iniciacion bivariada

2010 www.entretencionx1000.cl

Estadística Descriptiva

Bivariada

Nivel de Iniciación

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

2

Estadística Bivariada



3



1. Las notas que obtuvieron 30 alumnos en el examen parcial (X) y en el examen final

(Y) de matemática fueron las siguientes:

Formar la tabla estadística de doble entrada.

X Y

6 4

4 5

3 2

4 7

3 6

5 4

5 5

4 6

3 7

2 4

6 6

5 3

5 5

7 6

X Y

1 4

3 5

7 5

4 6

6 7

7 7

3 2

2 3

1 3

5 3

5 4

4 5

6 7

5 3

7 6


4



Solución:

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2 | | 2

3 | 1 | 1 | | | 3

4 | 1 | 1 | | 2 | 1

5 | 1 | | 2 | | 2 | 1

6 | 1 | | 2 | 1 | | 2

7 | 1 | 1 | | 2 | 1


5



2. Representar el diagrama de dispersión correspondiente a las notas entregadas de 20

alumnos en las asignaturas de química y lenguaje:

Solución:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10Q

L

Química

(Q)

Lenguaje

(L)

4 6

6 4

3 7

5 3

7 5

6 3

3 5

5 6

2 6

4 7

Química

(Q)

Lenguaje

(L)

3 5

4 6

7 5

2 5

5 7

6 3

4 4

5 2

6 5

3 3


6



3. Representar gráficamente las siguientes observaciones realizadas con las

temperaturas que hubieron durante el año:

Meses Temperaturas

Enero 33

Febrero 31

Marzo 29

Abril 25

Mayo 20

Junio 12

Julio 9

Agosto 10

Septiembre 16

Octubre 21

Noviembre 26

Diciembre 30


7



Solución:

T

e

m

p

e

r

a

t

u

r

a

s

0

5

10

15

20

25

30

35

E F M A M J J A S O N D

Meses

4. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 hombres adultos:

Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.

Edad (X) 34 47 73 29 40 37 68 77 43 54

Pr. Sanguínea

(Y)

110 127 161 98 122 115 150 154 146 120


8



Solución:

Sabemos que:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )

34 110 -16,2 -20,3 262,44 412,09 328,86

47 127 -3,2 -3,3 10,24 10,89 10,56

73 161 22,8 30,7 519,84 949,49 699,96

29 98 -21,2 -32,3 449,44 1043,29 684,76

40 122 -10,2 -8,3 104,04 68,89 84,66

37 115 -13,2 -15,3 174,24 234,09 201,96

68 150 17,8 19,7 316,84 388,09 350,66

77 154 26,8 23,7 718,24 561,69 635,16

43 146 -7,2 15,7 51,84 246,49 -113,04

54 120 3,8 -10,3 14,44 106,09 -39,14

TOTAL 2621,6 4014,1 2844,4


9



5. Utilizando los datos entregados en el ejercicio 4, calcular el coeficiente de

correlación. ¿Existe realmente una tendencia lineal?

Solución:

Como: r = yX

XY

SS

S

Los promedios correspondientes a las variables X e Y son:

2.50X

3.130Y

Para encontrar los coeficientes, necesitamos la covarianza y la varianza

833.75

085.1)(

),cov(

es.coeficient los de

valor elsaber para principalecuación laen reemplazar queda nos Solamente

16,262)(

44.284),cov(

:resulta nosanterior tablalaen sencontrado valoreslos ecuaciones lasen reemplazar Al

1)(

1),cov(

1

2

1

XaYb

XV

yxa

XV

yx

XXn

XV

YXYXn

yx

n

i

i

n

i

ii


10



Tenemos que:

X = 50,2 Y = 130,3

Al reemplazar resulta:

877,0081,129918

40,316

9

1,4014

9

6,2621

94,2844

r

877,0r

Existe correlación directa alta

6. Se toma una muestra de 100 pinos piñoneros, observando en cada árbol, su altura

(x) y el número de (Y) de nidos que lo pueblan

Y

X 1 2 3 4

[50-100[ 3 5 8 7

[100-150[ 2 10 20 4

[150-200[ 4 3 9 5

[200-250] 1 4 14 1


11



Determinar la covarianza ( xyS )

Solución:

Y

X

1 2 3 4 in

[50-100[ 3 5 8 7 23

[100-150[ 2 10 20 4 36

[150-200[ 4 3 9 5 21

[200-250] 1 4 14 1 20

jn 10 22 51 17 N=100

25,125,327326

326100

1

25,327

:resulta nos covarianza de formula laen reemplazar

25,327

75,2

119

:que Sabemos

4

1

4

4

11

1111

11

xy

i j

ijji

xy

xy

S

nYXa

aYXaS

Al

YX

Y

X

YXaS


12



7. En 1000 operaciones de venta, un concesionario observo las ventas realizadas de

autos relativos al color del auto (X) y a la forma de pago (Y), analizar la

independencia de estas variables.

X

Y Rojo Blanco Plomo Azul

Contado 180 240 144 36

Crédito 120 160 96 24

Solución:

X

Y Rojo Blanco Plomo Azul in

Contado 180 240 144 36 600

Crédito 120 160 96 24 400

jn 300 400 240 60 N=1000

Las variables X e Y son independientes, ya que para cualquier valor de

i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3, 4 sucede que:

N

nnn

ji

ij

Por ejemplo: 180

300600180

18011

1111

n

nnn


13



8. Determinar si existe dependencia lineal entre la cantidad de lluvia y los grados de

temperatura en base a las siguientes observaciones.

Solución:

Lluvia

(L/ 2m )

Temperatura

(grados )

13.2

19.5

8.2

21.1

14.5

30.1

15.3

22.1

11.8

25.2


14



Solo observando la nube de puntos, sin necesidad de cálculo, nos permite asegurar que la

cantidad de lluvia y los grados de temperatura son independientes.

9. En 100 operaciones de venta, un concesionario de Peugeot observa los siguientes

datos relativos al color del auto (x) y la forma de pago (y). Analizar la

independencia de las variables x e y.

Café Verde Negro Burdeo

Contado 3 9 12 6

Crédito 11 21 16 22

Solución:

Café Verde Negro Burdeo n i

Contado 3 9 12 6 30

Crédito 11 21 16 22 70

n j 14 30 28 28 N=100


15



Las variables x e y no son independientes, ya que en la tabla de correlación no sucede que:

n ij = N

nn ji

Por ejemplo:

n 11 = 3 100

1430 = 4,2

Gráficamente

10. Sea la distribución bidimensional

Y

X

1 2

3 4 12

4 1 3


16



Comprobar si las variables X e Y son independientes:

Solución:

Son independientes ya que:

Y

X

1 2 n i

3 4 12 16

4 1 3 4

n j 5 15 20

Es n20

ji

ij

nn

4 = 20

165

4 = 4


17



11. Sea la distribución bidimensional:

X

Y

Negro Rubio

Hombre 2 4

Mujer 3 6

Determinar si las variables X e Y son independientes:

Solución:

Son independientes pues:

Y

X

Negro Rubio n i

Hombre 2 4 6

Mujer 3 6 9

n j 5 10 N=15

n15

ji

ij

nn

2 = 15

65

2 = 15

30 = 2


18



12. Sea la distribución bidimensional del color de pelo X y la edad Y de la familia:

Años

Pelo [10-20[ [20-40[ [40-80]

Rubio 2 0 3

Moreno 1 4 1

Castaño 2 1 2

Determinar cuál es la edad más frecuente:

Solución:

El intervalo modal de “X” es 10-20 pues es el de mayor densidad de frecuencia

d )/( 1 iiii LLn

Años [10-20[ [20-40[ [40-80]

n i 5 5 6

d i 0,5 0,25 0,15

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 20)1020(25,00

25,0100

M 200


19



13. Sea (X; Y) una variable estadística bidimensional, siendo incorreladas “X” e “Y”,

Sean U=2 3 X y V= (2 5/)1Y :

Determinar si U y V son incorreladas:

Solución:

Si U = 1

1

B

AX y V=

2

2

B

AY ,

Es S 021

BB

S xy

uv (si X e Y son incorreladas)

U y V son incorreladas.


Y

X 0 1

-1 1 0

0 0 1

1 1 0

Verificar si X e Y son independientes:


20



Solución:

No son independientes ya que n 3/)( jiij nn y S 0xy

Y

X

0 1 n 1

-1 1 0 1

0 0 1 1

1 1 0 1

n j 2 1 N=3

0X

00 1111 YXaS xya


21



15. Sea:

Y

X

10 20 30 40

0 1 2 0 1

1 4 5 6 1

2 2 0 3 4

3 1 3 2 5

Calcular la media de X condicionada a Y < 30

Solución:

Y<30

X

Frecuencia

0 3

1 9

2 2

3 4

388.118

25

4293

4322913030/

YX


22



16. Sea la distribución bidimensional del número de hijos “X” y la edad “Y” del cabeza

de familia en un conjunto de 25 familias:

Y

X 20-27 27-33 33-40

0 5 2 1

1 2 4 4

2 0 3 4

Cuando Y 33 que es lo que se da con mayor frecuencia.

Solución:

Y 33

X

Frecuencia

absoluta

0 7

1 6

2 3

De acuerdo a esto se puede decir que cuando el cabeza de familia no tiene más de 33

años, lo más frecuente es que no tenga ningún hijo.


23



17. Las ventas de una determinada entidad comercial presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

3500

3700

4100

4600

5200

5800

6000

Hallar la tendencia secular por el método de las medias móviles:

1º tomando un periodo de 3 años


Solución:

Los valores señalados por 1y son las medias móviles con un periodo de 3 años y por 2y los

correspondiente a un periodo de 5 años.


24



it iy 1y 2y

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

3500

3700

4100

4600

5200

5800

6000

-------

3767

4133

4633

5200

5667

-------

-------

-------

4220

4680

5140

-------

-------


25



18. Sea la distribución bidimensional del número “X” de hijos y la edad “Y” del jefe de

familia, en un conjunto de 40 familias:

Y

X

[25 – 30] ] 30-35] ]35-40] ]40-45]

0 5 3 1 0

1 2 4 3 1

2 0 4 3 4

3 0 3 4 3

Cuando Y 35 que es lo que se da con mayor frecuencia.

Solución:

Y 35

X

Frecuencia

absoluta

0 8

1 6

2 4

3 3

De acuerdo a esto se puede decir que cuando el cabeza de familia tiene menos de 35

años, lo más frecuente es que no tenga ningún hijo.


26



19. Sea la distribución bidimensional del color de ojos “X” y la edad “Y”:

Años

Ojos [5 – 15] ]15 – 30] ]30 – 60]

azul 3 1 0

verde 1 0 1

Café 5 4 6


Solución:

El intervalo modal de “X” es 10-20 pues es el de mayor densidad de frecuencia

d )/( 1 iiii LLn

Años [5 – 15] ]15 – 30] ]30 – 60]

n i 9 5 7

d i 0,9 0,3 0,2

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 73,17)1530(2,09,0

2,0150

M 73,170

La edad más frecuente es de 18 años.


27



20. Se toma una muestra de 95 casas, observando en cada casa, su superficie (x) y el

número de (Y) personas que la habitan.

Y

X 1 2 3 4 5

30 - 50 5 8 6 2 1

50 - 70 6 3 5 3 4

70 - 90 2 4 3 6 9

90 - 110 1 3 2 10 12

Determinar la covarianza ( xyS )

Y

X 1 2 3 4 5 in

20 5 8 6 2 1 22

40 6 3 5 3 4 21

60 2 4 3 6 9 24

80 1 3 2 10 12 28

jn 14 18 16 21 26 N=95

28,1525.,17153,186

53,18695

1

25,171

25,171

28,3

21,5295

2880246021402220

4

1

4

4

11

1111

xy

i j

ijji

xy

S

nYXa

aYXaS

YX

Y

X


28




Y

X 1 0

3 2 1

-2 1 0

4 3 4


Solución:

No son independientes ya que 11/)( jiij nnn

Y

X 1 0 n 1

3 2 1 3

-2 1 0 1

4 3 4 7

n j 6 5 N=11


29




Y

X 3 7

2 6 10

6 3 9


Solución:

No son independientes ya que:

Y

X 1 2 n i

3 6 10 16

4 3 9 12

n j 9 19 28

n28

ji

ij

nn

6 28

169

6 5,1


30



23. Las ventas de un supermercado presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1980 4300

1981 4600

1982 5100

1983 5700

1984 6400

1985 6900

1986 7200

1987 7500

1988 8000

1989 8400


Tomando un periodo de 2 años

Tomando un periodo de 4 años

Solución:

Los valores señalados con 1y son las medias móviles con un periodo de 2 años y con 2y

los correspondiente a un periodo de 4 años.

it iy 1y 2y

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

3500

3700

4100

4600

5200

5800

6000

-------

3600

3900

4350

4900

5500

5900

-------

-------

3975

4400

4925

5400

-------


31




Y

X Botella Lata

Fanta 4 4

Sprite 2 2

Determinar si las variables X e Y son independientes:

Solución:

Son independientes, ya que:

Y

X Botella Lata n i

Fanta 4 4 8

Sprite 2 2 4

n j 6 6 N=12

n15

ji

ij

nn

4 = 12

86

4 = 12

48

4 = 4


32



25. La tabla muestra la estatura y el peso de 15 niños:

Estatura

X (cm) 93 106 85 122 95 104 132 128 100 112 98 122 107 84 133

Peso Y 14

18 12 25 19 15 29 26 16 20 15 23 19 14 31

Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.

Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

108,066667X

19,7333333Y

Sabemos que:

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

Al reemplazar resulta:

),cov( yx 22166 – 2132,515559

),cov( yx 20033,5

0025,015

1)( XV = 0,00017

00017,0

5,20033a 117844117,6

b = 19,7333333 – 117844117,6 066667,108 = -12735020990


33



26. Sea:

Y

X 5 15 25 35

3 2 4 3 4

2 3 3 2 0

5 5 6 0 1

4 2 1 3 6


Solución:

Y<35

X Frecuencia

3 9

2 8

5 11

4 6

6,361189

64115829335/

YX


34



27. Utilizando los datos dados en la siguiente tabla, calcular el coeficiente de

correlación. ¿Existe realmente una tendencia lineal?

Solución:

Con 9,39X , 683,1Y

Tenemos que:

N° de

calzado 36 42 38 42 39 43 42 42 37 38

Estatura 1,63

1,75

1,65

1,72

1,60

1,82

1,75

1,74

1,57

1,60

X Y Xi - X Yi - Y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )

36 1,63 -3,9 -0,053 15,21 182,98 -52,76

42 1,75 2,1 0,067 4,41 7,44 5,73

38 1,65 -1,9 -0,033 3,61 3,71 -3,66

42 1.72 2,1 0,037 4,41 7,44 5,73

39 1,60 -0,9 -0,083 0,81 0,76 0,79

43 1,82 3,1 0,137 9,61 62,84 24,57

42 1,75 2,1 0,067 4,41 7,44 5,73

42 1,74 2,1 0,057 4,41 7,44 5,73

37 1,57 -2,9 -0,113 8,41 45,25 -19,51

38 1,60 -1,9 -0,083 3,61 3,71 -3.66

TOTAL 58,9 329,01 -27.65


35



2,024,239

07,3

9

01,329

9

9,58

965,27

r

2,0r Correlación negativa perfecta.


Y

X 10 23

12 4 6

5 10 8


Solución:


Y

X 10 23 n i

12 4 6 10

5 10 8 18

n j 14 14 28

Es:


36



n28

ji

ij

nn

10 28

1814

10 9

29. En 500 operaciones de venta, una concesionaria observa las siguientes

características correspondientes al color (X) y la forma de pago (Y) de los autos

vendidos.

X

Y Café verde azul crema

Contado 52 68 115 28

Crédito 67 89 56 25

Analizar la independencia de estas variables.

Solución:

X


Contado 52 68 115 28 263

Crédito 67 89 56 25 237

jn 119 157 171 53 N=500

Las variables X e Y no son independientes, ya que no se cumple que:

N

nnn

ji

ij


37



Por ejemplo: 418,74500

23715789

50011

1111

n

nnn


Y

X 2 3

3 2 4

1 1 3

4 0 1


Solución:

No son independientes ya que n 11/)( jiij nn y S 66,5xy

Y

X

2 3 n 1

3 2 4 6

1 1 3 4

4 0 1 1

n j 3 8 N=11

7,2X

5,2Y 66,55,27,209,109,111

xya S


38



31. Sea:

Y

X 22 43 56 62

3 4 5 6 23

4 7 14 4 2

6 11 13 4 1

8 1 5 9 7


Solución:

Y<56

X Frecuencia

3 9

4 21

6 24

8 6

05,5624219

682462149356/

YX


39



32. Las ventas de una farmacia presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

4500

5450

5900

6580

7230

8900

9300

9800

10290




Solución:

Los valores señalados por 1y corresponden a las medias móviles con un periodo de 3 años y

con 2y de 5 años.

it iy 1y 2y

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

4500

5450

5900

6580

7230

8900

9300

9800

10290

-------

5283,3

5976,7

6570

7570

8476,7

9333,3

9796,7

-------

-------

-------

5932

6812

7582

8362

9104

-------

-------


40



33. La tabla siguiente recoge las puntuaciones de 11 sujetos en dos variables “X” e “Y”.

X Y

10 8,04

8 6,95

13 7,58

9 8,81

11 8,33

14 9,963

6 7,24

4 4,26

12 10,84

7 4,82

5 5,68

Construir el diagrama de dispersión de “Y” en función de “X”. En base al diagrama

construido:

a) ¿Cómo están relacionada “X” e “Y”?

b) ¿Qué signo tienen la covarianza y la correlación?

Solución:

En el eje de abscisas se ha representado a la variable “X” y en el eje de ordenadas a la

variable “Y”. El gráfico resultante es:


41



a) Al observar el gráfico, podemos señalar que la nube de puntos se asemeja a que la

relación es lineal directa o positiva.

b) El gráfico nos señala que la covarianza y la correlación tienen que ser positivas.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y


42



34. Utilizando los datos del ejercicio 33. Calcular la covarianza.

Solución:

X Y XX YY )()( YYXX

10 8,04 1 0,54 0,54

8 6,95 -1 -0,55 0,55

13 7,58 4 0,08 0,32

9 8,81 0 1,31 0,00

11 8,33 2 0,83 1,66

14 9,96 5 2,46 12,30

6 7,24 -3 -0,26 0,78

4 4,26 -5 -3,24 16,20

12 10,84 3 3,34 10,02

7 4,82 -2 -2,68 5,36

5 5,68 -4 -1,82 7,28

Total 99 82,51 0 0,00 55,01

Medias 9 7,500909 0 0,00

1

N

YYXXS

ii

xy

A partir de los datos de la tabla ampliada obtenemos el valor de la covarianza:

5,5111

01,55

xyS


43



35. Utilizando los datos del ejercicio 33, calcular el coeficiente de correlación de

Pearson:

Solución:

X Y YX 2X 2Y

10 8,04 80,4 100 64,6416

8 6,95 55,6 64 48,3025

13 7,58 98,54 169 57,4564

9 8,81 79,29 81 77,6161

11 8,33 91,63 121 69,3889

14 9,96 139,44 196 99,2016

6 7,24 43,44 36 52,4176

4 4,26 17,04 16 18,1476

12 10,84 130,08 144 117,5056

7 4,82 33,74 49 23,2324

5 5,68 28,4 25 32,2624

Total 99 82,51 797,6 1001 660,1727

La correlación es:

82,094,116,3

001,5

94,111

51,82

11

1727,660

16,311

99

11

1001

001,511

51,82

11

99

11

6,797

2

2

r

S

S

S

y

x

xy


44



36. Esta tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países A, B, C… de acuerdo a dos

variables; R.P.C. (renta per cápita) y el I.N. (índice de natalidad). Representar los

resultados en una nube de puntos y ver qué tipo de correlación es.

Países A B C D E F G H I J

R.P.C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I.N 10 6 9 5 7 4 1 3 8 2

Solución:

Al observar el gráfico, podemos concluir que existe una correlación negativa.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 R.P.C

I.N


45



37. Dadas las calificaciones de 12 alumnos en matemática y filosofía, representar

gráficamente los valores para posterior señalar que tipo de correlación existe.

Matemática (X) Filosofía (Y)

2 2

3 5

4 2

4 7

5 5

6 4

6 6

7 6

7 7

8 5

10 5

10 9

Solución:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0 2 4 6 8 10 12

Matemática

Física


46



Existe una correlación positiva débil.

38. Obtener mediante cálculos el coeficiente de correlación de la distribución

Matemáticas-Filosofía con los siguientes valores:

Matemática (X) Filosofía (Y)

2 2

3 5

4 2

4 7

5 5

6 4

6 6

7 6

7 7

8 5

10 5

10 9


47



Solución:

X Y YX 2X 2Y

2 2 4 4 4

3 5 9 25 15

4 2 16 4 8

4 7 16 49 28

5 5 25 25 25

6 4 36 16 24

6 6 36 36 36

7 6 49 36 42

7 7 49 49 49

8 5 64 25 40

10 5 100 25 50

10 9 100 81 90

72 63 504 375 411

Entonces para calcular la correlación:

25,512

63

612

72

Y

X

58,092,14,2

75,2

92,125,512

375

45,2612

504

75,225,5612

411

2

2

r

S

S

S

y

x

xy


48



39. Se tomaron los datos de 8 distancias y la cantidad de goles correspondiente a cada

una de ellas. Representar gráficamente los valores y ver qué tipo de correlación

existe.

Distancia (X) Número de goles (Y)

1 9

2 10

3 6

4 4

5 2

6 0

7 1

8 0

Solución:

Existe una correlación negativa.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

Distancia

Nº

goles


49



40. Con los datos del ejercicio anterior, calcular el coeficiente de correlación de la

distribución Distancia-Número de goles.

Distancia

(X)

Número de

goles (Y)

1 9

2 10

3 6

4 4

5 2

6 0

7 1

8 0

Solución:

X Y YX 2X 2Y

1 9 9 1 81

2 10 20 4 100

3 6 18 9 36

4 4 16 16 16

5 2 10 25 4

6 0 0 36 0

7 1 7 49 1

8 0 0 64 0

36 32 80 204 238


50



48

32

5,48

36

Y

X

94,071,329,2

8

71,348

238

29,25,48

204

845,48

80

2

2

r

S

S

S

y

x

xy


51



41. Una empresa se plantea cambiar la composición de uno de sus productos utilizando

un nuevo material. Antes de tomar una decisión, la empresa decide realizar un

ensayo para estudiar la posible relación entre la utilización de dicho material y el

número de defectos. Para ello analiza lotes con diferentes porcentajes del nuevo

material y toma los siguientes datos:

Realizar gráfico de dispersión entre las variables “X” e “Y”, y ver qué tipo de correlación

existe.

% nuevo material

(X)

Nº defectos

(Y)

1 20

1,2 24

1,3 28

1,4 27

1,6 23

1,7 25

1,8 21

2 29

2,2 26

2,3 34

2,4 31

2,6 27

2,8 27

3 30

3,2 36

% nuevo material

(X)

Nº defectos

(Y)

3,4 32

3,6 30

3,8 40

4 43

4,2 35

4,4 33

4,5 39

4,6 46

4,8 48

5 39

5,2 41

5,4 48

5,6 43

5,8 48

6 49


52



Solución:

Existe una correlación positiva.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7

% nuevo material

Nº

defectos


53



42. Calcular el coeficiente de correlación utilizando los siguientes datos:

% nuevo material

(X)

Nº defectos

(Y)

1 20

1,2 24

1,3 28

1,4 27

1,6 23

1,7 25

1,8 21

2 29

2,2 26

2,3 34

2,4 31

2,6 27

2,8 27

3 30

3,2 36

% nuevo material

(X)

Nº defectos

(Y)

3,4 32

3,6 30

3,8 40

4 43

4,2 35

4,4 33

4,5 39

4,6 46

4,8 48

5 39

5,2 41

5,4 48

5,6 43

5,8 48

6 49


54



Solución:

∑X ∑Y ∑ YX ∑2X ∑

2Y

Total 100,8 1022 3790 407,12 37060

Calculo de la correlación:

X Y YX 2X

2Y

1 20 20 1 400

1,2 24 28,8 1,44 576

1,3 28 36,4 1,69 784

1,4 27 37,8 1,96 729

1,6 23 36,8 2,56 529

1,7 25 42,5 2,89 625

1,8 21 37,8 3,24 441

2 29 58 4 841

2,2 26 57,2 4,84 676

2,3 34 78,2 5,29 1156

2,4 31 74,4 5,76 961

2,6 27 70,2 6,76 729

2,8 27 75,6 7,84 729

3 30 90 9 900

3,2 36 115,2 10,24 1296

X Y YX 2X

2Y

3,4 32 108,8 11,56 1024

3,6 30 108 12,96 900

3,8 40 152 14,44 1600

4 43 172 16 1849

4,2 35 147 17,64 1225

4,4 33 145,2 19,36 1089

4,5 39 175,5 20,25 1521

4,6 46 211,6 21,16 2116

4,8 48 230,4 23,04 2304

5 39 195 25 1521

5,2 41 213,2 27,04 1681

5,4 48 259,2 29,16 2304

5,6 43 240,8 31,36 1849

5,8 48 278,4 33,64 2304

6 49 294 36 2401


55



9,065,851,1

87,11

65,830

1022

30

37060

51,130

8,100

30

12,407

87,1130

1022

30

8,100

30

3790

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

43. La Dirección de una mina está preocupada por el alto porcentaje de indisponibilidad

de sus máquinas cargadoras. Encarga al Jefe de Mantenimiento que analice si está

influyendo la antigüedad de dichas máquinas en su porcentaje de indisponibilidad.

Para ello, recoge la información de la fecha de compra y del porcentaje de

indisponibilidad de cada máquina y la traslada a la siguiente tabla:

Máquina Fecha de compra

(X)

% indisponibilidad

(Y)

A 1994 29

B 1994 39

C 1995 24

D 1995 32

E 1995 43

F 1996 20

G 1996 41

H 1996 30

I 1997 20

J 1997 25

K 1998 12


56



L 1998 19

M 1999 10

N 1999 30

O 2000 9

P 2000 14

Realizar un diagrama de correlación, y ver qué tipo de correlación es:

Solución

Al observar el gráfico podemos darnos cuenta que existe una correlación negativa.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Fecha de compra

% indisponibilidad


57



44. Utilizando los datos del ejercicio 43, calcular el coeficiente de correlación.

Solución:

X Y YX 2X 2Y

1994 29 57826 3976036 841

1994 39 77766 3976036 1521

1995 24 47880 3980025 576

1995 32 63840 3980025 1024

1995 43 85785 3980025 1849

1996 20 39920 3984016 400

1996 41 81836 3984016 1681

1996 30 59880 3984016 900

1997 20 39940 3988009 400

1997 25 49925 3988009 625

1998 12 23976 3992004 144

1998 19 37962 3992004 361

1999 10 19990 3996001 100

1999 30 59970 3996001 900

2000 9 18000 4000000 81

2000 14 28000 4000000 196

Total 31949 397 792496 63796223 11599


73,05,1094,1

91,14

5,1016

397

16

11599

94,116

31949

16

63796223

91,1416

397

16

31949

16

792496

2

2

r

S

S

S

y

x

xy


58



45. La siguiente tabla muestra datos mensuales de producción y costos de operación

para una empresa británica de transporte de pasajeros por carretera durante los años

1949-1952 (la producción se mide en términos de miles de millas-vehículo

recorridas por mes, y los costos se miden en términos de miles de pesos por mes).

Realizar un diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación es:

Mes Nº Millas (X) Costos

totales (Y)

1 3147 213,9

2 3160 212,6

3 3197 215,3

4 3173 215,3

5 3292 215,4

6 3561 228,2

7 4013 245,6

8 4244 259,9

9 4159 250,9

10 3776 234,5

11 3232 205,9

12 3141 202,7

13 2928 198,5

14 3063 195,6

15 3096 200,4

16 3096 200,1

17 3158 201,5

Mes Nº Millas (X) Costos

totales (Y)

18 3338 213,2

19 3492 219,5

20 4019 243,7

21 4394 262,3

22 4251 252,3

23 3844 224,4

24 3276 215,3

25 3184 202,5

26 3037 200,7

27 3142 201,8

28 3159 202,1

29 3139 200,4

30 3203 209,3

31 3307 213,9

32 3585 227,0

33 4073 246,4


59



Solución:

Según el gráfico se puede ver que hay una correlación positiva entre las variables.

46. Utilizando los datos del ejercicios 45, calcular el coeficiente de correlación entre las

variables X e Y.

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000

Millas

Costos


60



Solución:

∑X ∑Y ∑ YX ∑2X ∑

2Y

Total 113879 7231,1 25216020,3 398855769 1596893,53

X Y YX 2X 2Y

3147 213,9 673143,3 9903609 45753,21

3160 212,6 671816 9985600 45198,76

3197 215,3 688314,1 10220809 46354,09

3173 215,3 683146,9 10067929 46354,09

3292 215,4 709096,8 10837264 46397,16

3561 228,2 812620,2 12680721 52075,24

4013 245,6 985592,8 16104169 60319,36

4244 259,9 1103015,6 18011536 67548,01

4159 250,9 1043493,1 17297281 62950,81

3776 234,5 885472 14258176 54990,25

3232 205,9 665468,8 10445824 42394,81

3141 202,7 636680,7 9865881 41087,29

2928 198,5 581208 8573184 39402,25

3063 195,6 599122,8 9381969 38259,36

3096 200,4 620438,4 9585216 40160,16

3096 200,1 619509,6 9585216 40040,01

3158 201,5 636337 9972964 40602,25

X Y 711661,6 11142244 45454,24

3338 213,2 766494 12194064 48180,25

3492 219,5 979430,3 16152361 59389,69

4019 243,7 1152546,2 19307236 68801,29

4394 262,3 1072527,3 18071001 63655,29

4251 252,3 862593,6 14776336 50355,36

3844 224,4 705322,8 10732176 46354,09

3276 215,3 644760 10137856 41006,25

3184 202,5 609525,9 9223369 40280,49

3037 200,7 634055,6 9872164 40723,24

3142 201,8 638433,9 9979281 40844,41

3159 202,1 629055,6 9853321 40160,16

3139 200,4 670387,9 10259209 43806,49

3203 209,3 707367,3 10936249 45753,21

3307 213,9 813795 12852225 51529

3585 227,0 1003587,2 16589329 60712,96

4073 246,4 1003587,2 16589329 60712,96


61




97,04,199,421

6,7950

4,1933

1,7231

33

53,1596893

9,42133

113879

33

398855769

6,795033

1,7231

33

113879

33

3,25216020

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

47. En la siguiente tabla se tienen las puntuaciones en el test de aptitudes (x) y las

calificaciones medias en el curso (y)

Estudiante X Y

1 650 3,8

2 625 3,6

3 480 2,8

4 440 2,6

5 600 3,7

6 220 1,2

7 640 2,2

8 725 3,0

9 520 3,1

10 480 3,0

11 370 2,8

12 320 2,7

Hacer diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación es.

Estudiante X Y

13 425 2,6

14 475 2,6

15 490 3,1

16 620 3,8

17 340 2,4

18 420 2,9

19 480 2,8

20 530 3,2

21 680 3,2

22 420 2,4

23 490 2,8

24 500 1,9

25 520 3,0


62



Solución:

El gráfico nos señala que existe una correlación positiva.

48. Según los datos dados en el ejercicio 47, calcular el coeficiente de correlación entre

las variables “X” e “Y”.

Solución:

65,0

65,044,5069)98,210(25155251600)6554200(25

)2,71)(12460()36582)(25(

r

r

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Puntuaciones

Calificaciones


63



49. Diez pacientes ordenados por su grado de patología, según dos observadores

independientes.

Nombre del

paciente

Orden asignado por

el observador X

Orden asignado por el

observador Y

Juan 3 4

José 2 1

Carlos 5 6

Guillermo 9 7

Roberto 1 3

Alfredo 10 10

Ignacio 8 9

Daniel 4 2

Ricardo 7 5

Ramón 6 8

Calcular el coeficiente de correlación de spearman


64



Solución

Nombre

del

paciente

Orden asignado por

el observador X

Orden asignado por

el observador Y

D

(X-Y) D 2

(X-Y) 2

Juan 3 4 -1 1

José 2 1 1 1

Carlos 5 6 -1 1

Guillermo 9 7 2 4

Roberto 1 3 -2 4

Alfredo 10 10 0 0

Ignacio 8 9 -1 1

Daniel 4 2 2 4

Ricardo 7 5 2 4

Ramón 6 8 -2 4

Total 0 24

990

1441

)110(10

2461

2

sr

15,01

85,0 sr


65



50. Utilizando los datos del problema 49 calcular el coeficiente de correlación de

Pearson.

Solución:

Nombre

del

paciente

Orden asignado por

el observador X

Orden asignado por

el observador Y YX 2X 2Y

Juan 3 4 12 9 16

José 2 1 2 4 1

Carlos 5 6 30 25 36

Guillermo 9 7 63 81 49

Roberto 1 3 3 1 9

Alfredo 10 10 100 100 100

Ignacio 8 9 72 64 81

Daniel 4 2 8 16 4

Ricardo 7 5 35 49 25

Ramón 6 8 48 36 64

Total 55 55 373 385 385


85,087,287,2

05,7

87,210

55

10

385

87,210

55

10

385

05,710

55

10

55

10

373

2

2

r

S

S

S

y

x

xy


66



51. Con los datos del problema 49 realizar un diagrama de dispersión y ver qué tipo de

correlación es.

Solución:

Según el gráfico se puede ver que hay una correlación positiva entre las variables “X” e

“Y”.

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Observador X

Obeservador Y


67



52. Las estaturas y los pesos correspondientes de 10 jugadores de baloncesto de un

equipo son:

Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Realizar diagrama de dispersión y ver que tipo de correlación hay entre las variables X e Y.

Solución:

Según lo que se ve en el gráfico, hay una correlación positiva alta.

0

20

40

60

80

100

120

185 190 195 200 205 210

Estatura

Pesos


68



53. Las estaturas y los pesos correspondientes de 10 jugadores de baloncesto de un

equipo son:

Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Calcular el coeficiente de correlación.

Solución:

X Y 2X 2Y YX

186 85 34 596 7 225 15 810

189 85 35 721 7 225 16 065

190 86 36 100 7 396 16 340

192 90 36 864 8 100 17 280

193 87 37 249 7 569 16 791

193 91 37 249 8 281 17563

198 93 39 204 8 649 18 414

201 103 40 401 10 609 20 703

203 100 41 209 10 000 20 300

205 101 42 025 10 201 20 705

1 950 921 380 618 85 255 179 971

8,3619510

380618 22 xS 09,431,9210

85255 22 yS


69


Nivel de Iniciación 07,68,36 xS

6,371,9219510

179971xyS

94,056,607,6

61,37

r

Por lo tanto, existe una correlación positiva muy fuerte.

54. Los valores de dos variables “X” e “Y” se distribuyen según la tabla siguiente:

Y/X 100 50 25

14 1 1 0

18 2 3 0

22 0 1 2

Realizar gráfico de dispersión y ver qué tipo de correlación hay entre las variables “X” e

“Y”.

56,609,43 yS


70



Solución

Según el gráfico hay una correlación negativa débil.

55. Con los siguientes datos, hacer el gráfico de dispersión y ver qué tipo de correlación

hay entre las variables “X” e “Y”.

x 50 100 70 60 120 180 200 250 30 90

y 5 2 2,5 3,75 4 1 1,25 0,75 7 3

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

X

Y


71



Solución

Por lo tanto, se ve que hay una correlación negativa alta entre las variables “X” e “Y.

56. Las tallas y los pesos correspondientes de 10 personas vienen recogidos en la

siguiente tabla:

Hacer un diagrama de dispersión

Talla (cm) (X) 160 165 170 180 185 190 192 175 182 172

pesos (kg) (Y) 58 61 65 73 80 85 83 68 74 67

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 50 100 150 200 250 300

X

Y


72



Solución:

Tiene una correlación positiva fuerte.

57. Con los datos dados en el ejercicio 56 calcular el coeficiente de correlación de

Pearson.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

155 160 165 170 175 180 185 190 195

Talla

Pesos


73



Solución:

X Y 2X 2Y YX

160 58 25600 3364 9280

165 61 27225 3721 10065

170 65 28900 4225 11050

180 73 32400 5329 13140

185 80 34225 6400 14800

190 85 36100 7225 16150

192 83 36864 6889 15936

175 68 30625 4624 11900

182 74 33124 5476 13468

172 67 29584 4489 11524

1771 714 314647 51742 127313

1,17710

1771X 4,71

10

714Y

29,1001,17710

314647 22 xS 24,764,7110

51742 22 yS

014,1029,100 xS 73,824,76 yS

36,864,711,17710

127313xyS

99,073,8014,10

36,86

r

Correlación positiva muy fuerte.


74



58. El número de licencias de caza, en miles, y el número de votantes a un determinado

partido en 6 comunidades autónomas, en decenas de miles, está expresado en la

siguiente tabla:

Nº de licencias

(X)

10

3

26 3 7 26 5

Nº de votantes

(Y)

20

6

26 27 14 24 12

Determinar el coeficiente de correlación de Pearson.

Solución

X Y 2X 2Y YX

103 206 10609 42436 21218

26 26 676 676 676

3 27 9 729 81

7 14 49 196 98

26 24 676 576 624

5 12 25 144 60

170 309 12044 44757 22757

3,286

170X 5,51

6

309Y


75



4,12063,286

12044 22 xS 25,48075,516

44757 22 yS

7,344,1206 xS 3,6925,4807 yS

4,23355,513,286

22757xyS

97,03,697,34

4,2335

r

Correlación positiva muy fuerte.


76



59. Utilizando los datos del ejercicio 58 hacer diagrama de dispersión y ver qué tipo de

correlación hay entre las variables X e Y.

Solución

Según lo apreciado en el gráfico, hay una correlación positiva entre las variables “X” e

“Y”.

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120

X

Y


77



60. En el examen de una asignatura que consta de parte teórica (X) y parte práctica (Y),

las calificaciones de nueve alumnos fueron:

Teoría 5 7 6 9 3 1 2 4 6

Práctica 6 5 8 6 4 2 1 3 7

Calcular el coeficiente de correlación de Pearson.

Solución:

X Y YX 2X 2Y

5 6 30 25 36

7 5 35 49 25

6 8 48 36 64

9 6 54 81 36

3 4 12 9 16

1 2 2 1 4

2 1 2 4 1

4 3 12 16 9

6 7 42 36 49

43 42 237 257 240


78




81,06,29,1

04,4

6,29

42

9

257

9,19

43

9

237

04,49

42

9

43

9

237

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

61. Con los datos del ejercicio 60 realizar diagrama de dispersión y decir que tipo de

correlación hay entre las variables “X” e “Y”.

Solución:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

Teoría

Práctica


79



Por lo tanto, se ve que hay una correlación positiva entre las variables X e Y.

62. Se trató a 5 enfermos de hepatitis con un mismo fármaco, variando el tratamiento en

las cantidades diarias suministradas. Medido el número de días que cada enfermo

tardó en sanar, se tiene:

Mg. De fármaco (X) 10 20 30 40 50

Días en sanar (Y) 200 180 150 120 100

Hacer diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación hay entre las variables.

Solución

Hay una correlación positiva entre las variables “X” e “Y”.

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60

Mg de farmaco

Días en sanar


80



63. Con los datos del ejercicio 62, calcular el coeficiente de correlación de Pearson.

Solución

X Y YX 2X 2Y

10 200 2000 100 40000

20 180 3600 400 32400

30 150 4500 900 22500

40 120 4800 1600 14400

50 100 5000 2500 10000

150 750 19900 5500 119300

Calculo del coeficiente de correlación:

305

150X 150

5

750Y

200305

5500 22 xS 13601505

119300 22 yS

14,14200 xS 9,361360 yS

520150305

19900xyS

99,09,3614,14

520

r

Correlación negativa muy fuerte.


81



64. Calcular el coeficiente de correlación entre estas dos variables:

Altitud (X) Litros de lluvia (Y)

365 240

450 362

350 121

220 145

150 225

Solución:

X Y YX 2X

2Y

365 240 87600 133225 57600

450 362 162900 202500 131044

350 121 42350 122500 14641

220 145 31900 48400 21025

150 225 33750 22500 50625

1535 1093 358500 529125 274935


3075

1535X 6,218

5

1093Y

115763075

529125 22 xS 04,72016,2185

274935 22 yS


82



6,10711576 xS 9,8404,7201 yS

8,45896,2183075

358500xyS

50,09,846,107

8,4589

r

Correlación positiva

65. Utilizando los datos del ejercicio 32, realizar diagrama de dispersión e indicar que

tipo de correlación hay entre las variables X e Y, según el gráfico.

Solución:

Hay una correlación positiva débil.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400 500

Altitud

Litros de lluvia


83



66. Representar estos puntos y, sin efectuar cálculos, contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?

b) ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribir su ecuación.

c) A la vista de la respuesta anterior, de el valor de m yx y el de m xy .

Solución:

X Y

1 10

2 8

3 6

4 4

5 2

6 0

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7

X

Y


84



a) Todos los puntos están alineados sobre la recta y = 12 – 2x. Por tanto,

el coeficiente de correlación es –1: r = –1.

b) Las dos rectas de regresión son coincidentes. Su ecuación es y = 12 – 2x.

c) m yx = –2 (pendiente de la recta de regresión de Y sobre X).

m xy = –1/2

67. Estudia la correlación entre estas dos variables y explica el resultado:

Índice mortalidad (X) Mayores 64 años (Y)

7,4 11,3

8,2 11,6

8,7 13,2

9,4 13,6

9,4 10,7

10 15,4

10,8 14,5

11,1 14,4

11,3 13,5

11,6 15,3

11,8 15,3


85



Solución:

X Y YX 2X 2Y

7,4 11,3 83,62 54,76 127,69

8,2 11,6 95,12 67,24 134,56

8,7 13,2 114,84 75,69 174,24

9,4 13,6 127,84 88,36 184,96

9,4 10,7 100,58 88,36 114,49

10 15,4 154 100 237,16

10,8 14,5 156,6 116,64 210,25

11,1 14,4 159,84 123,21 207,36

11,3 13,5 152,55 127,69 182,25

11,6 15,3 177,48 134,56 234,09

11,8 15,3 180,54 139,24 234,09

109,7 148,8 1503,01 1115,75 2041,1


97,911

7,109X

53,1311

8,148Y

03,297,911

75,1115 22 xS

5,253,1311

1,2041 22 yS

42,103,2 xS


86



6,15,2 yS

74,153,1397,911

01,1503xyS

77,06,142,1

74,1

r

Hay una clara relación entre las dos variables.

68. Con los datos del ejercicio 67 hacer diagrama de dispersión y ver qué tipo de

correlación hay entre las variables “X” e “Y”.

Solución:

En el gráfico se puede ver que hay una correlación positiva entre las variables “X” e “Y”

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14

Indice mortalidad

Mayores 64 años


87



69. De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientes alargamientos:

Masa de la pesa (X) Alargamiento (Y)

0 0

10 0,5

30 1

60 3

90 5

120 6,5

150 8

200 10,2

250 12,5

350 18

Realizar diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación hay entre las variables “X” e

“Y”.

Solución:

Por lo tanto, hay una correlación positiva entre las variables X e Y.

0 2 4 6 8

10 12 14 16 18 20

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Masa de la pesa

Alargamiento


88



70. Del ejercicio 69 calcular el coeficiente de correlación de Pearson.

Solución:

X Y YX 2X 2Y

0 0 0 0 0

10 0,5 5 100 0,25

30 1 30 900 1

60 3 180 3600 9

90 5 450 8100 25

120 6,5 780 14400 42,25

150 8 1200 22500 64

200 10,2 2040 40000 104,04

250 12,5 3125 62500 156,25

350 18 6300 122500 324

1260 64,7 14110 274600 725,79


12610

1260X 47,6

10

7,64Y

1158412610

274600 22 xS

72,3047,610

79,725 22 yS


89



63,10711584 xS

54,572,30 yS

78,59547,612610

14110xyS 99,0

54,563,107

78,595

r

Hay una correlación positiva fuerte entre las dos variables.

71. La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centímetro cúbico

de un determinado cultivo correspondiente al tiempo transcurrido:

Nº de horas (X) Nº de gérmenes (Y)

0 20

1 26

2 33

3 41

4 47

5 53


“Y”.

Solución:


90



Al observar el grafico nos damos cuenta que existe una correlación positiva entre las

variables “X” e “Y”.


Solución:

X Y YX 2X 2Y

0 20 0 0 400

1 26 26 1 676

2 33 66 4 1089

3 41 123 9 1681

4 47 188 16 2209

5 53 265 25 2809

15 220 668 55 8864

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6

Nº de horas

Nº de gérmenes


91




5,26

15X 667,36

6

220Y

92,25,26

55 22 xS 9,132667,366

8864 22 yS

708,192,2 xS 53,119,132 yS 658,19667,365,26

668xyS

99,053,11708,1

658,19

r

Hay una correlación positiva fuerte entre ambas variables.

73. En un depósito cilíndrico, la altura del agua que contiene varía conforme pasa el

tiempo según la siguiente tabla:

Tiempo (X) Altura (Y)

8 17

22 14

27 12

33 11

50 6

Realizar diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación hay entre las variables X e Y.


92



Solución:

Según el gráfico hay una correlación negativa entre las variables X e Y.


Solución:

X Y YX 2X 2Y

8 17 136 64 289

22 14 308 484 196

27 12 324 729 144

33 11 363 1089 121

50 6 300 2500 36

140 60 1431 4866 786

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 10 20 30 40 50 60

Tiempo

Altura


93




285

140X 12

5

60Y

2,189285

4866 22 xS 2,13125

786 22 yS

75,132,189 xS 633,32,13 yS

8,4912285

1431xyS 997,0

633,375,13

8,49

r

Hay una relación negativa muy fuerte entre las dos variables. A medida que pasa el tiempo,

la altura va bajando (se va consumiendo el agua).

75. En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de

pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fueron los

siguientes:

X (kg) Y (euros/kg)

2000 1,80

2400 1,68

2500 1,65

3000 1,32

2900 1,44

2800 1,50

3160 1,20



94



Solución:

Se puede observar que existe una correlación negativa entre las variables “X” e “Y”.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

X (kg)

Y (euros/kg)


95



Solución:

X Y YX 2X 2Y

2000 1,80 3600 4000000 3,24

2400 1,68 4032 5760000 2,8224

2500 1,65 4125 6250000 2,7225

3000 1,32 3960 9000000 1,7424

2900 1,44 4176 8410000 2,0736

2800 1,50 4200 7840000 2,25

3160 1,20 3792 9985600 1,44

18760 10,59 27885 51245600 16,2909


26807

18760X

5129,17

59,10Y

13840026807

51245600 22 xS

0384,05129,17

2909,16 22 yS

02,372138400 xS

19596,00384,0 yS


96



00057,715129,126807

27885xyS

97,019596,002,372

00057,71

r

La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidad de pescado, menor es

el precio por kilo.

77. Sobre un coche nos aseguraban un consumo medio de 6,5 litros por cada 100 km.

Durante 10 días realizamos mediciones (litros consumidos y kilómetros recorridos)

según la tabla:

X (Km.) Y (L)

100 6,5

80 6

50 3

100 6

10 1

100 7

70 5,5

120 7,5

150 10

220 15


97



Realizar diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación existe entre las variables “X”

e “Y”.

Solución:

Se puede observar que hay una correlación positiva entre las variables “X” e “Y”


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250

Kilometros

Litros


98



Solución:

X Y YX 2X 2Y

100 6,5 650 10000 42,25

80 6 480 6400 36

50 3 150 2500 9

100 6 600 10000 36

10 1 10 100 1

100 7 700 10000 49

70 5,5 385 4900 30,25

120 7,5 900 14400 56,25

150 10 1500 22500 100

220 15 3300 48400 225

1000 67,5 8675 129200 584,75


10010

1000X 75,6

10

5,67Y

292010010

129200 22 xS

9125,1275,610

75,584 22 yS

037,542920 xS

5934,39125,12 yS


99



5,19275,610010

8675xyS

99,05934,3037,54

5,192

r

´Podemos concluir, que la relación entre las variables es fuerte y positiva.

79. En una zona de una ciudad determinada, se ha tomado una muestra para estudiar el

número de habitaciones de que dispone un piso y el de personas que viven en él,

obteniéndose estos datos:

Nº habitaciones Nº personas

2 1

2 2

3 2

3 3

4 3

4 4

4 5

5 4

5 5

5 6


“Y”.


100



Solución:

Existe una correlación positiva entre las variables “X” e “Y”.


0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

Nº habitaciones

Nº personas


101



Solución:

X Y YX 2X 2Y

2 1 2 4 1

2 2 4 4 4

3 2 6 9 4

3 3 9 9 9

4 3 12 16 9

4 4 16 16 16

4 5 20 16 25

5 4 20 25 16

5 5 25 25 25

5 6 30 25 36

37 35 144 149 145


7,310

37X 5,3

10

35Y

21,17,310

149 22 xS

25,25,310

145 22 yS

1,121,1 xS

5,125,2 yS


102



45,15,37,310

144xyS

88,05,11,1

45,1

r

Hay una correlación alta entre las dos variables.

81. El consumo de energía “per cápita” en miles de Kw/h y la renta “per cápita” en

miles de euros de seis países de la U.E. son las siguientes:

Consumo (Y) Renta (X)

Alemania 5,7 11,1

Bélgica 5,0 8,5

Dinamarca 5,1 11,3

España 2,7 4,5

Francia 4,6 9,9

Italia 3,1 6,5


Solución:


103



Se puede observar que hay una correlación positiva entre las variables.


Solución:

X Y YX 2X 2Y

11,1 5,7 63,27 123,21 32,49

8,5 5,0 42,5 72,25 25

11,3 5,1 57,63 127,69 26,01

4,5 2,7 12,15 20,25 7,29

9,9 4,6 45,54 98,01 21,16

6,5 3,1 20,15 42,25 9,61

51,8 26,2 241,24 483,66 121,56

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12

Renta

Consumo


104




63333,86

8,51X 3667,4

6

2,26Y

9656,563333,86

66,483 22 xS

1919,13667,46

56,121 22 yS

44,29656,5 xS

09,11919,1 yS

9758,143,463,86

24,241xyS

74,009,144,2

9758,1

r

Hay una correlación positiva entre las dos variables.

83. La siguiente tabla relaciona el número atómico de varios metales de la misma fila en

el sistema periódico (periodo 4), con su densidad:


105



Elemento Nº atómico (X) Densidad (g/cm 3 ) (Y)

K 19 0,86

Ca 20 1,54

Ti 22 4,5

V 23 5,6

Mn 25 7,11

Fe 26 7,88

Co 27 8,7

Ni 28 8,8


“Y”.

Solución:

Al observar el gráfico, podemos concluir que hay una correlación positiva entre las

variables.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0 5 10 15 20 25 30

Nº atómico

Densidad (g/cm)


106




Solución:

X Y YX 2X 2Y

19 0,86 16,34 361 0,7396

20 1,54 30,8 400 2,3716

22 4,5 99 484 20,25

23 5,6 128,8 529 31,36

25 7,11 177,75 625 50,5521

26 7,88 204,88 676 62,0944

27 8,7 234,9 729 75,69

28 8,8 246,4 784 77,44

190 44,99 1138,87 4588 320,4977


75,238

190X 62375,5

8

99,44Y

4375,975,238

4588 22 xS

4356,862375,58

4977,320 22 yS

072,34375,9 xS


107



9044,24356,8 yS

7947,862375,575,238

87,1138xyS

98,09044,2072,3

7947,8

r

Hay una correlación positiva fuerte entre las dos variables.

85. La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación en

1987 fue:

IPC (X) Tasa de inflación (Y)

Enero 0,7 6

Febrero 1,1 6

Marzo 1,7 6,3

Abril 2 6,2

Mayo 1,9 5,8

junio 1,9 4,9

Realizar diagrama de dispersión y ver qué tipo de correlación existe entre las variables “X”

e “Y”.


108



Solución:

La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fiable la tasa de inflación

a partir del IPC.


0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5

IPC

Tasa de inflación


109



Solución:

X Y YX 2X 2Y

0,7 6 4,2 0,49 36

1,1 6 6,6 1,21 36

1,7 6,3 10,71 2,89 39,69

2 6,2 12,4 4 38,44

1,9 5,8 11,02 3,61 33,64

1,9 4,9 9,31 3,61 24,01

9,3 35,2 54,24 15,81 207,78

190 44,99 1138,87 4588 320,4977


55,16

3,9X 867,5

6

2,35Y

2325,055,16

81,15 22 xS 208311,0867,56

78,207 22 yS

482,02325,0 xS 4564,0208311,0 yS

05385,0867,555,16

24,54xyS

24,04564,0482,0

05385,0

r

Hay una correlación negativa débil entre las variables.


110




Y

X 2 3

4 2 3

1 1 6

7 0 1

Probar si X e Y son independientes:

Solución:

No son independientes ya que n 13/)( jiij nn

Y

X 2 3 n

4 2 3 5

1 1 6 7

7 0 1 1

n j 3 10 N=13

n 13/)( 1111 nn

2 13/)35(

2 1,2


111




Y

X 1 4

2 6 3

3 7 9

2 8 2


Solución:


Y

X 1 4 n

2 6 3 9

3 7 9 16

2 8 2 10

n j 21 14 N=35

n 35/)( 1111 nn

6 35/)219(

6 5,4


112




Y

X -2 3

6 -1 1

4 0 2

-3 3 4


Solución:


Y

X

-2 3 n

6 -1 1 0

4 0 2 2

-3 3 4 7

n j 2 7 N=9

n 9/)( 1111 nn

-1 9/)20(

-1 0


113




Y

X 1 -4

-1 -2 2

0 3 9

2 5 8


Solución:

No son independientes ya que n )( jiij nn /25

Y

X 1 -4 n i

-1 -2 2 0

0 3 9 12

2 5 8 13

n j 6 19 N=25

n )( 1111 nn /25

-2 25/)60(

-2 0


114




Y

X 6 -1

3 -3 2

2 -1 4

0 1 2


Solución:


Y

X 6 -1 n i

3 -3 2 -1

2 -1 4 3

0 1 2 3

n j -3 8 N=5

n )( 1111 nn /5

-3 5/)31(

-2 0,6


115




Y

X 1 -6

5 3 1

1 9 10

2 3 4


Solución:


Y

X 1 -6 n i

5 3 1 4

1 9 10 19

2 3 4 7

n j 15 15 N=30

n )( 1111 nn /30

3 30/)154(

3 2


116




Y

X 1 4

8 2 7

2 2 3

1 3 4


Solución:

No son independientes ya que n )( jiij nn / 21

Y

X 1 4 n i

8 2 7 9

2 2 3 5

1 3 4 7

n j 7 14 N=21

n )( 1111 nn /21

2 21/)79(

2 3


117




Y

X A B

C 1 11

D 4 15

E 7 12


Solución:


Y

X A B n i

C 1 11 12

D 4 15 19

E 7 12 19

n j 12 38 N=50

n )( 1111 nn /50

1 50/)1212(

1 2,88


118




Y

X A B

C 15 29

D 11 24

E 28 15


Solución:


Y

X A B n i

C 15 29 44

D 11 24 35

E 28 15 43

n j 54 68 N=122

n )( 1111 nn /122

15 122/)5444(

15 19,5


119




Y

X

2 4

-3 73 165

0 101 123

-3 73 165


Solución:


Y

X 2 4 n i

-3 73 165 238

0 101 123 224

-1 87 43 130

n j 261 331 N=592

n )( 1111 nn /592

73 592/)261238(

73=104,9


120




Y

X A B

C 45 29

D 32 16

E 18 34


Solución:


Y

X A B n i

C 45 29 74

D 32 16 48

E 18 34 52

n j 95 79 N=174

n )( 1111 nn /174

45 174/)9574(

45 40,4


121



98. Sea:

Y

X 5 15 25 35

0 9 2 4 10

1 12 24 7 3

2 15 1 17 21

3 8 0 20 18


Solución:

Sea tiene:

Y<25

X Frecuencia

0 11

1 36

2 16

3 8

71

92

8163611

8316236111025/

YX


122



99. Sea:

Y

X 10 30 50 70

0 0 13 2 31

1 2 23 8 16

2 6 7 3 11

3 21 9 11 1


Solución:

Se tiene:

Y<70

X Frecuencia

0 15

1 33

2 16

3 41

105

188

41163315

41316233115070/

YX


123



100. Sea:

Y

X 5 25 45 65

0 2 5 6 1

1 7 2 1 2

2 8 2 6 4

3 2 4 0 1


Solución:

Se tiene:

Y<70

X Frecuencia

0 2

1 7

2 8

3 2

19

29

2872

2382712025/

YX


124



101. Sea:

Y

X 10 40 60 90

0 5 3 4 1

1 1 1 5 5

2 2 7 2 2

3 9 0 7 8


Solución:

Se tiene:

Y<70

X Frecuencia

0 8

1 2

2 9

3 9

28

47

9928

9392218060/

YX


125



102. Sea:

Y

X 20 30 40 50

0 28 34 15 14

1 43 22 55 35

2 56 14 12 44

3 26 76 65 36


Solución:

Se tiene:

Y<70

X Frecuencia

0 91

1 120

2 82

3 167

460

785

1678212091

1673822120191050/

YX


126



103. Sea:

Y

X 10 50 100 150 200

0 4 1 3 5 3

1 2 6 6 1 4

2 5 2 7 0 5

3 1 0 1 9 1


Solución:

Se tiene:

Y<150

X Frecuencia

0 8

1 14

2 14

3 2

38

56

214148

2314214180150/

YX


127



104. Sea:

Y

X 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5

1 6 7 8 9 10

2 11 12 13 14 15

3 16 17 18 19 20


Solución:

Se tiene:

Y<50

X Frecuencia

0 10

1 30

2 50

3 70

160

340

70503010

70350230110050/

YX


128



105. Sea:

Y

X 100 200 300 500 600

0 1 9 11 3 0

1 2 8 12 9 2

2 4 6 6 10 4

3 0 5 2 1 1

Calcular la media de X condicionada a Y <200

Solución:

Se tiene:

Y<200

X Frecuencia

0 1

1 2

2 4

3 0

7

10

0421

03422110200/

YX


129



106. Sea:

Y

X 50 150 200 250 350

0 2 1 0 1 0

1 3 5 5 6 3

2 1 2 2 1 7

3 9 8 8 7 1


Solución:

Se tiene:

Y<200

X Frecuencia

0 3

1 8

2 3

3 17

31

65

17383

173328130200/

YX


130



107. Sea:

Y

X 150 200 250 300 350

0 18 82 29 10 11

1 32 65 0 26 29

2 45 32 65 76 20

3 67 21 28 12 50


Solución:

Se tiene:

Y<200

X Frecuencia

0 18

1 32

2 45

3 67

162

323

67453218

673452321180200/

YX


131




Y

X [5-10[ [10-15[ [15-20]

0 2 4 6

1 3 8 2

2 8 0 1

Calcular la media de X condicionada a Y 15

Solución:

Se tiene:

Y 15

X

Frecuencia

absoluta

0 6

1 11

2 8

25

27

8116

821116015/

YX


132




Y

X [8-17[ [17-26[ [26-35]

0 3 4 8

1 6 0 2

2 8 1 3


Solución:

Se tiene:

Y 26

X

Frecuencia

absoluta

0 7

1 6

2 9

22

24

967

92617026/

YX


133




Y

X [12-28[ [28-44[ [44-60[ [60-76]

0 8 1 8 4

1 3 0 7 2

2 1 7 9 0


Solución:

Y 60

X

Frecuencia

absoluta

0 17

1 10

2 17

44

44

171017

17210117060/

YX =1


134




Y

X [1-10[ [10-20[ [20-30[ [30-40]

0 12 11 19 3

1 3 24 0 1

2 7 0 1 25


Solución:

Y 20

X

Frecuencia

absoluta

0 23

1 27

2 7

57

41

72723

7227123020/

YX


135




Y

X [14-20[ [20-36[ [36-49[ [49-60]

0 9 9 2 1

1 0 6 0 2

2 3 1 1 3

3 7 3 7 8


Solución:

Y 49

X

Frecuencia

absoluta

0 20

1 6

2 5

3 17

48

67

175620

173526120049/

YX


136




Y

X [19-30[ [30-49[ [49-60[ [60-89]

0 8 1 0 0

1 5 7 3 6

2 6 3 7 1

3 1 6 1 9


Solución:

Y 60

X

Frecuencia

absoluta

0 9

1 15

2 16

3 8

48

71

816159

831621519060/

YX


137




Y

X [7-17[ [17-27[ [27-37[ [37-47[

0 6 1 1 3

1 3 0 6 7

2 2 2 0 1

3 8 7 2 7

4 2 2 3 3


Solución:

Y 17

X

Frecuencia

absoluta

0 6

1 3

2 2

3 8

4 2

21

39

28236

248322316017/

YX


138




Y

X [4-24[ [24-44[ [44-64[ [64-84]

0 12 32 11 10

1 36 76 18 37

2 43 16 29 42

3 0 26 10 17

4 17 38 30 11


Solución:

Y 44

X

Frecuencia

absoluta

0 44

1 112

2 59

3 26

4 55

296

528

55265911244

554263592112144044/

YX


139




Y

X [112-130[ [130-152[ [152-170[ [170-182[

0 1 6 2 1

1 5 2 1 4

2 3 1 7 2

3 0 0 0 0

4 1 2 2 3

5 8 9 6 1


Solución:

Y 170

X

Frecuencia

absoluta

0 9

1 8

2 11

3 0

4 5

5 23

56

165

23501189

23554031128190170/

YX


140




Y

X

[200-300[ [300-400[ [400-500[ [500-600]

0 4 1 5 2

1 7 0 3 8

2 2 2 8 4

3 9 9 9 0

4 0 7 1 1

5 1 6 2 7


Solución:

Y 400

X

Frecuencia

absoluta

0 5

1 7

2 4

3 18

4 7

5 7

48

132

7718475

7574183427150400/

YX


141



118. Las ventas de una determinada entidad comercial presentan el siguiente

desarrollo.

Año Pesos

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1800

2370

2900

3150

3540

4970

5280


a) tomando un periodo de 3 años

b) tomando un periodo de 5 años

Solución:




142



it iy 1y 2y

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1800

2370

2900

3150

3540

4970

5280

-------

2357

2806

3196

3886

4596

-------

-------

-------

2752

3386

3968

-------

-------


desarrollo.

Año Pesos

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

3490

4830

5620

6740

6990

8563

8880

9231

10342

11760


143






Solución:



it iy 1y 2y

1950 3490 ------- -------

1951 4830 4646,66667 -------

1952 5620 5730 5534

1953 6740 6450 6548,6

1954 6990 7431 7358,6

1955 8563 8144,33333 8080,8

1956 8880 8891,33333 8801,2

1957 9231 9484,33333 9755,2

1958 10342 10444,3333 -------

1959 11760 ------- -------


144




desarrollo.

Año Pesos

1973 2430

1974 4930

1975 5672

1976 6440

1977 6980

1978 7930

1979 8720

1980 9117

1981 10327

1982 11428




Solución:




145



it iy 1y 2y

1973 2430 ------- -------

1974 4930 4344 -------

1975 5672 5680,66667 5290,4

1976 6440 6364 6390,4

1977 6980 7116,66667 7148,4

1978 7930 7876,66667 7837,4

1979 8720 8589 8614,8

1980 9117 9388 9504,4

1981 10327 10290,6667 -------

1982 11428 ------- -------

121. Las ventas de una determinada empresa presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1947 3400

1948 5690

1949 7832

1950 9520

1951 10632

1952 11729

1953 13928

1954 14523

1955 17920

1956 18923


146






Solución:



it iy 1y 2y

1947 3400 ------- -------

1948 5690 5640,66667 -------

1949 7832 7680,66667 7414,8

1950 9520 9328 9080,6

1951 10632 10627 10728,2

1952 11729 12096,3333 12066,4

1953 13928 13393,3333 13746,4

1954 14523 15457 15404,6

1955 17920 17122 -------

1956 18923 ------- -------


147



122. Las ventas de una empresa presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1910 23900

1911 24630

1912 25134

1913 25990

1914 26783

1915 27940

1916 29430

1917 32781

1918 33261

1919 34562




Solución:




148



it iy 1y 2y

1910 23900 ------- -------

1911 24630 24554,6667 -------

1912 25134 25251,3333 25287,4

1913 25990 25969 26095,4

1914 26783 26904,3333 27055,4

1915 27940 28051 28584,8

1916 29430 30050,3333 30039

1917 32781 31824 31594,8

1918 33261 33534,6667 -------

1919 34562 ------- -------

123. Una determinada empresa presenta el siguiente desarrollo en sus ventas:

Año Pesos

1925 12632

1926 13425

1927 13982

1928 14823

1928 15923

1929 17436

1930 19032

1931 20157

1932 22617

1933 26019


149






Solución:

Los valores señalados con 1y so las medias móviles con un periodo de 3 años y con 2y los

correspondiente a un periodo de 5 años.

it iy 1y 2y

1925 12632 ------- -------

1926 13425 13346,3333 -------

1927 13982 14076,6667 14157

1928 14823 14909,3333 15117,8

1928 15923 16060,6667 16239,2

1929 17436 17463,6667 17474,2

1930 19032 18875 19033

1931 20157 20602 21052,2

1932 22617 22931 -------

1933 26019 ------- -------


150



124. Las ventas de una determinada empresa presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1946 70984

1947 71281

1948 73920

1949 75648

1950 76239

1951 77293

1952 79023

1953 80246

1954 82637

1955 84202




Solución:




151



it iy 1y 2y

1946 70984 ------- -------

1947 71281 72061,6667 -------

1948 73920 73616,3333 73614,4

1949 75648 75269 74876,2

1950 76239 76393,3333 76424,6

1951 77293 77518,3333 77689,8

1952 79023 78854 79087,6

1953 80246 80635,3333 80680,2

1954 82637 82361,6667 -------

1955 84202 ------- -------

125. Las ventas de una compañía presentan el siguiente desarrollo.

Año Pesos

1963 100000

1964 102371

1965 103728

1966 105912

1967 108362

1968 109372

1969 122371

1970 123954

1971 125809

1972 126890


152






Solución:



it iy 1y 2y

1963 100000 ------- -------

1964 102371 102033 -------

1965 103728 104003,667 104074,6

1966 105912 106000,667 105949

1967 108362 107882 109949

1968 109372 113368,333 113994,2

1969 122371 118565,667 117973,6

1970 123954 124044,667 121679,2

1971 125809 125551 -------

1972 126890 ------- -------


153



126. Las ventas de un determinada sociedad comercial presentan el siguiente

desarrollo

Año Pesos

1990 2819

1991 3472

1992 6739

1993 9013

1994 10263

1995 11921

1996 16021

1997 19034

1998 23492

1999 26508




Solución:




154



it iy 1y 2y

1990 2819 ------- -------

1991 3472 4343,33333 -------

1992 6739 6408 6461,2

1993 9013 8671,66667 8281,6

1994 10263 10399 10791,4

1995 11921 12735 13250,4

1996 16021 15658,6667 16146,2

1997 19034 19515,6667 19395,2

1998 23492 23011,3333 -------

1999 26508 ------- -------

127. Una empresa determinada presenta el siguiente desarrollo en sus ventas.

Año Pesos

2000 200000

2001 300000

2002 400000

2003 500000

2004 600000

2005 700000

2006 800000

2007 900000

2008 1000000

2009 2000000


155






Solución:



it iy 1y 2y

2000 200000 ------- -------

2001 300000 300000 -------

2002 400000 400000 400000

2003 500000 500000 500000

2004 600000 600000 600000

2005 700000 700000 700000

2006 800000 800000 800000

2007 900000 900000 1080000

2008 1000000 1300000 -------

2009 2000000 ------- -------


156



128. Representa gráficamente la siguiente serie estadística temporal, referente a

los ingresos que ha obtenido RENFE en los últimos años debido a viajeros.

Años Ingresos por

viajeros

1980 28800

1981 33139

1982 38373

1983 42228

1984 48069

1985 55307

1986 55761

1987 59453

1988 64107

1989 64900

Solución:

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989


157




los ingresos que ha obtenido Coca Cola en los últimos años en la temporada de

verano.

Años Ingresos en

temporada Verano

2000 11500

2001 13460

2002 15680

2003 18900

2004 20538

2005 21983

2006 22659

2007 22932

2008 23340

2009 24598

Solución:

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009


158




los ingresos que ha obtenido Soprole entre los años 1976-1985 en temporada de

invierno.

Años Ingresos en

temporada invierno

1976 43798

1977 45639

1978 50923

1979 48217

1980 51737

1981 52364

1982 51348

1983 54890

1984 55490

1985 56780

Solución:

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985


159




los ingresos que ha obtenido Nestlé entre los años 1960-1970 en temporada de

otoño.

Años

Ingresos en

temporada

Otoño

1960 23400

1961 24500

1962 24900

1963 28700

1964 29340

1965 38210

1966 47900

1967 48700

1968 45900

1969 47650

Solución:

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969


160




los ingresos que ha obtenido Tur Bus los últimos 15 años en temporada de verano.

Años Ingresos en

temporada

Verano

1995 67890

1996 78900

1997 87500

1998 75640

1999 86900

2000 91200

2001 93380

2002 93650

Solución:

Años Ingresos en

temporada

Verano

2003 94532

2004 95639

2005 94750

2006 95890

2007 96730

2008 97389

2009 98880

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009


161




los ingresos que ha obtenido Savory durante los años 1975-1989 en temporada de

invierno.

Solución:

Años Ingresos en

temporada

invierno

1975 9870

1976 10440

1977 11350

1978 12543

1979 13987

1980 18903

1981 23906

1982 19630

Años Ingresos en

temporada

invierno

1983 24563

1984 25634

1985 26453

1986 27980

1987 28890

1988 29810

1989 31204

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989


162




los ingresos que ha obtenido Nike durante los 10 últimos años en temporada de

verano.

Años

Ingresos en

temporada

verano

2000 5342

2001 7639

2002 7980

2003 8690

2004 10987

2005 11672

2006 14290

2007 17092

2008 18063

2009 19230

Solución:

0

5000

10000

15000

20000

25000

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009


163




los ingresos que ha obtenido Bayer durante los 10 últimos años en temporada de

invierno.

Años

Ingresos en

temporada

invierno

2000 54980

2001 52890

2002 55439

2003 56390

2004 57982

2005 58900

2006 63900

2007 64329

2008 65920

2009 66739

Solución:

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009


164



136. Representa gráficamente la siguiente estadística referente a la producción de

helados en España en los últimos años.

Años Millones de

litros

1979 91,44

1980 89,77

1981 91,89

1982 96,93

1983 99,99

1984 97,93

1985 103,98

1986 116,35

1987 130,71

1988 146,79

Solución:

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988


165



137. Los resultados del INI durante el período 1982-1989 (en millones de pesos)

han mostrado la siguiente evolución:

Años Resultados

1982 137943

1983 204226

1984 185989

1985 162884

1986 117424

1987 42604

1988 30564

1989 82335

Solución:

138. Las notas que obtuvieron 20 alumnos en el examen parcial (X) y en el

examen final (Y) de matemática fueron las siguientes:

0

50000

100000

150000

200000

250000

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989


166




Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 | 1 | 1

1 | 1

2 | 1

3 | 1 | | | 3 | | 2

4 | | | 3 | 1

5 | 1

6

7 | 1 | | 2

8 | 1

9 | 1

X Y

2 7

1 3

4 3

2 1

4 3

7 8

3 4

3 4

9 3

6 0

X Y

0 7

8 4

2 7

7 2

9 5

4 3

1 0

3 4

6 9

9 3


167




examen final (Y) de física fueron las siguientes:


Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 |

1 | 1

1 | 1 | 1

2 | | | 3

3 | 1 | 1

4 | 1

5 | 1 | 1 | 1

X Y

9 5

2 7

6 0

1 6

9 3

7 2

7 2

2 8

2 9

7 2

X Y

2 3

2 1

4 5

5 1

8 5

0 0

2 7

1 6

2 9

5 4


168



6 | | 2

7 | | 2

8 | 1

9 | | 2


examen final (Y) de Lenguaje fueron las siguientes


X Y

1 1

4 4

2 3

7 2

4 4

9 8

2 1

7 6

6 6

5 9

X Y

9 8

1 1

5 9

0 1

3 2

1 5

4 4

2 1

2 3

3 5


169



Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1 | 1 | | 2 | | 2

2 | 1 | 1

3 | | 2

4 | | | 3

5 | 1 | 1

6 | 1 | 1

7

8 | | 2

9 | | 2


examen final (Y) de biología fueron las siguientes:


X Y

2 5

5 1

4 3

2 5

1 7

X Y

2 5

4 3

8 2

9 9

8 2


170



Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 | 1

1

2 | | 2

3 | | 2

4

5 | | | 3

6

7 | 1

8

9 | 1


examen final (Y) de química fueron las siguientes:


X Y

3 1

6 4

5 6

4 2

5 6

X Y

3 1

1 2

1 5

0 1

3 1


171



Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6

0 | 1

1 | 1 | | | 3

2 | 1 | 1

3

4 | 1

5 | 1

6 | 1


examen final (Y) de química fueron las siguientes:


X Y

2 1

5 3

4 5

3 1

6 3

5 2

4 5

6 3

X Y

2 1

3 6

6 3

1 4

2 0

6 3

3 1


172



Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6

0 | 1

1 | | 2 | | 2

2 | 1

3 | 1 | | | | 4

4 | 1

5 | | 2

6 | 1


examen final (Y) de Ingles fueron las siguientes:


X Y

1 2

5 4

4 2

3 3

4 4

6 5

2 6

4 2

X Y

5 4

3 2

1 2

0 6

1 3

2 2

3 4


173



Solución:

X

Y

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2 | | 2 | 1 | 1 | | 2

3 | 1 | 1

4 | 1 | 1 | | 2

5 | 1

6 | 1 | 1


examen final (Y) de Historia fueron las siguientes:

X Y

2 2

6 3

5 4

4 1

3 4

6 6

2 5

3 4

1 3

0 4

X Y

2 1

3 2

2 3

0 4

2 5

3 4

4 4

5 5

1 2

6 4


174




Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6

0

1 | 1 | 1

2 | 1 | 1 | 1

3 | 1 | 1 | 1

4 | | 2 | | | 3 | 1 | 1 | 1

5 | | 2 | 1

6 | 1


examen final (Y) de educación física fueron las siguientes:

X Y

4 1

7 2

4 1

5 4

6 3

7 6

2 5

1 7

0 2

2 6

X Y

3 5

6 7

2 3

1 4

5 5

0 6

5 2

7 7

6 1

2 3


175




Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6 7

0

1 | | 2 | 1

2 | 1 | 1 | 1

3 | | 2 | 1

4 | 1 | 1

5 | 1 | 1 | 1

6 | 1 | 1 | 1

7 | 1 | 1 | 1


examen final (Y) de física fueron las siguientes:

X Y

3 1

6 7

1 4

2 3

1 4

X Y

0 6

7 2

1 4

2 3

3 1


176




Solución:

X

Y 0 1 2 3 4 5 6 7

0

1 | | 2

2 | 1

3 | | 2

4 | | | 3

5

6 | 1

7 | 1

41.- En 100 operaciones de venta, una concesionaria observa los siguientes autos relativos

al color del auto (X) y a la forma de pago (Y), analizar la independencia de estas variables.

X

Y Negro Verde Gris Azul

Contado 20 32 14 1

Crédito 13 11 5 4


177



Solución:

X


Contado 20 32 14 1 67

Crédito 13 11 5 4 33

jn

33 43 19 5 N=100

Las variables X e Y no son independientes, ya que para cualquier valor de i = 1, 2 y

j = 1, 2, 3, 4 no sucede que:

N

nnn

ji

ij

Tomando un caso particular:

73,1214

100

196714

10013

3113

n

nnn

148. En 2000 operaciones de venta, una automotora observa las siguientes

compras de camionetas relativas al color (X) y a la forma de pago (Y), analizar la


X

Y Rojo Dorado Verde Amarillo

Contado 40 120 300 149

Crédito 50 540 640 161


178



Solución:

X

Y Rojo Dorado Verde Amarillo in

Contado 40 120 300 149 609

Crédito 50 540 640 161 1391

jn

90 660 940 310 N=2000


j = 1, 2, 3, 4 no sucede que: N

nnn

ji

ij


595,6250

2000

90139150

200021

1221

n

nnn

149. En 300 operaciones de venta, un corredor observa las siguientes casas

relativas al número de habitaciones (X) y a la forma de pago (Y), analizar la


X

Y 1 2 3 4

Contado 20 35 48 38

Crédito 54 15 56 34


179



Solución:

X

Y 1 2 3 4 in

Contado 20 35 48 38 141

Crédito 54 15 56 34 159

jn

74 50 104 72 N=300



nnn

ji

ij


16,3834

300

7215934

30024

4224

n

nnn

150. Un corredor de ventas, en 150 operaciones de venta, observa las siguientes

datos, relativos al tamaño (X) y a la forma de pago (Y), analizar la independencia de

estas variables.

X

Y Pequeña Mediana Grande

Muy

grande

Contado 20 8 32 16

Crédito 10 5 5 4


180



Solución:

X

Y Pequeña Mediana Grande

Muy

grande in

Contado 20 18 32 16 86

Crédito 27 5 5 27 64

jn

47 23 37 43 N=150



nnn

ji

ij


187,1318

150

238618

15012

2112

n

nnn

151. En 127 operaciones correspondientes a la venta de bebidas, un supermercado

observa los siguientes datos relativos a la marca (X) y la forma de pago (Y),

analizar la independencia de estas variables.

X

Y Coca-Cola Pap Fanta 7 Up

Contado 8 5 11 6

Crédito 12 2 1 5

Cheque 16 24 15 22


181



Solución:

X

Y

Coca-Cola Pap Fanta 7 Up in

Contado 8 5 11 6 30

Crédito 12 2 1 5 20

Cheque 16 24 15 22 77

jn

36 31 27 33 N=127

Las variables X e Y no son independientes, ya que para cualquier valor de i = 1, 2,3 y


nnn

ji

ij


008,2022

127

337722

12734

4334

n

nnn

152. Un supermercado en 328 operaciones de ventas de galletas, observo los

siguientes datos, correspondiente a la marca (X) y la forma de pago (Y), analizar la


X

Y Mackay Costa Nestlé Dos en uno

Contado 30 8 14 17

Crédito 56 16 43 24

Cheque 14 32 55 19


182



Solución:

X

Y Mackay Costa Nestlé Dos en uno in

Contado 30 8 14 17 69

Crédito 56 16 43 24 139

Cheque 14 32 55 19 120

jn

100 56 112 60 N=328



nnn

ji

ij


4,4256

328

10013956

32821

1221

n

nnn

153. En 212 operaciones de venta correspondientes a helados, un supermercado

observa los siguientes datos, relativos a la marca (X) y la forma de pago (Y),


X

Y Bresler Savory Trendy

Contado 25 28 11

Crédito 46 37 9

Cheque 14 26 16


183



Solución:

X

Y Bresler Savory Trendy in

Contado 25 28 11 64

Crédito 46 37 9 92

Cheque 14 26 16 56

jn

85 91 36 N=212


j = 1, 2, 3 no sucede que: N

nnn

ji

ij


5,916

212

365616

21233

3333

n

nnn

154. En 366 operaciones de venta, un supermercado observa los siguientes datos,

correspondientes a la venta de shampoo relativos a la marca (X) y la forma de pago

(Y), analizar la independencia de estas variables.

X

Y Sedal Tresemé Simonds Fructis

Contado 26 34 19 12

Crédito 18 45 27 51

Cheque 9 22 41 62


184



Solución:

X

Y Sedal Tresemé Simonds Fructis in

Contado 26 34 19 12 91

Crédito 18 45 27 51 141

Cheque 9 22 41 62 134

jn

53 101 87 125 N=366


j = 1, 2, 3,4 no sucede que: N

nnn

ji

ij


9,3622

366

10113422

36632

2332

n

nnn

155. En 304 operaciones de ventas correspondientes a jeans, una multitienda

observa los siguientes datos relativos a la marca (X) y la forma de pago (Y),


X

Y Foster Efesis Ellus

Contado 27 37 16

Crédito 18 18 63

Cheque 42 54 29


185



Solución:

X

Y Foster Efesis Ellus in

Contado 27 37 16 80

Crédito 18 18 63 99

Cheque 42 54 29 125

jn

87 109 108 N=304



nnn

ji

ij


4,2816

304

1088016

30413

3113

n

nnn

156. En 434 operaciones de venta, Falabella observa las siguientes datos, relativo

a la marca (X) y la forma de pago (Y), correspondientes a la ventas de Chaquetas,


X

Y Foster Sybilla Marquis

Contado 19 73 49

Crédito 40 29 43

Cheque 62 55 64


186



Solución:

X

Y Foster Sybilla Marquis in

Contado 19 73 49 141

Crédito 40 29 43 112

Cheque 62 55 64 181

jn

121 157 156 N=434



nnn

ji

ij


5,4029

434

15711229

43422

2222

n

nnn


Y

X 2 5

4 10 12

15 4 2


Solución:



187



Y

X 2 5 n i

4 10 12 22

15 4 2 6

n j 14 14 28

Es n28

ji

ij

nn

10 28

2214

10 11


Y

X A B

C 2 8

D 4 6


Solución:



188



Y

X A B n i

C 2 8 10

D 4 6 10

n j 6 14 20

Es n20

ji

ij

nn

2 20

106

2 3


Y

X A B

C 2 2

D 3 3


Solución:


Y

X A B n i

C 2 2 4

D 3 3 6

n j 5 5 10


189



Es n10

1221

nn

3 =10

56

3 = 3


Y

X M N

O 11 5

P 11 5


Solución:


Y

X M N n i

O 11 5 16

P 11 5 16

n j 22 10 32

Es n32

2222

nn

5 =32

1016

5 = 5


190




Y

X A B C

D 12 23 52

E 16 43 16


Solución:


Y

X A B C n i

D 12 23 52 87

E 16 43 16 75

n j 28 66 68 162

Es n162

3223

nn

16 162

6875

16 31,4


191




Y

X A B

D 2 11

E 2 11


Solución:


Y

X A B n i

D 2 11 13

E 2 11 13

n j 4 22 26

Es n26

1111

nn

2 = 26

413

2 =2


192




Y

X R O T

P 4 12 2

S 1 3 4


Solución:


Y

X R O T n i

P 4 12 2 18

S 1 3 4 8

n j 5 15 6 26

Es n26

1111

nn

4 26

518

4 3,5


193




Y

X R O T

P 22 34 11

S 28 17 5


Solución:


Y

X R O T n i

P 22 34 11 67

S 28 17 5 50

n j 50 51 16 117

Es n117

1221

nn

28 117

5050

28 21,37


194




Y

X R O T V

P 14 9 23 6

S 18 32 5 12


Solución:


Y

X R O T V n i

P 14 9 23 6 52

S 18 32 5 12 67

n j 32 41 28 18 119

Es n119

4114

nn

6 119

1852

6 7,9


195




Y

X R O T V

P 16 18 11 27

S 26 24 32 19

Q 9 21 12 15


Solución:


Y

X R O T V n i

P 16 18 11 27 72

S 26 24 32 19 101

Q 9 21 12 15 57

n j 51 63 55 61 230

Es n230

4334

nn

15 230

6157

15 15,12


196



167. Sea la distribución bidimensional del color de pelo X y la edad Y de un

conjunto de familias:

Años

Pelo [15-25[ [25-45[ [45-85]

Colorín 2 3 6

Rubio 4 5 1

Castaño 3 0 2


Solución:

El intervalo modal de “X” es [15-25[ pues es el de mayor densidad de frecuencia

d )/( 1 iiii LLn

Años [15-25[ [25-45[ [45-85]

n i 9 8 7

d i 0,6 0,32 0,16

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 25)1525(32,00

32,0150

M 250


197



168. Sea la distribución bidimensional del color de ojos X y la edad Y de un

conjunto de familias:

Años

Pelo [20-30[ [30-50[ [50-90]

Azul 10 21 13

Verde 5 19 12

Café 12 7 1


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [20-30[ [30-50[ [50-90]

n i 27 47 26

d i 1,35 1,6 0,52

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 56,35)3050(52,035,1

52,0300

M 56,350


198



169. Sea la distribución bidimensional de la estatura X y la edad Y de un

conjuntos de familias:

Años

Pelo [5-15[ [15-35[ [35-65[ [65-95]

Alto 12 24 11 1

Mediano 3 6 6 8

Bajo 13 9 14 0


Solución:


d)/( 1 iiii LLn

Años [5-15[ [15-35[ [35-65[ [65-95]

n i 28 39 31 9

d i 5,6 2,6 0,89 0,14

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 15)515(6,20

6,250

M 150


199



170. Sea la distribución bidimensional correspondiente a la contextura X y la

edad Y de ciertas familias es:

Años

Pelo [10-15[ [15-25[ [25-45[ [45-60]

Obeso 3 2 1 2

Normal 5 7 9 10

Delgado 0 1 4 3


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [10-15[ [15-25[ [25-45[ [45-60]

n i 8 10 14 15

d i 0,8 0,67 0,6 0,33

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 15)1015(67,00

67,0100

M 150


200



171. Sea la distribución bidimensional. Correspondiente al color de piel X y la

edad Y de un conjunto de familias:

Años

Pelo [15-30[ [30-55[ [55-70[ [70-100]

Negra 2 6 9 1

Blanca 0 3 8 4


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [15-30[ [30-55[ [55-70[ [70-100]

n i 2 9 17 5

d i 0,13 0,3 0,31 0,07

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 84,57)5570(07,03,0

07,0550

M 84,570


201



172. Sea la distribución bidimensional del color de piel X y la edad Y de la

familia:

Años

Pelo [5-15[ [15-30[ [30-50[ [50-75[ [75-95]

Negra 2 13 4 17 0

Blanca 5 0 19 5 16


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [5-15[ [15-30[ [30-50[ [50-75[ [75-95]

n i 7 13 23 22 16

d i 1,4 0,86 0,76 0,44 0,2

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 15)515(86,00

86,050

M 150


202



173. Sea la distribución bidimensional. Correspondiente a la contextura X y la


Años

Pelo [10-25[ [25-40[ [40-65[ [65-80[ [80-105]

Obeso 6 10 3 14 7

Normal 0 11 7 18 17

Delgado 14 13 10 3 9


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [10-25[ [25-40[ [40-65[ [65-80[ [80-105]

n i 20 34 20 35 33

d i 2 1,36 0,5 0,54 0,4125

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 25)1025(36,10

36,1100

M 250


203



Sea la distribución bidimensional de la estatura X y la edad Y de la familia:

Años

Pelo [5-10[ [10-35[ [35-55[ [55-85[ [85-110]

Alto 1 4 17 4 17

Mediano 0 10 0 6 3

Bajo 2 2 1 12 1


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [5-10[ [10-35[ [35-55[ [55-85[ [85-110]

n i 3 16 18 22 21

d i 0,6 1,6 0,5 0,4 0,25

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 36,21)1035(5,06,0

5,0100

M 36,210


204



174. Sea la distribución bidimensional correspondiente al color de ojos X y la


Años

Pelo

[15-25[ [25-45[ [45-60[ [60-80[ [80-100]

Azul 1 6 2 0 1

Verde 2 4 5 8 2

Café 4 0 7 2 6


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [15-25[ [25-45[ [45-60[ [60-80[ [80-100]

n i 7 10 14 10 9

d i 0,46 0,4 0,31 0,16 0,1125

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 25)1525(4,00

4,0150

M 250


205



175. Sea la distribución bidimensional del color de pelo X y la edad Y de la

familia:

Años

Pelo [10-30[ [30-50[ [50-80[ [80-100[ [100-120]

Colorín 1 9 1 0 1

Rubio 0 4 3 6 8

Castaño 0 2 2 3 4


Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [10-30[ [30-50[ [50-80[ [80-100[ [100-120]

n i 1 15 6 9 13

d i 0,1 0,5 0,12 0,1125 0,13

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 91,40)3050(12,01,0

12,0300

M 91,400


206



176. Sea la distribución bidimensional, correspondiente a la período X y el peso

Y de un conjunto de familias:

Años

Peso

[20-30[ [30-60[ [60-100]

Niño 5 2 0

Joven 1 7 3

adulto 0 5 4

Determinar cuál es el peso más frecuente:

Solución:


d )/( 1 iiii LLn

Años [20-30[ [30-60[ [60-100]

n i 6 14 7

d i 0,24 0,31 0,0875

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL

M 02,38)3060(0875,024,0

0875,0300

M 02,380

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