intro1
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Introducci´on. Drude consideraba los electrones como un gas cl´asico. Bajo esa suposici´on, el calor espec ´ı fico electr´onico CV , viene dado por CV = 3 2 nkB . (2.1) Esto nunca fue observado. 2.2. Gas de Fermi a T = 0. Los estado de un electr´on libre satisfacen −~2 2m r 2 (~r) = " (~r) . (2.2) Se imponen condiciones de borde peri´odicas o de Born-von Karman (x, y, z) = (x + L, y, z) = (x, y + L, z) = (x, y, z + L) , (2.3) con soluciones (~r) = ei~k·~r . (2.4) Sea ~n = nxˆx + ny ˆy + nz ˆz , ni 2 Z, i = x, y, z. (2.5) Si imponemos las condiciones de borde (~r + L~n) = (~r) . (2.6) De (2.4) y (2.6) tenemos ei~k·(~r+L~n) = ei~k·~r , lo que implica L~k · ~n = 2_m , m 2 Z , (2.7) 19 20 CAP´ITULO 2. TEOR´IA DE SOMMERFELD DE LOS METALES. despejando ~k = 2_ L ~n , (2.8) la energ´ıa "~k = ~2~k2 2m , (2.9) adem´as, la funci´on de onda est´a normalizada, i.e. Z __ ~k(~r) __ 2 d3r = 1 . (2.10) La densidad de estados es dos veces la densidad de niveles en el espacio ~k 2_(k) = 2 _ L 2_ _ 3
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Introduccion. Drude consideraba los electrones como un gas clasico. Bajo esa suposicion, el calor espec fico electronico CV , viene dado por CV = 3 2 nkB . (2.1) Esto nunca fue observado.
2.2. Gas de Fermi a T = 0. Los estado de un electron libre satisfacen ~2 2m r2 (~r) = " (~r) . (2.2) Se imponen condiciones de borde periodicas o de Born-von Karman (x, y, z) = (x + L, y, z) = (x, y + L, z) = (x, y, z + L) , (2.3) con soluciones (~r) = ei~k~r . (2.4) Sea ~n = nxx + ny y + nz z , ni 2 Z, i = x, y, z. (2.5) Si imponemos las condiciones de borde (~r + L~n) = (~r) . (2.6) De (2.4) y (2.6) tenemos ei~k(~r+L~n) = ei~k~r , lo que implica L~k ~n = 2_m , m 2 Z , (2.7) 19 20 CAPITULO 2. TEORIA DE SOMMERFELD DE LOS METALES. despejando ~k = 2_ L ~n , (2.8) la energa "~k = ~2~k2 2m , (2.9) ademas, la funcion de onda esta normalizada, i.e. Z __ ~k(~r) __ 2
d3r = 1 . (2.10) La densidad de estados es dos veces la densidad de niveles en el espacio ~k 2_(k) = 2 _ L 2_ _3
-
= V 4_3 , (2.11) ya que cada punto ocupa un volumen _ 2_ L _3 en el espacio k. kx
ky
L
Figura 2.1: Espacio k. Consideremos N electrones. A temperatura T = 0, los N electrones ocupan los estados de mas baja energa. Se debe satisfacer a T = 0 que:
F Figura 2.2: Niveles y energa de Fermi. _ 4_ 3 k3F _ V 4_3 = N , (2.12) 2.2. GAS DE FERMI A T = 0. 21 de (2.12) definiendo la densidad de numero n n _ N V = k3F 3_2 . (2.13) La energa de Fermi, "F y la temperatura de Fermi, TF , se relacionan con el vector de onda de Fermi kF , definido a T = 0 por (2.12) por "F = ~2 2m k2F = kBTF . (2.14) Formulas para estimar kF y "F 2 _ rs a0 _ 6 para metales tpicos. (2.15) evaluemoslos kF = _3.63 rs
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a0 _ [A 1
] 0.6 [A 1
] _ kF _ 1.8 [A 1
] (2.16) "F = 50.1 _ rs a0 _2 [eV] 1.4 [eV] _ "F _ 12.5 [eV] (2.17) TF = 5.8 105 _ rs a0 _ [K] 1.6 104 [K] _ TF _ 1.5 105 [K] (2.18) vF = ~kF m = 4.20 108 _ rs a0 _ cm s 0.7 108 hcm s i _ vF _ 2.1 108 hcm s i (2.19) La energa total de los N electrones viene dada por: E = 2 X k
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d3k _ V 4_3 _ (2.21) E = V 4_3 Z d3k ~2 2m k2 = V 4_3 Z d Z kF 0
dk ~2 2m k4 = V 2_2 ~2 m Z kF 0
dkk4 . 22
