Integral
-
Upload
fernandoflores -
Category
Documents
-
view
5 -
download
0
description
Transcript of Integral
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Problema 1
∫ 999x(x +1)
dx
Haciendo: ⇒ −2
1 1u= =
x xdu dx
−
∫ ∫ ∫x( ) ( )( )2x x= =
2 999 999 999x (x +1) x +1 ( ) +1
1
u1
u
dxdu
dx
− −∫ ∫ ∫
999u ( ) 998x u= =
2 999 999 999x (x +1) 1+u 1+u
1
udu
dx du
Haciendo: w = 9991+u → 998dw =999u du
→ dw 998=u du999
− −∫ ∫x 1 1
= = ln w +C2 999 999 w 999x (x +1)
dx dw
−∫1 999= ln 1+u +C
999 999x(x +1)
dx
−∫1 999= ln 1+( ) +C
999 999x(x +1)
1
x
dx
−∫9991 x +1
= ln +C999 999999x(x +1) x
dx
Problema 2 1
1
+
−∫
xdx
x x
1
1
+
− −−∫ ∫ ∫
x x +1 dx 2 dxdx = = 1+
x 1 x x 1 xx x
Haciendo:
⇒ −− −
2 22 1+ x 12x 1
u = =u 1
También:
⇒−
22 1+ 2x 1
u = −udu2
=−
dx2(x 1)
⇒ − ⇒−
− −22 2udu dx udu dx
2(x 1) = ( ) =
u 1
1
1
+ −
−
−
−
∫ ∫
22
( udu)2x 2dx =2x x +1
2
u 1u
u 1
1
1
+ −
−
−
−∫ ∫
4udu
2 2xdx =
2x x
2
(u 1)
(u)u +1
u 1
1
1
+
− −−∫ ∫
x du2dx = 42 2x x ( )( )
(u )u +1 u 1
1
1
+
−−
−∫ ∫
2x dudx = 4
4x x
u
u 1
Por fracciones parciales:
−−
2
4 2
u A B Cu+D= + +
u+1 u 1u 1 u +1
− −2 2 2u = A(u 1)(u +1)+B(u+1)(u +1)+(Cu+D)(u 1)(u+1)
Si: u = 1 → 1 = 4B → 1
B =4
Si: u = –1 → 1 = –4A → −1
A =4
Si: u = 0 → 0 = –(−1
4) +
1
4 – D →
1D=
2
Si: u=2
→4=( −1
4)(1)(5)+(
1
4)(3)(5)+(2C+
1
2)(1)(3)
→ C = 0
−
−−
2
4 2
1 1 1u 4 4 2= + +
u+1 u 1u 1 u +1
1
1
+
−−
−∫ ∫
2x dudx = 4
4x x
u
u 1
1
1
+
−−
−∫ ∫ ∫ ∫x du du du
dx = +2x x
1 1 1+
4 u+1 4 u 1 2 u +1
1
1
+
−
−−
−∫ ∫ ∫ ∫x d(u+1) d(u 1) du
dx = +2x x
1 1 1+
4 u+1 4 u 1 2 u +1
1
1
+
−− −∫
xdx =
x x
1 1 1ln u+1 + ln u 1 + arctan(u)+C
4 4 2
1
1
+
−
−∫
xdx =
x x
1 u 1 1ln + arctan(u)+C
4 u+1 2
1
1
+ −
−−
−
−
∫
x +1
x x +1x 1dx =x 1x x x +1
x 1
11 1
ln + arctan( )+C4 2
+1
1
1
+ −
−− −
−∫
x x +1 x 1 x +1dx =
x 1x x x +1 x 1
1 1ln + arctan( )+C
4 2+
Problema 3
∫x1+a dx
Haciendo: 2 x x ln a1+a 1+eu = =
⇒���
x ln ae ln a dxxa
2udu=
�
⇒−
−
dx x 2 a ln a ln a2u 1
2udu 2udu= =
(u 1)
=−
∫ ∫x 21+a
2 ln a
2ududx u
(u 1)
= =−
− −∫ ∫ ∫
2 2x1+a
2 2ln a ln a
2 u du 2 u 1+1dudx
u 1 u 1
= +
−∫ ∫ ∫
x1+a2ln a
2 dudx du
u 1
−∫
x1+aln a 2
2 1 u adx= u+ ln +C
u+a
−∫
x1+ax x1+a 1+axln a 2 1+a
2 1 adx= + ln +C
+a
Problema 4
∫3x x +1dx
Haciendo: →3 21u = x+ 3u du=dx
−∫ ∫33 3 23x x +1 ( 1) dx = u u (3u du)
−∫ ∫3 33x x +1 ( 1) dx = 3 u u du
−∫ ∫ ∫6 33x x +1dx = 3 u du 3 u du
−∫3 37 43x x +1 u u7 4
dx = +C
−∫3 37/3 4/33x x +1 (x +1) (x +1)7 4
dx = +C
Problema 5
∫xe
x1+ 1+e
dx
Haciendo: →2 x xu =1+e 2udu=e dx
∫ ∫xe 2udu
x 21+ 1+e 1+ u
dx =
∫ ∫xe udu
2x 1+u1+ 1+e
dx =
Haciendo: →2t =1+u 2tdt = du
−∫ ∫
x 2e (t )(2tdt)2
2x t1+ 1+e
1dx =
−∫ ∫xe 24 (t dt
x1+ 1+e
dx = 1)
−∫xe 3t
x1+ 1+e
4dx = 4t+C
3
−∫xe 3( 1+u) 1+u
x1+ 1+e
4dx = 4 +C
3
−x 3 x( 1+ 1+e ) 1+ 1+e4
= 4 +C3
II. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Problema 1 −
− −∫
(6 2x)
28 4x 4x
dx
− − − −2d(8 4x 4x ) = ( 4 8x)dx
− −
− −∫
1 (28 4 8x)
4 28 4x 4x
= dx
− −
− − − −∫ ∫
1 28 1 ( 4 8x)
4 2 4 28 4x 4x 8 4x 4x
= dx+ dx
− −
− −− −∫ ∫
21 1 d(8 4x 4x )7
4 22 8 4x 4x8 4(x + x+ )
= dx+1 1
4 4
− − −
−∫
1 1 1 27 8 4x 4x4 229 4(x + )
= dx+1
2
− − −
−∫
1 1 27 8 4x 4x82 2( ) (x + )
= dx+3 1
2 2 2
− − −x +
7 1 28 4x 4x8
1
2= arcsen( )+ +C322
− − −7 2x +1 1 28 4x 4x
8= arcsen( )+ +C
2 3
Problema 2
∫2x +7
2x +2x +5dx
2d(x +2x +5) = (2x +2)dx
∫ ∫ ∫2x +2+5 2x +2 5
2 2 2x +2x +5 x +2x +5 x +2x +5= dx= dx+ dx ∫ ∫
2d(x +2x+5) 1
2 2 2x +2x +5 (x+1) +2= +5 dx
2x +2x +51 x+1
=ln ( )+5 arctan( )+C2 2
2x +2x +55 x+1
= ln ( )+ arctan( )+C2 2
Problema 3
−∫
cos x
2sen x 6sen x +5dx
− −2d(sen x 6sen x +5) = (2sen x cosx 6cos x)dx
− −−
−∫
2sen x cos x 6cos x 2sen x cos x
2sen x 6sen x +5
1= dx
6
− −− −
− −∫ ∫
2sen x cos x 6cos x 2sen x cos x
2 2sen x 6sen x +5 sen x 6sen x +5
1 1= dx dx
6 6
Haciendo: u = sen x → du = cos x dx
−−
− −∫ ∫
2d(sen x 6sen x+5) u du+
2 2sen x 6sen x +5 u 6u+5
1 2=
6 6
− −−
∫u du2sen x 6sen x +5 + +C
2u 6u+5
1 1= ln
6 3
Por fracciones parciales:
− − − −−
u u A B= = +
2 (u 5)(u 1) u 5 u 1u 6u+5
u = A(u – 1) + B(u – 5)
Si: u = 1 → 1 = –4B → −1
B =4
Si: u = 5 → 5 = 4A → 5
A =4
− − −− −∫ ∫
du du2sen x 6sen x +5 + +Cu 5 u 1
1 1 5 1= ln
6 3 4 4
− − − − −2sen x 6sen x +5 + u 5 u 1 +C1 5 1
= ln ln ln6 12 4
− − − − −2sen x 6sen x +5 + sen x 5 sen x 1 +C1 5 1
= ln ln ln6 12 4
III. INTEGRACIÓN POR PARTES
Problema 1
∫2cos (lnx)dx
Haciendo: u = ln x → du = dx
x → xdu =dx → udx =e du
∫ ∫2 2 ucos (lnx) cos (u)dx = e du . . . (I)
Ahora por integración por partes:
→ − −2w = cos (u) dw = 2cos u sen udu= sen (2u)du
→u udv =e du v =e
− −∫ ∫2 u u 2 ucos (u) cos (u) sen (2u)e du= e e du
∫ ∫�������
2 u u 2 ucos (u) cos (u)+ sen (2u)
A
e du=e e du . . . (II)
∫u sen (2u)A = e du
→w = sen (2u) dw = 2cos(2u)du
→u udv =e du v =e
− ∫u usen(2u) 2cos (2u)A = e e du
→ −w = cos (2u) dw = 2sen(2u)du
→u udv =e du v =e
( )− − −∫u u usen(2u) cos(2u) 2sen (2u)A = e e e du
−
∫�������
u u usen(2u) cos(2u)+2 sen (2u)
A
A = e e e du
→− −u u u usen(2u) cos(2u) sen(2u) cos(2u)1 1
3A = e e A = e e3 3
. . . (III)
Reemplazando (III) en (II)
−∫2 u u 2 u ucos (u) cos (u)+ sen(2u) cos(2u)
1 1e du=e e e
3 3 . . . (IV)
Reemplazando (IV) en (I):
−∫2 u 2 u ucos (lnx) cos (u)+ sen(2u) cos(2u)+C
1 1dx =e e e
3 3
Pero: u = ln x
−∫2 ln x 2 ln x ln xcos (ln x) cos (ln x)+ sen(2ln x) cos(2ln x)+C
1 1dx =e e e
3 3
−∫2 2cos (ln x) cos (ln x)+ sen(2 ln x) cos(2 ln x)+C
1 1dx = x x x
3 3
Problema 2
∫xe dx
Haciendo: →xexeu= du= dx
2 x
∫ ∫ ∫xexe
2 x dxdx = =2 ln udu
2 x
Ahora por integración por partes:
→du
w = ln u dw =u
→dv = du v =u
∫ ∫ ∫ ∫duxeu
dx=2 ln udu=2 u ln u- u( ) =2 u ln u- du
− − −∫x x x x x xe e e e e edx=2u ln u u+C =2 ln +C =2 x +C
Problema 3
−∫
x arcsenx
21 x
dx
Ahora por integración por partes:
→
−
dxu = arcsen x du =
21 x
− − → − − − − − −
− − −∫ ∫
2xdx 1 2xdx 1 d(1 x ) 1 1 12 21 x 1 x2 2 2 2 2 2 2 41 x 1 x 1 x
dv = v = = = =
− − −
− −∫ ∫
x arcsenx 1 1 dx2 21 x arcsen x 1 x +C2 4 4 21 x 1 x
dx =
− −
−∫ ∫
x arcsenx 1 121 x arcsen x dx+C2 4 41 x
dx =
− −
−∫
x arcsenx 1 x21 x arcsen x +C2 4 41 x
dx =
Problema 4 −
∫x 1
4 xarctan dx
Ahora por integración por partes:
→
− − − −
−
4 x x 14 3x 1 1 x x 1 xu = du = dx
4 2 24x xx 1
1+4 x
1 1
4 4 arctan( )
→
− −
− −
1 x x x 1du= dx
4 3x 1 x x x 11+
( )
4 ( x)x
→
−
− −
x x + xdu= dx
4 3+ x 1 x x 1
x
x 4 (x)
→
− − − −
xdu = dx = dx
4 43 32 x 1 x x 1 x x 1 x 1
x x
4 (x) 4 (2 ) (x)
→
−
− −
du= dx4 3x x 1 x 1
1
8 (2 )
→dv = dx v = x
− − −
∫x 1 x 1
4 4x xarctan dx =(x) arctan
IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Problema 1
∫x6csc dx6
Haciendo: u = x
6 →
dxdu =
6 → dx = 6du
∫ ∫ ∫x6 6 4 2csc dx csc u du csc u csc udu6
=6 =6
∫ ∫x6 2 2 2csc dx (1+cot u) csc udu6
=6
∫ ∫x6 2 4 2csc dx (1+2cot u+cot u) csc udu6
=6
∫ ∫ ∫ ∫x6 2 2 2 4 2csc dx csc udu cot u csc udu cot u csc udu6
=6 +12 +6
− − −∫ ∫ ∫x6 2 4csc dx cot u d(cot u) cot u d(cot u)6
= 6cot u 12 6 +C
− − −∫3 5x cot u cot u6csc dx
6= 6cot u 12 6 +C
3 5
− − −∫x x x 6 x6 3 5csc dx cot cot 6 6 6 6
= 6cot 4 +C5
Problema 2
−∫5cos (2x 1)dx
Haciendo: u = 2x – 1 → du = 2dx → du
dx =2
− −∫ ∫ ∫ ∫5 5 4 2 2cos (2x 1) cos u cos u cos u (1 sen u) cos u
1 1 1dx = du= du= du
2 2 2
− −∫ ∫5 2 4cos (2x 1) (1 2sen u+sen u) cos u
1dx = du
2
− −∫ ∫ ∫ ∫5 2 4cos (2x 1) cos u sen u cos u sen u cos u
1 1 1dx = du ( )2 du+ du
2 2 2
− −∫ ∫ ∫ ∫5 2 4cos (2x 1) cos u sen u d(sen u) sen u d(sen u)
1 1dx = du +
2 2
− −∫3 5sen u sen u5cos (2x 1)
1 dx = sen u + +C
2 3 10
− −− − −∫
3 5sen (2x 1) sen (2x 1)5cos (2x 1) (2x 1)1
dx = sen + +C2 3 10
Problema 3
∫7 4tan xsec xdx
Haciendo: u = tan x → 2du = sec x dx
∫ ∫ ∫ ∫7 4 7 2 2 7 2 7 9tan xsec xdx tan x (1+ tan x) sec xdx u (1+u )du (u +u )du= = =
∫8 10 8 10u u tan x tan x7 4tan xsec xdx + +C + +C8 10 8 10
= =
Problema 4
∫ tanx dx
Haciendo: → →⇒2udu 2udu2 2x = arctan ( ) dx = dx =
42 2 1+u1+(u )u = tan x u
− −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2 22udu du du du242 2 4 2 2 21+u1+u 1+2u +u 2u (u + 2u+1)(u 2u+1)
u u utanx dx = u =2 =2 =2
Por fracciones parciales:
− −
2
2 2 2 2(u + 2u+1)(u 2u+1) u + 2u+1 u 2u+1
u Au+B Cu+D= +
−2 2 2u 2u+1 u + 2u+1u =(Au+B)( )+(Cu+D)( )
Si: u = 0 → 0=B+D → −D = B . . . (1)
Si: u = 2 → −2 2
2 2 2 2 +1 2 2 + 2 2 +12= (A +B)( )+(C +D)( )
2 22= A +B+5 C+5D . . . (2)
Si: u = − 2 → − − − − − − −2 22 2 2 2 +1 2 2 + 2 2 +12=( A +B)(( ) ( ) )+( C +D)(( ) ( ) )
− −2 22= 5A +5B+ C+D . . . (3)
Si: u = 2 2 → −2 22 2 2 2 +1 2 2 + 2 2 +18=(A2 +B)((2 ) (2 ) )+(C2 +D)((2 ) (2 ) )
2 28=10A +5B+13 C+13D . . . (4)
Reemplazando (1) en (2): −2 22= A +5 C 4B . . . (5)
Reemplazando (1) en (3): − −2 22= 5A C+4B . . . (6)
Reemplazando (1) en (4): −2 28=10A +13 C 8B . . . (7)
Multiplicando 2 a ambos miembros de (6): − −2 24 = 10A 2 C+8B
V. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Problema 1
2
2 5
4
xdx
x x
−
−∫
Problema 2
−∫
dx
2 2(x 2x +5)
− −∫ ∫
dx dx
2 2 2 2 2(x 2x +5) ((x 1) +2 )=
Haciendo:
φφ →
φ φ φ
−− x 1x 1
2x = 2tan +1
= arctan( )tan =22
dx =2sec d
φ
φ φ φ φ
φ φ− −∫ ∫ ∫ ∫
�����
2 2dx dx
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(x 2x +5) ((x 1) +2 ) ((2tan ) +2 ) (4(tan +1))
2sec
2sec d 2sec d= = =
φ φφ φ φ φ φ φ
φ−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dx 22 2 2(x 2x +5)
1 d 1 1 1+cos 2 1 1= = cos d = d = d + cos 2 d(2 )
8 8 8 2 16 32sec
φφ φ
φ−∫ ∫
dx
2 2 2(x 2x +5)
1 d 1 1= = + sen 2 +C
8 16 32sec
φ φ −
− −
− −
∫ ����������
dx x 1
2 2(x 2x +5) x 1 22 2x 2x+5 x 2x+5
1 1= arctan( )+ (2) sen cos +C
16 2 32
−
− −
−
−∫ 2 2
dx x 1
2 2(x 2x +5)
1 1 x 1 2= arctan( )+ (2)( )( ) +C
16 2 32 x 2x+5 x 2x+5
−−
− −∫
dx x 1
2 2 2(x 2x +5) x 2x +5
1 1 x 1= arctan( )+ ( ) +C
16 2 8
Problema 3
−∫
2 3/2(16 9x )dx
6x
Haciendo:
φ φ
→ φ φ φ
3x 3x
4sen 4x =
sen = = arcsen ( )4 4
dx = cos d3 3
φ
φφ φ φ φ
φ φ
−−∫ ∫ ∫
4sen 2 3/2[16 9( ) ]2 3/2 3 6 3(16 9x ) 4 4(4) cos dx = =
6 6 64sen 6x sen ( )
(3)3 ( )cos d cos d3 3(4)
3
φ φ φ − φ φ−
∫ ∫ ∫2 3/2 5(16 9x ) 4 2 4dx = cot = cot cot
6 2x
(3) 243csc d d( )
16(4)
φ− −
− −∫
2 3/2 5 2 5(16 9x ) cot 16 9xdx = =
6 5x
243 243( )+C +C
16 80 3x( )
Problema 4
− −∫
dx
2 2 1/2(x 2x +1)(x 2x)
− − − − −∫ ∫
dx dx
2 2 1/2 2 2(x 2x +1)(x 2x) (x 1) (x 1) 1
=
Haciendo: φ φ
→ φ φ φ φ
− −
x = +1
sec = x 1 = arcsec (x 1)
sec dx = sec tan d
φ
φ φ φ φφ φ
φφ φ− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
�����
dx dx
2 2 1/2 2 2 2 2(x 2x +1)(x 2x) (x 1) (x 1) 1 1
tan
sec tan d d= = = = cos d
sec sec sec
φ−
−
− −∫
2dx x 2x
2 2 1/2(x 2x +1)(x 2x)= sen +C = +C
x 1
Problema 5
Calcule ∫dx
senx+cosxmediante la sustitución x = 2arctan u
Haciendo:
→
2= tan
x = 2arctan u2du
dx =xu 1+u
2
− 2
2
1 ucos x =
1+u y
2
2usen x =
1+u
− −
−
− − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2
2 2
2du
dx du du d(u 1)1+u= =2 =2 =2senx +cosx 1 u 2u 1 u +2u 2 (u 1) ( 2) (u 1)
+1+u 1+u
−−
− − − −∫
tan
tan
x1+ 2
dx 1 (u 1)+ 2 2 2=2( )ln +C = ( )ln +C
xsenx +cosx 22 2 (u 1) 2 1 22
VI. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
Problema 1
−∫
x
2 2(x 1)(x + 4)dx
Por fracciones parciales:
−−
x
2 2 2(x 1)(x +4)
A B Cx+D= + +
x+1 x 1 x +4
− −2 2x = A(x 1)(x +4)+B(x+1)(x +4)+(Cx+D)(x 1)(x+1)
Si: x = 1 → 1 = 10B → 1
B =10
Si: x = –1 → 1 = –10A → −1
A =10
Si: x = 0 → 0 = –4(−1
10) +
4
10 – D →
4D=
5
Si: x=2
→2=( −1
10)(1)(8)+(
1
10)(3)(8)+(2C+
4
5)(1)(3)
→ C = −1
3
− −
−−
x
2 2 2(x 1)(x +4)
1 1 1 4x+
10 10 3 5= + +x+1 x 1 x +4
−−
−−∫ ∫ ∫ ∫
x dx dxdx
2 2 2x +1 x 1(x 1)(x +4)
1 4x+
1 1 3 5dx = + +10 10 x +4
−− −
−∫ ∫
x 5x +12dx
2 2 2(x 1)(x + 4)
1 1 1dx = ln x +1 + ln x 1 + +C
10 10 15 x +4
− −
−∫ ∫ ∫
x 5 2x 12 dxdx +
2 2 2 215(x 1)(x + 4)
1 x 1dx = ln + +C
10 x +1 30 x +4 x +4
− −
−∫ ∫
2x 5 d( ) 4+
2 2 2 5(x 1)(x +4)
1 x 1 x +4 1 xdx = ln + arctan( )+C
10 x+1 30 2 2x +4
−−
−∫
x 1 22 +2 2 5(x 1)(x + 4)
1 x 1 xdx = ln ln x +4 arctan( )+C
10 x +1 6 2
Problema 2
∫2sec x
3 2tan x + tan xdx
Haciendo: w = tan x → 2dw = sec x dx
∫ ∫2sec x dw
3 2 3 2tan x + tan x w +wdx =
Por fracciones parciales: 1
2 2 w+1w (w+1) w
A B C= + +
w
2w1= Aw(w+1)+B(w+1)+C
Si: w = 0 → B=1 Si: w = –1 → C=1 Si: w = 1 → 1 = 2A + 2 + 1 → A = –1
− + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫2sec x dw dw dw dw
3 2 3 2 2w w +1tan x + tan x w + w wdx = =
− − +∫2sec x
Ln Ln3 2tan x + tan x
1dx = w w+1 +C
w
− +∫2sec x
Ln3 2tan x + tan x
1 w+1dx = +C
w w
− +∫2sec x
Ln3 2tan x + tan x
1 tan x+1dx = +C
tan x tan x
Problema 3
−∫
3(x + x 1)
2 2(x +2)dx
Por fracciones parciales:
−3x + x 1
2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2)
Ax+B Cx+D= +
−3 2x + x 1 x +2=(Ax+B)( )+Cx+D
Si: x = 0 → –1=2B+D . . . (1) Si: x = 1 → 1 = 3A + 3B + C + D . . . (2) Si: x = –1 → –3 = –3A + 3B – C + D . . . (3) Si: x = 2 → 9 = 8A + 4B + 2C + D . . . (4) Sumando (2) y (3) miembro a miembro: –2 = 6B + 2D → –1 = 3B + D . . . (5) Reemplazando (1) en (5): B = 0 De (1): D = –1 Reemplazando valores de B y D en: (2): 3A + C = 2 . . . (6) Reemplazando valores de B y D en: (4): 8A + 2C = 10 → 4A + C = 5 . . . (7) Reemplazando (6) en (7): A = 3 De (6): 3(3) + C = 2 → C = –7
− − −∫ ∫ ∫
3(x + x 1) 3x 7x 1
2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2)dx = dx+ dx
−− −∫ ∫ ∫ ∫
3(x + x 1) 3 2x 7 2x
2 2 2 2 2 2 2(x +2) x +2 (x +2) (x +2)
1dx = dx dx dx
2 2