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Integracin de Funciones racionales

Autor: Cabrera R. Luis M.

Unidad Curricular: Matemtica II

Seccin: CBI-2S-02M

Octubre de 2012

Integracin de Funciones racionales

Sea la integral de un polinomio (P(x)/Q(x) )dx

Una integral de Funciones racionales donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio de Q(x), se aplica el m{etodo de fracciones parciales:

Caso I:

Q(x) se factoriza en factores lineales que no se repiten

(dx/(x-4)) se puede expresar como (dx/((x-2)(x+2))

y as como

(1/((x-2)(x+2)) dx para posteriormente separar cada uno de sus factores un mas expresiones racionales (en este caso dos fracciones) mas sencillas de integrar, y cada una de esas fracciones estarn dada con dividendos indeterminado que se calculara igualando la expresin original.

1/((x-2)(x+2) = A/(x-2) + B/(x+2)

donde al simplificar la ecuacin resolviendo la suma de fracciones del segundo miembro y multiplicando por el denominador comn se obtiene

1=A(x+2) +B(x-2)

resolviendo en modo de sistema de ecuaciones

1=Ax+2a+Bx-2b

1=Ax+Bx+2A-2B

1=(A+B)x+2A-2B

0=(A+B)

1=(2A-2B)

0=2A+2B

1=2A-2B

___________

1=4A

A=1/4

0=A+B

0=1/4 +B

B= -1/4

Tambin se puede dar valores a X con el objetivo de que A B se hagan iguales a 0 para obtener el valor de las incgnitas.

1=A(x+2) +B(x-2)

si X=2

1=A(4) +B(0)

A= 1/4

si x=-2

1=0 + B(-4)

B=-1/4

reescribiendo la integral

(dx/(x-4)) = (1/4)/(x-2) dx - (1/4)/(x+2) dx

integrando por cambio de variable o completando la integral el resultado ser:

(1/4)lnIx-2I (1/4)lnIx+2I + C

Cuando hay mas de un termino al factorizar la expresin Q(x) en el denominador.

(x-1)/(x-x-2x) dx

Factorizando

(x-1)/x(x-2)(x+1)

Aplicando el mtodo de fracciones parciales

(x-1)/x(x-2)(x+1) = A/x +B/(x-2) + X/ (x+1)

realizando las operaciones necesarias para simplificar denominadores.

(x-1)=A(x-2)(x+1) +B(x)(x+1) + C(x)(x-2)

x-1= (A+B+C)x + (-A +B -2C)x + (-2A)

0=A+B+C

1=-A+B-2C

-1=-2A

A= 1/2

Resolviendo el sistema de ecuaciones

0= A+B+C

1=A+B-2C

___________

0=2A+2B+2C

1=-A+B-2C

1=A+3B

1=1/2 +3B

B= 1/6

0=1/2 + 1/6 +C

c= -2/3

Por lo tanto la integral puede escribirse

(x-1)/(x-x-2x) dx = (1/2)/x +(1/6)/(x-2) + (-2/3)/(x+1)

Como en el caso anterior , esta vez el resultado sera una funcin logartmica.

(1/2)lnIxI + (1/6)lnIx-2I - (2/3)lnIx+1I +C

Caso II

Q(x) se factoriza en factores lineales que se repiten

(2x)/(x+1) dx

2x/(x+1) = A/(x+1) + B/(x+1)

se observa que la integral tendra tantos terminos como el grado de Q(x) aumentando en 1 grado por cada termino con coeficiente en el dividendo indeterminado.

2x(x+1)=A(x+1) + B(x+1)

2x= A(x+1) + B

2x= Ax + A + B

2x=Ax + (A+B) A=2

0=A+B 0=2+B B=-2

entonces la integral (2x)/(x+1) dx podr expresarse como:

(2)/(x+1) dx +-2/(x+1) dx

siendo esta una expresion mas sencilla de integrar, dando como resultado:

2lnIx+1I +2/(x+1) + C

Caso 3:

Se Factoriza en factores cuadrticos que no se repiten:

x/(x-1) dx --> x/(x) -1 dx --> > x/(x-1)(x+1) dx

los valores de los trminos se tomaran de la siguiente manera:

> x/(x-1)(x+1) dx = (Ax+B)/(x-1) +(Cx+D)/(x+1)

simplificando

x =Ax+B(x+1) + (Cx+D)(x-1)

x=(A+C)x+(B+D)x + (A-C)x + (B-D)

Resolviendo sistema de ecuaciones

0=A+C

1=B+C

0=A-C

0=B-D

0=A+C

0=A-C

---------

0=2A

A=0

1=B+D

0=B-D

----------

1=2B

B= 1/2

0=A+C

0=0+C --> C=0

1=B+D

1=1/2 + D

D=1-1/2

D=1/2

Por lo tanto

x/(x-1)(x+1) dx

= (Ax+B)/(x-1) +(Cx+D)/(x+1) dx

= (1/2)/(x-1) dx +(1/2)dx/(x+1)

y al resolver las integral sera igual la expresin anterior a:

(

(1/4)lnI(x-1)/(x+1)I + (1/2) arctgx + C