integración numérica

7/17/2019 integración numérica

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13/10/2015 4.2 Integración Numérica

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo4/capitulo4_2.htm

4.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ( x) en

un intervalo [a, b] es decir

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ( x) es difícil o imposible deintegrar analíticamente, o cuando ƒ( x) esta dada como un conjunto de valores

tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integraciónnumérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la funcióny luego integrar la aproximación polinomial de la función.

4.2.1 REGLA DEL TRAPECIO

Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se

construye el polinomio de Lagrange de grado uno.

ƒ( x) = P 1( x) + E , donde E es el error en la aproximación

ahora,

si h = b - a

La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla deltrapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área

bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P 1( x) y la figura que

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resulta es un trapecio. Ver figura 4.3

4.2.2 REGLA DE SIMPSON

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor

aproximación para el integrando ƒ( x). Esto se puede lograr con un polinomio de

grado 2. Ver figura 4.4

Considérese la función ƒ( x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde

.

Con los puntos ( x0, ƒ( x0)), ( x1, ƒ( x1)) y ( x2, ƒ( x2)) se construye el polinomio de

Lagrange de grado 2,

ahora La integral del polinomio se resuelve por

partes y resulta:

reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

Luego ,

Por lo tanto.







Esta expresión se conoce como regla de simpson.

El error en la aproximación es

Ejemplo.

Aproximar usando:

i) La regla del trapecioii) La regla de SimpsonEncuentre también una cota para el error en cada aproximación.

Solución:

i) Para la regla del trapecio. entonces

ii) Para la regla de Simpson

, a = x0 = 0,b = x2 = 2, x1 = x0 + h = 1





El valor real de la integral es

Observaciones

La regla del trapecio es exacta para funciones lineales ( f ( x) = mx + c) ya que el

término de error contiene f'' ( z ) y este caso f'' ( x) = 0 y el error sería cero.

La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o

igual a 3, ya que el error contiene y la cuarta derivada de un polinomio de

grado menor o igual que 3 es cero.

Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función f en un intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y

aplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estosmétodos se conocen como regla compuesta o extendida del trapecio y deSimpson respectivamente.

4.2.3 REGLA COMPUESTA DEL TRAPECIO

Supóngase que se quiere aproximar Primero se divide el intervalo

[a,b] en n subintervalos de igual longitud y luego se aplica la regla del

trapecio en cada subintervalo. Ver figura 4.5

Cada una de las integrales del lado derecho se puede aproximar usando la regladel trapecio,

A esta fórmula se la conoce como regla compuesta del trapecio.

Para hallar el error E en la aproximación , se deben tener en cuenta los errores en

cada subintervalo , es decir:

(1)

a < z 1 < x1, x1 < z 2 < x2, ..., xn-1 < z n < b xi-1< z i < xi para i = 1, 2, ...,n

Si la segunda derivada de f es continua en [a,b], entonces por el teorema del valor

extremo f’’ tiene un valor máximo y un valor mínimo en [a,b], y se cumple:

mín f'' ( x) f'' ( z 1) máx f'' ( x), x [a, b]






mín f'' ( x) f'' ( z 2) máx f'' ( x), [ x1, x2]

:

:

mín f'' ( x) f'' ( z n) máx f'' ( x), [ xn-1, xn]

En los n subintervalos se tiene que:

Por el teorema del valor intermedio existe un µ (a,b) tal que

Si esta expresión se reemplaza en el error de la fórmula compuesta del trapecioresulta:

Como: , y reemplazando este valor en el error, se tiene

que:

4.2.4 REGLA COMPUESTA DE SIMPSON

Si se quiere aproximar primero se selecciona un entero n par, luego

se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos y se aplica la regla de Simpson encada par consecutivo de subintervalos.

Ver figura 4.6

Cada una de las integrales del lado derecho se puede aproximar usando la reglade simpson.






A esta fórmula se la conoce como regla compuesta de Simpson.El error en la aproximación esta dado por:

(2)

x0 < z 1 < x2, x2 < z 2 < x4, ..., xn-2 < z n/2 < xn x2i-2< z i < x2i para i = 1, 2, 3,...,

n/2

Si la cuarta derivada de f en [a,b] es continua, entonces por el teorema del valor

extremo f tiene un valor máximo y un valor mínimo en [a,b].

Con un procedimiento similar al expuesto en el error de la regla compuesta deltrapecio se muestra que:

Por el teorema del valor intermedio existe un µ (a,b) tal que:

Si esta expresión se reemplaza en el error de la fórmula compuesta de Simpson,entonces resulta:

Por lo tanto el error en la regla compuesta de Simpson es:





Ejercicio 1

Aproximar usando la regla compuesta del trapecio con n = 4. Halle

una cota para el error en la aproximación.

Solución:

El error en la aproximación es

Ejercicio 2

Determine los valores de n y h que se requieren para aproximar con

un error no mayor de 10-4 usando la regla compuesta de Simpson.

Solución:




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, como el error debe ser menor o igual a 10 -4 entonces:

se puede tomar

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