8/16/2019 Integ Linea Plano Espacio

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Problemas Propuestos

Calcular la integral de línea de los siguientes ejercicios

1. Calcular la integral

( )C 

 x y ds−∫ , donde C es la circunferencia

2 2 x y ax+ =

2. Calcular la integral

C 

dsds

 x y−∫ , donde C es el segmento de recta

12

2 y x= −

 desde el

 punto

(0, 2) A   − hasta

(4,0) B

.

3. Calcular

2 2

C  x y ds+∫ 

, donde C es la circunferencia

2 2 x y ax+ =

4. Calcular

4 4

3 3

C  x y ds+∫ 

, donde C es el arco del astroide

2 2 2

3 3 3 x y a+ =

5. CalcularC 

 y ds∫ , donde C es el arco de la lemniscata

2 2 2 2 2( ) ( ) x y a x y+ = −

6. Calcular

2

C  y ds∫ 

, donde C es el primer arco de la cicloide

( ) ( ) , ( ) (1 cos ) x t a t sen t y t a t = − = −

7. Calcular la integral

2 2 4C 

dsds

 x y+ +∫ , donde C es un segmento de recta ue une los

 puntos

(0, 0) (1, 2)yO A= =

!. Calcular el "alor de la integral

l 

dsds

 x y+

∫ donde

l es el rom#o con "$rtices

(1, 0) A =,

(0,1) , ( 1,0) , (0, 1) B C D= − −

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%. Calcular la integral L

 xyzds∫ , donde & es la intersecci'n de las superficies

22 2 2 2 2 2,

4

 R x y z R x y+ + = + =

, situado en el primer octante.

10. CalcularC 

 xzdx xdy yzdz + −∫ a lo largo de la cur"a

1 2 3C C C C  = ∪ ∪

, donde1C 

es un

arco de circunferencia con centro en

(0,0,0)

ue parte en

(0,0,1)

termina

(1,0,0)

,2C 

es

un segmento de recta ue parte de

(1,0,0)

 hasta

(0,1,0)

3C 

tam#i$n es un segmento de

recta ue parte en

(0,1,0)

termina en

(0,1,1)

.

11. Calcular

.dr ∫ l

Ñsi

( , , ) ( , , ) F x y z xy yz xz =

l

es la intersecci'n de las superficies

2 2 1 1y x y x y z + = + + =recorrida en sentido antihorario "ista desde la parte superior 

de z 

.

12. Calcular

( *)d+ (+ *)d (+ )d*+ + + + +∫ l

Ñ  donde

l

es la cur"a de intersecci'n del

cilindro

2 2 2 x y y+ =

 con el plano

 y z =.

13. allar la masa total del alam#re cua forma es la de la cur"a

 y x=

, con1 1 x− ≤ ≤

, si la

densidad de cada punto - de $l es igual al "alor a#soluto del producto de las coordenadas

del punto.

14. allar la masa de un fragmento de la lnea

ln y x=comprendido entre los puntos cuas

a#scisas son1 2, x x

si la densidad de la lnea en cada punto es igual al cuadrado de la

a#scisa del punto

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15. allar la masa del arco de lnea

( ) cos , ( ) ,t t t  x t e t y t e sen t z e= = =desde el punto

correspondiente a0t  =

, hasta el punto cualuiera si la densidad del arco es

in"ersamente proporcional al cuadrado del radio polar (

2 2 2

r x y z  = + + ).

16. allar el centro de masa de una pie*a de alam#re de densidad constante enrollada en la

forma de la h$lice

( ) (4 cos , 4 , 3 ) , /0, r t t sen t t t     π  = ∈

17. allar el centro de masa (centro de gra"edad) de la primera semiespira de la h$lice

( ) cos , ( ) ,   t  x t a t y t asen t z be= = =, considerando la densidad constante.

1!. n o#eto recorre una elipse

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ =en sentido antihorario se encuentra

sometido a la fuer*a

( , ) ( , )2 2

 y x F x y   = −

. allar el tra#ao reali*ado.

1%. Calcular el tra#ao ue reali*a el campo de fuer*as

2 2( , , ) ( 2 , 3 , 2 4 ) F x y z x y z x y z xz y= − + + + −al mo"er una partcula alrededor de la

cur"a cerrada

22 1 , 2

4

 x y z + = =

en sentido antihorario.

20.Calcular el tra#ao ue reali*a la fuer*a

2 24 2( 1) 4( , , ) ( , , )

( , ) ( , ) ( , )

 xy x y xyz  F x y z 

 A x y A x y A x y

− −= −

,

donde

2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 ( 1) A x y x y y x y= + − + − + − para mo"er una partcula alrededor de

la circunferencia

2 2

2 0 , 0 x y x z + − = =.