InterpolaciónPolinómica

RODRIGO DÍAZ 21459335

El Problema De La InterpolaciónEn algunos casos en una función sólo conocemos un conjunto de valores. Si

queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las

conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el

valor que obtengamos será una aproximación del valor real.

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más

utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase

por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de

la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación,

hablamos de interpolación polinómica.

Polinomio Interpolante de Newton-GregoryCuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le

puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir

un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la

fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y

retroceso).

Polinomio Interpolante de GaussHay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-

Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias

Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es enforma de zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán

seleccionados en forma de zig-zag.

Fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero

hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula

de avance los valores son tomados en forma de zig-zag

Interpolación De HermiteAquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada

subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función Hn(x) queda

determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución

de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación deHermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en

muchas aplicaciones

Interpolación Usando SplinesLos dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora

tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de

interpolación. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por

pedazos, La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar

los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para

formar nuestra interpolación. Podemos decir, que una función spline está formadapor varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si

bajo ciertas condiciones de continuidad. Cabe mencionar que entre todas, las

splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas.

Polinomio Interpolante De LagrangePara construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: ,

donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de

Lagrange. pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como

no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la

interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún

criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelos

más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos: ... , , Se usan

estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una

tabla de diferencias divididas que viene dada por

Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario

que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar

ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un

error

Aplicación De Los Métodos Numéricos De InterpolaciónUna gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las

que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace). Matemáticamente, estas

ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir,

ecuaciones de auto valores para un operador diferencial auto adjunto. Los polinomios de

Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas

soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de

familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada

polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una

función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. de Hermite.