Ingeniería de Control M.C. Adrián García Mederez Capítulo 3 Sesión 16 #1 INGENIERÍA DE CONTROL...

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Ingeniería de ControlIngeniería de Control M.C. Adrián García MederezM.C. Adrián García Mederez

Capítulo 3

Sesión 16

#1

INGENIERÍA DE CONTROLINGENIERÍA DE CONTROLCAPÍTULOCAPÍTULO 3 3

Respuesta en el Tiempo de Sistemas de Respuesta en el Tiempo de Sistemas de Control Automático Continuo LinealControl Automático Continuo Lineal

Sesión 16Sesión 16Objetivo:Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los conocimientos y de las habilidades necesarias para que adquieran la conocimientos y de las habilidades necesarias para que adquieran la CompetenciaCompetencia de construir gráficas de respuesta en el tiempo con de construir gráficas de respuesta en el tiempo con ayuda de una calculadora programable y de una computadora ayuda de una calculadora programable y de una computadora utilizando el MS Excel, el MatLab y el Program CC. Todo esto a utilizando el MS Excel, el MatLab y el Program CC. Todo esto a través de utilizar las técnicas básicas de transformada de Laplace través de utilizar las técnicas básicas de transformada de Laplace para solución de ecuaciones diferenciales representadas por para solución de ecuaciones diferenciales representadas por funciones de transferencia para obtener de una manera funciones de transferencia para obtener de una manera generalizada el comportamiento en el tiempo de sistemas de control generalizada el comportamiento en el tiempo de sistemas de control automático analógico continuo lineal.automático analógico continuo lineal.

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Capítulo 3

Sesión 16

#2

RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLSISTEMAS DE CONTROL

Respuesta en el Tiempo Respuesta en el Tiempo

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Capítulo 3

Sesión 16

#3


Respuesta en el Tiempo Respuesta en el Tiempo

La respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema, La respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema, está formada de dos partes:está formada de dos partes:

- La respuesta transitoria: La respuesta transitoria: es la parte de la respuesta de un sistema es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.después de un breve intervalo.

- La respuesta en estado estable o estacionario: La respuesta en estado estable o estacionario: es la respuesta que es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los transitorios. permanece después de que desaparecen todos los transitorios. Régimen permanente.Régimen permanente.

c(t)=cc(t)=ctt(t)+c(t)+cssss(t)(t)

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Capítulo 3

Sesión 16

#4


Para estudiar la respuesta en el tiempo de un sistema, éste se excita con señales de entrada típicas. Para estudiar la respuesta en el tiempo de un sistema, éste se excita con señales de entrada típicas.

Señales de prueba típicas: Señales de prueba típicas: Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que las señales son funciones del timepo muy simples.

1 t1 t ≥≥ 00r(t)=r(t)= 0 t < 00 t < 0r(t)=Rr(t)=R11uu-1-1(t)(t)

R(s)=RR(s)=R11UU-1-1(s)=R(s)=R11/s/s

t t t t ≥ ≥ 00r(t)=r(t)= 0 t 0 t ≤ ≤ 00r(t)=Rr(t)=R22uu-2-2(t)(t)

R(s)=RR(s)=R22UU-2-2(s)=R(s)=R22/s/s22

RR11u-u-11(t)(t)

t

r(t)

EscalónEscalón

RR22u-u- 22(t)(t)

t

r(t)

RampaRampa tt22/2 t /2 t ≥ ≥ 00r(t)=r(t)= 0 t 0 t ≤ ≤ 00r(t)=Rr(t)=R33uu-3-3(t)(t)

R(s)=RR(s)=R33UU-3-3(s)=R(s)=R33/s/s33

AceleraciónAceleración

RR33u

-u-33(t

)(t)

t

r(t)

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Capítulo 3

Sesión 16

#5


Para estudiar el transitorio en los sistemas, se clasifican de acuerdo al orden de la ecuación diferencial que los describe:

1) Sistemas de 1er. Orden:

2) Sistemas de 2o. Orden:

3) Sistemas de 3er. Orden:

24

354)(

)(

sR

Cxy

dtdy

s

s

224

1053 2)(

)(

2

2

ssRC

xydtdy

dtyd

s

s

xydtdy

dtyd

dtyd

39622483 2

2

3

3

1er. Orden

2o. Orden

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Sesión 16

#6


La respuesta transitoria está caracterizada por el orden del sistema no por su naturaleza. Esto es, los sistemas de 1er. Orden, por ejemplo, tendrán una respuesta característica independientemente que sean eléctricos, mecánicos o térmicos.

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Capítulo 3

Sesión 16

#7


F.T. de un Sistema de Primer Orden:F.T. de un Sistema de Primer Orden:

SistemacualquierPara

sssRsC

11

1

1

)()(

El patrón de referencia en el sistema mecánico sólo tiene elementos pasivos, por eso su ganancia es 1 necesariamente. Pero en general el sistema de primer orden puede tener una ganancia distinta a 1.

MecánicoSistemaParaB

KsB

K

sXsY

)()(

OrdenerdeSistemaslos

describirparageneralForma

sK

s

K

sRsC G

G

.1

11)()(

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Sesión 16

#8


1

101

1)()(

s

ss

sK

sRsC G

• Un sistema de 1er. Orden tiene entonces un polo en: -1/• Y un cero puede estar en el infinito, como en éste caso o puede ser finito en algún otro caso.

• En toda F.T. en # de ceros (finitos o infinitos) es igual al # de polos. Nótese que los polos son las raíces del denominador de la F.T., mientras que los ceros finitos son las raíces del numerador de la F.T.

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Capítulo 3

Sesión 16

#9


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Sesión 16

#10


21,5

)2)(1()5(8

)(..

enpoloyenpoloorigenelenpolo

enfinitocerosss

sKsGHTF

s = 0

cte

s = -2s = -1

s = -5

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Sesión 16

#11


Características de la Respuesta Transitoria de los Características de la Respuesta Transitoria de los Sistemas de Primer OrdenSistemas de Primer Orden

10:

1:

11

;1

;1

enCeroenPolo

ssK

ssK

sK GGG

1. No presenta oscilaciones ni sobrepasos.

2. Tiene una duración de 5, en donde = cte. de tiempo.

Las posibles F.T.´s para los Sistemas de 1er. Orden:

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Sesión 16

#12


Ejemplo: Para el siguiente circuito RC

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Sesión 16

#13


Respuesta Transitoria para un Sistema de Primer OrdenRespuesta Transitoria para un Sistema de Primer Orden

11

)()(

ssR

sC

Sí R(s)=R/s entonces c(t) es:Sí R(s)=R/s entonces c(t) es:

1

11

)(ss

Rtc

que expandiendo en fracciones parciales queda:que expandiendo en fracciones parciales queda:

111

)( 1

ssRtc

antitransformando en Laplace nos queda:antitransformando en Laplace nos queda:

teRtc 1)(

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Sesión 16

#14


Respuesta Transitoria para un Sistema de Primer OrdenRespuesta Transitoria para un Sistema de Primer Orden

Respuesta al Escalon de un Sistema de Primer Orden

Tiempo (sec)

Sa

lida

c(t

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6321

t = 1

t = 5

t = 10

. . .Si en la Ecuación substituimos t = τ nos queda c(t) = 0.6321*R lo cual podemos visualizar en la gráfica donde cuando R = 1, t = τ = 1; R = 1, t = τ = 5; R = 1, t = τ = 10.

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Sesión 16

#15

Clasificación de los Sistema de Segundo Orden según el valor de Clasificación de los Sistema de Segundo Orden según el valor de la razón de amortiguamiento (la razón de amortiguamiento ())


1 0 Sistema Oscilatorio Puro o Sin Amortiguamiento

2 1 Sistema Subamortiguado

3 1 Sistema Críticamente amortiguado

4 1 Sistema Sobreamortiguado

Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo OrdenRespuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden

Parámetros de los Sistemas de 2º. Orden:

n = Frecuencia natural

= Razón de amortiguamiento

KG = Cte. de ganancia

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Capítulo 3

Sesión 16

#16

0.6321

1.00

Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden,Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden,Caso Subamortiguado: 0 < Caso Subamortiguado: 0 < < 1< 1


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Sesión 16

#17

Capítulo 3

Sesión 15

#5

22

2

2)()(

nsnsnK

sRsC G

Sí R(s)=1/s entonces c(t) es:Sí R(s)=1/s entonces c(t) es:

)2()(

22

2

1

nsnss

nKtC

G


Respuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden SubamortiguadoRespuesta Transitoria para un Sistema de Segundo Orden Subamortiguado

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Capítulo 3

Sesión 16

#18

Buscando en una tabla la antitransformada Buscando en una tabla la antitransformada nos queda:nos queda:

c t e tn t( ) sen

1

1

1 2

t

nsen

etc

tn 211

1)(2

Donde:Donde:

1cos

1tan

21



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Capítulo 3

Sesión 16

#19

Con la envolvente de la senoidal es:Con la envolvente de la senoidal es:

tee tn 11

Entonces se puede obtener Tr Entonces se puede obtener Tr y Ts como sigue:y Ts como sigue:

Trn

1

%15

%24

%53

para

para

para

Adonde

AT

ns



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Capítulo 3

Sesión 16

#20

Tiempo tTiempo t (1-e(1-e--δωδωnntt)) 100100 1-e1-e--δωδωnntt

ττ = 1/ = 1/δωδωnn 0.63210.6321 36.78%36.78%

22ττ = 2/ = 2/δωδωnn 0.86460.8646 13.53%13.53%

33ττ = 3/ = 3/δωδωnn 0.95020.9502 4.97%4.97%

44ττ = 4/ = 4/δωδωnn 0.98160.9816 1.83%1.83%

55ττ = 5/ = 5/δωδωnn 0.99320.9932 0.673%0.673%



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Sesión 16

#21

c te

tn t

n( ) sen

11

1 12

2

Para obtener el tiempo de subida Tp se Para obtener el tiempo de subida Tp se considera que considera que C(t)C(t) tiene como valor 1 tiene como valor 1

et

n t

n

11 0

22sen

Entonces:Entonces:

sen n t1 02

De donde Tp es:De donde Tp es:

n t1 2

Como el Sen Como el Sen = 0 entonces: = 0 entonces:

Tpn

1 2



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Capítulo 3

Sesión 16

#22

tsen

etc n

tn2

21

11)(

Para obtener Ta se deriva c(t) y se iguala a cero:Para obtener Ta se deriva c(t) y se iguala a cero:

dc t

dtn e t

et

n t n t

n( )

sen cos

1 11

2 2

2

01sin 2

t

dt

tdcn

n

t k k1 1 2 32 , , ,...

2min

max

1

n

kt

Tan

1 2



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Sesión 16

#23

Para obtener el % de Sobrepaso se substituye Ta en c(t):Para obtener el % de Sobrepaso se substituye Ta en c(t):

tsen

etc n

tn2

21

11)(

2

2

2

21

1

1

11)(

max

min

n

nsene

tcn

n

nsene

tc2

21

11)(

max

min



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Sesión 16

#24

2

111)(

max

min

entc

2

1max. 1tC=Máximo Sobrepaso

e

21

100=Sobrepaso de %

e



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Capítulo 3

Sesión 16

#25

Localización de los valores de los máximos y mínimos en la grafica de c(t)Localización de los valores de los máximos y mínimos en la grafica de c(t)



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