Integrar Es Facil
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Escuela de Ciencia Básicas, Tecnología e Ingeniería Integrar es fácil [email protected] INTEGRAR ES FACIL Existen varios métodos de integración cuyo fin es solucionar los distintos tipos de integrales que nos pueden aparecer en un parcial, Quiz o taller, entre ellos tenemos: 1. Las integrales directas: están solucionadas en libros o se tomaron a través del tiempo como ciertas, entre ellas podemos nombrar: () () ∫ + − = k x dx x sen cos () () ∫ + = k x sen dx x cos ∫ + = k e dx e x x ∫ + = k x Ln x dx () ∫ + = k a Ln a dx a x x () () ∫ + = k x tg dx x 2 sec () () () ∫ + = k x dx x tg x sen sec y otras más… 2. Fórmula clásica: Integrales que se solucionan con la formula ( ) ( ) ∫ + + = + k n ax dx x a n n 1 1 siempre y cuando 1 − ≠ n Ejemplos: ( ) ( ) k x k x xdx + = + + = ∫ + 2 1 1 2 1 1 4 4 k x k x dx x + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ 3 2 1 2 1 2 3 1 2 1
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Escuela de Ciencia Básicas, Tecnología e Ingeniería Integrar es fácil
INTEGRAR ES FACIL
Existen varios métodos de integración cuyo fin es solucionar los distintos tipos de integrales que nos pueden aparecer en un parcial, Quiz o taller, entre ellos tenemos:
1. Las integrales directas: están solucionadas en libros o se tomaron a través del tiempo como ciertas, entre ellas podemos nombrar:
( ) ( )∫ +−= kxdxxsen cos
( ) ( )∫ += kxsendxxcos
∫ += kedxe xx
∫ += kxLnxdx
( )∫ += kaLn
adxax
x
( ) ( )∫ += kxtgdxx2sec
( ) ( ) ( )∫ += kxdxxtgxsen sec y otras más…
2. Fórmula clásica: Integrales que se solucionan con la formula
( )
( )∫ ++
=+
kn
axdxxan
n
1
1
siempre y cuando 1−≠n Ejemplos:
( )
( ) kxkxxdx +=++
=∫+
211
211
44
kxkxdxx +=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∫ 32
121
231
21
Escuela de Ciencia Básicas, Tecnología e Ingeniería Integrar es fácil
( )
( )( )
kxkxdxx +=++
=∫+
95
1855
9188
( )
( )( )
kxkxdxx +=++
=∫+
86.1186.0
86.1186.086.0
( )
( )( )
kx
kxkxdxxxdx
+−
=+−
=++−
==−+−
−∫ ∫1
112
1122
2
( )( )
( )( )
kxxxxxxxxdxxxx ++++=++++
=+++∫+
627
623
316
632
372316
26 Y otras
3. Integrales con ayuda del algebra: se solucionan utilizando la factorización, la simplificación, identidades trigonométricas y la división sintética entre otras:
( )( )
( )( )( ) ( ) 8424
1214
124
1844 22
−=−=+
−+=
+−−
=+
−−∫ xx
xxx
xxxdx
xxx
Entonces:
( )∫∫ +−=−=+
−− kxxdxxdxx
xx 82841
844 22
dxxx
∫ −+
51
Podemos realizar división sintética:
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6______
1 55 1
+−−+
xxx
Es decir: 561
51
−+=
−+
xxx
Por lo tanto la integral se soluciona así:
kxLnxxdxdxdx
xx
+−+=−
+=−+
∫ ∫∫ 565
651
( )( )( ) kxxdxdx
xxxxx
+==+−−+
∫∫ 263183 223
( ) ( )( )∫
−dx
xxxsen
2cos1cos
Utilizando la identidad trigonométrica: ( ) ( ) 1cos 22 =+ xxsen
tenemos que:
( ) ( )xxsen 2cos1 −= Entonces la solución es:
( ) ( )( ) ∫∫ +==
−ksenxxdxdx
xxxsen cos
cos1cos
2
dxx
x∫ + 5
3 Por división sintética (Se emplea cuando el exponente del numerador el mayor o
igual al exponente del denominador)
kxLnxxdxdxdx
xx
++−=+
−=+ ∫ ∫∫ 5153
5153
53
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4. Por sustitución: Se emplea esta técnica cuando es posible obtener la derivada de un término en función del otro término. Ejemplos:
dxx
senx∫ 2cos Sabemos que senx es la derivada del xcos para la solución debemos:
PASO 1: CosxU =
PASO 2: ( )dxxsendu =
PASO 3: ( )xsendudx =
PASO 4: Reemplazar los anteriores valores en la ecuación original
( )( ) ( ) ( ) ( ) cxSec
xxSendu
usenx
dxxsenduxu
dxx
senx+==
−⇒
⎩⎨⎧
−==
⇒ ∫∫ cos1cos
cos 22
∫∫ = φφφφφ
φ dsend coscscsec Por trigonometría.
Al realizar la sustitución:
φφ
φφφ
cos
cosdud
ddusenu
=
==
Obtenernos
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ksenududuudsen +===∫ φφφφφφ 25.0
coscoscos
( )∫+
=+ 224 11 x
xx
xdx
xdudx
xdxduxu
2
2
2
=
==
Por lo tanto:
( ) ( )∫ ∫ +=+
=+
=+
kxArtgu
duxu
xdux
xdx 2224 5.0
121
211
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x
senxxx
xsendxxxtg 766
coscoscossec ==∫ Realizando la sustitución:
senxdudx
senxdxduxu
−=
−== cos
( )( ) ( ) k
xuduu
xsenuduxsen
+==−=−
∫∫ −66
77 cos
11
dxxx∫ +135 Aplicando la sustitución
132
11
23
2
32
3
−=
=
+=
+=
uxdxxudu
xuxu
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ −=−=− duuduuduuu
xuduuux 2422
2
22
22123
21
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∫ − xxdx1
dxuduxuxu
−=−=
−=
211
2 ( ) ∫ ∫∫ +−=
−−
22 21
2ududu
uuudu
5. Por partes: Es un método alternativo donde se aplica la formula: ∫ ∫−= duvvudvu ...
Para quienes tenemos regular memoria la podemos recordar así: “Una vaca menos la integral vestida de uniforme”
( )∫ dxxx cos.
Para escoger cual es U y cual es V utilizamos la palabra ILATE (Inversa- Logarítmica – Algebraica – Trigonométrica y Exponencial) de izquierda a derecha. Para nuestro ejemplo
tenemos que X es algebraica y esta antes que ( )xCos que es una trigonométrica, por lo tanto ya tenemos nuestra U, lo que nos sobre es el V
dudxdxdu
xu
==
=
senxv
xdxvdv
xv
=
=
=
∫∫ cos
cos
Con la U derivamos y con la V integramos
Aplicamos nuestra formula:
∫ ∫−= duvvudvu ... , Entonces:
∫ ++=− kxxsenxsenxdxxsenx cos
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∫ ∫ −= Lnxdxxdxx
Lnx 22
xdudx
xdxdu
xu
=
=
= ln
x
v
xv1
2
−=
= −
∫ +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − k
xLnx
xxdx
xLnx
x1111
La idea es analizar las integrales utilizando el primer método, si no es posible solucionarla tomamos el segundo método, si no es posible solucionarla por este método, entonces tomamos el terceros y así sucesivamente.
MUCHAS SUERTE!!!!!
