. 8.3


/2005 4

Por razones de simetría la flecha máxima se produce para z = L/2

EIqL

3845

f

EIqL

3845

21

41

161

EI 24qL

f

4

44

=

=

+−=

(8.10)

b) Elástica de una ménsula con carga uniformemente repartida

21

4

1

3l

2ll

2

)z(

CzC24

zqyEI

C6

zqyEI

2zq

yEI

2

zqM

++=

+=

=

−=

8Lq

C0C6Lq

24Lq

0y

6Lq

C0ýLz

4

22

44

3

1

=→=+−→=

−=→=→=

+

−

=

+−=

1Lz

34

Lz

31

8EIqL

y

8Lq

z6Lq

24zq

EI1

y

44

)z(

434

)z(

(8.11)

EI8Lq

f4

= (8.12)

c) Elástica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada

( )

( )azPzLPb

´ýEILza

zLPb

´ýEI az

azPzLPb

MLza

zLPb

M az

)z(

)z(

−+−=≤<

−=≤

−−=≤<

=≤

Fig. 8.4

q

z

L

fmax


/2005 5

Dado que la función momento no queda expresada mediante una única ley debemos inte-grar en dos campos distintos.

( )

( )42

23

d

313

i

2

22

d

12

i

CzC2

azPz

L6Pb

yEI

CzCzL6

Pby EI

C2

azPz

L2Pb

ýEI

CzL2

Pbý EI

++−

+−=

++−=

+−

+−=

+−=

( )1

222

2

32

d

43i

43di

21di

CbLL6

PbC

0LC6

Pb6

PbL0 y Lz

0C0C0y0z

CC y y

CCýýaz

=−=

=++−→=→=

=⇒=→=→=

=→=

=→=→=

( )[ ]

( ) ( )

−+−+−=≤<

−+−=≤

zL

bLbaz

Lbz

EI 6P

yLza

zbLzEI L 6

Pby az

223

3

)z(

223)z(

(8.13)

En el caso particular en que la carga se encuentra en la mitad de la luz:

EI48LP

f3

= (8.14)

8.1.3 Método del área del diagrama de momentos 8.1.3.1 Teoremas del área del diagrama de momentos reducidos

Si relacionamos las ecuaciones 8.1 y 8.3 analizadas precedentemente llegamos a la siguiente expresión:

EIM

dsd

=θ

(8.15)


/2005 6

y siendo ds ≅ dz obtenemos:

dzEIM

d =θ (8.16)

Consideremos una porción de línea elástica

comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B, tal como se indica en la figura 8.6. Las tangentes a la línea elástica en los puntos extremos, indicadas a través de las segmentos AB´ y A´B, forman entre si un ángulo θ que suponemos pequeño.

Supongamos que el diagrama entre los puntos A1 y B1 es el diagrama de momentos flectores dividido por EI correspondiente a la estructura que presenta la elástica supuesta. A este diagrama lo denominaremos “diagrama de momentos reduc idos”.

Si consideramos dos secciones de la elástica muy próximas, separadas entre si ds, ambas secciones presentan un giro relativo dθ. En virtud de la ecuación 8.16 ese valor resulta ser igual al área de la franja rayada del diagrama de momentos reducidos. Luego, si integramos la ecua- ción 8.16 obtenemos el ángulo θ que forman las tangentes externas.

∫=θB

A

dz EIM

(8.17)

El resultado de la integral dada por la ecuación 8.17 no es sino el área del diagrama de mo-

mentos reducidos, con lo cual puede enunciarse el siguiente teorema:

TEOREMA I: El ángulo θ comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la lí-nea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.

Consideramos nuevamente la figura 8.6 y observemos el segmento BB’. Podemos apreciar

que cada segmento ds de la elástica contribuye a la longitud f en una cantidad z*dθ. Luego, integran-do estas distancias podemos obtener el valor de f.

∫∫ =θ=B

A

B

A

dz z EIM

d zf (8.18)

Dado que el producto dz EIM

es el área de la franja rayada del diagrama de momentos reduc i-

dos, la integral de la ecuación 8.18 resulta ser el momento estático con respecto a B del área del dia-grama de momentos reducidos. Esto último permite enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA II: Dado dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B respecto a la tangente en A es igual al momento estático con respecto a B del área de momentos reducidos com-prendida entre A y B.

Fig. 8.6


/2005 7

El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multi-

plicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia a su centro de gravedad. Por otro lado,si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.

Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.

Usualmente los dos teoremas anteriores se conocen como Teoremas de Mohr, sin embargo és-tos fueron presentados por Green en 1873, Mohr había presentado en 1868 un artículo donde desarro-llaba las bases del método conocido como “Método de la viga conjugada”, el que veremos luego.

8.1.3.2 Aplicaciones a) Ejemplo 1

En este caso vamos a determinar la flecha δ y el ángulo θ en el borde libre de la estructura en voladizo de la figura 8.7.

Dado que la tangente a la elástica en B co-incide con el eje no flexado de la viga, la flecha δ resulta ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces el teorema II tenemos:

EI3PL

L32

2L

EIPL 3

==δ (8.18)

Idénticamente, la pendiente en A es el án-

gulo que forma las tangentes en A y B, por lo que según el teorema I tenemos:

EI2PL

2L

EIPL 2

==θ (8.19)

b) Ejemplo 2

A continuación vamos a determinar el valor de la flecha máxima que se produce en la viga simplemen-te apoyada de la figura 8.8.

La flecha máxima tiene lugar en el punto C

donde la tangente a la elástica es horizontal. El ángulo entre las tangentes en A y C resulta igual a θA. Este án-gulo podemos calcularlo de la siguiente manera:

Aplicando el teorema II podemos calcular la

distancia BB’.

Fig. 8.7

L

P

B

G´

θ

EI=cte.

A

δ

PLEI

23L

Fig. 8.8


/2005 8

( )bL6EIPab

'BB

b32

2b

LEIPab

b3a

2a

LEIPab

'BB

+=

+

+=

La distancia anterior también puede calcularse como:

L'BB

Aθ=

Con lo que tenemos:

( )

L6bLab

EIP

A+

=θ (8.20)

Por otro lado, el área rayada en el diagrama de momentos reducidos también debe darnos el

valor de θA. Siendo que ya conocemos el valor de este ángulo podemos calcular z, que es la distancia desde A hasta el punto donde la flecha es máxima.

( ) ( )3

bLaz

L6bLab

EIP

2z

zLEI

PbA

+=→

+==θ (8.21)

Si aplicamos el teorema II podemos determinar la distancia CC’, a partir de la cual determi-namos δmax.

( ) 3Amax

3

zL EI 6

Pbz

L6bLab

EIP

'CCz

LEI6zPb

3z

2z

zLEI

Pb'CC

−+

=−θ=δ

==

( )33max bLa

L39

Pb+=δ (8.22)

c) Ejemplo 3

En este ejemplo vamos a determinar el descenso del punto D de la viga Gerber de la figura

8.9.


/2005 9

( )

( )

B'B31C'C

34'D'''D

B'BB'BC'Ca3a4'D'''D

a3B'BC'C

a3B'B

a3C'C

a4''D'''DB'BD''D

D''D''D'''D'D'''D'DD

D

D

123

3

D

+−=δ

−−−=δ

−=−=θ−θ=θ

θ==

−−==δ

B'B31

C'C34

'D'''DD

+−=δ (8.23)

Las distancias D’’’D’, C’C y B’B pueden calculase utilizando el teorema II. La distancia

D’’’D’ resulta ser igual al momento estático respecto del punto D del diagrama de momentos reduc i-dos comprendido entre los puntos B1 Y D1, la distancia C’C puede calcularse como el momento está-tica respecto del punto C del diagrama de momentos reducidos comprendido entre los puntos B1 y C1, y la distancia B’B se calcula como el momento estático respecto del punto B de la parte del diagrama de momentos reducidos comprendidos entre los puntos A1 y B1.

Fig. 8.9


/2005 10

EIPa

23

a2a3

EIPa

C'C

EIPa

310

a32

2a

EIPa

a2a23

EIPa

'D'''D

3

3

==

=+=

EIPa

2737

EIPa

271

EIPa

2EIPa

310

EI9Pa

a32

2a

EI3Pa

B'B

3333

D

3

=+−=δ

==

EIPa

2737 3

D =δ (8.24)

8.1.4. Método de la viga conjugada

Recordemos dos ecuaciones diferenciales ya conocidas:

qzdMd2

2

−= (8.25)

EIM

zdyd

2

2

−= (8.26)

Como ya sabemos, la ecuación 8.25 relaciona el momento flector con la carga aplicada, mien-

tras que la ecuación 8.26 da la relación existente entre la elástica y el momento flector reducido, tal como denominamos a la relación M/(EI) en el ítem anterior.

Si consideramos al diagrama de momentos reducidos o diagrama de curvaturas, como un dia-grama de cargas ficticias q*= M/(EI) aplicado sobre una viga también ficticia y que llamaremos “viga conjugada”, de la identidad formal entre las dos ecuaciones anteriores surge que la línea elástica de una viga coincide con el diagrama de momentos ficticios M* producido en todas las secciones de su viga conjugada cargada con la carga q*. En otras palabras:

*My = (8.27)

Esta última conclusión se conoce como Teorema de Mohr sobre la linea elástica, y al diagra-

ma de momentos reducidos utilizando como carga se lo denomina “carga elástica”. Si la viga es homogénea y de sección constante (EI= cte), la viga conjugada puede cargarse di-

rectamente con el diagrama de momentos, siempre que luego los resultados sean divididos por EI. Si derivamos la ecuación 8.27 obtenemos:

∗==θ= QdzMd

tg'y*

(8.28)

siendo Q* el esfuerzo de corte ficticio originado en la viga conjugada por la carga q*.

La ecuación 8.28 nos muestra que el diagrama de esfuerzos de corte Q* nos da, para cualquier sección de la viga real, el valor de la tangente de la línea elástica. Dado que el esfuerzo de corte Q* en los extremos de la viga conjugada se corresponde con las reacciones de vínculo, éstas representan numéricamente los giros de la elástica de la viga real en correspondencia con sus apoyos.


/2005 11

BBAARR θ=θ= ∗∗ (8.29)

En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas

elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas.

Consideremos el ejemplo de la figura 8.10. En el punto A no tenemos flecha ni pendiente, en

el punto B hay un descenso y además la pendiente a la derecha es distinta que a la izquierda, en el punto C no hay descenso pero sí existe un giro, y en el punto D tenemos flecha y pendiente.

( ) libre extremoun tener debe conjugada vigaLa

0Q pendientehay No

0M flechahay No A

=→

=→

∗

∗

( ) intermedio móvil apoyoun tener debe conjugada vigaLa

izquierda

0Q a que derecha a distinta

0Q resultay pendienteHay

0M flechaHay

B

d

i

≠

≠→

≠→

∗

∗

∗

( ) simpleón articulaci una tener debe conjugada vigaLa

izquierda

0QQ a que derecha a igual

resultay pendienteHay

0M flechahay No

C

di

≠=→

=→

∗∗

∗

Fig. 8.10

Fig. 8.10


/2005 12

( ) ntoempotramieun tener debe conjugada vigaLa

0Q pendienteHay

0M flechaHay D

≠→

≠→

∗

∗

Las conclusiones que hemos obtenido apoyándonos en el ejemplo citado pueden generalizarse

de la siguiente manera:

En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente indeterminadas, la viga conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente queda resuelto cuando se carga a la misma, ya que el propio estado de cargas le confiere estabilidad.

8.2 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADA 8.2.1 Resolución por superposición

Consideremos la estructura de la figura 8.11, que consiste en una viga sustentada en A mediante un apoyo fijo y en B y C mediante dos apoyos móviles. Debido a las cargas actuantes, en los vínculos mencionados aparecen reaccio-nes. Si realizamos el diagrama de cuerpo libre y planteamos las condiciones de equilibrio pode-mos ver que por tratarse de una chapa plana, só-lo pueden formularse tres ecuaciones de equili-brio linealmente independientes, mientras que tenemos cuatro incógnitas.

∑ ∑∑ === 0M 0Y 0X (8.30)

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

Fig. 8.11


/2005 13

Dado que las ecuaciones 8.30 no son suficientes para determinar las cuatro reacciones, deci-

mos que la viga resulta “estáticamente indeterminada” o “hiperestática”. En lo que respecta a la Está-tica, no hay manera alguna de determinar las reacciones en los apoyos tratando al cuerpo como rígi-do; éstas solamente pueden calcularse si analizamos las deformaciones de la estructura.

Una forma de resolver estáticamente la

estructura planteada es la siguiente: a- En primera instancia quitamos el apoyo en B. Dado que a pesar

de ello la estructura sigue siendo estable, decimos que este apoyo es “superabundante”. Algo semejante hubiese ocurrido si en lugar de eliminar el apoyo en B hubiésemos quitado el apoyo en C.

b- A continuación estudiamos la estructura simplemente apoyada que nos queda, la cual se denomina “sistema primario o fun-damental”. Este sistema se deforma, y su elástica presenta un corrimiento vertical δ’B en correspondencia con el apoyo eliminado. Si su-ponemos la existencia de una carga concentrada RB, ésta ac-tuando independiente produce una elástica que genera en correspondencia con B un desplazamiento ''

Bδ .

c- Finalmente, dado que el desplazamiento δB = 0 tenemos:

0''B

'BB

=δ−δ=δ (8.31)

Esta ultima ecuación nos permite obtener el valor de RB, y conociendo su valor, con las ecua-ciones de la Estática determinamos las reacciones faltantes.

Para clarificar estas ideas a continuación vamos a resolver el ejemplo de la figura 8.13. En el sistema primario, bajo la acción de la carga repartida tenemos:

( )EIL2q

3845 4

'B =δ (ver ec. 8.10)

Bajo la acción de RB tenemos:

( )EIL2

48R 3

B''B =δ (ver ec. 8.14)

( ) ( )

( ) qL45

L2q85

R

EIL2q

3845

EIL2

48R

B

43B'

B''B

==

=→δ=δ

Por simetría:

qL83

RV

qL45

L2q21

RV

CA

CA

==

−==

Fig. 8.12


/2005 14

Para resolver este tipo de viga nos basamos en el Método o Principio de superposición”.

8.2.2 Vigas hiperestáticas de un solo tramo

En lo que sigue resolveremos algunos ejemplos de las vigas hiperestáticas de un solo tramo, aplicando el método de superposición.

a) Viga empotrada – empotrada sometida a una carga concentrada

Elegimos como sistema primario la viga simplemente apoya-da indicada en la figura 8.14 En este caso tenemos dos incógnitas hiperestáticas por calcular, MA y MB, ya que al no existir cargas horizontales las reacciones HA y HB son nulas.

Los giros en los extremos A y B pueden determinarse por su-perposición de efectos de la siguiente manera:

0

0

2B1BBoB

2A1AAoA

=θ+θ+θ=θ

=θ+θ+θ=θ

El ángulo θAo ya fue determinado en el art. 8.1.3.2 (ver ec.

8.20)

( )L6

bLabEIP

Ao

+=θ

En forma semejante a lo realizado oportunamente, puede

demostrarse que:

( )L6

aLabEIP

Bo+

−=θ

Fig. 8.13

A BC

P

A

a b

P

M BM

L

P

Aoθ Boθ

LP ab

θA1B1θ

AM

AM

A2BM

θ B2θ

BMCMAM

RA BRFig. 8.14


/2005 15

Los ángulos θA1 y θB1 pueden ser calculados aplicando el teorema II del área del diagrama de

momentos reducidos.

6EI

LM3L

2L

EI

ML

3EI

LM

L32

2L

EI

ML

A1B

A1B

A1A

A1A

−=θ

−=θ

=θ

=θ

En forma idéntica obtenemos los giros θA2 y θB2

3EI

LM6EI

LM

B2B

B2A

−=θ

=θ

Luego resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones podemos determinar los valores de las

incógnitas hiperestáticas. ( )

( )L6

aLabEIP

M3EIL

M6EIL

L6bLab

EIP

M6EIL

M3EIL

BA

BA

+−=+

+−=+

2

2

A Lab

PM −= (8.32)

2

2

B Lba

PM −= (8.33)

Una vez conocidos los valores correspondientes a MA y

MB es muy simple calcular las reacciones verticales y si inter-esa, el momento máximo MC.

b) Viga empotrada – articulada sometida a una carga concen-

trada Este caso es semejante al anterior pero mucho más

simple ya que tenemos sólo una incógnita hiperestática por de-terminar.

( )

0

3EI

LML6

bLabEIP

1AAoA

A1A

Ao

=θ+θ=θ

=θ

+=θ

( )2A L 2

bLPabM

+−= (8.34)

AM

A

L

θAo

P

P

C B

ba P

A1θ

AM

Fig. 8.15

ESTABILIDAD II CAPITULO IX: SOLICITACIONES COMPUESTAS

/2005 1

9

SOLICITACIONES COMPUESTAS

9.1 – FLEXION RECTA COMPUESTA Esta situación se presenta cuando en una sección tenemos N ≠ 0, Mx ≠ 0,(o My ≠ 0), de modo que puede aplicarse la ecuación general de la flexión:

yIx

MN x+Ω

=σ (9.1) (9.1)

Puede verse que el diagrama de tensiones es lineal, pero aparece una situación diferente en lo que respecta a la flexión recta simple, el eje neutro deja de ser baricéntrico. Si queremos determinar su posición debemos hacer σ = 0

0yIx

MxN=+

Ω=σ

Ω−=

IxMxN

yo (9.2) (9.2)

El problema de la sección compuesta puede ser

considerado como resultado de la acción de una fuerza normal a la sección actuando en forme excéntrica con respecto al centro de gravedad. Para que la flexión sea recta es necesario que la carga este ubicada sobre alguno de los ejes principales de inercia. La fuerza N aplicada en el punto a de la figura 9.2 resulta equivalente a los esfuerzos indicados actuantes en G.

eNMx ⋅=

yIx

eNNY

IxMxN ⋅

+Ω

=+Ω

=σ

Ω

+Ω

=σ yIx

e1N


/2005 2

Si 2X

i1

Ix =

+

Ω=σ y

ie

1N

2X

(9.3)

Si determinamos que a partir de esta ultima ecuación la posición del eje neutro tendremos:

e

iy

2X

o −= (9.4)

Podremos ver que Yo tiene signo contrario al de e, lo que significa que el eje neutro se des-plaza del eje x en sentido contrario al de la ubicación de la carga. Analicemos a continuación algunos casos particulares: e → 0 ⇒ yo → ∞ Esto es lógico pues estamos ante un caso de solicitación axial e → ∞ ⇒ yo → 0 Este sería un caso de flexión simple

El diagrama de tensiones también puede ser obtenido por superposición de efectos:

(9.5)

(9.6)

En este tipo de problema el dimensionamiento no es directo ya que hay mas parámetros geométricos incógnitas que ecuaciones. El procedimiento usual es el siguiente:

1) Se desprecia el termino N/Ω, que suele ser el de menor incidencia en el valor de la tensión.

2) Se adopta un valor de tensión admisible minorado ( )adm*adm 8,0 σσ ≅

*adm

1

MW

σ≥ (9.7)

+c 2

c 1

M

NZG

=

σ

σ2M

1M σ

σ2

1

y0

σ= σ=MΙ

yNΩ Fig.9.3

adm2

22 WMN

cI

MNσ<−

Ω=−

Ω=σ

adm1

11 WMN

cI

MNσ<+

Ω=+

Ω=σ


/2005 3

3) Con el valor de W1 (o de W2 según el caso) se elige la sección y luego se verifican las

ecuaciones 9.5 y 9.6. Si la sección no se encuentra en buenas condiciones debe elegirse otra.

Ya hemos visto que el eje neutro no resulta baricéntrico y que la posición del mismo es

función de la excentricidad de la carga. Si pensamos originalmente en un esfuerzo normal centrado que puede desplazarse sobre el eje “y”, podemos encontrar una posición de la carga para la cual el diagrama de tensiones resulta triangular, y que el eje neutro coincida con la fibra superior o inferior de la sección.

Llamaremos “distancia nuclear” a la excentricidad de la carga con respecto al baricentro que hace que el eje neutro se coloque tangente a la sección. El punto de aplicación de la carga se denomina “punto nuclear”. Las expresiones correspondientes a las distancias nucleares pueden obtenerse de la expresión de yo, la cual tomaremos en valor absoluto.

o

2x

y

ie =

Ω=

⋅Ω== 2

2

x

2

2x

1

W

c

I

c

ik (9.8)

Ω=

⋅Ω== 1

1

x

1

2x

2

W

c

I

c

ik (9.9)

Si la carga se ubica en cualquier punto dentro de

los puntos nucleares, el diagrama de tensiones tendrá un solo signo, es decir, el eje no cortará la sección.

Todo lo que hemos desarrollado hasta este momento es válido para el caso de flexión recta compuesta transversal o pura.

En lo que respecta al esfuerzo de corte vamos a realizar una aclaración muy importante. En la fórmula de Colignon se calculan momentos estáticos y de inercia respecto al eje de inercia correspon-diente a un caso de “flexión simple. Las tensiones rasantes que dan origen a la presencia de tensiones tangenciales aparecen como consecuencia de la variación de momento flector en dos secciones muy próximas. El esfuerzo normal no produce tensiones rasantes. Por lo tanto, aun en la flexión com-puesta, el eje neutro a que se hace referencia en la formula de Colignon es el que correspondería si la flexión fuese simple.

9.2 – FLEXION OBLICUA COMPUESTA

Como ya lo habíamos dicho en el capítulo 6, este es el caso más general de flexión. Ocurre cuando tenemos un momento flector cuyo plano de actuación no coincide con un eje principal de inercia y un esfuerzo normal.

z

c2

c1

yo= c2

Fig. 9.4

yo= c1

k2

k1

K2

K1

N2

N1

n1 n1

n2 n2

2

1

z

K2

G

Fig. 9.5

K1 e

σ2

σ1

n n

N


/2005 4

N ≠ 0 ; Mx ≠ 0 ; My ≠ 0

xIy

Myy

IxMxN

++Ω

=σ (9.10)

También se presenta este caso cuando existe una carga excéntrica normal a la sección, cuyo

punto de aplicación no coincide con ningún eje principal de inercia.

eyNMx ⋅= exNMy ⋅=

++

Ω=σ

Ω

+Ω

+Ω

=++Ω

=σ

xiex

yiey

1N

xIyex

yIxey

1N

xIy

Mexy

IxMeyN

2y

2x

(9.11)

Si deseamos encontrar la posición del eje neutro debemos plantear σ = 0.

0xiex

yiey

12y

2x

=++ (9.12)

Si x = 0 → ey

iyo

2x−=

Si y = 0 → ex

ixo

2y−=

Los valores de xo e yo pueden obtenerse gráficamente.

x

x

iyo

ey

itg ==α

eyyoi 2x

⋅=

ey

iyo

2x−= (9.13)

x x

ey

ix

α

α

90º

y 0


/2005 5

El signo menos que debería aparecer en la ecuación 9.13 queda implícito en la construcción

gráfica al ubicarse yo del otro lado del eje x.

En la construcción de la figura 9.7 podemos ver que, como en el caso de la flexión oblicua simple, el eje neutro resulta no ortogonal con el eje de las fuerzas, aunque en estas circunstancias no resulta baricéntrico. En cuanto al problema de dimensionamiento deberíamos decir que salvo para el caso de sec-ciones con dos ejes de simetría, la aplicación de la formula 9.10 no permite obtener fácilmente los pa-rámetros geométricos requerido, por lo que generalmente se adopta la sección y luego se verifica. Si estamos en el caso donde la sección a adoptar es doblemente simétrica, como por ejemplo un rectán-gulo, la tensión máxima se va a producir en alguno de los cuatro vértices, donde los tres términos se suman valor absoluto.

adm22max

6hbMy

6bhMxN

WyMy

WxMxN

σ=++Ω

=++Ω

=σ

si se adopta una cierta relación bhbh

⋅η=→η=

3322adm bMy6

bMx6

bN

⋅η+

η+

⋅η=σ →

η

+η

+η⋅

=σMyMx

6bN

b2

3adm

0MyMx

6bN

b2

3adm

=

η

+η

−η⋅

−σ (9.14)

Resolviendo la ecuación cúbica anterior se obtiene b y luego h. Otra forma de plantear el problema de la flexión oblicua compuesta es aplicar superposición de

efectos. Podemos pensar en la actuación independiente del momento flector M y de la fuerza normal N. La actuación exclusiva del momento flector M da origen a un problema de flexión oblicua simple donde las tensiones normales pueden expresarse a través de la fórmula de un termino:


/2005 6

nono

yI

Msenβ=σ (9.15)

La combinación de ambos efectos da origen a la

expresión que sigue, conocida como “formula de dos términos” en la flexión oblicua compuesta:

nom

yIsen.MN β

+Ω

=σ (9.16)

La posición del eje neutro puede expresarse de la

siguiente manera:

eNM ⋅= →

β+

Ω=σ

m2m

yisen.e

1N

σ = 0 → 0yisen.e

10m2

m

=β

+ → β

−=sen.e

iy

2m

mo (9.17)

El eje neutro resulta paralelo al que correspondería a la flexión oblicua simple (no), separada de

este una distancia yn, y ubicado con respeto al baricentro en forma opuesta a la excentricidad de la carga N.


/2005 7

9.3 – NUCLEO CENTRAL

Ya hemos visto que la flexión oblicua compuesta es resultado de la acción de una fuerza

normal excéntrica. El punto de paso de esa fuerza se denomina “centro de presión”. Si el centro de presión coincide con el baricentro de la sección, el diagrama de tensiones nor-

males es uniforme. En la medida que la carga se aleja del baricentro, el diagrama se va inclinando, hasta cambiar de signo dentro de la propia pieza. Se denomina “núcleo central” de una sección al lu-gar geométrico de los infinitos puntos que, tomados como centro de presión, originan en esta tensio-nes de un mismo signo.

El conocimiento del núcleo central de una sección tiene mucha importancia para el estudio de la flexión compuesta en materiales que, como la mampostería o e Hormigón simple, no trabajan ade-cuadamente a la tracción. En estos, para obtener un óptimo funcionamiento es necesario que la carga normal se ubique dentro del núcleo central.

Para la ubicación del núcleo central es nece-

sario encontrar todos los centros de presiones que determinan su contorno, lo cual ocurre cuando estos coinciden con los “puntos nucleares”, es decir, son tales que originan ejes neutros que son tangentes a la sección y además no la cortan en ningún punto.

En la figura 9.10 se muestran los ejes neu-tros que dan el contorno del núcleo central para la sección indicada. En los puntos A, B, C, D y E exis-ten infinitos ejes neutros, los que pivotando sobre ellos giran desde una posición extrema hasta otra. Cuando esto ocurre es posible demostrar que los centros de presiones relacionados a cada eje neutro se emplazan sobre una recta. Esto último es suma-mente importante ya que si se conocen los centros de presiones correspondientes a dos ejes neutros tales como en n1 y el n5, por ejemplo, el segmento que se obtiene al unir ambos puntos define una parte del contorno del núcleo central.

Dado un eje neutro, si se desea saber la posición del centro de presiones correspondiente, sus coordenadas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

)xyxy(

)xx(I)yy(Ix

BAAB

BAyxBAy

k −Ω

−−−=

)xyxy(

)xx(I)yy(Iy

BAAB

BAxBAxy

k −Ω

−−−=

donde: Ix, Iy e Ixy son momentos de inercia y producto de inercia de la sección, y Ω es el área. (xA, yA) e (xB, yB( son coordenadas de dos puntos, A y B pertenecientes al eje neutro.

n1 n1

n4 n4

n2

n2

n5

n5

n3

n3

A

G

E

D

C

B

K5

K4

K3

K2

K1

Fig. 9.10


/2005 8

Para las figuras elementales el núcleo central puede definirse directamente considerando las

distancias nucleares tal como las definimos en el ítem 9.1.

9.4 – FLEXOCOMPRESION SIN TRACCION ADMISIBLE

Existen materiales como el hormigón simple y la mampostería de ladrillos, que si bien trabajan perfectamente a la compresión, en cambio resisten muy poco a la tracción. En estos casos, al verificar secciones sujetas a flexión compuesta es necesario desarrollar una teoría partiendo del hecho que, para tales secciones las condiciones de equivalencia deben satisfacer teniendo en cuenta solamente tensiones de compresión y prescindiendo por completo de las de tracción. Esta situación se presenta también es la sección de contacto entre dos cuerpos como en el caso de una base de hormigón apoyada sobre el suelo. Es evidente que entre ambos materiales podrán existir presiones pero no tracciones. Por simplicidad solamente vamos a tratar el problema cuando la carga normal presenta excentricidad sobre un eje de simetría. La carga está ubicada fuera del núcleo central, de manera tal que si el material fuese capaz de absorber tracción se tendría un diagrama de tensiones como el (a) en la figura 9.12. Siendo que no es posible absor-ber tracción el diagrama de tensiones que origina el equilibrio interno es como el (b). Por razones de equilibrio: N = N’ y el punto de paso de la resultante N’ debe coincidir con la recta de acción de N.

Supondremos que tiene validez la Ley de Hooke y la hipótesis de Navier-Bernouilli de las

secciones planas.

NS'N

dyd'N

y

en

Aen

Ae

n

=⋅ψ=

Ω⋅⋅ψ=Ω⋅σ=

⋅ψ=σ

∫∫

r

r/4 3h

3b

h

b Fig. 9.11


/2005 9

en

SN

=ψ (9.21)

El área rayada en la figura 9.12, que es la parte de la sección que realmente trabaja, se denomina “sección eficaz”.

en

S : momento estático respecto del eje neutro de la sección eficaz.

Si llamamos eo a la excentricidad de la carga exterior respecto del eje neutro tenemos:

en

I : momento de inercia de la sección eficaz con respecto al eje neutro.

en

en

o S

Ie = (9.22)

cehoe

+= (9.23)

heSN

heen

max=⋅ψ=σ (9.24)

Es evidente que conociendo la posición del eje neutro el problema está resuelto, en especial en secciones que no son simples. Si consideramos el caso de una sección rectangular tenemos:

he32

2heb3heb

e

2heb

S

3heb

I

6h

e

2

3

o2en

3en

=⋅

⋅

=

⋅=

⋅=

>

( ) bcN

32

2c3b

Nhe

2hebN

2max=

⋅=

⋅=σ

En este caso los resultados obtenidos podrían haber sido anticipados; en efecto, siendo el ancho constante, la resultante debe estar a un tercio de he

c3heche32

ceheo

=→+=+=

en

ene

no

e

2

n e

2

no

S

INIeN

dydyeN

=⋅ψ=⋅

Ω⋅ψ=Ω⋅⋅ψ=⋅ ∫∫ΩΩ


/2005 10

9.5 – TORSION COMPUESTA 9.5.1 - Concepto

Este problema se presenta cuando la reducción de fuerzas que solicitan un sólido, al baricentro de una sección cualquiera del mismo, origina un momento torsor más otros tipos de esfuerzos internos, usualmente de flexión y corte, y en algunos casos también esfuerzo normal.

Este caso sería el más general que puede presentarse en un problema de análisis de tensiones en la Resistencia de Materiales. La herramienta más poderosa que utilizaremos para resolverlo es la aplicación del principio de superposición de efectos. Así, todo lo que ya hemos estudiado nos resulta de mucha utilidad.

Los estados tensionales se obtienen como superposición de los correspondientes a cada uno de los esfuerzos por separado. En la verificación de piezas deberá comprobarse que en los puntos donde aparecen estados tensionales simples (Normal o corte puro), las tensiones estén por debajo de los valores admisibles; y en aquellos lugares donde los estados sean múltiples, deberá comprobarse la teoría de rotura que corresponda.

9.5.2 – Ejes sometidos a Flexo-torsión

Si consideramos el siguiente ejemplo y analizamos la sección del empotramiento tenemos el estado de tensiones indicado en la figura 9.14.

Si tomamos un elemento ubicado en un punto como el 1, podemos ver que el mismo está

solicitado por un estado doble de tensiones.

32D

MfWfMf

31 π==σ (9.25)


/2005 11

Wf2Mt

16D

MfWtMt

31=

π==σ (9.26)

Fig. 9.15 Si el material tiene un comportamiento frágil deberá utilizarse para su dimensionamiento la Teoría de falla de Rankine (σmax).

2221

21

1princc Wf2

Mt4

WfMf

21

Wf2Mf

421

2

+

±=τ+σ±

σ=σ=σ

adm22

cMt4MfMf

Wf21

σ≤

+±=σ

+±

σ≥ 22

adm

Mt4MfMf2

1Wf

Para dimensionamiento el diámetro necesario sería:

322

adm

322

adm

Mt4MfMf1

72,1Mt4MfMf2

32D

+±

σ=

+±

π σ=

Si el material tiene un comportamiento dúctil, debería aplicarse la Teoría de falla de Huber-

Hencky-Von Mises (también podría utilizarse la teoría de Guest).

Para dimensionar, el diámetro necesario:

322

adm

322

adm

Mt75,0Mf1

17.2Mt75,0Mf32

D +σ

=+π σ

=

Si consideramos un elemento ubicado en la posición del punto 4 (o el 2 según el sentido del

Mt), veremos que en el mismo aparece aumentado el corte puro:

maxQmaxMt4τ+τ=τ

4D

Mt34

16D

Mt234 π

+π

=τ

Fig. 9.16

τ4

τ1

σ1

2222

21

21c

Mt75,0MfWf1

Wf2Mt

3WfMf

3 +=

+

=τ+σ=σ


/2005 12

Si conocemos el valor de τadm, planteamos que τ ≤ τadm. De no ser así, aplicamos las Teorías

de falla acorde con el material; se calcula la tensión de comparación σc y luego hacemos que σc ≤ σadm.

En un elemento como el 3 la situación es similar a la del elemento ub icado en el punto 1. En el caso de que en una sección circular actúen simultáneamente momentos flectores Mx,

My y momento torsor Mz, se calcula el momento flector resultante 22 MyMxMf += , con este

valor se determina la tensión normal máxima WfMf

Rmax

=σ . Dicha tensión corresponde a los

elementos ubicados en la periferia, los que a su vez están sometidos a las tensiones tangenciales máximas por torsión.

Fig.9.17 Para el dimensionamiento y verificación, se calcula la tensión de comparación sobre la base

de los valores de σmáx y τMtmáx señalados.

ESTABILIDAD II CAPITULO X: PANDEO

/2005 1

10

PANDEO

10.1. CONSIDERACIONES GENERALES

10.1.1. INTRODUCCIÓN Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales y de má-

quinas se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de de-formación dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquier otro de los vistos anteriormente.

Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D, no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra parte, la misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable, presen-tándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se so-mete a compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento de tal miembro.

El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tracción, resultan muy ine-ficaces para transmitir compresión. Vigas angostas, sin arriostramiento lateral, pueden doblarse late-ralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío, así como cascos de sub-marinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tu-bo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión1. Du-rante algunas etapas de su encendido, las delgadas cubiertas de los cohetes o proyectiles autopropul-sados se cargan críticamente a compresión. Estos son problemas de primordial importancia en el dise-ño de ingeniería. Además, por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas estructura-les por pandeo son espectaculares y muy peligrosas.

El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna. U-tilizándolo como ejemplo, sin embargo se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis.

10.1.2. EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE

Sabemos que es condición necesaria pero no suficiente, para que la configuración tomada por un cuerpo sometido a fuerzas sea permanente, que todas las fuerzas que actúen estén en equilibrio

1 Como ejemplo, ver Figura 14.1 del libro “Introducción a la mecánica de sólidos” – E. Popov – Ed. Limusa. 1992.


/2005 2

entre sí; y sabemos también que esta condición es suficiente si el equilibrio de las fuerzas es estable. Si el equilibrio es inestable, la configuración es extremadamente precaria, de modo que si existe una causa perturbadora, el sistema se aparta de esta configuración y ya no la vuelve a tomar. En el caso límite en que el equilibrio es indiferente el sistema puede mantenerse en su configuración o pasar a otras configuraciones muy próximas a la primera, deteniéndose en alguna cualquiera de éstas.

Una forma clásica de determinar si el equilibrio es estable consiste en desviar muy poco el sistema de su configuración mediante una causa perturbadora cualquiera y ver que sucede cuando ésta cesa. Si el sistema retoma la configuración inicial el equilibrio es estable, si se aleja aún más de ella el equilibrio es inestable; y por último, si el sistema permanece en la posición final el equilibrio es indiferente.

Vamos a tratar de clarificar más aún estos conceptos estudiando el comportamiento de las tres esferas del esquema de la figura 10.1. Si en el caso (a) hacemos mover la esfera sobre la superficie y luego la soltamos, intuitivamente podemos reconocer que la esfera volverá a su posición inicial. Este es un caso de equilibrio estable. Si en la situación (b) cambiamos levemente a la esfera de posición, ésta ya no retomará la posición inicial sino que seguirá rodando, ésta es entonces una situación de equilibrio inestable. Si en el caso (c) movemos la esfera, ésta permanecerá en el nuevo lugar o próximo a éste, constituyendo entonces un estado de equilibrio indiferente.

Todo esto que puede ser comprendido intuitivamente puede ser explicado más científicamente si lo analizamos desde un punto de vista energético.

En el caso (a), para mover la esfera y llevarla a una posición distinta debe realizarse un trabajo, el cual se transforma en energía potencial gravitatoria. Si la causa perturbadora cesa, esta energía potencial acumulada tenderá a transformarse en energía cinética y la esfera rodará, llegará hasta el fondo y probablemente subirá por la otra ladera, oscilando en torno del fondo hasta que por fricción, el trabajo entregado originalmente se haya transformado totalmente en calor, permaneciendo la esfera en el lugar donde la energía potencial es mínima. Por esta razón el equilibrio es estable.

En el caso (b), al moverse un poco la esfera pierde energía potencial, la cual se transforma en energía cinética, de esta forma adquiere velocidad y continúa con el movimiento iniciado. Resulta evidente entonces que el equilibrio es inestable.

Finalmente para mover la esfera de la situación (c) debe realizarse un cierto trabajo, el cual se transfo rma fundamentalmente en energía cinética. La esfera adquiere velocidad y cambia de posición, pero cuando la perturbación termina, la energía adquirida se transforma en calor por fricción, con lo que la esfera se detiene, si bien no en la última posición, en una muy próxima a ésta. Este es entonces un caso de equilibrio indiferente.

A continuación vamos a analizar la estabilidad de una configuración de equilibrio en una estructura simple. Se trata de una barra rígida, recta, vertical, empotrada elásticamente en su extremo inferior mediante un resorte que reacciona proporcionalmente al giro de la barra, y sometida en su extremo superior a una carga vertical P de compresión.

La posición vertical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos averiguar si es estable. Es posible demostrar que el equilibrio puede ser estable o inestable, dependiendo ello de la carga P. La carga a partir de

Fig. 10.1

Fig. 10.2


/2005 3

la cual el equilibrio se transforma en inestable recibe el nombre de “Carga crítica”. Para justificar lo que hemos dicho vamos a aplicar en el borde superior

de la barra una carga horizontal infinitesimal de modo que la barra se aparte de su posición original y luego eliminamos la fuerza perturbadora.

Supongamos que la posición última también es una configuración de equilibrio, con lo que deberá verificarse la correspondiente igualdad entre el momento exterior el momento elástico interno.

ϕϕ

=→

ϕ=ϕ=

sen.

lm

P

. m sen . l . PA"A' . P (10.1)

Si tomamos en cuenta que cuando P → Pcrít debe ocurrir que ϕ → 0 y como:

1 sen

lim0

=ϕ

ϕ→ϕ

; entonces:

lm

Pcrít

= (10.2)

Como sabemos la función ϕ / sen ϕ ≥ 1, con lo que la expresión [10.1] nos da la relación entre P y ϕ para P ≥ Pcrít .

Observando la gráfica de la función dada por la expresión [10.1] podemos ver que para valores de la carga inferiores a Pcrít existe una sola configuración de equilibrio, la vertical por lo tanto el equi-librio es estable. En efecto, consideremos por ejemplo una carga:

Fig. 10.3


/2005 4

lm

21

P21

Pcrít

==

y supongamos que existe otra configuración de equilibrio distinta de la vertical, entonces debería cum-plirse la ecuación de equilibrio anterior para ϕ ≠ 0.

ϕ=ϕ .msen.l.P

ϕ=ϕ→ϕ=ϕ sen 21

. m sen . l . l

m.

21

(10.3)

La ecuación última se cumple solamente para ϕ = 0, es decir, para la barra en posición vertical, con lo que bajo cualquier perturbación horizontal, la barra volvería a su posición original.

Para los valores de la carga superiores a Pcrít podemos ver que existen dos configuraciones de equilibrio posibles. En efecto, supongamos una carga P = 1,275 Pcrít , de la gráfica de la figura 10.4 podemos ver que πϕ 8

3= satisface la relación [10.1], luego, la barra vertical o girada un ángulo ϕ co-mo el indicado constituyen dos configuraciones de equilibrio posib les para carga indicada.

Se acostumbra a decir, con cierta impropiedad, que para la carga crítica el equilibrio es indife-rente. En rigor, la configuración de equilibrio vertical pasa sin solución de continuidad de la condición de estable a la condición de inestable siendo la carga crítica la última carga para la cual la configura-ción es estable.

Para P > Pcrít se produce la llamada “bifurcación del equilibrio” porque existen dos formas de equilibrio posibles, una inestable (la vertical), y otra estable con una cierta rotación ϕ que depende del valor de la carga.

10.2 PANDEO EN EL CAMPO ELÁSTICO

10.2.1. COLUMNA DE EULER

Los primeros problemas de estabilidad elástica relativos al pandeo de barras comprimidas fueron resueltos por Euler. El problema planteado por éste y que no-sotros vamos a estudiar a continuación es similar al analizado en ítem anterior, bajo las siguientes condiciones: § La barra es de un material perfectamente homogéneo y elástico, es decir que

verifica la Ley de Hooke y en el estado de tensiones alcanzado no se supera la tensión de proporcionalidad.

§ Su eje es idealmente recto. § La carga está exactamente centrada. § Los vínculos son ideales, sin rozamiento, de los tipos indicados en la Figura

10.5 En las condiciones que hemos enunciado precedentemente la posición ver-

tical de la barra es una configuración de equilibrio, de la cual deseamos saber si es estable.

Para determinar esto comenzamos por hacer actuar una fuerza perturbadora horizontal infinitésima, y suponemos además que el equilibrio vertical es indife-rente, de modo tal que la barra pasa a otra configuración de equilibrio curvada co-mo la que se indica en la Figura 10.6.

Para una sección genérica ubicada a una abscisa “x” la barra tiene un des-

Fig. 10.5

Fig. 10.6


/2005 5

plazamiento “y”. Si planteamos el equilibrio entre el momento externo y el momento elástico interno tendremos:

0"y.I.Ey.P

"y.I.Ey.P

=+

−= (10.4)

0y.I.E

P"y =+

Si llamamos I.E

P2 =α llegamos a la siguiente ecuación diferencial:

0y. "y 2 =α+ (10.5)

cuya solución general es la siguiente:

x . cos. Bx . sen . Ay α+α= (10.6) Imponiendo condiciones de borde tenemos:

0B 0 y 0x =→=→= (10.7)

0l . sen . A 0 y lx =α→=→= (10.8)

Para que se cumpla la nulidad de la ecuación [10.8] pueden ocurrir dos situaciones:

a) A = 0 En este caso obtenemos como ecuación de la elástica la función idénticamente nula, que estaría

representando a la configuración vertical de la barra. Lógicamente este caso no es el que nos interesa pues estamos buscando otras configuraciones de equilibrio.

b) sen α . l = 0 → l.n π

=α (donde n: número entero)

Si recordamos:

2

222

l.n

E.I.P I.E

P π=→=α (10.9)

Para valores de la carga P que verifique la ecuación [10.9] se obtienen distintas elásticas que corresponden a configuraciones de equilibrio de la barra. La menor de todas las cargas que genera la situación indicada en el último párrafo corresponde a n = 1. Dicha carga es la “Carga crítica”.

22

crít lI.E

.P π= (10.10)

Vemos que la expresión de la elástica correspondiente a ella es:

lx.

sen.Ayπ

=

la cual queda indeterminada, ya que no hemos encontrado el valor de A puesto que siendo α = π / 2, la condición de borde A . sen α.l = 0 implica A . 0 = 0, de donde no es posible despejar la constante.

Fig. 10.7


/2005 6

Esto en realidad ocurre porque hemos usado como valor de la curvatura 1 / ρ = y”, en lugar de la expresión exacta:

( ) 2/32'y1

"y1

+=

ρ (10.11)

La aproximación anterior es válida cuando las deformaciones son pequeñas, por lo que debe-mos concluir que la solución encontrada para la carga crítica es el límite de las cargas P cuando la configuración de equilibrio curvada se acerca tanto como se quiere a la vertical.

Finalmente podemos analizar el significado que tienen las cargas críticas correspondientes a n = 2, 3, 4, etc. Si consideramos, por ejemplo el caso de n = 2, podemos ver que P = 2 . Pcrít y que la elástica sinusoidal in-determinada queda constituida por una doble semionda. Esta carga tiene sola-mente un interés teórico y corresponde a la carga crítica en el caso que la barra se fijase en la mitad de su luz mediante un apoyo móvil.

10.2.2. DISTINTAS FORMAS DE SUSTENTACIÓN Así como en el ítem anterior hemos estudiado el pandeo de una barra biarticulada bajo ciertas

hipótesis, es posible realizar un estudio semejante para otras condiciones de vínculo, pudiendo esta-blecer para cada caso la correspondiente carga crítica.

A continuación vamos a indicar los valores obtenidos en los casos más comunes, los que po-dremos comparar con el valor para la barra biarticulada.


/2005 7

Si observamos detenidamente los esquemas anteriores podremos apreciar que las expresiones

correspondientes a las cargas críticas para los distintos casos son muy similares a la de la barra biar-ticulada, difiriendo solamente en una constante.

Desde el punto de vista práctico resulta muy conveniente poder tratar cualquier caso de sus-tentación mediante una expresión única para la carga crítica. Esto se logra transformando a la pieza en una barra ficticia biarticulada con una luz ideal que depende la luz real y de las condiciones reales de vinculación. Esta luz ficticia recibe el nombre de “Luz de pandeo” ó “Longitud de pandeo”.

2k

2

crít SI.E.

Pπ

= (10.12)

Sk : Longitud de pandeo Barra biarticulada: Sk = l

Barra empotrada – libre: Sk = 2 . l

Barra empotrada – empotrada: Sk = 0,5 . l

Barra empotrada – articulada: Sk = 0,7 . l

Para otros elementos estructurales tales como patas de pórticos o barras con sección variable

existen tablas de donde se puede determinar la correspondiente longitud de pandeo.

10.2.3. TENSIÓN CRÍTICA DE EULER. LIMITACIÓN DE LA TEORÍA DE EULER. La tensión crítica de Euler se calcula como el cociente entre la carga crítica de pandeo de Euler

y el área de la sección transversal de la barra:

2

k

2

2k

22

2k

2

ki

critki

i

S

E.S

i.E.A.S

I.E.

A

P

π=

π=

π=σ

=σ

2

2

ki

E.λ

π=σ (10.13)

llamando λ a la relación:

i

Sk=λ (10.14)

λ: esbeltez de la pieza

La esbeltez de la pieza se define como la relación entre la luz de pandeo y el radio de giro mí-

nimo de la sección transversal de la pieza correspondiente a la luz de pandeo considerada. Este parámetro es sumamente importante en el problema de pandeo. Efectivamente, cuanto más esbelta es una barra mayor es el riesgo de pandeo, y ello puede verse en la fórmula de la tensión crítica de Euler (10.15) que depende inversamente de la esbeltez.


/2005 8

Podemos representar la función σki = ƒ (λ), y al hacerlo vemos que cuando λ tiende a cero, la

tensión crítica de Euler tiende a infinito. La fórmula de Euler fue deducida bajo la hipótesis de la validez ilimitada de la Ley de Hooke

por lo tanto la misma solamente es válida si σki ≤ σP.

La esbeltez límite para la cual tiene validez la Ley de Euler será:

ppp2

2

ki

E.

E.σ

π=λ→σ=λ

π=σ (10.15)

Para el acero común: 103,9 E.

9,1032

2

kiP≥λ∀

λπ

=σ∴=λ

En la zona comprendida entre esbeltez cero y σP, la fórmula de Euler debe ser reemplazada por

otra ley que contemple el comportamiento elasto-plástico del material.

10.3. PANDEO ANELÁSTICO Como se ha mencionado, para esbelteces menores que

λP no es válida la Teoría de Euler. Engesser estudió el comportamiento teórico de piezas comprimidas de acero bajo tensiones superiores al límite de proporcionalidad; partió de iguales hipótesis que las establecidas por Euler para la deducción de la carga crítica, excepto la constancia del módulo de elasticidad E. Para esto último, en diferentes años propuso dos hipótesis para su determinación: a) teoría basada en el módulo tangente; b) teoría del doble módulo. En los resultados no existen diferencias apreciables por el uso de una u otra teoría. Fig. 10.10


/2005 9

Recordemos el diagrama tensión – deformación del acero (σ - ε) para valores de tensiones

menores a la de fluencia: El punto A representa el estado correspondiente a la tensión conocida como límite de

proporcionalidad σP. Para valores superiores de tensión, por ejemplo el punto B, la rigidez del ma-terial ya no depende del módulo inicial E.

Engesser primeramente (1889) presentó una teoría tomando en cuenta sólo el módulo tangente Et. Si para un cierto valor de carga el estado tensional se representa con un punto como el B en el diagrama de tenso-deformación, y a través de un incremento ∆P la carga llega a su valor crítico, la rigidez del material en ese momento está dada instantáneamente por la tangente a la gráfica, Et. En función de ello propuso la expresión siguiente:

2t

2

k

E.

λ

π=σ (10.16)

Como las tensiones correspondientes a los módulos referidos a al tangente se pueden obtener a

partir del diagrama σ – ε, la relación λ = Sk / i a la cual pandeará la columna, se puede calcular a partir de la ecuación [10.16].

Con posterioridad, en 1895, Engesser propone una expresión similar pero con un módulo de elasticidad diferente. Con ello estableció la llamada teoría del doble módulo o teoría del módulo re-ducido, algunos de cuyos aspectos se estudian a continuación.

Suponiendo la permanencia de las secciones planas durante la flexión, la ecuación de la elástica será la misma que para los materiale s que siguen la Ley de Hooke, con la excepción de que el módulo de elasticidad E se reemplaza por un módulo de elasticidad reducido T que depende la tensión σk originada por la carga Pk.

Suponiendo que el diagrama tenso – deformación del acero fuese el del esquema de la figura 10.11, y que se somete la pieza a una compresión que origina la tensión σk, si se descarga la pieza has-ta cero, el módulo de elasticidad en descarga queda representado por la recta BO’ casi paralela a OA.

La carga Pk origina la tensión de compresión σk uniformemente repartida mientras la pieza per-manezca recta, pero en cuanto el eje pasa a la posición curva, el momento flector origina compresio-nes σ2 que se suman a las σk y tensiones de tracción σ1 en el lado convexo que se restan a las tensio-nes σk.

La carga crítica Pk es aquella capaz de mantener a la pieza en la posición curva del esquema (b) de la Figura 10.12, alejada de la vertical valores “y” que se suponen infinitésimos.


/2005 10

Si consideramos una tajada de la barra como la indicada en la figura 10.12, de longitud unita-

ria, se producen acortamientos suplementarios ε2 en el lado derecho y alargamientos ε1 en el lado iz-quierdo.

Admitiendo que la hipótesis de Navier – Bernoulli de las secciones planas podemos establecer:

ρ=

ε=

ε 1hh

1

1

2

2 (10.17)

Como las deformaciones ε2 son infinitésimas, las tensiones σ2 son poco superiores a las que

corresponde al punto B en el diagrama σ - ε de la figura 10.10, pudiendo calcularse como: σ2 = E2 . ε2 (10.18)

Donde E2 = tg β (módulo tangente)

Mientras que para σ1 es válida la aplicación de la Ley de Hooke:

σ1 = E . ε1 (10.19)

Donde E = tg α ≅ E1

Luego:

ρ=σ

ρ=σ 22

21

1

h.E

h.E


/2005 11

Supongamos ahora que la sección transversal es rectangular y de ancho “b”. Al igualar la

resultante de tracción con la de compresión tenemos:

∫∫ σ=σ 11 h

0 2

h

0 1dy..bdy..b

222

21

222

21

2211h.EE.h

2.

.hE

2.

E.h h.

21

h.21

=→ρ

=ρ

→σ=σ (10.20)

Siendo h = h1 + h2 se obtiene:

2

21

EE

E.hh

+= (10.21)

2

2EE

E.hh

+= (10.22)

El momento flector M de las fuerzas exteriores debe ser igual al de las interiores, luego:

( ) ( )2

2

22

2

23

11

EE

E.E.4.

I

EE

E.E.4.

.12h.b

h32

.2

h.b.

h.EM

+ρ=

+ρ=

ρ= (10.23)

llamando:

( )2

2

2

EE

E.E.4T

+= (10.24)

la ecuación de la elástica en la zona elastoplástica resulta:

0y."y 2 =ζ+ (10.25)

donde I.T

P2 =ζ (10.26)

Integrando la ecuación (10.26) se llega a:

2

2

k lI.T.

Pπ

= (10.27)

2

2

k

T.λ

π=σ Tensión crítica de Engesser (10.28)

En el caso de secciones de forma cualquiera se demuestra que:

I

I.E

I

I.ET 2

21 += (10.29)

Donde I1 es el momento de inercia de la zona traccionada, I2 es el momento de inercia de la zo-

na comprimida e I es el momento de inercia de la sección total, todos ellos calculado respecto del eje neutro. Si se comparan los valores de T para distintas formas de sección se concluye que T es poco


/2005 12

sensible a los cambios de sección. Por ello cuando es necesario definir una sección se toma la rectan-gular ya que es más fácil la formulación matemática en el desarrollo del tema.

A fin de disponer de una base general para calcular la tensión crítica, los reglamentos definen la función que relaciona σk con la esbeltez λ.

Existen manuales con tablas donde se hallan tabulados los valores correspondientes a σk para distintas esbelteces y diferentes calidades de acero. En las mismas también se indica el valor de σki. En la Figura 10.9, además de graficarse σki, se dibujó la curva correspondiente a σk.

10.4. PANDEO REAL

Una barra real no responde nunca a las condiciones ideales que hemos supuesto anteriormente, es decir, el eje de la barra no es rigurosamente recto, el material no resul-ta homogéneo, la línea de acción de la fuer-za de compresión no coincide con el eje de la pieza, etc.

A continuación vamos a ver las con-secuencias de estas imperfecciones. Al ha-cerlo veremos que en la barra real no se pro-duce una “bifurcación del equilibrio”, sino una “divergencia del equilibrio”.

Consideremos el caso de la barra de la Figura 10.13 sometida a flexión com-puesta. La excentricidad “e” debe interpre-tarse como una excentricidad no prevista pero inevitable, consecuente con lo expre-sado en el primer párrafo. Por tratarse de una barra esbelta, el momen-to flector debe calcularse sobre la configu-ración deformada.

( )ye.PM

e−+δ= (10.30)

"y.I.EM

i= (10.31)

e)P.(P.yE.I.y" MM

ie+δ=+→= (10.32)

llamando I.E

P2 =α (10.33)

)e(y."y 22 +δα=α+ (10.34)

La solución general de la ecuación diferencial (10.33) es:

δ++α+α= excos.Bxsen.Ay (10.35) Para satisfacer las condiciones de borde debe cumplirse:


/2005 13

y (x = 0) = 0 → B + e + δ = 0 → B = – (e + δ ) (10.36)

y’ (x = 0) = 0 → α . A = 0 → A = 0 (10.37)

y = (e + δ ) . (1 – cos α.x) (10.38)

δ es el valor correspondiente a la elástica para x = l.

y = (e + δ ) . (1 – cos α.l) → l cos

)l cos1.(eα

α−=δ (10.39)

lcos)xcos1.(e

yα

α−= (10.40)

Vemos que a diferencia de lo que ocurre con el pandeo ideal, desde el comienzo, es decir, des-

de P = 0 se tiene una configuración curvada de la barra, no apareciendo el fenómeno de bifurcación del equilibrio.

Otra observación importante es que la flecha no resulta directamente proporcional a la carga P.

Esto es debido a que la condición final de equilibrio fue planteada sobre la configuración deformada de la pieza que depende de P.

Como consecuencia de lo recientemente mencionado resulta que NO ES APLICABLE EL

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. La flecha aumenta más rápidamente que la carga y este efecto se acentúa en la medida que α . l

se aproxima al valor π / 2. Para α . l = π /2 ⇒ δ → ∞. En este caso:

E2

2

2

22 PI.E.

)l2(P

I.EP

l.4

2l. =

π=→=

π=α→

π=α

PE: valor de la carga crítica de Euler o del pandeo ideal para el caso considerado. También podemos observar que este último resultado es independiente de la excentricidad inicial “e”.

Para comprender un poco mejor el problema vamos a graficar la relación P / PE versus δ / l

para distintas relaciones e / l.

EE2

2

E2

2

E

E2

PP

2.l

PP

.l.4P

1.

l.4I.E.

.I.E

PP

P.

I.EP π

=α→π

=π

==α

−π

=δ

→α

α−=δ 1

PP

2cos

1.

le

l

l.cos)l.cos1.(e

E

(10.41)

En el diagrama de la Figura 10.14 podemos apreciar que las curvas se aproximan tanto más al eje vertical a medida que la excentricidad relativa disminuye. En el límite, cuando e = 0 tendríamos la


/2005 14

curva quebrada punteada, con lo que el pandeo ideal de Euler resulta ser un caso particular del pandeo real.

Se ve además que las flechas aumentan muy rápidamente cuando la carga P se aproxima a su valor crítico, y todas las curvas tienen por asíntota la línea horizontal P / PE = 1 independientemente de “e”.

Una aclaración importante que debemos realizar es que las curvas anteriores no son totalmente exactas ya que cuando la flecha δ toma valores muy grandes, la ecuación diferencial planteada pierde validez porque “y” ya no representa a la curvatura. No obstante podemos considerar que para el caso de barras de cierta rigidez tales como las usuales en la construcción de estructuras las deformaciones se-rán pequeñas y la simplificación de considerar:

"y)'y1(

"y12

≅+

=ρ

si bien no es exacta matemáticamente es más que suficiente para pequeñas deformaciones.

La consideración de la fórmula completa de la curvatura será indispensable en el caso de aná-lisis de dispositivos de máquinas, por ejemplo. No obstante, el resultado obtenido nos está indicando que cuando la carga se acerca a la de Euler, debido a las grandes deformaciones alcanzadas, el ma-terial llega a la fluencia en la sección más exigida. A partir de ese instante el momento interno perma-nece constante y ya no se equilibra con el externo, que sigue creciendo.

Si el material presenta en su curva tenso – deformación un período de refortalecimiento, cuan-do las tensiones alcanzan esta zona el momento interno vuelve a incrementarse, pero lo hace en forma más lenta que el exterior y ya no lo puede equilibrar.

Finalmente podemos decir que es posible demostrar que las conclusiones anteriores son independientes de la forma de sustentación. Por ello, en la práctica, la rotura siempre sobreviene para una carga P < PE, y esto se debe a la existencia de imperfecciones como las ya indicadas. Ocurre en-tonces que en lugar de existir un fenómeno de bifurcación del equilibrio aparece un problema de flexocompresión.

Fig. 10.14


/2005 15

Si realizamos un ensayo de laboratorio de una pieza comprimida axialmente, y fuese posible

respetar todas las hipótesis de Euler, encontraríamos que la carga se va incrementando paulatinamente sin que se observen flechas, hasta alcanzar el valor de Pcrít, en cuyo caso la barra pandea (se flexa) en forma repentina. Dado que las hipótesis de Euler son muy difíciles de lograr, en la medida en que la carga se incrementa van apareciendo flechas, las que aumentan cada vez más violentamente, produ-ciéndose finalmente el agotamiento de la capacidad resistente de la sección más exigida y el colapso de la pieza.

Por reglamento se determinan las tensiones críticas reales bajo las siguientes hipótesis: 1. La sección constante de la barra tiene la forma representada en la Figura 10.15, con el

punto de paso de la carga según se indica. 2. La compresión actúa en los extremos articulados de la barra y conserva su dirección

durante el pandeo. La magnitud “e” que representa la excentricidad no prevista se determina arbitrariamente mediante la siguiente expresión:

500S

20i

e += (10.42)

i: radio de giro mínimo de la sección S: longitud teórica de la pieza

3. Es válida la hipótesis de Navier – Bernoulli. 4. El acero verifica el diagrama tensión – deformación de la Figura 10.15. 5. La elástica se supone constituida por una semionda senoidal.

De acuerdo con las hipótesis anteriores se deduce a partir de los puntos 1 a 5 la siguiente expresión para vincular la tensión crítica real con la esbeltez:

σ−σ

σ−

σ−σ

σ+

σ−σ

σ−

σπ

=λ3

krF

kr

2

krF

kr

krF

kr

kr

22

.m.005,0

.m.25,0

.m1.

E. (10.43)

donde:

λ

+=500

05,0.317,2m

Fig. 10.15


/2005 16

10.5. CALCULO DE PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN AXIAL

10.5.1. INTRODUCCIÓN Los Reglamentos contienen los fundamentos de cálculo para diferentes casos de inestabilidad

en la construcción metálica. En ellos se distinguen tres tipos de carga de agotamiento: § La carga crítica de Euler Pki § La carga crítica usual de Engesser Pk § La carga crítica real Pkr La dificultad de la determinación teórica de éstas cargas crece en el orden indicado, por esta

razón, en la construcción metálica se utilizan para el dimensionamiento: § La carga crítica real sólo en los casos más sencillos, § La de Engesser en general, § La de Euler en los casos de mayor dificultad. Según la carga crítica que se utilice en el dimensionamiento deberá realizarse alguna de las

siguientes comprobaciones:

kr

kr

k

k

ki

kiP

P P

P P

Pγ

≤γ

≤γ

≤ (10.44)

Donde P: carga que actúa sobre la pieza

γki, γk, γkr: coeficientes de seguridad de Euler, Engesser o real respectivamente. Los coeficientes de seguridad recientemente mencionados deben estar comprendidos dentro

de los límites que por razones de seguridad y economía, así como por los de experiencia y conoci-miento teórico, se establecen, y tanto mayores han de fijarse cuanto más se aparten de la realidad las hipótesis fundamentales admitidas para el cálculo.

Desde el punto de vista práctico es sumamente importante tratar de simplificar al máximo las verificaciones a realizar en los problemas de pandeo. En este sentido, la introducción del concepto de longitud de pandeo permite reducir la mayoría de los problemas de pandeo a la determinación de la carga crítica de una barra recta biarticulada de sección constante y esfuerzo axial constante (barra de Euler)

Por otro lado resulta conveniente que el cálculo de pandeo se realice en forma semejante a o-tros tipos de cálculos donde usualmente se comparan tensiones.

Consecuentemente, las comprobaciones indicadas anteriormente pueden transformarse de la si-guiente manera:

adm c

kr

krkr

kr

k

kk

k

ki

kiki

ki

P

P

P

σ=

γ

σ→σ=

Ω

γ

σ→σ=

Ω

γ

σ→σ=

Ω

(10.45)

σc adm : tensión admisible a la compresión


/2005 17

Esta σc adm se diferencia del σadm ya que éste es sólo función del tipo de material (Acero aleado,

acero común, acero de fundición, cobre, aluminio, hormigón, madera, etc.). En cambio el σc adm es función del tipo de material en primer lugar y luego de las dimensiones geométricas de la barra y su forma de sustentación.

Por ejemplo: una barra de acero común de sección rectangular de 0,10 m × 0,15 m, longitud de 3,00 m y con un extremo empotrado y otro libre, tendrá una σc adm distinto del que corresponde a una barra de sección doble T 200, longitud 5,20 m y con ambos extremos articulados.

O sea que para hallar la carga admisible de una barra debemos conocer previamente su sec-ción, longitud y forma de vinculación además del tipo de material y ver si la tensión actuante no su-pera el valor del σc adm de esta barra.

adm c

Pσ≤

Ω=σ (10.46)

Esta última comprobación parece muy simple pero no lo es. En efecto, la tensión σc adm no

resulta constante como la tensión admisible a la tracción (σadm ). Para no tener que comparar con tensiones que son variables se ha recurrido al siguiente artificio:

σ

σ

σ≤

Ω→

σ

σσ≤

Ω

adm c

adm

adm

adm

admadm c

P .

P

llamando: adm c

adm

σ

σ=ω (coeficiente de pandeo) (10.47)

adm

P.σ≤

Ωω

(10.48)

El coeficiente de pandeo depende de la calidad del material y de la esbeltez de la barra. Sus

valores pueden obtenerse de tablas incluidas en los Reglamentos. Para la construcción de estas tablas se tomó como norma la doble verificación:

kr

kr

ki

ki P

Pγ

σ≤

Ωγ

σ≤

Ω (10.49)

Esto tiene sentido dado que si bien σkr < σki resulta γkr < γki, con lo que no queda establecido

que sea determinante alguna de las dos verificaciones. Para la tensión σki se ha empleado la fórmula de Euler [10.14], y para las tensiones críticas reales se adoptaron las hipótesis indicadas en el artículo anterior.

La ecuación [10.49] es la que se utiliza en las verificaciones prácticas, y aunque resulta muy sencilla, no es una fórmula de dimensionamiento directo. En efecto, dado que el coeficiente ω depende de la esbeltez, y consecuentemente del área de la sección, ésta no puede ser despejada. Por este motivo el dimensionamiento de piezas comprimidas siempre es iterativo.

En la Figura 10.16 y en la Tabla 1, se dan las Tensiones de Pandeo Ideales (de Euler) σki y las Tensiones Reales σkr para diferentes valores de la esbeltez λ. Dividiendo σki por νki = 2,50 y σkr por νkr = 1,50, el MENOR de los dos valores de la tensión obtenidos representa en cada caso, la tensión de


/2005 18

compresión admisible σc adm en la hipótesis de carga 1 (fuerzas principales); en la hipótesis de carga 2 (fuerzas principales y secundarias) hay que aumentar este valor en relación con las tensiones a tracción admisibles2. De los valores σc adm se deducen los coeficientes de pandeo mediante la relación ω = σadm /σc adm .

Tabla 1

σKr σc adm (hipót. carga 1) λ St 37 St 52

σKi St 37 St 52

20 2023 2975 – 1349 1983

30 1941 2832 – 1294 1888

40 1845 2659 – 1230 1773

50 1737 2456 – 1158 1637

60 1617 2231 – 1078 1487

70 1489 1995 4230 993 1330

80 1358 1762 3238 905 1175

90 1229 1546 2559 819 1024

100 1107 1354 2073 738 829

110 994 1186 1713 663 685

120 892 1043 1439 576 576

130 – – 1226 490 490

140 – – 1057 423 423

150 – – 921 368 368

10.5.2. MÉTODOS DE PREDIMENSIONAMIENTO

Para dimensionar una pieza sometida a pandeo, primero se predimensiona y luego se verifica que:

ω

σΩ≤ adm

.P (10.49)

Para predimensionar se adopta primeramente la forma de la sección, en base a consideraciones

técnicas, económicas y comerciales. 2 En asignaturas posteriores se estudian las Hipótesis de Carga 1 y 2.

Fig. 10.16


/2005 19

Alternativas para el predimensionamiento:

a) Iteraciones sucesivas b) Método Dömke c) Método Directo de la DIN 4114. d) Método Variante de la DIN 4114. a) Iteraciones sucesivas:

Consiste en adoptar una sección Ω que como mínimo sea:

adm

Pσ

≥Ω

Con dicho valor se recurre a tabla y se elige una sección con lo cual además del área se tiene el

radio de inercia (i), que permite calcular λ = Sk / i y de tabla λ – ω , obtener un valor del coeficiente de pandeo. Se debe verificar que:

adm

P.σ≤

Ωω

=σ

Si σ > σadm, o bien si σ es bastante inferior a σadm, se debe reiniciar el proceso iterativo.

b) Método Dömke:

Para el caso de secciones geométricamente semejantes se cumple la siguiente relación:

0.cte. λ==ωλ

Existen tablas λ – λ0 (pág. 297 del “El Acero en la construcción”) que para el caso de los

aceros St37 y St52 vinculan la esbeltez con la relación λ0. El procedimiento consiste en adoptar un valor inicial para ω ; por ejemplo ω = 1. Con este

valor se calcula una sección:

adm0

P.1σ

=Ω

Con este dato se va a tabla de perfiles, y se elige el que satisface esta sección, obteniendo un

valor de i0, para luego calcular:

0

k0 i

S=λ

operando

00001.. λ=λ=ωλ

valor que corresponde en la tabla de pág. 297 del Acero en la construcción a un valor de λ real; con este λ real vamos a tabla λ - ω y se obtiene ω. Con este dato del coeficiente de pandeo, se calcula:

admnec

P.σω

=Ω

Con este valor entramos en tabla de perfiles y adoptamos uno (Ω’, i’)


/2005 20

Corresponde verificar, para ello se determina λ’ = Sk / i’ ; se recurre a la tabla λ - ω, se obtiene un ω’. Se calcula:

adm'P'.

σ≤Ω

ω=σ

Si σ > σadm, conviene probar con el perfil inmediato superior. También se puede reiniciar el

proceso, tomando como valor inicial el valor ω’ y calcular ''.0 ωλλ = . Si σ ≤ σadm, ese sería el perfil que satisface al problema. c) Método Directo de la DIN 4114: Para el caso de secciones semejantes, además de que la expresión .cte=ωλ , también lo es la relación:

Ω / i2 = cte. = z (coeficiente de forma)

( ) ( )P

S..z

P

S..

iP

.

i

S.

2

kadm

2

kadm2

admkσ

=σΩ

=Ωσ

=ωλ=ζ

ζ : característica de la barra En manuales existen tablas ζ - ω - λ.

Atento a la forma de la sección, en publicaciones específicas figura el valor del coeficiente z (también puede determinarse haciendo el cálculo de la relación z = Ω / i2 ) Conocido el coeficiente ζ, de la tabla respectiva sacamos un valor para ω. Se calcula:

admnec

P.σω

=Ω

Con la sección necesaria adoptamos un perfil (Ω’, i’). Se calcula λ’ = Sk / i’ y de tabla λ - ω se obtiene un valor de ω’; se verifica entonces que:

adm'P'.

σ≤Ω

ω=σ

d) Método Variante de la DIN 4114:

Si los perfiles considerados para el dimensionado, por ejemplo los perfiles laminados de una serie, no son semejantes geométricamente de manera exacta, el procedimiento indicado en el punto c) sólo es aproximado, y su utilidad depende de la correcta evaluación del coeficiente de forma z. En lugar de estimar un valor para z, puede también estimarse directamente el coeficiente de pandeo y en base a este valor (que lo identificaremos como ω*), calcular una superficie:

admnec

P.σω

=Ω

De una tabla de perfiles se toma un radio de giro i*, con el cual se determina la característica

de la barra:

*.*i

Sk ω=ζ

A este ζ corresponderá en la tabla ζ - ω un valor de coeficiente de pandeo ω, que, en caso de

diferir notablemente de ω*, puede servir como nuevo valor estimado, corregido; pero que, en caso contrario puede emplearse ya para el cálculo de la sección buscada


/2005 21

admnec

P.σω

=Ω

De tabla de perfiles se obtiene (Ω’, i’). Se calcula λ’ = Sk = i’ y de tabla λ - ω se obtiene un

valor de ω’; con el cual debemos verificar:

adm

'P . '

σ≤Ω

ω=σ

ESTABILIDAD II CAPITULO XI: CARGAS DINÁMICAS Y FATIGA

/2005 1

11

CARGAS DINAMICAS Y FATIGA

11.1 CARGAS DINAMICAS

11.1.1 Concepto

Hasta este momento nos hemos ocupado de estudiar las tensiones y deformaciones producidas por las cargas estáticas, es decir, cargas que insumen un tiempo considerable en aplicarse. Las cargas estáticas varían su magnitud de cero a los valores definitivos tan lentamente, que las aceleraciones que en estas condiciones reciben los elementos de las estructuras son despreciablemente pequeñas. Un ejemplo claro de este tipo de carga es la que soporta una columna de un edificio de viviendas, la cual tarda en recibir el total de las cargas gravitacionales aproximadamente dos años, que es el tiempo que usualmente media entre la construcción de la propia columna y la habilitación del edificio.

Cuando una carga se aplica en un período relativamente corto recibe el nombre de “carga dinámica”. Las cargas dinámicas se distinguen de las estáticas por el hecho de originar modificaciones tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que dan lugar, afectando también la forma y límite de rotura de los materiales.

En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de rotura se reduce en forma considerable. Asimismo, las experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de fluencia y de la tensión de rotura. Muchos materiales que frente a cargas estáticas tienen un comportamiento dúctil, en el caso de cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil.

Las cargas dinámicas producidas por el impacto de un cuerpo en movimiento pueden originar en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios. Si la carga dinámica se repite en forma periódica, y su frecuencia coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes que conducen al colapso de la estructura.

La determinación en forma rigurosa de las tensiones que se originan como consecuencia de las cargas dinámicas resulta compleja y en cierto modo, un tanto indefinida. En el caso de solicitaciones estáticas las cargas actuantes pueden determinarse en forma mucho más cierta que en el caso de solicitaciones dinámicas, dónde ocurre una transferencia de una cierta cantidad de energía cinética, la cual en la práctica es muy difícil de cuantificar.

La determinación del estado tensional también depende de la zona de contacto en el impacto y del proceso de variación, en función del tiempo, de las fuerzas de contacto. Un ejemplo de esta situación se presenta en el caso de la colocación de material granular en una tolva, En el instante inicial de contacto la masa granular tiene una forma bastante diferente de la que adquiere cuando ha terminado de caer.

Otro efecto que juega un papel importante en el proceso de choque es la dispersión (disipación) de la energía, lo que es muy difícil de cuantificar. En este sentido, el amortiguamiento que pudieran proveer los vínculos es sumamente importante.

En base a lo que hemos dicho, en la mayoría de los casos se tratan de cuantificar los efectos dinámicos en forma experimental. Para que los cálculos de solicitaciones resulten sencillos se utilizan “cargas estáticas equivalentes”, que no son sino cargas ficticias que actuando estáticamente producen el mismo efecto que las cargas verdaderas actuando en forma dinámica.


/2005 2

Las cargas estáticas equivalentes se obtienen multiplicando las cargas verdaderas por un

“coeficiente de impacto o dinámico”. Este coeficiente depende de numerosas variables, y según ya hemos visto, en la mayoría de los casos se determina en forma experimental. Para ciertos problemas tipo quedan establecidos por los correspondientes reglamentos de cálculo en función de las variables más significativas.

A continuación estudiaremos algunos problemas simples dónde podrá determinarse analítica-mente el coeficiente de impacto, pero para ello deberemos realizar varias hipótesis simplificativas.

11.1.2 Solicitación dinámica axial Consideremos el caso de una barra de sección Ω y longitud L, suspendida de un extremo, y

que soporta en el opuesto el impacto de un peso Q que cae desde una altura h. Como consecuencia del impacto, el trabajo desarrollado por Q será:

)h(QW1 δ+= (11.1)

Consideremos una carga estática P que origina la misma

deformación δ. P sería una carga “estáticamente equivalente”. El trabajo desarrollado por esta carga será:

δ= P21

W2 (11.2)

El trabajo producido en ambos casos deberá ser el mis-mo, con lo que:

21 WW = (11.3)

Si admitimos que el material no supera el límite de pro-porcionalidad, resulta válida la Ley de Hooke, con lo que:

0QhQL2E

)h(QL2

E2

P 22

=−δ−δΩ

→δ+=δΩ

=δ

hE

QL2E

QLE

QL2

Ω+

Ω+

Ω=δ (11.4)

ESTEQL

δ=Ω (11.5)

gh2v = (11.6)

g2v

h2

= (11.7)

L

δ

h

Q

Fig. 11.1


/2005 3

δ++δ=

Ω++

Ω=δ

EST

2

EST

2

gv

11gQL

Ev11

EQL

(11.8)

ϕ = coeficiente de impacto Consideremos a continuación algunos casos particulares: a) h à 0 è v2 à 0

EST2δ=δ (11.9)

Este caso corresponde a una carga instantánea, es decir, que no crece paulatinamente en el tiempo. Según la expresión anterior la deformación originada resulta ser el doble de la que correspondería a una carga estática.

b) h>> δEST è δEST à0

22

C vg2

Q2

mvEEcinética === (11.10)

ELE2

EgQLv C2

ESTEST

22ESTEST Ω

+δ+δ=Ω

+δ+δ=δ

ELE2 C

Ω=δ (11.11)

CCE

LE2

EEL2

LE

LEE

Ω=

Ω=

δ=ε=σ

CEvol

E2=σ (11.12)

En este caso puede verse que la tensión disminuye no solamente si se aumenta el área de la sección transversal sino cuando se aumenta la longitud de la barra.

11.1.3 Solicitación Dinámica por Flexión Consideremos una viga simplemente apoyada de luz L, que recibe en la mitad de su luz el

impacto de una carga concentrada Q que cae desde una altura h. Para este problema realizaremos un análisis similar al efectuado en el ítem anterior.

)fh(QW d1 += (11.13)

d2 Pf21

W = (11.14)

Q

L/2 L/2

fd

h

Fig. 11.2


/2005 4

d3

3

d fL

EI48P

EI48PL

f =→= P: carga estática equivalente (11.15)

0QhQffL

EI24f

L2

EI48)fh(QWW d

2d3

2d3d21 =−−→=+→= (11.3)

gv

fffhEI24

QLEI48

QLEI48

QLf

2

EST2

ESTEST

323·3

d ++=+

+=

ϕ=

++= .f

gfv

11ff ESTEST

2

ESTd (11.16)

ϕ = coeficiente de impacto En este caso se llega a una expresión para el coeficiente de impacto muy similar al problema

anterior, y las conclusiones que se obtienen son semejantes.

a) h à 0 è và 0 è fd = 2.fEST (11.17)

b) h>> δEST

fEST à 0 è gv

ff2

ESTd = (11.18)

hEI24

QLf

3

d = (11.19)

máxmáxmáx

máx yI4

PLy

IM

==σ

dmáx2máxd2d3fy

L

E12f

L

E12I4

PLf

L

EI48P =σ→=→= (11.20)

2máx

3

máx2máx yLIEQh6

hEI24

QLy

LE12

==σ (11.21)

Supongamos que la sección transversal es rectangular de base b y altura d.

Ω=→

Ω=

Ω=⇒===

3I

yy

3y

124

I 2d

y donde ; 12

d)bd(12

bdI

2máx2

máx2máxmáx

23


/2005 5

Qh.Vol

E18Qh.

LE18

máx =Ω

=σ (11.22)

Podemos ver que en este caso la tensión disminuye cuando aumenta el volumen de la pieza

11.1.4 Solicitación dinámica por Torsión. Esta forma de solicitación se presenta en diversos problemas de la técnica. Uno de los más frecuentes es el de los árboles que transmiten potencia, cuando el par motor es

aplicado bruscamente. Un ejemplo de ello lo constituye el acoplamiento de un eje al mecanismo motor mediante un embrague. Cuando el embrague se acciona en forma brusca, la potencia actúa en forma dinámica.

La energía cinética transmitida podemos expresarla como el producto del par torsor Mt por el ángulo de giro φ.

Si θ es el ángulo de torsión específico producido en la pieza entonces el trabajo desarrollado será:

)L(MW t1 θ+φ= (11.23)

Supongamos ahora un momento torsor Mt’ que actuando en forma estática produce un trabajo igual al anterior

2LM

W't

2θ

= (11.24)

Si la sección es circular maciza y el material no supera el período elástico tendremos:

0MLM2

LGIGI'M tt

2PPt =φ−θ−θ→θ=

P

t2

P

t

P

t

GILM2

GILM

GILM

Lφ

+

+=θ (11.25)

P

tS GI

M=θ (ángulo específico de torsión si Mt fuese estático)

( ) L2LLL S2

SS φθ+θ+θ=θ

( )

θφ

++θ=φθ+θ+θ=θL

211L/2

SSS

2SS (11.26)

ϕ = coeficiente de impacto Si el par torsor actúa en forma instantánea φà0 con lo que:θ = 2θS. Vemos entonces que en

forma análoga a lo que ocurre con flexión y esfuerzo axial, la aplicación instantánea del esfuerzo duplica las deformaciones y consecuentemente las tensiones.

Mt

L

Fig. 11.3


/2005 6

11.2 SOLICITACIONES POR FATIGA

11.2.1 Cargas repetidas En algunas estructuras, y especialmente en ele-

mentos de máquinas, los esfuerzos actuantes no son es-táticos sino que actúan en forma dinámica, variable con el tiempo.

En algunos casos particulares de piezas de máquina, si bien las cargas no varían, el movimiento de la pieza hace que las tensiones varíen a través del tiem-po.

Ejemplo clásico de esto último es el eje de un vagón de ferrocarril el cual por su rotación produce la inversión del signo de las tensiones internas.

Consideremos el caso de un eje de dicho vagón que soporta dos cargas iguales en los extremos, según se indica en la figura 11.4. Estas cargas son transmi-tidas a la tierra mediante dos ruedas.

Una sección como la a-a soporta un momento flector M y para un cierto instante, un punto como el A, ubicado en el borde superior de la sección, tendrá u- na tensión normal que será máxima:

rI

Mmáx =σ (11.27)

Transcurrido un cierto tiempo, si el eje gira con una velocidad angular ω, el punto A pasará a la posición A’ de ordenada y = rsen(90-ωt). La tensión será entonces:

)t90sen()t90sen(rI

Mmáx ω−σ=ω−=σ

tcosmáx ωσ=σ (11.28)

La ecuación 11.28 nos muestra que la tensión en el punto A varía cíclicamente según una función cosenoidal de amplitud máxσ .

Otro ejemplo de solicitación cíclica corresponde al mecanismo biela-manivela, donde la biela está sujeta a solicitaciones alternadas de tracción y compresión.

En determinados casos las solicitaciones alternadas ocurren en forma continuada durante períodos largos de tiempo, como en el caso de ejes de locomotoras, cigüeñales, bielas, dientes de engranajes, resortes de válvulas, etc. En otras circunstancias, como en los puentes ferroviarios, la variación de tensiones ocurre en períodos de tiempo cortos y el aumento de las tensiones por sobre el valor de las correspondientes a las cargas estáticas es relativamente reducido.

Cuando sobre un elemento estructural actúan sistemáticamente cargas repetidas o cíclicas, en los lugares dónde existen fuertes concentraciones de tensiones, cuyo origen obedece a irregularidades superficiales, a cambios bruscos de forma, a la existencia de fisuras internas microscópicas o a inclusiones también microscópicas ( granos de escoria en el caso de los metales ), pueden aparecer

d P P

a

a

M

A

A’

o

r

ωt y

σmax

σmax Fig.11.4


/2005 7

grietas que conducen a la destrucción frágil del elemento, aún cuando el material tenga un

comportamiento dúctil bajo cargas estáticas. Por ejemplo para el caso del eje de la fig. 11.4, si en fun-ción del momento actuante en la sección y las características del material dimensionáramos el eje en base a la tensión admisible correspondiente a las cargas estáticas, al someter la pieza a un ensayo veríamos que esta rompe al cabo de un cierto número de ciclos.

La existencia de una discontinuidad en una pieza, sea ésta un orificio, una entalladura, etc., hechos muy comunes en la práctica, da origen a perturbaciones en la distribución de tensiones. Aparecen así las denominadas concentraciones de tensiones, y sus correspondientes diagramas presentan los llamados picos de tensión, originados por grandes deformaciones localizadas en pequeñas zonas de la sección.

El proceso de surgimiento y desarrollo de las grietas en el material sólido, originado por las

cargas cíclicas, se denomina “fatiga del material”. El análisis teórico de la resistencia a la fatiga presenta grandes dificultades. La naturaleza de la

destrucción por fatiga se determina por las particularidades de la estructura molecular y cristalina de la materia. Por lo tanto, el esquema de la materia continua que se aplicó en los temas que hasta ahora se analizaron, en este caso concreto no puede servir de base satisfactoria para la investigación.

Es por esto que resulta necesario, manteniendo todas las suposiciones de la mecánica del cuerpo continuo, ir por el camino de la acumulación de datos experimentales que, permitan elaborar las reglas pertinentes para orientar los cálculos. La agrupación y sistematización de los datos experimentales constituye en la actualidad el contenido de la teoría de la resistencia a la fatiga.

11.2.2 Tipos de tensión en la solicitación por fatiga – Definiciones

Las solicitaciones repetidas pueden clasificarse dentro de dos categorías: a) Pulsatorias (las tensiones varían entre dos extremos sin cambiar de signo) b) Cargas oscilantes (los valores extremos de las tensiones son de distinto signo) A su vez, las cargas pulsatorias se denominan intermitentes si una de las tensiones extremas es

nula, y las cargas oscilantes se dicen alternadas si las tensiones extremas son opuestas. En la figura 11.6 podemos ver ejemplos gráficos de los distintos tipos de cargas recientemente definidas.

Llamaremos máxσ , o tensión superior a la máxima tensión en valor absoluto, y mínσ a la

mínima tensión también en valor absoluto.

σpico

σmedio

Fig. 11.5


/2005 8

Definiremos como tensión media al siguiente valor:

2mínmáx

mσ+σ

=σ (11.29)

y definiremos como amplitud de la tensión dinámica a:

2mínmáx

aσ−σ

=σ (11.30)

Esta última también se conoce como tensión variable o revertida.

Llamaremos coeficiente de ciclo a: máx

mínrσσ

=

Los ciclos con igual valor de r se denominan ciclos semejantes. Para ciclo intermitente à r = 0 Para ciclo alterno simétrico à r = -1 Cualquiera de las cargas que hemos mencionado recientemente puede ser considerada como

resultante de la superposición de dos tensiones: una constante de valor σm y otra alternada de amplitud σa.

La experiencia indica que la resistencia a la fatiga depende sólo de la amplitud de la tensión dinámica σa y del valor de la tensión media, in-fluyendo muy poco la ley de variación entre las tensiones extremas. Para un cierto material dado, la resistencia a la rotura será la misma para cual-quiera de las leyes de variación de la figura 11.7

Quiere decir que para juzgar sobre la resistencia a la fatiga en el caso del ciclo dado, es

suficiente conocer los valores de máxσ y mínσ o bien mσ y aσ

σ σmáx

σm

σmín

t

Carga pulsatoria

σ

σmáx

σm

σmín

t

Carga Oscilante

σ

σmáx

σm

σmín = 0 t

Carga pulsatoria Intermitente

σ

σmáx

σm = 0 σmín

t

Carga pulsatoria Alternada

Fig. 11.6

σ

t

Fig. 11.7


/2005 9

11.2.3 Resistencia a la fatiga. Curva de Wöhler

Definiremos como “resistencia a la fatiga” a la máxima amplitud de la tensión dinámica que superpuesta en ambos sentidos a la tensión media puede actuar un número ilimitado de reiteraciones, sin provocar la rotura del material ni una deformación plástica superior a la admisible.

Existen algunos casos particulares de resistencia a la fatiga: a) Resistencia de oscilación. Corresponde al caso de σm = 0 y σmáx = σmín , La designaremos σA.

Resistencia de pulsación. En este caso una de las tensiones extremas es nula. La designaremos con σU.

La determinación de la resistencia a la fatiga se efectúa experimentalmente, y resulta ser siempre inferior a la resistencia determinada en un ensayo estático.

Para obtener la resistencia a la fatiga se realiza el trazado del denominado Diagrama de Wöhler. Para ello se somete una probeta del material a una carga variable de amplitud σa y tensión σm prefijadas, determinándose el número N de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga. El ensayo se repite para otros valores de σa . Para cada caso se representa en un diagrama el valor de N que ha conducido a la rotura (en escala logarítmica) y la tensión máxima correspondiente al mismo. Se obtiene así una curva asintótica a un valor de σmáx que es precisamente la resistencia de fatiga.

Para N=0 el valor de la resistencia a la fatiga coincide con el valor de la resistencia estática σR. Debido a que algunos materiales son capaces de resistir un número ilimitado de ciclos, se

adopta una resistencia de fatiga convencional, que corresponde a la tensión para la cual el material resiste una cantidad determinada de ciclos, por ejemplo 108.

Hay numerosos factores que influyen en la resistencia a la fatiga. Ya hemos visto que la influencia de los cic los de carga es muy importante, otros factores significativos son la posibilidad de corrosión, la temperatura de trabajo, el endurecimiento en frío, los tratamientos térmicos, la forma de las probetas que se utilizan en los ensayos, etc.

Un resultado importante a tener en cuenta es el siguiente: σR ≥ σU ≥ σA

11.2.4 Diagramas de fatiga La mayor parte de los valores experimentales obtenidos en ensayos de flexión corresponden a

cargas oscilantes alternadas, para las cuales σm = 0, pero en realidad, para una mejor interpretación de los resultados interesa conocer la influencia de σm. Para ello deben disponerse de numerosos resulta-dos experimentales que contemplen la mayor cantidad posible de combinaciones.

Numerosos investigadores han realizado estos ensayos y han obtenido diferentes interpreta-ciones. Las interpretaciones gráficas de los resultados han dado lugar a la definición de los denomina-dos diagramas de fatiga, de los cuales uno muy difundido es el Diagrama de Smith.

Para su construcción se procede de la forma siguiente: sobre un par de ejes coordenados orto-gonales se llevan en abscisas las tensiones medias σm y en ordenadas las tensiones σmáx y σmín .


/2005 10

correspondientes a las respectivas tensiones medias. Las ordenadas definidas por una recta a 45º que pasa por el origen corresponden, lo mismo que las respectivas abscisas, a las tensiones medias σm, y dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud σa. Es decir, que la distancia de cada curva límite a la recta mencionada corresponde al valor de la tensión variable σa, que es la que define a las distintas resistencias de fatiga.

En la figura 11.9 hemos reproducido un diagrama de Smith que obedece a las características de un acero de límite de rotura estática σR = 47 kN/cm2, límite de fluencia σF = 26 kN/cm2 y resistencia de fatiga bajo carga oscilante alternada σA = 19 kN/cm2.

Para un material como el indicado, el

diagrama es simétrico, para el tercer cuadrante en relación al primero, por lo que sólo hemos graficado una parte. En la figura además hemos ubicado las cargas tipos ya estudiadas y se indicaron las zonas de validez para cada una.

Si se entra en el diagrama con un valor de la tensión media σm , del mismo se puede obtener el valor de la resistencia a la fatiga σa . En el diagrama puede verse que en la medida que σm crece, disminuye la resistencia a la fatiga, hasta σm = σR dónde no se admite ninguna carga re-petida.

Para el dimensionamiento de elementos estructurales sometidos a fatiga, la experiencia in-dica que no es conveniente superar el valor del lí-mite de fluencia del material, así es que el diagra-ma de Smith queda limitado a la zona rayada del dibujo. La corrección se realiza en base a lo an-terior y manteniendo la simetría debida.

M

σm

σt

σ*m

Carga oscilante

Carga pulsatoria

Carga Estática

Carga oscilante alternada

Carga pulsatoria intermitente

σ*min

σ*a

σ*máx

σ*a

Co

C

σm

áx=σ

mín

=σm

=σR

σu=

σm

áx

σA

=σm

áx

σA

=σm

áx

B

O

A

A'

C

Fig. 11.9

σt

Fig. 11.10

σA σm

σA

σF

σR

K'

N K

σt

Fig. 11.11

σA

σm

σA

σF

K'

N K

B'

B

Bo

0.8σA

O

A'

A Ko


/2005 11

Finalmente podemos ver que el diagrama queda definido entre dos rectas y dos curvas de

reducida curvatura, las cuales pueden ser reemplazadas sin error, por dos rectas. Esto simplifica el tra-zado del diagrama.

Admitiendo que σa correspondiente a la resistencia pulsatoria intermitente es del orden del 80% de la resistencia σA, bastará conocer σF y σA para poder trazar el diagrama aproximado, el cual queda definido como en el esquema de la figura 11.11.

'00

A'

00

KKKK

8.0BBBB

=

σ==

Otros investigadores han propuesto ciertas leyes que establecen la variación de la tensión variable σa en función de la tensión media σm.

Ley de Goodman: R

m

A

a 1σσ

−=σσ

(11.32)

Ley de Gerber:

2

R

m

A

a 1

σσ

−=σσ

(11.33)

Ley de Soderberg: R

m

A

a K1σσ

−=σσ

(11.34)

Dónde F

RKσσ

=

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

σm/σR

σa/

σA

GerberSoderbergGoodman

Fig. 11.12 Representación gráfica de las tres teorías


/2005 12

11.2.5 Dimensionamiento de piezas sometidas a fatiga

11.2.5.1 Concepto Para realizar el dimensionamiento vamos a considerar válida la Ley de Soderberg, a partir de la

cual obtendremos la expresión correspondiente a la tensión σmáx.

mF

AAm

F

AAmmáx

ammáx

)1( σσσ

−+σ=σσσ

−σ+σ=σ

σ+σ=σ

llamando β = σA / σF tenemos:

mAmáx )1( σβ−+σ=σ (11.35)

La expresión de σmáx depende de σA , que es una tensión de rotura, la que por razones de seguridad deberá ser afectada del correspondiente coeficiente de seguridad.

admadm

madm

adm

m

F

Afat adm

Fadm

admadm

m

adm

A

adm

admm

Afat adm

mA

fat adm

)1()1(

)1()1(

)1(

σ

σσ

β−+β=σ

σσ

β−+σσ

=σ

νσ

=σ

σ

σσ

β−+νσ

σ=

σσ

σβ−+

νσ

=σ

σβ−+ν

σ=σ

ψσ

=σ admfat adm (11.36)

ψ = coeficiente de fatiga Vemos finalmente que un problema de fatiga puede resolverse como un problema de cargas

estáticas, afectando la tensión admisible de un coeficiente que depende de las características del material y de la tensión media.

A continuación analizaremos algunos casos simples de dimensionamiento.

11.2.5.2 Fatiga por solicitación axial Consideremos una pieza sometida a una carga axial P variable entre Pmáx y Pmín.

Ω=σ máx

máxP

( )Ω

=σ→+= mmmínmáxm

PPP

21

P


/2005 13

adm

m

adm

máx

adm

m

adm

máx

admadm

mmáxtrabajo máx

P)1(P

P)1(

P

P)1(

P

σββ−

−β σ

≥Ω→β≤σΩ

β−−σΩ

σ

σΩβ−+β≤

Ω=σ

−

β−

βσ≥Ω

máx

m

adm

máxPP

)11

(1P

(11.37)

Consideremos el caso de un material con σF = 24 kN/cm2 y σA = 12 kN/cm2

21

2412

F

A ==σσ

=β

−

σ≥Ω

máx

m

adm

máxPP

2P

(11.38)

Para el caso en que Pmáx = - Pmín à Pm = 0 à ψ = 2 . Esta situación más desfavorable y corresponde a una carga oscilante alternada.

Para el caso en que Pmín = 0 à Pm = Pmáx / 2 à ψ = 1.5. Si la carga es estática resulta Pmáx = Pmín = Pm à ψ = 1

11.2.4.3 Fatiga por flexión Supongamos una pieza con momento de inercia constante y una sección de ella solicitada por

un momento flector variable entre dos valores límites, Mmáx y Mmín.

( )W

M MM

21

M máxmáxmínmáxm =σ+=

Haciendo un desarrollo semejante al caso del ítem anterior se llega a la siguiente expresión de dimensionamiento:

−

β−

βσ≥

máx

m

adm

máx

MM

)11

(1M

W (11.39)

Si suponemos un material con β = 0.75 entonces:

máx

m

máx

m

MM

31

34

MM

)11

(1

−=

−

β−

β=ψ

Carga estática: ψ = 1.0 Carga intermitente: ψ = 1.17 Carga alternada: ψ = 4/3 ≅ 1.33

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