1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss. Después,

• Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.

Sustancia 1 Sustancia 2 Sustancia 3 Total en litros

2 2 1 4.5

4 6 3 12

0 1 3 8

6 9 7 24.5

2. Las ecuaciones quedarían de la siguiente manera:

3. 2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5

4. 4S1 + 6S2 +3S3 = 12

5. 0S1 + 1S2 + 3S3 = 8

6.

7. Se representaría matricialmente de la siguiente manera:

8. A = (2 2 14 6 30 1 3) b=(4.5128 )

9. El resultado es la siguiente matriz aumentada

10. A|b =(2 21 ⋮ 4 .54 63 ⋮ 120 13 ⋮ 8 )

Método de Gauss:

2S1 + 2S2 +1S3 = 4.5

4S1 + 6S2 +3S3 = 12

0S1 + 1S2 + 3S3 = 8

Primero generamos la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:

A = (2 21 4.54 63 120 13 8 )

A = (2 21 4.54 63 120 13 8 ) F2 – (2) F1 F2

(2 21 4.50 21 30 13 8 ) (2)F3 – F2 F3

Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:

(2 21 4.50 21 30 05 13 )

Se despeja z

5z =13 z =135

z= 2.6

Despejando z

2y +z= 3 2y+2.6= 3 Y=3−2.62

=0.42

Y=0.2

Despejando x

2x+2y+z= 4.5 2x+2(0.2)+2.6=4.5 X=4.5−2(0.2)−2.6

2

X=4.5−0.4−2.6

2 X= 0.75

1. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda

y tercera

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros

A resolver por el método de Gauss Jordan:

A = (2 21 4.54 63 120 13 8 )

A = (2 21 4.54 63 120 33 8 ) F2 – (2) F1 F2

(2 21 4.50 21 30 13 8 ) (2)F3 – F2 F3

(2 21 4.50 21 30 05 13 ) (1/2) F1

(1 11/2 2.250 21 30 05 13 )(1/2) F2

(1 11/2 2.250 11/2 1 .50 05 13 )F1 - F2

(1 00 0.750 11/2 1 .50 05 13 ) (1/5) F3

(1 00 0.750 11/2 1 .50 01 2 .6 ) - (1/2) F3 +F2 F2

(1 00 0.750 10 0 .20 01 2 .6 )

Por lo tanto las cantidades en litros de las sustancias son las siguientes:

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 0.2 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 2.6 litros

• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

Sistema de ecuaciones:

2X + 2Y + Z = 4.5

4X + 6Y + 3Z = 12

1Y + 3Z = 8

Procedemos a una solución alternativa solicitada:

Despejamos Z de ecuación 1

Z = 4.5 – 2X – 2Y

Sustituimos el valor obtenido en la ecuación 2 y 3

4X + 6Y+ 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 12………. (2)

Y + 3 (4.5 – 2X – 2Y) = 8………………. (3)

4X+ 6Y+ 13,5 -6X – 6Y =12…… (2)

Y + 13,5 -6X -6Y =8………. (3)

-5Y- 6X + 13.5 =8

-2X + 13.5 = 12

-5Y- 6X = 8 – 13.5

-2X =12 – 13,5

-5Y- 6X = -5.5

-2X =12 – 13,5

-5Y = - 5.5+ 6(0.75)

X = 1.52

-5Y= -1

X= 0.75

-5Y= -5.5 + 4.50

Y= 15

Y = 0.2

Z = 4.5 – 2X – 2Y

Z= 4,5 - 2(0.75)- 2(0.2)

Z=4.5 - 1.50 - 0.4

Z= 2.6

2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en

que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una

superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calibra, 1/2 kilo

de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3

de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que

impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15

salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50

centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos

5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que

impermeabilizaron?

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que

se mencionan en el problema.

2. Representa el sistema mediante su forma matricial.

3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de Gauss-Jordan.

4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en el

foro Planteamiento del problema.

5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2

Modelo general de ecuaciones:

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s6 + (1/2)1 = 1

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (1/6) s6 + 6.5 = 1

Sistema de ecuaciones ya con una constante de 6.5 equivalente a los 2 datos

conocidos s5 y s7 y se relacionan los metros con costo en las ecuaciones solo van

cambiando los coeficientes según los metros cuadrados que se impermeabilizara por

cada sección.

Biblioteca:

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

Auditorio :

50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) s7 = 1525

3: 15 salones de 20 mts cada uno =300 mts

300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150

20 cubículos

35----------------1067.5

X------------------5490

X=180

180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) =

5490

La dirección de la escuela:

35(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5

Quedaría un sistema con 5 ecuaciones y 5 incógnitas:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5

Continuamos simplificando más las ecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 = 960

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 = 1200

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 = 7200

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 = 4320

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 = 840

Matricial:

Matriz a b c d f

Biblioteca 20 20 40/3 20 20/3 1050

Auditorio 25 25 50/3 25 50/6 1312.5

Salones 10 10 20/3 10 20/6 525

Cubículos 9/2 9/3 9/2 9/6 336.25

Dirección 35/2 35/2 35/3 35/2 918.75

La matricial quedaría así.

Método de gauss

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 1220

25 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525

150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 9150

90 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 5490

17.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5

17.5 17.5 11.66 17.5 5.8.3 227.5 1067.5

25 25 16.66