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Memoria del Trabajo de Fin de Master

Campos de Beltrami generalizados en dominios exteriores

Una aplicacion a la teorıa de estructuras anudadas en

soluciones estacionarias de la ecuacion de Euler 3-D

J. David Poyato Sanchez

26 de junio de 2015

Indice general

Introduccion 5

1. Ecuaciones de los fluidos ideales 91.1. Ecuacion de Euler 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Soluciones estacionarias y campos de Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Estructuras anudadas y conjetura de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Campos de Beltrami generalizados 172.1. Notacion y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Tubos de flujo con retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Esquema iterativo desacoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Existencia y unicidad de fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. Existencia y unicidad de un+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.6. Paso al lımite del esquema iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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4 INDICE GENERAL

Introduccion

El agua y el aire conforman los ejemplos mas comunes de fluidos en la Tierra y son parteesencial de la vida tal y como la conocemos. En su curiosidad intrınseca, la humanidadse ha preguntado desde tiempos inmemoriales por la naturaleza de estos elementos y hatratado de entender cuales son las leyes que rigen su compleja dinamica.

El interes en la mecanica de fluidos ha sido un tema recurrente en fısica y matematicasa lo largo de la historia y se remonta a tiempos de Arquımedes con el estudio de laflotacion (Principio de Arquımedes), da Vinci, que dedico parte de su vida a observacionesy experimentos con fluidos o incluso Daniel Bernouilli. En el ambiente de los fluidos ideales,algunos cientıficos involucrados fueron Euler (a quien se debe la ecuacion de los fluidosperfectos), Laplace, Poisson o d’ Alembert; mientras que en el marco de los fluidos viscososdestacan Newton, Navier, Stokes o Reynolds.

Tan incesante interes por la hidrodinamica ha conducido a generar interesantes tecnicasen matematicas como lo son las integrales singulares, el analisis armonico, o los potencialesde capa, y su uso se ha generalizado a multitud de problemas distintos, al margen de lamecanica de fluidos.

En este trabajo nos centraremos en el estudio de las ecuaciones de Euler de la hidro-dinamica para fluidos ideales, incompresibles y homogeneos. Se trata de un sistema deecuaciones en derivadas parciales cuya solucion modela la evolucion de un fluido en el quelos efectos de la viscosidad se desprecian (fluido ideal), no se comprimen los volumenescuando estos se desplazan en el seno del fluido (incompresible) y por ultimo, la densidad esconstante e igual a 1 por simplicidad (homogeneo). En este ambiente, las lıneas de inves-tigacion son multiples, ocupando desde problemas de caracter mas teorico, relacionadoscon el famoso problema del milenio del Instituto Clay, hasta problemas de caracter maspractico, ligados a aspectos numericos con aplicaciones en ciencias e ingenierıa. Uno delos temas mas interesantes es el estudio de la propagacion de singularidades en mecanicade fluidos y las propiedades geometricas de estas, temas que conciernen a la estructurainterna de la ecuacion de Euler.

Ejemplos de ello son los “vortex patches”, esto es, manchas de vorticidad constanteque ocupan dominios espaciales que evolucionan con el fluido mediante la ecuacion delos contornos dinamicos; del cual se deriva el problema de los “V-states”, consistente enencontrar aquellos vortex patches rotacionalmente invariantes, que rotan respecto a uncentro a velocidad angular constante [1, 2, 4, 5, 8, 18, 22]. Otro ejemplo interesante esentender la evolucion y propiedades geometricas de los “vortex sheets”, que son vortici-

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6 INTRODUCCION

dades con estructura de medidas de Radon concentradas sobre curvas o superficies queevolucionan con el fluido [9, 14, 20, 22, 28, 30]. De igual manera es fundamental compren-der la estructura de las soluciones estacionarias de la ecuacion de Euler 3-D, tema en elque centramos la atencion en el presente trabajo.

Relativo al estudio de soluciones estacionarias, llama la atencion la conjetura de Kelvinsobre estructuras anudadas, por ser un problema abierto desde 1875 aunque recientemen-te resuelto por A. Enciso y D. Peralta-Salas [11, 12]. El problema ya fue motivado en elcaso no estacionario por Helmholtz, quien se planteo el mecanismo que lleva al transportede vorticidad. Esencialmente, Kelvin conjeturo que en los fluidos perfectos estacionariospodrıan aparecer tubos anudados que explicaran la composicion de la materia. Aunquela concepcion atomica de Kelvin era incorrecta, en [11, 12] se responde afirmativamentea la conjetura, justificando la existencia de fluidos estacionarios para los que hay torosinvariantes anudados y en general, lıneas y tubos de vorticidad con cualquier topologıaprescrita. La piedra angular es el estudio de los campos de Beltrami con factor de pro-porcionalidad constante, un tipo de fluidos estacionarios ricos en propiedades geometricasque pueden ser explotadas para este proposito. Llegados a este punto, la pregunta inme-diata es si esta gama de ejemplos puede extenderse a campos de Beltrami generalizados(con factor de proporcionalidad no constante). Aunque en [10] se justifica que de algunamanera son “raros” cabe la esperanza de que sean “estables” y de que se pueda, por argu-mentos perturbativos, construir campos de Beltrami generalizados que posean estructurasanudadas en sus lıneas y tubos de vorticidad.

En vista de que en la literatura no se dispone de un estudio demasiado profundode los campos de Beltrami generalizados que sustente las ideas anteriores, seguiremosfielmente uno de los pocos trabajo recientes al respecto, desarrollado por Kaiser, Neuderty von Wahl [19, 27], donde demuestran, en el ambiente del electromagnetismo, un teoremade existencia de campos de Beltrami generalizados en dominios exteriores y regularidadC1,λ. Nosotros enfocaremos los resultados hacia las soluciones estacionarias de Euler 3-Dy extenderemos los resultados de existencia a Ck,λ. Concretamente, como se vera en elTeorema 2.6.1, encontraremos campos de Beltrami generalizados de clase Ck,λ en dominiosexteriores, cuya direccion en la frontera forme cualquier angulo prescrito con esta, perocuya funcion de proporcionalidad sea lo “suficientemente pequena” cerca de la frontera yen consencuencia, como se vera, fuera de ella. La propiedad interesante de este tipo desoluciones es que poseen tubos de flujo en forma de asa, que emanan de la frontera deldominio exterior para retornar en tiempo “controlado” a esta. Esta estructura geometricaresultara de gran ayuda en el estudio de estructuras anudadas en perturbaciones de camposde Beltrami con factor de proporcionalidad constante.

Para llevarlo a cabo, la lınea de ideas sera la siguiente. Dado que los campos de Beltramigeneralizados son “raros”, en el sentido de que fijado cualquier factor de proporcionalidadno constante, no siempre habra solucion (consultese en [10] una ecuacion diferencial nolineal que los factores de proporcionalidad han de cumplir), consideraremos el factor deproporcionalidad como una nueva incognica, obteniendo un sistema de cuatro ecuaciones ycuatro incognitas susceptible de estar bien planteado. Desacoplaremos el sistema medianteun esquema iterativo en dos sistemas lineales y justificaremos una teorıa de existencia y

INTRODUCCION 7

unicidad en Ck,λ para cada uno de estos. A ello uniremos estimaciones a priori en nuestrassoluciones aproximadas, que permitiran obtener un lımite fuerte en Ck,λ hacia una solucionde la ecuacion de Beltrami. Aunque la idea general es estandar en el analisis de EDPs,nos encontraremos con ciertas dificultades tecnicas anadidas respecto a las que surgieronen [19] debido al aumento del grado de diferenciabilidad requerido.

Las herramientas que usaremos son diversas, pero especialmente, las mas importantesafectan a la teorıa del potencial, las integrales singulares y el analisis armonico. Necesi-taremos comprender la regularidad de los potenciales volumetricos, junto a los de capasimple y capa doble, ası como derivadas suyas. La mayorıa de los resultados son clasicossi se trabaja en dominios acotados y una unica derivada holderiana, aunque en nuestrocaso deberemos estudiar que ocurre en el caso no acotado y de que forma podemos con-trolar mayores ordenes de diferenciabilidad de estos potenciales. En este punto, uniremosresultados clasicos [25, 26] a resultados mas actuales [7, 32].

Por ultimo, aunque no se incluye en el trabajo, el Teorema de existencia 2.6.1, juntoa un resultado de perturbacion que esencialmente es consecuencia del Corolario 2.4.4,conducen, como se menciono previamente, a la extension de los resultados de A. Enciso yD. Peralta-Salas sobre lıneas de vorticidad anudadas en campos de Beltrami generalizadosque son perturbaciones de los los campos de Beltrami con factor de proporcionalidadconstante.

Para concluir, aprovecho estas ultimas lıneas para dar las gracias en primer lugar aD. Alberto Enciso Carrasco, profesor del Instituto de Ciencias Matematicas (ICMAT),por proponerme este interesante trabajo mediante el cual introducirme en el mundo delas soluciones estacionarias de la ecuacion de Euler y las estructuras anudadas. Ası comoa mi tutor, D. Juan Soler Vizcaıno, Catedratico de Matematica Aplicada de la Univer-sidad de Granada, por su enorme ayuda en diversos puntos delicados de algunas de lasdemostraciones que se exponen en este trabajo.

8 INTRODUCCION

Capıtulo 1

Ecuaciones de los fluidos ideales

1.1. Ecuacion de Euler 3-D

La ecuacion de los fluidos ideales, incompresibles y homogeneos de densidad 1 se deducesin mas que usar la segunda ley de Newton [6] cuando asumimos las siguientes hipotesis

Fluido ideal: Las unicas fuerzas que actuan sobre una porcion de fluido son fuerzasnormales con factor de proporcionalidad p(t, x), la presion.

Fluido incompresible: El campo de velocidades u(t, x) es solenoidal, esto es,div u(t, x) = 0, o equivalentemente, su flujo esta formado por transformaciones quepreservan la medida.

Fluido homomogeneo: La densidad ρ(t, x) del fluido es constante en x. Debido alresto de hipotesis podemos asegurar [6] que la densidad es de hecho constante en ty x y por simplicidad suponemos ρ ≡ 1.

Teniendo en cuenta estas consideraciones, la forma diferencial de la ecuacion de Euler 3-Den un dominio regular Ω ⊆ R3, junto con sus condiciones iniciales y de contorno, es laque sigue1

∂u

∂t+ (u · ∇)u = −∇p, x ∈ Ω, t > 0,

div u = 0, x ∈ Ω, t > 0,u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω,+Cond. contorno, x ∈ ∂Ω, t > 0.

(1.1)

Junto al campo de velocidades u(t, x) y a la presion p(t, x), los cuales describen com-pletamente el fluido, una de las magnitudes mas importantes que ayudan a entender sudinamica es el vector vorticidad, ω(t, x), que se define como el rotacional en R3 del campode velocidades u(t, x), es decir,

ω := rotu ≡ ∇u.1Notaremos, como es habitual en mecanica de fluidos, (u · ∇)u = Jac(u)u, siendo Jac(u) la matriz

Jacobiana de u. Ademas, salvo que se diga lo contrario, todos los operadores diferenciales que aparezcansin hacer referencia respecto a que variablen actuan, lo haran respecto de la variable espacial x.

9

10 CAPITULO 1. ECUACIONES DE LOS FLUIDOS IDEALES

Por la interpretacion geometrica del operador rotacional, la vorticidad mide la direccione intensidad de torsion local del fluido entorno a un punto, luego es de esperar que sea uningrediente fundamental para entender su dinamica. Tanto es ası que la evolucion de losfluidos ideales puede entenderse en terminos de la ecuacion de evolucion de la vorticidad,ecuacion que se deduce de tomar rotacionales formalmente en la ecuacion (1.1) [6, 22]

∂ω

∂t+ (u · ∇)ω = (ω · ∇)u, x ∈ Ω, t > 0,

ω(0, x) = ω0(x), x ∈ Ω,+ Cond. contorno, x ∈ ∂Ω, t > 0,

(1.2)

donde como se observa, la presion ha desaparecido en esta formulacion al tomar rotacio-nales.

En cierto sentido, [22], ambas formulaciones son equivalentes; de hecho, la forma dedeterminar u en funcion de ω se logra a partir de la descomposicion de Helmholtz-Hodge[21], que usaremos con mas detalle en el proximo capıtulo. Si asumimos Ω simplementeconexo y que el campo de velocidades decae a cero adecuadamente cerca de ∂Ω, tendremospor dicha descomposicion que

u(t, x) = −∇ϕ(t, x) + rotA(t, x),

siendo ϕ(x) =

1

4π

∫Ω

div u(t, y)

|x− y|dy, x ∈ Ω

A(x) =1

4π

∫Ω

rotu(y)

|x− y|dy, x ∈ Ω.

El primero de los terminos es cero, al ser el fluido irrotacional, mientras que el segundode ellos viene dado en terminos de la vorticidad y por tanto

u(t, x) = rot

(1

4π

∫Ω

ω(t, y)

|x− y|

)

=1

4π

∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)× ω(t, y) dy

=1

4π

∫Ω

x− y|x− y|3

× ω(t, y) dy,

expresion que recibe clasicamente el nombre de ley de Biot-Savart [22, Section 2.4.1].

Puesto que no estamos interesados en la ecuacion de evolucion en sı misma, sino en lassoluciones estacionarias2, concluimos esta breve seccion de introduccion a las ecuaciones ypasamos a hacer una muy breve introduccion de los campos de Beltrami como solucionesestacionarias.

2Soluciones no dependientes de t.

1.2. SOLUCIONES ESTACIONARIAS Y CAMPOS DE BELTRAMI 11

1.2. Soluciones estacionarias y campos de Beltrami

A continuacion nos centramos en las soluciones estacionarias de la ecuacion de Euler3-D (1.1), esto es, en las soluciones de la ecuacion

(u · ∇)u = −∇p, x ∈ Ω,div u = 0, x ∈ Ω,

(1.3)

junto con las respectivas condiciones de contorno.

Sera de interes la siguiente caracterizacion de la ecuacion de Euler 3-D estacionaria enterminos de la funcion de Bernouilli [6].

Proposicion 1.2.1.Consideremos (u, p) solucion de (1.3) y definamos la funcion de Bernouilli B := 1

2|u|2 +p.

Entonces (u,B) es solucion de la ecuacionu× ω = ∇B, x ∈ Ω,ω = rotu ≡ ∇× u, x ∈ Ω,div u = 0, x ∈ Ω.

(1.4)

De igual forma, si (u,B) es solucion de (1.4) y consideramos la presion p := B − 12|u|2,

entonces (u, p) es solucion de (1.3).

Demostracion. Puesto que en el otro sentido la prueba es analoga, nos centramos en laimplicacion (1.3)⇒(1.4). Para ello, partimos de (u, p) solucion de (1.3) y calculamos ∇By u× ω.

1. Por un lado ∇B = Jac(u)Tu+∇p.

2. Por otro lado, escribimos

ω = rotu =

(∂u3

∂x2

− ∂u2

∂x3

,∂u1

∂x3

− ∂u3

∂x1

,∂u2

∂x1

− ∂u1

∂x2

)= (ω1, ω2, ω3).

Entonces, para cualquier vector ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) ∈ R3 se verifica

ξ × ω = (ξ2ω3 − ξ3ω2, ξ3ω1 − ξ1ω3, ξ1ω2 − ξ2ω1) =

0 ω3 −ω2

−ω3 0 ω1

ω2 −ω1 0

ξ.

Pero por la definicion de ωi para i = 1, 2, 3 es claro entonces que 0 ω3 −ω2

−ω3 0 ω1

ω2 −ω1 0

= Jac(u)T − Jac(u).

Es decir

ξ × ω = Jac(u)T ξ − Jac(u) ξ, ∀ξ ∈ R3 =⇒ 3u× ω = Jac(u)Tu− (u · ∇)u.

Por tanto

(u · ∇)u = −∇p⇐⇒ Jac(u)Tu− (u · ∇)u = Jac(u)Tu+∇p⇐⇒ u× ω = ∇B.3Tomemos ξ = u y observemos que (u · ∇)u ≡ Jac(u)u


La anterior caracterizacion de las soluciones estacionarias de la ecuacion de Euler 3-Dlleva a un tipo sencillo de soluciones que son las correspondientes a funcion de BernouilliB = cte, para las cuales la ecuacion se reescribe

u× ω = 0, x ∈ Ω,ω = rotu, x ∈ Ω,div u = 0, x ∈ Ω,

(1.5)

donde la primera de las ecuaciones establece que u y ω son paralelos, dando lugar a lasiguente definicion.

Definicion 1.2.2 (Campos de Beltrami).Un campo u ∈ C1(Ω,R3) se dice que es un campo de Beltrami generalizado con factor deproporcionalidad f ∈ C(Ω) si verifica la ecuacion

rotu = fu, x ∈ Ω,div u = 0, x ∈ Ω.

(1.6)

En caso de que f = λ = cte se dice que u es un campo de Beltrami o campo de Beltramifuerte con factor de proporcionalidad λ.

Aunque es bastante claro por definicion, los campos de Beltrami y las solucionesestacionarias de Euler 3-D se relacionan como sigue.

Proposicion 1.2.3.

1. Todo campo de Beltrami generalizado es solucion (estacionaria) de la ecuacion deEuler 3-D (1.5).

2. Toda solucion (estacionaria) u de (1.5) con u(x) 6= 0, ∀x ∈ Ω es un campo deBeltrami generalizado.

3. Todo campo de Beltrami generalizado satisface u ·∇f = 0, esto es, f es una integralprimera de u.

4. Para f(x) 6= 0, ∀x ∈ Ω se tiene que u es un campo de Beltrami generalizado confactor de proporcionalidad f si, y solo si,

rotu = fu, x ∈ Ω,u · ∇f = 0, x ∈ Ω.

(1.7)

5. En consecuencia, para λ 6= 0, u es un campo de Beltrami de factor de proporciona-lidad λ si, y solo si, rotu = λu.

Demostracion.

1.3. ESTRUCTURAS ANUDADAS Y CONJETURA DE KELVIN 13

1. Es claro que rotu y u son paralelos, luego entonces u× ω = 0.

2. En este caso, para cada x ∈ Ω existen α(x), β(x) ∈ R, siendo alguno de los dos nonulos, de manera que

α(x)ω(x) + β(x)u(x) = 0.

Como u no se anula, entonces α(x) 6= 0 y despejando y definiendo f = −βα

se tieneel resultado.

3. Tomando divergencias en la primera ecuacion

0 = div(fu) = u · ∇f + f div u.

Puesto que div u = 0 se tiene que u · ∇f = 0.

4. Una de las implicaciones siempre es cierta por lo anterior, probemos la otra. Paraello,

0 = div(fu) = u · ∇f + f div u = f div u⇐⇒ 4 div u = 0.

5. Se sigue facilmente del apartado anterior.

1.3. Estructuras anudadas y conjetura de Kelvin

Antes de mostrar los resultados de [11, 12] donde se justifica la conjetura de Kelvin,presentamos notacion que sera util a lo largo de la seccion y del proximo capıtulo.

Definicion 1.3.1 (Lineas y tubos de flujo y vorticidad).Consideremos u : R+

0 ×Ω −→ R3 el campo de velocidades de un fluido en un dominioΩ ⊆ R3, ω = rotu su vorticidad y fijemos t ∈ R+

0 .

1. Se llaman lıneas de flujo del fluido a tiempo t (o lıneas de corriente) a las lıneasintegrales del campo u(t, ·), es decir, a las soluciones del sistema de EDOs

dX

ds= u(t,X(s)), s ∈ R+

0 ,

X(s0) = x0,

que denotaremos Xt(s; s0, x0). Por definicion, son curvas en las que el campo develocidades en el instante t es tangente.

2. Se llaman lıneas de vorticidad del fluido en el instante t a las lıneas integrales delcampo ω(t, ·), es decir, a las soluciones del sistema de EDOs

dY

ds= ω(t, Y (s)), s ∈ R+

0 ,

Y (s0) = x0,

que denotaremos Yt(s; s0, x0). Por definicion, son curvas en las que la vorticidad enel instante t es tangente.

4Por hipotesis f(x) 6= 0, ∀x ∈ Ω.


En el caso de un fluido estacionario, no es necesario indicar el instante de tiempo alque se refieren las lıneas de flujo y de vorticidad y por tanto simplificamos la notacionllamando X(t; t0, x0) e Y (t; t0, x0) a dichas lıneas de flujo y vorticidad respectıvamente.Otro concepto paralelo es el que sigue.

Definicion 1.3.2 (Tubos de flujo y de vorticidad).Consideremos u : R+

0 ×Ω −→ R3 el campo de velocidades de un fluido en un dominioΩ ⊆ R3, ω = rotu su vorticidad y fijemos t ∈ R+

0 . Sea T ⊆ R3 un tubo (cerrado), esto es,la region interior de un toro embebido de forma diferenciable en el espacio euclideo, ∂T .Entonces,

1. Diremos que T es un tubo de flujo del fluido en el instante t cuando ∂T es unionde lıneas de flujo del fluido en el instante t.

2. Diremos que T es un tubo de vorticidad del fluido en el instante t cuando ∂T esunion de lıneas de vorticidad del fluido en el instante t.

De nuevo, en un fluido estacionario, no es necesario especificar el instante de tiempoal que se refiere y hablaremos simplemente de tubos de flujo y de vorticidad del fluido.

1.3. ESTRUCTURAS ANUDADAS Y CONJETURA DE KELVIN 15

La manera mas natural de construir un toro embebido de forma diferenciable en R3

[11] consiste en partir de una curva cerrada Γ ⊆ R3, ε > 0 suficientemente pequeno ydefinir el entorno tubular

Tε(Γ) := x ∈ R3 | dist(x,Γ) < ε.

Una vez disponemos de la notacion necesaria, el resultado de existencia de fluidosestacionarios con tubos y lıneas de flujo anudadas de cualquier topologıa se enuncia comosigue.

Teorema 1.3.3.Sean Γ1, . . . ,ΓN curvas cerradas de R3 anudadas pero dos a dos disjuntas. Para ε > 0 su-ficientemente pequeno, existe Φ : R3 −→ R3 difeomorfismo de clase C∞(R3,R3), tan cercade la identidad en cualquier norma Cm como se quiera, de manera que si consideramoslos tubos diferenciablemente embebidos en R3

Tε(Γ1), . . . , Tε(ΓN),

entonces sus imagenes por el difeomorfismo Φ

Φ(Tε(Γ1)), . . . ,Φ(Tε(ΓN)),


son tubos de vorticidad de algun campo de Beltrami u con factor de proporcionalidadconstante λ. Ademas, para cada m ∈ N existe Cm > 0 de modo que

|Dαu(x)| ≤ Cm|x|

, ∀ |x| ≥ R0, ∀ |α| = m,

y u tiene las siguientes propiedades en cada tubo de vorticidad Φ(Tε(Γi))

1. En cada Φ(Tε(Γi)) hay una cantidad no numerable de toros invariantes de u anida-dos. Ademas, u es ergodico en cada tubo.

2. El conjuto de toros invariantes tiene medida Lebesgue positiva en un entorno pequenode la frontera ∂Φ(Tε(Γi)).

3. En la zona acotada entre cada par de toros invariantes dentro de Φ(Tε(Γi)) hayinfinitas lıneas de vorticidad de u, no necesariamente de la misma topologıa que lacurva Γi.

4. Φ(Γi) es una lınea de vorticidad de u periodica.

Demostracion. La compleja demostracion de este resultado puede consultarse en [11, 12].Nosotros, nos reducimos en su lugar a comentar las partes fundamentales de la pruebatal y como se discute en las secciones previas de dicho artıculo.

La primera parte consiste en ganar regularidad extra en las curvas cerradas Γi per-turbando estas ligeramente hasta hacerlas analıticas. Una vez ganada dicha regularidad,comenzamos construyendo un campo de Beltrami local definido en un entorno de cadatubo de vorticidad cerrado. La demostracion podrıa intentarse por ideas de tipo Cauchy-Kowalewsky para el rotacional y datos analıticos sobre el toro, pero surgen algunas li-mitaciones que llevan a considerar el problema, no como problema de Cauchy sino comoproblema de contorno para el operador rotacional en cada tubo.

Mientras que se puede prescribir el valor de la coordenada normal en la frontera decada tubo Φ(Tε(Γi)), controlar las partes tangentes es un asunto mas delicado que seresuelve mediante un analisis mas cuidadoso de los campos armonicos sobre tubos.

A continuacion se demuestra que estos toros invariantes Φ(Tε(Γi)) son estables frentea pequenas perturbaciones del campo de Beltrami local y para los cuales se mantienentoros invariantes difeomorfos a ∂Tε(Γ1), . . . , ∂Tε(ΓN).

Por ultimo, se aproxima el campo de Beltrami local, en cada norma Cm, por un campode Beltrami global con caıda optima en infinito entre todas las admisibles para un campode Beltrami. La estabilidad anterior asegura que el nuevo campo de Beltrami global tienetoros invariantes difeomorfos a los originales y que el difeomorfismo es tan proximo enCm a la identidad como se quiera.

Capıtulo 2

Campos de Beltrami generalizados

En el capıtulo anterior, ha quedado de manifiesto la extrema importancia de los camposde Beltrami con factor de proporcionalidad constante en la comprension de la estructurainterna de la ecuacion de Euler de los fluidos ideales e incompresibles en 3 dimensiones.Como se dijo, por medio de campos de Beltrami, A. Enciso y D. Peralta-Salas [11] consi-guen justificar la existencia de soluciones estacionarias de la ecuacion cuyas lıneas y tubosde vorticidad presentan cualquier tipo de topologıa prescrita, dando respuesta positiva ala celebre conjetura de Kelvin sobre estructuras anudadas. En consecuencia, los camposde Beltrami con factor de proporcionalidad constante han resultados herramientas pode-rosas para analizar la estructura de los fluidos estacionarios.

De esta forma, cabe pensar que una mejor compresion de los campos de Beltrami ge-neralizados permitira alcanzar un mayor grado de entendimiento de la ocurrencia de estetipo de estructuras anudadas. No obstante, si consultamos en la literatura, los camposde Beltrami generalizados no han sido estudiados en la suficiente profundidad como paraencontrar aplicaciones adecuadas al ambiente de los fluidos estacionarios. De hecho, almargen de algunos ejemplos explıcitos con algun tipo de simetrıa espacial, no se dispo-nen de muchos mas ejemplos. Esto induce pensar que el estudio de campos de Beltramigeneralizados es un tema clasico de gran envergadura dada la escasa literatura efectiva alrespecto.

Muy recientemente, A. Enciso y D. Peralta-Salas [10], motivados por sus resultadosprevios, inician un estudio preliminar de la estructura de este tipo de campos y se pre-guntan cuales son los factores de proporcionalidad f para los que hay campos de Beltramigeneralizados asociados no triviales. Una observacion importante de Morgulis, Yudovichy Zaslavsky [23] es precisamente algo que vimos previamente en la proposicion 1.2.3, estoes, que los campos de Beltrami generalizados con tal factor de proporcionalidad f no cons-tante tienen una integral primera global. Pero la existencia de integrales primeras globaleses una restriccion demasiado fuerte en un campo de vectores, lo cual lleva a pensar queposiblemente, “casi ningun” factor de proporcionalidad no constante f admite camposde Beltrami no triviales. En [10] A. Enciso y D. Peralta-Salas llegan precisamente a esainteresante conclusion. Lo que demuestran concretamente, interpretando los campos deBeltrami generalizados como solucion de una ecuacion de evolucion sobre una superficie,es que aquellos factores de proporcionalidad para los que hay campos de Beltrami gene-

17

18 CAPITULO 2. CAMPOS DE BELTRAMI GENERALIZADOS

ralizados no triviales son una clase de funciones incluidas en el nucleo de un operadordiferencial no lineal explıcito, aunque algo complejo, con codimension infinita en Ck [10,Theorem 1.1]. De esa forma, se consigue una condicion necesaria que f debe verificar encaso de admitir campos de Beltrami no triviales.

Una vez sabemos que los campos de Beltrami generalizados son “escasos”, cabrıa pen-sar que estos deben de ser de escasa ayuda para los propositos mencionados previamente.No obstante, aun cabe la posibilidad de que aunque sean escasos, sean por otro lado es-tables. Si lo fueran, partiendo de un campo de Beltrami con factor de proporcionalidadconstante, podrıamos analizar si perturbando de cierta manera el factor de proporciona-lidad y el campo, conseguimos campos de Beltrami generalizados.

Esta es la idea general que perseguiremos en el resto del trabajo. Seguiremos fielmentelos artıculos de Kaiser, Neuder y von Wahl [19, 27] donde por primera vez se demuestrala existencia de solucion de la ecuacion de Beltrami en dominios exteriores en C1,λ ytrataremos de llevar a cabo un analisis algo mas delicado que nos permita extender susresultados para conseguir existencia en Ck,λ cualquiera que sea k ≥ 1 sin mas que permitiral factor de proporcionalidad ser lo “suficientemente pequeno” cerca de la frontera. Paraello, un analisis mas sofisticado de la regularidad Holder de los potenciales de capa simpley volumetricos para el laplaciano en dominios exteriores sera fundamental. Nos basaremostanto en referencias mas actuales [7, 32] como en otras algo mas clasicas [25, 26] para esteproposito.

2.1. Notacion y preliminares

Comenzamos presentado la notacion que usaremos de aquı en adelante. Para masdetalle consultese [15, 19]. Consideremos G ⊆ R3 un dominio Ck simplemente conexo yacotado y consideremos el dominio exterior

Ω := Ext(G) = R3 \G.

Llamemos S := ∂G = ∂Ω a la superficie Ck que bordea el dominio y n su vector normalunitario exterior. Para Σ ⊆ S un abierto de S, una parametrizacion local Ck de Σ es unembebimiento Ck de un abierto1 D ⊆ R2 en R3

µ : D −→ R3

s 7−→ µ(s),

con µ(D) = Σ y tal que para cada s ∈ D son linealmente independientes los vectores∂µ∂s1

(s), ∂µ∂s2

(s)

, esto es,

∂µ

∂s1

(s)× ∂µ

∂s2

(s) 6= 0, ∀s ∈ D.

1Por cuestiones tecnicas que se veran mas adelante, es util trabajar con D convexo, esencialmentepara que sea aplicable el teorema del valor medio. No obstante, es posible salvar esta dificultad en casode que D no sea convexo gracias al resultado de extension de la proposicion 2.1.4.

2.1. NOTACION Y PRELIMINARES 19

Por un lado, supondremos ademas que podemos extender µ de manera que

µ : D −→ Σs 7−→ µ(s),

sea un homeomorfismo, que todas las derivadas hasta orden k admitan extension continuaa la frontera D y que por otro lado se verifique∣∣∣∣ ∂µ∂s1

(s)× ∂µ

∂s2

(s)

∣∣∣∣ ≥ ρ1 > 0, ∀s ∈ D.

A continuacion presentamos los espacios que usaremos de aquı en adelante. Llamare-mos para Ω ⊆ R3 nuestro dominio exterior (o bien un abierto en general)

Bk(Ω) := f ∈ Ck(Ω) |Dαf esta acotada ∀α multiındice con |α| ≤ k,

dotado de la norma

‖f‖Bk(Ω) :=k∑

m=0

max|α|=m

‖Dαf‖L∞(R3), ∀f ∈ Bk(R3).

De igual manera sera necesario en ocasiones trabajar con el subespacio cerrado

Bk(Ω) := f ∈ Bk(Ω) |Dαf tiene extension continua a Ω ∀|α| ≤ k.

Tambien trabajaremos con funciones Holder-continuas. Para ello, diremos que unafuncion f : Ω −→ R es λ-Holder para 0 < λ ≤ 1 cuando

[f ]λ,Ω = supx, y ∈ Ωx 6= y

|f(x)− f(y)||x− y|λ

< +∞.2

Definimos entonces

Ck,λ(Ω) := f ∈ Bk(Ω) : [Dαf ]λ,Ω < +∞, ∀|α| = k,

dotado de la norma‖f‖Ck,λ(Ω) := ‖f‖Bk(Ω) + max

|α|=k[Dαf ]λ,Ω.

y de manera analoga consideremos el subespacio cerrado

Ck,λ(Ω) := f ∈ Bk(Ω) : [Dαf ]λ,Ω < +∞, ∀|α| = k.

De igual manera, estamos interesados en espacios similares a los anteriores definidossobre abiertos Σ de la superficie S = ∂Ω = ∂G. Para µ : D −→ Σ una parametrizacionlocal Ck definiremos entonces

Bk(Σ, µ) := f ∈ Ck(Σ) : f µ ∈ Bk(D)2[·]λ,Ω se denomina la seminorma λ-Holder


y definimos la norma

‖f‖Bk(Σ,µ) := ‖f µ‖Bk(D) =k∑

m=0

max|α|=m

‖Dα(f µ)‖L∞(D).

Tambien consideraremos el subespacio cerrado

Bk(Σ, µ) := f ∈ Bk(Σ, µ) : Dα(f µ) tiene extension continua a D ∀|α| ≤ k

De manera analoga

Ck,λ(Σ, µ) := f ∈ Bk(Σ, µ) | [Dαf ]λ,Σ,µ < +∞,

donde[Dαf ]λ,Σ,µ := [Dα(f µ)]λ,D,

y dotamos Ck,λ(Σ, µ) de la norma

‖f‖Ck,λ(Σ,µ) := ‖f‖Bk(Σ,µ) + max|α|=k

[Dαf ]λ,Σ,µ,

y el subespacio cerrado

Ck,λ(Σ, µ) := f ∈ Bk(Σ, µ) | [Dαf ]λ,Σ,µ < +∞.

Como es sabido, los espacios normados

Bk(Ω), Ck,λ(Ω), Bk(Σ, µ), Ck,λ(Σ, µ) y Bk(Ω), Ck,λ(Ω), Bk(Σ, µ), Ck,λ(Σ, µ)

son espacios de Banach, esto es, son completos.

Por ultimo, denotaremos los subespacios de los espacios anteriores formados por fun-ciones de soporte compacto en Ω o Σ respectivamente mediante

Bkc (Ω), Ck,λc (Ω), Bkc (Σ, µ), Ck,λ

c (Σ, µ).

Ademas, suprimiremos µ al denotar los espacios anteriores siempre que este clarorespecto de la parametrizacion a la que estamos trabajando.

Proposicion 2.1.1.Consideremos O ⊆ R3 abierto acotado. Entonces

Bkc (O) ⊆ Cm,λc (O), ∀ 1 ≤ m < k, ∀0 < λ ≤ 1.

y ademas, para cada f ∈ Bkc (O), cada 1 ≤ m < k y cada 0 < λ ≤ 1, se tiene

‖f‖Cm,λ(O) ≤ ‖f‖Bm(O) +√

3 diam(O)1−λ max|α|=m+1

‖Dαf‖L∞

≤ (1 +√

3 diam(O)1−λ)‖f‖Bm+1(O) ≤ (1 +√

3 diam(O)1−λ)‖f‖Cm+1,λ(O).


Demostracion. Basta con extender f por cero3 a todo R3 y estimar para |α| = m laseminorma [Dαf ]m,O aplicando a Dαf el teorema del valor medio y la acotacion de lasderivadas de orden m+ 1. Concluimos por definicion de las normas sin mas que tener encuenta que como O es acotado entonces

|x− y| = |x− y|1−λ|x− y|λ ≤ diam(O)1−λ|x− y|λ, ∀x, y ∈ O.

Otro resultado totalmente trivial, pero que usaremos sistematicamente en el trabajo,es el siguiente.

Lema 2.1.2.Consideremos O ⊆ R3 un abierto y sea f ∈ Ck,λ

c (O). Entonces, para todo abierto O ⊇ O

se tiene que f ∈ Ck,λc (O) y ademas

‖f‖Ck,λ(O) = ‖f‖Ck,λ(O).

Demostracion. Es claro que basta hacerlo para k = 0 pues el resto de casos se deducende este razonando sobre las derivadas de orden k como sigue. Para ello, consideremos doselementos x, y ∈ O. Salvo excluir casos simetricos, pueden ocurrir tres situaciones:

1. En caso de que x, y ∈ O

|f(x)− f(y)| ≤ [f ]λ,O|x− y|λ.

2. En caso de que x, y /∈ O

|f(x)− f(y)| = |0− 0| = 0.

3. Por ultimo, si x ∈ O pero y /∈ O consideremos

t∗ = supt ∈ [0, 1] | (1− t)x+ ty ∈ O, z∗ = (1− t∗)x+ t∗y /∈ O.

En tal caso, por continuidad

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− f(z∗)|+ |f(z∗)− f(y)|︸︷︷︸0

≤ [f ]λ,O|x− z∗|λ ≤ [f ]λ,O|x− y|λ 4

Con esto probamos la desigualdad

‖f‖Ck,λ(O) ≤ ‖f‖Ck,λ(O).

Puesto que la desigualdad contraria es obvia por definicion, tendremos la igualdad.

3Observese que dicha extension es Bkc (R3) porque f tiene soporte compacto.4Tengase en cuenta que |x− z∗| = |x− (1− t∗)x− t∗y| = |t∗(x− y)| ≤ |x− y| porque 0 ≤ t∗ ≤ 1.


Tambien sera interesante saber extender a todo R3 funciones de Ck,λ(Ω) de formaque se siga manteniendo una estimacion de las normas Ck,λ(R3) de las extensiones enterminos de las normas Ck,λ(Ω) de las funciones originales. El resultado es clasico en elanalisis en espacios de Sobolev siempre que el dominio Ω tenga borde suficientementeregular. El mismo resultado es valido en Ck,λ(Ω) siempre que Ω sea un dominio Ck,λ

con frontera acotada. Por completitud enunciamos en que sentido decimos que nuestrosdominios tienen regularidad Holder.5

Definicion 2.1.3.Sea O ⊆ R3 un abierto con borde ∂O acotado. Diremos que O es un abierto de clase Ck,λ

(o que ∂O es de clase Ck,λ) cuando para cada6 x ∈ ∂O existe un entorno abierto Ux ⊆ R3

de x, un abierto Vx ⊆ R3 y una aplicacion biyectiva

Φx : Ux −→ Vx,

verificando las propiedades

1. Φx ∈ Ck,λ(Ux,R3) y Φ−1x ∈ Ck,λ(Vx,R3).

2. Φx(Ux ∩ ∂O) = D(0, 1)× 0 =: D0.

3. Φx(Ux ∩O) = B(0, 1) ∩ x3 > 0 =: B+0 .

El resultado prometido sobre extension de funciones con regularidad Holder se enunciaen los siguientes terminos.

Proposicion 2.1.4.Sea O ⊆ R3 un abierto Ck,λ y consideramos un abierto O′ ⊆ R3 tal que O ⊆ O′. Entoncesexiste una constante CP = C(k,O,O′) > 0 y una aplicacion lineal

P : Ck,λ(O) −→ Ck,λc (O′)

f 7−→ P (f) ≡ f,

de forma que

1. P es un operador de prolongacion, es decir,

P (f) = f en O, ∀f ∈ Ck,λ(O).

2. P es continuo en la topologıa Ck,λ, es decir,

‖P(f)‖Ck,λ(O′) ≤ CP‖f‖Ck,λ(O), ∀f ∈ Ck,λ(O).

5A lo largo de la literatura pueden encontrarse diversas definiciones, no todas equivalente. Nosotrosseguiremos la noracion clasica de [15].

6Observese que como ∂O es compacto basta con dar la condicion anterior en tan solo una cantidadfinita de puntos de ∂O.


3. P es continuo en la topologıa Bm para 0 ≤ m ≤ k, es decir,

‖P(f)‖Bm(O′) ≤ CP‖f‖Bm(O), ∀f ∈ Ck,λ(O).

Demostracion. [15, Chapter 6, Appendix 2, Lemma 6.37].

Aunque es estandar en ecuaciones diferenciales, fijamos la notacion que usaremos paradenotar el flujo de un campo de vectores en el siguiente resultado, dado que la emplearemossistematicamente.

Proposicion 2.1.5.Sea O ⊆ R3 un abierto de clase Ck,λ, con k ≥ 1 y 0 < λ ≤ 1, y consideremos un campou ∈ Ck,λ(O,R3) y u = P(u) ∈ Ck,λ(R3,R3) su extension segun la Proposicion 2.1.4.Consideremos para cada x0 ∈ R3 y cada t0 ∈ R el PVI7

dX

dt= u(X), t ∈ R,

X(t0) = x0.(2.1)

Dicho problema tiene solucion unica definida en todo R, que denotaremos X(t; t0, x0) yademas, para cada t, t0 ∈ R se tiene que X(t; t0, ·) es un difeormorfismo de R3 de claseCk con inverso X(t0; t, ·).

Por otro lado, tomando t0 = 0 y x0 ∈ O llamaremos T (x0) ≥ 0 al tiempo mas grandepara el que la lınea de flujo X(t; 0, x0) permanece dentro de O a partir de t = 0 (esto es,X(t; 0, x0), t > 0 es lınea de flujo de u) o en sımbolos

T (x0) := supT > 0 : X(t; 0, x0) ∈ O, ∀0 < t ≤ T.8

Demostracion. Puesto que u ∈ C1(R3,R3) hay existencia y unicidad de solucion maxi-mal por el Teorema de Cauchy-Picard-Lindeloff. Dado que u ∈ L∞(R3,R3) y por tantoes de crecimiento sublineal9, tenemos que el intervalo maximal de definicion es todo R.La existencia y unicidad de solucion de la ecuacion anterior concluyen que las aplicacio-nes de Poincare X(t; t0, ·) son biyectivas y la regularidad Ck se deduce del Teorema dediferenciabilidad de Peano.

Junto con las lıneas de flujo, otra estructura geometrica imprescindible en el analisisque elaboraremos mas adelante son los tubos de flujo, concepto que definimos a continua-cion.

7Cuando u representa un campo de velocidades, o mas generalmente, un campo de transporte, dichoPVI recibe el nombre de sistema caracterıstico y sus soluciones, llamadas lıneas de corriente o tambienlıneas de flujo, representan las trayectorias de las partıculas del fluido, que se mueven con dicho campode velocidades.

8Observese que si X(t; 0, x0) /∈ O, ∀0 < t ≤ T para algun T > 0 entonces T (x0) = 0, esto es, lacorrespondiente lınea de flujo no entra inicialmente en O.

9u se dice que tiene crecimiento sublineal si existen constantes A,B > 0 tales que |u(x)| ≤ A|x| +B, ∀x ∈ R3 .


Definicion 2.1.6.Supongamos que S es de clase Ck,λ y u ∈ Ck,λ(Ω,R3) con k ≥ 1 y 0 < λ ≤ 1. Sea Σ ⊆ R3

abierto de S con parametrizacion local µ : D −→ Σ. Llamaremos tubo de flujo de u conbase Σ a

T (Σ, u) := X(t; 0, µ(s)) | s ∈ D, 0 < t < T (µ(s)).El tubo de flujo de u con base Σ y altura T se define como

T (Σ, u, T ) := X(t; 0, µ(s)) | s ∈ D, 0 < t < mınT, T (µ(s)).

El marco en el que trabajaremos de aquı en adelante incluye todas las hipotesis pre-sentadas hasta ahora. Por simplicidad en el enunciado de los resultados posteriores, re-cordamos cuales son todas ellas:

Supondremos que G un dominio simplemente conexo y acotado, Ω su regionexterior, tambien simplemente conexa de clase Ck+5 con k ≥ 1 y 0 < λ ≤ 1.Denotaremos S = ∂G = ∂Ω a la frontera y n al vector normal unitario exterior.Consideraremos Σ ⊆ S abierto y una parametrizacion local µ : D −→ Σ deΣ de clase Bk(D,R3) que se extiende homeomorficamente hasta la clausura ycumple ∣∣∣∣ ∂µ∂s1

(s)× ∂µ

∂s2

(s)

∣∣∣∣ ≥ ρ1 > 0, ∀s ∈ D.

(2.2)

Aunque en casi todos los resultados del trabajo nos bastara con S de clase Ck,λ,en cierto punto de la demostracion de 2.5.6 sera necesario este aumento de regularidadcuando queramos estudiar la regularidad de los potenciales de capa simple newtonianos.

Puesto que sera imprescindible en multiples estimaciones, el siguiente resultado estudiala regularidad del flujo que emana del abierto Σ ⊆ S, parametrizando el correspondientetubo de flujo T (Σ, u).


Proposicion 2.1.7.Sean G,Σ, µ con las propiedades (2.2) y supongamos que existe ρ0 > 0 de modo queu · n ≥ ρ0 en Σ. Entonces, por cada punto de Σ sale una lınea de flujo dentro del tubo deflujo T (Σ, u) y ademas las lıneas de flujo folian el tubo de flujo de forma diferenciable.Es decir, si consideramos

D(Σ, u) := (t, s) | s ∈ D, 0 < t < T (s),

y la aplicacionγ : D(Σ, u) −→ T (Σ, u)

(t, s) 7−→ γ(t, s) := X(t; 0, µ(s)),

entonces

1. Para cada s ∈ D se tiene T (s) > 0.

2. γ es biyectiva.

3. γ es un difeomorfismo con γ y γ−1 de clase Ck.

4. Jac(γ) y Jac(γ)−1 son de clase Ck−1,λ localmente en t, esto es, existe una funcionseparadamente creciente10 κ : R+

0 ×R+0 −→ R+

0 , de manera que si para T > 0definimos

D(Σ, u, T ) := (t, s) | s ∈ D, 0 < t < mınT, T (s)

y consideramosγ|D(Σ,u,T ) : D(Σ, u, T ) −→ T (Σ, u, T ),

entonces

‖ Jac(γ)‖Ck−1,λ(D(Σ,µ,T )), ‖ Jac(γ)−1‖Ck−1,λ(T (Σ,µ,T )) ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

), ∀T > 0.

Demostracion. 1. La primera parte se sigue facilmente puesto que u(µ(s)) (que es lavelocidad inicial de la correspondiente lınea de flujo) apunta hacia afuera de G ypor tanto, un pequeno segmento de la lınea de flujo se encuentra en Ω, dando lugara que T (s) > 0.

2. De la segunda parte, la sobreyectividad se sigue por definicion de T (Σ, u). Noscentramos por tanto en justificar la inyectividad de γ. Para ello, consideremos(t1, s1), (t2, s2) ∈ D(Σ, u) con (t1, s1) 6= (t2, s2) y veamos que γ(t1, s1) 6= γ(t2, s2).

En caso de que s1 6= s2, supongamos por reduccion al absurdo que γ(t1, s1) =γ(t2, s2) y por tanto

X(t1; 0, µ(s1)) = X(t2; 0, µ(s2)).

Supongamos que t2 ≥ t1 (el otro caso es analogo) y definamos las aplicaciones

x(t) := X(t; 0, µ(s1)), y(t) := X(t+ (t2 − t1); 0, µ(s2)).

10Creciente en cada variable.


Como el sistema (2.1) es autonomo11 tendremos que tanto x(t) como y(t) sonsoluciones de la misma ecuacion diferencial ordinaria. Ademas

x(t1) = X(t1; 0, µ(s1)) = X(t2; 0, µ(s2)) = y(t1).

Por unicidad de solucion concluimos que x(t) = y(t), ∀t ∈ R y por tanto

X(t; 0, µ(s1)) = X(t+ (t2 − t1); 0, µ(s2)), ∀t ∈ R .

Para t = 0 se tiene

µ(s1) = X(t2 − t1; 0, µ(s2)) donde 0 ≤ t2 − t1 < T (s2),

lo cual es contradictorio con la definicion de T (s2) porque µ(s1) 6= µ(s2).

En caso de que s1 = s2 =: s (luego entonces t1 6= t2 y salvo reetiquetarpodemos suponer t1 < t2) tenemos que la lınea de flujo que emana de µ(s) seautointerseca en los instantes t1, t2 > 0. Consideremos entonces las solucionesde (2.1) dadas por

x(t) := X(t; 0, µ(s)), y(t) := X(t+ (t2 − t1); 0, µ(s)).

Como antes, se tiene

x(t1) = y(t1)⇐⇒ x(t) es (t2 − t1)-periodica =⇒ X(t2 − t1; 0, µ(s)) = µ(s).

En consecuencia, como la linea de flujo que empieza en µ(s) vuelve a µ(s) enT (s) = t2− t1, habiendose encontrado entre 0 y T (s) en la region Ω tendremosque la lınea de flujo llega a µ(s) apuntando hacia G, esto es,(

d

dt

∣∣∣∣t=T (s)

X(t; 0, µ(s))

)· n(µ(s)) ≤ 0.

Sin embargo, por periodicidad

d

dt

∣∣∣∣t=T (s)

X(t; 0, µ(s)) =d

dt

∣∣∣∣t=0

X(t; 0, µ(s)) = u(µ(s)),

y entoncesu(µ(s)) · n(µ(s)) ≤ 0,

lo cual es contradictorio.

3. La regularidad Ck de γ se sigue de la correspondiente regularidad de u y µ porel teorema de diferenciabilidad de Peano. Por el Teorema de la Funcion Inversabasta demostrar que γ tiene matriz Jacobiana invertible en cada punto y habremosconcluido el resultado. Escribimos por columnas dicha matriz Jacobiana

Jac(γ)(t, s) =

(∂γ

∂t(t, s)

∣∣∣∣ ∂γ

∂s1

(t, s)

∣∣∣∣ ∂γ∂s2

(t, s)

).

11Se llama sistema autonomo a todo sistema de EDOs que no depende explıcitamente de t.


Fijado s ∈ D, podemos definir

x(t) =∂γ

∂t(t, s), y(t) =

∂γ

∂s1

(t, s), z(t) =∂γ

∂s2

(t, s), 0 < t < T (s).

Veamos que x(t), y(t), z(t) forman un sistema fundamental de soluciones de laecuacion variacional de (2.1). Para ello, partimos de que

∂γ

∂t(t, s) = u(γ(t, s)).

Derivando respecto de t se tiene que

d

dt

∂γ

∂t(t, s) = Jac(u)(γ(t, s))

∂γ

∂t(t, s),

y derivando respecto de si concluimos que

d

dt

∂γ

∂si(t, s) = Jac(u)(γ(t, s))

∂γ

∂si(t, s), i = 1, 2.

Entonces x(t), y(t), z(t) resuelven la ecuacion variacional

ω(t) = Jac(u)(γ(t, s))ω(t).

Formando la matriz solucion

Φ(t) := (x(t) | y(t) | z(t)) = Jac(γ)(t, s),

la formula de Jacobi-Liouville nos dice que

Jac(γ)(t, s) en invertible ∀(t, s) ∈ D(Σ, u)⇐⇒ Φ(0) es invertible .

Pero por las propiedades del producto mixto

det Φ(0) =∂γ

∂t(0, s) ·

(∂γ

∂s1

(0, s)× ∂γ

∂s2

(0, s)

)

= u(γ(s)) ·(∂µ

∂s1

(s)× ∂µ

∂s2

(s)

)=

∣∣∣∣ ∂µ∂s1

(s)× ∂µ

∂s2

(s)

∣∣∣∣ u(µ(s)) · n(µ(s)) ≥ ρ1ρ0 > 0.

4. El mismo argumento anterior nos dice que todas las derivadas de γ(t, s) hasta ordenk admiten extension continua hasta D(Σ, u, T ), luego Jac(γ), Jac(γ)−1 tienen todassus derivadas hasta orden k − 1 con extensiones continuas a D(Σ, u, T ).

Veamos que Jac(γ) ∈ B0(D(Σ, u, T )). Por un lado∣∣∣∣∂γ∂t (t, s)

∣∣∣∣ = |u(γ(t, s))| ≤ ‖u‖B0(Ω), ∀(t, s) ∈ D(Σ, u, T ).


Por otro lado, recordemos ahora que

d

dt

∂γ

∂si(t, s) = Jac(u)(γ(t, s))

∂γ

∂si(t, s), i = 1, 2,

y por tanto, integrando y tomando normas euclıdeas∣∣∣∣ ∂γ∂si (t, s)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∂µ∂s (s)

∣∣∣∣+

∫ t

0

| Jac(u)(γ(τ, s))|∣∣∣∣ ∂γ∂si (τ, s)

∣∣∣∣ dτ.Por el lema de Gronwall [13, Lema 1, Seccion 2.2] concluimos de nuevo∣∣∣∣ ∂γ∂si (t, s)

∣∣∣∣ ≤ ‖µ‖B1(D,R3) exp‖ Jac(u)‖B0(Ω) T

, ∀(t, s) ∈ D(Σ, u, T ).

Entonces existe κ separadamente creciente tal que

‖ Jac(γ)‖B0(D(Σ,u,T )) ≤ κ(‖u‖B1(Ω), T ) ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T ).

Veamos que de hecho se verifica Jac(γ) ∈ Bk−1(D(Σ, u, T )) y una estimacion analogapara derivadas de orden ≤ k−1. Lo haremos por recurrencia y para ello supongamosque ya hemos demostrado para 0 < n ≤ k − 1 que existe cierta κ separadamentecreciente12 verificando

‖ Jac(γ)‖Bm(D(Σ,u,T )) ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T ), ∀m < n.

Veamoslo para m = n. Para ello, tomamos cualquier multiındice α = (α1, α2, α3)con |α| = n. Por un lado,

Dα

(∂γi∂t

)= Dα(ui(γ(t, s))). (2.3)

Por medio de la elegante formula obtenida en [21] para las derivadas de ordensuperior de una composicion tendremos

Dα(ui(γ(t, s))) = α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδui)(γ(t, s))l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!Dβrγ(t, s)

)δr,

donde la suma en (l, β, δ) ∈ D(α) se mueve considerando todos los posibles l ∈ N ytodas las posibles descomposiciones

α =l∑

r=1

|δr|βr,

para δ :=∑l

r=1 δr y para cada r = 1, . . . , l − 1 existe ir = 1, 2, 3 de modo que

(βr)i = (βr+1)i, ∀i 6= ir y (βr)

ir < (βr+1)ir .

12Sin perdida de generalidad puede suponerse igual a la anterior salvo sustituir κ por el maximo de lasdos, que es una funcion separadamente creciente.


De lo anterior deducimos entonces la existencia de κ separadamente creciente deforma que ∣∣∣∣Dα

(∂γ

∂t

)(t, s)

∣∣∣∣ ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T ), ∀(t, s) ∈ D(Σ, u, T ).

Por otro lado,

d

dtDα

(∂γi∂sj

)=

3∑k=1

Dα

(∂ui∂xk

(γ(t, s))∂γk∂sj

(t, s)

).

Usando la formula de Leibnitz para la derivada de un producto y [21], concluimosque

d

dtDα

(∂γi∂sj

)=

3∑k=1

∑ρ≤α

(α

ρ

)Dρ

(∂ui∂xk

(γ(t, s))

)Dα−ρ

(∂γk∂sj

)(2.4)

=3∑

k=1

∑ρ≤α

∑(l,β,δ)∈D(ρ)

(α

ρ

)ρ!

(Dδ ∂ui

∂xk

)(γ(t, s))

l∏r=1

1

δr!

(1

βr!Dβrγ(t, s)

)δrDα−ρ∂γk

∂sj(t, s).

Observese que salvo que ρ = 0 (en cuyo caso volvemos a derivadas del tipo de lasque partimos) el ultimo termino cuenta con derivadas de orden a lo sumo n− 1 deJac(γ), que estan acotadas. Si integramos en t y usamos las estimaciones anteriores,aseguramos la existencia de otra κ separadamente creciente, verificando∣∣∣∣Dα

(∂γi∂sj

(t, s)

)∣∣∣∣ ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T )3∑

k=1

1 +

∫ t

0

∣∣∣∣Dα

(∂γk∂sj

(τ, s)

)∣∣∣∣ dτ .Puesto que estamos moviendo i ∈ 1, 2, 3 tendremos que ∀ (t, s) ∈ D(Σ, u, T )∣∣∣∣Dα

(∂γ

∂sj(t, s)

)∣∣∣∣ ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T )

1 +

∫ t

0

∣∣∣∣Dα

(∂γ

∂sj(τ, s)

)∣∣∣∣ dτ .De nuevo, una aplicacion del lema de Gronwall lleva a la desigualdad deseada.

Por ultimo, falta justificar que las derivadas de orden k−1 de Jac γ son holderianasy deducir una desigualdad analoga para la seminorma λ-Holder de estas. Gracias alo anterior, denotando por ωj(t, s) a cada una de las siguientes funciones

∂γ

∂t,∂γ

∂s1

,∂γ

∂s2

,

y tomando α = (α1, α2, α3) con |α| = k−1, hemos justificado en (2.4) queDα(ωi(t, s))verifican ecuaciones del tipo

∂Dαωji∂t

(t, s) =3∑r=1

∂ui∂xr

(γ(t, s))Dαωjk(t, s) + Fi(t, s)


+∑β∈Γα

∑(j1,...,jk)∈Jα

∑(i1,...,ik)∈Iα

(Dβui)(γ(t, s))ωj1i1 (t, s) · · ·ωjkik (t, s). 13

Veamos en primer lugar que Dαωji es λ-Holder respecto de la variable s y para ellousamos la ecuacion

Dαωi(t, s1)−Dαωi(t, s2) = Dαωi(0, s1)−Dαωi(0, s2) +

∫ t

0

(Fi(τ, s1)− Fi(τ, s2)) dτ

+3∑i=1

∫ t

0

(∂ui∂xr

(γ(τ, s1))Dαwjr(τ, s1)− ∂ui∂xr

(γ(τ, s2))Dαwjr(τ, s2)

)dτ

+∑β∈Γα

∑(j1,...,jk)∈Jα

∑(i1,...,ik)

∫ t

0

(Dβui)(γ(t, s))ωj1i1 (t, s) · · ·ωjkik (t, s)∣∣s1s2dτ .

Para estimar cada uno de los 4 sumandos distintos que aparecen seguimos el siguientecriterio.

Por una parte, expresemos los primeros terminos de forma explıcita como

Dαωji (t, s) =∂kγi

∂tnsm11 ∂sm2

2

(t, s).

La manera de estimar en este caso es por induccion en n. Cuando n = 0tenemos que

Dαωji (0, s) =∂kγi

∂sm11 ∂sm2

2

(0, s) =∂

∂sm11 ∂sm2

2

µ(s).

Entonces, dado que las derivadas de orden k de la parametrizacion µ asumimosque son λ-holderianas, tendremos que

|(Dαωji )(0, s1)−Dαωji (0, s2)| ≤ ‖µ‖Ck,λ(D)|s1 − s2|λ.

Supongamos por hipotesis de induccion que para ındices inferiores a n se tieneuna estimacion de la forma

|Dαω(0, s1)−Dαω(0, s2)| ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)|s1 − s2|λ,

para cierta funcion separadamente creciente κ : R+0 ×R+

0 −→ R+0 dependiente

de G,Σ, µ, ρ0, λ pero no de ‖u‖Ck,λ(Ω) ni T . Para demostrarlo para n derivamosla composicion mediante la regla de la cadena [21] y tendremos que

Dαωji (0, s) =

13Γα es un conjunto de 3-multındices de norma k que dependen de α e Iα, Jα son conjuntos de k-multiındices. Fi es una funcion que depende de sumas y productos de derivadas de orden inferior a k deu y de derivadas de orden a lo mas k − 1 de γ.


=∂

∂sm11 ∂sm2

2

(n− 1)!∑

(l,β,δ)∈D(n−1)

(Dδui)(µ(s)) ·l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!

∂γi∂tβr

(0, s)

)δr .

Para evitar un exceso de notacion, imaginemos que calculamos las derivadasrespecto de s y tomamos la diferencia Dαωji (0, s1) − Dαωji (0, s2). Sumando yrestando terminos adecuadamente conseguiremos una suma de productos determinos del tipo Dδu(γ(0, s1)) − Dδu(γ(0, s2)) por terminos acotados, juntocon sumas de productos de terminos del tipo Dρωjp(0, s1)−Dρωjp(0, s2) 14 porterminos acotados. En el primer caso usaremos el teorema del valor medio 15 yque D esta acotado 16 y en el segundo usaremos la hipotesis de induccion paradeducir la existencia de cierta κ con la propiedad deseada.

Puesto que todos los terminos de Fi admiten derivadas de primer orden aco-tadas por construccion, de nuevo el teorema del valor medio y la acotacion deD llevan a que∣∣∣∣∫ t

0

(Fi(τ, s1)− Fi(τ, s2)) dτ

∣∣∣∣ ≤ κ(‖u0‖Ck,λ(Ω), T )T |s1 − s2|λ,

deduciendose la desigualdad deseada sin mas que renombrar κ.

Sumando y restando terminos adecuadamente en los sumandos del tercer tipo,tendremos una cota del tipo∫ t

0

∣∣∣∣∂ui∂xr(γ(τ, s1))− ∂ui

∂xr(γ(τ, s1))

∣∣∣∣ · |Dαωjr(τ, s1)| dτ

+

∫ t

0

∣∣∣∣∂ui∂xr(γ(τ, s2))

∣∣∣∣ · |Dαωjr(τ, s1)−Dαωjr(τ, s2)| dτ

≤ κ (‖u‖Ck,λ , T )T |s1−s2|λ+κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

) ∫ t

0

|Dαωjr(τ, s1)−Dαωjr(τ, s2)| dτ.

En los ultimos sumandos, si restamos y sumamos terminos cruzados adecuada-mente, observamos que Dβu no tiene derivadas acotadas, pero que sin embargoes λ-holderiana y por otra parte podemos usar el teorema del valor medio y laacotacion de D para el resto, llegando a una cota del tipo

κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)‖u‖Ck,λ(Ω)

∫ t

0

|γ(τ, s1)−γ(τ, s2)|λ dτ+κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)|s1−s2|λ.

Gracias al teorema del valor medio, acotamos

|γ(τ, s1)− γ(τ, s2)| ≤ ‖ Jac γ‖B0(D(Σ,µ,T ))|s1 − s2|,

y la matriz Jacobiana se acota por terminos como los que nos interesan graciasa los resultados previos.

14Donde las derivadas de multiındice ρ contienen derivadas en t de orden inferior a n.15Formalmente, como ya se razono, o bien asumimos D convexo o bien usamos las estimaciones de la

proposicion 2.1.4.16Por hipotesis hay extension homeomorfica de µ : D −→ Σ y puesto que Σ es compacto, por serlo S,

tambien lo sera D.


En resumen, llegamos a una cota del tipo

|Dα Jac(γ)(t, s1)−Dα Jac(γ)(t, s2)| ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)|s1 − s2|λ

+κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

) ∫ t

0

|Dα Jac(τ, s1)−Dα Jac(τ, s2)| dτ,

y el lema de Gronwall concluye de nuevo la estimacion Holder que buscabamos enla variable s.

La cota Holder en la variable t es mucho mas sencilla porque aplicando el teoremadel valor medio en t, usando la ecuacion (2.4) y observando que las derivadas ent estan acotadas por terminos del tipo κ

(‖u‖Ck,λ(Ω), T

), lo que resta es tener en

cuenta que 0 ≤ t ≤ T y en particular

|t1 − t2| ≤ T 1−λ|t1 − t2|λ, ∀t1, t2 ∈ [0, T ].

La estimacion de Jac(γ)−1 se puede llevar a cabo tal y como se hace en [19]. Con-cretamente, puesto que las columnas de Jac(γ)(·, s) vimos que eran un sistemafundamental de soluciones de la ecuacion variacional, podemos aplicar la formulade Jacobi-Liouville una vez mas para deducir que

Jac(γ)(t, s) = Jac(γ)(0, s)e∫ t0 traza Jac(u)(γ(τ,s)) dτ .

Pero por otro lado, es tambien claro que precisamente en dimension 3, podemosreescribir la inversa de una matriz en terminos del inverso del determinante y deuna nueva matriz cuyas filas son productos vectoriales de las filas de la matriz inicial.La formula concreta es

Jac(γ)−1 =1

det Jac γ

(∂γ

∂s1

× ∂γ

∂s2

∣∣∣∣ ∂γ

∂s2

× ∂γ

∂t

∣∣∣∣ ∂γ∂t × ∂γ

∂s1

)T.

La formula de Jacobi-Liouville previa junto a la expresion anterior de la inversa dela matriz Jacobiana y a las estimaciones de las columnas de la matriz Jacobianallevan a las estimaciones Ck−1,λ(D(Σ, u, T )) que se querıan.

2.2. Tubos de flujo con retorno

A continuacion presentamos el tipo de tubos de flujo en los que estamos interesados.Se tratan de tubos de flujo que emanan de Σ con un cierto angulo pero que de algunamanera controlada retornan hacia S antes de un tiempo determinado. La definicion formales la siguiente.

2.2. TUBOS DE FLUJO CON RETORNO 33

Definicion 2.2.1.Sean G,Σ, µ con las propiedades (2.2) y u ∈ Ck,λ(Ω,R3). Diremos que el tubo de flujo deu con base Σ, T (Σ, u), es un (ρ0, T, δ)-tubo de flujo de u, donde ρ0, T, δ > 0, si se verifica

1. u · n ≥ ρ0 en Σ.

2. Para cada s ∈ D existen dos numeros 0 < T0(s), Tδ(s) <T2

de manera que

X(T0(s); 0, µ(s)) ∈ S, X(Tδ(s); 0, µ(s)) ∈ Sδ. 17

Por un lado, sera necesario saber estimar el diametro de los (ρ0, T, δ)-tubos de flujo,resultado que queda recogido en el siguiente lema.

Lema 2.2.2.Sean G,Σ, µ como en (2.2), u ∈ Ck,λ(Ω,R3) y consideremos T (Σ, u) un (ρ0, T, δ)-tubo deflujo de u. Entonces T (Σ, u) esta acotado y se tiene la siguiente estimacion de su diametro

diam(T (Σ, u)) ≤ T‖u‖B0(Ω) + diam(Σ).

Demostracion. Consideremos dos puntos x1, x2 ∈ T (Σ, u). Entonces existen s1, s2 ∈ D y0 < ti < T (µ(si)) ≤ T

2, i = 1, 2 de manera que

xi = X(ti; 0, µ(si)), i = 1, 2.

Usando la ecuacion (2.1) tendremos

x1 − x2 = X(t1; 0, µ(s1))−X(t2; 0, µ(s2)) =

17Denotamos Gδ := x ∈ G | dist(x, S) > δ y Sδ = ∂Gδ.


= µ(s1)− µ(s2) +

∫ t1

0

u(X(τ ; 0, µ(s1))) dτ +

∫ t2

0

u(X(τ ; 0, µ(s2))) dτ.

Tomando normas y usando la desigualdad triangular y la cota B0 de u se tiene

|x1 − x2| ≤ |µ(s1)− µ(s2)|+ (t1 + t2)‖u‖B0(Ω) ≤ T‖u‖B0(Ω) + diam(Σ),

concluyendose el resultado por la arbitrariedad de x1, x2 ∈ T (Σ, u).

Tambien sera imprescindible la siguiente tecnica para perturbar de forma controladalos tubos de flujo en terminos de perturbaciones controladas de los campos. Intuitivamente,si un campo u tiene tubo de flujo con retorno a S y perturbamos “ligeramente” dichocampo u, su nuevo tubo de flujo tambien retorna a S y ademas mantenemos el controldel tiempo de retorno. Matematicamente el resultado se enuncia como sigue.

Lema 2.2.3.Sean G,Σ, µ como en (2.2), u1, u2 ∈ Ck,λ(Ω,R3) y consideremos Ti := T (Σ, ui) los res-pectivos tubos de flujo de base Σ asociados a ui. Supongamos que T1 es un (ρ0, T, δ)-tubode flujo de u1 y que

1. u1 · n = u2 · n en S.

2. u1 y u2 son “cercanos” en norma B0 en el sentido de que para algun 0 < η < 1 setiene

‖u1 − u2‖B0(Ω) < 2(1− η)δ

CPTe−

12CPT‖u1‖B1(Ω) .

Entonces, T2 es un (ρ0, T, ηδ)-tubo de flujo de u2.

Demostracion. Por hipotesis es claro que

u2 · n = u1 · n ≥ ρ0 en S.

Falta justificar que el tubo de flujo T2 “retorna a S y Sηδ” en un tiempo inferior a T/2.Para ello denotamos por X1(t; t0, x0) y X2(t; t0, x0) a los flujos respectivos de u1 y u2 yobservamos que por hipotesis existen para cada s ∈ D dos constantes 0 < T0(s), Tδ(s) <

T2

de manera que

X1(T0(s); 0, µ(s)) ∈ S y X1(Tδ(s); 0, µ(s)) ∈ Sδ.

Veamos que a tiempo Tδ(s) cada lınea de flujo del segundo tubo de flujo se encuentra enGηδ, de donde el resultado es inmediato. Para ello, consideramos x ∈ S = ∂G y estimamosmediante la desigualdad triangular

|X2(Tδ(s); 0, µ(s))− x|

≥ |X1(Tδ(s); 0, µ(s))− x| − |X1(Tδ(s); 0, µ(s))−X2(Tδ(s); 0, µ(s))|

= δ − |X1(Tδ(s); 0, µ(s))−X2(Tδ(s); 0, µ(s))|.

2.3. ESQUEMA ITERATIVO DESACOPLADO 35

De nuevo, por la ecuacion (2.1) se tiene para 0 < t < T/2

|X1(t; 0, µ(s))−X2(t; 0, µ(s))| ≤∫ t

0

|u1(X1(τ ; 0, µ(s)))− u2(X2(τ ; 0, µ(s)))| dτ

≤∫ t

0

|u1(X1(τ ; 0, µ(s)))− u1(X2(τ ; 0, µ(s)))| dτ

+

∫ t

0

|u1(X2(τ ; 0, µ(s)))− u2(X2(τ ; 0, µ(s)))| dτ.

En el primer termino usamos el Teorema del Valor Medio para u1 y en el segundo esti-mamos u1 − u2 = u1 − u2 en B0 obteniendo

|X1(t; 0, µ(s))−X2(t; 0, µ(s))| ≤

≤ ‖ Jac(u1)‖B0(R3)

∫ t

0

|X1(τ ; 0, µ(s))−X2(τ ; 0, µ(s))| dτ + t‖u1 − u2‖B0(R3).

Gracias a la Proposicion 2.1.4 concluimos que

|X1(t; 0, µ(s))−X2(t; 0, µ(s))| ≤

≤ CP‖u1‖B1(Ω)

∫ t

0

|X1(τ ; 0, µ(s))−X2(τ ; 0, µ(s))| dτ +T

2CP‖u1 − u2‖B0(Ω).

Por el lema de Gronwall lineal [13, Capıtulo 2, Seccon 2, Lema 1] se concluye

|X1(t; 0, µ(s))−X2(t; 0, µ(s))| ≤ T

2CP‖u1 − u2‖B0(Ω) exp

CP‖u1‖B1(Ω)t

,

para todo 0 ≤ t ≤ T/2. En particular, para t = Tδ(s) se tendra

|X1(Tδ(s); 0, µ(s))−X2(Tδ(s); 0, µ(s))| ≤ T

2CP‖u1 − u2‖B0(Ω) exp

1

2CPT‖u1‖B1(Ω)

,

y por la “cercanıa” asumida entre los dos campos se concluye que

|X1(Tδ(s); 0, µ(s))−X2(Tδ(s); 0, µ(s))| < (1− η)δ.

Por tanto|X2(Tδ(s); 0, µ(s))− x| > δ − (1− η)δ = ηδ, ∀x ∈ S.

2.3. Esquema iterativo desacoplado

Como se ha venido motivando a lo largo del trabajo, estamos interesados en desarrollaruna teorıa de existencia y unicidad en Ck,λ de campos de Beltrami generalizados. Perola manera de resolver la ecuacion de Beltrami no puede ser para cualquier f prefijado.El motivo, como se justifico previamente mediante los trabajos [10] y [23], es que si ffuera un factor de proporcionalidad prefijado, nuestro sistema constarıa de 4 ecuaciones


y 3 incognitas, con lo cual esta sobredeterminado y no podrıamos esperar existenciaalguna de solucion. Para ello supondremos que, junto con u, f tambien es una incognita,consiguiendo 4 ecuaciones y 4 incognitas. Si a todas las incognitas les anadimos ciertascondiciones de contorno cabe pensar que nuestro problema debe estar bien planteado enel sentido de Hadamard.

Partimos de G,Σ, µ verificando las propiedades de ambiente (2.2), g ∈ Ck,λ(S) y f 0 ∈Ck−1,λ(Σ). Estamos interesados en analizar las soluciones u ∈ Ck,λ(Ω,R3) y f ∈ Ck−1,λ(Ω)de problemas del tipo siguiente

rotu = fu, x ∈ Ω,div u = 0, x ∈ Ω,u · n = g, x ∈ S,

lım|x|→+∞

u(x) = 0,

f = f 0, x ∈ Σ.

(2.5)

Aunque la justificacion es sutil, nuestra prueba hara necesario asumir un orden dediferenciabilidad superior en el dato inicial f 0 y soporte compacto en este (esto es f 0 ∈Ck,λc (Σ)). La idea que llevaremos adelante consiste en definir un esquema iterativo en

el que en cada paso las ecuaciones de u y de f se encuentren desacopladas y sean massencillas de resolver. Tal esquema iterativo asume la siguiente estructura para cada pason ≥ 0.

rotun+1 = fnun en Ω,div un+1 = 0 en Ω, un · ∇fn = 0 en Ω,un+1 · n = g en S, fn = f 0 en Σ,

lım|x|→+∞

un+1(x) = 0.

(2.6)

Observese que por los resultados del primer capıtulo (Proposicion 1.2.3), se tenıala ecuacion de consistencia u · ∇f = 0, que hemos usado para definir fn en terminosde un. Para que el esquema este bien determinado, debemos establecer inicialmente uncampo u0 ∈ Ck,λ(Ω,R3) con la propiedad u0 · n = g en S y lım|x|→+∞ u0(x) = 0, quepermitira “arrancar” al esquema iterativo, siempre y cuando los dos problemas en los quehemos desacoplado nuestro sistema admitan una teorıa de existencia y unicidad en Ck,λ,cuestion que analizaremos en las dos secciones siguientes.

2.4. Existencia y unicidad de fn

El proximo resultado nos permite resolver la ecuacion de fn sobre tubos de flujo de uncon base Σ. A groso modo, la idea consiste en plantearlo como un problema de transportelineal y movernos a lo largo de las lıneas de flujo que conforman el tubo de flujo.

Teorema 2.4.1.Sean G,Σ, µ verificando (2.2) y consideremos u ∈ Ck,λ(Ω,R3). Supongamos que T (Σ, u)

2.4. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE FN 37

es un (ρ0, T, δ)-tubo de flujo de u y sea f 0 ∈ Ck,λc (Σ). Entonces el problema

u · ∇f = 0 en T (Σ, u)f = f 0 en Σ,

(2.7)

tiene solucion f unica, ademas supp(f) ∩Ω ⊆ T (Σ, u) y extendiendo f por cero fuera deT (Σ, u) tenemos una solucion de clase Cm,λ(Ω) para cada 0 ≤ m ≤ k del problema detransporte anterior en todo Ω.

Demostracion. Como es habitual, consideremos u = P(u) y X(t; t0, x0) su flujo. Sea s ∈ Dy consideremos X(t; 0, µ(s)) la lınea de flujo dentro de T (Σ, µ) que parte de µ(s) ∈ Σ. Pordefinicion, se verifica que X(t; 0, µ(s)) ∈ Ω, ∀0 < t < T (s) y en caso de que T (s) < +∞,entonces X(T (s); 0, µ(s)) ∈ S.

1. Unicidad de solucion.

Si f ∈ Ck,λ(T (Σ, µ)) es solucion de la ecuacion, la regla de la cadena y (2.1) llevana

d

dtf(X(t; 0, µ(s))) = (u · ∇f)(X(t; 0, µ(s)))

= (u · ∇f)(X(t; 0, µ(s))) = 0, ∀ 0 ≤ t < T (s).

Integrando y usando la condicion inicial

f(X(t; 0, µ(s))) = f 0(µ(s)), ∀0 ≤ t < T (s), ∀ s ∈ D.

Con la notacion de la Proposicion 2.1.7 tendremos que

f(γ(t, s)) = f 0(µ(s)), ∀0 ≤ t < T (s), ∀ s ∈ D.

La sobreyectividad de γ lleva a que en caso de existir solucion, f esta dada sobrelos puntos del tubo de flujo por la expresion anterior, luego es unica.

2. Existencia de solucion

La parte anterior nos sugiere como debe ser la solucion. Puesto que γ es biyectiva,llamando γ−1(x) = (t(x), s(x)) ∈ R×R2 podemos entonces definir f mediante

f(x) := f 0(µ(s(x))), ∀x ∈ T (Σ, u).

Por una parte, por construccion se tiene que supp(f) ∩ Ω ⊆ T (Σ, u) es acotado envirtud del Lema 2.2.2. Por otra parte, es claro que f ∈ Bk(T (Σ, u)) porque es composicionde funciones de clase Bk. Usando de nuevo el resultado de [21] tendremos la siguienteexpresion explıcita de las derivadas de orden |α| ≤ k.

Dαf(x) = α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0 µ))(s(x))l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!Dβrs(x)

)δr(2.8)

Los argumentos de la Proposicion 2.1.1 nos permiten asegurar, por la acotacion del tubo,que todas las derivadas de orden no superior a k de f 0 µ y s son Holderianas de ex-ponente λ en compactos. Por tanto, trabajando sobre el soporte de f tenemos que Dαf


es un producto de funciones acotadas por funciones Holderianas de exponente λ, luego[Dαf ]λ,T (Σ,u) < +∞. Y por tener f soporte compacto en T (Σ, u), tendremos que la ex-tension de f por cero es de hecho una solucion Cm,λ(Ω) para cada 0 ≤ m ≤ k en todo eldominio Ω.

El siguiente corolario es una observacion algo tecnica para ser justificada. El motivoes que como se vera en la proxima seccion, un problema div-curl en dominios exterioressabe resolverse siempre y cuando el valor impuesto en el rotacional tiene flujo cero. Comoveremos a continuacion, la hipotesis de flujo cero implica que el campo es solenoidal, quepor consistencia deberıa ser la unica hipotesis a imponer sobre los datos, pero sin embargoes importante que el rotacional no solo sea solenoidal sino que verifique esta hipotesis algomas fuerte, por razones topologicas.

Corolario 2.4.2.Bajo las hipotesis del teorema anterior, si consideramos f ∈ Cm,λ(Ω), para 0 ≤ m ≤ k,la solucion del problema de transporte definida en todo Ω y suponemos que div u = 0,entonces fu tiene flujo cero.

Demostracion. Aunque no lo usaremos nada mas que una vez, la siguiente caracterizacionde los campos de flujo cero en la region exterior Ω es interesante.

Consideremos F ∈ B1(Ω,R3). Entonces son equivalentes

1. F tiene flujo cero en Ω, es decir, para cualquier superficie cerrada M⊆ Ω tiene∫MF · ν dS = 0,

donde denotamos ν al normal exterior unitario de M.

2. divF = 0 en Ω y∫SF · n dS = 0.

1⇒ 2Es claro por un lado que

∫SF · n dS = 0 por continuidad, puesto que tal condicion se

cumple sobre superficies cerradas tan cercanas a S como se desee. Por otro lado, consi-deremos x0 ∈ Ω arbitrario y B(x0, R0) ⊆ Ω. Puesto que ∂B(x0, R), con 0 < R < R0, sonsuperficies cerradas admisibles, tendremos por hipotesis y por el teorema de la divergencia

0 =

∫∂B(x0,R)

F · ν dS =

∫B(x0,R)

divF dx.

Entonces, el teorema de los puntos de Lebesgue concluye que (divF )(x0) = 0 y porarbitrariedad de x0 ∈ Ω concluimos 2.

2⇒ 1En este caso consideremos cualquier superficie cerrada M ⊆ Ω. Pueden darse dos situa-ciones. Si la region interior U ⊆ Ω podemos aplicar el teorema de la divergencia paradeducir

0 =

∫U

divF dx =

∫MF · νdS.


Por otro lado, puede ocurrir lo contrario, en cuyo caso, por conexion G ⊆ U . Tomamosentonces V := U \G y aplicamos el teorema de la divergencia para deducir

0 =

∫V

divF dx =

∫∂V

F · ν dS =

∫MF · ν dS −

∫S

F · n dS︸︷︷︸0

=

∫MF · ν dS.

Con esta caracterizacion es mucho mas sencillo comprobar que fu tiene flujo cero enΩ. Por un lado, gracias a la ecuacion verificada por f y a que u es solenoidal

div(fu) = f div u︸︷︷︸0

+∇f · u︸︷︷︸0

= 0 en Ω.

Por otro lado, veamos que∫Sfu · n dS = 0 y para ello, usamos que f tiene soporte

compacto por el Teorema 2.4.1, de modo que podemos considerar un radio R > 0 losuficientemente grande para que

supp(f) ⊆ T (Σ, u) ⊆ B(0, R).

Si tomamos el dominio U = B(0, R) \ G y llamamos ν al normal exterior a ∂B(0, R)tendremos por el teorema de la divergencia

0 =

∫U

div(fu) =

∫∂B(0,R)

fu · ν dS︸︷︷︸0

−∫S

fu · n dS,

concluyendo entonces que fu tiene flujo cero en Ω.

En el Teorema 2.4.1 no nos preocupamos de disponer de un control de las normasHolder de la solucion. Podemos ser un poco mas especıficos y controlar las normasCm,λ(Ω,R3) en terminos de los datos de la ecuacion, algo que sera muy importante parael paso al lımite en el esquema iterativo (2.6) al final del capıtulo, por lo cual lo recogemosen el siguiente resultado.

Corolario 2.4.3.En las hipotesis del Teorema 2.4.1, si f ∈ Cm,λ(Ω) con 0 ≤ m ≤ k es la solucion en todoΩ del problema de transporte, entonces existe κ : R+

0 ×R+0 −→ R+

0 funcion separadamentecreciente de forma que

‖f‖Cm,λ(Ω) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(M) · κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

), ∀ 0 ≤ m ≤ k.

Demostracion. Lo que haremos sera inspeccionar mas detalladamente la expresion (2.8)y estimar cada termino gracias las hipotesis asumidas y las estimaciones de Jac(γ) yJac(γ)−1 de la Proposicion 2.1.7. Teniendo en cuenta que

Jac(γ−1)(x) = Jac(γ)−1(γ−1(x)),


deducimos la siguiente expresion de la derivada,

∂

∂xiJac(γ−1)(x) =

∂(Jac γ)−1

∂t(γ−1(x))

∂t

∂xi(x) +

2∑j=1

∂(Jac γ)−1

∂sj(γ−1(x))

∂sj∂xi

(x).

Si sustituimos ∂t∂xi,∂sj∂xi

en la formula anterior por las correspondientes entradas de

Jac(γ)−1(γ−1(x)) usando la formula previa, tendremos todo expresado en terminos desumas de productos que involucran derivadas de Jac(γ)−1 evaluadas sobre γ−1(x). Siahora seguimos derivando y sustituyendo llegamos a una expresion del tipo

Dα(Jac(γ−1)(x)i,j) =∑∏

ci,jβ,l,r(Dβ(Jac γ)−1

l,r )(γ−1(x)), ∀ |α| ≤ k − 1, (2.9)

donde las derivadas no superan ordenes superiores a |α|. En consecuencia, por (2.8), unsumando tıpico de Dαf es de la forma

(Dδ(f 0 µ))(s(x))∏

ci,jβ,l,r(Dβ(Jac γ)−1

l,r )(γ−1(x)).

Los terminos de la forma (Dδ(f 0 µ))(s(x)) se acotan por ‖f 0‖Ck,λ(Σ) y los restantes seacotan, en virtud de las expresiones anteriores, usando la Proposicion 2.1.7, por terminosde la forma κ (‖u‖Ck,λ , T ). Agrupando todo y renombrando en caso necesario la aplicacionseparadamente creciente κ se concluye la estimacion

‖f‖Bk(Ω) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ)κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

).

Falta demostrar que [Dαf ]λ,Ω admite estimaciones similares para cada |α| ≤ k. Ob-servando entonces los terminos tıpicos de Dαf , basta con acotar todos los terminos, salvouno de ellos (que estimamos en seminorma Holder), moviendo dicho termino entre todoslos que aparecen en el producto. Las cotas en L∞ son precisamente las de antes, mien-tras que la estimacion de la seminorma Holder de los dos tipos de terminos sobre puntosx ∈ T (Σ, u) se obtiene como sigue.

1. Por el teorema del valor medio

[(Dδ(f 0 µ))(s(x))]λ,T (Σ,u) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ)[s(x)]λ,T (Σ,u).

Pero dados x, y ∈ T (Σ, u) tendremos que

|s(x)− s(y)| ≤ ‖ Jac(γ−1)‖B0(T (Σ,u))|x− y|

= ‖ Jac(γ)−1‖B0(D(Σ,u))|x− y|.Si usamos la Proposicion 2.1.7 y el Lema 2.2.2 concluimos que

|s(x)− s(y)| ≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)diam(T (Σ, u))1−λ|x− y|λ

≤ (T‖u‖Ck,λ(Ω) + diam(Σ))1−λκ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)|x− y|λ.

Salvo renombrar κ tendremos

[(Dδ(f 0 µ))(s(x))]λ,T (Σ,u) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

).


2. Por otro lado, tenemos que estimar[(Dβ(Jac γ)−1

l,r )(γ−1(x))]λ,T (Σ,u)

.

En resumen, todo se reduce a estimar, para |β| ≤ k − 1, terminos de la forma[(Dβ(Jac γ)−1

l,r )(γ−1(x))]λ,T (Σ,u)

.

Para x1 = γ(t1, s1), x2 = γ(t2, s2) con (ti, si) ∈ D(Σ, u) tenemos por el teorema del valormedio y el Lema 2.2.2, en caso de que |β| < k − 1 y por la condicion de Holder en casode que |β| = k − 1

∣∣(Dβ(Jac γ)−1l,r )(γ−1(x1))− (Dβ(Jac γ)−1

l,r )(γ−1(x2))∣∣

=∣∣(Dβ(Jac γ)−1

l,r )(t1, s1)− (Dβ(Jac γ)−1l,r )(t2, s2)

∣∣≤ κ


)|(t1, s1)− (t2, s2)|λ.

Para concluir observese que

|(t1, s1)− (t2, s2)| = |γ−1(x1)− γ−1(x2)| ≤ ‖ Jac(γ)−1‖B0(D(Σ,u))|x1 − x2|

≤ κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

)|x1 − x2|.

Agrupando todas las estimaciones concluimos que

[Dαf ]λ,T (Σ,u) ≤ ‖f0‖Ck,λ(Σ)κ


), ∀ |α| ≤ k.

En resumen

‖f‖Cm,λ(Ω) ≤ ‖f 0‖Cm,λ(T (Σ,u)) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u‖Ck,λ(Ω), T

), ∀ 0 ≤ m ≤ k.

A continuacion presentamos otro resultado de perturbacion. Anteriormente habıamosestudiado como se comportan los tubos de flujo con retorno a S para campos “cercanos”.Ahora estudiamos como quedan perturbadas las soluciones del problema de transportecuando perturbamos los correspondientes campos.

Corolario 2.4.4.Supongamos que G, Σ, µ verifican las propiedades (2.2) y consideremos dos camposu1, u2 ∈ Ck,λ(Ω,R3). Supongamos que los tubos T1 := T (Σ, u1) y T2 := T (Σ, u2) sonrespectivamente (ρ0, T, δi)-tubos de flujo de ui. Consideremos el dato inicial f 0 ∈ Ck,λ

c (Σ)y f1, f2 ∈ Cm,λ(Ω), para cada 0 ≤ m ≤ k, las soluciones respectivas de los problemas detransporte del Teorema 2.4.1 en todo Ω

∇f1 · u1 = 0, x ∈ Ω,f1 = f 0, x ∈ Σ,

∇f2 · u2 = 0, x ∈ Ω,f2 = f 0, x ∈ Σ.

Entonces existe una funcion separadamente creciente κ : R+0 ×R+

0 −→ R+0 dependiente

de G,Σ, µ, ρ0 pero no de ui, f0 ni T , de manera que

‖f1 − f2‖Ck−1,λ(Ω) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω).


Demostracion. 18 Nos centramos en estimar, en primer lugar, la norma Bk−1(T2) de ladiferencia de factores de proporcionalidad. Consideremos entonces α un multiındice con|α| ≤ k − 1 y escribamos para x = γ2(t, s) ∈ T2

19, por medio de la formula (2.8)

Dαf1(x)−Dαf2(x) =

= α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0 µ))(s1(x))l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs1)(x)

)δr

−α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0 µ))(s2(x))l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs2)(x)

)δr.

Si comenzamos sumando y restando terminos podemos reescribilo como

Dαf1(x)−Dαf2(x) = (2.10)

= α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0 µ))(s1(x))− (Dδ(f 0 µ))(s2(x))

l∏r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs1)(x)

)δr

+α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0µ))(s2(x))

l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs1)(x)

)δr−

l∏r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs2)(x)

)δr.

Analizamos los terminos que debemos estimar en cada uno de los sumandos:

1. En el primer sumando de (2.10), los factores de la derecha pueden acotarse en B0 gra-

cias a la Proposicion 2.1.7 y al Lema 2.2.2 por terminos del tipo κ(‖u1‖Ck,λ(Ω,R3), T

).

Por otro lado, el primer factor de ese sumando puede estimarse por el teorema delvalor medio mediante∣∣(Dδ(f 0 µ))(s1(x))− (Dδ(f 0 µ))(s2(x))

∣∣ ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ)|s1(x)− s2(x)|.

Nos proponemos entonces estimar |s1(x)−s2(x)|. Dada la expresion de x y el teoremadel valor medio, tendremos que

|s1(x)− s2(x)| ≤ |γ−11 (x)− γ−1

2 (x)| = |γ−11 (γ2(t, s))− (t, s)|

18A lo largo de la demostracion llevaremos a cabo el siguiente abuso de notacion por simplicidad deesta. En ocasiones necesitaremos evaluar diversas funciones fuera de puntos donde estas tienen sentido. Elmodo de hacerlo rigurosamente consiste en usar adecuadamente el resultado de extension de la Proposicion2.1.4 a funciones definidas en un abierto mas grande donde se encuentren los puntos en los que deseamosevaluar. Esto no es restrictivo para las estimaciones que obtendremos debido a que es posible estimar lasnormas Holder de las extensiones en terminos de las correspondientes normas de las funciones originales.De igual manera, en ocasiones sera necesario usar el teorema del valor medio en dominios no convexos ylo que haremos sera usarlo para las correspondientes extensiones a un dominio convexo lo suficientementegrande y posteriormente estimar las normas como antes. La unica diferencia es que en la funcion κdebemos anadir el factor cP que surge de estimar el operador de prolongacion P.

19Consderamos γ1 y γ2 respectivamente las parametrizaciones de los tubos de flujo de u1, u2 dadas enla proposicion 2.1.7 y denotaremos sus inversos mediante γ−1

1 = (t1, s1) y γ−12 = (t2, s2) respectivamente.


= |γ−11 (γ2(t, s))− γ−1

1 (γ1(t, s))| ≤ ‖ Jac(γ1)−1‖B0(D(Σ,u1))|γ1(t, s)− γ2(t, s)|

≤ κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T )|γ1(t, s)− γ2(t, s)|.

Pero el ultimo factor puede ser estimado mediante

|γ1(t, s)− γ2(t, s)| =∣∣∣∣∫ t

0

(u2(γ2(τ, s))− u1(γ1(τ, s))) dτ

∣∣∣∣≤∫ t

0

|u2(γ2(τ, s))− u1(γ2(τ, s))| dτ +

∫ t

0

|u1(γ2(τ, s))− u1(γ1(τ, s))| dτ

≤ ‖u1 − u2‖B0(T2) + ‖u1‖Ck,λ(Ω)

∫ t

0

|γ1(τ, s)− γ2(τ, s)| dτ.

Por el lema de Gronwall concluimos la cota

|γ1(t, s)− γ2(t, s)| ≤ eT‖u1‖Ck,λ(Ω)‖u1 − u2‖B0(T2).

Uniendo todo se obtiene que el primer sumando se acota por un termino del tipo

‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)· ‖u1 − u2‖B0(T2).

2. Un razonamiento totalmente analogo puede llevarse a cabo en el segundo sumandode (2.10). Por completitud de la prueba damos un pequeno esbozo de esta. En estecaso, el primer factor es el que se acota claramente en B0 mientras que tras desa-rrollar los productos del segundo sumando, sumar y restar adecuadamente terminoscruzados y por ultimo expresar las derivadas de s1 y s2 en terminos de derivadasde Jac(γ1) y Jac(γ2) por medio de la formula (2.9), nos reducimos a estimar para|β| ≤ k − 2 terminos del tipo

(Dβ(Jac γ1)−1)(γ−11 (x))− (Dβ(Jac γ2)−1)(γ−1

2 (x))

= (Dβ(Jac γ1)−1)(γ−11 (γ2(t, s)))− (Dβ(Jac γ2)−1)(t, s)

= (Dβ(Jac γ1)−1)(γ−11 (γ2(t, s)))− (Dβ(Jac γ2)−1)(γ−1

1 (γ1(t, s)))

= (Dβ(Jac γ1)−1)(γ−11 (γ2(t, s)))− (Dβ(Jac γ2)−1)(γ−1

1 (γ2(t, s)))

+(Dβ(Jac γ2)−1)(γ−11 (γ2(t, s)))− (Dβ(Jac γ2)−1)(γ−1

1 (γ1(t, s))).

a) El primer sumando se estima por

‖Dβ(Jac(γ1)−1 − Jac(γ2)−1)‖B0(D(Σ,u1)),

y realizando la siguiente factorizacion

Dβ(Jac(γ1)−1 − Jac(γ2)−1) = Dβ

Jac(γ1)−1(Jac(γ2)− Jac(γ1)) Jac(γ2)−1


=∑δ≤α≤β

(β

α

)(α

δ

)Dδ(Jac(γ1)−1)Dα−δ(Jac(γ1)− Jac(γ2))Dβ−α(Jac(γ2)−1).

Los primeros y ultimos factores se estiman como es habitual mediante la Pro-posicion 2.1.7 mientras que para estimar los segundos debemos usar el sistemacaracterıstico (2.1) y tendremos

∂γ1

∂t(t, s) = u1(γ1(t, s)),

∂γ1

∂s(t, s) =

∂µ

∂s(s) +

∫ t

0

Jacu1(γ1(τ, s))∂γ1

∂s(τ, s) dτ,

∂γ2

∂t(t, s) = u2(γ2(t, s)),

∂γ2

∂s(t, s) =

∂µ

∂s(s) +

∫ t

0

Jacu2(γ2(τ, s))∂γ2

∂s(τ, s) dτ.

(2.11)

La forma de estimar las derivadas de Jac(γ1)− Jac(γ2) sera por recurrencia.

Por un lado, comenzamos para α−δ = 0, y usando el sistema caracterıstico∣∣∣∣∂γ1

∂t(t, s)− ∂γ2

∂t(t, s)

∣∣∣∣ = |u1(γ1(t, s))− u2(γ2(t, s))|

|u1(γ1(t, s))− u1(γ2(t, s))|+ |u1(γ2(t, s))− u2(γ2(t, s))|

≤ ‖u1‖B1(Ω) · |γ1(t, s)− γ2(t, s)|+ ‖u1 − u2‖B0(T2).

Las estimaciones de la parte anterior llevan a una cota del tipo

κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)· ‖u1 − u2‖B0(T2).

De igual manera podemos estimar las otras dos filas de la matriz Jacobianausando el sistema caracterıstico haciendo∣∣∣∣∂γ1

∂s(t, s)− ∂γ2

∂s(t, s)

∣∣∣∣≤∫ t

0

∣∣∣∣Jacu1(γ1(τ, s))∂γ1

∂s(τ, s)− Jacu2(γ2(τ, s))

∂γ2

∂s(τ, s)

∣∣∣∣ dτ≤∫ t

0

|Jacu1(γ1(τ, s))− Jacu1(γ2(τ, s))| ·∣∣∣∣∂γ1

∂s(τ, s)

∣∣∣∣ dτ+

+

∫ t

0

|Jacu1(γ2(τ, s))− Jacu2(γ2(τ, s))| ·∣∣∣∣∂γ1

∂s(τ, s)

∣∣∣∣ dτ+

∫ t

0

|Jacu2(γ2(τ, s))| ·∣∣∣∣∂γ1

∂s(τ, s)− ∂γ2

∂s(τ, s)

∣∣∣∣ dτ.En el primer sumando usamos el teorema del valor medio, la estimacionprevia de γ1(t, s)− γ2(t, s) y la Proposicion 2.1.7, en el segundo usamos la


Proposicion 2.1.7 y estimamos Jacu1−Jacu2 en T2 y la misma proposicionse usa en el ultimo sumando para llegar a una estimacion del tipo∣∣∣∣∂γ1

∂s(t, s)− ∂γ2

∂s(τ, s)

∣∣∣∣ ≤ κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)·κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)·‖u1−u2‖B1(T2)×

×

1 +

∫ t

0

∣∣∣∣∂γ1

∂s(τ, s)− ∂γ2

∂s(τ, s)

∣∣∣∣ dτ .Basta entonces aplicar el lema de Gronwall y renombrar κ para obtener laestimacion deseada.

Aunque no damos la prueba del caso general, dado que es algo engorrosade escribir, esbozamos brevemente como se recupera de ideas analogas alas usadas hasta ahora. Si suponemos que la misma cota se verifica paraterminos de orden inferior al de α− δ y queremos demostrarlo para α− δ,lo que debemos hacer es derivar en la expresion de ∂γi

∂t, ∂γi∂s

, y repetir lasideas anteriores, acotando las derivadas de orden inferior a α−δ para talesvectores por la hipotesis de induccion y recuperando una desigualdad deGronwall para la derivada de orden α − δ. El lema de Gronwall vuelve aconcluir la estimacion deseada, esto es

‖Dα−δ Jac γ1 −Dα−δ Jac γ2‖B0(D(Σ,u1))

≤ κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)· ‖u1 − u2‖Bk−1(T2).

b) Gracias al teorema del valor medio estimamos el segundo por

‖ Jac(γ2)−1‖Ck−1,λ(D(Σ,u2)) · ‖ Jac(γ1)−1‖Ck−1,λ(D(Σ,u1))|γ1(t, s)− γ2(t, s)|.

La estimacion de γ1(t, s)−γ2(t, s) que se obtuvo en la parte 1 de la demostracionconcluye de nuevo que se tiene una cota del tipo

‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)· ‖u1 − u2‖B0(T2).

Por tanto, concluimos la desigualdad

‖f1 − f2‖Bk−1(T2) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)· ‖u1 − u2‖Ck−1,λ(T2).

Para finalizar esta estimacion, consideramos el operador de prolongacion

P : Ck,λ(Ω) −→ Ck,λ(R3).

Gracias al teorema del valor medio se tiene la siguiente estimacion

‖u1 − u2‖Ck−1,λ(T2) ≤ (1 +√

3(diamT2)1−λ)‖u1 − u2‖Bk(R3)

≤ (1 +√

3(diamT2)1−λ)‖u1 − u2‖Ck,λ(R3)

≤√

3CP(1 + (T‖u2‖Ck,λ + diamΣ)1−λ)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω).


Por tanto, tendremos tras renombrar κ la estimacion

‖f1−f2‖Bk−1(T2) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ)κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)‖u1−u2‖Ck,λ(Ω). (2.12)

Para estimar la seminorma λ-Holder de Dαf1 − Dαf2 con |α| = k − 1 dejaremos deusar la formula (2.10) y en su lugar usamos la estructura de ecuacion de transporte queambas funciones f1 y f2 verifican y extendemos a derivadas de orden superior algunasideas de [3, 19]. 20 Para ello, en primer lugar observemos que gracias a las ecuaciones detransporte tenemos que

∇(f1 − f2) · u2 = ∇f1 · u2 = −∇f1 · (u1 − u2).

Tomando derivada Dα deducimos que

∇(Dα(f1 − f2)) · u2 = −∑β<α

(α

β

)∇(Dβ(f1 − f2)) ·Dα−βu2 (2.13)

−∑β≤α

(α

β

)∇(Dβf1) ·Dα−β(u1 − u2).

1. En primer lugar, consideremos x1, x2 ∈ T2 de la forma

x1 = γ2(t1, s1), x2 = γ2(t1, s2),

para ciertos 0 < t1 < T y s1, s2 ∈ D. Por el teorema fundamental del calculo setiene

Dα(f1 − f2)(γ2(t1, si)) = Dα(f1 − f2)(µ(si)) +

∫ t1

0

d

dtDα(f1 − f2)(γ2(t, si)) dt

= Dα(f1 − f2)(µ(si)) +

∫ t1

0

∇(Dα(f1 − f2))(γ2(t, si)) · u2(γ2(t, si)) dt.

Si ahora sustituimos la expresion (2.13) tendremos que

Dα(f1 − f2)(γ2(t1, si)) = Dα(f1 − f2)(µ(si))

−∑β<α

(α

β

)∫ t1

0

∇(Dβ(f1 − f2))(γ2(t, si)) ·Dα−βu2(γ2(t, si)) dt

−∑β≤α

(α

β

)∫ t1

0

∇(Dβf1)(γ2(t, si)) ·Dα−β(u1 − u2)(γ2(t, si)) dt.

20El artıculo de Bineau [3] es el primer lugar en el que se estudia la ecuacion de Beltrami con regularidadC1,λ en dominios acotados. No obstante, como se hace referencia en [19], el trabajo esta incompleto puestoque asumen, sin demostracion, ciertas estimaciones a priori en la soluciones del esquema iterativo (2.6).Posteriormente, Kaiser, Neudert y von Whal [19] concluyen la demostracion de forma rigurosa en dominiosexteriores, siendo la misma prueba valida para dominios acotados.


A continuacion, para estudiar la condicion de Holder restamos las dos expresionesanteriores para s1 y s2 y sumamos y restamos adecuadamente terminos cruzados enlas expresiones integrales para deducir

Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s2)) (2.14)

= Dα(f1 − f2)(µ(s1))−Dα(f1 − f2)(µ(s2))−

−∑β<α

(α

β

)∫ t1

0

[∇(Dβ(f1 − f2))(γ2(t, s))

]s=s1s=s2·Dα−βu2(γ2(t, s1)) dt

−∑β<α

(α

β

)∫ t1

0

∇(Dβ(f1 − f2))(γ2(t, s2)) ·[Dα−βu2(γ2(t, s))

]s=s1s=s2

dt

−∑β≤α

(α

β

)∫ t1

0

[∇(Dβf1)(γ2(t, s))

]s=s1s=s2·Dα−β(u1 − u2)(γ2(t, s1)) dt

−∑β≤α

(α

β

)∫ t1

0

∇(Dβf1)(γ2(t, s2)) ·[Dα−β(u1 − u2)(γ2(t, s))

]s=s1s=s2

dt.

Lo que haremos sera mostrar en cada uno de los cinco sumandos distintos comopodemos estimar, y comenzamos por los cuatro ultimos, dejando el primero para elfinal.

a) En el segundo termino de (2.14) distinguimos aquellos β < α con |β| = k − 2del resto y para ello, tenemos que tal sumando se descompone como sigue

∑β < α

|β| = k − 2

(α

β

)∫ t1

0

[∇(Dβ(f1 − f2))(γ2(t, s))

]s=s1s=s2·Dα−βu2(γ2(t, s1)) dt

+∑β < α

|β| < k − 2

(α

β

)∫ t1

0

[∇(Dβ(f1 − f2))(γ2(t, s))

]s=s1s=s2·Dα−βu2(γ2(t, s1)) dt.

Tomando valores absolutos, el primer sumando se estima como

C‖u2‖Ck,λ(Ω)

∫ t1

0

∑|δ|=k−1

∣∣Dδ(f1 − f2)(γ2(t, s1)−Dδ(f1 − f2))(γ(t, s2))∣∣ dt,

y gracias al teorema del valor medio y a la estimacion anterior en B0(T2) (2.12)de las derivadas hasta orden k−1 de f1−f2, tendremos que el segundo sumandose estima como

‖f 0‖Ck,λ(Σ)κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T


)‖u1−u2‖Ck,λ(Ω)|γ2(t1, s1)−γ2(t1, s2)|.


Pero por un truco ya repetido en multiples ocasiones durante el trabajo juntoal Lema 2.2.2, deducimos, renombrando la funcion κ, que dicho sumando seestima como



)‖u1−u2‖Ck,λ(Ω)|γ2(t1, s1)−γ2(t1, s2)|λ.

Basta aplicar el teorema del valor medio en el ultimo sumando y las estima-ciones de la Proposicion 2.1.7 para deducir, de nuevo renombrando κ, que lacota del segundo sumando es



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

b) En el tercer termino de (2.14) el razonamiento es analogo. Acotamos en B0

las derivadas hasta orden k − 1 de f1 − f2 del primer factor mediante (2.12) yusamos el teorema del valor medio en el segundo factor para deducir una cotade este tercer termino del tipo



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

c) En el cuarto termino de (2.14) lo que haremos sera usar el teorema del valormedio en el primer factor y las estimaciones del Corolario 2.4.3 para acotarlas derivadas hasta orden k de f1. La cota para el segundo factor es obvia yagrupando todo obtenemos que el cuarto termino admite una cota superior dela siguiente forma


)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|γ2(t1, s1)− γ2(t1, s2)|.

Un truco como en los apartados anteriores llevan a una cota del tipo



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

d) En el quinto y ultimo termino de (2.14) la idea es similar pues podemos acotarlas derivadas de f1 mediante las estimaciones del Corolario 2.4.3 y usar elteorema del valor medio en el factor de la derecha para conseguir medianteideas similares a las anteriores una cota del tipo



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

e) Lo que resta es estudiar el primer termino de (2.14)

Dα(f1 − f2)(µ(s1))−Dα(f1 − f2)(µ(s2)).

Debido a que ocurre cuando α = 0, cabrıa pensar queDαf1(µ(s)) = Dαf2(µ(s)).No obstante, lo anterior no es cierto en general ni cuando |α| = 1. Para elloobservemos que

(f1 − f2)(µ(s)) = 0 =⇒ Jac(µ)(s)T∇(f1 − f2)(µ(s)) = 0,


o en otras palabras

∇(f1 − f2)(µ(s)) · ∂µ∂si

(s) = 0, i = 1, 2.

Dado que u1 · n ≥ ρ0 > 0 en S y por tanto µs1(s), µs2(s) y u1(µ(s)) sonlinealmente independientes, las derivadas de primer orden serıan identicas si,y solo si,

∇(f1 − f2)(µ(s)) · u1(µ(s)) = 0⇐⇒ ∇f2(µ(s)) · u1(µ(s)) = 0.

Pero

∇f2(µ(s)) = Jac(s2)(µ(s))T∇(f 0 µ)(s),

luego entonces

∇f2(µ(s)) · u1(µ(s)) = (Jac(s2)(µ(s))u1(µ(s))) · ∇(f 0 µ)(s).

Puesto que f 0 es independiente de los campos u1, u2, la igualdad anterior nose darıa en general a menos que

0 = Jac(s2)(µ(s)) · u1(µ(s)) =d

dt

∣∣∣∣t=0

s2(γ1(t, s)),

lo cual no es cierto en general. La razon radica en que aunque tuvieramosu1(µ(s)) ∈ Ker(Jac(s2)(µ(s))) para algunos u1, que los hay, debido a queJac(s2)(µ(s)) tiene rango 2, el nucleo solo puede tener dimension 1 y podemosperturbar localmente entorno a µ(s) las dos componentes tangenciales de u1

dando lugar a otro campo u1 ∈ Ck,λ(Ω,R3) en las mismas condiciones delCorolario, pero de forma que falle la condicion anterior.

En su lugar lo que haremos sera dar una estimacion en terminos de ‖u1 −u2‖Ck,λ(Ω) de dicho sumando. Para ello recuperamos la formula (2.10) y obser-vamos que

s1(µ(s)) = s = s2(µ(s)),

luego el primero de los sumandos en dicha formula se anula y deducimos que

Dα(f1 − f2)(µ(si)) = α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0 µ))(si)×

×

l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs1)(µ(si))

)δr−

l∏r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs2)(µ(si))

)δr.

Restando ambas expresiones para s1 y s2 y sumando y restando terminos cru-zados, el termino a estimar se descompone como sigue

Dα(f1 − f2)(µ(s1))−Dα(f1 − f2)(µ(s2)) = S1 + S2,


donde los dos sumandos son

S1 = α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

(Dδ(f 0 µ))(s1)−Dδ(f 0 µ)(s2)

×

×

l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs1)(µ(s1))

)δr−

l∏r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs2)(µ(s1))

)δr,

S2 = α!∑

(l,β,δ)∈D(α)

Dδ(f 0 µ)(s2)×

×

[l∏

r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs1)(µ(s))

)δr−

l∏r=1

1

δr!

(1

βr!(Dβrs2)(µ(s))

)δr]s=s1s=s2

.

Gracias al teorema del valor medio y los apartados anteriores donde estimaba-mos las derivadas de s1 y s2 hasta orden k−1 en B0 podemos estimar el primerode los dos sumandos, S1, mediante

|S1| ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ)κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T


)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

Veamos que ocurre con el segundo de los sumandos, S2. Una primera ideapodrıa ser estimar la constante de Holder del segundo factor en terminos de lasderivadas de orden k de s1 y s2 por el teorema del valor medio. No obstante,puede comprobarse en la demostracion de la parte anterior que precisamentecuando admitimos derivadas de orden k de s1 y s2 aparecen derivadas de ordenk − 1 de Jac(γi), que solo sabemos estimar a traves de la condicion λ-Hoder,obteniendo en determinados terminos no ‖u1−u2‖Ck,λ(Ω) sino ‖u1−u2‖λCk,λ(Ω)

21.Para evitar esto, lo que haremos sera no usar estas estimaciones interiores, sinolas correspondientes estimaciones en la frontera que deducimos como sigue.

Sumando y restando adecuadamente terminos cruzados en el segundo factordel sumando S2 observamos que todo se reduce, gracias a la relacion (2.9), asaber estimar para |β| ≤ k − 2 terminos del tipo[

(Dβ Jac(γ1)−1)(γ−11 (µ(s)))− (Dβ Jac(γ2)−1)(γ−1

2 (µ(s)))]s=s1s=s2

=[(Dβ Jac(γ1)−1)(0, s)− (Dβ Jac(γ2)−1)(0, s)

]s=s1s=s2

.

Tengamos en cuenta de nuevo que

Dβ(Jac(γ1)−1)−Dβ(Jac(γ2)−1) = Dβ(Jac(γ2)−1(Jac(γ2)− Jac(γ1)) Jac(γ1)−1)

=∑δ≤α≤β

(β

α

)(α

δ

)Dδ(Jac(γ2)−1)Dα−δ(Jac(γ2)− Jac(γ1))Dβ−α(Jac(γ2)−1).

21Tambien puede comprobarse que este tipo de potencias no son utiles en el proceso recursivo paraobtener las estimaciones a priori que desarrollaremos en el teorema de paso al lımite (Teorema 2.6.1) dela siguiente seccion.


En resumen, todo se reduce a saber estimar para multiındices |δ| ≤ k − 2[Dδ(Jac(γ1)− Jac(γ2))(0, s)

]s=s1s=s2

.

Por ello, recurrimos de nuevo a la expresion de las matrices Jacobianas Jac(γ1)y Jac(γ2) que obtuvimos en (2.11) mediante el sistema caracterıstico y nospreguntamos por la expresion explıcita de derivadas hasta orden k− 2 de estasexpresiones sobre puntos de al forma (0, s), que se corresponden con parametrosque parametrizan la base Σ de los tubos de flujo (en ese sentido hablamosde estimaciones en la frontera). La demostracion se realiza por induccion en|δ| ≤ k − 2.

Para δ = 0 tenemos que

Jac(γi)(0, s) =(ui(µ(s)) ∂µ

∂s(s)

),

luego entonces tenemos que

[Jac(γ1)(0, s)− Jac(γ2)(0, s)]s=s1s=s2=[(

u1(µ(s))− u2(µ(s)) 0)]s=s1s=s2

,

que por el teorema del valor medio admite una estimacion del tipo

‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|µ(s1)− µ(s2)| ≤ C‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ

≤ κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T


)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

Supongamos por hipotesis de induccion que tenemos estimaciones del mismotipo para derivadas de Jac(γ1)− Jac(γ2) con multiıdices mas pequenos que δ ydemostremos para δ. Si usamos de nuevo las expresiones (2.11) de las matricesJacobianas obtenemos

Dδ ∂γi∂t

(t, s) =∑

(l,β,ρ)∈D(δ)

Dρui(γi(t, s))l∏

r=1

1

ρr!

(1

βr!Dδrγi(t, s)

)ρr.

Evaluando en t = 0 tendremos en particular

Dδ ∂γi∂t

(0, s) =∑

(l,β,ρ)∈D(δ)

Dρui(µ(s))l∏

r=1

1

ρr!

(1

βr!Dδrγi(0, s)

)ρr.

Por tanto, como siempre sumando y restando terminos cruzados podemos es-timar [

Dδ ∂γ1

∂t(0, s)−Dδ ∂γ2

∂t(0, s)

]s=s1s=s2

,

usando en los factores del primer tipo el teorema del valor medio y en losfactores del segundo tipo la hipotesis de induccion y llegamos a una desigualdaddel tipo



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.


Por otra parte, para las otras columnas de la matriz Jacobiana debemos dis-tinguir dos situaciones. Podrıa ocurrir por un lado que δ = (0, ν) y en talcaso

Dδ ∂γi∂s

(t, s) = Dνs

∂µ

∂s(s) +

∫ t

0

Dνs

(Jac(ui)(γi(τ, s))

∂γi∂s

(τ, s)

)d τ,

que para t = 0 da lugar a

Dδ ∂γi∂s

(0, s) = Dνs

∂µ

∂s(s).

Entonces, es absolutamente trivial deducir la estimacion deseada en este casopuesto que de hecho

Dδ ∂γ1

∂s(0, s) = Dδ ∂γ2

∂s(0, s).

Tambien podrıa ocurrir que δ = (1, 0) + θ, siendo |θ| ≤ k − 3, en cuyo caso

Dδ ∂γi∂s

(t, s) = Dθ

(Jac(ui)(γi(t, s))

∂γi∂s

(t, s)

)

=∑η≤θ

∑(l,β,ρ)∈D(η)

(θ

η

)Dρ(Jac(ui))(γi(t, s))

l∏r=1

1

ρr!

(1

βrDβrγi(t, s)

)ρrDθ−η ∂γi

∂s(t, s).

Para t = 0

Dδ ∂γi∂s

(0, s)

=∑η≤θ

∑(l,β,ρ)∈D(η)

(θ

η

)Dρ(Jac(ui))(µ(si))

l∏r=1

1

ρr!

(1

βrDβrγi(0, s)

)ρrDθ−η ∂γi

∂s(0, s).

Un razonamiento identico al del primer caso conduce a una estimacion para[Dδ ∂γ1

∂s(0, s)−Dδ ∂γ2

∂s(0, s)

]s=s1s=s2

del tipo



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ,

concluyendo la cota para el primero de los sumando de (2.14)

En consecuencia, puesto que |α| = k− 1 era arbitrario, conseguimos una estimacionpara las derivadas de orden k − 1 en terminos de una desigualdad de Gronwall deltipo ∑

|δ|=k−1

∣∣Dδ(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dδ(f1 − f2)(γ2(t1, s2))∣∣

≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ)κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T


)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ


+C‖u2‖Ck,λ(Ω)

∫ t1

0

∑|δ|=k−1

∣∣Dδ(f1 − f2)(γ2(t, s1)−Dδ(f1 − f2))(γ(t, s2))∣∣ dt.

Por la arbitrariedad de t1, el lema de Gronwall simplifica lo anterior a la desigualdadfuncional siguiente∑

|δ|=k−1

∣∣Dδ(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dδ(f1 − f2)(γ2(t1, s2))∣∣



)‖u1−u2‖Ck,λ(Ω)e

Ct1‖u2‖Ck,λ(Ω)|s1−s2|λ.

Para finalizar, observamos que t1 < T y por tanto podemos acotar el termino ex-ponencial por e

CT‖u2‖Ck,λ(Ω) . Si renombramos de nuevo la funcion separadamentecreciente κ tendremos que

|Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s2))|



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|s1 − s2|λ.

2. Por otro lado, si consideramos ahora puntos x1, x2 ∈ T2 de la forma

x1 = γ2(t1, s1), x2 = γ2(t2, s1),

siendo 0 < t1, t2 < T y s1 ∈ D, se tiene de nuevo por el teorema fundamental delcalculo

Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t2, s1))

=

∫ t1

t2

d

dtDα(f1 − f2)(γ2(t, s1)) dt =

∫ t1

t2

∇(Dα(f1 − f2))(γ2(t, s1)) · u2(γ2(t, s1)) dt.

De nuevo por la descomposicion (2.13) tendremos la siguiente forma de escribir ladiferencia de derivadas

Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t2, s1))

= −∑β<α

(α

β

)∫ t1

t2

∇(Dβ(f1 − f2))(γ2(t, s1)) ·Dα−βu2(γ2(t, s1)) dt

−∑β≤α

(α

β

)∫ t1

t2

∇(Dβf1)(γ2(t, s1)) ·Dα−β(u1 − u2)(γ2(t, s1)) dt.

En esta ocasion la manera de estimar es mucho mas sencilla. En el primer sumandousamos la estimacion (2.12) mientras que en el segundo usamos las estimaciones delCorolario 2.4.3 para deducir que

|Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t2, s1))|



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|t1 − t2|.


Tengamos en cuenta ahora que puesto que 0 < t1, t2 < T , entonces |t1 − t2| ≤T 1−λ|t1 − t2|λ y renombrando de nuevo κ tendremos que

|Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t2, s1))|



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|t1 − t2|λ.

3. Por ultimo consideremos dos puntos cualesquiera x1, x2 ∈ T2, esto es,

x = γ2(t1, t1), x2 = γ2(t2, t2),

para ciertos 0 < t1, t2 < T y s1, s2 ∈ D. Entonces podemos usar las dos partesanteriores como sigue

|Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t2, s2))|

≤ |Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s1))−Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s2))|+|Dα(f1 − f2)(γ2(t1, s2))−Dα(f1 − f2)(γ2)(t2, s2)|



)‖u1−u2‖Ck,λ(Ω)

|s1 − s2|λ + |t1 − t2|λ

.

Por una parte, es obvio que

|s1 − s2|λ + |t1 − t2|λ ≤ 2|(t1, s1)− (t2, s2)|λ.

Por otra parte, el teorema del valor medio y la estimaciones de la Proposicion 2.1.7llevan a que

|(t1, s1)− (t2, s2)| = |γ−12 (γ2(t1, s1))− γ−1

2 (γ2(t2, s2))|

≤ κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)|γ2(t1, s1)− γ2(t2, s2)|.

En resumen, sin mas que volver a renombrar κ en caso necesario deducimos

|Dα(f1 − f2)(x1)−Dα(f1 − f2)(x2)|



)‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω)|x1 − x2|λ.

En consecuencia, intercambiando los papeles de f1 y f2 y modificando adecuadamenteκ lo que hemos obtenido es que

‖f1−f2‖Ck−1,λ(Ti) ≤ ‖f0‖Ck,λ(Σ)·κ

(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)·κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)·‖u1−u2‖Ck,λ(Ω), i = 1, 2.

Dado que supp(f1 − f2) ⊆ T1 ∪ T2, entonces

‖f1 − f2‖Ck−1,λ(Ω) ≤ ‖f 0‖Ck,λ(Σ) · κ(‖u1‖Ck,λ(Ω), T

)· κ(‖u2‖Ck,λ(Ω), T

)· ‖u1 − u2‖Ck,λ(Ω).

2.5. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE UN+1 55

2.5. Existencia y unicidad de un+1

En esta seccion nos centramos en el problema div-curl desacoplado de la ecuacionde Beltrami en las ecuaciones (2.7). Para obtener la teorıa de existencia y unicidad enCk,λ en la que estamos interesados, seran imprescindibles el Teorema de descomposicionde Helmholtz-Hodge [16], ası como algunas estimaciones de la teorıa del potencial sobrepotenciales volumetricos y de capa simple para ecuaciones elıpticas [25, 26, 27, 32], loscuales quedan resumidos en los siguientes 3. A groso modo, establecen que los operadoresde volumen “ganan” dos ordenes de derivacion en espacios Holder mientras que los po-tenciales de capa simple solo “ganan” uno y analizan los lımites de dichos potenciales enla frontera.

Lema 2.5.1 (Potencial de capa simple).Sea G ⊆ R3 un dominio acotado de clase Ck+1,λ, Ω = R3 \G y S = ∂G. Definamosformalmente el potencial de capa simple con densidad ζ : S −→ R

(Sζ)(x) =

∫S

ζ(y)

|x− y|dyS, x ∈ Ω.

Entonces, para cada ζ ∈ Ck,λ(S) la funcion ∇(Sζ) esta bien definida, admite extensioncontinua hasta Ω y se tiene el siguiente operador lineal continuo

∇S : Ck,λ(S) −→ Ck,λ(Ω)ζ 7−→ ∇(Sζ),

es decir, existe una constante positiva K = K(k, λ,G) tal que se verifica

‖∇(Sζ)‖Ck,λ(Ω) ≤ K‖ζ‖Ck,λ(S), ∀ζ ∈ Ck,λ(S).

Donde derivando bajo el signo integral podemos escribir

∇(Sζ)(x) =

∫S

∇x

(1

|x− y|

)ζ(y) dy, x ∈ Ω.

Demostracion. Para una prueba detallada de este resultado en dominios exteriores vease[32, Theorem 3] o alternativamente, referencias mas clasicas para dominios acotados como[26, Teorema 2.I].

A continuacion describiremos otro tipo de potenciales que seran de utilidad, los po-tenciales de volumen. Estudiaremos la regularidad Ck,λ de las derivadas primeras de talespotenciales y para ello sera necesario el Teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev (Teorema2.5.3), que enunciamos en su version mas general para espacios de Morrey.

Definicion 2.5.2 (Espacios de Morrey).Se define el espacio de Morrey de exponente 1 ≤ p ≤ +∞ como el espacio de funciones

Mp(R3) := f ∈ L1loc(R

3) | ‖f‖Mp(R3) < +∞,


siendo ‖ · ‖Mp(R3) la norma dada por

‖f‖Mp(R3) := supx0 ∈ R3

R > 0

R−3/p′∫B(x0,R)

|f(x)| dx. 22

Entre otras cosas, los espacios de Morrey son utiles porque contiene de forma continuaa la correspondiente escala de espacios de Lebesgue Lp(R3) y la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev surge en ellos de forma natural [14].

Teorema 2.5.3 (Hardy-Littlewood-Sobolev).Consideremos 0 < α < 3.

1. Si 1 ≤ p ≤ +∞ y 1 ≤ q < +∞ verifican

1

p+α

3− 1 =

1

q,

entonces exite C = C(p, q, α) > 0 de manera que∥∥∥∥ 1

|x|α∗ f∥∥∥∥Mq(R3)

≤ C‖f‖Mp(R3), ∀f ∈Mp(R3).

2. Si por otro lado 1 ≤ p, q ≤ +∞ verifican que

1

q< 1− α

3<

1

p,

entonces existe una constante C = C(p, q, α) de manera que

‖f‖L∞(R3) ≤ C‖f‖1/q′−α/31/p−1/q

Mp(R3)· ‖f‖

α/3−1/p′1/p−1/q

Mq(R3), ∀f ∈Mp(R3) ∩M q(R3).

Demostracion. [14, Proposition 3.1].

Lema 2.5.4 (Potencial de volumen).Sea 0 ∈ G ⊆ R3 un dominio acotado de clase Ck+1,λ, Ω = R3 \G y S = ∂G. Definamosformalmente el potencial de volumen (o Newtoniano) con densidad ζ : Ω −→ R

(N ζ)(x) =

∫Ω

ζ(y)

|x− y|dy, x ∈ Ω.

22p′ denota el exponente conjugado de p, esto es,

1

p+

1

p′= 1.


Consideremos R > 0 de manera que G ⊆ B(0, R) y denotemos ΩR = B(0, R) \ Ω.Entonces, existe una constante K = K(k, λ,G,R) > 0 de manera que para cualquierζ ∈ Ck,λ(Ω) con supp(ζ) ⊆ ΩR, la funcion ∇(N ζ) esta bien definida, admite extensioncontinua hasta Ω y se tiene la estimacion

‖∇(N ζ)‖Ck+1,λ(Ω) ≤ K‖ζ‖Ck,λ(Ω),

donde derivando bajo el signo integral podemos escribir

∇(N ζ)(x) =

∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)ζ(y) dy, x ∈ Ω.

El correspondiente resultado para dominios acotados de clase Ck+1,λ puede consultarseen [26, Teorema 3.II]. Aunque en [27, Lemma 4.3] se afirma que el mismo resultado escierto en C1,λ incluso para densidades con soporte no necesariamente compacto, siemprey cuando se introduzca un control de la caıda en infinito de la densidad ζ, en dichoartıculo se omite la prueba, limitandose a dar una referencia [15, Lemma 4.4] dondepueden encontrarse ideas similares que pueden ser empleadas para su demostracion. Elproblema para usar todas estas ideas es que para dominios no acotados las constantesque estos resultados aportan explotan. No obstante, debido a que solo trabajaremos condensidades con soporte dentro de un mismo compacto, damos una prueba de esta versionpara la que [15, Lemma 4.4] sı sera de gran ayuda.

Demostracion. En primer lugar, demostramos la acotacion de

∂

∂xi(N ζ)(x) =

∫Ω

∂

∂xi

(1

|x− y|

)ζ(y) dy.

Tomando modulos, tenemos la cota∣∣∣∣ ∂∂xi (N ζ)(x)

∣∣∣∣ ≤ ∫Ω

1

|x− y|2|ζ(y)| dy.

La estimacion en Lp de este tipo de integrales es clasica y el resultado suele llamarseTeorema de Hardy-Littlewood-Sobolev [29, Theorem 1, p. 119]. Nosotros usaremos la ver-sion de Giga y Miyakawa enunciada previamente para estimar en L∞. Para ello, tengamosen cuenta que puesto que ζ tiene soporte compacto, extendiendo ζ por cero a ζ : R3 −→ Robtenemos que

ζ ∈ Lp(R3) ⊆Mp(R3), ∀ 1 ≤ p ≤ +∞,y ademas se tiene la estimacion de la norma

‖ζ‖Mp(R3) ≤ ‖ζ‖Lp(R3) ≤ |ΩR|1p · ‖ζ‖Ck,λ(Ω), ∀ 1 ≤ p ≤ +∞ 23

Por la segunda parte del Teorema 2.5.3 concluimos que para cierta constante absolutaC > 0

‖∇(N ζ)‖B0(Ω) ≤∥∥∥∥ 1

|x|2∗ ζ∥∥∥∥L∞(R3)

≤ C‖ζ‖1/3

L1(R3)‖ζ‖2/3

L∞(R3)≤ C|ΩR|1/3‖ζ‖B0(Ω). (2.15)

23Como es clasico, usaremos el convenio 1∞ = 0.


A continuacion estamos interesados en acotar el resto de las derivadas, hasta ordenk+ 1. Comenzamos acotando en primer lugar las de orden |α| ≤ k como sigue. Derivandobajo el signo integral

Dα ∂

∂xi(N ζ) (x) =

∫Ω

Dαx

∂

∂xi

(1

|x− y|

)ζ(y) dy.

Pero por la simetrıa de la solucion fundamental del Laplaciano, considerando 1 ≤ k ≤ 3tal que ek ≤ α, tendremos

Dα ∂

∂xi(N ζ) (x) = −

∫Ω

Dα−ekx

∂

∂xi

∂

∂yk

(1

|x− y|

)ζ(y) dy 24

=

∫S

Dα−ekx

∂

∂xi

(1

|x− y|

)ζ(y)nk(y) dyS +

∫Ω

Dα−ek ∂

∂xi

(1

|x− y|

)∂ζ

∂yk(y) dy.

Mediante un argumento recursivo en el que seguimos explotando la simetrıa del nucleoe integrando por partes, llegamos a una expresion del tipo

Dα ∂

∂xi(N ζ) (x) =

α1∑m1=1

∫S

Dα−m1e1x

∂

∂xi

(1

|x− y|

)D(m1−1)e1ζ(y)n1(y) dyS

+

α2∑m2=1

∫S

Dα−α1e1−m2e2x

∂

∂xi

(1

|x− y|

)Dα1e1+(m2−1)e2ζ(y)n2(y) dyS

+

α3∑m3=1

∫S

Dα−α1e1−α3e2−m3e3x

∂

∂xi

(1

|x− y|

)Dα1e1+α2e2+(m3−1)e3ζ(y)n3(y) dyS

+

∫Ω

∂

∂xi

(1

|x− y|

)Dαζ(y) dy.

Entonces, la estimacion (2.15) previa junto con el Lema 2.5.1 nos permite asegurar laexistencia de K = K(k, λ,G,R) > 0 con

‖Dα∇(N ζ)‖B0(Ω) ≤ K‖ζ‖Ck,λ(Ω), ∀ |α| ≤ k.

Si derivamos una vez mas en la expresion recien obtenida tendremos que

Dα+ej∂

∂xi(N ζ) (x) =

α1∑m1=1

∫S

Dα−m1e1+ejx

∂

∂xi

(1

|x− y|

)D(m1−1)e1ζ(y)n1(y) dyS

+

α2∑m2=1

∫S

Dα−α1e1−m2e2+ejx

∂

∂xi

(1

|x− y|

)Dα1e1+(m2−1)e2ζ(y)n2(y) dyS

+

α3∑m3=1

∫S

Dα−α1e1−α3e2−m3e3+ejx

∂

∂xi

(1

|x− y|

)Dα1e1+α2e2+(m3−1)e3ζ(y)n3(y) dyS

24Integramos por partes y usamos el decaimiento en infinito de las funciones, impuesto por hipotesisen el lema


+

∫Ω

∂

∂xi

∂

∂xj

(1

|x− y|

)Dαζ(y) dy.

Los primeros tres terminos pueden volver a estimarse en C0,λ(Ω) gracias al Lema 2.5.1mientras que para estimar el cuarto termino observamos que

F (x) :=

∫Ω

∂

∂xi

∂

∂xj

(1

|x− y|

)Dαζ(y) dy

=

∫ΩR

∂

∂xi

∂

∂xj

(1

|x− y|

)(Dαζ(y)−Dαζ(x)) dy +Dαζ(x)

∫ΩR

∂

∂xi

∂

∂xj

(1

|x− y|

)dy 25

=

∫ΩR

∂

∂xi

∂

∂xj

(1

|x− y|

)(Dαζ(y)−Dαζ(x)) dy

−Dαζ(x)

∫S

∂

∂xi

(1

|x− y|

)nj(y) dyS −Dαζ(x)

∫∂B(0,R)

∂

∂xi

(1

|x− y|

)νj(y) dy.S

Gracias a esta factorizancion, acotando los ultimos dos sumandos por el Lema 2.5.1 yusando la condicion de Holder de Dαζ en el primero tendremos cotas del tipo

|F (x)| ≤ K‖ζ‖Ck,λ(Ω) + [Dαζ]λ,Ω

∫ΩR

dy

|x− y|3−λ.

El ultimo termino integral puede estimarse por medio del Teorema 2.5.3 tomando p = 1y q = +∞ ∫

ΩR

dy

|x− y|3−λ≤ C‖χΩR‖λL1(R3)‖χΩR‖1−λ

L∞(R3)= C|ΩR|λ.

En resumen, para una constante de nuevo K = K(k, λ,G,R) > 0

‖F‖B0(Ω) ≤ K‖ζ‖Ck,λ(Ω).

Lo que resta es estimar la seminorma λ-Holder de F y para ello, en primer lugar,extendemos ζ a ζ en todo R3 mediante la Proposicion 2.1.4 y consideramos

F (x) =

∫R3

∂

∂xi

∂

∂xj

(1

|x− y|

)Dαζ(y) dy, H(x) = F (x)− F (x).

Por [15, Lemma 4.4], existe C = C(λ) > 0 con

[F ]λ,B(0,r) ≤ C(r−λ‖Dαζ‖B0(B(0,2r)) + [Dαζ]λ,B(0,2r)), ∀r > R0.26

Tomando lımite cuando r → +∞ y estimando las normas de la extension por las de ζ

[F ]λ,Ω ≤ [F ]λ,R3 ≤ C · CP‖ζ‖Ck,λ(Ω).

25Integramos por partes la segunda integral teniendo en cuenta la caıda en infinito de la funcioninvolucrada

26Aquı denotamos R0 > 0 un radio de forma que B(0, R0) ⊆ G.


Por otra parte, podemos estimar [H]λ,Ω mediante [26, Teorema 3.II] obteniendo quepara cierta constante C = C(λ)

[H]λ,Ω ≤ C‖Dαζ‖C0,λ(G) ≤ C · CP‖ζ‖Ck,λ(Ω).

Por tanto,[F ]λ,Ω ≤ [F ]λ,Ω + [H]λ,Ω ≤ K‖ζ‖Ck,λ(Ω).

El resultado queda demostrado sin mas que agrupar todas las estimaciones y observarque las constantes K solo dependen de k, λ,G,R.

Lema 2.5.5 (Relaciones de salto).Sea G ⊆ R3 un dominio acotado de clase Ck+1,λ, Ω = R3 \G y S = ∂G. Si ζ ∈ Ck,λ(S)entonces, la extension continua de ∇(Sζ) a la frontera viene dada por

∇(Sζ)(x) = PV

∫S

∇x

(1

|x− y|

)ζ(y) dyS − 2πn(x)ζ(x), ∀x ∈ S. 27

Demostracion. Aunque la demostracion es estandar en la mayorıa de los libros clasicosde teorıa del potencial, una referencia donde se puede encontrar con todo detalle es [7,Theorem 2.17].

Teorema 2.5.6 (Problema div-curl).Sea 0 ∈ G ⊆ R3 un dominio acotado de clase Ck+5 con S = ∂G tal que Ω := R3 \G essimplemente conexo. Notemos por n al vector normal unitario exterior a G, consideremosR > 0 de manera que G ⊆ B(0, R) y definamos ΩR = B(0, R)\G. Sean ademas funciones

f ∈ C0,λ(Ω) ∩ Ck−1,λ(Ω),w ∈ C0,λ(Ω,R3) ∩ Ck−1,λ(Ω,R3) ∩ B1(Ω,R3),w con flujo cero,g ∈ Ck,λ(S),

(2.16)

de manera que tanto f como w tienen su soporte en ΩR. Entonces para cada 1 < ρ < 3hay solucion unica u ∈ B1(Ω,R3) del problema div-curl siguiente

div u = f, x ∈ Ω,rotu = w, x ∈ Ω,u · n = g, x ∈ S,|u(x)| ≤ 1

|x|ρ−1 , x ∈ Ω,

(2.17)

y ademas se cumple para cierta constante C0 = C0(k, λ,G,R)

‖u‖Ck,λ(Ω) ≤ C0

‖f‖Ck−1,λ(Ω) + ‖w‖Ck−1,λ(Ω) + ‖g‖Ck,λ(S)

.

27PV indica que la integral es considerada en el sentido de valor principal de Cauchy entorno a lasingularidad.


Demostracion. Por las hipotesis asumidas, tendremos en particular quef ∈ C0,λ(Ω), |f(x)| ≤ C

|x|ρ , ∀x ∈ Ω

w ∈ B1(Ω,R3) ∩ C0,λ(Ω,R3), |w(x)| ≤ C|x|ρ , ∀x ∈ Ω,

w con flujo cero,g ∈ C(S).

En consecuencia, la existencia y unicidad de solucion B1(Ω,R3) del problema div-curlanterior es ya sabido y puede verse en [27, Theorem 3.2(b)]. Aunque no repetiremos lademostracion, la idea fundamental consiste en describir la solucion mediante la descom-posicion en su parte irrotacional y solenoidal (Teorema de descomposicion de Helmholtz-Hodge [16]) y posteriormente demostrar, que solo puede haber una solucion decayendoa cero en infinito a esa velocidad gracias a los resultados de unicidad de soluciones della ecuacion de Laplace con decaimiento adecuado en infinito. Por tanto, nos centraremosesencialmente en demostrar la regularidad deseada en la solucion. Seguiremos fielmentelas ideas de [27, Theorem 4.2], donde se da la prueba en el caso k = 1, extendiendo elresultado a un numero arbitrario de derivadas Holder.

Para ello, partimos de u ∈ B1(Ω,R3) la solucion unica del problema (2.17) y graciasal decaimiento que estamos asumiendo en f = div u y w = rot f , podemos usar Teoremade descomposicion de Helmholtz-Hodge en dominios exteriores simplemente conexos [16,Theorem 2, p. 295] para deducir que la solucion debe poderse expresar de la forma

u = −∇ϕ+ rotA,

siendo ϕ y A respectivamente el campo escalar y vectorial siguientes28ϕ(x) =

1

4π

∫Ω

div u(y)

|x− y|dy +

1

4π

∫S

n(y) · u(y)

|x− y|dyS, x ∈ Ω

A(x) =1

4π

∫Ω

rotu(y)

|x− y|dy +

1

4π

∫S

n(y)× u(y)

|x− y|dyS, x ∈ Ω.

(2.18)

Entonces, nuestro campo queda reescrito29 en terminos de derivadas de primer ordende potenciales de volumen y potenciales de capa simple como sigue

u(x) = − 1

4π

∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)f(y) dy − 1

4π

∫S

∇x

(1

|x− y|

)g(y) dyS+

+1

4π

∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)× w(y) dy +

1

4π

∫S

∇x

(1

|x− y|

)× (n(y)× u(y)) dyS (2.19)

28Tengase en cuenta que por construccion n no es el normal unitario exterior a Ω sino interior, luegoel signo de los terminos de frontera es diferente al dado en [16].

29Tengase en cuenta las identidades de calculo vectorial validas para f, g campos escalares y F campovectorial de R3

∇(fg) = f∇g + g∇f y rot(fF ) = f rotF +∇f × F


Observese que las densidades de estos potenciales son todas, salvo la del termino defrontera del rotacional, datos iniciales del problema (2.17). En este punto entran en juegolas estimaciones de los Lemas 2.5.1 y 2.5.4.

1. Por un lado f ∈ Ck−1,λ(Ω) y w ∈ Ck−1,λ(Ω,R3) y tienen soporte compacto en ΩR

Por tanto, el Lema 2.5.4 asegura que para K = K(k, λ,G,R) > 0∥∥∥∥∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)f(y) dy

∥∥∥∥Ck,λ(Ω)

≤ K‖f‖Ck−1,λ(Ω).∥∥∥∥∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)× w(y) dy

∥∥∥∥Ck,λ(Ω)

≤ K‖w‖Ck−1,λ(Ω).

2. Por otro lado g ∈ Ck,λ(S), luego el Lema 2.5.1 concluye que∥∥∥∥∫S

∇x

(1

|x− y|

)g(y) dyS

∥∥∥∥Ck,λ(Ω)

≤ K‖g‖Ck,λ(S).

En lo que resta, nos dedicaremos a concluir la correspondiente estimacion para elultimo sumando en el que hemos descompuesto u. Aunque pueda parecer algo imposible,ya que no hemos impuesto ninguna condicion de contorno para η := n×u en el problema(2.17), dicha regularidad se deduce de todos los datos impuestos mediante un eleganteargumento de analisis funcional que puede consultarse en [31, Satz I.3.7].

En primer lugar, comenzamos observando que η es solucion de una ecuacion funcio-nal lineal no homogenea cuyo termino independiente solo depende de los potenciales devolumen y de capa simple que hemos sabido estimar previamente. Para ello, recordemosque la descomposicion (2.19) es valida para x ∈ Ω y nos preguntamos que ocurre cuandotomamos lımite cuando x se acerca a S. Por el Lema 2.5.5, tiene para x ∈ S

u(x) = − 1

4π

∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)f(y) dy − 1

4πPV

∫S

∇x

(1

|x− y|

)g(y) dy+

+1

4π

∫Ω

∇x

(1

|x− y|

)× w(y) dy +

1

4πPV

∫S

∇x

(1

|x− y|

)× (n(y)× u(y)) dy

+1

2n(x)g(x)− 1

2n(x)× (n(x)× u(x)).

Si despejamos30, hacemos producto vectorial por n(x) y usamos que η = n× u, dedu-cimos la ecuacion funcional siguiente para η

(I − T )η = h, x ∈ S, (2.20)

30Tengamos en cuenta que dado un vector unitario e ∈ R3 podemos descomponer cualquier otro vectorv ∈ R3 en su parte tangente y normal a e mediante

v = (e · v)e− e× (e× v).

Basta aplicarse lo anterior tomando e = n(x) y v = u(x) para x ∈ S para obtener que los dos terminosde residuo en el paso al lımite recuperan el valor 1

2u(x)


siendo

(Tη)(x) =1

2πPV

∫S

n(x)×(∇x

(1

|x− y|

)× η(y)

)dy,

h(x) = − 1

2π

∫Ω

n(x)×∇x

(1

|x− y|

)f(y) dy − 1

2πPV

∫S

n(x)×∇x

(1

|x− y|

)g(y) dy+

+1

2π

∫Ω

n(x)×(∇x

(1

|x− y|

)× w(y)

)dy

Para estimar η a partir de la ecuacion (2.20) debemos analizar previamente algunaspropiedades del operador T . Consideremos el espacio de los campos tangentes a S dotandode la norma uniforme, esto es,

X := ξ ∈ C(S,R3) | ξ · n = 0 en S, ‖ξ‖C(S) = maxx∈S|ξ(x)|.

Por definicion Tξ ∈ X, ∀ξ ∈ X. Tenemos entonces un operador lineal T : X −→ X.

1. En [31, Satz I.3.7] se demuestra que T es un operador compacto en X con numerode Riesz 1, esto es

mınn ∈ N ∪ 0 |Ker((I − T )n) = Ker((I − T )n+1) =

= mınn ∈ N ∪ 0 | Im((I − T )n) = Im((I − T )n+1) = 1.

2. En [17, Satz 6.2] se demuestra que la derivadas del potencial de capa simple en lafrontera (o adjunto del operador Neumann-Poincare) gana un orden de regularidadHolder puesto que S estamos asumiendo que es Ck+5 31. Puesto que nuestro operadores esencialmente eso, tendremos para el espacio de Banach Xk,λ := X ∩Ck,λ(S,R3)con la norma Ck,λ el operador lineal y continuo

T : Xk,λ −→ Xk+1,λ.

3. Por otro lado, el teorema de Ascoli-Arzela asegura que la siguiente inclusion escompacta, gracias a que S es compacta,

Ck+1,λ(S,R3) → Ck,λ(S,R3).

En consecuencia se tiene la inmersion compacta

Xk+1,λ → Xk,λ.

31Es por esto que desde el principio estamos asumiendo que Ω es un dominio acotado de clase Ck+5.


4. Podemos entonces considerar la aplicacion composicion de ambas

T : Xk,λ −→ Xk,λ,

que es un operador compacto por ser composicion de un operador continuo y otrocompacto. Ademas, su numero de Riesz tambien es 1 puesto que

Ker ((I − T )Xk,λ) = Ker(I−T )∩Xk,λ = Ker((I−T )2)∩Xk,λ = Ker((I−T )2Xk,λ).

Por el Teorema de descomposicion de Riesz-Schauder [24, Theorem 4.16] se tiene lasuma directo-topologica

Xk,λ = Ker ((I − T )Xk,λ)⊕t Im ((I − T )Xk,λ) ,

siendo Ker ((I − T )Xk,λ) finito-dimensional, Im ((I − T )Xk,λ) un subespacio cerrado(luego Banach) de Xk,λ y ademas se verifica

Im((I − T )Xk,λ) = Im((I − T )2Xk,λ).

Podemos considerar entonces el nuevo operador

T : Im ((I − T )Xk,λ) −→ Im ((I − T )Xk,λ) ,

que es continuo por construccion y sobreyectivo porque

Im((I − T )Xk,λ) = Im((I − T )2Xk,λ).

Por el Teorema de la aplicacion abierta I − T es un operador abierto de Im((I −T )Xk,λ) y por tanto se tiene la desigualdad

‖ξ‖Ck,λ(S) ≤ C‖(I − T )ξ‖Ck,λ(S), ∀ξ ∈ Im((I − T )Xk,λ). (2.21)

En general, [31] trabaja en dominios multiplemente conexos generales y factorizaη en ambos subespacios. En la imagen se estima como acabamos de justificar y elnucleo se describe en terminos de combinaciones lineales de campos de Neumann.Sin embargo, dado que nos encontramos en el caso simplemente conexo, tendremos[31] que Ker((I−T )Xk,λ) = 0 y por tanto, la descomposicion de Riesz-Schauder nosdice que η ∈ Im((I − T )Xk,λ), consiguiendo la estimacion que se querıa para η, estoes

‖η‖Ck,λ ≤ C‖(I − T )η‖Ck,λ . (2.22)

Lo que resta es unir la estimacion (2.22) con la ecuacion funcional (2.20) y estimar enCk,λ las derivadas de potenciales volumetricos y de capa simple que conforman el terminoindependiente h mediante los Lemas 2.5.4 y 2.5.1 para deducir que

‖η‖Ck,λ(S) ≤ K‖f‖Ck−1,λ(Ω) + ‖w‖Ck−1,λ(Ω) + ‖g‖Ck,λ(S)

.

Una vez estimado η en Ck,λ(S,R3), podemos estimar el ultimo termino de la descom-posicion que hicimos en u mediante el Lema 2.5.1. Agrupando todas las estimaciones delos 4 sumandos llegamos a la estimacion del enunciado.

2.6. PASO AL LIMITE DEL ESQUEMA ITERATIVO 65

2.6. Paso al lımite del esquema iterativo

Gracias a que en las secciones anteriores ya hemos desarrollado todos los resultadosnecesarios, en este punto ya estamos listos para efectuar rigurosamente el lımite en Ck,λ(Ω)del esquema iterativo (2.6) que habıamos presentado en las secciones anteriores paraaproximar nuestra ecuacion de Beltrami (2.5). Ese es el contenido del siguiente resultado.

Teorema 2.6.1 (Paso al lımite).Sea G,Σ, µ como en (2.2), 0 ∈ G, consideremos un campo inicial u0 ∈ Ck,λ(Ω,R3) veri-ficando

div u0 = 0 y rotu0 = 0,

y supongamos que T (Σ, u0) es un (ρ0, T, δ)-tubo de flujo de u0. Entonces, existe unaconstante

η = η(k, λ,G,Σ, µ, ρ0, T, δ, ‖u0‖Ck,λ(Ω,R3)

)> 0

de manera que si f 0 ∈ Ck,λc (Σ) tiene norma ‖f 0‖Ck,λ(Σ) < η y tomamos un+1 ∈ Ck,λ(Ω,R3)

y fn ∈ Ck,λ(Ω) las soluciones para algun 1 < ρ < 3 de los problemas siguientes paran = 0, 1, 2, . . .32

∇fn · un = 0, x ∈ Ω,fn = f 0, x ∈ Σ,

div un+1 = 0, x ∈ Ω,rotun+1 = fnun, x ∈ Ω,un+1 · n = u0 · n, x ∈ S,|un+1(x)| ≤ 1

|x|ρ−1 , x ∈ Ω,

entonces existen u ∈ Ck,λ(Ω,R3) y f ∈ Ck−1,λ(Ω) de modo que cuando n→ +∞

un → u en Ck,λ(Ω,R3), fn → f en Ck−1,λ(Ω),

u, f resuelven la ecuacion de Beltrami (2.5) para todo 1 < ρ < 3, es decir,rotu = fu, x ∈ Ω,div u = 0, x ∈ Ω,u · n = u0 · n, x ∈ S,|u(x)| ≤ Cρ/|x|ρ−1, x ∈ Ω,f = f 0, x ∈ Σ,

y ademas T (Σ, u) es un (ρ0, T, δ/2)-tubo de flujo de u.

Demostracion. A lo largo de la prueba, notaremos a los tubos de flujo de base Σ de cadauno de los campos un como

Tn := T (Σ, un).

En primer lugar debemos analizar que para cada problema nos encontramos en lashipotesis de los Teoremas 2.4.1 y 2.5.6 y por tanto podemos resolverlos de forma recursivaunos a partir de los otros. Para ello, comenzamos con la etapa n = 0, en la que nosencontramos con los problemas

32En el sentido de los Teoremas 2.4.1 y 2.5.6 e inicializando las iteraciones con el dato u0.


∇f0 · u0 = 0, x ∈ Ω,f0 = f 0, x ∈ Σ,

div u1 = 0, x ∈ Ω,rotu1 = f0u0, x ∈ Ω,u1 · n = u0 · n, x ∈ S,|u1(x)| ≤ 1

|x|ρ−1 , x ∈ Ω,

En cuanto al problema de transporte tenemos que u0 ∈ Ck,λ(Ω,R3), f 0 ∈ Ck,λc (Σ) y

ademas T0 es un (ρ0, T, δ)-tubo de flujo de u0. Entonces, tiene solucion unica f0 ∈ Ck,λ(Ω)con soporte en T0. Por otra parte, el problema div-curl tiene datos

f0u0 ∈ Ck,λc (Ω,R3) ⊆ C0,λ(Ω,R3) ∩ Ck−1,λ(Ω,R3) ∩ B1(Ω,R3),

y ademas, por el Lema 2.2.2

supp(f0u0) ⊆ T0 ⊆ B(0, T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ

)\G ⊆ ΩR.

33

Por otra parte, el dato de contorno es u0 · n ∈ Ck,λ(S) puesto que u0 ∈ Ck,λ(S,R3)(ya que u0 ∈ Ck,λ(Ω,R3)), n ∈ Ck,λ(S,R3) 34 y ademas S es compacta35. Por tanto,las hipotesis del Teorema 2.5.6 estan satisfechas y podemos asegurar la existencia deu1 ∈ Ck,λ(Ω,R3) solucion unica de la ecuacion div-curl anterior.

Entonces tenemos la siguiente ecuaciondiv(u1 − u0) = 0, x ∈ Ω,rot(u1 − u0) = f0u0, x ∈ Ω,(u1 − u0) · n = 0, x ∈ S,|u1(x)− u0(x)| ≤ 1

|x|ρ−1 , x ∈ Ω.

Por unicidad de solucion del problema div-curl y la estimacion de la correspondientesolucion dada en el Teorema 2.5.6, deducimos que para C0 = C0(k, λ,G,R) > 0 se verifica

‖u1 − u0‖Ck,λ(Ω) ≤ C0‖f0u0‖Ck−1,λ(Ω).

El ultimo termino es sencillo de estimar como sigue, dado |α| ≤ k − 1 entonces

Dα(f0u0) =∑β≤α

(α

β

)Dβf0D

α−βu0.

33La notacion ΩR la seguimos manteniendo de la seccion anterior y elegimos R := 2T‖u0‖Ck,λ(Ω) +diamΣ por motivos que descubriremos mas adelante en la demostracion.

34Observese que, salvo signo, el vector normal unitario exterior viene dado por

n(µ(s)) =

∂µ∂s1

(s)× ∂µ∂s2

(s)∣∣∣ ∂µ∂s1 (s)× ∂µ∂s2

(s)∣∣∣

Gracias a que estamos asumiendo S lo suficientemente regular (esto es Ck+5) y asumimos la cota∣∣∣ ∂µ∂s1 (s)× ∂µ∂s2

(s)∣∣∣ ≥ ρ1 > 0, podemos asegurar que las derivadas (k + 1)-esimas de la funcion anterior

estan acotadas y por tanto, n ∈ Ck,λ(S) sin mas que tomar arbitrarias las parametrizaciones µ de esta.35La cota Holder de las derivadas de orden superior se sigue del teorema del valor medio y de la

acotacion|x− y| ≤ (diamS)1−λ|x− y|λ, ∀x, y ∈ S.


Acotando cada derivada de f0 mediante el Corolario 2.4.3, cada derivada de u0 por‖u0‖Ck,λ(Ω) y usando el Lema 2.2.2, obtenemos para cierta constante Ck > 0 36 que solodepende de k una estimacion del tipo

‖f0u0‖Bk−1(Ω) ≤ Ck‖f 0‖Ck,λ(Σ)κ(‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)‖u0‖Ck,λ(Ω).

Por otro lado, para |α| = k − 1 se tiene de nuevo por el Lema 2.1.2, el teorema delvalor medio, el Lema 2.2.2, el Corolario 2.4.3 y la Proposicion 2.1.4

‖Dα(f0u0)‖C0,λ(Ω) = ‖Dα(f0u0)‖C0,λ(T0) ≤∑β≤α

(α

β

)‖Dβf0D

α−βu0‖C0,λ(T0)

≤ CkCP‖f 0‖Ck,λ(S)κ(‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)‖u0‖Ck,λ(Ω)

√3(T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ)1−λ.

Agrupando todos las constantes en una constante K = K(k, λ,G,R) > 0 tendremos,

‖u1 − u0‖Ck,λ(Ω) ≤ K

1 + (T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ)1−λ××‖f 0‖Ck,λ(S)κ

(‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)‖u0‖Ck,λ(Ω).

En este momento, fijamos el valor del parametro η > 0 de manera que se verifiquenlas condiciones siguientes37

K

1 + (4T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ)1−λ××κ(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)+ ‖u0‖Ck,λ(Ω)κ

(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)2η <

1

2.

K

1 + (4T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ)1−λ××κ(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T


(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)2‖u0‖Ck,λ(Ω) · η

<1

4

2δ

cPTe− 1

2cP‖u0‖Ck,λ(Ω)

T

(2.23)

De esta forma tenemos en particular que‖u1 − u0‖Ck,λ(Ω) <

1

2‖u0‖Ck,λ(Ω),

‖u1 − u0‖Ck,λ(Ω) <1

4

2δ

CPTe− 1

2cPT‖u0‖Ck,λ(Ω) ,

‖u1‖Ck,λ(Ω) ≤3

2‖u0‖Ck,λ(Ω).

(2.24)

Lo que haremos a continuacion sera demostrar por induccion en n que fn y un+1 estanbien definidos (esto es, que el correspondiente problema tiene solucion) y que ademas se

36Dicha constante puede tomarse igual a Ck =∑|α|≤k

∑β≤α

(αβ

).

37Para entender por que hacemos esta eleccion consultese mas adelante el tipo de terminos que queremosestimar.


verifican las estimaciones

‖un+1 − un‖Ck,λ(Ω) ≤1

2n‖u1 − u0‖Ck,λ(Ω) <

1

2n+1‖u0‖Ck,λ(Ω),

‖un+1 − un‖Ck,λ(Ω) <1

2

1

2n+1

2δ

CPTe− 1

2cPT‖u0‖Ck,λ(Ω) ,

‖un+1 − u0‖Ck,λ(Ω) <n+1∑i=1

1

2i‖u0‖Ck,λ(Ω),

‖un+1 − u0‖Ck,λ(Ω) <1

2

n+1∑i=1

1

2i2δ

CPTe− 1

2cP‖u0‖Ck,λ(Ω) ,

‖un+1‖Ck,λ(Ω) <

n+1∑i=0

1

2i‖u0‖Ck,λ(Ω).

(2.25)

El caso n = 0 se resume en lo que acabamos de probar hasta ahora. Supongamos porhipotesis de induccion que se verificase para ındices inferiores a n + 1 y demostremoslopara ındices iguales a n + 1. En primer lugar justificamos que estamos de nuevo en lashipotesis para asegurar mediante los Teoremas 2.4.1 y 2.5.6 la existencia y unicidad delos problemas

∇fn · un = 0, x ∈ Ω,fn = f 0, x ∈ Σ,

div un+1 = 0, x ∈ Ω,rotun+1 = fnun, x ∈ Ω,un+1 · n = u0 · n, x ∈ S,|un+1(x)| ≤ 1

|x|ρ−1 , x ∈ Ω,

Por hipotesis de induccion un ∈ Ck,λ(Ω,R3) y ademas, f 0 ∈ Ck,λc (Σ). Gracias a la

tercera desigualdad de (2.25), Tn es un(ρ0, T,

(1− 1

2

∑ni=1

12i

)δ)-tubo de flujo de un. En

consecuencia existe una unica solucion fn ∈ Ck,λ(Ω) con soporte en Tn de la ecuacionde transporte anterior. Gracias a la acotacion de Tn, podemos repetir exactamente elmismo razonamiento que para el caso n = 0 para deducir existencia y unicidad de solucionun+1 ∈ Ck,λ(Ω,R3) del problema div-curl previo. Lo que resta es verificar las desigualdadesde (2.25) y para estimar un+1 − un lo primero sera observar que por construccion verificala siguiente ecuacion

div(un+1 − un) = 0, x ∈ Ω,rot(un+1 − un) = fnun − fn−1un−1, x ∈ Ω,(un+1 − un) · n = 0, x ∈ S,|un+1(x)− un(x)| ≤ 1

|x|ρ−1 , x ∈ Ω.

De nuevo, por unicidad de solucion del problema div-curl y la estimacion de la co-rrespondiente solucion dada en el teorema 2.5.6, deducimos que para la misma constanteC0 = C0(k, λ,G,R) > 0 de antes 38se verifica

‖un+1 − un‖Ck,λ(Ω) ≤ C0‖fnun − fn−1un−1‖Ck−1,λ(Ω).

38El hecho de que C0 no dependa del ındice n de la sucesion es clave. En otro caso, las cotas queexplotarıan en el lımite, lo que imposibilitarıa la convergencia. El motivo por el que siempre se consiguela misma constante C0 se debe a una sutileza del Teorema 2.5.6. Dado que estamos tomando R =


Pero

‖fnun − fn−1un−1‖Ck−1,λ(Ω) ≤ ‖(fn − fn−1)un‖Ck−1,λ + ‖fn−1(un − un−1)‖Ck−1,λ(Ω).

La forma de estimar ambos sumandos es identica a como se hizo en el caso n = 0 salvoque en el primero usamos el Corolario 2.4.4 (teniendo en cuenta que Tn y Tn−1 son, porlo anterior

(ρ0, T,

(1− 1

2

∑ni=1

12i

)δ)-tubo de flujo de un y

(ρ0, T,

(1− 1

2

∑n−1i=1

12i

)δ)-tubo

de flujo de un−1 respectivamente), pero en el segundo sumando usamos el Corolario 2.4.3.En cualquier caso se obtiene la cota

‖fnun − fn−1un−1‖Ck,λ(Ω) ≤ K‖f 0‖Ck,λ(Σ)

1 + (4T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ)1−λ×

×κ(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T


(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)2‖un − un−1‖Ck,λ(Ω).

En resumidas cuentas

‖un+1 − un‖Ck,λ(Ω) ≤ K‖f 0‖Ck,λ(Σ)

1 + (4T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ)1−λ×

×κ(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)+ κ

(2‖u0‖Ck,λ(Ω), T

)2‖un − un−1‖Ck,λ(Ω).

Gracias a que asumimos ‖f 0‖Ck,λ(Σ) < η, con η verificando las restricciones (2.23)aseguramos que

‖un+1 − un‖Ck,λ(Ω) <1

2‖un − un−1‖Ck,λ(Ω),

y entonces basta aplicar la hipotesis de induccion para recuperar las desigualdades primeray segunda de (2.25). El resto se deducen de las anteriores de la siguiente manera

Por un lado, usando las dos estimaciones de antes junto con la hipotesis de induccion

‖un+1 − u0‖Ck,λ(Ω) ≤n∑i=0

‖ui+1 − ui‖Ck,λ ≤n∑i=0

1

2i+1‖u0‖Ck,λ(Ω) =

n+1∑i=1

1


Y de igual manera

‖un+1 − u0‖Ck,λ(Ω) ≤n∑i=0

‖ui+1 − ui‖Ck,λ ≤1

2

n+1∑i=1

1

2i2δ

CPTe− 1

2CPT‖u0‖Ck,λ(Ω) .

4T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ, tendremos por el Lema 2.2.2 y la ultima estimacion de (2.25)

supp(fnun − fn−1un−1) ⊆ Tn ∪ Tn−1

⊆ B(0, T‖un‖Ck,λ(Ω) + diamΣ

)∪B

(0, T‖un−1‖Ck,λ(Ω) + diamΣ

)⊆ B

(0, 2T‖u0‖Ck,λ(Ω) + diamΣ

)= B(0, R).


La ultima desigualdad se obvia porque por la desigualdad triangular y todo lo an-terior

‖un+1‖Ck,λ(Ω) ≤ ‖u0‖Ck,λ(Ω) + ‖un+1 − u0‖Ck,λ(Ω)

≤

(1 +

n+1∑i=1

1

2i

)‖u0‖Ck,λ(Ω) =

n+1∑i=0

1


Ya nos encontramos en situacion de demostrar que unn∈N es de Cauchy en Ck,λ(Ω,R3)y que fnn∈N es de Cauchy en Ck−1,λ(Ω).

Gracias a las estimaciones anteriores, tendremos que dados n,m ∈ N, entonces

‖un+m − un‖Ck,λ(Ω) ≤n+m−1∑i=n

‖ui+1 − ui‖Ck,λ(Ω)

<n+m−1∑i=n

1

2i+1‖u0‖Ck,λ(Ω) ≤

+∞∑k=n+1

1


Por tanto, por la convergencia de la serie geometrica de razon 1/2 deducimos quepara cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces

+∞∑i=n+1

1

2i<

ε

‖u0‖Ck,λ(Ω)

=⇒ ‖un+m − un‖Ck,λ(Ω) ≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀m ∈ N.

Por tanto unn∈N es de Cauchy en Ck,λ(Ω,R3) y por complitud de dicho espacio,existe u ∈ Ck,λ(Ω,R3) de manera que

un → u en Ck,λ(Ω,R3).

La condicion de Cauchy en Ck−1,λ(Ω) para la sucesion fnn∈N es consecuenciadirecta de lo anterior junto al Corolario 2.4.4 ya que, como se probo en el proce-so de induccion, Tn son

(ρ0, T,

(1− 1

2

∑ni=0

12i

)δ))-tubos de flujo de un. Por tanto,

existira tambien f ∈ Ck−1,λ(Ω) de forma que

fn → f en Ck−1,λ(Ω).

Ya podemos concluir el teorema sin mas que comprobar que u y f determinan unasolucion de la ecuacion de Beltrami (2.5). Para hacerlo, tomamos lımites en Ck−1,λ(Ω), envista de la convergencia anterior, sobre las ecuaciones de la sucesion de problemas div-curl

div un+1 = 0 rotun+1 = fnun un+1 · n = u0 · n↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

div u = 0 rotu = fu u · n = u0 · n.


Por ultimo, observese que

supp(fu) ⊆ supp(f) ⊆+∞⋃n=0

Tn.

Pero por el Lema 2.2.2 y la ultima desigualdad de (2.25)

Tn ⊆ B(0, R) =⇒ supp(f) ⊆ B(0, R) =⇒ supp(fu) ⊆ B(0, R),

de donde el Teorema 2.5.6 concluye en general que

|u(x)| ≤ Cρ|x|ρ−1

, ∀x ∈ Ω, ∀1 < ρ < 3

.

Tambien es claro que en vista a la penultima desigualdad de (2.25)

‖un+1 − u0‖Ck,λ(Ω) <1

2

n+1∑i=1

2δ

CPTe− 1

2CPT‖u0‖Ck,λ(Ω) .

Tomando lımites cuando n→ +∞ se deduce que

‖u− u0‖Ck,λ(Ω) ≤1

2

2δ

CPTe− 1

2CPT‖u0‖Ck,λ(Ω) ,

y por el Lema 2.2.3 se deduce que T (Σ, u) es un(ρ0, T,

δ2

)-tubo de flujo de u.

Bibliografıa

[1] A. Bertozzi, Existence, uniqueness and a characterization of solutions to the contourdynamics equation. Ph.D. dissertation, Princeton University, Princeton, NJ.

[2] A. Bertozzi, P. Constantin, Global regularity dor vortex patches. Commun. Math.Phys. 152, 19-28 (1993).

[3] M. Bineau, On the Existence of Force-Free Magnetic Fields. Commun. Pure andApplied Math. 27, 77-84 (1972).

[4] J. A. Carrillo, J. Soler, On the evolution of a singular vortex patch in a two-dimensional incompressible fluid flow. Computer Physics Communications, 121-122(1999) 244-250.

[5] J. Y. Chemin, Persistance de structures geometriques dans les fluides incompressi-bles bidimensionels, Ann. Ec. Norm. Super. 26(4), 1-16 (1993).

[6] A.J. Chorin, J.E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. ThirdEdition. Springer (2000).

[7] D. L. Colton, R. Kress, Integral equation methods in scattering theory. John Wileyand Sons (1983)

[8] P. Constantin, E. S. Titi, On the evolution of nearly circular vortex-patches. Com-mun. Math. Phys. 119, 177-198 (1988).

[9] J. M. Delort, Existence de nappes de tourbillon en dimension deux. J. Amer. Math.Soc. 4, 553-586 (1991).

[10] A. Enciso, D. Peralta-Salas, Beltrami fields with a nonconstant proporcionality factorare rare. To appear.

[11] A. Enciso, D. Peralta-Salas, Existence of knotted vortex tubes in steady Euler flows.Acta Mathematica. Volume 214, 61-134 (2015).

[12] A. Enciso, D. Peralta-Salas, Knots and links in steady solutions of the Euler equa-tion. Annals of Mathematics. Volume 175, 345-367 (2012).

[13] C. Fernandez Perez, Ecuaciones diferenciales I: Ecuaciones lineales. EdicionesPiramide (1992).

73

74 BIBLIOGRAFIA

[14] Y. Giga and T. Miyakawa, Navier-Stokes flow in R3 with measures as initial vorticityand Morrey spaces. Communications in Partial Differential Equations. Volume 14,577-618 (1989).

[15] D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,Springer (2001).

[16] Y. F. Gui and W. B. Dou, A Rigorous and Completed Statement on HelmholtzTheorem. Progress In Electromagnetics Research, PIER 69, 287-304 (2007).

[17] U. Heinemann, Die regularisierende Wirkung der Randintegraloperatoren der klas-sischen Potentialtheorie in den Raumen holderstetiger Funktionen, Diploma thesis,University of Bayreuth, 1992.

[18] T. Hmidi, J. Mateu, J. Verdera, Boundary regularity of rotating vortex patches.Arch. Rational Mech. and Anal. 209(1), 171-208 (2013).

[19] R. Kaiser, M. Neudert, W. von Wahl, On the Existence of Force-Free Magnetic Fieldswith Small Nonconstant α in Exterior Domains. Communications in MathematicalPhysics. 211, 111-136 (2000).

[20] M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes, S. Schochet, A criterion for the equiva-lence of the Birkhoff-Rott and Euler descriptions of vortex sheet evolution. Trans.Amer. Math. Soc. 359, 9, 4125-4142 (2007).

[21] Tsoy-Wo Ma, Higher chain formula proved by combinatorics. The Electronic Journalof Combinatorics. 16, Research Paper N21, 7 p. (2009).

[22] A. Majda, A. Bertozzi, Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge UniversityPress (2002).

[23] A. Morgulis, V. I. Yudovich, G. M. Zaslavsky, Compressible helical flows, Comm.Pure Appl. Math. 48, 571-582 (1995) .

[24] T. J. Morrison, Functional Analysis. An Introduction to Banach Space Theory. JohnWiley and Sons (2001).

[25] C. Miranda, Partial Differential Equations of Elliptic Type. Ergebnisse der Mathe-matik und ihrer Grenzgebiete, Volume 2 (1970).

[26] C. Miranda, Sulle proprieta di regolarita di certe trasformazioni integrali. Mem. Acc.Lincei 7, 303-336 (1965).

[27] M. Neudert and W. von Wahl, Asymptotic Behaviour of the Div-Curl Problem inExterior Domains. Advances in Differential Equations. 6, 1347-1376 (2001).

[28] S. Schochet, The weak vorticity formulation of the 2-d Euler equations andconcentration-cancellation. Communnications in Partial Differencial Equations. 20,1077-1104 (1995).

BIBLIOGRAFIA 75

[29] E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Prin-ceton University Press (1970).

[30] E. Tadmor, On a new scale of regularity spaces with applications to Euler equations.Nonlinearity, 14, 513-532 (2001).

[31] W. von Wahl, Vorlesung uber das Auβenraumproblem fur die instationaren Glei-chungen von Navier-Stokes, Rudolph-Lipschitz-Vorsenlug, Sondeforschungsbereich256: Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen 11 (1989).

[32] M. Wiegner, Schauder estimates for boundary layer potentials. Mathematical Met-hods in the Applied Sciences. 16, 877-894 (1993).

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