SECCION 2.7 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSASINTEGRALES QUE CONTIENEN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS.Las derivadas de las seis funciones trigonomtricas inversas se agrupan en tres pares. En cada par, la derivada de una es la negativa de la otra. Por ejemplo:

Cuando se hace una lista de antiderivadas o primitivas que correspondan a cada una de las funciones trigonomtricas inversas, es suficiente citar una de cada par. El siguiente teorema da una frmula para la primitiva de cada una de las tres parejas. TEOREMA 2.7 INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES TROGONOMTRICAS INVERSASSea u una funcin derivable de x, y sea a > 0.

EJEMPLO 1 INTEGRALES CON FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Las integrales del ejemplo 1 son aplicaciones a simple vista de las frmulas de integracin. Desafortunadamente, no es lo frecuente. Las frmulas de integracin que involucran funciones trigonomtricas inversas pueden aparecer de muy diversas formas.

EJEMPLO 2 INTEGRACION POR SUSTITUCION

Encontrar Solucin. Tal como est, la integral no se ajusta a ninguna de las tres frmulas para las funciones trigonomtricas inversas. Pero haciendo la sustitucin:

ya se puede integrar como sigue:

EJEMPLO 3 REESCRIBIR COMO SUMA DE DOS COCIENTES.

Hallar Solucin. Tampoco esta integral parece ajustarse a las frmulas. Sin embargo, desdoblando el integrando en dos partes, la primera es integrable pro las reglas de las potencias y la segunda da una funcin seno inversa.

Completar el cuadradoCuando hay funciones cuadrticas en el integrando, completar el cuadrado ayuda a resolver la integral. Por ejemplo, la expresin cuadrtica x2 + bx + c puede escribirse como diferencia de dos cuadrados sumando y restando (b/2)2.

EJEMPLO 4 COMPLETAR EL CUADRADO

Encontrar Solucin. Se puede escribir el denominador como la suma de dos cuadrados como se muestra.

En esta forma de cuadrados completados, integramos como sigue