Eleazar J. García

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Integrales Definidas Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral definida viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. No nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el “área” no es ninguna excepción a esto. En este módulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (Figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las rectas verticales x = a y x = b y la gráfica de una función f tal que ( ) 0,f x > para todo x de [ ]; .a b

Denotemos dicha región por R. Figura 1

f (x) = y

a b

R

El número que asignaremos eventualmente como área de R recibirá el nombre de integral definida de f sobre[ ]; .a b En realidad, la integral se definirá también para funciones

f que no satisfacen la condición f (x) > 0, para todo x de [ ]; .a b

Figura 2

f (x) = y

a b

R1

R2

R3

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Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia de la suma de las áreas de las regiones R1 y R3 y el área de la región R2.

Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y. (Ver figura 3)

Figura 3

x

y

0a x= 1

x2

x 3x

1ix− i

x 1nx− n

x b=/ \iξ

\( ), ii

fξ ξ

/ \nξ

( ), nnfξ ξ

/

Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [ ];a b en

n subintervalos, no necesariamente iguales. Denotamos la longitud del primer subintervalo por 1 1 0,x x x∆ = − la del segundo subintervalo por 2 2 1,x x x∆ = − la del i-ésimo

por 1,i i ix x x−∆ = − y así sucesivamente hasta el último, 1.n n nx x x −∆ = − En cada

subintervalo elegimos los números ξ1, ξ2, ...,ξn, y escribimos la suma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3n i i n nS f x f x f x f x f xξ ξ ξ ξ ξ= ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ + + ∆⋯ ⋯

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 3. Cuanto más subintervalos tenga la subdivisión del intervalo [ ]; ,a b más próxima se hallará Sn

al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [ ];a b en

partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S. La posibilidad de dividir el intervalo [ ];a b en partes desiguales exige definir lo que

entendemos por subdivisiones “cada vez más pequeñas”. Suponemos no sólo que n crece

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indefinidamente, sino también que la longitud del mayor ∆xi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:

( )0

1

lim (1)i

n

i ix

i

S f xξ∆ → =

= ∆∑

El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (1), hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (1). Integral definida. La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b], se define por

( ) ( )0

1

limi

nb

i ix

a i

f x dx f xξ∆ →

=

= ∆∑∫

La expresión f (x) dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. Teorema 1. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

( ) ( )x

a

F x f x dx= ∫

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

F'(c) = f(c)

Una tal función F (x) se llama primitiva de f (x). El teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y F' = f. Si f es continua, f es la derivada de alguna función, a saber, la función

( ) ( )x

a

F x f x dx= ∫

Teorema 2. Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

( ) ( ) ( ) ( )2

b

a

f x dx F b F a= −∫

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Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral. Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (2) se acostumbra a escribir así:

( ) ( ) ( )b

a

F x F b F a= −

Ejemplo:

La igualdad 3

2,3

xx

′ =

muestra que la función ( )

3

3

xF x = es una primitiva de la

función ( ) 2f x x= . Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,

3 3 3 32

00

0

3 3 3 3

a a

x a ax dx= = − =∫

Propiedades de la integral definida. Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1. ( ) 0a

af x dx=∫

2. ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫

3. ( ) ( )b b

a acf x dx c f x dx=∫ ∫ , siendo c una constante

4. ( ) ( )( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

5. ( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫ , cuando a < c < b

6. Teorema del valor medio: ( ) ( ) ( )0

b

af x dx b a f x= −∫ , para al menos un

valor x = x0 entre a y b.

7. Si ( ) ( ) ,u

aF u f x dx= ∫ se verifica ( ) ( )d

F u f udu

= .

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Ejemplos.

1. Sea f (x) = c, c∈ℝ y F(x) = cx; tendremos: ( )b b

aa

c dx cx cb ca c b a= = − = −∫

2. Sea f (x) = x y F (x) = 12 x2; tendremos:

5 52 2 2

00

5 0 25 250

2 2 2 2 2

xx dx= = − = − =∫

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 14 x4; tendremos:

3 34 4 4

3

11

3 1 81 1 8020

4 4 4 4 4 4

xx dx= = − = − = =∫