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I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS
Sean y dos muestras aleatorias
independientes de tamaños y extraídas de dos
poblaciones normales y , tal que
las varianzas son desconocidas, y sean y las
respectivas varianzas muestrales. El intervalo de
confianza de para esta dado por:
Observación:
11 nX , ..., X21 nY , ..., Y
1n 2n
2
1 1N , 2
2 2N ,
100 1 %
2 1 2 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2n 1, n 1;1 n 1, n 1;
2 2 22 2
s sI F F
s s
2 1
1 2
n 1,n 1;12
n 1,n 1;2
1F
F
2 2
1 2
2
1s2
2s
I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS
Ejemplo:
Una compañía fabrica piezas para turbinas. Tiene dos procesos
distintos para hacer el esmerilado de las piezas y ambos
procesos producen piezas con la misma rugosidad promedio. El
ingeniero del proceso desea seleccionar el proceso con la menor
variabilidad en la rugosidad de la superficie. Toma una muestra
de 12 piezas del primer proceso, obteniendo una desviación
estándar de 5.1 micropulgadas, luego toma una muestra de 15
piezas del segundo proceso, obteniendo una desviación estándar
de 4.7 micropulgadas. ¿Puede elegir el primer proceso con una
confianza del 95% de tener menor variabilidad en la rugosidad?
I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS
Ejemplo:
Como el intervalo incluye a la unidad, no se puede
concluir que los procesos tengan variabilidad
significativamente diferente con una confianza del 95%
2 1 2 1
2 2
1 1
2 2n 1, n 1;1 n 1, n 1;
2 22 2
s sI F ; F
s s
2
2 2s 4.7 s 22.09 2
1 1s 5.1 s 26.01
2
1
2
2
26.01 26.01I 0.32 ; 3.35 0.3767 3.9444
22.09 22.09
14 ,11; 0.975F 0.32
14 ,11; 0.025F 3.35
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS CONOCIDAS
Sean y dos muestras aleatorias
independientes de tamaños y extraídas de
dos poblaciones normales y , tal
que las varianzas son conocidas, y sean y las
respectivas medias muestrales. El intervalo de
confianza de para esta dado por:
2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 2
1 11 2 1 22 2
I x x Z ; x x Zn n n n
11 nX , ..., X21 nY , ..., Y
1n 2n
2
1 1N , 2
2 2N ,
100 1 %1 2
1x2x
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS
Sean y dos muestras aleatorias
independientes de tamaños y extraídas de dos
poblaciones normales y , tal que las
varianzas y son desconocidas, y sean y sus
respectivas medias muestrales. El intervalo de
confianza de para es:
Caso: Tamaño de muestra mayor a 30
2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 2
1 11 2 1 22 2
s s s sI x x Z ; x x Z
n n n n
11 2 nX , X , ..., X21 2 nY , Y , ..., Y
1n 2n
2
1 1N , 2
2 2N ,
1x2x
100 1 % 1 2
2
12
2
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS
Caso: Tamaño de muestra menor o igual a 30 y
varianzas desconocidas pero iguales
Donde: 2 2
1 1 2 22
p
1 2
n 1 s n 1 sS
n n 2
1 2 1 2
2 2 2 2
p p p p
1 2 1 2n n 2 ;1 n n 2 ;1
1 2 1 22 2
S S S Sx x t ; x x t
n n n n
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS
Caso: Tamaño de muestra menor o igual a 30 y varianzas desconocidas y diferentes
Donde:
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 1 2 2
s s
n ng 2
s 1 s 1
n n 1 n n 1
2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 2
g ;1 g ;11 2 1 22 2
s s s sI x x t ; x x t
n n n n
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Ejemplo 1:
Una compañía de taxis está tratando de decidir la
compra de neumáticos entre las marcas A o B para sus
vehículos. Para ello, necesita estimar la duración media
de las dos marcas de neumáticos; por lo que realiza un
experimento empleando 12 neumáticos de cada marca,
haciéndoles correr hasta su desgaste total. Los
resultados en kilómetros son:
1 2n n 30
A B Media 36,300 38,100 Desviación estándar 5,000 6,100
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Ejemplo 1:
¿Será la duración media de ambas marcas de
neumáticos son iguales con 95% de confianza.?
Solución:
Se tiene que determinar primero si las varianzas iguales
o diferentes.
De acuerdo al resultado para las varianzas, se utiliza el
intervalo correspondiente para estimar las medias.
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Solución:
Intervalo de confianza para la varianza
Como el intervalo cubre el valor uno, se puede suponer
que las varianzas son iguales.
2
2 2s 6,100 s 37,210,000 2
1 1s 5,000 s 25,000,000
2 2 2
1
2 2 2
2
5,000 5,000I 0.2879 ; 3.4737 0.1934 2.3338
6,100 6,100
11,11; 0.975F 0.2879 11,11; 0.025
F 3.4737
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Solución:
Intervalo de confianza para la media
donde:
Se tiene:
1 2
2 2
p p
1 2n n 2 ;1
1 22
S SI x x t
n n
2 2
1 1 2 22
p
1 2
n 1 s n 1 sS
n n 2
1x 36,300
2x 38,100 22 , 0.975
t 2.074
2 2
1s 5,000
2 2
2s 6,100
2
pS 31,105,000
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Solución:
Intervalo de confianza para la media
Debido a que el intervalo contiene el valor cero, se
puede decir con 95 % de confianza que la duración
media de ambos tipos de neumáticos son iguales.
2 2
p pS SI 36,300 38,100 2.074
12 12
1 26,522.24 2,922.24
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Ejemplo 2:
Se quiere comparar la velocidad de transmisión de cierto
tipo de enrutador ADSL y la que ofrece la tecnología
wireless. Se toma una muestra de 14 routers ADSL y 8
transmisores inalámbricos obteniéndose los siguientes
resultados (medidos en Mbps):
¿Es posible elegir cualquier aparato, con una confianza del
97%?
ADSL Wireless Media 2.11 1.65 Desviación estándar 0.18 0.48
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Solución:
Intervalo de confianza para la varianza
Como el intervalo no cubre el valor uno, se puede
suponer que las varianzas sean iguales.
2
2 2s 048 s 0.2304 2
1 1s 0.18 s 0.0324
2 2 2
1
2 2 2
2
0.18 0.18I 0.2871; 3.4827 0.0403 0.4897
0.48 0.48
7 ,13 ; 0.985F 0.2871 7 ,13 ; 0.015
F 3.4827
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Solución:
Intervalo de confianza para la media
donde:
2 2
1 21 2
g ;11 22
s sI x x t
n n
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 1 2 2
s s
n ng 2
s 1 s 1
n n 1 n n 1
1 2n n 30
I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS Y
Ejemplo 2:
Como el intervalo contiene al valor cero, se puede
afirmar con 97 % de confianza que la velocidad de
transmisión son iguales.
0.0324 0.2304
I 2.11 1.65 2.633814 8
1 20.0045 0.9245
1x 2,11
2x 1,65
2 2
1s 0.18
2 2
2s 0.48
g 8
8 , 0.97t 2.6338
1 2n n 30
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA
DIFERENCIA DE PROPORCIONES
Sean y dos muestras aleatorias
independientes de tamaños y extraídas de dos
poblaciones Bernoulli y , y sean y las
respectivas proporciones muestrales. El intervalo de
confianza de para es:
1 1 2 2
1 21
1 22
p 1 p p 1 pI p p Z
n n
11 2 nX , X , ..., X21 2 nY , Y , ..., Y
1n 2n
1B 1, 2B 1, 1p 2p
100 1 % 1 2
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA
DIFERENCIA DE PROPORCIONES
Ejemplo:
Una compañía produce dos marcas de cerveza. En un
reciente estudio se encontró que 72 de 120
consumidores prefieren la marca A y 50 de 80 prefieren
la marca B. Se puede afirmar que las preferencias por
ambas marcas de cervezas son iguales con una
confianza de 99%.