Interes Simple y Compuesto Ing. Economica 1 , Parte 2 (1)

7/22/2019 Interes Simple y Compuesto Ing. Economica 1 , Parte 2 (1)

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INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

$1,000 hoy a cunto equivalen en dos, tres o cinco aos despus?

Cuando se debe considerar ms de un perodo es necesario distinguirentre dos tipos de inters: SIMPLE Y COMPUESTO.

Inters Simple

Inters que se aplica slo sobre el principal (monto del crdito o dela inversin), sin considerar el inters generado en los periodos deinters precedentes.

Al aplicarse slo sobre el capital, el monto de los intereses essiempre el mismo.

Fn = P + Pin simplificndola Fn = P(1 + in)


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El inters simple total durante varios periodos se calcula de lasiguiente forma:

Inters = Capital x xNumero deperiodos

Tasa de inters

Ejemplo 4:

Una empresa otorg un prstamo a un miembro del personal deingeniera para que ste adquiriera un avin a escala dirigido por un radio

controlador. El prstamo asciende a $100,000 por tres aos con uninters simple de 5% anual. Cunto debe pagar el ingeniero al final delos tres aos?

Solucin:

El anlisis ao por ao es el siguiente:AO 1: Inters1= $100,000 (0.05) = $5,000

21 3Inters1= 5,000

Inters acumulado pero an no pagado

P = 1000,000


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Ejemplo: Si se obtiene un prstamo de $1000 para pagar en 3 aosa una tasa de inters simple del 5% anual. Cunto dinero sepagar al final de los tres aos?

Inters anual = $1000 * 0.05 = $50

Inters por los tres aos = $50 * 3 = $150

Total a pagar al final de los 3 aos = $1000 + $150 = $1150


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AO 2: Inters2= $100,000 (0.05) = $5,000

2 31Inters2=$5,000Inters1=$5,000

Inters acumulado pero an no pagado

AO 3: Inters 3= $100,000 (0.05) = $5,000

Adeudo total al final del ao 3: $100,000 (prstamo original) +$15,000 (inters) = $115,000

Por lo tanto, cuando el inters es simple el monto que se adeudacada ao se incrementa uniformemente, ya que este tipo de inters

se calcula slo sobre el principal.

Inters1=$5,000 Inters2=$5,000 Inters3=$5,000

321

P = 100,000

P = 100,000


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Ejemplo 2 El Sr. Juan Prez acude a una sucursal bancaria adepositar $ 5,000. Con la posibilidad de invertirlo a un ao, elbanco le ofrece 15% de inters anual pagadero al final delao(en el medio financiero se conoce como pagare a 360 das)

Ejemplo 3 La esposa del Sr. Prez conoce que al final delao el banco le entregara $ 5,750 y que la tasa de inters

pactada en el pagare a 360 das fue de 15% anual. Cuntofue la cantidad inicial invertida por su esposo?

Ejemplo 4 La esposa del Sr. Prez conoce que al final del ao

el banco le entregara $ 5,750 y que su esposo invirti $ 5,000durante un ao, desconoce a que tasa de inters pactada enel pagare a 360 das


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Ejemplo 4 El Sr. Lpez obtiene un prstamo por $ 20,000 quesolicito a un banco y acuerda pagarlo despus de dos meses,entregando al banco $ 20,400.Cual es la tasa de inters?

Ejemplo 5 Un comerciante adquiere un lote de mercanca convalor de $ 3,500 que acuerda liquidar mediante un pago deinmediato de $ 1,500 y un pago final 4 meses despus.

Acepta pagar 10% de inters anual simple sobre el saldo.Cunto deber pagar dentro de 4 meses?

Ejemplo 6 Una persona deposita $ 150,000 en un fondo deinversiones burstiles que garantiza un rendimiento de 0.8%

mensual. Si retira su deposito 24 das despus, Cuntorecibe?


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SOLUCION EJEMPLO 5

C = 3,5001,500 = 2,000i = 0.10

t = 4/12 = 1/3M = 2,000 1 + (0.10) (1/3) = 2000 (1.033333)M = $ 2,066.67

Deber pagar $ 2,066.67, de los cuales $ 2,000 son el capital que

adeuda y $ 66.67 los intereses de 4 meses.

SOLUCION EJEMPLO 6

C = 150,000

i = 0.8% mensualt = 24/30 = 4/5

M = 150,000 1 + (0.008) (4/5)= 150,000 ( 1 + 0-0064)= 150,960


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Problema.- Qu monto hay que cubrir por un prstamo de $ 135,000,si lo pagamos despus de 1 ao 6 meses a una tasa de 35% anual?

EJERCICIOS EN CLASE

F = P ( 1 + i n) = 135,000 ( 1 + .0292 x 18 ) = $ 205,956

En problemas de inters simple, podemos determinar el

capital, el tiempo y la tasa a partir del monto de todoproblema

Problema.- Una inversin de $ 13,000 en valores de renta fija al32.7% anual impuesto durante 4 aos. Deseamos saber cuanto va aser el monto por recuperar.

F = P ( 1 + i n) = 13,000 ( 1 + .327 x 4) = $ 30,004

Problema.- Se cobro un total de $ 122,500 por un prstamo a 1ao 3 meses 15 das, a una tasa de 37% anual. Se desea conocerel capital inicial del prstamo.

P = F = 122,500 = $ 82,907.231 + i n 1 + 0.001027 x 465

n = 465 das ( 1ao,3 meses,15 dasi = 37%anual entre 360 das


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Inters Compuesto

Inters que se aplica sobre el principal (monto del crdito o de lainversin, sin considerar intereses) ms el monto total del inters

acumulado en todos los periodos anteriores.

Al no aplicarse slo sobre el capital, el monto de los intereses no essiempre el mismo.

As el inters compuesto es un inters sobre el inters.

Se calcula de la siguiente forma:

Inters = principal todos los interesesacumulados tasa deinters+


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Ejemplo 5:

Un ingeniero solicita al departamento de finanzas de la empresa unprstamo de $1000,000 con un inters anual compuesto de 5%.

Calcule el adeudo total despus de tres aos. Solucin:

Inters del 1er ao: $1000,000 (0.05) = $50,000

Adeudo total despus del primer ao:

1 2 3

P = 1000,000

Inters1=$50,000

$1000,000+$50,000 = $1.050,000


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P = 1000,000

1 2 3

Inters del 2do ao: $1050,000 (0.05) = $52,500

Adeudo total despus del primer ao: $1050,000+$52.500 = $1102,500

Inters2=$52,500

Inters1=$50,000


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Inters del 3er ao: $1102,500 (0,05) = $55,125

Adeudo total despus del primer ao: $102,500+$55,125 = $1157,625

Inters1=$50,000

Inters2=$52,500

P = 1000,000

Inters3=$55,125

Adeudo total al final del ao 3: $1000,000 (prstamo original) +$157,625 (inters) = $1157,625

1 2 3


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Otra forma alternativa de calcular el adeudo total si el inters escompuesto es la siguiente:

Adeudo total despus de cierta cantidad de aos

=

PRINCIPAL (1 + tasa de inters)Xnumero de aos

Para el ejemplo anterior, el adeudo total despus de tres aos es:

$1000,000 (1.05) = $1157,6253

Fn = P (1+i)

nQue es la frmula bsica de la IngenieraEconmica y con la cual se pueden resolver todoslos ejercicios y problemas reales de esta disciplina.


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Ejemplo: Si se obtiene un prstamo de $1000 al 5% anualcompuesto, calcule la suma total a pagar despus de los tresaos.

Inters ao 1 = $1000 * 0.05 = $50

Suma despus del ao 1 = $1050

Inters ao 2 = $1050 * 0.05 = $52.50

Suma despus del ao 2 = $1102.50

Inters ao 3 = $1102.50 * 0.05 = $55.13

Suma despus del ao 3 = $1157.63

Fn = P ( 1 + i ) = 1000 ( 1 + .05 ) = $ 1,157.63n 3


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Los smbolos utilizados, frecuentemente, en ingeniera econmica

son los siguientes:

P=

TERMINOLOGIA Y SIMBOLOS

- Valor o cantidad de dinero en un momento denotadocomo presente otiempo 0.

- Otras denominaciones: valor presente (VP), valor actual (VA)valor presente NETO (VPN), valor actual NETO (VAN), flujo deefectivo descontado (FED), costo capitalizado (CC).

- Se expresa en unidades monetarias


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- Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro.

- Otras denominaciones: valor futuro (VF).

- Se expresa en unidades monetarias

F =

- Cantidades de dinero consecutivas, iguales y del

final del periodo

- Otras denominaciones: valor anual (VA), valor anualuniforme equivalente (VAUE), Anualidad

- Se expresa en unidades monetarias por periodo de tiempo.

A =


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- nmero de periodos de inters

- Se expresa en aos, meses, dasn =

- Tasa de inters o tasa de retorno

- Se expresa en porcentaje por periodoi =

- Tiempo en periodos

- Se expresa en das, meses, aost =


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P y F:

Los smbolos P y F indican valores que se presentan una sola vez enel tiempo.

El valor presente P representa una sola suma de dinero en algnmomento anterior a un valor futuro F.

$ Pt = n

$ F

0 1 2 . . . nn- 1. . .


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A:

Este smbolo representa siempre una cantidad uniforme (igualcantidad cada periodo), la cual se extiende a travs de periodos de

inters consecutivos.

El diagrama para cantidades anuales podra ser representado de lasiguiente forma:

0 1 2 3 nN - 1

..

$A

$A

$A

$A $A $A


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i:

Esta tasa de inters corresponde, a menos que se indique lo contrario,a una tasa de inters compuesta.

Se expresa como porcentaje por periodo de inters. Por ejemplo: 15 % anual

Se supondr que la tasa se aplica durante los naos o periodos de inters.

Todos los problemas de Ingeniera Econmica incluyen el elemento detiempo t.De los cinco restantes: P, F, A, n e i, cada problema incluir por lo menoscuatro, de los cuales por lo menos 3 estn estimados o se conocen.


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Problema.- Qu inters producir un capital de $ 10,000 impuestoal 4.5% trimestral en 5 aos?

Fn = P ( 1 + i ) = 10,000 ( 1 + .045 ) = $ 24,117.14INTERES = MONTOCAPITAL = 24,117.1410,000 = $ 14,117.14

n 20

i = .045 trimestraln = 5 aos = 20 trimestres = 20 periodos

Problema.- Qu inters producir un capital de $ 10,000 impuestoal 1.5% mensual en 5 aos?

Fn = P ( 1 + i ) = 10,000 ( 1 + .015 ) = $ 24,432.20INTERES = MONTOCAPITAL = 24,432.2010,000 = $ 14,432.20

n 60

i = .015 mensual

n = 5 aos = 60 meses = 60 periodos


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Ejemplo 7 :

El ao pasado la abuela de Jaime ofreci depositar suficiente dinero enuna cuenta de ahorro que generar $100,000 este ao para ayudar a

Jaime con los gastos de la universidad.

a) Identifique los smbolos y sus valores.

b) Calcule la cantidad que se deposit hace exactamente un ao para

ganar$100,000 de intereses hoy, si la tasa de retorno es de 6% anual.

Solucin:

F = P + P i

Inters = F - P

Inters = P + Pi - P

100,000 = P + Pi - P

100,000 = Pi 100,000 = P

0.6

;; P = 1666,666.67


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Factores del inters compuesto

Factor de cantidad compuesta pago nico (FCCPU) o factor F/P:

F = P (1+i)n

Factor de valor presente, pago nico (FVPPU) o factor P/F:

P = F [1 / (1+i)n]

Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A:

P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n]

Factor de recuperacin del capital (FRC) o factor A/P:

A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1]

Factor del fondo de amortizacin (FA) o factor A/F:A = F [i / (1+i)n-1]

Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A:

F = A [(1+i)n-1 / i]


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NOTACION ESTANDAR

Cuando deseamos conocer el Valor Futuro, conociendo el ValorPresente, la tasa de inters y el nmero de periodos, todo lo anterior

lo podemos expresar como:

Fdado P, al i%de inters y en nperiodos. Y en forma ms simplificadaan:

( F/P, i%, n )que se conoce como la notacin estndar

Lo que se acostumbra leer como: F dado P, i%, n.

De manera similar, si el dato es F y queremos conocer P, al i% de

inters yen n periodos, entonces todo lo anterior queda definido en laexpresin:

( P/F, i%, n ) P dado F, i%, n


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Para identificar factores es ms sencillo utilizar lanotacin estndar de los nombres de los factores y staser utilizada en lo sucesivo:

Nombre del factor notacin estndar

Valor presente, pago nico (P/F,i,n)

Cantidad compuesta, pago nico (F/P,i,n)

Valor presente, serie uniforme (P/A,i,n)

Recuperacin del capital (A/P,i,n)

Fondo de amortizacin (A/F,i,n)

Cantidad compuesta, serie uniforme (F/A,i,n)


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Flujos de Caja

FLUJOS DE CAJA : ESTIMACION Y DIAGRAMACION

Son las entradas (+) y salidas ( -) de dinero.

Pueden ser estimaciones o valores observados.

Ocurren durante periodos especficos, tales como un mes o un ao.

Su estimacin es difcil e inexacta.

La exactitud de las estimaciones depende en gran medida de laexperiencia de la persona que realiza la estimacin con situaciones

similares.


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Ejemplos de entradas de caja

Ingresos

Reducciones en los costos de operacinValor de salvamento de activos

Recepcin del principal de un prstamo

Ahorros en costos de construccin e instalaciones.

Ejemplos de salidas de caja

Costo de adquisicin de activos

Costos de operacinCostos de mantenimiento peridico y de remodelacin

Pagos del inters y del principal de un prstamo

Impuestos sobre la renta.


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Flujo de Caja Neto

Luego de realizar las estimaciones de entradas y salidas de efectivo,es posible determinar:

FLUJO DE CAJANETO

INGRESOS EGRESOS

Entradas deCaja

Salidas deCaja

=

=

-

-

Puesto que los flujos de caja normalmente ocurren en puntosvariables del tiempo, se adopta la Convencin de Final de periodo, queestablece:

Todos los flujos de caja ocurren al final de un periodo de inters. Si variosingresos y desembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de intersdeterminado, se da por supuesto que el flujo de caja neto ocurre al finaldelperiodo de inters.

Todos los flujos de caja ocurren al final de un periodo de inters. Sivarios ingresos y desembolsos se llevan a cabo dentro de unperiodo de inters determinado, se da por supuesto que el flujo decaja neto ocur re al f inal del periodo de inters.


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Diagrama de Flujo de Caja

Es una herramienta muy importante en un anlisis econmico.

Se trata de una representacin grfica de los flujos de caja trazadossobre una escala de tiempo.

Considerando el tiempo: t = 0 es el presente

t = 1 es el final del periodo 1

Un ejemplo de una escala tpica de tiempo de flujo de caja durante 5aos es la siguiente:

Periodos = aos

10 2 3 4 5

Ao 5Ao 1


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En todo diagrama de flujo la direccin de las flechas representan:

Flujo de caja POSITIVO Flujo de caja NEGATIVO= =

Esto se ilustra en la siguiente figura:

Flujo

de

caja

$

aos1 2 3

+

_


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Una persona hizo un prstamo de $10 000,000 en una institucinfinanciera que cobra el 22% efectivo anual, si la persona planificacancelar la deuda mediante cuatro pagos trimestrales, de tal forma

que cada pago sea el doble del anterior. Cual ser el diagrama deflujo de caja?

Ejercicio


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Antes de dibujar un diagrama de flujo de caja y colocar un signo en les necesario determinar la perspectiva o punto de vista.

La mayora de los problemas presentarn dos perspectivas.

Considere por ejemplo la situacin de pedir un prstamo. Aqu sepresenta lo siguiente:

PERSPECTIVA 1: Punto de vista del prestamista

PERSPECTIVA 2: Punto de vista del prestatario


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Considere, por ejemplo que se pide un prstamo por $500, 000 loscuales son devueltos cancelando durante 5 aos un monto de $110,000.Dibuje el diagrama de flujo apropiado para esto.

Pero , Quperspect iva considerar para dibujar el diag rama?

Pres tam is ta o Pres tatar io?

Ud . deber in fer irl o del p ro blema o b ien d eber decid ir ...


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Desde la perspectiva del Prestamista

Desde la perspectiva del Prestatario

A = +$110,000/ao

P=-$500,000

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

P=+ $500,000

A = +$110,000/ao

Ejemplo: hacerlo en clase


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Ahora suponga que una persona recibe un prstamo de un banco el da dehoy, el cual deber pagar dentro de 10 aos con los intereses respectivos a

razn de 10% anual y que adems al final del ao cinco.

Recibir otro prstamo que cubrir a la misma tasa de inters; slo que enlas condiciones del nuevo prstamo se establece que el se deber pagar enAnualidades a travs de cinco pagos iguales que se iniciarn un aodespus de haber recibido el segundo emprstito y que satisfagan esas

Anualidades el pago tanto del capital recibido en el ao cinco, como de losintereses devengados por los saldos insolutos durante los siguientescinco aos (finales de los aos cinco, seis, siete, ocho, nueve y diez).

A continuacin se p resen ta el esqu ema g rfic ode cmo quedararepresentado este problema desde el punto de vista del deudor.

Ejemplo: hacerlo en clase


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Esquema grfico de cmoquedara representado este

problema desde el punto devista del deudor.

Flujo de caja desde el punto de vista del deudor


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Flujo de caja desde el punto de vista del deudor

Diagrama de flujo de dinero completo. Visin del deudor

0 63 4 521 7 98 10

Prstamo ocapital inicial

2Prstamo, para cubrir enAnualidades

i = 10% anual

(+) Lado de los ingresos.

(-) Lado de los egresos

-(A) pago de Anualidades

Capital inicial

Pago de intereses

aos


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Esquema grfico de cmoquedara representado este

problema desde el punto devista del acreedor.

Fl j d j d d l(+) Lado de los ingresos.


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Flujo de caja desde elpunto de vista del Banco

Diagrama de flujo de dinero completo. Visin del Acreedor

0 63 4 521 7 98 10

Prstamo o

capital inicial

2Prstamo, para cubrir enAnualidades

i = 10% anual

( ) g

(-) Lado de los egresos

-(A) pago de Anualidades

Pago del prstamo o Capital inicial

Pago de intereses

aos

F h F l


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Fecha Focal

La fecha focal es el punto de la lnea del tiempo dnde vamos a equilibrarla ecuacin de valor y hay tantas fechas focales como puntos tiene la

recta del tiempo, pero elegimos los puntos visibles para equilibrar laecuacin por su facilidad en la solucin. Del problema.

Fecha focal es el punto en dnde convergen todos los pagos o flujos,tanto los positivos como negativos, con la particularidad de que alresolver la ecuacin de valor en cualquier fecha focal, el resultado de la

incgnita despejada siempre va a ser el mismo.


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Ejemplo 8


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j p

Construya el diagrama de flujo de caja, para las siguientes situaciones.

a) Un padre desea depositar una cantidad nica desconocida en una

oportunidad de inversin 2 aos despus de hoy, suficiente comopara retirar $40,000 anuales que destinar para pagar la universidaddurante 5 aos comenzando dentro de 3 aos. Se estima que la tasade rendimiento es de 15.5% anual.

b) Una empresa dedicada al arriendo de equipos gast $250,000 enuna nueva compresora de aire hace 7 aos. El ingreso anual porconcepto del arriendo de la compresora fue de $75,000. Adems, loslos $10,000 gastados en mantenimiento durante el 1er ao

aumentaron $2.500 La empresa tiene planes de vender la compresoraal final del ao siguiente en $15,000.

FORMULAS FINANCIERAS DE INTERES COMPUESTO


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FORMULAS FINANCIERAS DE INTERES COMPUESTO

I = VA ( ( 1 + i ) - 1 )n

VA =VF

( 1 + I )n

i =

=

n VF

VA- 1

nlog

log ( 1 + i )

VFVA

F = P ( 1 + i )

n

P =F

( 1 + i /p) p xn

Nota: para los casos donde se incluyela frecuencia de capitalizacin, con elobjeto de transformar las tazas yplazos anuales, en las tazasproporcionales y los periodos decapitalizacin correspondiente

F = P(F/ P,i,n)

Notacin estndar

P = F(P/ F,i,n)

A = P(A/P,i,n)

F = P ( 1 + i )

F( 1 + i)

P = n

A = Pi ( 1 + i )

n

( 1 + i ) - 1n

A = F(A/F,i,n)A =F( 1 + i ) - 1n

i

Notacin estndar

P = A ( 1 + i )n - 1

i ( 1 + i )n

F = A( 1 + i )n- 1

i

F = A (F/ A,i,n)

P = A(P/A,i,n)

n

Ejemplo


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Un estudiante universitario prximo a graduarse piensa obtener en prstamo$2000 ahora y regresar la totalidad del principal del prstamo mas el interscausado al 10% anual en 5 aos: Enumere los smbolos de ingenieraeconmica involucrados y sus valores si el estudiante desea conocer la sumatotal a pagar despus de 5 aos.

SolucinEn este caso se utiliza P y F pero no A, puesto que todas lastransacciones son pagos sencillos. El tiempo t se expresa en aos.

P= $2000 i= lO% anual n= 5aos F=?

P = 2000

F =?

Reembolsodel principal

naos

+

- 0 1 3 4 52

F = P ( 1 + i )n

F = 2000 ( 1 + .10 )5

F = $ 3,221.02

Ejemplo


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Suponga que el seor Ramos empieza ahora y efecta cinco depsitosiguales deA = $ 1,000 cada ao en una inversin del 17% anual y retirael total acumulado inmediatamente despus del ultimo deposito.

Construya un diagrama de flujo de efectivo.

1 2 3 40 ao

i = 17%

A = 1,000

F = ?

Los f lu jos de efect ivo , se muestran desde la perspect iva del Sr.

Ramos dado que el empieza ahora. El primer deposi to (f lu jo de

efectiv o negativ o) es en el ao 0. el quinto d eposi to y el retiro

ocur rirn ambo s al fin al del ao 4, pero en dir ecc iones opues tas.

Debe calcularse la suma acumulada inmediatamente despus del

qu in to d eposi to , de manera que el monto futuro F se ind ica con

un s igno de interrog acin.


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EJERCICIOS :


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EJERCICIOS :

1.- Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $ 200; al 5% deinters anual, durante 10 aos en rgimen de capitalizacin compuesta.

P = $ 200 ; i = 5% anual ; n = 10 aos

F = P ( 1 + i )n = 200 ( 1 + i ) = $ 325.7810

I = VF - VP = 325.78200 = $ 125.78

2.- Que suma de dinero mnima se debe invertir si en 2 aos se deseadisponer de 1,500 y se consigue una tasa de inters compuesto del 6%anual.

F = P ( 1 + i )n :. P = F

( 1 + i )n

= 1,500

( 1 + 0.06 )

=2

$ 1,334.99

1 20

P=?

VF = 1,500

n

i = 6%


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3.- Determine la tasa de inters anual a la que deben invertirse$ 1,000, para que en 12 aos, se obtenga un monto de $1, 601.03

i = ?

121 3 9

VP = 1,000

VF = 1,601.03

n = aos

i= FP

- 1 =n 12 1,601.03

1,000- 1 = 1.03999 - 1

= 0.03999 x 100 = 4.0%

0

4 U it l d $ 2 000 l d l 4% d i t t l


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4.- Un capital de $ 2,000, colocado al 4% de inters compuesto anualasciende a $ 3,202. determine el tiempo que estuvo impuesto.

VF = 3,202

VP = 2,0000

i = 4%n = ?

n =

F

P

log

log ( 1 + i )= =

3202

2000

log

log ( 1 + 0.04 )loglog 0.017033

0.204391

= 12 aosn

5 Hallar el monto obtenido tras depositar $ 3000 d rante 6 aos 3


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5.- Hallar el monto obtenido tras depositar $ 3000, durante 6 aos y 3meses al 5% de inters compuesto anual.

0 1 2 3 4 5 6

VP =3000

VF =?

i=5%Antes utilizar la ecuacin debemostransformar el tiempo en aos. Parahacerlo debemos expresar los mesescomo fraccin de aos:

3 meses = 3meses x 1 ao = 0.25 aos12 meses

n = 6 aos + 0.25 aos = 6.25 aos

F = P ( 1 + i ) = 3000 ( 1 + 0.25 ) = $ $ 4,069.62

n 6.25

Nota : Para los casos donde se incluya lafrecuencia de capitalizacin con objeto detransformar las tasas y plazos anuales enlas tasas proporcionales y los periodos de

capitalizacin correspondientes

P =F

( 1 + i/ p ) npi= inters anual

n = valor en aos

p = valor de frecuencia decapitalizacin

6 - Determine el valor de un capital que colocado a una tasa de inters


52/77

6.- Determine el valor de un capital que, colocado a una tasa de interscompuesto del 10% anual, produjo $ 24,310; luego de 2 aos, siendosemestral la capitalizacin de intereses.

P = F( 1 + i /p )n p

= 24,310

( 1 + 0.1 / 2 )2 x 2= $ 20,000

7.- Calcule el monto al que asciende el deposito de un capital de $ 12,000colocados al 4% mensual, con capitalizacin semanal, durante 343 das.

F = P ( 1 + i )n = 12,000 1 + 0.04 x 1252

343 X52360

= $ 18,918.53Aclaracin .- La tasa la multiplicamos por 12 para obtener el valor anual.La frecuencia de capitalizacin mensual es igual a = 52 semanas por unao, transformamos los das dividiendo por 360, luego multiplicamos porP.

7 Determine cuanto tiempo debe transcurrir para que un capital de


53/77

7.- Determine cuanto tiempo debe transcurrir para que un capital de$ 6,209, colocado al 10% anual de inters de capitalizacincuatrimestral, produzca un monto de $10,000

n = = =log

loglog

loglog

logFP

( 1 + i )

10,0006,209

( 1 + 0.10 / 3 )

0.206978

0.0142404

n = 14.53 cuatrimestres

La tasa la dividimos por 3 para transformarla en una tasa

proporcional cuatrimestral. Para transformar el tiempo en aoshacemos lo siguiente:

14.53 cuatrimestres x 4 meses = 58.12 meses1 cuatrimestre

58.12 meses x 1 ao = 4.8433 aos12 meses

Transformamos la fraccin 0.8433 aos x 360 das = 303.6 das x 1 mes1 ao 30 das

Respuesta = 4 aos, 10 meses , 4 das

= 10.12 meses

= 0.12 meses x 30 das = 4 das

1 mes

8 - En cuanto tiempo se duplicara un capital si la tasa es del 16%


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8, En cuanto tiempo se duplicara un capital, si la tasa es del 16%anual con capitalizacin semestral?

Partimos de la premisa que de que no conocemos el capital inicial perosi el monto podemos escribir que el monto es el doble del capital.

F = 2 P

i = 16%

P

n = ?

F = P ( 1 + i )n

2 P = P ( 1 + i )n

2 = ( 1 + i )

n

P ;n

=log 2

log ( 1 + i ) = =

log 2

log ( 1 + 0.16 / 2)

log 0.30103

log 0.33423

n = 9 SemestresLa tasa se divide por 2para transformarla en una

tasa semestral.

Ejemplo 2 Se obtiene un prstamo bancario de $15 000 con


55/77

Ejemplo 2. Se obtiene un prstamo bancario de $15,000 coninteresesdel 12% anual capitalizable trimestralmente; determine elmonto a pagar si el plazo es de:

a) Un aob) Dos aosc) 7 meses y medio.

Solucin incis o a): Datos:

P = $15,000i = 12% anual capitalizable trimestralmente

Plazo = 1 ao

Procedimiento y resultado inciso a):

F = P ( 1 + i )n F=$15,000 ( 1 + 0.12 / 4 );4 x 1 = $ 16,882.63

Solucin inciso b): Datos:


56/77

Solucin inciso b): Datos:

C = $15,000i = 12% anual capitalizable trimestralmentePlazo = 2 ao

Procedimiento y resultado inciso b):

F = P ( 1 + i )n

F=$15,000 ( 1 + 0.12 / 4 )4 x 2

= $ 19,001.55

Solucin inciso c): Datos:

C = $15,000i = 12% anual capitalizable trimestralmentePlazo = 7 meses y medio

n = 7.5/4 = 2.5 trimestres

Procedimiento y resultado inciso b):

F = P ( 1 + i )n

F=$15,000 ( 1 + 0.12 / 4 )4 x 2.5

= $ 16,150.43

Descripcin(2 1) Hace algunos aos la inversin en bonos del ahorro


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Descripcin(2-1).- Hace algunos aos la inversin en bonos del ahorronacional en Mxico, al termino de 10 aos duplicaban su valor. Determinarla tasa anual que pagaban dichos bonos?

F = 2 P

0 109

i = ?

P

1 3

F = P ( 1 + i )n

2P = P ( 1 + i )n

10

10

2P = P ( 1 + i )

2P = ( 1 + i )P2 = ( 1 + i )

101010

2 =10

( 1 + i )

10 2 = i- 1

i = 0.071773

i = 7.717% anual

Descripcin (2-5).- Se da la siguiente diagrama y nos dice que la


58/77

Descripcin (2 5). Se da la siguiente diagrama y nos dice que latasa de inters por cada periodo es del 10%. Determinar el valorpresente

0 2 3 4 51 6

5070

90

i = 10%P Vamos a utilizar una

ecuacin equivalentetrayendo las tres cantidadesa pesos del periodo 0 esdecir a valor presente.

F = P ( 1 + i )n

P =F

( 1 + i )n

n= 2, 4 y 6

F1= 50 F2= 70 F3= 90; ;

P = 50

( 1 + 0.10 )2+ 70

( 1 + 0.10 )

90

( 1 + 0.10 )

+4 6

P = 41.32 ++ 47.81 50.80

P = $ 139.94

P = 50 ( P/F,10%,2) + +70 ( P/F,10%,4) 90 ( P/F,10%,6)Notacin estndar

Descripcin (2-3).- Una persona ahorra al final de los primeros aos$125 el banco le paga un 10% anual despus de hacer el 4to


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$125, el banco le paga un 10% anual, despus de hacer el 4to.deposito, la tasa baja el 8%, durante un ao, en el 5. Ao continuahaciendo el mismo deposito $125 inmediatamente el inters vuelve asubir al 10% anual los siguientes aos hasta el ao 10. Determinar el

ahorro de los 10 aos?

0 2 3 94 51 10

F =?

125

i= 10% i= 10%i= 8%

F = 125 ( F/A, 10%,4)F = $ 580.13

F = 580.13( F/P, 8%,1)

F = $ 626.54F = $ 626.54 + 125F = $751.54

F = 751.54 ( F/P, 10%,5)

F = $ 1210.36

F = 125 ( F/A, 10%,5)

F = $ 763.14

F = A( 1 + i ) -1n

i

F = P ( 1 + i )n 1

11

2

2

2

Formulas utilizadas

F = $ 1210.36 + $ 763.14Monto total acumulado

F = $ 1973.49

1,. Llevar los primeros 4depsitos donde se mantieneel inters del 10%, 4 periodos

2,. Llevar el valor que quedo acum. al

final del 5. Ao, el resultado anteriorse convierte en un valor presente.Vamos a encontrar un valor futuro,dado un valor presente, tasa del 8% unperiodo adelante

3.- Al final del 5. Ao hay un deposito de $125 habra

que sumarlo al resultado obtenido nos da $ 751.54 , estevalor va a seguir ganando inters durante 5 aos mas.

4.- Vamos a buscar el valorfuturo de los otros 5 depsitode la anualidad

Descripcin (2-61) - El precio de un auto es de 43 000 al contado a


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Descripcin (2-61).- El precio de un auto es de 43,000 al contado, acrdito el plazo es de 24 meses, con tasa de inters del 18%anualcapitalizable cada mes, la tasa puede variar. A partir del 2. Ao la tasaaumenta a 2.2 % mensual.

24 pagos iguales

0 1 12 24

A= X =

X

Encontramos la 1. anualidad

A = P ( A / P, i%, n )

A = 43,000 ( A / P, 1.5%, 24 )

P = 43,000

A = $ 2,146.744

Saldo = Deuda PagosSaldo = Lo que me falta x pagar

Saldo = $2,146.74 ( P/A,1.5%,12)= $ 23,415.54

Vamos a calcular la Anualidad en el mes 13 con la tasa de 2.2%A = $ 23,415.54 ( A / P, 2.2%, 12 )

Se convierte en valor presente

A = $ 2,241.45 importe a pagar los ltimos 12 pagos

P = A ( P / A, i%, n )

Formulas empleadas

A =i ( 1 + i )( 1 + i ) - 1

n

nP

P = A ( 1 + i ) - 1i ( 1 + i )n

n13

i= 2.2%i= 1.55%

Descripcin (2-21).Se da el siguiente diagrama, Calcular el valor de P,la tasa de inters es del 20% Formulas utilizadas


61/77

la tasa de inters es del 20%.

0 1 5432 6 7

40 40 40 4030

2010

P

Valor de P = suma de los valores llevados al periodo0

P =10(P/F,20%,1) + 20(P/F,20%,2) + 30(P/F,20%,3) +40(P/A, 20%,4)(P/F,20%,3)

P =8.33+ 13.89 + 17.36+103.55 (P/F,20%,3)

P = F(P/F,i,n) y P=A(P/A,i,n)

Formulas utilizadas

P = F1

(1 + i )n

Esta cantidad se va a convertiren VF y hay que llevarla avalor presente

P = An

(1 +i) -1

n

(1 + i )i

i= 20%

P =8.33+ 13.89 + 17.36+59.92

P =$ 99.51

El valor presente, nos queda

una antes que la anualidad

Estas 4 cantidades son iguales ylas podemos manejar como unaanualidad

La suma de estos valoresllevados a valor 0

Descripcin (2-5).- Se da el siguiente diagrama y nos dice que la tasade inters por cada periodo es del 10%


62/77

de inters por cada periodo es del 10%

0

P

65421 3

Vamos a utilizar una ecuacin equivalente, trayendo las cantidades a pesos delperiodo 0, es decir a valor presente.

5070

90

P = 50 ( P/F,10%,2) + 70 (P/F,10%,4) + 90 (P/F,10%,6)

P = 41.32 + 47.81 + 50.80

P = $ 139.94

FormulautilizadaP = F ( P/F,i,n)

P =( 1 + i)

n1F

i = 10%

Descripcin (2-27).- Una persona hace un deposito de 33,000, la tasa deinters que le paga el banco es el 9% anual y despus al final de los


63/77

inters que le paga el banco es el 9% anual y despus al final de losprimeros 5 aos hace retiros de $ 4,000. a partir del 6 ao hace retiros de$3,000. Cuantos retiros de 3,000 va a hacer de tal manera que agote suinversin?

0

P = 33,000

65421 3

Formulautilizada

F =n

P

nn - 1

4,0003,000

Cuantos

retiros va ahacer?

Saldo al final del Periodo # 5

Saldo = 33,000 ( F/P, 9%,5)4000 (F/A,9%,5)

Saldo = 50,774.59 - 23,938.84Saldo = $ 26,835.75

F = A( 1 + i ) -1n

i( 1 + i)

Para calcular n retiros que va a efectuar, se puedehacer en Excel o calculadora financiera

VF= Saldo = $ 26,835.75 ;A = $ 3,0001 = 9%

n = ?Se obtiene n = 18.97 de 3,000De 3,000 ( 18 completos ) y 1 mas de

0.97

Ahora vamos a calcular el importe del ultimo retiro


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o a a os a ca cu a e po te de u t o et o

x

18

3000

P = 26,835.75

F = 26,835.75 ( F/P,9%,18 ) - 3000 (F/A,9%,18 )

F = 126,587.46123,904.01 = $ 2,683.45

Saldo en el periodo # 18 = $ 2,683.45

No hay que olvidar que este saldo de $ 2683.45 son pesos del periodo 18 yque el retiro lo vamos hacer 1 periodo despus, Por lo tanto hay quellevar este valor 1 periodo adelante, entonces:

x = 26,835.75 ( F/P,9%,1)

X = $ 2,924.96 y este es el importe del ultimo retiro.

Descripcin(2-19).- Se cuenta con un fondo de $ 30,000, la tasa deinters del 7% anual retiros de 10 000 al final del ao 2 y 15 000 al


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inters del 7% anual, retiros de 10,000 al final del ao 2 y 15,000 alfinal del ao 4Qu importe habr al final del 5 ao

0 5421 3

Vamos a sacar el saldo de nuestra inversin al final del ao 5, es decir vamos allevar nuestra de $30,000 al periodo 5 y le vamos a restar los dos retiros quehubo en pesos al periodo 5.

15,000

x = 30000 ( F/P,7%,5)10,000 (F/P,7%,3)15,000 (F/P,7%,1)

x = $ 13,776.12

Formulautilizada

F = P ( F/P,i,n)i = 7%

x10,000

30,000

x = 42,076.5512,250.4316,050

Saldo = x ; Saldo = Inversin - retiros

F = P ( 1 + i)

n

Descripcin (2-47).- Se anuncia la venta de un mueble de cocina por $ 2000 decontado. Otra forma de pagar el mueble es mediante seis mensualidades


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p giguales.A crdito:6 pagos mensuales iguales1er. Pago 3 meses despus de la compra, tasa de inters 18% capitalizableC/mes, esto es el 1.5% cada mes.

0 2 3 84 51

i= 1.5%

F = 2000 ( F/P, 1.5%,2)

PA = ( 1 + i )ni

F = P ( 1 + i )n 1

2

Formulas utilizadas

6 7

x

2000

F = $ 2,060.45 = P

x = 2060.45( A/P, 1.5%,6)

X = $ 361.66

En el periodo 0 recibimos un mueble, para cualquier persona que lo adquiera acrditoTiene un valor de 2000, en el periodo 1 y 2 no hace pago alguno, hasta el periodo 3empieza hacer sus pagos hasta el periodo 8, aqu va a liquidar una cantidaddesconocida. La pregunta es cuanto debe de pagar para saldar su deuda.

( 1 + i ) -1

n

Vamos a calcular esta anualidad x, llevando a valor presente al final del periodo 2,acurdense que el valor presente debe estar un periodo antes de la primeraanualidad Ahora si ya tenemos el valor presente

ya podramos calcular directamente laanualidad que es X.

Descripcin (2-11).- Una persona compra un televisor en $ 750 y lo compraa crdito la tasa de inters que le van a cobrar es del 1% mensual y


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a crdito, la tasa de inters que le van a cobrar es del 1% mensual yacuerda pagarlo de la siguiente manera:Va a realizar 24 pagos mensuales iguales iniciando un mes despus de lacompra , en los meses de diciembre de cada uno de los dos aos, tiene que

realizar un pago extraordinario equivalente al triple de lo que paguemensualmente.Si la TV se adquiere el 10. de Enero y el primer pago es el 31 de Enero, Cual es el pago mensual que debe de hacer esta persona?

0 121 24

x

3x

Fechafocal

Ec. Equivalente a Valor Presente

750 = X (P/A,1%,24) + 3X (P/F,1%,12) + 3X (P/F,1%,24)

750 = 21.243387X+ 2.662348X+ 2.362698X

750 = 26.268433X :. X = $ 28.55 Pago mensual

750

3x

Formulas utilizadas

P = F1

( 1+ i ) n

P = A( 1+ i ) -1i ( 1+ i )

n

n

Descripcin(2-16).- una persona realiza una inversin por $ 100,000,en un banco que le paga el 2% mensual Al final del 3er Mes hace un


68/77

en un banco que le paga el 2% mensual. Al final del 3er. Mes hace unretiro de $ 30,000, Cual ser el monto acumulado al final del 5. Mes.

0 5421 3

30,000

100,000 (F/P,2%,5) = 30000 ( F/P,2%,2) + X

X = $ 79,196.10

FormulautilizadaF = P ( F / P,i,n)

i = 2%

x

100,000

110,408.10 = 31,212 + X

F = P ( 1 + i)

n

Lo que invert debe ser = A lo que estoy retirando + ultimoretiro ( x )

Descripcin (2-17).- Una persona invierte mensualmente durante 2 aos, enel ao 1 invierte $ 150 mensuales y en el ao 2, invierte $ 180 a partir del


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el ao 1 invierte $ 150 mensuales y en el ao 2, invierte $ 180 a partir delmes 13, a una tasa de inters de 1.5% mensual. Cuanto va a tener al finalde los 2 aos?

0 121 24

F = 150 (F/A,1.5%,12) ( F/P, 1.5%,12)+ 180 (F/A,1%,12)

Formulas utilizadas

n

F = A ( 1+ i) - 1i

n

150 180

13

Vamos a llevar todo a valor Futuro

F = ?

Este valor nos deja los pesos expresados al final del periodo 12, por lo tanto nosfalta llevar los otros 12 periodos, esto se convierte en un valor presente y lo vamosa llevar a Valor futuro, dado este valor presente.

F = 1,956.18 (F/P,1.5%,12) + 2,347.42

F = 2,339.64 + 2,347.42

F = $ 4,687.06

F = P ( 1 + i

)

Descripcin(2-33).- Un prstamo de $4,500 se liquidara pagando $ 800al final de los aos, primero,segundo,cuarto y quinto, a una tasa del 10%.


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al final de los aos, primero,segundo,cuarto y quinto, a una tasa del 10%.Cunto se tiene que pagar en el ao 3 para liquidar la deuda?

0 5421 3

4500= 800 ( F/A,10%,2) + X ( P/F,10%,3) + 800 (P/A,10%,2) (P/F,10%,3)

FormulautilizadaF = P ( F / P,i,n)

i = 10%

F = P ( 1 + i)

nEcuacin equivalente

4500

800 800 800 800

Fechafocal

X

Vamos a traer a valorpresente estas 2anualidades

4500= 1,388.43 + 0.7513148X+ 1,388.43(P/F,10%,3)

4500= 1,388.43 + 0.7513148X+ 1,043.15

4500-1,388.43 - 1,043.15= X

0.7513148

X= $ 2,753.07

Vamos a llevar ahora el tercer pagoque es el desconocido X al periodo0, finalmente las ultimas 2

anualidades, las llevamos primero alperiodo 3 y despus las llevamos alperiodo 0

Vamos a tomar fecha focal el periodo 0, igualamoslo que recibimos con lo que desembolsamos.

Descripcin (2-13).- Tenemos una universidad que cobra una colegiaturaanual de $ 4,500 de contado. Otra forma de pagar es hacer 10 pagos


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anual de $ 4,500 de contado. Otra forma de pagar es hacer 10 pagosmensuales, iniciando el 1 de Septiembre la ultima mensualidad seria el 1de Julio. En los meses de Diciembre y Agosto no hay pago x vacaciones, latasa mensual de financiamiento es del 2% mensual.

0

FEDOS N

Formulautilizada

P=n

F

12

P = A( 1 + i ) -1n

i ( 1 + i )

( 1 + i)

4,500

Fechafocal

4500 = X + X (P/A, 2%,10 )X ( P/F,2%,3)

M A M J J A

(esta cantidad debe ser equivalente para una persona que lo paga acrdito)

Si analizamos el diagrama de flujo efectivo, lo nico queinterrumpe la falta de pago es el mes de diciembre, nosotrospodramos suponer que ah tendramos una anualidad despus lapodemos restar, de esta manera tenemos una anualidad X.Vamos establecer una ecuacin de valor tomando como fechafocal el periodo 0.

X

Como supusimos un pago, ahora hayque restarlo

Primer pago lo tenemos en fechafocal

Aqu tenemos una anualidad

4500 = X + 8.982585 X0.942322 X

4500 = 9.040263X : . X = $ 497.77Valor que la persona tiene quepagar en 10 pagos mensuales

1n

Descripcin (2-13).- Un matrimonio compra por $ 5000, le ofrecen dosplanes de pago, Plan 1, es hacer 50 pagos semanales de $ 127.57 cada


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p p g , , p g $uno, Plan 2 es dar un enganche del 20% ($ 1,000) y 38 pagos semanalesiguales de $ 127.05, la tasa de inters por el financiamiento es del 52% concapitalizacin semanal por lo tanto le corresponde el 1% por semana.

0 38

Vamos a demostrar cual es el mejor plan. Vamos a llevar todos los pagos a valorpresente, all podemos comparar, lgicamente el de un menor valor presente va

a ser el mejor plan de pago

Cules el mejor el plan? El esposo dice que el mejor plan es 1 y la esposadice que el mejor plan es 2.

10

127.5750

127.05

1,000enganche

El saldo liquidado con 38 pagosde una cantidad

50 pagos semanales iguales quees una anualidad por unacantidad de $ 127.57

1er. caso P = A (P/A,i,n)


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P = 127.57 ( P/A,1%,50)

P = A ( 1 + i ) -1i ( 1 + i )

nn

= 127.57 50( 1 + 0.01 ) -10.01( 1 + 0.01 )

50

P = $ 5,000.25

Plan 2

P = 1000 + 127.05 (P/A,1%,38)

P = 1000 + A( 1 + i ) -1

i ( 1 + i )

nn = 1000 + 127.57

( 1 + .01 ) -1

.01( 1 + .01 )

38

38

P = $ 5,000.13

Concluimos que el Plan 1 y el Plan 2 son equivalentes el resultado es igual

Descripcin ( 2-15 ).- Un padre de familia va a horrar $ 80 mensual, parasus estudios universitarios a una tasa del 12% capitalizable c/mes, lo cual


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p ,significa el 1% mensual. El ultimo ahorro lo pretende hacer cuando su hijocumpla 17 aos. Lo que el estima que va a necesitar para pagar lascolegiaturas son las siguientes cantidades.

$ 4500 Cuando cumpla 18 aos5000 19 5500 20 6000 21 6500 22

Calcular la edad que debe tener el hijo para que el padre inicie elahorro?

0

4500 55005000 65006000


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Interes Simple y Compuesto Ing. Economica 1 , Parte 2 (1)

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