Tayacaja – Huancavelíca

2015

V

CATEDRATICO :

ESTUDIANTE :

CATEDRA :

ING. VARGAS AQUIJE, Jorge amador

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA - SISTEMAS

DEL CASTILLO ARRIOLA, Paola Lucy

METODOS MATEMATICOS PARA INGENIERIA

INTEGRAL DE LINEA

CICLO :

INTEGRAL DE LINEAUna integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es

evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos

dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún

objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de

fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

1.1. INTEGRAL CURVILÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR

Para f: R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también

llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r (t )=x (t ) i+ y ( t ) j con

t∈ [a ,b ]está definida como:

Dónde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva

C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales

de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo

depende de la longitud del arco, también son independientes de

la dirección de la parametrización r(t).

1.2. INTEGRAL CURVILÍNEA DE UN CAMPO VECTORIA

Para F: Rn→ Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C,

parametrizada como r (t) con t [a, b], está definida como:

∫C

❑

f ds=∫a

b

f (r ( t ) )‖r ' ( t )‖dt=¿∫a

b

f (x ( t ) , y ( t ))√[ x ' (t)]2+[ y ' (t)]2dt ¿

∫C

❑

F (r ) .dr=∫a

b

F (r ( t ) ) .r ' ( t )dt

Donde el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización

biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r (b) son los

puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la

parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones

mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos

parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de

línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos

contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

Donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par (C, w) donde

1.3. INDEPENDENCIA DE LA CURVA DE INTEGRACION

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el

campo vectorial F es conservativo). Esto es:

∇G=F

Entonces la derivada de la funcion composicion de G y r(t) es:

dG(r (t ))dt

=∇G ( r (t ) ) . r ' (t )=F (r (t ) ) .r ' (t )

Com lo cual, evaluamos la integral de linea de esta manera:

∫C

❑

F (x ) . dx=∫a

b

F ( r ( t ) ) . r ' ( t )dt=∫a

bdG(r ( t ))dt

dt=G (r ( t ) )−G(r ( t ))

La integral F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y

r(a) y es independiente del camino entre a y b. por esta razón, un campo

vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente

∫C

❑

F (r ) .dx=∫C

❑

F1d x1+F2d x

2+…+Fnd xn

ω=F1d x1+F2d x

2+…+Fnd xn

del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo

arbitrario, tal que las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea

convexo, entonces este campo es el gradiente de una función potencial € y por

lo mencionado anteriormente la integral delinea del campo es independiente

del camino.

EJERCICIOS PROPUESTOS

A. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización

α (t )=t i⃗+ 43t 3 /2 j⃗+1

2t k⃗ , t∈ [0 ,2 ]

Solución:

α ' ( t )=(1 ,2 t 1/2 , 12 )t ∈ [0 ,2 ]

La curva α es de la clase C1 y, por tanto, es rectificable.

‖α ' (t )‖=√1+4 t+ 14=12 √5+16 t

La longitud de α será:

s=∫0

2

‖α ' (t )‖dt

s=∫0

212

√5+16 t dt=12,116,23

(5+16 t )32 ]02

=¿

s= 148

(37√37−5√5)

B. Calcule ∫α

❑

z, donde α es la curva descrita por la parametrización

α (t )=tcost i⃗+tsent j⃗+ t k⃗ , con0≤ t ≤2π

Solución:

α (t )= (tcost ,tsent ,t )

α ' (t )=(cost−tsent , sent+tcost ,1 ) t∈ [0 ,2π ]α (t ) Es de clase C1 (α ' es continua)

‖α ' (t )‖=√2+ t2

Sea f(x, y, z)=z. entonces

∫α

❑

¿∫0

2π

f (α (t ) ) .‖α ' ( t )‖dt

∫α

❑

¿∫0

2π

t √2+t 2dt=13

(2+t 2)3 /2 ]02π

=13√(2+4 π2)3−3√2

C. Calcule ∫C

❑

( x+ y ) , siendo C un triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1)

Solución:

D.Un alambre tiene forma de circunferencia x2+ y2=a2. Determine su masa y su

momento de inercia respecto de un diametro si la densidad en un punto (x,

y) del alambre esta dada por la funcion f ( x , y )=|x|+|y|

Solución: