Introdduc-factores de La Ing.economica

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CURSO: INGENIERA ECONMICA

INTRODUCCIN, CONCEPTOS BSICOS.

MATEMTICA FINANCIERA:

Factores de la Ingeniera Econmica

INGENIERA ECONMICA - Ing. E. De La Rosa Ros

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INGENIERA ECONMICA: Introduccin

Los ambientes tecnolgico y social en que vivimos cambian de manera

continua y rpida. En las ltimas dcadas, los avances en la ciencia y la

ingeniera hicieron posibles: los viajes espaciales, transformaron nuestros

sistemas de transporte, revolucionaron la prctica de la medicina, y permitieron

que los circuitos electrnicos se volvieran cada vez ms pequeos. La lista de

sucesos como los mencionados parece interminable. En los cursos de ciencias

e ingeniera que el lector seguir, aprender algunas de las leyes fsicas que

sustentan dichos logros.

La utilizacin del conocimiento cientfico y de ingeniera para nuestro beneficio

se logra mediante el diseo de objetos que utilizamos, como estructuras,

mquinas, productos y servicios. Sin embargo, dichos logros no ocurren sin

tener que pagar un precio, ya sea monetario o de otro tipo. Por ello, el

propsito del curso es desarrollar e ilustrar los principios y la metodologa

que se requieren para responder a la pregunta fundamental de cualquier

diseo: sus beneficios son mayores que sus costos?

1.1 INTRODUCCIN


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El Consejo para la Acreditacin de la Ingeniera y la Tecnologa establece que la

ingeniera es la profesin donde se aplica el conocimiento de las matemticas y las ciencias naturales obtenido a travs del estudio, la experiencia y la prctica, unido

al criterio, para desarrollar formas de utilizar, en forma econmica, los materiales y

las fuerzas de la naturaleza en beneficio de la humanidad.* En la definicin, se destacan tanto la cuestin econmica como los aspectos fsicos de la ingeniera.

Queda claro que es esencial que la parte econmica de la prctica de la ingeniera

tambin se tome en consideracin.

*Consejo para la Acreditacin de la Ingeniera y la Tecnologa, Criteria for Accrediting Programs in Engineering in the United States

(N.Y:1998,ABET, Baltimore, MD).

La ingeniera econmica implica la evaluacin sistemtica de los resultados

econmicos de las soluciones propuestas a problemas de ingeniera. Para que

sean aceptables en lo econmico(es decir, viables), las soluciones de los

problemas deben arrojar un balance positivo de la relacin beneficio/costo a largo

plazo, y tambin deben

fomentar el bienestar y supervivencia de una organizacin,

constituir un cuerpo de tecnologas e ideas creativas e innovadoras,

permitir la identificacin y el escrutinio de los resultados que se esperan, y

llevar una idea hasta sus ltimas consecuencias en trminos de rentabilidad a travs de una medida vlida y aceptable de rendimiento.


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Por lo tanto, la ingeniera econmica es la parte que mide en unidades monetarias

las decisiones que los ingenieros toman, o recomiendan, en su trabajo para lograr

que una empresa sea rentable y ocupe un lugar altamente competitivo en el

mercado. Tales decisiones se relacionan de manera estrecha con los diferentes

tipos de costos y el rendimiento (tiempo de respuesta, seguridad, importancia,

confiabilidad, etc.) que se obtienen con el diseo propuesto como solucin a un

problema. La misin de la ingeniera econmica consiste en balancear dichas

negociaciones de la forma ms econmica.

Cules son los principios de la ingeniera econmica?

El desarrollo, estudio y aplicacin de cualquier disciplina debe comenzar con sus fundamentos. Los autores definen los fundamentos de la ingeniera

econmica como un conjunto de principios, o conceptos bsicos, que ofrecen

una doctrina comprensiva para el desarrollo de la metodologa.

Tales principios sern del dominio de los estudiantes conforme avancen en el estudio del curso. Sin embargo, en el anlisis de la ingeniera econmica la

experiencia ha demostrado que la mayor parte de los errores se cometen al

violar o apartarse de los principios bsicos. Una vez que un problema o

necesidad se define con claridad, los fundamentos de la disciplina pueden

analizarse con base en siete principios.


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PRINCIPIO 1: DESARROLLAR LAS ALTERNATIVAS

La seleccin (decisin) se da entre alternativas. Las alternativas necesitan

identificarse y luego definirse para utilizarse en el anlisis posterior.

Una situacin decisiva implica elegir entre dos o ms opciones. Desarrollar y

definir las alternativas para una evaluacin detallada es importante a causa del

impacto que eso tiene en la calidad de la decisin. Los ingenieros y directivos

deberan dar una prioridad muy alta a esta responsabilidad. La creatividad e

innovacin son esenciales en el proceso.

Una alternativa en una situacin de toma de decisiones es no realizar cambio

alguno en la operacin en curso o en el conjunto de condiciones presente (es

decir, no hacer nada). Si usted cree que esta opcin es factible, asegrese de que

se considera en el anlisis. Sin embargo, no d preferencia al status quo en

detrimento del cambio innovador o necesario.


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PRINCIPIO 2: CENTRARSE EN LAS DIFERENCIAS

Slo las diferencias entre los resultados esperados en las alternativas son

relevantes para su comparacin, y deben tomarse en cuenta en la decisin.


Es evidente que slo las diferencias entre los resultados futuros de las

alternativas son importantes. Los resultados comunes a todas las alternativas

deben ignorarse en la comparacin y decisin.

PRINCIPIO 3: UTILIZAR UN PUNTO DE VISTA CONSISTENTE

Los resultados futuros de las alternativas, econmicos o de otro tipo, deben

desarrollarse en forma consistente a partir de un punto de vista (perspectiva)

definido(a).

Es normal que se utilice la perspectiva de quien toma la decisin, que con

frecuencia es la de los propietarios de la empresa. Sin embargo, es importante

que primero se defina el punto de vista para la decisin en particular, y despus

se use consistentemente en la descripcin, anlisis y comparacin de las

alternativas.


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PRINCIPIO 4: USAR UNA UNIDAD DE MEDIDA COMN

El uso de una unidad de medida comn para numerar tantos resultados futuros

como sea posible, simplificar el anlisis y la comparacin de las alternativas.

Para las consecuencias econmicas, una unidad monetaria como el dlar es la

unidad de medida comn. Si esto no es posible cuantificar en terminos

monetarios, describa sus consecuencias en forma explcita de manera que la

informacin sea de utilidad para quien tome la decisin cuando se comparen las

alternativas.

PRINCIPIO 5: TOMAR EN CUENTA TODOS LOS CRITERIOS RELEVANTES

La seleccin de la alternativa preferida (toma de decisiones) requiere el uso de un

criterio (o de varios). El proceso de decisin debe considerar tanto los resultados

numerados en la unidad monetaria, como los que se expresan en alguna otra

unidad de medida, o de modo explcito en forma descriptiva.

En el anlisis de ingeniera econmica, el criterio principal se relaciona con los

intereses financieros de largo plazo de los dueos, lo cual se basa en la

suposicin de que el capital disponible se asignar para proporcionar el mximo

rendimiento monetario a sus propietarios.


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PRINCIPIO 6:HACER EXPLCITA LA INCERTIDUMBRE

La incertidumbre es inherente al proyectar (o estimar) los resultados futuros de

las alternativas, y debe reconocerse en el anlisis y comparacin de stas.

El anlisis de las alternativas implica proyectar o estimar las consecuencias

futuras asociadas con cada una de ellas. La magnitud y el impacto de los

resultados futuros de cualquier curso de accin son inciertos. Aun si la alternativa

no implicara cambio alguno en las operaciones en curso, es alta la probabilidad

de que las estimaciones realizadas hoy de ciertos factores como, por ejemplo, las

entradas futuras de efectivo y de los gastos, no se cumplan en realidad.

PRINCIPIO 7:REVISAR LAS DECISIONES

La mejora del proceso de toma de decisiones surge de un proceso adaptativo;

hasta donde sea posible, los resultados de la alternativa seleccionada que se

proyectaron al inicio deben compararse despus con los resultados reales que se

hayan alcanzado.

Un buen proceso de toma de decisiones puede desembocar en una decisin que

tenga un resultado no deseado. Otras decisiones, aun cuando tengan un xito

relativo, tendrn resultados muy diferentes respecto de las consecuencias de las

estimaciones iniciales. El aprendizaje a partir de la experiencia y la adaptacin con

base en ella, son procesos esenciales y distinguen a una buena organizacin.


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INGENIERA ECONMICA:Introduccin

INTRODUCCIN

Cuando se emprende una actividad, en la mayora de casos existen diversas alternativas para llevarla a cabo.

Las alternativas de solucin normalmente se comparan utilizando dos criterios: el criterio tcnico y el econmico. El criterio tcnico implica la calidad, la seguridad y las consideraciones respecto al servicio al cliente. Las caractersticas del criterio econmico son: requerimientos de inversin inicial, rendimiento o retorno sobre la inversin y el perfil del flujo de efectivo o flujo de caja.

Cuando se requieren inversiones de capital para equipos, materiales, y mano de obra a fin de llevar a cabo dichas alternativas y se involucra alguna clase de actividad de ingeniera, las tcnicas de la Ingeniera Econmica pueden utilizarse para ayudar a determinar cul es la mejor de ellas.

Tradicionalmente, la aplicacin de tcnicas de anlisis econmico en la comparacin de alternativas de soluciones de ingeniera, se conoce como Ingeniera Econmica. Es decir, la ingeniera econmica es la disciplina que se preocupa de los aspectos econmicos de la ingeniera; implica la evaluacin sistemtica de los costos y beneficios de los proyectos propuestos.

Los principios y metodologas de la ingeniera econmica son parte integral de la administracin y operacin diaria de las entidades pblicas, privadas y ONG.


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INTRODUCCIN

Principalmente busca lograr un anlisis tcnico, con nfasis en los aspectos econmicos, de manera de contribuir notoriamente en la toma de decisiones. Las decisiones ingenieriles deben tener en cuenta el anlisis econmico para asegurar que el producto pueda ser manufacturado econmicamente y con buena calidad.

Puede definirse la ingeniera econmica como una especialidad que integra los conocimientos de ingeniera con los elementos bsicos de la microeconoma. Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en las comparaciones econmicas de las distintas alternativas de inversin.

Los profesionales especializados, frente al diseo y la operacin de un proyecto, se interrogan frecuentemente respecto a lo siguiente:

Qu diseo se elige entre varias alternativas similares?

deben reemplazarse el equipo en uso por uno nuevo?, y en caso de afirmativo:

Cundo debe sustituirse?

Los beneficios esperados del proyecto son suficientes para justificar la inversin?

Es preferible un proyecto conservador y ms seguro o uno de mayor riesgo que ofrece beneficios superiores?


INGENIERA ECONMICA II UNIDAD I - Ing. E. De La Rosa Ros

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INTRODUCCIN

Estas preguntas poseen caractersticas comunes:

1. Cada una implica una seleccin entre opiniones tcnicas.

2. Todas involucran consideraciones econmicas.

Por qu aplicar la Ingeniera Econmica a la industria de la construccin?

La industria de la construccin tiene actividades varias que cubren todos los aspectos del espectro empresarial. Por ejemplo comprar insumos, solicitar prstamos, pagar mano de obra, planificar el futuro y obtener beneficios.

De qu se encarga la Ingeniera Econmica? Se encarga del dinero en las decisiones tomadas por los ingenieros al

trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo.

TERMINOLOGA Y CONCEPTOS BSICOS

Algunos de los aspectos que el ingeniero comprender y aprender a incluir en sus anlisis econmicos son:


INGENIERA ECONMICA II - Ing. E. De La Rosa Ros

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INTRODUCCIN

TERMINOLOGA Y CONCEPTOS BSICOS

1. El valor del dinero en el tiempo.

2. Retorno de una inversin.

3. Equilibrio.

4. Bonos.

5. Flujo de caja.

6. Tasa de inters efectiva.

7. costo mnimo de vida til.

8. Inflacin.

9. Estimacin de costos.

10.Depreciacin.

11.Impuestos sobre la renta.

12.Costo de capital.

13.Anlisis de reemplazo.

14.Anlisis de sensibilidad y riesgo, ..



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TERMINOLOGA Y CONCEPTOS BSICOS Un concepto fundamental en el anlisis econmico es El Valor del

Dinero en el Tiempo, es decir, el valor de una suma de dinero dada, depende no solo de la cantidad sino de cundo se recibe el dinero.

El tema a tratar, nos presenta la MATEMTICA FINANCIERA con operaciones bsicas necesarias para llevar a cabo un anlisis econmico que incorpore los conceptos del Valor del Dinero en el Tiempo. De acuerdo al principio del valor del dinero en el tiempo, es mejor percibir los ingresos ms tempranos que percibirlos ms tarde, ya que bajo esta situacin el capital tiene mayor productividad.

El objetivo del presente tema es ilustrar el uso de los factores de la ingeniera econmica en el anlisis econmico de alternativas de solucin, sin presencia de inflacin o deflacin.

INGENIERA ECONMICA: Introcuccin


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Ejemplo del impacto del valor del dinero en el tiempo en la preferencia

de alternativas de inversin: Los DFC de los proyectos A y B son iguales en los flujos positivos, excepto que los de A ocurren un ao ms pronto que las de B; ambas requieren una

inversin de $6000. El inversionista prefiere el proyecto A en base al valor del dinero en el tiempo.

$3000 $3000 $3000

0 1 2 3 4 5 6 7

$6000

Proyecto A

Proyecto B

0 1 2 3 4 5 6 7

$6000

$3000 $3000 $3000


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CONCEPTOS BSICOS: Tasa de Inters Nominal, Efectiva y Real

La tasa de inters nominal (r)es la tasa de inters anual bsica, por ejemplo 6 % anual, y es la que se indica en los documentos de crdito y los ttulos valores. Si se tiene una tasa de 3 % por perodo (y el perodo es de seis meses), se acostumbra decir que la tasa es 6 % capitalizable semestralmente, pero la tasa anual efectiva sobre el principal no es de 6 %, sino:

Esta tasa de inters sobre el principal se conoce como tasa de inters efectiva

Donde:

i = Tasa de inters efectiva por perodo

r = Tasa nominal de inters por perodo

p = nmero de perodos de capitalizacin.

Las tasas de inters siempre se computan con base anual, a menos que se especifique lo contrario.

La tasa de inters real es la tasa de inters efectiva corregida con la tasa de inflacin (f), y mide la discrepancia entre ellas.

%09.60609.012

06.0111

2

ip

ri

p

fii r 111

(1.1)

(1.2)

ri


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MATEMTICA FINANCIERA

Es el conjunto de herramientas matemticas, que permiten analizar

cuantitativamente la viabilidad o factibilidad econmica y financiera de los

proyectos de inversin.

FACTIBILIDAD ECONMICA

La factibilidad econmica de un proyecto de inversin tiene que ver con la bondad

de invertir recursos econmicos en una alternativa de inversin, sin importar la

fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluacin, se analiza la decisin de

inversin independiente del dueo del proyecto, se enfatiza nicamente en los

recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.

FACTIBILIDAD FINANCIERA

En la factibilidad financiera del proyecto de inversin se evala el retorno para los

dueos. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversin

efectuada exclusivamente por el dueo, obtiene la rentabilidad esperada por l.

INGENIERA ECONMICA: Conceptos bsicos


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FACTIBILIDAD ECONMICA VERSUS FACTIBILIDAD FINANCIERA

En el mbito de la evaluacin de proyectos es de vital importancia comprender que a cada decisin de inversin, corresponde una decisin de financiacin.

Con la condicin fundamental: la rentabilidad de la inversin, debe satisfacer

la estructura financiera de la empresa. La decisin de inversin, como ya se

mencion, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una

de las funciones de la Administracin financiera que es definir donde invertir.

Para poder tomar la decisin de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestin financiera que permitan establecer si la empresa

cumple con su objetivo financiero bsico y si los proyectos de inversin que

enfrenta cotidianamente la acercan a su meta.

La decisin de financiacin, otra de las decisiones fundamentales de la administracin, tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o

proyecto, esta estructura se refiere a los dueos de los recursos (deuda o

recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital

promedio ponderado.



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FACTIBILIDAD ECONMICA VERSUS FACTIBILIDAD FINANCIERA


Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa disear indicadores

financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueos de la empresa

estn alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan nimo de

lucro, es ganar ms dinero ahora y en el futuro.

VALOR ECONMICO AGREGADO

Solamente, cuando la rentabilidad de la inversin supere el costo de capital

promedio ponderado, se generara valor econmico para los propietarios de la

empresa. nicamente en este evento los inversionistas estn satisfaciendo sus

expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.

PROYECTO DE INVERSIN

Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener

retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier

criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversin,

siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan

con las siguientes condiciones: Recuperacin de las inversiones, recuperar o cubrir

los gastos operativos y adems obtener la rentabilidad deseada por los dueos del

proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este.


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PROYECTO DE INVERSIN

El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado

no se produzca. Cuanto ms alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor ser la tasa de

rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva

de este tipo de estimaciones.


FLUJOS DE EFECTIVO O RENDIMIENTOS

Es oportuno aclarar que se utilizarn los conceptos de rendimiento e inters

indiferentemente. El concepto de rendimiento se manejar cuando se evalen

proyectos de inversin (inversionista versus proyecto) y el concepto de inters

cuando se haga referencia a decisiones con el sector financiero.

Cuando se realiza una inversin, hay dos alternativas para percibir los rendimientos.

Una opcin es retirar los rendimientos peridicamente y la otra alternativa podra ser

de efectuar la reinversin peridica de los intereses o rendimientos. En la primera

opcin se genera una funcin lineal, siempre y cuando los intereses no se

reinviertan durante un determinado lapso de tiempo, este proceso se denomina en

trminos nominales o lineales y de ac se desprende el concepto de tasa nominal

que mas adelante se analiza.


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20


FLUJOS DE EFECTIVO O RENDIMIENTOS

Los rendimientos, como se mencion, se pueden reinvertir durante el periodo de

referencia y entonces se generara una funcin exponencial que tambin se

denomina efectiva, en este proceso genera el concepto de tasa efectiva anual, que

tambin se estudiara mas adelante.


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RENDIMIENTOS NOMINALES (INTERS SIMPLE)

Valor presente (P): Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora en un proceso en el cual, los intereses o rendimientos se retiran peridicamente con

la condicin que no se reinviertan. La caracterstica fundamental es que la

obtencin de nuevos rendimientos se obtienen siempre sobre esta inversin que

permanece constante.

Tasa de inters peridica (i): Corresponde a la tasa de inters que se obtiene en cada periodo sobre la inversin o prstamo inicial.

Tiempo (n): Son los periodos durante los cuales se invierte el valor presente P.

Valor futuro (F): El valor futuro de un valor presente es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final del plazo de la transaccin. El valor futuro es la suma

del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que se

efectu la inversin. A continuacin se ilustra alguna de las ecuaciones que

permita efectuar clculos de los rendimientos nominales:


F=P + P * i * n

Donde:


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RENDIMIENTOS NOMINALES (INTERS SIMPLE)


F=P + P * i * n

Donde:

Inters Simple = P * i * n (1.3)

F=P(1 + i * n) (1.4)

(1+ i * n): Es el factor que convierte un valor presente (P) en un valor futuro(F)

en donde los intereses no se reinvierten.

Con la formula del valor futuro F, se pueden determinar los valores: presente, la

tasa de inters y los periodos de tiempo.


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MATEMATICA FINANCIERA

RENDIMIENTOS EFECTIVOS (INTERS COMPUESTO)

Valor presente (P): corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de inters i y durante N periodos.

Tasa de inters peridica (i): Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de conversin de los intereses a capital.

Periodos de conversin (n): Tratndose de rendimientos efectivos, n son los periodos de conversin durante los cuales se invierte o se presta

P.

Valor futuro (F): El valor futuro F, es la cantidad de dinero disponible al final de la transaccin. Equivale a un pago nico futuro en el perodo n ,

equivalente a un pago nico presente ahora.


DIAGRAMA DE FLUJO DE PAGOS NICOS:

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DIAGRAMA DE FLUJO DE PAGOS UNICOS:

FRMULAS DE PAGO NICO

A continuacin se ilustra el esquema de pagos nicos a travs del DFC:

FACTORES DE LA INGENIERA ECONMICA

La Ecuacin:

Donde: La expresin (1+i)n, llamada FACTOR CANTIDAD COMPUESTA PAGO NICO

(FCCPU), dar la cantidad futura F de una inversin P despus de n perodos, a una

tasa de inters i.

0 1 2 3 4 n

F2=P(1+i)2 F1=P(1+i) F3=P(1+i)

3 F4= P(1+i)

4..

Fn= P(1+i)n

P

P+P*i P(1+i) + P(1+i)*i P(1+i)2 + P(1+i)2*i .. ..... P(1+i)n-1+P(1+i)n-1*i P(1+i) P(1+i) (1+i) P(1+i)2 (1+i) .. .............P(1+i)n-1(1+i) P(1+i)2 P(1+i)3 ........ P(1+i)n

niPF 1 (1.5)


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FRMULAS DE PAGO NICO

De Ec. (1.5):


nni

FP1

1 (1.6)

Donde, la expresin entre llaves se conoce como Factor Valor Presente Pago

nico (FVPPU), permite determinar el valor presente P de una cantidad futura

F, despus de n aos, a una tasa de inters i.

P=?

F= dato

0 1 2 3. n-1 n aos

i = dato

DFC, para encontrar P, dado F utilizando el FVPPU


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Aplicaciones del esquema de pagos nicos:

1. Dados el valor presente, la tasa de inters y los periodos de

conversin, hallar el valor futuro.

Ejemplo 1.

Hallar el valor futuro de $1 milln, invertido a una tasa del 5% trimestral al cabo

de 2 aos. Definamos los valores de las variables as:

P = 1.000.000; i = 5% peridico trimestral ; n = 8 periodos trimestrales.

Nota: La periodicidad de la tasa de inters debe coincidir con la periodicidad del

plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de inters determina la

periodicidad.

i = 5 % peridico trimestral

0 1 2 3.. n =8

F=?

P=$1,000,000

F = 1.000.000 * (1+ 0.05)8 = $1.477.455

El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de $1.000.000. siempre y

cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se reinviertan a la misma tasa durante los

8 periodos trimestrales siguientes. La equivalencia en matemticas financieras supone

siempre la reinversin a la tasa de inters peridica.


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2. Dados: valor futuro, tasa de inters y los periodos de conversin, hallar el

valor presente.

Ejemplo 2: Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de

$2,000,000 al final de 3 aos, si la tasa de inters es del 2% mensual.

F = $2,000,000

i = 2% mensual

n = 36 meses.

nni

FP1

1

i = 2 % mensual

0 1 2 3.. n =36

F=$2,000,000

P=?

P = 2,000,000 * (1+0.02)-36 = $980,446.

Lo anterior significa, que si se invierten $980,446 ahora en una entidad que paga

una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de $2,000,000.


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3. Dado: El valor presente, valor futuro y tasa de inters, hallar los periodos de conversin.

Ejemplo 3.

En cuantos meses una inversin de $5,000,000 se duplica, si la tasa de inters es del 1.5% mensual.

P=$5,000,000

F=$10,000,000

i=1.5% mensual.

Diagrama de flujo de caja:

i = 1.5 % mensual

0 1 2 3.. n

F=$10,000,000

P=$5,000,000

De F = P * (1 + i)n , despejamos el valor de n:

n = log2 log1.015 = 47 meses aproximadamente.


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4. Dado: valor presente, valor futuro y de los periodos de capitalizacin, hallar

la tasa de inters peridica.

Ejemplo 4.

Una inversin de $2 Millones, realizada hace 15 aos alcanza hoy un valor de $70

Millones. Por consiguiente, determinar la tasa de inters mensual, trimestral,

semestral y anual.

P = $.2,000,000. ; F = $.70,000,000.

Para hallar la tasa de inters peridica, despejamos la tasa de inters i de

F = P * ( 1 + i )n : Mensual: Trimestral: Semestral: Anual:

n = 180 n = 60 n = 30 n = 15

i=1.99% i=6.10% i=12.58% i=26.75%

Las tasas peridicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior significa que

si la tasa peridica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del trimestre se

dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al final del ao de

26.75%. As con las otras tasas en las cuales se obtiene una tasa peridica anual

del 26.75%, en todos los casos.


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TASAS EQUIVALENTES DE INTERS

Dos o ms tasas peridicas de inters son equivalentes, si con diferente

periodicidad producen el mismo inters efectivo al final de cualquier periodo. La

costumbre es considerar este periodo de un ao.

Tasa nominal anual de inters (TNA)

p: Frecuencia de conversin anual, es el nmero de veces que se puede

convertir el inters a capital en un ao. Si la frecuencia de conversin anual es

igual a uno, la tasa nominal anual corresponde a la tasa efectiva anual. El valor

de p puede ser igual a 1, mnimo valor que puede tomar y en este caso

corresponde a la efectiva anual y tambin pude ser mayor a 1, hasta tender a

infinito que se llamara tasa de inters continua.


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Tasa efectiva anual de inters (TEA)

Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y

cuando los rendimientos generados peridicamente se reinviertan a la tasa de

inters peridica pactada inicialmente. Por lo tanto la tasa efectiva anual es una

funcin exponencial de la tasa peridica.

Observaciones a tener muy presentes:

1. La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningn denominador,

porque es una funcin exponencial.


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2. Tasas nominales equivalentes entre si, siempre tendrn la misma tasa de

inters efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en

un criterio para tomar decisiones; para invertir, lgicamente escoger aquella

entidad que ofrezca la ms alta (sin consideraciones por ahora del riesgo) y

para endeudarse elegir aquella tasa que en trminos efectivos sea la

menor.

3. La tasa efectiva, corresponde a la tasa peridica anual y tendr sentido

siempre y cuando sea peridica vencida.

4. Las tasas nominales anuales solamente admiten como divisor su propia

periodicidad. Por lo tanto para hallar una tasa peridica se divide la tasa

nominal en su frecuencia de conversin anual, i = r p.


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La ecuacin para obtener la tasa de inters efectiva a partir de una tasa nominal

de inters puede generalizarse de la siguiente manera:

Donde:

i = Tasa de inters efectiva por perodo

r = Tasa nominal de inters por perodo

p = nmero de perodos de capitalizacin.

Cuando el nmero de periodos de capitalizacin aumenta, p tiende a infinito, caso

en el cual la ecuacin representa la tasa de inters para capitalizacin

continua.


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Conversin de tasas de inters. Casos:

Caso 1

Dada una tasa nominal anual, hallar una tasa efectiva anual.

Ejemplo 1.

Dada una tasa del 24% nominal anual, hallar una tasa efectiva anual,

compuesta mensualmente.

Cuando se enuncia una tasa nominal anual del 24%, y nos piden la

correspondiente TEA, se puede conceptuar que se toma el ao y se divide en

doce periodos, (en tantos periodos que indique la periodicidad o capitalizacin),

y por lo tanto a cada periodo mensual, en este caso, le corresponde la tasa

peridica del 2% mensual. Esta tasa peridica mensual debe reinvertirse,

entonces la tasa obtenida al final del periodo anual ser efectiva.

Utilizando la ecuacin de la tasa de inters:

TEA = 26.82%


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Caso 2

Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa nominal anual.

Ejemplo 2.

Dada una tasa efectiva del 24% anual, hallar la tasa nominal mensual

equivalente.

De la ecuacin de la tasa de inters efectiva:

Reemplazando:

TNA= r = 21.71% nominal anual.


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Caso 3

Dada una tasa nominal anual, hallar una tasa efectiva con diferente periodicidad.

Siempre que se presente este caso, se debe hallar la tasa efectiva compuesto

mensualmente equivalente a la nominal dada y luego se determina la efectiva equivalente a

la periodicidad requerida.

Ejemplo 3.

Dada una tasa del 24% nominal anual, hallar la tasa efectiva compuesta

trimestralmente equivalente.

Como se mencion, se encuentra la tasa efectiva anual compuesta

mensualmente, equivalente al 24% nominal anual:

TET = 6.12%.

(Empleamos el concepto: tasas nominales equivalentes entre s, tienen la misma tasa de inters efectiva anual).


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FACTORES DE LA INGENIERA ECONMICA PROBLEMAS DE REPASO:

Prob.1 El Banco Andino paga una TNA del 24% capitalizable semestralmente. Juan desea saber cul

es la TEM equivalente que paga el banco.

Solucin:

Si la

Prob.2 A que tasa efectiva mensual una inversin de S/.10,000 se convirti en

un monto de S/.11,151.23 si fue colocado durante 67 das?

Solucin:


38


Prob.3 A qu tasa de inters efectiva anual deben ser equivalentes S/.450 de

hace un ao y S/.550 dentro de un ao?

Solucin: -1 +1 0 Aos

S/.450. S/.550.

Prob. 4 A la TNA del 34% capitalizable trimestralmente, calcular: TEM; TET; TEA

y TE13D.

Solucin:

%76.2027566.01085.0111)( 31

3

1

TEMTETTEMa

%5.8)( TETb

%59.38385858.01085.0111 44 TEATETTEAc

%185.11301185.01085.0113 9013

DTEDTEd


39


TASAS DE INTERS EFECTIVAS PARA CAPITALIZACINES CONTNUAS

Cuando el perodo de capitalizacin es muy corto, el valor de p, nmero de

perodos de capitalizacin por perodo de pago, se incrementa. En la situacin

donde el inters es compuesto continuamente, p se aproxima al infinito y la

frmula de tasa de inters efectiva en la Ec. (1.1) debe escribirse de otra

manera. Recordamos primero la definicin de logaritmo natural base:

...71828.21

1lim

e

h

h

h(1.10)


40

FRMULAS DE SERIE UNIFORME

DEDUCCIN DEL FACTOR VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME Y DEL

FACTOR RECUPERACIN DE CAPITAL:

El valor presente de la serie uniforme mostrada en DFC, se puede determinar

considerando cada valor A como un valor futuro en la frmula del valor presente

pago nico (Ec.1.6) y luego sumando los valores del valor presente. La frmula

general es:



A A A A A . A A

P = ?

0 1 2 3 4 5 .. n-1 n Aos

DFC usado para determinar el VP de una serie uniforme.

41


nni

Ai

Ai

Ai

Ai

AP1

1

1

1.......

1

1

1

1

1

11321



(i)

Donde los trminos entre llaves representan el (FVPPU) para los aos 1 hasta n,

respectivamente. Factorizando:

nniiiii

AP1

1

1

1.......

1

1

1

1

1

11321 (ii)

La ecuacin (ii) simplificamos multiplicando ambos miembros por 1/(1+i) para obtener:

1432 1

1

1

1.......

1

1

1

1

1

1

1 nn iiiiiA

i

P

( iii)

Restando la Ec. (ii) de la Ec. (iii), se obtiene:

11 1

1

1

1

1 niiAP

i

P; factorizando y ordenando:


42




iiA

iP

n 1

1

1

11

1

11

; simplificando:

1

1

1

1

1

1 niiA

i

iP ;dividiendo entre i/(1+i), se obtiene lo siguiente para i 0:

n

nn

i

i

iA

ii

i

iAP

1

111

1

11

1

1

1

n

n

ii

iAP

1

11

(1.7)

Donde, el trmino entre llaves, se denomina Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU).

Esta ecuacin dar el valor presente P de una serie uniforme equivalente A, que comienza al

final del ao 1 y se extiende durante n aos a una tasa de inters i.


43




Por reordenamiento de la ecuacin (1.7), se puede expresar A en trminos de P:

11

1n

n

i

iiPA

(1.8)

Donde, el trmino entre llaves, denominado Factor de Recuperacin de Capital

(FRC), permite obtener el costo anual uniforme equivalente A durante n aos,

de una inversin dada P cuando la tasa de inters es i.

Es muy importante recordar que estas frmulas se dedujeron con el valor

presente P y el primer valor del costo anual uniforme A con un ao (perodo)

de diferencia. Es decir el valor presente P debe siempre colocarse un perodo

antes que el primer valor de A.


44

FACTORES DE LA INGENIERA ECONMICA Ejemplo: Se adquiere un prstamo de $1,000,000 que gana intereses al 10 % anual, para cancelarlo en cinco

aos, se debe calcular la cuota que habr que pagar y los intereses, expuestos en una tabla de amortizacin:

48.797,263$26379748.0000,000,1110.01

10.0110.0000,000,1

11

15

5

n

n

i

iiPA

Datos: Cuota = A=?; P=$1,000,000; i=10% anual; n=5 aos

TABLA DE AMORTIZACIN

Per CUOTA

(anual)

PAGO DE PAGO DE SALDO

INTERS CAPITAL

0

1,000,000.00

1

263,797.48 100,000.00

163,797.48

836,202.52

2

263,797.48

83,620.25

180,177.23

656,025.29

3

263,797.48

65,602.53

198,194.95

457,830.34

4

263,797.48

45,783.03

218,014.45

239,815.89

5

263,797.48

23,981.59

239,815.89 0.00


TABLA DE AMORTIZACIN

Peri.

(mes)

Cuota Inters Amortiza. Saldo

0 1,000,000.

1 129,504.58 50,000.00 79,504.58 920,495.42

2 129,504.58 46,024.77 83,479.81 837,015.61

3 129,504.58 41,850.78 87,653.80 749,361.81

4 129,504.58 37,468.09 92,036.496 657,325.32

5 129,504.58 32,866.27 96,638.31 560,687.01

6 129,504.58 28,034.35 101,470.23 459,216.78

7 129,504.58 22,960.84 106,543.74 352,673.04

8 129,504.58 17,633.65 111,870.93 240,802.11

9 129,504.58 12,040.11 117,464.47 123,337.64

10 129,504.58 6,166.88 123,337.69 -0.05

Si las cuotas son semestrales:

45


DEDUCCIN DEL FACTOR CANTIDAD COMPUESTA SERIE

UNIFORME Y DEL FACTOR FONDO DE AMORTIZACIN:

La manera ms simple de obtener la frmula es la sustitucin en la Ec. (1.6) el

valor de P de la Ec. (1.8):


11

1n

n

i

iiPA

1111

1

1

1nn

n

ni

iF

i

ii

iFA

11n

i

iFA (1.9)

Donde:

11n

i

iFactor Fondo de Amortizacin (FFA).

(1.8) ;

nni

FP1

1(1.6)

46


DEDUCCIN DEL FACTOR CANTIDAD COMPUESTA SERIE

UNIFORME Y DEL FACTOR FONDO DE AMORTIZACIN:

De la Ec. (1.9), expresando F en trminos de A:


i

iAF

n11 (1.10)

Donde:

i

in

11 Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme (FCCSU), que al

multiplicar por la serie A, se obtiene el valor futuro de la serie anual.

Es importante recordar que la cantidad futura F ocurre en el mismo perodo que el ltimo A.

A A A A A . A A

F=?

0 1 2 3 4 5 . n-1 n Aos

47


FRMULAS DE SERIE GRADIENTE

Definicin y deduccin de frmulas

Un gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de

manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ingreso o desembolso, cambia en la

misma cantidad cada perodo. La cantidad de aumento o disminucin es el gradiente.

Ejemplo: Una persona adquiri una plancha compactadora, espera que el costo de

mantenimiento sea de $150 al finalizar el primer ao y que en los siguientes aos

aumentar a razn de $50 anuales. Si la tasa de inters es 8% capitalizada cada

ao, cul es el valor presente de esta serie de pagos durante un perodo de 6

aos?

Solucin: Datos: i=8%; n=6 aos; primer pago=$150; G=$50; nos pide encontrar el P=?


150

200

250

300

350

400

P=?

0 1 2 3 4 5 6 Aos

48


FRMULAS DE SERIE GRADIENTE

Utilizando la frmula bsica:


ni

FP1

1 , se tiene:

6.219,1

08.01

400

08.01

350

08.01

300

08.01

250

08.01

200

08.01

150654321

P

P

En este tipo de problemas se pueden observar ciertas particularidades, necesarias para

darle una generalidad de uso. Por ejemplo, el DFC puede dividirse en dos:

0 1 2 3 4 5 6 Aos

PT

250

350

150

300

400

200

= 0 1 2 3 4 5 6 Aos

PA

150 150 150 150 150 150

0 1 2 3 4 5 6 Aos

200

100

PG

150

250

50

+

Gn

n

GAT Pii

iAPPP

1

11

N

nn

n

i

FPP

1

01

49


Generalizando el DFC anterior, se tiene:

GAT PPP


A

+ 0 1 2 3 . n-1 n Aos

PT=?

A+2G

A+(n-2)G

A

A+(n-1)G

A+G

= 0 1 2. n-1 n Aos

PA

A A A A

(n-2)G

0 1 2 3. n-1 n Aos

(n-1)G

2G G

PG

Generalizando el DFC anterior, se tiene: GAT PPP

Donde: PG se obtiene empleando la siguiente ecuacin, cuya deduccin es

similar al caso de la Serie Anual:

n

n

Gi

ni

i

i

GP

1

111(1.11)

Entonces:

n

n

n

n

GATi

ni

i

i

G

ii

iAPPP

1

111

1

11(1.12)

50


NOTACIN ESTNDAR DE LOS FACTORES Y USO DE LAS TABLAS DE INTERS

Se han desarrollado dos frmulas bsicas:

y

A los correspondientes factores de estas frmulas se pueden expresar de manera estndar o simplificada de la siguiente manera:

niPFPF ,, niFPFP .,

El uso de la notacin estndar requiere contar con tablas de valores de los factores para tasas de inters diversas y diferentes perodos de pago. Para un factor dado, la

tasa de inters y tiempo, se encontrar el valor del factor correspondiente en la tabla de

inters respectivo.

Esta notacin simplificada pueden facilitar los clculos de cierta manera, por lo que presentamos en el siguiente cuadro un resumen de las frmulas deducidas en su forma

matemtica y en notacin estndar.

niPF 1

ni

FP1

1


51 51


Problema. 7.- Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intencin de que dentro de 10 aos se pague, a l o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. Durante cuntos aos se pagar esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?

Problema. 8.- Una deuda contrada al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligacin por pagar dentro de 2 aos. Sustituirla por una obligacin equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagndose la primera de inmediato.


53



54



Introdduc-factores de La Ing.economica

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