Integración de funciones racionales de seno y coseno.

Eleazar José García. eleagarcia95@hotmail.com

1. Deducción de fórmulas para realizar las sustituciones.

2. Teorema.

3. Ejercicios resueltos.

4. Ejercicios propuestos.

5. Respuestas de ejercicios propuestos.

Deducción de fórmulas para realizar las sustituciones.

Si el integrando es una función racional de sen u y cos ,u se puede reducir a una función

racional de z mediante la sustitución tg .12

z u=

Con la finalidad de obtener la fórmula para senu y cosu en términos de z se utilizan las

identidades siguientes: sen sen cos1 12 2

2u u u= y cos cos .2 12

2 1u u= −

Entonces se tiene,

sen sen cos

sen cos

cos

tgsec

tg

tag

1 12 2

21 12 2

12

12 2 1

2

12

2 12

2

2

2

12

2

1

2

1

u u u

u u

u

uu

u

u

z

z

=

=

=

=+

=+

cos cos

sec

tg

2 12

2 12

12

2

2

2

2 1

21

21

1

21

1

1

1

u u

u

u

z

z

z

= −

= −

= −+

= −+−

=+

Como tg ,12

z u= entonces, ( ) ( )sec tg ,2 21 1 1 1 12 2 2 2 2

1 1dz u du u du z du= = + = + por lo tanto,

.2

2

1

dzdu

z=

+

Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.

Teorema.

Si tg ,12

z u= entonces, se verifican las siguientes igualdades, las cuales pueden ser usadas

para la integración de funciones racionales de seno y coseno:

sen , cos y .z z dx

u u dxz z z

−= = =

+ + +

2

2 2 2

2 1 2

1 1 1

Lic. Eleazar J. García

Ejercicios resueltos.

1) Evalúe sen cos1

dx

x x+ −∫

Solución.

Haciendo el cambio sen , cos , ,2

2 2 2

2 1 2

1 1 1

z z dxu u dx

z z z

−= = =

+ + +entonces,

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

sen cos

Descompongamos en fracciones simples :

2

2 2

2 2

2

1

1 12 11

1 1

1

1

1 11 1

1 1 1 1

1 1 1

dz

dx dz dzz

x x z zz z z z

z z

z z

A B A Bz z z z

z z z z z z z z

A z Bz A B z A

A B

+= = =+ − +− +

+ −+ +

+

= + ⇒ + = + + + + + +

⇒ = + + ⇒ = + +

+⇒

∫ ∫ ∫ ∫

( )

( ) ( )

y

Luego,

ln ln ln ln

tgln ln ,

tg

Por lo tanto :

tgln

sen cos tg

1 2 1 2

12

1 2 1 212

12

12

01 1

1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

A BA

dz dz dzdz

z z z z z z

z C z C C z z C C

xzC C C C C C

z x

xdxC

x x x

=⇒ = = −

=

= − = − + + +

= + − + + + = − + + −

= + − = + = −+ +

= + ◊+ − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Lic. Eleazar J. García

2) Calcule sec x dx∫

Solución.

Puesto que, sec ,cos

dxxdx

x=∫ ∫ y sec , ,

cos

2

2 2

1 1 2

1 1

z dxx dx

x z z

+= = =

− + entonces:

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

sec

Descomponer : en fracciones simples :

y

2

2 2 2

2 2 21

1 11 1 1

2

1 1

2

1 1 1 1

21 1 1 1 2 1 1

1 1 1 1

0

22

2 2 1 1

dz dz dzzx dx

z zz z z

dz

z z

A B

z z z z

A Bz z z z A z B z

z z z z

A B

A BA B z A B

A A B

+ = = = − +− + −

− +

= + ⇒− + − +

− + = − + + ⇒ = + + − − + − +

− =+ =⇒ = − + + ⇒

= ⇒ = =

∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

( ) ( )

( )( )

Luego,

ln ln

ln ln ln ln

ln tg

Por ende :

sec ln tg

1 2

2

1 2 1 2

2 12

2 12

2 1 1

1 1 1 1

1 11 1

1 1 1 1 1

1

1

dzdz

z z z z

dz dzz C z C

z z

z z C C z z C C z C

x C

xdx x C

= + − + + −

= + = + + + − ++ −

= + + − + + = + − + + = − +

= − +

= − + ◊

∫ ∫

∫ ∫

∫

Lic. Eleazar J. García

3) Evalúe sen cos4 3

dx

x x−∫

Solución.

Haciendo el cambio sen , cos , ,2

2 2 2

2 1 2

1 1 1

z z dxu u dx

z z z

−= = =

+ + +entonces:

( ) ( )

( ) ( )

( )

sen cos

ln

ln ln ln ln

tln ln

2

22

2 2

31 1 115 5 5 5

1 1 1 1 1 1 12 1 1 25 5 5 5 5 5 5

1 1 1 11 25 5 5 5

2

2 21

4 3 3 1 33 8 32 14 3

1 1

3 13

3 3 1 3 1

3 3 1 3 3 1

3

3 1

dz

dz dzdx z

x x z zz zz z

z z

d zdz dzz C

z z z

z z C C z z C C

zC C

z

+= = =− + −− − − − + +

+= − = − + −

− + +

= − − + + + = − − + + −

−= + − =

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )( )

( )( )

g,

tg

Por consiguiente :

tgln

sen cos tg

2 1 11 25 5

2

215

2

3

3 1

3

4 3 3 1

x

x

x

x

C C C C

dxC

x x

−+ = −

+

−= + ◊

− +∫

Resuelva :

sen cos) ) ) ) sen ) csc

sen sen cos cos

cotg sen cos) ) ) ) )

sen tg sen sec cossen

se) ) )

sen sen

2

1 2 3 4 52 1 1

6 7 8 9 103 2 5 4 11

11 12 131 2 5 3

x xdx dxdx x dx x dx

x x x x

dx x x dy xdx dx dx

x x x y xx

dx dx

x x

+ + + −

+ + + ++

− +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

Ejercicios propuestos.

n) )

cos sen cossen214 15

2 11

x dx dx dx

x x xx − + −+∫ ∫ ∫

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2223

21 12 4 2 2 2

2 1221

3 4 2 12

1 45

2 tg 11) arctg 2) ln 1 tg 3) cos ln 1 cos

3

4) 2sen 2 cos 5) ln tg 6) sec ln tg

tg 3 2 2sen7) ln 8) ln

3 2sen tg 3 2 2

9)

Respuestas de ejerciciospropuestos.

x

x

x x x

C C x x C

x x x C C C

xxC C

x x

y

+ + + + + − +

− + + − + +

+ −+ +

+ + +

+( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

( )

2 2 23

15 2 2

22 2

2

2 221 22 4 232

2

2

2

3cos sen tg 2 3ln 10) tg 11) ln

tg 2 33cos sen

5 tg 3 tg 3 2 212) arctg 13) ln 14) arctg 3tg

4 tg 3 2 2

tg15) ln

tg 1

y y x

x

y y x

x x

x

x

x

x

C x C C

C C C

C

− − −+ − + +

− ++

+ + − + + + + +

++