INTERVALOS EN matematicxa.docx

PROF. LIDIA ROCA F..

INTERVALOS EN R

Los intervalos son subconjuntos continuos de los números reales. Los números reales que pertenecen a un intervalo satisfacen ciertas desigualdades.

Intervalos Limitados

A) Intervalo cerrado de extremos a y b

- Representación simbólica: [ a ; b ]- Representación conjuntista:

{ x R / a x b }

- Representación gráfica:

B) Intervalo abierto de extremos a y b

- Representación simbólica:< a ; b >

- Representación conjuntista: { x R / a < x < b }


C) Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha

- Representación simbólica: < a ; b ]

- Representación conjuntista: { x R / a < x b }


D) Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha

- Representación simbólica: [ a ; b >

- Representación conjuntista: { x R / a x < b }


Intervalos Ilimitados

A) Intervalo ilimitado por la izquierda y cerrado por la derecha.

- Representación simbólica: < - ; a ]

Representación conjuntista: { x R / x a }- Representación gráfica:

B) Intervalo ilimitado por la izquierda y abierto por la derecha

Representación simbólica: < - ; a >- Representación conjuntista:

{ x R / x < a }- Representación gráfica:

C) Intervalo cerrado por la derecha e ilimitado por la derecha

Representación simbólica: [ a ; - >- Representación conjuntista: - { x R / x a }- Representación gráfica:

D) Intervalo abierto por la izquierda e ilimitado por la derecha

Representación simbólica:< a ; + > Representación conjuntista: { x R / x > a }- Representación gráfica:

Ejercicios en Clase

I.- Completar:

II.- Utilizando un gráfico por cada ejercicio hallar:

a) [-2;4 > U < -3;1]

II.- Utilizando un gráfico por cada ejercicio hallar:

b) [-2;4 > U < -3;1]

c) < - ; 5> <1;>

d) < -5;3] – [-2;5>

e) < -6;1> [-4;4]

III.- Dados los intervalos:

A = < -6 ; 1 ] B = [ -5 ; 4 >C = [ 3 ; >D = < - ; 0 >

Hallar el resultado de las siguientes operaciones, además de su gráfica:

1) A U B2) A B3) A – B4) B U C5) B d6) D – A7) D U B8) A C9) C – B10) A U C11) A D12) A – C

Tarea Domiciliaria

I.- Dados los conjuntos:

A = [ x / -3 x 6 ]B = [ x / 2 < x 8 ]

Hallar y representar gráficamente:a) A U B b) A Bc) A – B d) B – A II.- Dados los intervalos:

A = [-5 ; 6]B = <0 ; 8]Hallar y representar gráficamente:

a) A U B b) A Bc) A – B d) B – A

III.- Sabiendo que:A = < -4 ; 4 ]B = [ 0 ; 5 >C = < -7 ; 2 >D = < 3 ; >

Hallar el intervalo y graficar:

a) A B b) C U B c) B Dd) A U C e) C – B f) B – A g) D A h) D B i) A – (C+D)j) B – D k) (A+C) – B l) B – (C+D)m) (A+B) – C n) A B – C

I.E. MVA-2012

NUEVA EDUCACION EN UNA NUEVA SOCIEDAD

HOJA DE PRACTICA 11

PROF. LIDIA ROCA F..

TEMA: NUMERACIÓN

ConceptoEs la parte de la Aritmética que

se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

NúmeroEs el primero y básico de los

conceptos matemáticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

NumeralEs la representación simbólica o

figurativa del número.

Ejemplo: 15, XV, 24 – 1

6, VI, 22 + 2, 32 – 3

SISTEMA DE NUMERACIÓNConcepto

Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales

Principios: Del Orden

Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda.

Ejemplo:

6 5 4 3 2 1

Orden

Numeral: 2 7 3 9 7 5

Lugar(Lectura) 1 2 3 4 5 6

De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración.

Ejemplo

342 n base

“Nos indica que se agrupará de “n” en “n” en dicho sistema”- La base toma valores enteros

y positivos mayores o iguales que 2n 2 o sea 5, .........}

- Entonces la base mínima: n= 2Veamos en forma grafica: representa el número 16 en base 3

O sea que: 16 = 121(3)

Otro ejemplo: representar el número 17 en base 5

De las cifras:Las cifras cumplen las siguientes condiciones - Pertenecen a Z (cifras Z)- Son menores que la base

(cifras < n)- La cifra máxima es una

unidad menor que la base cifra = (base - 1)

- Toman valores enteros menores que la base.Si la base “n”; se pueden utilizar en las cifras

0, 1, 2, 3, 4, ..... (n – 1) máxima cifra

Cifra significativaCifra No significativa

Principales sistemas de numeración

Representación Literal de Numerales:- Numeral de 3 cifras de base

“n” : abc(n)

- Numeral de 4 cifras de base

“n” : abcd(n)

- ab : numeral de 2 cifras:- (10, 11, 12, ................ 98,

99)

- abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999)

- aaa : numeral de 3 cifras iguales:

(111, 222, 333, ..........., 999)

- 18 ab : numeral de 3 cifras que empiezan en 18.

(1800, 1811, 1812, .......)

- a (a+1 )( a+2)Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....)

OBSERVACIONES:1. LA PRIMERA CIFRA DE UN NUMERAL

DEBERÁ SER SIGNIFICATIVA (DIFERENTE DE CERO)

2. TODO AQUELLO QUE ESTÉ ENTRE PARÉNTESIS EN EL LUGAR DE LAS CIFRAS, REPRESENTA UNA DE ELLAS

3. SE DENOMINA NUMERAL CAPICÚA A AQUEL QUE LEÍDO DE IZQUIERDA A DERECHA O VICEVERSA SE LEE IGUAL. EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887

aa , aba , abba

CAMBIOS DE BASE EN Z:Caso N° 1: De base “n” a base 10 existen tres métodos:

- Ruffini- Descomposición polinómica- Practico: sube y baja

A. M Ruffini:Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10

Resolución

O sea que: 215(6) = 83EjemploConvertir 127(8) a base 10.

O sea que:127(8) = 87

B. Descomposición PolinómicaEjemplo:Convertir 324(6) a base 10

Resolución324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4108 + 12 + 4 = 124O sea que: 324(6) = 124

Ejemplo:Convertir 542(7) a base 10

Resolución542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2 = 245 + 28 + 2 O sea que:542(7) = 275

NUEVA EDUCACION EN UNA NUEVA SOCIEDAD

HOJA DE PRACTICA 2

I.E. MVA-2012

Base Nombre del sistema

Cifra que se usan

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Heptanario

Octanario

Nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal

0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3

0, 1, 2,3,4

0, 2, 3, 4,5

Caso N° 2: De la base 10 a base “n”El único método es el de divisiones sucesivasEjemplo: Convertir 1234 a base 5

Resolución

Ejemplo: Convertir 431 a base 4

Ejemplo: Convertir 500 a base 9

Caso N° 03: De base “n” a base “m”

Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeración undecimal

ResoluciónA. Convertir 152(7) a base 10

Osea 152(7) = 86

B. Halla el número 86 convertir a base 11 a través de divisiones sucesivas.

Ejemplo: convertir 401(6) a base 4

A)

B)

Luego:401(6) 1501(4)

RESUMEN:DE BASE “N” A BASE “M”PASO A: DONDE “N” A BASE “10”PASO B: DE BASE 10 A BASE M(DIVISIONES SUCESIVAS)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

Dado: abc(n)= pqr(m)

Si: abc> pqr n < m

Si: abc< pqr n > mEjemplo N° 01: Hallar “a”

Siendo: abc(4)= 2 pr(7)

Resolución

a > 2 a < 4 2 < a < 4 . a = 3 .

Ejemplo N° 02: Hallar “m” si 200(m) = 102(4)

Resolución

2 < m < 4 . m = 3 .

Ejemplo N° 03: Hallar “m”

144(6) = 224(m)

Resolución

4 < m < 6m = 5

PROBLEMAS APLICATIVOS1. Convertir el desarrollo a base 5.

2 . 53 + 1 . 52 + 2 . 5 + 4

ResoluciónAnalicemos:

2. Convertir el desarrollo a base 7.1 . 73 + 4 . 7 + 3

ResoluciónAnalicemos

3. Convertir el desarrollo a base 3.2 . 34 + 1 . 33 + 10

Resolución

O sea:

PROBLEMAS1. Convertir a base 10, cada caso:

A) 341(5) B) 100001(2)

C) 203(4) D) 107(8)

2. Convertir a base 3, cada caso:

A) 107 B) 706C) 9081 D) 24

3. Hallar el valor de a + b + c si:

abc(7 ) = 318(9)

4. Determinar el valor de “n”

Si: nn2(8 ) = 218

5. Hallar “a + b”, si se cumple

7a3(b)= 586(9)

6. Hallar “a + b ” si se cumple:

ab6(8)= 3232(4)

7. Si los numerales están correctamente escritos:

210(a); 21b(5 ); 1aa(b )

Hallar “a . b”

8. Si los numerales están correctamente escritas

705(m); 8m 0(n ); 2n7

Hallar: m + n

9. Hallar “m/n”; si los siguientes numerales están correctamente escritos

211(n); n2 p(m ); m23(5)

10. Hallar “m”

m(m+2)(m+5 )(7)

11. Hallar “n

( n2 )n (n+1 ) (4 )

12. Hallar “P”

( P3 )P (P+4 )

(8)

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RADICACIÓNSabemos que la raíz n-ésima de x, denotada por

n: índice radicalx: cantidad subradical o radicandor: es la raíz

Radical es la raíz indicada de un número y en general de una expresión algebraica como por ejemplo:

; Nota:

Valor aritmético: 2

= Valor algebraico: +2 y –2

Clasificación de los Radicales

1.- Considerando la naturaleza de los radicales pueden ser:

a) Racionales:

b) Irracionales:

c) Reales:

d) Imaginarios:

2.- Con respecto a su especie los radicales pueden ser:

a) Homogéneos.- Son aquellos que tienen el mismo índice radical. Entonces decimos que son homogéneosLos siguientes grupos son radicales homogéneos:

b) Heterogéneos.- Son dos o más radicales con distintos índices.

El siguiente grupo de radicales son heterogéneos.

c) Semejantes.- Son dos o más radicales que tienen iguales índices y la misma parte subradical, solo se diferencian por los coeficientes.El siguiente grupo de radicales son radicales semejantes.

Extracción de factores fuera del Radical

= A .

Ejemplo:

= =

Introducción de factores dentro del Radical

Ejemplo:

= Reducción de radicales al común índice

Llamada homogenización de radicales. Para esto procedemos así:

- Hallamos el M.C.M. de los índices de los radicales dados el cual será el índice común.

- Damos el índice común con el mínimo común múltiplo hallado.

Ejemplo: Homogenizar:

El MCM de 3, 6 y 4 es 12.Entonces, aplicando teoría de exponentes:

Así todos tiene el mismo índice:

Racionalización

Si una fracción tiene como denominador a un número irracional, puede ser transformada en otra equivalente con denominador racional. A este proceso de transformación se denomina racionalización del denominador.

En general:

Ejemplo:

EJERCICIOS

I.- Introducir dentro del índice radical los coeficientes

II.- Extraer fuera del índice radical los coeficientes.

III.- Expresar en su forma más simple

IV. Reducir al mínimo común índice los radicales dados

V. Reducir las expresiones

VI. Racionalizar

VII.- Reducir:

a)

b)

ENSEÑAR PARA TRIUNFAR, EDUCAR PARA VIVIR

HOJA DE PRACTICA 4

I.E. JGE-2012

c)

d)

g) h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Problemas de Complemento

01.-Efectuar:

a) b) 3 c) 3 d) 3 e) 1/

02.- Efectuar:

a) 2 b) 1 c) ½ d) 0 e) NA

03.- La expresión decimal equivalente a:

a) 7,52 b) 8,65 c) 8,77 d) 8,97 e) NA

04.- Reducir: E =

a) 4 b) c) 1 d) 1/2 e) 1/4

05.- Resolver:

a) 8 b) 4 c) 6 d) 9 e) 12

06.- Resolver:

a) 23 /4 b) -23 /4 c) -23 /2

d) -25 /2 e) -27 /4

07.- Calcula el valor numérico de:

E = Para: a = 0,2 ; b = 1,333…. ; c = -0,0999….d = 0,666….

a) 3/2 b) 2/3 c) 5/3 d) 4/3 e) 5/6

08.- Reducir:

E =

a) 2/5 b) 2 /5 c) /6

d) 2 /3 e) 2 /3

09.- Reducir:

E =

a) 12/7 b) 6/7 c) 12 d) 6 e) 7

10.- Efectuar:

a) 6 b) c) 72 d) 36 e) 12

11.- Efectuar: E = a) 2 b) 1 c) ¼ d) 4 e) 1/2

12.- Al simplificar se obtiene:

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R A Z Ó N : Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades.

Ejemplo: Se tiene 2 hermanos: Miguel de 15 años y Luis de 5 años; se puede decir que Miguel es 10 años mayor que Luis o que la edad de Miguel contiene 3 veces la edad de Luis; de estas se desprende que las clases de razones son:puede ser de dos clases:

1. RAZÓN ARITMÉTICA

Es la comparación de dos cantidades mediante una sustracción.

En general para dos cantidades A y B se tiene: A – B = r

2. RAZÓN GEOMÉTRICA: Es la comparación de dos cantidades mediante una división.Para nuestro modelo anterior.

En general para dos cantidades A y B se tiene:

Elementos de una razón

Antecedente : 15 ; A Consecuente : 5 ; B Valor de la razón aritmética : 10 ; r Valor de la razón geométrica : 3 ; K

Conceptos Importantes

Cuando se tiene los enunciados como: “la razón de….” ; “la relación de….” ; “son entre sí …..” ; “son proporcionales ….” ; en cualquiera de los casos se refiere a una razón geométrica.

Cuando se tiene la relación: se lee: “A es a B” Cuando se tiene la razón geométrica:

Cuando se tiene la razón geométrica:

Cuando se tiene la razón geométrica

Propiedad:

Cuando se tiene:

Ejemplo:

Si:

PRÁCTICA DIRIGIDA

01.- Dos números son entre sí como 7 es a 4, además la suma de los números es 220, hallar el número mayor.

02.- La relación de dos números es de 5 a 3, si la diferencia es 40, hallar el número menor.

03.- El dinero de Juan es al dinero de Pedro como 7 a 3; si, Juan gasta S/.200, le queda aún S/.150. ¿Cuánto dinero tiene Pedro?.

04.- La razón de dos números es de 4 a 5; si el producto de dichos números es 180; cual es el valor del número mayor.

05.- Si se sabe que: ; además: a2

- b2 = 36; Hallar el valor de "a+b".

06.- La edad de un Padre es a la de su hijo como 7 es a 2; además entre las dos edades suman 72. Hallar ¿qué edad tenía el hijo hace 2 años?

10.- En una fiesta por cada 5 mujeres hay 4 varones, si hay 20 mujeres más que varones; Hallar cuantas personas hay en total.

11.- En una granja hay pollos y gallinas, si el número de pollos es al total de aves como 4 a 7; además la diferencia entre gallinas y pollo es 15, hallar el número de pollos.

12.- La base y la altura de un rectángulo están en la relación de 4 a 3, si su área es 48. Hallar el valor de la altura.

TAREA DOMICILIARIA

01.- La relación de dos números es como 3 a 5, si la suma es 160. Hallar el número menor?

A) 60 B) 80 C) 70 D) 20 E) 10 02.- Dos números son entre sí, como 3 a 7, si la diferencia de ambos números es 60. Hallar el número mayor?

A) 15 B) 45 C) 105 D) 60 E) 65 03.- El dinero de Rosa esta en relación con el dinero de María como 3 a 5; respectivamente si entre las dos tienen 720; Hallar cuánto dinero tiene María?

A) 270 B) 90 C) 450 D) 360 E) 290 04.- En una reunión hay 4 varones por cada 7 damas, si la diferencia entre las damas y los varones es 45. Hallar el total de personas?

A) 15 B) 165 C) 81 D) 120 E) 110 05.- En una granja el número de gallinas es al número de pollos como 5 a 2; Además entre pollos y gallinas suman 140. Hallar el número de gallinas?

A) 20 B) 40 C) 100 D) 120 E) 110

07.- Si se cumple que: . Además: b+c-a = 56, hallar "b".A) 8 B) 32 C) 24 D) 48 E) 10

08.- Se cumple que: ; además: a.b – b.c = 54; hallar el valor de "c".


I.E. JGE-2012

HOJA DE PRACTICA 03

A) 3 B) 18 C) 9 D) 12 E) 10

09.- Si: ; además: 2a – b = 35; hallar: "2c".A) 7 B) 35 C) 70 D) 14 E) 1910.- La edad de un padre y la de su hijo están el la relación de 7 a 4; si hace 5 años el padre tenia 37 años ¿Cuántos años tendrá el hijo dentro de 10 años?A) 32 B) 6 C) 46 D) 40 E) 20

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES (SRGE)

Se llama así al conjunto de 2 o más razones geométricas, las cuales tienen una misma razón:

En general:

* a = b.k * c = d.k

* e = f.k * g = h.kPROPIEDADES.

En una serie de razones geométricas equivalentes se cumple que:"La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes y esto igual a la misma razón de la serie".

Si:

Ejemplo:

"El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes y esto es igual a la razón elevado al número de razones que se consideran".

Si:

Ejemplo:

Si:

Ejemplo:

Si:

“La suma de cada antecedente elevando a un exponente determinado es a la suma de cada consecuente elevado a dicho exponente e igual a la razón elevado al mismo exponente”

Si:

Además:Serie de Razones Equivalente CONTINUASSe llama así cuando el consecuente de la primera razón es antecedente de la segunda razón y así sucesivamente.

PRÁCTICA DIRIGIDA

01.- Se tiene S.R.G.E. : donde la suma de los antecedentes es 30; Hallar el segundo antecedente.

02.- Se tiene la S.R.G.E.:

; en la cual la suma de los tres primeros antecedentes es 60; Hallar el último antecedente.

03.- Si: ; además el producto de los dos primeros

antecedentes es 80; Hallar el tercer antecedente.

04.- Si: además se cumple: (b + d) - (a + c) = 15; Hallar "b + c"

05.- Si: ; además: 2a - 3c = 60. Hallar el valor de "b".

06.- Si: ; Hallar el valor de M, sí:

07.- Si: , Hallar el valor de "E" si:

E =

08.- Se tiene: ; cuya suma de las cuatro razones es 28, Hallar la suma de los antecedentes.

09.- Los ángulos de un triángulo están en la relación de 2; 3 y 4. Calcular el ángulo mayor.

10.- Se tiene: ; si se cumple que: (b+d) - (a+c) = 32. Hallar el último antecedente.

11.- Si: Además:

Hallar k2

12.- Se tiene la siguiente S.R.G.E.

; además

; hallar el valor de 5k.

TAREA DOMICILIARIA

01.- Se tiene la serie de razones geométricas equivalentes:

; además la suma de los antecedentes es 240, Hallar el mayor antecedente.

a) 80 b) 60 c) 90 d) 10 e) 104

02.- Se tiene la S.R.G.E.: ; además: (a + b) - (b + c) = 60. Hallar "b".

a) 20 b) 40 c) 50 d) 80 e) 100

03.- Se tiene la S.R.G.E.: ; si el producto de los dos últimos antecedentes es 72; Calcular el primer antecedente.

a) 4 b) 32 c) 2 d) 18 e) 16

04.- Se tiene la siguiente S.R.G.E.:

; si la suma de las tres razones

es 6. Hallar la suma de los antecedentes.

a) 30 b ) 18 c) 22 d) 40 e) 25

05.- Se tiene la siguiente S.R.G.E. :

; la suma de las tres primeras razones es 12; Hallar el último antecedente.a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 12

06.- Si: ; además la suma del primer y ultimo antecedente es 130, determinar el segundo antecedente.

a) 10 b) 40 c) 70 d) 60 e) 50

07.- Si: ; Hallar el valor de E.

E =

a) 3 b) 6 c) 9 d) 15 e) 20

08.- Si: ; Hallar el valor de M si:


PROPORCIÓNEs la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases:

a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA (Equi - diferencia)

Propiedad: Suma de Extremos = Suma de Medios a + d = b + c

b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (Equi - cociente)

"El producto de extremos es igual al producto de medios"

Observación: La proporción geométrica también se acostumbra representar como:

CLASES DE PROPORCIONES

I. DISCRETAS: Si sus cuatro términos son diferentes entre sí

a) Aritméticas discretas

Al último término se le llama cuarta diferencial

b) Geométricas discretas

Al último término se le llama cuarta proporcional

II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son iguales

a) Aritméticas contínuas

A cada término igual (b) se le llama media diferencial o media aritmética y a cada término distinto se le llama tercera diferencial

b) Geométricas contínuas

b ad

A cada término igual (b) se le llama media proporcional o media geométrica y a cada

término distinto se le llama tercera proporcional.

PROPIEDADESPropiedades de la Proporción Geométrica

1. a . d = b . c 2.

a bb

c dd

3.

a bb

c dd

cc d

o

aa+b

4.

a ba b

c dc d

a ba b

c dc d

o

5.

a cb d

ab

cd

6.

a

b

c

d

n

n

n

n

7.

a

b

c

d

n

n

n

n

Aplicación:Dos números están en la razón de 4 a 7. Si su diferencia es 51. Hallar su suma

ab

a bb a

opiedad

47

4 77 4

4 [Pr ]

a b

51113

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Concepto:Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor.

a

b

a

b

a

b

a

bK RAZONn

n

1

1

2

2

3

3 .................

Propiedades:

1°)

2°)1. La suma de dos números es 255 y su

razón 4/11. Hallar el número mayor.

a) 177 b) 187 c)152 d)63 e) 962. La razón aritmética de las edades de dos

hermanos es 9 años. Si la suma de sus edades es 37 años. Hallar la edad del mayor dentro de 5 años.a) 23 b) 25 c)28 d)29 e) 30

3. Dos números son entre sí como 4 es a 7, si su razón aritmética es 78, hallar su suma.a) 1886 b) 306 c)428 d)156 e) 286

4. La razón de dos números es 3/5 y su suma 1216. Hallar el número menor.a) 318 b) 456 c)528 d)619e) 708

5. Dos números están en la relación de 2 a 5; pero si añadimos 18 a cada uno de ellos, su nueva relación será de 5 a 8. Hallar el mayor de los números.a) 42 b) 24 c)27 d) 29 e) N.A.

6. Las edades de Antonio y Bernardo están en la razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y César están en la razón de 4 a 7. Si la suma de las tres edades es 159 años. Hallar la edad de César.a) 63 b) 45 c)36 d)60 e) 75

7. El número de niñas y niños en una fiesta infantil están en la relación de 3 a 5; si al cabo de tres horas, llegan 8 parejas y 4 niñas, la nueva relación sería de 8 a 13. Hallar el número de asistentes.a) 80 b) 84 c)110 d) 121 e) 91

TAREA DOMICILIARIA I

1. Hallar la cuarta proporcional de 6; 15 y 10

a) 36 b) 25 c)30 d)40 e) 152. Hallar la tercera proporcional de 9 y 12

a) 16 b) 20 c)24 d)25 e) 323. Hallar la cuarta proporcional de: a; a.b y b

a) b b) 2b c)b2 d)a2 e) ab4. Si la tercera proporcional de 9 y a es 25. Hallar

la cuarta proporcional de: a; 35 y 12

a) 21 b) 16 c)15 d) 28 e) 725. En una proporción geométrica continua

la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media proporcional.a) 20 b) 25 c)27 d)36 e) 21


I.E. JGE-2012

HOJA DE PRACTICA 04

6. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 50625. Hallar la media proporcional.a) 12 b) 15 c)18 d) 20 e) 25

7. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 348. Hallar la suma de los cuatro términos si la razón es 2/5.a) 572 b) 588 c)539d) 428 e) 624

1. Sabiendo que:a b c d3 8 4 5

y a . b + c . d = 396Hallar: "a + b + c + d"

2. En una serie de razones iguales los consecuentes son: 2; 3 y 8. Si el producto de los antecedentes es 3072, hallar la suma de los antecedentes.

a) 52 b) 60 c)64 d)72 e) 80

3. Los consecuentes de varias razones equivalentes son 3, 4, 5 y 6. Si la suma de los 2 primeros antecedentes es 35. Hallar los dos últimos antecedentes.

a) 25 y 24 b) 20 y 24 c)25y36d) 25 y 30 e) 20 y 30

4. Si:Aa

Bb

Cc

Dd

........(1)

A + B + C + D = 12 ....... (2)a + b + c + d = 75 ....... (3)

Hallar:

M A a B b C c D d . . . .

a) 50 b) 40 c)30 d)20 e) 255. En una serie de cuatro razones

geométricas continuas e iguales, la suma del primer y cuarto antecedente es 112. Si el producto de las cuatro razones es 1/81. Hallar la suma de sus consecuentes.

a) 420 b) 480 c)360 d)720e) 1080

6. Siendo "b" el término medio de una proporción geométrica continua, cuyos extremos son a y c, hallar su valor si se cumple:

a b c

a b c

2 2 2

2 2 21 1 1

4096

a) 3 b) 5 c)6 d)8 e) 9

7. Si:

a b c d2 2 2 2

12 27 48 75

y (b + d) - (a + c) = 140Hallar: "a + b + c + d"

a) 960 b) 980 c)1000d) 1010 e) N.A.

8. En un vuelo de AEROPERU el número de extranjeros es al número de peruanos como 3 es a 8. Si entre los peruanos hay hombres, mujeres y niños que están en relación entre si como 6; 3 y 1. Hallar la razón entre la diferencia del número de mujeres y niños peruanos y el número de extranjeros.

a) 8/15 b) 8/12 c)7/12 d)10/35e) 3/11

TAREA DOMICILIARIA II

1. El radio de la luna es los 3/11 del radio terrestre y el diámetro de Júpiter es 39 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre los radios de la Luna y Júpiter?

a) 1/13 b) 1/39c)1/45 d)1/143e) 1/27

2. El producto de los términos de una proporción contínua es 20736, Hallar la suma de los términos medios.

a) 18 b) 24 c)28 d)36 e) 38

3. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 50625. Sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75. Hallar la suma de los cuatro términos de la proporción.

a) 204 b) 216 c)132 d)180 e) 108

5. La diferencia entre el mayor y menor término de una proporción geométrica contínua es 16. Si la suma de los extremos es 30. Hallar la suma de los cuatro términos.

a) 108 b) 90 c)84 d)72 e) 64

6. En una serie de razones iguales los consecuentes son 5; 6 y 9 y la suma de los cuadrados de los antecedentes es 3550. Hallar la diferencia entre el mayor y menor antecedente.

a) 10 b) 15 c)20 d)25 e) 30

7. Coqui tiene 18 años y Patty 26 años. ¿Dentro de cuántos años la razón de sus edades será de 4 a 5?

a) 10 b) 12 c)14d) 16 e) 18


LOGARITMO DE UN NÚMERO

bx = N x = Log b N N > 0

El logaritmo es el exponente de una potenciaEntonces:

Si: 24 = 16 Log 2 16Si: 53 = 125 Log 5 125

¿Como hallar el logaritmo de un número en una base dada?

Ejemplo: Hallar el logaritmo de 16 en base 8

Solución: Log 8 16 = x 8x = 16

(23)x = 24 3x = 4 x =

EJERCICIOS

I.- Calcular cada uno de los siguientes logaritmos

01) Log 7 49 06) Log 4 81

02) Log b b12 07) Log125 5

03) Log 7 08) Log z z1/5

04) Log 0,2 25 09) Log n n0,3

05) Log 4/3 10) Log a

II.- Hallar “x”01) Log 2 x = 8 05) Log 2 x = -502) Log 3/5 x = -3 06) Log 0,5 x = 403) Log 1/4 x = -2 07) Log 0,02 x = -1

04) Log3√2x

= 6III.- Calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones:

01.(2Log4256 - 3Log1000) – 2Log232 02.5Log5125 – 2Log7343 + 3Log100

03.2Log381 - 3Log√381

– Log1010

Log2/3

49 – Log5/6

125216 + Log2/4

321024

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Propiedad 1: Logaritmo de la unidad

Logb1 = 0

Propiedad 2: Logaritmo de la base del sistema

Logbb = 1

Propiedad 3: Logaritmo de una potencia

Logban = n.Logba

Propiedad 4: Logaritmo de una raíz

Logb

n√am = Logbam/n =

mn Logba

Propiedad 5: Logaritmo de un Producto

Logb(p.q) =Logbp + Logbq

Propiedad 6: Logaritmo del cociente

Logb

( pq )= Logbp – Logbq

EJERCICIOS

I.- Desarrolla cada una de las siguientes expresiones como suma y resta de logaritmos.

a)

Logbm2n3c

45

d16

b) Log b (x3+y3)

c) Log

b

( x+ y )3/4 x2 /5 y3/2

z3w4d) Log b (x2+x-12)

e) Logb(2x2+x-3)1/2 f) Log b

( x−y )3c4

(m+n )1/3

g) Log b

x4 y6 z4

n6m3 h) Log b

a4b5c8

b2a3

II.- Reduce cada una de las siguientes expresiones a un sólo logaritmo.

a) 2Logb5 + 3Logb3b) 7Logba – 4Logbac) 3Logam – 8Logan + Logape) Logb(a2-25) – Logb(a-5)f) 4Logbx – 2Logby + 2g) 9Logba + 5Logbp + 1h) Logb(x2–5x +4) – Logb(x-4)i) 3Logm(a+b) – 2Logm(a-b)III.- Calcular el valor de los siguientes logaritmos

a) Log3(3 81)

b) Log7(49 343)

c) Log1/2(1024 256)

d) Log1/3(3 27)

e) Log6(216 36)

f) Log4(256 64)

g) Log2[ Log2√√√2]

PROBLEMAS

01.- El Log 5

3√25 , es igual a:

a) 3/2 b) –3/2 d) –2/3 d) 2/3 e) 2

02.- Si: Log 10 a = x ; entonces: Log1010ª , es igual a: a) 10+x b) 10x c) x d) 2x e) 1+x

03.- El valor de “x” en la expresión:

Log2/3X = –2 ; es:

a) 2/3 b) –2/3 c) 3/2 d) –3/2 e) 9/4


Log0,40,064 = x ; es:

a) 4 b) 16 c) 64 d) 3 e) 60

05.- Hallar “x”. Log2X + Log49 – Log26 + Log22 = 4

Dar como respuesta la suma de las cifras de “x”

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

06.- Si: Log9x + Logx = 4 , hallar el valor de “x”.

a) 100/3 b) 50/3 c) 1/3 d) 3/100 e) 100

07.- Si: Log 3 M = 5/3

Calcular: A = Log432 + LogM3

a) 0,833 b) –0,76 c) –0,2 d) 3,1e) NA

08.- Hallar “n” en:Log6n – Log6(n-1) = Log63

a) 2/3 b) 3/2 c) ½ d) –2/3 e) 1/3

09.- Al logaritmo de 9 en base 27

agregarle el logaritmo de 43√2 en base 4.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10.- La solución de: Log(3x2+2x-4) = 0 ; xZ+

a) 1 b) –1 c) –5 d) 2 e) –5/3

11.- Calcular:


I.E. JGE-2012

HOJA DE PRACTICA 04

Log3 { Log4 [Log5(Log6216 +2) + 63] + 240}

a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 2

12.- Si: 2x = a y 4x = b

Cual es el valor de: Log b a

a) ½ b) –12 c) x/2 d) 2x e) –2

13. Si se cumple:

x = (Log82 )Log 28

entonces: Log3x es:

a) –3 b) –1/3 c) 1/3 d) 3 e) 9

15.- indicar el equivalente de:

S=31+Log3 2

+21+Log2 3

a) 12 b) 4 c) 6 d) 42 e) 1

16.- Si: Log 2 [ Log 3 (Log10x) ] = 1

Hallar Log x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 6

17.- Si: Logab a = 4 , calcular:

E = Logab

( 3√a√b )

a) 7/3 b) 5/6 c) 13/6 d) 4/3 e) 17/618.- Simplificar:

(Log6 4+Log6 9)Log3(5+Log2 16 )

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16

19.- Simplificar:

a) 1/3 b) –1/3 c) ¼ d) 1/6 e) 1/9

20.- Reducir:

E = Log16Log√6 Log√2 8

a) 4 b) ¼ c) 2 d) 1/2 e) 1

PROBLEMAS


Log5125 = x , es:

a) 120 b) 25 c) 3 d) 2 e) NA

02.- En que base el logaritmo de 4 es 7/4

a) 4 b) 2 c) 8 d) e) 1

03.- Si: Log10p = x , entonces: Log10

3√ p , es igual a:

a) 3√ x b) 3x c) x1/3 d) x/3e) 1/3 – x

04.- Si: x” e “y” son números positivos y Logx2 = a ; Log y2 = bEntonces el valor de:

20.Log

10√ xy es:a) a+b b) a–b c) b–a d)2(a+b) e) 2(b–a)

05.- Si: a = Log 8 225 y b = Log 2 15 , entonces “a”, en función de “b”, es:

a) b/2 b) 2b/3 c) b d) 3b/2 e) 2b

06.- Hallar la suma de cifras de “x” si:

Log 5 Log 4 Log 5 (x+2) = 0

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

07.- Determinar el valor de “N”.

Log2√5 20 + Log2√5 N = 4

a) 5 b) 1/5 c) 0,5 d) 20 e) 4

08.- Hallar el valor de “x”

2Log 3 27 = 4Log 3 9 - 3x

a) –2/3 b) 3/2 c) –3/2 d) 2/3 e) NA

09.- Si: Log m = b – Logn , entonces “m” es igual a:

a) b/n b) bn c) n.10b d) b–10n

10.- Hallar el valor de la expresión:

E = (Log1/55 + 2Log749).Log381

a) –1 b) –12 c) 9 d) 8 e) 12

11.- Calcular el valor de “a” :

Log 2 (a2–25) – Log 2 (a+5) = Log 2 2

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 d) 9

12.- ¿Cuál es el valor de:

{ Log (5Log 100) } 2 ?

a) log50 b) 25 c) 10 d) 2 e) 1

PROF. LIC. FREDITO ALARCÓN L.


1. Un corredor tiene una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto demora en recorrer 60 metros?

a) 12seg b) 6 c) 8 d) 9 e) 4

2. Un tren de 400 metros cruza un puente de 600 metros en 20 segundos. ¿Cuál es su velocidad?a) 50 m/s b) 20 c) 40 d) 60 e) 30

3. Un tren de 200m atraviesa un túnel en 40 seg. Si su velocidad es de 72 Km. /h. ¿Cuál es la longitud del túnel?a) 2 680 b) 800 c) 2 880 d) 600

4. Hallar la distancia que recorre la liebre en 10 seg. Si en un 1/5 de minuto recorre 40m más, sabiendo que la liebre se mueve a velocidad constante.a) 100 b) 150 c) 160 d) 180 e) 200

5. Dos autos parten simultáneamente de un mismo lugar con velocidades de 80 y 95 Km. /h. ¿Después de cuanto tiempo el más rápido estará a 120 Km. del más lento?a) 6h b) 9 c) 12 d) 8 e) 10

6. Dos móviles parten en el mismo sentido a 10m/s y 30 m/s. Calcular después de que tiempo se encuentran distanciados 1000ma) 10s b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

7. Hallar la rapidez de una lancha en Km. /h sabiendo que emplea 2h en navegar a 30 Km. a favor de la corriente y 6h en recorrer dicha distancia en sentido contrarioa) 10 Km. /h b) 12 c) 8 d) 11 e) 15

8. Un auto parte de cierto lugar a 80 Km. /h y 2 horas después parte otro a doble alcance a 90 Km. /h. ¿Cuánto demora en alcanzarlo?

a) 12h b) 20 c) 14 d) 18 e) 16

9. Estando un Richard a 180 m de Patty se lanza a cazarla, Patty corre a 22m/s mientras que Richard corre a 31m/s. ¿Qué tiempo demora la persecución?a) 9s b) 15 c) 18 d) 12 e) 20

10. Dos ciclistas están separados 110m si parten en el mismo sentido, se encuentran en 55 seg. Y si parten en sentidos opuestos, se encuentran luego 5 seg. Una de las velocidades es:a) 11m/s b) 15 c) 9 d) 12 e) 8

11. Una persona se dirige a una bodega con una velocidad de 16 m/s y regresa a 4 m/s, si tarda 10 seg. en total. ¿A qué distancia estaba la bodega?a) 32m b) 64 c) 28 d) 48 e) 56

12. Si voy a tu casa a una velocidad de 10 Km. /h demoraría una hora menos del tiempo que me demoraría ir a tu casa si voy en un auto a 20 Km./h?a) 1 b) 1 1/2 c) 2 d) 2 ½ e) 3

13. Al ir de mi casa a la Academia me doy cuenta que si voy a 40 Km./h demoro 20 minutos más que si fuera a 60

Km./h.¿Cuál es la distancia entre mi casa y la academia?a) 20 Km. b) 30 c) 40 d) 50 e) 80

14. Un tren de 200m de longitud cruza un túnel de 600m de largo a una velocidad de 40 m/s ¿Qué tiempo demora en cruzarlo?a) 20 seg. b) 30 c) 15 d) 40 e) 17,5

15. Un tren demora 5 seg. En pasar delante de un observador, y 18 seg. en cruzar un túnel de 91m de largo. Hallar la longitud del tren

a) 15m b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

TAREITA

Problema 1. Un niño se encuentra en reposo a una distancia de 85m de una montaña. En cierto instante el niño emite un silbido. ¿Al cabo de qué tiempo escucha el eco?. (Velocidad del sonido en el aire =340m/s).

A) 5 s B) 4s C) 0,2 sD) 0,1 s E) 0,5 s

Problema 2. Un tren se demora 8s en pasar frente a un observador y el triple de tiempo en pasar por un puente de 550 metros de largo. ¿Cuál es la longitud del tren?.

A) 500 m B) 250 m C) 350 mD) 275 m E) 450 m

Problema 3. La velocidad del sonido en el aire es de 340m/s, ¿Cuánto tiempo tarda en oírse el disparo de un cañón situado a 1360 m de distancia?.

A) 2 s B) 4 s C) 6 sD) 8 s E) 10 s

Problema 4. ¿Cuánto tiempo tarda un tren de 500 m de largo que marcha a la velocidad de 15 m/s en pasar un túnel de 1600 m de largo?

A) 60 s B) 120 s C) 140 sD) 80 s E) 150 s

Problema 5. Un tren demora en pasar frente a un alumno 20 s y luego recorre íntegramente un túnel de 240 m de largo en 36 s con velocidad constante. ¿Cuánto mide de largo el tren, en metros?

A) 200 B) 100 C) 150D) 250 E) 300

Problema 6. Dos móviles distan 3km uno de otro y marchan en sentidos contrarios a 40 y 60 km/h ¿Cuánto tardarán en cruzarse?

A)1,8 min B) 2 min C) 35 minD) 2,4 min E) 5 min

Problema 7. Dos móviles están separados inicialmente 750 m, parten al encuentro con velocidades de 20 m/s y 30 m/s, respectivamente. Después de que tiempo:

I. Se encontraránII. Estarán separados 250 m por

segunda vez.A) 10sy 20 B) 5s y 20s C)15s y 20 sD) 5 s y 15s E) 15s y5 s

Problema 8. Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una distancia de 150m. sabiendo que los móviles se mueven en una misma dirección y sentido y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. calcular después de que tiempo:

I. El móvil “A” alcanza al móvil “B”.

II. “A” estará 50 m delante de “B”

A) 10sy 20 B) 5s y 20s C)15s y 20 sD) 5 s y 15 E) 15 s y 5

Problema 9. Dos móviles pasan por un mismo punto y se mueven en el mismo sentido con velocidad de 40 y 60 m/s. Delante de ellos a 600 m hay un árbol. ¿Después de cuantos segundos los móviles equidistaran del árbol?

A) 10 B) 15 C) 13D) 12 E) 11


I.E. JGE-2012

HOJA DE PRACTICA 04

Se que mi labor es difícil, mas nada me detendrá, si acaso me equivocará, corregiré mis errores y así lograre mis metas sublimes TÚ formación……F. A. L……….2012. PROF. LIC. FREDY ALARCÓN L.

SESION REFLEXIVA DE TUTORIA

AÑO: 3º A-BDOCENTE: LIDIA ROCA F.I.E. MANUEL VIVANCO ALTAMIRANOFECHA: ………………………….. TOPICO: EL TRABAJO EN EQUIPO Y LA UNIDADAPRENDIZAJE ESPERADO: Reflexiona sobre la importancia del trabajo en equipo y la necesidad de realizar un trabajo coordinado.

MOMENTOS

ESTRATEGIAS METODOL. RECURSOS INSTRUMENTOS DE EV.

VER

JUZGAR

ACTUAR

Dinámica “el monstruo” :Cada alumno en una hoja dibuja diferentes partes del cuerpo humano.

Cortan las partes y a una advertencia unen formando el ser humano

Reflexionan por qué no ha salido como esperaban En función a sus respuestas, reflexionan sobre qué

estuvo mal y cómo debía ser trabajado. Dialogan sobre la importancia del trabajo en equipo

para lograr buenos resultados. Escriben una carta a la Tutora explicando cómo

aportarían para hacer un trabajo en equipo.

Útiles de escritorio Guía de Observación.

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