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1

TEMA 11

Transitorios Hidráulicos

INGENIERIA FLUIDOMECÁNICACódigo 910

2º Curso, INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL (MECÁNICA)

Curso 2004/05

Tem

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2

Clasificación de los modelos de transitorios hidráulicos en fluidos a presión

La característica que cabe destacar frente a todo lo estudiado hasta ahora es la base temporal del fenómeno. Ya no sólo nos interesa saber, presiones, velocidades o alturas piezométricas, sino que además nos interesa su evolución con el tiempo. En general los fenómenos que ocurren en un transitorio son muy complejos y diversos. En función de el número de fenómenos que deseemos estudiar o tener en cuenta, tendremos modelos cada vez más complejos. Los modelos los podemos clasificar como:

• Modelos Estáticos:

Modelos que estudian las condiciones del sistema en un momento dado, sin atender a las variaciones en el tiempo que este pueda poseer. Se trata de hacer una ‘foto’ del sistema en un momento dado, sin atender a la historia del mismo.

•Modelos Dinámicos:

Modelos que si tiene en cuenta la variable tiempo a la hora de resolver el sistema:

• Modelos No inerciales: Modelos en los que no se tiene en cuenta la inercia del fluido. En el fondo es como un modelo estático que tiene condiciones de contorno que varían en el tiempo, con la cual de instante a instante actualiza las condiciones de contorno, y como si de un modelo estático se tratase vuelve a resolver el problema en esas nuevas condiciones. Sólo sirve para el caso de transitorios muy lentos. Suele ser el modelo que incluyen los paquetes como el EPANET para simular condiciones cambiantes con el tiempo.

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3

• Modelos Inerciales: Son los modelos que consideran la participación de la inercia del fluido en sus cálculos, y por tanto incluyen el efecto de la transformación de energía cinética en potencial y viceversa. Son modelos bastante complejos que pueden gestionar transitorios bruscos. Dentro de estos modelos debemos diferenciar dos aproximaciones:

• Modelos Elásticos o Golpe de Ariete: Su principal característica es que considera tanto la elasticidad del fluido como la del material de la conducción. Esta indicado para transitorios muy rápidos y bruscos aunque puede abarcar todo el rango de transitorios.

• Modelo Rígido o de Oscilación en Masa: A diferencia del anterior, no considera la elasticidad del fluido y la conducción. Da resultados bastante precisos con un coste muy asequible cuando los transitorios no son excesivamente rápidos.

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4

Estudio de un transitorio sencillo: Cierre abrupto de una válvula

Vamos a estudiar que ocurre en la tubería que conduce el fluido hasta la válvula si esta se cierra de forma inmediata en t = 0 s. Por simplicidad vamos a despreciar la fricción y la altura cinética, que en comparación a la altura de presión resulta despreciable. El transitorio se divide en 4 fases:

Fase Primera:

La perturbación viaja a una velocidad o celeridad ‘ a ‘

‘x = L‘x = L/2

‘x = 0‘x = L/2

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5

‘x = L‘x = L/2Fase Segunda:

‘x = 0

‘x = L/2

Fase Tercera: ‘x = L‘x = L/2

‘x = 0

‘x = L/2

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6

‘x = L‘x = L/2Fase Cuarta:

‘x = 0

‘x = L/2

Se trata de un proceso cíclico de periodo 4L/a, en que se suceden las ondas depresivas con las sobrepresivas. Siempre existe un intercambio entre la energía elástica y la cinética, es decir un intercambio cambio entre presión y velocidad

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7

El pulso de Joukowsky

El valor del pulso de Joukowsky representa el máximo cambio de velocidad posible. Es decir, muestra en el fondo la relación causa efecto ante un pulso de presión en el sistema.

Utilizando el esquema de la figura podemos deducir ese pulso de forma muy sencilla. Para ello primero debemos definir una serie de simplificaciones:

• No hay pérdidas por fricción

• El flujo es unidireccional u=u(x)

• EL cierre de la válvula es inmediato

• La tubería es completamente horizontal

• No consideramos la altura cinética.

Planteamos la ecuación de conservación del momento al volumen de control que coincide con la tubería:

∫+∫ ∀∂∂

=∑∀ CSC

dQVdVt

F..

.... ρρSólo tiene sentido la dirección X, por lo tanto sólo consideramos la componente es x de la ecuación de conservación del momento, que en verdad en una ecuación vectorial

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8

∫+∫ ∀∂∂

=∑∀ CSC

VdAVdVt

F..

.... ρρ

pAApAppF oo ∆−=+∆+−=∑ ..).(

( )[ ] ( )[ ] ρρρρ ......... 0.

AxVAxVxLVAdVC

=+−=∀∫∀

V=0 V=Vo

( )dt

dxAVAxV

tdV

t C

ρρρ ...... 00.

=∂∂

=∀∂∂∫

∀

Si definimos ‘a’ como la celeridad, o la velocidad a la que se propaga la perturbación:

0Vadtdx

−=−

[ ])(...... 00.

oC

VaAVdt

dxAVdV

t−−==∀

∂∂∫

∀

ρρρ

AVVVdAVCS

...0.. 00.

ρρ −=∫

AVVdAV oCS

.... 2

.ρρ −=∫pAF ∆−=∑ .

[ ] 20 ..)(.... oo VAVaAVpA ρρ −−−=∆−

ρ.... 0 AVapA −=∆−

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9

ρ.. 0Vap =∆

∆V=0-Vo ( por frenarse el líquido, podemos reescribir )

ρ.. Vap ∆−=∆ Pulso de JOUKOWSKI

Como ya hemos recordado el pulso de Joukowsky marca la máxima perturbación de la presión en función de la velocidad. (Aunque esto no es así exactamente, existen otros fenómenos que pueden acentuar esta sobrepresión, como la cavitación o el empaquetamiento).

Celeridad del pulso de Joukowsky

En el instante en que se cierra la válvula, el agua junto a ella se para, y una onda sobrepresiva avanza hasta el depósito, momento en el cual todo el agua de la tubería está parada. Pero desde el momento de cierre hasta t = L/a sigue entrando agua la tubería con velocidad V0. Ese aumento del volumen de agua almacenado es posible gracias al aumento de la presión que actúa en dos sentidos, dilata la tubería y aumenta la densidad del fluido, o lo que es lo mismo lo comprime.

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El volumen total , ∆VT, que entra a a la tubería durante el periodo en el que la onda de sobrepresióntarda en llegar al depósito se almacenará en la tubería de dos formas diferentes. Por un lado el aumento de la presión aumenta la densidad, por lo que queda espacio para nuevo líquido, ∆V1, y por otro, la presión dilata la tubería, liberando nuevo espacio, ∆V2

21 ∀∆+∀∆=∀∆ T

aL

AVtAVT .... 00 ==∀∆

EL volumen total de agua que entra será:

El volumen extra debido a la compresión del fluido, lo podemos calcular como:

Kp∆

∀=∀∆ .01

El volumen extra debido a la dilatación de las paredes, lo podemos calcular como:

DD

LAL ∆=∆=∀∆ .2.

..2π

02 <<∆R

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11

eEDPD

L2..

.2.

.2

2∆

=∀∆π

Utilizando la teoría de la elasticidad de los materiales, ley de Young, podemos ligar el incremento de la presión con el incremento del diámetro:

EDD σε =

∆=Deformación

Modulo de elasticidad del material

Tensión a la que se somete el material

eDP

eT

2.

2∆

==σ

eDP

EDD

2.

.1 ∆

=∆

=εeEDP

D2.. 2∆

=∆

21 ∀∆+∀∆=∀∆ T

De lo que se obtiene que:

eEDPD

LKp

aL

AV2..

.2.

....2

00∆

+∆

∀=π

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12

eEDPD

LKp

aL

AV2..

.2.

....2

00∆

+∆

∀=π

ρ.. 0Vap =∆ pulso de Joukowski

eD

EK

K

a+

=1

ρ CELERIDAD de la onda de perturbación

El agua tiene un módulo de elasticidad volumétrico y una densidad:

2910704.2

m

NK =

31000

m

kg=ρ

eD

E

a910704.2

1

1440

+

=

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13

eD

E

a910704.2

1

1440

+

=

Algunos comentarios a esta expresión:

• Para una muy rígidas, es decir, aquellas con E altos, la celeridad aumenta, mientras que si el material de la tubería elegido es más flexible, E bajo, la celeridad es menor

EDD σε =

∆=

• Diámetro y espesor tienen un papel fundamental. Mas que ellos por separado, su cociente es fundamental, ya que afecta en mucho a la celeridad. Un tubo con un gran diámetro y poco espesor es muy flexible, y por tanto la celeridad será baja, en cambio un tubo de pequeño diámetro y gran espesor serámuy rígido y la celeridad será más grande:

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14

• La aparición de burbujas de aire en el agua tiene mucho efecto sobre la celeridad, ya que disminuye la densidad y modulo de compresibilidad del agua, lo en general diminuye la celeridad de la onda.

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15

Ecuaciones Fundamentales

Ecuación conservación de la masa:

Realizando un balance de masa diferencial a la figura obtenemos:

01

.11

.1

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

xV

xA

AV

tA

AxV

tρ

ρρ

ρ

Derivada Material

xV

tDtD

∂⊗∂

+∂⊗∂

=⊗

.

011

=∂∂

++xV

DtDA

ADtDρ

ρ

Como nos interesa que aparezcan las variables p y V , es decir la causa y el efecto, exclusivamente, podemos expresar esta ecuación como:

0.

12

=∂∂

+x

V

Dt

Dp

aρ

∫∫ +∀∂∂

=∀ CSC

VdAdt ..

..0 ρρ

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0..22

=+∂∂

+ θsenVa

gxV

DtDH

a

g

Como suele ser más útil hablar de alturas piezométricas que de presiones:

γp

zH += ).(.).(Dt

Dz

Dt

DHg

Dt

DzHg

Dt

DP−+−= ρρ

=0

Dt

Dz

Dt

DH

Dt

D,<<

ρ=0

)..(.dxdz

VdtdH

gdtdP

−= ρ

Si consideramos que: θsenxz

−=∂∂

Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:

0.2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ θsenV

x

V

g

a

t

H

x

HV

De forma equivalente:

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Ecuación conservación del movimiento:

Para derivar las ecuaciones de conservación, vamos a suponer que:

• El flujo es exclusivamente unidireccional

• El rozamiento se calcula como si de un régimen permanente se tratase

• Las fuerzas exteriores que intervienen son: La presión y las fuerzas de rozamiento con la superficie de la tubería.

Aplicando el balance, obtenemos:

0.2

. =∂∂

++xH

gD

VVf

DtDV

02

.1

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

D

V

g

Vf

t

V

gx

V

g

V

x

H

De forma equivalente:

∫+∫ ∀∂∂

=∑∀ CSC

VdAVdVt

F..

.... ρρ

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18

Condiciones de contorno aplicables

El sistema de ecuaciones que determinan como se mueven las ondas de presión en una tubería estáconstituido por las ecuaciones:

Pero nada nos indica que produce la perturbación, o cual es el comportamiento que seguirá la perturbación cuando llegue al extremo de la tubería. Todo esto se lo hemos de indicar al sistema mediante las condiciones de contorno.

0.2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ θsenV

x

V

g

a

t

H

x

HV

02

.1

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

D

V

g

Vf

t

V

gx

V

g

V

x

H

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19

Cc1.- Punto de altura conocida

Por ejemplo, se trata de altura de un depósito o un punto de presión atmosférica

Depósito:

ctehzH ddd =+=

Descarga a la atmósfera:

00 zH =

ctehP Dd == γ.

00 =P

Cc2.- Punto de Caudal conocida

Es un nudo de caudal conocido. Por ejemplo en el extremo de una tubería, en el que se descarga o suministra un caudal, la presión manométrica será cero, por lo que la condición de contorno será:

)(00

00

tQQ

zH

==

00 =P

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20

Cc3. Caracterización de una válvula

En general la forma más adecuada para caracterizar una válvula suele mediante cualquiera de las expresiones:

HKQ v ∆= )(θ

2).( QKH θ=∆)(

1)(

2 θθ

vKK =

En realidad el ángulo de apertura es una función del tiempo, o Ley de Movimiento de la Válvula, la cual suele ser parte del problema a resolver en función del tiempo. En general los fabricantes suelen dar un valor proporcional al valor inicial, definiendo un coeficiente:

0,

)()(

v

v

K

K θθϕ =)(

1)(2

0 θϕθ

=K

K

Así definimos un coeficiente, τ(t) , como la relación entre el coeficiente de caudal y el que tiene la válvula completamente abierta:

)()0(

)0()()(

)(0,

tKKt

K

Kt

v

v ===ϕϕθτ

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21

Las Curvas que representan el comportamiento de las válvulas suelen expresarse como: bθθϕ =)(

En general las curvas se pueden ajustar bastante bien a la expresión:

Para las de mariposa b suele tener un valor alrededor de 2, para las de asiento plano, de alrededor de 0.5 , mientras que las lineales suelen estar con valores de b = 1.

En el caso de que el grado de apertura siga un comportamiento lineal, desde t = 0 hasta t = Tccompletamente abierta se puede expresar como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

cTt

t 1)(θ

En general podemos expresar la ley de apertura de la válvula como:

b

cTt

t ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 1)(ϕ

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22

Así, por ejemplo, para el caso supuesto de conocida la ley de cierre, θ(t)

HtKQ v ).(=

Para el caso de válvula abierta

00 ).0( HKQ v=

Si trabajamos en variables reducidas, y tomando Q0 y H0 como variables de referencia, tendremos:

00.

)0()(

HH

KtK

QQ

v

v=)()0(

)0()()(

)(0,

tKKt

K

Kt

v

v ===ϕϕθτ

htq ).(τ= 22

.)(

1q

th

τ=

b

cTt

t ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 1)0()( ϕϕEn general podemos decir que

b

cTtt

t ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−== 1

)0()(

)(ϕϕτ

Por lo que podemos decidir que:2

2.

1

1q

Tt

hb

c⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

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23

Cc4.- Válvula de retención

En el sentido de avance del fluido, sólo hemos de considerar las pérdidas introducidas por la misma válvula. Pero en el caso , muy corriente en el que consideremos el comportamiento ideal:

BA HH =

2.QKHH BA +=A B

Sentido Permitido

Con perdidas ( Real )Sin perdidas ( Ideal )

BA VV =

BA HH ≠A BSentido No Permitido

0== BA VV

EN el caso real, las válvulas no cierran de forma inmediata, existiendo un cierto proceso de inversión del flujo que aumenta la fuerza de cierre al aumentar la velocidad del fluido con el cierre de la válvula

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24

RESOLUCIÓN MEIDANTE EL MODELO ELÁSTICO: Método de las características

El sistema de ecuaciones que determinan el movimiento de las ondas en el transitorio hemos estudiado que esta constituido por:

Se trata de un sistema de dos ecuaciones diferenciales , casi lineales, de tipo hiperbólico. El sistema nos ha de ofrecer la evolución espacio-temporal de las variables H(x,t) y V(x,t). Resulta casi evidente la dificultad en encontrar una solución analítica al sistema, hasta la fecha no se ha encontrado, por lo que se debe acudir a técnicas numéricas para solucionar el problema. De entre los muchos métodos numéricos que se han utilizado para su resolución cabe destacar el método de las características, por su sencillez y popularidad, y por su facilidad para ser programado, además de ser capaz de capturar frentes de ondas muy abruptos.

0.2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ θsenV

x

V

g

a

t

H

x

HV

02

.1

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

D

V

g

Vf

t

V

gx

V

g

V

x

H

Tem

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25

0.2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ θsenV

x

V

g

a

t

H

x

HV

01.2

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

+∂∂

++∂∂

tH

xH

Vt

HsenV

x

V

g

a θ

Reorganizamos

Tomamos dx: ta

HH

x

Hx

ta

HHH

∆−

=∂∂

⎯→⎯∆−

= 1212

t

HH

t

Ht

t

HHH

∆−

=∂∂

⎯→⎯∆−

= 1212

01.2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +∂∂

++∂∂

a

V

t

HsenV

x

V

g

a θ

≅ 0 ≅ 1

02

=∂∂

+∂∂

t

H

x

V

g

a

x

H

H1

H2H

x

a∆t

t

H

H1

H2H

t ∆t

Tem

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26

02

.1

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

D

V

g

Vf

t

V

gx

V

g

V

x

H

Reorganizamos

02

.12

2

=+∂∂

+∂

∂+

∂∂

D

V

g

Vf

t

V

gxg

V

x

H

02

.1

2

2

=+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

D

V

g

Vf

t

V

gg

VH

x

≅ 0H>>V2/2g

01

=∂∂

+∂∂

t

V

gx

H

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27

x

H

t

V

g ∂∂

−=∂∂1

t

H

x

V

g

a

∂∂

−=∂∂2

ty

x ∂∂

∂∂

xt

H

x

V

g

a

∂∂∂

−=∂∂ 2

2

22

2

222

t

H

tx

V

g

a

∂∂

−=∂∂

∂

tx

H

t

V

g ∂∂∂

−=∂∂ 2

2

21

2

221

x

H

xt

V

g ∂∂

−=∂∂

∂

H y V son continuas en x y t

2

2

2

22

t

V

x

Va

∂∂

=∂∂

2

2

2

22

t

H

x

Ha

∂∂

=∂∂

Movimiento ondulatorio

Integral D’Alembert:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−a

xtf

a

xtFHH 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=−a

xtf

a

xtF

a

gVV 0

xtxtxt fFHH ,,0, +=−

( ) xtxtxt FfVVg

a,,0, −=−

F: Perturbación piezométrica con velocidad a en sentido contrario al movimiento del fluido

f: Perturbación piezométrica con velocidad a en sentido al movimiento del fluido

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28

( ) xtxtxt FQQgA

aHH ,0,0, 2=−−−

( )attxxSi ABAB −−=

( ) xAtAxAAtxAtA FQQgA

aHH ,0,0, 2=−−−

( ) xBtBxBtBxBtB FQQgA

aHH ,0,0, 2=−−−

Restando:

( )xAtAxBtBxAtAxBtB QQgA

aHH ,,,, −+=

x

(A) (B)

tA tBxA

xB

Recta positiva de Bergeron

H

Q

(QA,HA)tA

m=a/gA

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29

( ) xtxtxt fQQgA

aHH ,0,0, 2=−+−

( )attxxSi CDCD −+=

Sumando:

( )xCtCxDtDxCtCxDtD QQgA

aHH ,,,, −−=

x

(C) (D)

tC tDxC

xD

H

Q

(QC,HC)tC

m=-a/gA

Recta negativa de Bergeron

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30

Si conocemos las condiciones del flujo (H,Q) en A y B en t, también las conoceremos en C en el tiempo t+L/a:

x

(C) (B)

tC tB

H

Q

(QC,HC)t+L/a

(A)

tA

L L

(QB,HB)t

(QA,HA)t

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31

En los puntos extremos, se utiliza la ecuación de la recta característica adecuada, en función de que extremo de trate y de la condición de contorno, lo que plantea un sistema de ecuaciones que nos permite resolver el valor de H y V en los extremos.

Sólo nos falta determinar los intervalos temporales y espaciales que vamos a utilizar. Se ha de cumplir, por la imposición determinada en el método que:

ax

t∆

=∆

Si admitimos que ∆x son iguales en toda la tubería, lo que haremos es dividir la longitud de la tubería , L, en N intervalos, con lo que tendremos que el intervalo temporal valdrá:

aNL

t.

=∆

NL

x =∆

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32

RESOLUCIÓN MEIDANTE EL MODELO ELÁSTICO: Método de Gráfico de Schnyder-Bergeron

La expresión habitual de las rectas características en el método gráfico de Bergeron son las siguientes:

[ ])1()(..

)1()( −−−−= iQiQPAg

aiHiHP

[ ])1()(..

)1()( −−++= iQiQPAg

aiHiHP

C+ :

C- :

Hay que destacar que este método es útil desde el punto de vista de la comprensión de los fenómenos cuando tratamos con configuraciones simples, y las condiciones de contorno son sencillas. Para los casos más complicados este análisis se complica enormemente, y pierde parte de sus sentido práctico el continuar con este método en el análisis.

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33

[ ])1()(..

)1()( −−−−= iQiQPAg

aiHiHP

[ ])1()(..

)1()( −−++= iQiQPAg

aiHiHP

C+ :

C- :

[ ])1()(.)1()( −−−−= iQiQPCiHiHP a

[ ])1()(.)1()( −−++= iQiQPCiHiHP a

[ ] )(.)1(.)1()( iQPCiQCiHiHP aa −−+−=

[ ] )(.)1(.)1()( iQPCiQCiHiHP aa ++−+=

C+ :

C- :

Reordenando las ecuaciones obtenemos:

La recta característica C+ es una recta de pendiente ‘negativa’ , ( - Ca ) en le plano H-Q. Se trata de una recta que pasa por el punto Q(i-1),H(i-1) ( situado aguas arriba en la posición xi-1 en el instante ti-1 y el punto HP(i),QP(i), situado en aguas abajo el punto xi en el instante posterior ti. La traslación a la recta C- es inmediata.

Tem

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ulic

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34

Una alternativa al uso de estas ecuaciones es el comentado uso de las variables reducidas:

[ ] )(.2)1(.2)1()( iqpiqihihp ρρ −−+−=C+ :

C- : [ ] )(.2)1(.2)1()( iqpiqihihp ρρ ++−+=

AHgQa

...

20

0=ρ

Parámetro Adimensional de Allievi

Así, estas ecuaciones representan rectas de pendiente 2ρ en el plano h,q

ax

t∆

=∆aN

Lt

.=∆

NL

x =∆Para realizar el análisis hemos de dividir la longitud de la tubería en tramos. Cuanto más finos sean estos, menor será el incremento temporal que podamos tomar, y resultados más precisos, pero el trabajo a realzar aumente de forma considerable. Si elegimos tramos de análisis, es decir espacio entre puntos en la tubería en los que se determinará la evolución, grandes, el incremento temporal también crecerá, por lo que con menos incrementos podemos abarcar un periodo de análisis mayor, aunque con resultados menos precisos. Así, se deberá buscar un compromiso entre ambas alternativas en cada problema que debamos estudiar.

Tem

a 11

: Tr

ansi

torio

s H

idrá

ulic

os

35

Las características determinar rectas. Como se ve en el dibujo, la C+ une en el plano h,q un punto situado aguas abajo del punto que queremos determinar en el instante anterior t con el punto que queremos en el instante t+ ∆t. Pero claro, en el plano h,q no aparece el tiempo, por tanto, no sabemos la longitud de la recta C+, que une ambos puntos. Ni en la recta C- que une el punto aguas arriba en el instante t , con nuestro punto. Pero sabemos que ambas curvas pasan por el punto P en el instante t+ ∆t, por lo que la intersección de ambas curvas nos proporcionan los valores h,q del punto P situado entre ambos puntos en el instante t+ ∆t.

xi-1 xi+1xi

t+∆t

t

Plano x-t

Plano h-q Plano h-q

Tem

a 11

: Tr

ansi

torio

s H

idrá

ulic

os

36

En el caso de que el punto esté situado en los extremos, la recta característica intersectará con las curvas de las condiciones de contorno, para el instante temporal t+ ∆t.

SI dividimos la longitud de la tubería en N intervalos, la longitud de los intervalos valdrán:

NL

x =∆

Y el intervalo temporal que se elegirá será:

aNL

t.

=∆

Tem

a 11

: Tr

ansi

torio

s H

idrá

ulic

os

37

Esto significa que la solución no será continua sino que tendrá un carácter totalmente discreto. Sólo obtendremos soluciones para los puntos situados sobre los intervalos marcados:

NL

ixiX i .. =∆=

Y en los tiempos:

aNL

jtjti ... =∆=

Por ejemplo para N=2:

Tem

a 11

: Tr

ansi

torio

s H

idrá

ulic

os

38

Metodología General del Método Gráfico de Schnyder-Bergeron

1.- Seleccionar el número de puntos de cálculo.

Una vez determinados los puntos, identificar claramente las condiciones de contorno, diferenciando claramente las que varían con el tiempo, válvulas, cierres, etc.., de las que son fijas, depósitos descargas a la atmósfera,etc..., así como los puntos interiores.

2.- Calcular las pendientes de las rectas características en el plano.

0

0

0

0..

...

. HAgQa

HgVa

qh

ga

VH

Aga

QH

±=±=∆∆

±=∆∆

±=∆∆

3.- Representación gráfica en el plano h-q, H-Q o H-V de las condiciones de contorno.

4.- Construir el plano x-t. El cual contiene los puntos en x y los intervalos en t en los cuales se realizará el transitorio.

6.- Realizar el diagrama de Schnyder-Bergeron.

7.- Obtener las evoluciones temporales de las alturas piezométricas y caudales.

Tem

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: Tr

ansi

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s H

idrá

ulic

os

39

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MODELO CUASI-ELÁSTICO Y RÍGIDO

Tal como se comento al principio del tema si el transitorio es muy brusco no hay más remedio que acudir al método elástico o de golpe de ariete, modelo capaz de capturar frentes de onda muy abruptos y complicados. Peor no siempre estaremos es este caso tan limitante, habrán muchas ocasiones en las que el transitorio, aun siendo rápido, no resulta excesivamente brusco, por ejemplo, en la oscilación de dos depósitos, en chimeneas de equilibrio, el vaciado de un depósito,etc..., en estos casos podremos utilizar otros modelos, más sencillos, que nos proporcionará, de todas maneras, resultados más que satisfactorios.

0.2

. =∂∂

++xH

gD

VVf

DtDV

0..22

=+∂∂

+ θsenVa

gxV

DtDH

a

g

0...2

. =∂∂

++∂∂

xH

AgAD

QQf

tQ

0.

2=

∂∂

+∂∂

xQ

Aga

tH

Partimos de las mismas ecuaciones que describen el fenómeno de los transitorios, pero haremos una serie de simplificaciones, como despreciar el peso propio del fluido o los términos convectivos:

Tem

a 11

: Tr

ansi

torio

s H

idrá

ulic

os

40

Este sistema sigue siendo hiperbólico y es necesario acudir al método de las características para su resolución. Pero bien, si suponemos que la tubería es totalmente rígida ( E se hace infinito ) y el agua la consideramos como incompresible ( K se hace infinita ) , por la definición de celeridad, podemos decir que a será también infinita.

0.

2=

∂∂

+∂∂

xQ

Aga

tH

)(0

.

2tQQ

Aga

tH

xQ

=→=∂∂

=∂∂

0...2

. =∂∂

++∂∂

xH

AgAD

QQf

tQ

0.2

... =+∂∂

+AD

QQf

x

HAg

dt

dQ

Estas ecuaciones, que nos indican que no existe dependencia espacial del caudal, sólo temporal, y que desaparece la variación temporal de la altura piezométrica de las ecuaciones, será la base del modelo rígido. Si en esta ecuación supusiésemos que la variación temporal del caudal y la altura piezométrica es despreciable, por ser el transitorio bastante suave, obtendríamos :

0.2

... =++AD

QQf

dxdH

Ag 0...2

..

2=+

ADg

QQf

dxdH Que no es más que la

ecuación de Darcy-Weisbach, base para el modelo quasi-estático

eD

EK

K

a+

=1

ρ

Tem

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os

41

RESOLUCIÓN MEIDANTE EL MODELO CUASI-ESTÁTICO Y RÍGIDO:

El Modelo Rígido

0.2

... =++∂∂

+AD

QQf

xH

AgdtdQ

Esta ecuación la podemos integrar a través de dos puntos, con la única restricción que ambos puntos estén unidos por una líneas de corriente, por ejemplo, una tubería. Integrándola a lo largo de la longitud L que une ambos puntos, y utilizando la variable V en vez de Q obtenemos que:

dtdV

gL

gV

DL

fHH ++=2

.)2()1(

Es decir, se trata de un balance de energías, con la salvedad que incluimos el término que tiene en cuenta la energía necesaria para acelerar el fluido ( dV/dt > 0 ) o la energía recuperada por la desaceleración del fluido ( dV/dt < 0 ) en el balance entre ambos puntos.

Tem

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os

42

Ejemplos de aplicación del modelo rígido

Tiempo de establecimiento de una corriente

Se abre la válvula de forma instantánea, se trata de determinar cuanto tiempo tardará en alcanzarse el régimen estacionario en la corriente que desagua el depósito, es decir, cuando se alcanzará la velocidad V0. Podemos suponer que en ese primer periodo la altura del depósito se mantendrá constante, algo que es cierto en la mayoría de los casos en los que el depósito tiene unas dimensiones suficientemente mayores que la tubería.

dtdV

gL

gV

DL

fHH ++=2

.)2()1(

Aplicando el modelo rígido:

Patm.

dtdV

gL

gV

DL

fP

g

Vz

Pg

Vz atm ++++=++

222

21

21

1 .22 γγ

0 0dh

P=

γ1

dtdV

gL

gV

DL

fg

Vhd ++=

222 .

2

1 2

dtdV

gL

DL

fg

Vhd +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += .1

2

22

Tem

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os

43

dtdV

gL

DL

fg

Vhd +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += .1

2

22 Se trata de una ecuación diferencial, de fácil integración, ya que se

trata de una ecuación de variables separadas.

Cuando se establezca el régimen permanente, la aceleración del fluido cesará, es decir, dV/dt será 0, por lo que en este caso la ecuación anterior, que describe la evolución de la velocidad, mucho ojo, sólo en el extremo L de la tubería ya que es una ecuación proveniente de una integración entre los extremos de la tubería, quedará como:

DL

f

ghV d

+=

1

20

Que resulta muy lógica y que la podríamos haber determinado simplemente utilizando Bernoulli en régimen estacionario

Combinando ambas ecuaciones, con lo que podemos eliminar diámetro y factor de fricción obtenemos:

220

20

..

VV

dVdt

LV

hg d

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

DL

fg

Vhd .1

2

20

Tem

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os

44

220

20

..

VV

dVdt

LV

hg d

−=

Integrando entre t=0,V=0 y t=t, V=V0 )(

)(ln.

. 0

00tVVtVV

hgLV

td −

+=

1

1.)(

.0

.0

0

+

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dhgLV

t

dhgLV

t

e

eVtV

)()(

ln0

0tVVtVV

Kt−+

=

1

1.)( 0

+

−=

Kt

Kt

e

eVtV

SI cortamos cuando la velocidad es el 95% de la velocidad V0 , V=0.95V0, y definimos en ese punto el tiempo de establecimiento de la corriente:

de hg

LVT

.664.3 0=

Tem

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os

45

Ejemplos de aplicación del modelo rígido

Tiempo de vaciado de un depósito

Cuando en el caso anterior existe una variación importante del nivel, el problema se plantea como el de vaciado de un depósito.

dt

dV

g

L

D

Lf

g

VtHd +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += .12

)(2

2

La ecuación de conservación de la masa indica que la disminución del nivel es debida al caudal saliente:

4

...

2tuberia

salidad

depositoD

Vdt

dHA

π=−

Combinando ambas ecuaciones obtenemos:

0.

..1

2

12

2

2

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +− ddep

tubd

dep

tubd HAL

Ag

dt

dH

A

A

D

Lf

Ldt

Hd

0.2

2

2=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− d

dd HBdt

dHA

dt

Hd Ecuación diferencial del tipo Bernoulli

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46

Ejemplos de aplicación del modelo rígido

Oscilación entre dos depósito interconectados

Ejemplos de aplicación del modelo rígido

Chimeneas de equilibrio

21

2111

12

1 ...10 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

dtdz

A

A

D

Lf

dtdz

A

A

gL

zA

A

tub

depeq

tub

dep

dep

dep

Despreciando el término de la inercia en los depósitos. Ecuación válida en el sentido 2 a 1. En caso contrario el signo de las pérdidas ha de cambiar de signo