Interpolación.

En todo este tema has visto distintas maneras de expresar una función. Has visto, por ejemplo, que en numerosas ocasiones las funciones se expresan mediante tablas de valores obtenidos de la observación o de la experimentación. También has visto que cuando la función puede ser expresada mediante una relación matemática (en especial una relación matemática sencilla) es muy fácil obtener información de la misma. Por lo tanto, un problema con el que nos tendremos que enfrentar con frecuencia es cómo obtener una expresión matemática que represente la función que estamos estudiando cuando los datos los hemos obtenido experimentalmente o mediante observación de algún fenómeno. En la mayoría de los casos este problema es demasiado complejo para resolverlo, por lo que nos conformaremos con una aproximación. El proceso por el que a una tabla de valores se le asocia una expresión matemática que la represente se denomina Interpolación. La función obtenida debe representar de forma exacta los valores de la tabla, pero no proporciona más que una estimación de los valores que no aparezcan en la tabla. Una vez que hemos aceptado que no vamos a dar con una expresión exacta sino aproximada, surge otro problema. ¿De qué tipo es la función con la que vamos a realizar la aproximación? o dicho de una manera más rigurosa ¿qué tipo de interpolación vamos a hacer?. La representación gráfica de los puntos de la tabla nos puede dar una idea, pues los puntos que se representen pueden mostrar una tendencia. Por ejemplo, si resulta que los puntos parecen estar alineados debemos buscar una función lineal para representarlos. Diremos en ese caso que realizamos una interpolación lineal. Si la apariencia de los puntos se asemeja a una parábola realizaríamos una interpolación cuadrática. Y así con cualquier tipo de función cuyo aspecto conociéramos previamente. En la práctica puede suceder que no dispongamos de puntos suficientes para adivinar la tendencia, o que aún teniendo puntos suficientes, la gráfica no se parezca a nada conocido. Existen procedimientos bastante complejos para interpolar ese tipo de funciones, pero que no están a nuestro alcance. En una situación de este tipo nosotros nos conformaremos con una interpolación lineal entre cada pareja de puntos, obteniendo una función definida a trozos y cada trozo definido por una función lineal. Para comprender todo esto mejor haremos uso del siguiente ejemplo. A lo largo del día se han recogido los siguientes datos de temperaturas:

Hora 10 13 17

Temperatura ºC 7 18 11

Haz una estimación de la temperatura que ha hecho a las 11h, a las 12h, a las 14h, a las 15h y a las 16h. Para resolver este problema representaremos gráficamente los puntos de la tabla A(10,7), B(13,18) y C(17,11). Después calcularemos la ecuación de la recta que pasa por A y por B y la que pasa por B y por C. Recuerda que para ello debes hacer uso de la fórmula que nos da la ecuación de la recta conocidos dos de sus puntos:

Introduce ambas ecuaciones en la gráfica adjunta y dibújalas. Pinchando con el ratón en los puntos adecuados, las coordenadas de esos puntos te darán la información que necesitas.

Naturalmente los valores obtenidos son simples estimaciones en las que se supone que la temperatura ha ido cambiando de forma lineal y esto puede no ser cierto. Cuanto mayor sea el número de puntos de los que se parte y más próximos estén entre sí mejor será la estimación.

Definición. Dados 1n puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

Si existe una función )(xf definida en el intervalo nxx ,0 (donde suponemos que

nxxx 10 ), tal que ii yxf )( para ni ,,2,1,0 , entonces a )(xf se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar valores dentro

del intervalo nxx ,0 , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc. El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando. Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único. Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible. Caso n=0 Tenemos los datos:

En este caso, tenemos que 0)( yxf (polinomio constante) es el polinomio de menor

grado tal que 00)( yxf , por lo tanto, es el polinomio de interpolación. Caso n=1. Tenemos los datos:

En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que

)()( 0

01

010 xx

xx

yyyxf

es el polinomio de interpolación. La siguiente gráfica representa este caso:

Observación. Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra

como primer término, 0y , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.

Ejemplo. Se quiere aproximar f(x) = sen x en el intervalo [0,∏ ], con:

X 0 0.7 1.5 2.3

Y 0 0.64 0.99 0.74

Calcule sen 1 con cada una de las curvas encontradas y compare con el valor verdadero. Interpretación geométrica

Figura 1: Interpretación grafica del resultado de la función a evaluar.

Figura 2: Interpretación grafica de la interpolación lineal de Newton

. Figura 3: Interpretación grafica de la función a evaluar ( f(x)=sen x ).

Caso n=2. Tenemos los datos:

Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuimos que el polinomio de interpolación será como sigue:

término cuadrático

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:

))(()()( 102010 xxxxbxxbbxf

Si asignamos 0xx , se anulan los valores de 1b y 2b , quedándonos el resultado

00)( bxf .

Como se debe cumplir que 00)( yxf , entonces 00 by .

Si asignamos 1xx , el valor de 2b queda anulado, resultando lo siguiente:

)()( 01101 xxbbxf

Como se debe cumplir que 11)( yxf y ya sabemos que 00 by , entonces

)( 01101 xxbby , de lo cual obtenemos el valor para 1b , 1

01

01 bxx

yy

.

Asignando 2xx , vamos a obtener :

))(()()( 1202202102 xxxxbxxbbxf

Como se debe cumplir que 22)( yxf , y ya sabemos que 00 by y 1

01

01 bxx

yy

,

sustituimos estos datos para después despejar el valor de 2b :

))(()( 1202202

01

0102 xxxxbxx

xx

yyyy

De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :

)(

)(

022

12

02

01

0102

xxbxx

xxxx

yyyy

Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le sumamos un cero

11 yy , de tal manera que no se altere la igualdad:

A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:

Y finalmente despejando a 2b vamos a obtener 02

01

01

12

12

2xx

xx

yy

xx

yy

b

. Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

Interpretación geométrica. Como resolvimos el ejemplo anterior por interpolación cuadrática de Newton entonces las figuras 1 y 3 se mantienen constantes.

Figura 4: Interpretación grafica de la interpolación cuadrática de Newton

Observación. Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del

caso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue:

DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTON

Las diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:

ji

ji

jixx

xfxfxxf

)()(],[

ki

kjji

kjixx

xxfxxfxxxf

],[],[],,[

0

011011

],,[],,[],,,,[

xx

xxfxxfxxxxf

n

nnnn

A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico:

03

0121230123

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

donde a su vez:

13

1223123

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

y 012

0112012

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

Y donde a su vez:

23

2323

)()(],[

xx

xfxfxxf

etc. Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Dados 1n datos:

El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:

110102010 nn xxxxxxbxxxxbxxbbxf donde :

00 xfb

],[ 011 xxfb

0122 ,, xxxfb

0,, xxfb nn

Para calcular los coeficientes nbbb ,,, 10 , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton. Solución.

Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :

)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)( xxxxxxxf Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton. Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :

))(2)(3(20238.0)2)(3(66667.1)3(35)( xxxxxxxf Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamos como el imponer la restricción del grado mínimo, implica la unicidad del polinomio de interpolación.

TEOREMA. Si nxxx ,,, 10 son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios

nyyy ,,, 10 existe un polinomio único xfn , de a lo más grado n, y tal que iin yxf

para toda ni ,,2,1,0 DEMOSTRACIÓN. En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomio de interpolación, aunque informalmente aceptamos que dada cualquier tabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe. Probemos la unicidad del polinomio de interpolación.

Supongamos que xgn es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n,

Sea xgxfxh nnn

0 iiininin yyxgxfxh para todo ni ,2,1,0

Por lo tanto, xhn tiene 1n raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo más n,

esto solamente es posible si 0xhn . Por tanto, xgxf nn , Que es lo que queríamos probar. Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, pueden existir diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio de Newton, otra mediante el polinomio de Lagrange.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Nuevamente tenemos los datos :

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

)()()()( 1100 xlyxlyxlyxP nn

Donde los polinomios )(xli se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que 00)( yxP , esto se cumple si 1)( 00 xl y 0)( 0 xli para

toda 0i .

Como se debe satisfacer que 11)( yxP , esto se cumple si 1)( 11 xl y 0)( 1 xli para

toda 1i .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición nnn yxP se cumple si

1nn xl y 0ni xl para toda ni . Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros,

analicemos detenidamente el polinomio )(0 xl . De acuerdo al análisis anterior vemos que

deben cumplirse las siguientes condiciones para )(0 xl :

1)( 00 xl y 0)(0 jxl , para toda 0j

Por lo tanto, planteamos )(0 xl como sigue:

no xxxxxxcxl 21

Con esto se cumple la segunda condición sobre )(0 xl . La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:

nxxxxxxcxl 0201000 11

nxxxxxxc

02010

1

Por lo tanto el polinomio )(0 xl queda definido como

n

n

xxxxxx

xxxxxxxl

02010

210

. Análogamente se puede deducir que:

ji

ij

ji

i

jxx

xx

xl)(

)(

, para nj ,,1 Ejemplo 1. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución. Tenemos que:

)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf

)(3)(2)()(2)( 3210 xlxlxlxlxf donde:

48

)7)(5)(3(

)6)(4)(2(

)7)(5)(3()(0

xxxxxxxl

16

)7)(5)(1(

)4)(2)(2(

)7)(5)(1()(1

xxxxxxxl

16

)7)(3)(1(

)2)(2)(4(

)7)(3)(1()(2

xxxxxxxl

48

)5)(3)(1(

)2)(4)(6(

)5)(3)(1()(3

xxxxxxxl

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

16

)5)(3)(1(

8

)7)(3)(1(

16

)7)(5)(1(

24

)7)(5)(3()(

xxxxxxxxxxxxxf

Ejemplo 2. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución. Tenemos que:

)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf

)(2)(3)()()( 3210 xlxlxlxlxf

donde 48

)4)(2(

)6)(4)(2(

)4)(2)(0()(0

xxxxxxxl

16

)4)(2)(2(

)4)(2)(2(

)4)(2)(2()(1

xxxxxxxl

16

)4)(2(

)2)(2)(4(

)4)(0)(2()(2

xxxxxxxl

48

)2)(2(

)2)(4)(6(

)2)(0)(2()(3

xxxxxxxl

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:

24

)2)(2(

16

)4)(2(3

16

)4)(2)(2(

48

)4)(2()(

xxxxxxxxxxxxxf

Otras Aplicaciones. La interpolación es el método por el que se calculan más puntos de muestra, de acuerdo con un algoritmo del software de imágenes -programa de escaneado, para compensar las limitaciones de la resolución óptica. Por lo tanto, si la resolución óptica es de 1000 dpi, la interpolación sólo se utilizará si resoluciones mayores de 1000 dpi se requieren. Esto es especialmente útil al escalar imágenes para erradicar trazos que no se quieren y que parecen como efectos de eslabones en los contornos de la imagen. Por ejemplo, para escanear a 600 dpi una fotografía y doblar el tamaño de salida de la imagen sin perder detalles, la imagen tiene que contener el mismo nivel de detalles que la fotografía original. Si la imagen se aumenta sin interpolación, el espacio entre los puntos o las líneas será doblado. Esto significa que el mismo números de puntos se tendrán que situar en un área dos veces mayor dando a la imagen una calidad granulada inconsistente. Con la interpolación, la densidad de la imagen se perservará introduciendo el número de puntos que se requieran en el espacio abierto, dando así a la imagen resultante una mejor calidad.

De todas maneras, volviendo al ejemplo, la fotografía ampliada se escaneará a toda la resolución óptica, 1000 dpi, y el programa de imágenes interpolará la imagen capturada a 1200 dpi. Otras referencias

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Interpolacion/interpolacion_1.htm#INTERPOLACIÓN%20LINEAL http://www.uv.es/~diaz/mn/node38.html http://www.unalmed.edu.co/~ifasmar/ejerc4.pdf

Problemas Interpolación Problema 1. Al viajar por un camino secundario un motociclista anota la velocidad de su vehículo cada 4 minutos, obteniendo los siguientes valores:

hora Velocidad(Km./hr)

9:00 60

9:04 65

9:08 70

9:12 60

9:16 40

9:20 45

9:24 40

9:28 40

9:32 35

9:36 37

9:40 45

9:44 50

9:48 55

9:52 60

9:56 70

10:00 65

Si el odómetro del coche no funciona, estimar la distancia recorrida dada por la integral

d= para: a) lecturas cada 4 minutos. b) lecturas cada 12 minutos.

Problema 2. En unas tablas estadísticas se encontraron los siguientes valores tabulares para distribución normal estandarizada:

Zc P(Z< Zc)

0.40 0.6554

0.41 0.6591

0.42 0.6628

0.43 0.6664

A partir de estos datos determinar a que valor de Zc, la probabilidad P(Z<Zc) es igual a 0.66 Problema 3. Encontrar el grado del polinomio que se puede representar al conjunto de valores de la siguiente tabla: X -5 -2 1 4 7 10 13 16 F(X) 0 15 18 15 12 15 30 63

a) Encontrar el polinomio que define la función b) El valor de la función en X=5 Problema 4. Los datos contenidos en la siguiente tabla fueron tomados de un cohete disparado verticalmente de la superficie de la tierra. Tiempo (Seg) 0 60 120 180 240 300 Velocidad (millas/Seg) 0 0.0824 0.2147 0.6502 1.3851 3.2229 a) Calcular la velocidad del cohete cuando el tiempo sea de 90 seg. utilizando interpolación de segundo y tercer grado. b) En que instante el cohete alcanza una velocidad de 0.1 millas por segundo Extras c) Calcular la aceleración del cohete a 150 seg. d) Calcular el desplazamiento del cohete a los 260 seg. Problema 5. Cada 10 años se toma un censo de la población de los Estados Unidos de América. A continuación se muestra una tabla con los datos en miles de personas de la población de 1930 hasta 1980. Año 1930 1940 1950 1960 1970 1980 Población (miles) 123,203 131,669 150,697 179,323 203,212 226,505 a) Utilizando interpolación de Lagrange. Estime la población de EU en 1965 con un polinomio de interpolación de 3 grado. b) Use el método de diferencias divididas de tercer grado para estimar la población en el año de 1975. Calcule por Interpolación de Lagrange y compare el resultado. c) La población en 1920 fue de aproximadamente 105,711,000 . Encuentre el valor por interpolación y compárelo con el valor real. Problema 6. Una resistencia eléctrica R se sometió a diferentes temperaturas y se obtuvieron las siguientes mediciones de su resistencia:

ºC 10 15 20 25 30 35 40 Ohm 98 99.5 103 107 112 116 122 determinar el valor probable de la resistencia a una temperatura de 28 ºC utilizando interpolación de Newton de 3 grado. Problema 7. La población ganadera en México durante varios años fue la siguiente: Año 1965 1966 1968 1969 1970 Población Ganadera 143.5 155.1 201.8 211.0 216.5 (Miles de cabezas) Determinar la población en año de 1967 por interpolación de Segundo y tercer grado. Comparar el resultado con el valor real de 163.6 miles de cabezas.