UNIVERSIDAD AUTNOMA SAN FRANCISCOTEMA: INTEGRALES DE LINEAINTEGRALES DE LINEAEnmatemtica, unaintegral de lneaocurvilneaes aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o delplano complejo, se llama tambinintegral de contorno.Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser: el clculo de la longitud de una curva en el espacio, o tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.DefinicinIntegral curvilnea de un campo escalar

Integral de lnea de un campo escalarParaf:R2Runcampo escalar, la integral sobre la curvaC(tambin llamada, integral de trayectoria), parametrizada comor(t)=x(t)i+y(t)j cont[a, b], est definida como:Cfds=baf(r(t))r(t)dt=baf(x(t),y(t))[x(t)]2+[y(t)]2dtDnde:r: [a, b] C es unaparametrizacinbiyectivaarbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r (b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrizacinr (t), porque solo depende de la longitud del arco, tambin son independientes de ladireccinde la parametrizacinr (t).Integral curvilnea de un campo vectorial ParaF:RnRnuncampo vectorial, la integral de lnea sobre la curvaC, parametrizada comor(t) cont[a, b], est definida como:CF(r)dr=baF(r(t))r(t)dt.Donde es elproducto escalary r: [a, b] C es unaparametrizacinbiyectivaarbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.Las integrales de lnea de un campo vectorial son independientes de la parametrizacin siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de lnea del mismo campo vectorial resultarn con iguales mdulos y signos contrarios.Otra forma de visualizar esta construccin es considerar queCF(x)dx=CF1dx1+F2dx2++Fndxndonde se aprecia que laintegral de lneaes unoperadorque asigna un nmero real al par(C,)donde=F1dx1+F2dx2++Fndxnes una1-forma.Independencia de la curva de integracin[editar]Si el campo vectorialFes elgradientede un campo escalarG(o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:G=F,entonces laderivadade la funcin paraboloide deGyr(t) es:dG(r(t))dt=G(r(t))r(t)=F(r(t))r(t)con lo cual, evaluamos la integral de lnea de esta manera:CF(x)dx=baF(r(t))r(t)dt=badG(r(t))dtdt=G(r(b))G(r(a)).La integral deFsobreCdepende solamente de los valores en los puntosr(b) yr(a) y es independiente del camino entreayb.Por esta razn, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamadoindependiente del caminoo tambinconservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y adems sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una funcin potencial . Y por lo mencionado anteriormente la integral de lnea del campo es independiente del camino.

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