INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍA -...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

EMILIANO GARCÍA Girardota –Antioquia

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RECORDEMOS QUE… Los productos Notables son polinomios que se obtienen de la

multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales. Cumplen

ciertas reglas fijas y por lo tanto su resultado puede se escrito por simple inspección sin

necesidad de efectuar la multiplicación.

CONSULTA CUÁLES SON LOS PRODUCTOS NOTABLES…….

1. Área MATEMÀTICAS Grado: Octavo

Educador: Mauricio Salazar Periodo: 2

Eje temático: Sistemas Numéricos

Tiempo estimado: 10 Semanas

2.

ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Productos Notables Triángulo de Pascal. Introducción a la factorización

Aplica los productos notables en la simplificación de operaciones con polinomios. Resuelve productos notables utilizando geometría Utiliza el triángulo de pascal para desarrollar suma binomios con exponente natural.

Resolver operaciones con polinomios donde se utilicen los productos notables. Utilizar áreas para calcular algunos productos notables. Resuelve potencias enteras de suma y resta de binomios utilizando el triángulo d e pascal.

3 PRESENTACIÓN Ahora vamos a iniciar el estudio de los productos notables.




4. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para llevar a cabo el estudio de las temáticas deberás saber resolver:

- Operaciones con Números Fraccionarios.

- Leyes de la potenciación de números reales.

- Simplificación de términos semejantes

EJERCICIOS DE ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS….

A) Sumar a – b, 2a + 3b – c y – 4a + 5b.

B) Multiplica 32

a 2b por -

43

a 3m

C) Resolver 43 )2( ; 43 )2(− ; [ ]24)52(

RECORDAR QUE:…

EN LA SUMEN LA SUMEN LA SUMEN LA SUMA Y EN LA RESTA A Y EN LA RESTA A Y EN LA RESTA A Y EN LA RESTA NO SE ALTERANNO SE ALTERANNO SE ALTERANNO SE ALTERAN

LOS EXPONENTES DE LAS VARIABLESLOS EXPONENTES DE LAS VARIABLESLOS EXPONENTES DE LAS VARIABLESLOS EXPONENTES DE LAS VARIABLES

EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE

SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS

EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN

LAS MISMAS LETRAS.LAS MISMAS LETRAS.LAS MISMAS LETRAS.LAS MISMAS LETRAS.




5. PALABRAS CLAVES

Producto Notable,

Suma por Diferencia,

Cuadrado de la Diferencia,

Cuadrado de la suma, Factor común




6. DESARROLLO DEL NUCLEO TEMATICO

PRODUCTOS NOTABLES.

Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen

características especiales. Cumplen ciertas reglas fijas y por lo tanto su resultado puede se

escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

1. Cuadrado de una suma de dos términos.

( ) 222 2 bababa ++=+

Ej: (2x + y)2 = (4x

2 + 4xy + y

2 )

2. Cuadrado de una diferencia de dos términos.

( ) 222 2 bababa +−=−

Ej: (x + 2y)2 = (x2

- 4xy + 4y2)

3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.

( )( ) 22 bababa −=−+

Ej: (x + 3) (x - 3) = (x2 - 32)

Actividades: REALIZAR DEL TEXTO DE BALDOR 2 EJERCICIOS DE CADA

PRODUCTO NOTABLE.




PRODUCTOS NOTABLES CON GEOMETRIA

El cuadrado de la suma…

Se obtienen las áreas de cada una de las figuras in ternas y se forma la siguiente figura

( ) 222 2 bababa ++=+

Esta fórmula quiere decir que el cuadrado de una

suma de dos números es igual a l c ua dra d o d e l

primero, mas dos veces el producto del primero

por el segundo, más el cuadrado del segundo

( ) ???2 =+ba




a

a - b

b

a + b

a - b

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Suma por diferencia

.

Realiza 4 ejercicios del Texto de Baldor sobre productos Notables, utilizando las ideas

geométricas




RESUMIENDO




TRIÁNGULO DE PASCAL .

Útil para hallar los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Ejemplo. Desarrollar (x 2 - 3y 5 )6 por el Triángulo de Pascal.

SOLUCIÓN…

Se forma el triángulo hasta la fila horizontal donde después del 1 viene el 6, o sea:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1




Al tomar los coeficientes de esta última fila tenemos:

( x 2 - 3y

5 )6 = ( x 2 )6 - 6( x

2 )5( 3y 5 ) + 15( x

2 )4( 3y 5 )2 - 20( x

2 )3( 3y 5 )3 + 15( x

2 )2( 3y 5 )4 –

6(x 2 )(3y

5 )5 + (3y 5 )6 = x

12 - 18x 10

y 5 + 135x

8y

10 - 540x 6y

15 + 1215x 4y

20 - 1458x 2y

25 +

729y

EJERCICIOS

Utilizando el triángulo de Pascal, hallar las siguientes potencias:

a) 3)2( yx− b) 5)( yx+ c) 3)2

1( t+

Si el producto de dos enteros a y cb es , entonces cba de factoresllaman se y .

De manera similar, x xx 32 defactor es 2 + , puesto que podemos escribir

).x x(x x 3232 2 +=+

El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se llama

factorización.

Los 9 principales casos de factorización a tratar en el presente apartado son:

1. Factores en común

2. Agrupación de términos semejantes

3. Trinomio cuadrado perfecto

4. Trinomio cuadrado perfecto con adición o sustracción

5. Cubo perfecto de un binomio

6. Trinomio de la forma c bx x ++2




7. Trinomio de la forma c bx ax ++2

8. Diferencia de cuadrados perfectos

9. Suma o diferencia de cubos perfectos

1.- FACTOR COMUN

FORMA DE FACTORIZAR:

1. Se descompone cada uno de los términos en sus factores primos.

2. Se forma un monomio con sus factores primos comunes a todos los términos

de la expresión

3. Se multiplica ese monomio por un polinomio compuesto de cada uno de los

términos de la expresión algebraica original entre el monomio obtenido.

EJEMPLOS:

=+ x x 22

x x

x.x x

22

2

==

Factores comunes a los dos términos: x

) x(x x x 222 +=+

xxxx x

x x

xx x

x x - x·

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅=

=+

3515

55

5210

415510

4

2

2

Factores comunes: 5, x

)x x - x( x x - x 342 312515510 +=+




yyx xy

y y

xy y ·

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

=+

52220

5210

2010

2

2

Factores comunes: , y, 52

xy) y( xy y 21102010 2 +=+

yyyyxx yx

yyxaa xya

yx- xya

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

=

223336

222324

3624

42

22

4222

Factores comunes: 3, 2, 2, x, y, y

)xy- a(xy yx- xya 2224222 32123624 =

c) b a c) - ( ba x(

a - b - c c) - ba x(

++++=++

22

22

Factor común: c) b a ( ++2

) c) (x - ba (a - b - c c)- ba x( 1222 ++=++

EJERCICIOS: Factorizar

mn nm mn m

xb zyx z yx

x cx x

x - yx

xx

=−+−

=−+=−+

==+

3232

2323232

23

332

2

24151295.

220110554.

52153.

70352.

1.




2.- AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

FÓRMULA:

.... ) y b) (x (a

b) y(a ... b) x(a

by) (ay ... bx) (ax ... by ay ... bx ax

+++=++++=

++++=+++++

FORMA DE FACTORIZAR:

*Para el caso particular de: by ay bx ax +++

1. Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos tienen el

factor común y

2. Se agrupan los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en

otro precedido por el signo “+” en este caso, por que el signo del tercer término

es positivo .

3. Se separa de cada paréntesis el factor común de los términos incluidos en él.

4. Se multiplican las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de

sacar el factor común, por la suma algebraica de los factores comunes.

5. La agrupación a que se refiere el punto 2) puede hacerse generalmente de más

de un modo, siempre y cuando:

• Los dos términos que se agrupan tengan algún factor común.

• Las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el

factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.

Ejemplos:

) y) (x (x

y) (x y) (x x

y) x (y) x (xy x y x x

42

242

842842

2

2

2323

++=+++=

+++=+++

) b ) (a - (

)a - ( ) a - b(

)a - (b) ab ( a b ab

4214

144142

4162841628·

+=+=

+−=+−




) ) (ab (b -

)(b - ) ab (b -

)b- (ab) - (ab ab- b - ab

37

737

21372173 22

+=+=

+=+

y)x - ) ( (x -

)y(x- ) - x(x-

y)xy- x) - (- x (y x xy - - x

322

2322

63426432 22

==

=+

EJERCICIOS: Factorizar

=++

=+++=+

=+=+++

xy ny- nz- xz nx- x

ab c b ac b a

amy bm - b ay - a

b b- a - ab

bx mx mb m

222223

3222

23

222

2

12624245.

2224.

33443.

2.

1.

y)) (x - x- ax (a

y)(x xy) y)- ax(x- (x - a

y)x- (xaxy) - y) - (axax - (ay x - xaxy y a- x - ax·a

2

222

2222322

22

22

232222222

+=+=

+=++




7. EVALUACIÓN

Actividad Metodología Valoración Fecha Trabajo en grupo

- Realización de talleres - Participación en juegos

20% Continuamente

Trabajo individual

- Sustentación de ejercicios. - Revisión de cuaderno - Participación en juegos - Participación en clase

40%

Continuamente

Trabajo individual

- Responsabilidad - Material para la clase - Trato a los compañeros - Atención y compromiso en clase - Participación en semilleros, grupos

de estudio. - Autoevaluación formativa - Creatividad

40%

continuamente

8. BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA

Guías de Aprendizaje diseñadas por el docente

• BALDOR,A. ALGEBRA. ED Publicaciones Cultural.

- http://www.pnte.cfnavarra.es/iesmarci/departamentos/matematicas/ejercicios/8.pdf

OBSERVACIÓN GENERAL----

- Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica, allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y

demás actividades que se diseñen: www.matematicacentral.blogspot.com

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