INTEGRACION NUMERICA.

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y (b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, pueden ser aplicados al problema reformulado.

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REGLA DEL TRAPECIO.

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación es de primer orden. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b] , que es precisamente el área del trapecio que se forma.

La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

Para realizar la aproximación por esta regla es necesario usar un polinomio de primer orden, y esta es representada por:

Entonces al sustituir en la integral tenemos:

Por último al resolver esa integral nos queda:

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EJERCICIOS. -METODO DEL TRAPECIO.-

1.- Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

∫1

4

(2x+1)dx

Solución:

Paso 1: hallar el valor de h :h=b−an

=4−11

=4−1=3

Pasó 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de h hallado en el paso 1; en este caso se tiene solamente un intervalo, que son los limites de integración, por lo tanto solamente dos nodos, o sea, dos puntos sobre x:Dónde: h: Longitud de cada intervalo.

x0: Limite inferior de la integral, también se representa por a.xn: Limite superior de la integral, también se representa por b.

n: Numero de particiones, es decir, de intervalos.x0 x1

x 1 42 x+1 3 9

Aplicando la fórmula generalizada (6)

∫x0

xn

f ( x )dx=h2 [f (x0 )+ f ( x1 ) ](6)

∫1

4

(2 x+1 )dx=32

[3+9 ]=¿ 32

[3+9 ]=32

[12 ]=18¿

Por definición de error es la diferencia entre el valor verdadero V v  y una aproximación a este valor V a :

E=V v−V a=18−18=0

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2.- Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

∫1

4

(2x+1)dx

Solución:

Paso 1: hallar el valor de h :h=b−an

=4−13

=33=1

Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de h hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: h: Longitud de cada intervalo.

x0: Limite inferior de la integral, también se representa por a.xn: Limite superior de la integral, también se representa por b.

n: Numero de particiones, es decir, de intervalos.Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.

x0 x1 x2 x3x 1 2 3 4

2 x+1 3 5 7 9

Aplicando la fórmula generalizada (7)

∫x0

xn

f ( x )dx= h2 [f (x0 )+2 {f ( x1 )+ f (x2)+…+f (xn−1 ) }+ f (x7 ) ](7)

∫1

4

(2 x+1 ) dx=12 [3+2{5+7 }+9 ]=¿ 1

2[3+24+9 ]=1

2[36 ]=18¿

E=V v−V a=18−18=0

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3.- Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

∫0

1.2

ex tg x dx

Solución:

Paso 1: hallar el valor de h :h=b−an

=1.2−01

=1.2−0=1.2

Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de h hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: h: Longitud de cada intervalo.

x0: Limite inferior de la integral, también se representa por a.xn: Limite superior de la integral, también se representa por b.

n: Numero de particiones, es decir, de intervalos.Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.

x0 x1x 0 1.2

ex 1 3.3201

t g x 0 2.5722

ex t g x 0 8.53997

Aplicando la fórmula (6)

∫x0

xn

f ( x )dx= h2 [f (x0 )+ f ( x2 ) ](7)

∫0

1.2

ex tg x dx=1.22

[0+8.53997 ]=0.6×8.53997=5.123982

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Estimación de errorAnalizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error, pare verificar la amplitud del error cometido en la solución de este ejercicio por este método en particular.

E=V v−V a=2.4776−5.123982=2.646382

Er=EV v

=V v−V aV v

=2.6463822.4776

=1.0681232

E%=100Er (% )=100×V v−V a

V v(% )=100×1.0681232 (% )=106%

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METODO DE SIMPSON

En análisis numérico, la regla o método de Simpson, nombrada así en honor a Thomas Simpson, es un método de integración numérica para obtener el valor aproximado de integrales definidas; específicamente es la aproximación:

A comparación de la regla del trapecio, esté método de integración resulta ser más exacto, ya que se utilizan polinomios de segundo o tercer grado para su aproximación

La función   (azul) es aproximada por una función cuadrática   (rojo).

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EJERCICIOS. –METODO DE SIMPSON.-

1.- Usando la regla (3/8) de Simpson, calcular la integral: ∫1

2.2

x3 ln x dx

Solución:Paso 1: buscar el valor de h, h=b−a3n =2.2−13×1

=1.23

=0.4 es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.4 hallado.x0 x1 x2 x3

x 1 1.4 1.8 2.2x3 1 2.744 5.832 10.648ln x 0 0.33647 0.58779 0.78846x3 ln x 0 0.92327 3.42799 8.39552

Paso 3: ahora se aplica la fórmula de la regla (1/3) de Simpson:∫x0

x3 n

f ( x ) dx≅ 3×0.48

[0+3×0.92327+3×3.42799+8.39552 ]

∫x0

x3 n

f ( x ) dx≅ 3×0.48

[0+2.76981+10.28397+8.39552 ]=3×0.48

×21.4493=¿3.217395 ¿

El verdadero valor de la integral buscada es: 3.21592168528

E=V v−V a=3.2159216852−3.217395=0.0014733

Er=EV v

=V v−V aV v

= 0.00147333.2159216852

=0.000458

E%=100Er (% )=100×V v−V a

V v(% )=100×0.000458 (% )=0.0458%

2.- Evaluar la siguiente funcion :∫0

23√x2+5dx , paran=8

Solución:Paso 1: Hallar el valor de h:h=2−08 =2

8=14=0.25, es el valor del intervalo a tomar.

Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.003√ x2+5 1.71 1.7171 1.7380 1.7718 1.8171 1.8722 1.9354 2.005 2.0804

Paso 3: Se aplica la fórmula (7) del rectángulo∫x0

xn

f ( x )dx=h2 [f (x0 )+2 {f ( x1 )+ f (x2)+…+f (xn−1 ) }+ f (x7 ) ](7)

∫0

23√x2+5dx=¿ 0.25

2 [1.71+2 {1.72+1.74+1.77+1.82+1.87+1.94+2.01 }+2.08 ]¿

∫0

23√x2+5dx=¿ 0.25

2 [1.71+2 {12.87 }+2.08 ]=0.125 [1.71+25.74+2.08 ]=¿¿

9

∫0

23√x2+5dx=¿0.125 [29.53 ]=3.69125 ¿

Conclusión :∫0

23√x2+5dx=¿3.69125 ¿

El valor verdadero de la integral buscada es: 3.6864E=V v−V a=3.6864−3.69125=0.00485

Er=EV v

=V v−V aV v

=0.004853.6864

=0.00131

E%=100Er (% )=100×V v−V a

V v(% )=100×0.00131 (% )=0.131

METODO DEL RECTANGULO

El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a, f(a))

Este método se llama la regla del rectángulo:

La integral definida entre los puntos a y b de una función continua y acotada f(x) representa el área comprendida debajo de esa función. En ocasiones es necesario calcular integrales (áreas) de modo numérico, es decir, sin conocer la integral explicita de la función f(x). Existen varios posibles métodos para calcular esta área. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto de n sub áreas donde cada sub área semeja un pequeño rectángulo elemental de base dx = (b − a) / n y altura h, El área sería:

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