Intervalo abierto y cerrado

Definic ión de intervalo

Se l lama intervalo a l conjunto de números rea les comprend idos

ent re o tros dos dados: a y b que se l laman extremos del intervalo .

Intervalo abierto

Intervalo ab ierto , (a, b) , es e l conjunto de tod os los números

reales mayores que a y menores que b .

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrad o , [a, b] , es el conjunto de todos los números

reales mayores o igua les que a y menores o iguales que b .

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la i zquierda

Intervalo semiab ierto p or la izquie rda , (a, b] , es el conjunto

de todos los números reales mayores que a y menores o igua les que

b .

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiab ierto p or la derecha , [a, b) , es e l conjunto d e

todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b .

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjun to de pun tos fo rmado por dos o

más de es tos interva los , se ut i l iza e l s igno (unión) en tre e llos .

Semirrectas

Las semirrectas es tán de te rm inadas por un número . En una

semirrec ta se encuen tran todos los números mayores (o menores) que

él.

x > a

(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}

Entornos

Definic ión de entorno

Se l l ama entorno de centro a y radio r , y se denota por E r(a) o

E(a,r) , a l intervalo ab ierto (a-r, a+r).

E r (a) = (a-r, a+r)

Los entornos se exp resan con ayuda de l valor absoluto .

E r (0) = (-r, r) se expresa tamb ién |x|<0 , o b ien, - r < x < r .

E r (a) = (a-r, a+r) se expresa tamb ién |x-a|<0 , o b ien, a -r < x <

a+r .

Entornos latera les

Por la izqu ie rda

E r (a -) = (a-r, a )

Por la d erecha

E r (a+) = (a, a+r)

Entorno reducido

Se emp lea cuando se quie re sabe r qué pasa en las prox im idades del

punto , s in que in te rese lo que ocur re en d icho pun to .

E r* (a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número rea l a , se esc r ibe |a| , es e l mismo

número a cuando es pos it iv o o cero , y opuesto d e a, s i a es neg ativo .

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0

|x| = 2 x = −2 x = 2

|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 )

|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞ , 2 ) (2, +∞)

|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

Propiedades del valor absolu to

1 Los números opuestos t ienen igua l valor absoluto .

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es ig ua l a l producto de los

valores absolutos de los fac tores .

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

3El va lor absolu to de una suma es menor o igual que la suma

de los valores absolutos de los sumand os .

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

Distancia

La distanc ia en tre dos números reales a y b, que se esc r ibe d(a,

b) , se de fine como e l va lor ab soluto de la dife rencia de ambos

números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia ent re −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|