Integrals indefinides Mònica Orpí
-
Upload
monica-orpi -
Category
Education
-
view
153 -
download
5
Transcript of Integrals indefinides Mònica Orpí
INTEGRALS
INDEFINIDES
Autora : Mònica Orpí i Mañé
En les pròximes sessions, veurem que la integral és una antiderivada i
que gràcies a ella podem calcular l’àrea sota una corba f(x).
Però…d’on venen aquestes definicions?
En l’Antiga Grècia, els grans matemàtics van idear un procés
mitjançant el qual podien trobar l’àrea de qualsevol figura, sempre i
quan es pogués dividir en altres figures geomètriques més elementals
( com ara triangles ), aquest mètode era conegut com el mètode per
“Esgotament“
Aquest mètode relativament enginyós, encara estava lluny de
la presentació formal de la integral, a més de presentar molts
errors quan volien trobar l’àrea d’una figura corba.
Els grecs competien amb el fi de trobar un mètode de
quadratures, un procés mitjançant el qual poguessin trobar
l’àrea de qualsevol forma bidimensional…
No ho van aconseguir !!!
Tot i així, cal destacar el triomf d’un d’aquest matemàtics :
Arquímides de Siracusa (287a.C. – 212a.C.), qui mitjançant un
enginyós argument exclusivament geomètric, va descobrir que l’àrea
del segment parabòlic des de x=0 fins a x=t és igual a (1/3)t^3.
Ell ho va fer sense conèixer les integrals,
Més o menys a partir del segle III d.C. (succés relacionat amb la
destrucció de la Biblioteca d'Alexandria) no passar gairebé res
respecte al desenvolupament del càlcul per un llarg temps
Però afortunadament, després d’aquesta etapa obscura, a partir del
Renaixement i la Il·lustració, va ser el moment en el que varen
renéixer la ciència i la tècnica. El desenvolupament de la Humanitat
ja no es basa en un punt de vista místic, sinó que s’estimula cap a
una admiració pel coneixement. Apareixen personatges com ara
Kepler, Pierre de Fermat, René Descartes, entre altres. Tots ells varen
fer aportacions al descobriment del càlcul.
Entre els segles XVII y XVIII apareixen dos
personatges que donaran per fi la solució al
problema que plantejaven els Antics Grecs :
Sir Isaac Newton i Gottfried Leibniz.
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-
matematico-sobre-hombros-gigantes-newton-leibnitz
Desafortunadament, aquest parell mai es va arribar a conèixer
personalment, tot i que mantenien contacte per
correspondència, però mai van treballar junts, sinó que es
limitaven a competir entre ells. Cadascú va inventar la seva
pròpia versió del càlcul (gairebé en paral·lel).
Newton s’ho va guardar durant 30 anys mentre que Leibniz va
publicar el seu treball sense embuts ni prejudicis.
Per raons que m’atreveixo a qualificar d’excessivament retrògrades i
banyades d’un elitisme completament innecessari, Leibniz fou jutjat
com culpable davant de l’acusació que havia plagiat les idees de
Newton de les cartes que aquest li enviava. Es pot dir que aquest fet
va portar a Leibniz a morir d’amargura (mentre tant, Newton e
vanagloriava dient que havia destorçat el cor de Leibniz).
Durant quasi un segle van prevaldre les notacions d’ Isaac Newton
per al Càlcul, basat principalment en límits. Però eventualment es va
començar a adoptar la notació del Càlcul de Leibniz, el qual, en
certs aspectes, era millor que la de Newton. Fou Leibniz qui va idear
la notació que avui en dia utilitzem per a les integrals, basant-se en
una paraula llatina summa, que significa suma.
Això significa que tota funció contínua integrable verifica que
la derivada de la seva integral és igual a ella mateixa. Aquest
teorema és central en la branca de les matemàtiques
denominada anàlisis matemàtic o càlcul.
El descobriment més important del càlcul infinitesimal (creat
per Newton i Leibniz) és la íntima relació entre la derivada i la
integral.
El teorema fonamental del càlcul consisteix (intuïtivament) en
l’afirmació que la derivació i la integració d’una funció són
operacions inverses.
Definició : Sigui f una funció definida en l’interval (a,b).
Anomenem PRIMITIVA de f(x) a una funció F(x) que compleix
que F’(x)=f(x) per a totes les xϵ(a,b)
Trobar la derivada és el procés invers de trobar la derivada
•Si una funció f(x) té primitiva, té infinites primitives, on totes
elles es diferencien en una constant.
•[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Exemple : La funció 𝑭 𝒙 = 𝒙𝟑 és una primitiva
de f(x)=𝟑𝒙𝟐 ja que F’(x)= f(x)
Exemple : Comprova que 𝑭 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏
𝒊 𝑮 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟓 són primitives de f(x)=2𝒙
Només cal comprovar que F’(x)=f(x) i G’(x)=f(x)
En efecte F’(x)= 2𝑥 = 𝑓 𝑥
I també G’(x)= 2x = f(x)
De fet, hi ha infinites primitives de f(x), i totes tenen l’expressió 𝑥2 + C
En general , tenim que si F(x) i G(x) són dues primitives qualsevol de f(x), aleshores F(x)-G(x)=C
Integrant Derivant
S’anomena integral indefinida d’una funció f(x) en un interval I al conjunt de totes les primitives de la funció f en el interval I. S’escriu
f(x) dx, i es llegeix «integral de f(x)»
Exemple : La integral indefinida de f(x) = ex és F(x) = ex + C, on C és una constant. S’ expressa de la següent manera:
ex
dx = ex + C
Si F(x) és una primitiva de f(x) en un interval I, totes lesprimitives de f(x) són de la forma F(x) + C, on C és unaconstant arbitrària que pot ser qualsevol número real.
La notació utilitzada per referir-nos a la primitiva o
integral indefinida d’una funció f es deu a Leibniz.
Essent f una funció de x, escriurem la primitiva de f com 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
f(x) és l’integrant
El símbol dx és la diferencial de x i
X és la variable d’integració
Donat que F(x és una primitiva de f e la variable x, es
pot expressar F(x)= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, i es té que
F’(x)=f(x) ⇒ 𝑑
𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥
La derivada de la funció F(x)= (1 + 𝑥2)𝑑𝑥 é𝑠 1 + 𝑥2
Propietats de la integral indefinida
I k f(x) dx = k f(x) dx amb k R Les constants poden sortir i entrar fora del signe de la integral indefinida.
II [ f(x) g(x)] dx= f(x) dx
g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funcions és la suma (resta) de les inte
grales indefinidas.
Propietats de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) amb k R La derivada d’una constant per una fun-ció és el producte de la constant per la derivada de la funció
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) La derivada d’una suma (resta) de dos funcions és la suma (resta) de las deri-vades de cadascuna d’elles.
Propietats de la integració
1.-
xa dx =
xa+1
a+1 + C, si a -1, a R
2.-
1
x dx = ln x + C
3.-
ex dx = ex + C
4.- ∫ax = ln
xa
a + C, si a>0, a 1
5.-
sen x dx = – cos x + C
6.-
cos x dx = sen x + C
7.- 2
1
1dx arcsen x C
x
8.- 2
1arctg
1dx x C
x
Integrals immediates: és la taula de derivades llegida al revés.
Exemples :
Sigui la funció polinòmica f(x)= 11x5 + 5x3 - 7x2 + 7x + 9
Aquesta funció és la suma de les funcions potencials
f1(x) = 11x 5 ; f2(x) = 5x 3 ; f3(x) = (-7)x 2 ; f4(x) = 7x ; f5(x) = 9
Segons les propietats donades anteriorment :
[11x5 + 5x3 - 7x2 + 7x + 9 ] dx =
= 11x5 dx + 5x3 dx - 7x2 dx + 7x dx + 9 dx =
11x6 5x4 7x3 7x2
= ----- + ------ -- ----- + ---- + 9x + C
6 4 3 2
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA
FUNCIÓ POLINÒMICA
f '(x) [f(x)]r dx =
[f(x)]r+1
r + 1 + C per a r -1
1
2 2 cos 2x sen3 2x dx =
1
2 sen4 2x
4 =
1
8 sen4 2x + C
Generalització
cos 2x sen3 2x dx =
Exemple :
𝑥𝑟𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1
𝑟 + 1+ 𝐶 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑟 ≠ 1
La regla de la cadena, és a dir , 𝒇 ° 𝒈 ′ = (𝒇′ ° 𝒈)·𝒈′
ens permet escriure que (𝒇′ °𝒈) 𝒙 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒇°𝒈)(𝒙)
1
x dx = ln | x | + C
Generalització
Exemple:
tg 3x dx = – 1
3 – 3 sen 3x
cos 3x dx = –
1
3 ln |cos 3x | + C
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶
ax dx =
ax
ln a + C, per quasevol a > 0
Per a a = e s’obtè ex dx = ex + C
Generalització
Exemple:
f '(x) af(x) dx = af(x)
ln a + C, para a > 0
x2 e
x3 dx =
1
3
3x2 ex3 dx =
1
3 ex3
+ C
Recordem que si f(x)=𝑎𝑥 𝑎𝑙𝑒𝑠ℎ𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑥 · 𝑙𝑛𝑎
sen x dx = – cos x + C
Generalització
Exemple
f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
e3x sen (e3x + 5) dx =
1
3
3 e3x
sen (e3x
+ 5) dx = – 1
3 cos (e
3x + 5) + C
cos x dx = sen x + C
Generalització
Exemple:
f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
e7x cos (e7x + 5) dx =
1
7 7 e7x cos (e7x + 5) dx =
1
7 sen (e7x + 5) + C
g '(x)
1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C
2
1arcsen( )
1dx x C
x
Generalització
Exemple:
e3x
1 – e6x
dx =
e3x
1 – (e3x
)2 dx =
1
3
3e3x
1 – (e3x
)2 dx =
1
3 arcsen e
3x + C
1
1 + x2 dx = arctg x + C
2
f ( )arctg( )
1 f ( )
xdx x C
x
1
1 + 2x2 dx =
1
1 + ( 2x)2 dx =
1
2
2
1 + ( 2x)2 dx =
1arctg 2x
2C
Generalització
Exemple:
Integrals racionals
Canvi de variable o mètode de substitució
Integració per parts
Anomenem integral racional a les integrals de les funcions de la
forma
On N(x) i D(x) són polinomis. Considerem els casos senzills on el
polinomi D(x) denominador tindrà grau 1 o grau 2. Els casos
immediats són
Tots els altres es redueixen en la pràctica a aquestes, és a dir, la
primitiva serà en petites variants, la suma de logaritmes i
d’arctangents
Si el numerador N(x) és un nombre, totes les primitives corresponen a un
logaritme. En efecte :
El cas senzill és
Si el numerador N(x) té grau 1 o superior, es fa la divisió
Exemple : Calcula Com que
Fem la descomposició en fraccions simples
Exemple : Calcula
Es descomposa la fracció en fraccions simples, és a dir,
Es treuen els denominadors i s’ha de complir la identitat
Es donen valors a la x. Les arrels dels factors faciliten el càlcul
Volem obtenir
P(x)
Q(x) dx on P(x) i Q(x) són polinomis tals que
Grau de [P(x)] = m i Grau de [Q(x)] = n
Cas 1: m n. Veurem que aquest cas es pot convertir en el Cas 2.
P(x) Q(x)
C(x)R(x)
con grau[R(x)] < grau[Q(x)]
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) P(x)
Q(x) = C(x) +
R(x)
Q(x)
Per tant :
P(x)
Q(x) dx =
C(x) .dx +
R(x)
Q(x) dx
On la primera integral ésimmediata i la segonda
correspon al Cas 2
Cas 2: m < n. Llavors la integral es fa per descomposició en fraccions simples.
Com m n, és possible la divisió entera entre P(x) i Q(x)
Volem obtenir
P(x)
Q(x) dx on P(x) i Q(x) són polinomis tals que
grau[P(x)] = m < grau[Q(x)] = n
• Suposem que és possible factoritzar el polinomi Q(x). Això equival a resoldre la equació Q(x) = 0.
• Suposem que la equació Q(x) = 0 té:• Solucions reals senzilles (per exemple x1).• Solucions reals múltiples (per exemple x2 amb ordre de multiplicitat 2).• Solucions complexes senzilles (per exemple té dues solucions, que són
necessàriament conjugades).• El cas solucions complexes múltiples no s’estudia.
Per ex. Si té una arrel simple, una doble i dues complexes conjugades, llavors aquest polinomi factoritza de la següent manera:Q(x) = ao(x – x1)
. (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
on ao és el coeficient del terme de major grau.
P(x)
Q(x) dx =
1
ao
P(x)
(x – x1) . (x – x2)
2 . (x
2 + bx + c)
dx =
Pas 1. Factorizació del polinomi Q(x)
Descomposició en fraccions simples II
Pas 2. Descomposar l’integrant en fraccions simples
P(x)
(x – x1) . (x – x2)
2 . (x
2 + bx + c)
= A
x – x1
+B
(x – x2)2 +
C
x – x2
+ Mx + N
x2 + bx + c
Pas 3. Càlcul dels coeficients indeterminats
Procés del càlcul:
• Eliminar denominadors en la igualtat anterior, per obtenir una identitat polinòmica.
• Donar valors numèrics qualssevol, tants com coeficients indeterminats (en l’exemple 5: x1, x2 i 3 valors més).
• Resoldre el sistema.
Descomposició en fraccions simplesExemple
Descompondre en fraccions simples: x2 + x + 1
x5 – x4 – x + 1
Pas 1. Factorizació del polinomi denominador
Per Ruffini obtenim: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Pas 2. Descomposar en fraccions simples
x2 + x + 1
x5 – x
4 – x + 1
= A
x + 1 +
B
(x – 1)2 +
C
x – 1 +
Mx + N
x2 + 1
Pas 3. Càlcul dels coeficients indeterminats
x2 + x + 1= A(x–1)
2(x
2+1) + B(x+1)(x
2 +1) + C(x–1)(x+1)(x
2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)
2
x=1 B=3/4
x=–1 A=1/8
x=0 – C + N = 1/8
x=2 5C+2M+N = –13/8
x=–2 5C+6M–3N = 3/8
I d’aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
Integrals racionals amb denominador de grau 2
Estudi de la integral
Mx + N
ax2 + bx + c dx
Sigui D el discriminant del denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador és el numerador menys una constant, la integral podrà ser resolta com immediata tipus neperià.En cas contrari:
• Si D 0 la integral s’ obté per descomposició en fraccions simples.• Si D < 0 la integral és tipus neperià + arc tangent.
Passos per la seva obtenció :
M 0Pas 1: es busca la derivada del denominador en el numerador.Pas 2: com a conseqüència es pot descomposar la integral en suma d’altres dues: la
primera és immediata (neperià) i la segona és tipus arc tangent.M = 0 (Càlcul de la integral tipus arc tangent).
Pas 3: Es converteix el denominador en un número (k) més un binomi al quadrat (cosa que és possible per ser D < 0). Si prèviament es multiplica per 4a s’eviten els números fraccionaris.
Pas 4: Es converteix el denominador en la unitat més una funció al quadrat (traient factor comú k en el denominador), ajustem amb constants, i integrem com immediata tipus arc tangent
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑡) 𝑔′ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑥 = 𝑔 𝑡
Com que normalment tindrem la integral expressada en x, és a dir,
tindrem 𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
• Busquem una transformació u = g(x) que redueixi el seu càlcul al de una integral immediata.
• Quan es realitza el canvi ha de transformar-se també la diferencial mitjançant
du = g'(x) dx
𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶
• Després de calcular la integral immediata ha de desfer-se el canvi posant g(x) de nou en lloc d’u per obtenir el resultat final.
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶
1
x ln x dx
Canvi ln x = u dx / x = du
= dxLnx
x
/1 =
1
u du = ln | u | + C
Desfem el canvi
= ln | ln x | + C
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶
L’utilitzaré quan vegi que hi ha una funció i la seva derivada al
costat. Llavors anomenaré per u la funció i la derivaré du
Desfem en canvi
x3 x
4 + 2 dx =
Canvi x4 + 2 = u 4x3 . dx = du x3 dx = du/4
4
duu
sen3 2x
. cos 2x dx =
1
2
t3 . dt =
Canvi sen 2x=t 2 cos 2x . dx = dt cos 2x dx = dt/2
= 1
8 sen
4 2x + C
1
2
t4
4 + C
Desfem el canvi
Integració per parts
Integració per parts
Consell
1. Anomenar g a una funció de la que sigui còmode obtenir g i també
és important triar f(x) aquella que al derivar-la tingui una expressió
més senzilla que f(x).
2. Si és còmode obtenir g sigui quina sigui l’elecció que fem per g,
anomenar aleshores g a aquella que faci ∫ f g sigui més còmoda que
∫ f g
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 ∶ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑉𝑒𝑖𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑑𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑢𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑏 𝑙′𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎, . 𝐸𝑛 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑖 𝑓𝑒𝑚 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑠 ∶
𝑆𝑒𝑟à 𝑚é𝑠 𝑐ó𝑚𝑜𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓′ 𝑥 = 1, 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑔′ 𝑥 = 𝑥 𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑠ℎ𝑜𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑔 𝑥 =
𝑥2
2𝑖 𝑒𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑚é𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
Així f(x)=x per tant f’(x)=1
𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 per tant g 𝑥 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
Com que tenim tots els components de la integració per parts, podem fer
el següent :
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 1 · 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶
És molt freqüent expressar aquesta fórmula amb la següent notació abreujada que s’obté posant : u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) i du = f ' (x) dx. Així tenim :
u dv = uv –
v du
Una notació especial per al
mètode d’integració per parts :
= x2 e
x – 2[xe
x –
e
x dx ] = e
x (x
2 – 2x + 2) + C
x
2 e
x dx = x
2 e
x –
e
x 2x dx = x
2 e
x – 2
x e
x dx =
u = x2 du = 2x dx
dv = ex . dx v = ex
u = x du = dx
dv = ex . dx v = ex
u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –
sen(ln x) .
dx Aïllant la integral buscada queda:
u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
x . sen (ln x) –
cos (ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
1
2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
Integració de funcions trigonomètriques: fórmules
Fórmules trigonomètriques fonamentals
sen2x + cos2x = 1 Fórmula fonamental de la
trigonometria
sen 2x = 2 sen x . cos x
cos 2x = cos2x – sen2x
Sinus i cosinus de l’angle
doble.
Fórmules de reducció de
grau
sen a · cos b = 1
2 sen (a + b) +
1
2 sen (a – b)
cos a . cos b = 1
2 cos (a + b) +
1
2 cos (a – b)
sen a . sen b = – 1
2 cos (a + b) +
1
2 cos (a – b)
Fórmules de conversió de
productes de sinus i
cosinus en suma.
sen (– x) = – sen x
cos (– x) = cos x
Sinus i cosinus de l’angle
oposant
1 + tg2 x = sec2 x;
1 + ctg2 x = csc2 x
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 =𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
Si hi ha potència senar en sinus es fa el canvi de variable cosx=t
Fem el canvi t=cos3x dt= -3sin3xdx dx = −𝑑𝑡
3𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑠𝑒𝑛53𝑥𝑑𝑥 ⇒−1
3 (1 − 𝑡2)2𝑑𝑡 =
−1
3 1 − 2𝑡2 + 𝑡4 =
−1
3𝑡 −
2
3𝑡3 +
𝑡5
5=
= -1
3𝑐𝑜𝑠3𝑥 −
2
3(𝑐𝑜𝑠3𝑥)3+
(𝑐𝑜𝑠3𝑥)5
5+ 𝐶 =
Si hi ha potència senar en cosinus es fa el canvi de variable sinx=t
sen5 3x.dx =
(sen23x)2 sen 3x.dx =
(1–cos23x)2 sen 3x.dx =
Integració de funcions trigonomètriques
Integració de funcions trigonomètriques
En els casos parells, intentem baixar un grau amb la fórmula de l'angle doble
Fent servir 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 =𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐𝒊 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
Exemple 1 : 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝑑𝑥 =
1
2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2+ 𝐶
Exemple 2 :
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐en lloc
de x, posem 2x/3