INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN Problemas de Interpolación

1. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos

soporte:

x 0 0.5 1 2 4 f(x) 0 0.4 0.5 0.4 0.25

Dicha función se interpola en el sentido de Lagrange mediante una función u(x) polinómica a trozos de primer grado. Se pide:

a) Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte. b) Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de

ellas en un gráfico distinto. c) Obtener la función u(x) d) Sabiendo que

( )( )( )( )

1.5 0 0.5

0.5 0.5 1

0.5 1 2

0.05 2 4

f x x

f x x

f x x

f x x

′′ < ≤ <

′′ < ≤ ≤

′′ < ≤ ≤

′′ < ≤ ≤

obtener una cota del error de interpolación lo más pequeña posible. Solución

a) y b)

( )

[ [

( ) [ [[ ]

1

0 2 0,0.50.5 0

1 2 1 0.5,10.5 1

0 1,4

x x x

xx x x

x

ϕ

− = ∈ −−= = − ∈ −

∈

0 0.

1 2 4

φ1(x)

0 0.5 1 2 4

φ0(x) ( ) [ [

[ ]0

0.5 1 2 0,0.50 0.5

0 0.5,4

x x xx

xϕ

− = − ∈= − ∈

c)

( )

( ) [ [( ) ( ) [ [( ) ( ) [ [

( ) ( ) [ ]

0 1 2 0.4 2 0.8 0,0.50.4 2 1 0.5 2 1 0.3 0.2 0.5,1

0.5 2 0.4 1 0.6 0.1 1,20.4 2 0.5 0.25 0.5 1 0.55 0.075 2,4

x x x xx x x x

u xx x x x

x x x x

⋅ − + ⋅ = ∈ ⋅ − + ⋅ − = + ∈= ⋅ − + ⋅ − = − ∈ ⋅ − + ⋅ − = − ∈

e) El error de interpolación en el intervalo [xi, xi+1] , i = 0,1,2,3, viene dado por:

( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1, ,2

ii i i i i i

fx x x x x x x

ξε ξ+ +

′′= − − ∈

Calculemos los valores extremos de ( ) ( )( )1i i ix x x x xπ += − − en [ ]1,i ix x + :

( ) ( )( ) ( )21 1 1i i i i i i ix x x x x x x x x x xπ + + += − − = − + +

( ) ( ) 112 0

2i i i

i i extd x xx x x x xdxπ +

+

+= − + = ⇒ =

Si llamamos ci al máximo valor (en valor absoluto) que puede tomar ( )i xπ en

[ ]1,i ix x + :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1

1 14 2 4i i i i i i

i i ext i i i i

x x x x x xc x x x x xπ + + +

+ +

+ + += = − + = −

Luego:

( )[ [

[ ]4

0 0,22 1 1 2,4

4 2 2

xx x x x

ϕ ∈= −

= − ∈ −0 0.5 1 2 4

φ4(x)

( )

[ [

[ [

[ ]

3

0 0,11 1 1,2

2 14 1 2 2,4

2 4 2

xxx x x

x x x

ϕ

∈ −= = − ∈ −

− = − + ∈ −0 0.5 1 2 4

φ3(x)

( )

[ [

[ [

[ [[ ]

2

0 0,0.50.5 2 1 0.5,1

1 0.52 2 1,2

1 20 2,4

xx x x

xx x x

x

ϕ

∈ − = − ∈ −= − = − ∈ − ∈

0 0.5 1 2 4

φ2(x)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 20 1

0 0 1

2 21 2

1 1 2

2 22 3

2 2 3

2 23 4

3 3 4

0 0.50 0.5 0.0625

4 4

0.5 10.5 1 0.0625

4 4

1 21 2 0.25

4 4

2 42 4 1

4 4

x xc x x

x xc x x

x xc x x

x xc x x

+ += − = ⋅ − =

+ += − = ⋅ − =

+ += − = ⋅ − =

+ += − = ⋅ − =

Por tanto:

( ) ( ) [ ]

( )

( )

( )

( )

1

2

1

3

4

1.5 0.0625 0.04687520.5 0.0625 0.0156252, ,

0.52 0.25 0.06252

0.051 0.0252

ii i i i i

x

xfx c x x

x

x

ε

εξε ξ

ε

ε

+

< = < =′′

< ∈ ⇒ < = < =

En definitiva, podemos asegurar que u(x) interpola f(x) en el intervalo [0, 4] con un error inferior a 0.0625.

2. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos

soporte: x 0 0.5 1 2 3 4

f(x) 0 1 1.5 1 1.25 2 Se desea encontrar una función polinomial a trozos que interpole la función dada en el sentido de Lagrange de tal forma que la función interpoladora debe ser un polinomio de segundo grado en los intervalos [0, 1] y [2, 4] y un polinomio de primer grado en el intervalo [1, 2]. Se pide:

a) Obtener los polinomios interpoladores correspondientes a los intervalos [0, 1] y [1, 2] mediante el método de diferencias divididas de Newton.

b) Obtener el polinomio interpolador correspondiente al intervalo [2, 4] mediante el método de diferencias finitas progresivas de Newton-Gregory.

c) Obtener una fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio que, usando como soporte los puntos {1, 3, 4}, permita aproximar f ‘(3).

d) Determinar el error de derivación numérica de la fórmula obtenida en el apartado c).

Solución

a) Las tablas de diferencias divididas de f(x) correspondientes a los soportes {0, 0.5, 1} y {1, 2} son:

xi f[xi] f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2]

0 0 1 0 2

0.5 0−

=−

1 2 11 0−

= −−

0.5 1 1.5 1 11 0.5

−=

−

1 1.5

xi f[xi] f[xi , xi+1]

1 1.5 1 1.5 0.52 1−

= −−

2 1 Por tanto, los dos polinomios interpoladores pedidos son:

( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) [ ]( ) ( )

1

2

2

0 0,0.5 0 0,0.5,1 0 0.5

0 2 0 0 0.5 2.5

1 1,2 1 1.5 0.5 1 2 0.5

u x f f x f x x

x x x x x

u x f f x x x

= + − + − − =

+ − − − − = −

= + − = − − = −

b) La tabla de diferencias finitas progresivas de f(x) correspondiente al soporte {2, 3,

4} es:

xi Δ0fi = f(xi) Δ1fi Δ2fi 2 1 1.25-1=0.25 0.75-0.25=0.5 3 1.25 2-1.25=0.75 4 2

( ) ( )20 1 2 2

3 0 0 0 1 0.25 0.5 1 0.250 1 2 2

t tt t tu t f f f t t

− = ∆ + ∆ + ∆ = + + = +

y como 0x x th= + , resulta que 2t x= − , luego:

( ) ( )2 23 1 0.25 2 2 0.25u x x x x= + − = − +

Por tanto, la función polinomial a trozos, u(x), pedida es:

( )[ [[ [[ ]

2

2

2.5 0,12 0.5 1,22 0.25 2,4

x x xu x x x

x x x

− ∈= − ∈ − + ∈

c) La tabla de diferencias divididas de f(x) correspondiente al soporte {1, 3, 4} es:

xi f[xi] f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2]

1 f0 1 0

3 1f f−−

( )1 0

2 1

2 1 012 2 3

4 1 6

f ff ff f f

−− −

= − +−

3 f1 2 1

4 3f f−−

4 f2

Por tanto:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )1 00 2 1 0

11 2 3 1 32 6

f x p x xf ff x f f f x x x

ε

ε

= + =

−= + − + − + − − +

de donde:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 02 1 0

0 1 2 0 1 2

1 2 3 1 32 6

1 17 15 8 3 26 3

f x p x R ff f f f f x x R f

f f f f f f x R f

′ ′= + =

−= + − + − + − + =

= − + − + − + +

y, particularizando en x=3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 013 3 4 3 0.4583333326

f p R f f f f R f R f′ ′= + = − − + = +

d) Desarrollamos en serie de Taylor alrededor del punto x=3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 8 161 3 2 3 2 3 3 3 32 6 24

1 1 14 3 1 3 3 3 3 32 6 24

iv

iv

f f f f f f f

f f f f f f f

′ ′′ ′′′= − = − + − + +

′ ′′ ′′′= + = + + + + +

…

…

Por tanto:

( ) ( ) ( )2 1 01 14 3 3 36 9

f f f f f′ ′′′− − = + +…

Luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 1 01 1 13 4 3 3 , 1,46 9 9

R f f f f f f f ξ ξ′ ′′′ ′′′= − − − = + = ∈…

3. De una función f(x) se conocen los siguientes valores:

x 1 2 3

f(x) 0 5.545 29.663

x 1.134 2 2.866 f(x) 0.183 5.545 24.787

Se pide:

a) Calcular el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) relativo al soporte

{1, 2, 3} utilizando los polinomios de base de Lagrange. b) Calcular el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) relativo al soporte

{1.134, 2, 2.866} mediante el método Newton en diferencias divididas. c) Sabiendo que f’’’(x) < 17.6 en el intervalo [1, 3], razonar cual de los soportes, {1, 2,

3} o {1.134, 2, 2.866}, permite interpolar la función f(x) en el sentido de Lagrange en el intervalo [1,3] con menor cota de error.

d) Si x representa el tiempo y f(x) el espacio recorrido por un móvil puntual, obtén una aproximación numérica de la aceleración de dicho móvil en el instante x = 1.75.

Solución:

a) Los polinomios de base de Lagrange relativos al soporte {1, 2, 3} son:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

21 20

0 1 0 2

20 21

1 0 1 2

20 12

2 0 2 1

2 3 1 5 61 2 1 3 2

1 3 4 32 1 2 3

1 2 1 3 23 1 3 2 2

x x x x x xL x x xx x x xx x x x x xL x x xx x x xx x x x x xL x x xx x x x

− − − −= = = − +

− − − −− − − −

= = = − − +− − − −− − − −

= = = − +− − − −

Luego, el polinomio interpolador buscado es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2

2 2 2

2

1 10 5 6 5.545 4 3 29.663 3 22 2

9.287 22.315 13.028

p x f x L x f x L x f x L x

x x x x x x

x x

= + + =

= ⋅ − + − ⋅ − + + ⋅ − + =

= − +

b) Calculemos ahora el polinomio interpolador de Lagrange relativo al soporte {1.134,

2, 2.866} utilizando la fórmula de Newton en diferencias divididas:

xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] 1.134 0.183 5.545 0.183 6.191

2 1.134−

=−

22.219 6.191 9.2542.866 1.134

−=

−

2 5.545 24.787 5.545 22.2192.866 2

−=

−

2.866 24.787

( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )( )( ) ( )( )

2 0 0 1 0 0 1 2 0 1

2

, , ,

0.183 6.191 1.134 9.254 1.134 2 9.254 22.811 14.150

p x f x f x x x x f x x x x x x x

x x x x x

= + − + − − =

= + − + − − = − +

c) El error de interpolación viene dado por:

( )( ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

0 1 20

0 1 2

1 ! 3!17.6

6

n n

ii

f fx x x x x x x x x

n

x x x x x x

ξ ξε

=

′′′= − = − − − <

+

< − − −

∏

Calculemos ahora el valor máximo de ( ) ( )( )( )0 1 2x x x x x x xπ = − − − en [1, 3]:

c.1) Soporte {1, 2, 3}

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

3 2

2

1 2 3 6 11 6

1.423 1.423 0.3852 12 11 0

2.577 2.577 0.385

x x x x x x x

xx x x

x

π

ππ

π

= − − − = − + −

= =′ = − + = ⇒ = = −

Para saber si los puntos x = 1.423 y x = 2.577 son extremos absolutos hay que comparar los valores de π(x) en estos puntos con los valores en los extremos del intervalo, es decir en x = 1 y x = 3. Obviamente, π(1) = π(3) = 0, por tanto:

( ) 17.6 0.385 1.1296

xε < =

c.2) Soporte {1.134, 2, 2.866}

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

3 2

2

1.134 2 2.866 6 11.25 6.5

1.5 1.5 0.252 12 11.25 0

2.5 2.5 0.25

x x x x x x x

xx x x

x

π

ππ

π

= − − − = − + −

= =′ = − + = ⇒ = = −

Para saber si los puntos x = 1.5 y x = 2.5 son extremos absolutos hay que comparar los valores de π(x) en estos puntos con los valores en los extremos del intervalo, es decir en x = 1 y x = 3. Ahora, π(1) = -0.25 y π(3) = 0.25, por tanto:

( ) 17.6 0.25 0.7336

xε < =

Por consiguiente, el segundo soporte permite interpolar f(x) con menor cota de error.

c) En las condiciones del enunciado, la aceleración puede aproximarse numéricamente mediante la derivada segunda del polinomio interpolador. Si escogemos el polinomio interpolador obtenido en el apartado a), esta será 18.574 y, si empleamos el obtenido en el apartado b), 18.508.

4. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos

soporte:

x 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 f(x) 2.5 0 -0.5 -0.5 0 1.6

Dicha función se interpola en el sentido de Lagrange mediante una función u(x) polinómica a trozos de primer grado. Se pide:

f) Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte. g) Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de

ellas en un gráfico distinto. h) Obtener la función u(x)

i) Sabiendo que f(1.25) = –0.35 y que ( ) ( ) [ ]1 , 1,1.52

f x f x x′′′ ′′≤ ∀ ∈ , ¿cuál es

la mejora relativa de la cota del error de interpolación al emplear como soporte de interpolación {1, 1.25, 1.5} en lugar de {1, 1.5} para aproximar f(x) en el intervalo [1, 1.5]?

Solución:

a) y b)

( )[ [

[ ]0

1 2 2 0.5,10,5 1

0 1, 5

x x xx

xϕ

− = − ∈ −= ∈

( )

[ [

[ [[ ]

1

0.5 2 1 0.5,1.01 0.5

1.5 2 3 1,1.51 1.5

0 1.5,5

x x x

xx x x

x

ϕ

− = − ∈ −−= = − + ∈ −

∈

( )

[ [

[ [

[ [[ ]

2

0 0.5,1.01 2 2 1,1.5

1.5 12 2 4 1.5,2

1.5 20 2,5

xx x x

xx x x

x

ϕ

∈ − = − ∈ −= − = − + ∈ − ∈

( )

[ [

[ [

[ [[ ]

3

0 0.5,1.51.5 2 3 1.5,2

2 1.53 3 2,3

2 30 3,5

xx x x

xx x x

x

ϕ

∈ − = − ∈ −= − = − + ∈ − ∈

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )2 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )1 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )0 xϕ

( )

[ [

[ [

[ ]

4

0 0.5,22 2 2,3

3 25 1 5 3,5

3 5 2 2

xxx x x

x x x

ϕ

∈ −= = − ∈ −

− = − + ∈ −

( )[ [

[ ]5

0 0.5,33 1 3 3,5

5 3 2 2

xx x x x

ϕ ∈= −

= − ∈ −

c)

( )

( )( ) ( )( ) [ [( )( ) ( )( ) [ [( )( ) ( )( ) [ [( )( ) ( )( ) [ [( )( ) ( )( ) [ ]

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

2 2 2 1 5 5 0.5,12 3 2 2 1 1,1.52 4 2 3 0.5 1.5,2

3 2 0.5 1.5 2,30.5 2.5 0.5 1.5 0.8 2.4 3,5

f x x f x x x xf x x f x x x x

u x f x x f x x xf x x f x x xf x x f x x x x

− + − = − + ∈ − + + − = − + ∈= − + + − = − ∈ − + + − = − ∈

− + + − = + ∈

j) Llamemos p1(x) al polinomio interpolador en el intervalo [1, 1.5] que acabamos de

obtener, es decir:

( )1 1p x x= − +

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )5 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )4 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )3 xϕ

Podemos acotar el error cometido mediante:

( )( ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1

1 1 1.5 1 1.51 ! 2

nf fx x x x x

nξ ξ

ε+ ′′

= − − = − −+

El polinomio π1 = (x-1)(x-1.5) alcanza su valor extremo en el punto:

( ) ( ) ( )1 1 1.5 0 1.25 1.25 0.0625x x xπ π′ = − + − = ⇒ = ⇒ = −

y, llamando M al mayor valor que puede alcanzar ( )f x′′ en [1, 1.5]:

( )1 0.06252Mxε ≤

Por otra parte, el polinomio interpolador relativo al soporte {1, 1.25, 1.5} es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2

1.25 1 1.5 2 1.25 11 1 1 1.25

0.25 2 0.259.6 23 13.4

f f f f fp x f x x x

x x

− − += + − + − − =

⋅= − +

siendo el error cometido:

( )( ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )

1

2 1 1.25 1.5 1 1.25 1.51 ! 6

nf fx x x x x x x

nξ ξ

ε+ ′′′

= − − − = − − −+

El polinomio π2 = (x-1)(x-1.25)(x-1.5) alcanza sus valores extremos en los puntos:

( )( )

222

2

1.1057 1.1057 0.006013 7.5 4.625 0

1.3943 1.3943 0.00601x

x xx

ππ

π= ⇒ =′ = − + = ⇒ = ⇒ = −

y como ( ) ( ) [ ]1 , 1,1.52

f x f x x′′′ ′′≤ ∀ ∈ :

( )2 0.006012 6Mxε ≤⋅

Así pues, la nueva cota de error es 62,4 veces menor.

5. Se desea interpolar la función

( ) 2

11

f xx

=+

en el sentido de Lagrange mediante una función polinómica a trozos de primer grado, u(x), en el intervalo [-2, 2]. Para ello se considera el soporte {-2, -1, 0, 1, 2}. Se pide:

a) Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte. b) Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de ellas

en un gráfico distinto. c) Obtener la función u(x) d) Obtener una cota lo más pequeña posible del error cometido al aproximar f(x)

mediante u(x) en el intervalo [-2, 2].

Solución a) y b)

( ) []

0

1 1 2,2 1

0 1,2

x x si xx

si xϕ

+ = − − ∈ − −= − + ∈ −

( )

[

] ]] ]

1

2 2 2, 11 2

0 1,01 0

0 0,2

x x si x

xx x si x

si x

ϕ

+ = + ∈ − −− +−= = − ∈ −− −

∈

( )

[

] ]

] ]] ]

2

0 2, 11 1 1,0

0 11 1 0,1

0 10 1,2

si xx x si x

xx x si x

si x

ϕ

∈ − − + = + ∈ − += − = − + ∈ − ∈

( )

[

] ]

] ]

3

0 2,00 0,1

1 02 2 1,2

1 2

si xxx x si x

x x si x

ϕ

∈ − −= = ∈ −

− = − + ∈ −

-2 -1 0 1 2

φ0(x

-2 -1 0 1 2

φ1(x

-2 -1 0 1 2

φ2(x

-2 -1 0 1 2

φ3(x

( )[ ]

] ]4

0 2,11 1 1,2

2 1

si xx x x si x

ϕ ∈ −= −

= − ∈ −

c)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ]

0 0 1 1

1 1 2 2

2 2 3 3

3 3 4 4

1 1 3 4( 1) 2 2, 15 2 10 5

1 11 1 1 1,02 2

1 11 1 1 0,12 2

1 1 3 4( 2) 1 1,22 5 10 5

x f x x f x x x x si x

x f x x f x x x x si xu x

x f x x f x x x x si x

x f x x f x x x x si x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ = − + + + = + ∈ − − + = − + + = + ∈ −

= + = − + + = − + ∈ + = − + + − = − + ∈

d) El error de interpolación es:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( 1

0 0

max1 ! 1 !

n n n

i ii i

f Mx x x x xn n

ξε

+

= =

= − ≤ −+ +∏ ∏

siendo M una cota de ( )( 1nf x+ en el intervalo considerado.

Calculemos M teniendo en cuenta que, en nuestro caso, n=1:

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

22

2

3 22 2

3

4 32 2

11

2

1

8 2

1 1

048 24 011 1

f xx

xf xx

xf xx x

xx xf xxx x

=+

′ = −+

′′ = −+ +

=′′′ = − − = ⇒ = ±+ +

Intervalo [-2, -1]:

-2 -1 0 1 2

φ4(x

Sólo hay un extremo relativo de ( )f x′′ (en x = -1) cuyo valor es: ( )1 1/ 2f ′′ − = . Veamos el

valor de ( )f x′′ en el otro extremo de [-2,-1]: ( ) 222125

f ′′ − = . Por tanto, podemos asegurar

que, [ ]2, 1x∀ ∈ − − , ( ) 12

f x′′ ≤ . Por otra parte:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( )

2 132 1 02

3 1 12, 1 ,2 4 4

x x x

x x x x

x x

π

π

π π

= + +

′ = + + + = ⇒ = −

− = − ⇒ ∀ ∈ − − ≤

En definitiva:

[ ] ( )1

1 122, 1 , 0.06252! 4 16

x xε∀ ∈ − − ≤ ⋅ = =

Intervalo [-1, 0]: Los extremos relativos están en los extremos del intervalo por lo que son, además, absolutos.

Como ( )1 1/ 2f ′′ − = y ( )0 2f ′′ = − , podemos asegurar que [ ]1,0x∀ ∈ − , ( ) 2f x′′ ≤ . Por

otra parte:

( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( )

111 02

1 1 11,0 ,2 4 4

x x x

x x x x

x x

π

π

π π

= +

′ = + + = ⇒ = −

− = − ⇒ ∀ ∈ − ≤

En definitiva:

[ ] ( ) 2 1 11,0 , 0.252! 4 4

x xε∀ ∈ − ≤ ⋅ = =

Intervalo [0, 1]: Los extremos relativos están en los extremos del intervalo por lo que son, además, absolutos.

Como ( )0 2f ′′ = − y ( ) 112

f ′′ = , podemos asegurar que [ ]0,1x∀ ∈ , ( ) 2f x′′ ≤ . Por otra

parte:

( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( )

111 02

1 1 10,1 ,2 4 4

x x x

x x x x x

x x

π

π

π π

= −

′ = + − + = ⇒ =

= ⇒ ∀ ∈ ≤

En definitiva:

[ ] ( ) 2 1 10,1 , 0.252! 4 4

x xε∀ ∈ ≤ ⋅ = =

Intervalo [1, 2]:

Sólo hay un extremo relativo de ( )f x′′ (en x = 1) cuyo valor es: ( )1 1/ 2f ′′ = . Veamos el

valor de ( )f x′′ en el otro extremo de [1, 2]: ( ) 222125

f ′′ = . Por tanto, podemos asegurar

que, [ ]1,2x∀ ∈ , ( ) 12

f x′′ ≤ . Por otra parte:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( )

1 231 2 02

3 1 11,2 ,2 4 4

x x x

x x x x

x x

π

π

π π

= − −

′ = − + − = ⇒ =

= − ⇒ ∀ ∈ ≤

En definitiva:

[ ] ( )1

1 121,2 , 0.06252! 4 16

x xε∀ ∈ ≤ ⋅ = =

6.- De la función f(x), que se supone continua en el intervalo [0, 5] se

conocen los valores que toma en los siguientes puntos:

x 0 1 2 3.5 4 4.5 5 f(x) 0.5 1.1 1.5 3 2.5 0.5 0

Se desea aproximar f(x) mediante una función u(x), polinómica a trozos, de

tal forma que u sea un polinomio de primer grado en [0, 1], un polinomio de

segundo grado en [1, 3.5] y un polinomio de tercer grado en [3.5, 5]. Se pide:

a) Obtener las correspondientes funciones de base en los puntos {0, 1, 2, 3.5, 4, 4.5, 5} que constituyen el soporte.

b) Dibujar de forma aproximada las funciones de base obtenidas en el apartado anterior. Dibujar cada una de ellas en un gráfico distinto.

c) Obtener la función u(x) d) Sabiendo que, para esta función en concreto, se cumple:

( ( ) [ ]22.7 1.3 8, 0, 5if x i i x< − + ∀ ∈

y que todo polinomio de la forma:

( ) ( )( )( )( )0 1 2 3q x x x x x x x x x= − − − − ,

donde { }0 1 2 3, , ,x x x x son cuatro puntos distintos equidistantes una

distancia h y tales que 0 1 2 3x x x x< < < , verifica:

( ) [ ]0 0 33 5 , ,2 2

q x q x h x x x

≤ + + ∀ ∈ ,

se pide determinar una cota, lo más pequeña posible, del error cometido al aproximar f(x) mediante u(x).

Solución: a)

( ) [ [[ ]

0

1 1 0,10 1

0 1,5

x x xx

xϕ

− = − ∈= − ∈

( )

[ [

[ [[ ]

21

0 0,11 0

2 3.5 0.4 2.2 2.8 1,3.51 2 1 3.50 3.5,5

x x x

x xx x x x

x

ϕ

− = ∈ −− −= = − + ∈ − −

∈

( )

[ [

[ [[ ]

22

0 0,11 3.5 2 73 1,3.5

2 1 2 3.5 3 30 3.5,5

xx xx x x x

x

ϕ

∈ − −= = − + − ∈ − −

∈

( )

[ [

[ [

[ ]

23

3 2

0 0,11 2 4 4 8 1,3.5

3.5 1 3.5 2 15 5 154 4.5 5 4 24218 120 3.5,5

3.5 4 3.5 4.5 3.5 5 3 3

xx xx x x x

x x x x x x x

ϕ

∈ − −= = − + ∈ − −

− − − = − + + + ∈ − − −

( )[ [

[ ]4 3 2

0 0,3.53.5 4.5 5 4 52 223 315 3.5,5

4 3.5 4 4.5 4 5

xx x x x x x x x

ϕ ∈= − − −

= − + − ∈ − − −

( )[ [

[ ]5 3 2

0 0,3.53.5 4 5 4 50 206 280 3.5,5

4.5 3.5 4.5 4 4 5

xx x x x x x x x

ϕ ∈= − − −

= − + − + ∈ − − −

( )[ [

[ ]6 3 2

0 0,3.53.5 4 4.5 4 19116 84 3.5,5

5 3.5 5 4 5 4.5 3 3

xx x x x x x x x

ϕ ∈= − − −

= − + − ∈ − − −

b)

c)

( ) ( ) ( )[ [

[ [[ ]

2

0 3 2

0.6 0.5 0,1

0.24 3.2 1.18 1,3.5

4 51 212.5 287.5 3.5,5

n

i ii

x x

u x f x x x x x

x x x x

ϕ=

+ ∈

= = − + ∈ − + − ∈

∑

d) Tramo [0, 1]:

( ) ( )( )1 0 1

ξε

2!f

x x x x′′

= − −

( ) 2.7 4 1.3 2 8 16.2f x M′′ < ⋅ − ⋅ + = =

( )( ) ( )( ) ( ) [ ]

0 1 1 2 1 0 0.5

0.5 0.25 0.25 0,1

q x x x x x x q x x

q q x K x

′= − − = − ⇒ = − = ⇒ =

= − ⇒ ≤ = ∀ ∈

0ϕ 1ϕ2ϕ

3ϕ

4ϕ 5ϕ

6ϕ

116.2ε 0.25 2.025

2! 2M K≤ = =

Tramo [1, 3.5]:

( ) ( )( )( )2 1 2 3

ξε

3!f

x x x x x x′′′

= − − −

( ) 2.7 9 1.3 3 8 28.4f x M′′′ < ⋅ − ⋅ + = =

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )

( ) [ ]

1 2 3

2

1 2 3.5

2.8931498243 13 12.5 0

1.440183509

2.893149824 1.0261025921.026102592 1,3.5

1.440183509 0.5075840734

q x x x x x x x x x

xq x x

x

qq x K x

q

= − − − = − − − ⇒

=′⇒ = − + = ⇒ == − ⇒ ≤ = ∀ ∈=

228.4ε 1.026102592 4.856885602

3! 6M K≤ = =

Tramo [3.5, 5]:

( ) ( )( )( )( )3 3 4 5 6

ξε

4!

ivfx x x x x x x x= − − − −

( ) 2.7 16 1.3 3 8 46ivf x M< ⋅ − ⋅ + = =

( )( )( )( )3 4 5 6q x x x x x x x x= − − − −

Según la fórmula dada:

( ) 33 5 3 53.5 0.5 0.06252 2 2 2

q x q x h q K

≤ + + = + + = =

346ε 0.0625 0.1197916

4! 24M K= = =

Por tanto:

{ } { }1 2 3ε ε , ε , ε 2.025,4.856885602,0.1197916 4.856885602Max Max≤ = =

7. De una cierta función f(x) que se supone al menos de clase C3([0,3], R), se conocen los

valores {f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6} que toma respectivamente en los puntos {0, 0.25, 1, 1.75, 2, 2.25, 3}:

f0 = f(x0) = f(0) = 3.5

f1 = f(x1) = f(0.25) = 0.

f2 = f(x2) = f(1) = 1.5

f3 = f(x3) = f(1.75) = 4.

f4 = f(x4) = f(2) = 4.5

f5 = f(x5) = f(2.25) = 6.

f6 = f(x6) = f(3) = 6. Se desea aproximar f(x) en [0, 3] mediante una función u(x), polinómica a trozos, existiendo dudas acerca de cuál ha de ser el grado de los polinomios que la componen. Se pide:

a) Determinar la función u1(x) en el caso de estar formada por tres polinomios de segundo grado.

b) Determinar la función u2(x) en el caso de estar formada por un polinomio de

segundo grado en el intervalo [0,1[, un polinomio de primer grado en [1, 1.75[, otro polinomio de primer grado en [1.75, 2[ y un polinomio de segundo grado en [2, 3].

c) Sabiendo que:

( ) ( ) ( ) [ [( ) ( ) ( ) [ [( ) ( ) ( ) [ ]

1.; 1.25.; 0.5, 0,1

5.; 3.25.; 0.75, 1,2

10.; 12.5.; 10.5, 2,3

f x f x f x x

f x f x f x x

f x f x f x x

′ ′′ ′′′< < < ∀ ∈

′ ′′ ′′′< < < ∀ ∈

′ ′′ ′′′< < < ∀ ∈

determinar cual de las dos funciones, u1(x) o u2(x), aproxima f(x) con menor error.

Solución

a) Por comodidad, utilizaremos el método de diferencias divididas para calcular cada uno de los polinomios de segundo grado que componen u1(x).

Intervalo [0, 1[:

ix ( )if x [ ]1,i if x x + [ ]1 2, ,i i if x x x+ +

0 3.5 0 3.5 140.25 0−

= −−

2 14 161 0+

=−

0.25 0 1.5 0 21 0.25

−=

−

1 1.5

Es decir:

( ) ( ) ( )( ) [ [21 3.5 14 0 16 0 0.25 3.5 18 16 0,1u x x x x x x x= − − + − − = − + ∀ ∈

Intervalo [1, 2[:

ix ( )if x [ ]1,i if x x + [ ]1 2, ,i i if x x x+ +

1 1.5 4 1.5 101.75 1 3−

=−

102 43

2 1 3

−= −

−

1.75 4 4.5 4 22 1.75

−=

−

2 4.5

Es decir:

( ) ( ) ( )( ) [ [21

10 4 25 41.5 1 1 1.75 7 1,23 3 6 3

u x x x x x x x= + − − − − = − + − ∀ ∈

Intervalo [2, 3]:

ix ( )if x [ ]1,i if x x + [ ]1 2, ,i i if x x x+ +

2 4.5 6 4.5 62.25 2−

=−

0 6 63 2−

= −−

2.25 6 6 6 03 2.25

−=

−

3 6

Es decir:

( ) ( ) ( )( ) [ ]21 4.5 6 2 6 2 2.25 34.5 31.5 6 2,3u x x x x x x x= + − − − − = − + − ∀ ∈

Por tanto:

( )

[ [

[ [[ ]

2

21

2

3.5 18 16 0,125 47 1,26 3

34.5 31.5 6 2,3

x x x

u x x x x

x x x

− + ∀ ∈= − + − ∀ ∈− + − ∀ ∈

b) Naturalmente, la expresión de u2(x) coincide con la de u1(x) en los intervalos [0,1[ y

[2,]. Veamos cuanto vale en [1, 1.75[ y [1.75, 2[. Al ser lineal:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ [2

1.75 1 4 1.5 11 101 1 1.5 1 1,1.751.75 1 0.75 6 3

f fu x f x x x x

− −= + − = + − = − + ∀ ∈

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ [2

2 1.75 4.5 41.75 1.75 4 1.75 0.5 2 1.75,22 1.75 0.25

f fu x f x x x x

− −= + − = + − = + ∀ ∈

−

Por tanto:

( )

[ [

[ [[ [[ ]

2

2

2

3.5 18 16 0,111 10 1,1.756 3

0.5 2 1.75,234.5 31.5 6 2,3

x x x

x xu x

x xx x x

− + ∀ ∈− + ∀ ∈= + ∀ ∈− + − ∀ ∈

c) Recordemos que el error de interpolación viene dado por:

( )( ( )( ) ( )

1

01 !

n n

ii

fx x x

nξ

ε+

=

= −+ ∏

Función u1(x), intervalo [0, 1[: El soporte es de tres puntos, {0, 0.25, 1}. Llamemos:

( ) ( )( )( ) 3 20 0.25 1 1.25 0.25p x x x x x x x= − − − = − +

Cuyos extremos se obtienen de la siguiente manera:

( ) ( )( )

2 0.1162 , 0.1162 0.013740933553 2.5 0.25 0

0.7171 , 0.7171 0.01374093355x p

p x x xx p= =′ = − + = ⇒ = =

… …… …

En consecuencia, ( ) 0.1374093355p x M≤ = y, por tanto:

( )3!Cx Mε ≤

Siendo C una cota de ( )f x′′′ en [0, 1[. El enunciado nos dice que C = 0.5, luego:

( ) 0.5 0.1374093355 0.0011450777963!

xε < =

Función u1(x), intervalo [1, 2[: De manera análoga:

( ) ( )( )( ) 3 21 1.75 2 4.75 7.25 3.5p x x x x x x x= − − − = − + −

( ) ( )( )

2 1.2828 , 1.2828 0.0947594543 9.5 7.25 0

1.8837 , 1.8837 0.01374094x p

p x x xx p= =′ = − + = ⇒ = = −

… …… …

( ) 0.75 0.094759454 0.011844931753!

xε < =

Función u1(x), intervalo [2, 3]:

( ) ( )( )( ) 3 22 2.25 3 7.25 17.25 13.5p x x x x x x x= − − − = − + −

( ) ( )( )

2 2.1162 , 2.1162 0.013740943 14.5 17.25 0

2.7171 , 2.7171 0.09475945x p

p x x xx p= =′ = − + = ⇒ = = −

… …… …

( ) 10.5 0.09475945 0.16582903753!

xε < =

En definitiva, se puede asegurar que el error máximo que vamos a cometer aproximando f(x) mediante u1(x) en el intervalo [0,3] va a ser inferior a 0.1658290375.

Función u2(x), intervalos [0, 1[ y [2,3]:

Naturalmente, las cotas del error en estos subintervalos son idénticas a las de la función u1(x) pues se definen de forma idéntica.

Función u2(x), intervalo [1, 1.75[: El soporte es de dos puntos, {1, 1.75}. Llamemos:

( ) ( )( ) 21 1.75 2.75 1.75p x x x x x= − − = − +

Cuyo extremo se obtiene de la siguiente manera:

( ) ( )22 2.75 0 1.375 1.375 0.140625p x x x p′ = − = ⇒ = = −

En consecuencia, ( ) 0.140625p x M≤ = y, por tanto:

( )2!Cx Mε ≤

Siendo C una cota de ( )f x′′ en [1, 75[. El enunciado nos dice que C = 3.25,

luego:

( ) 3.25 0.140625 0.22851562502!

xε < =

Función u2(x), intervalo [1.75, 2[:

( ) ( )( ) 21.75 2 3.75 3.5p x x x x x= − − = − +

( ) ( )22 3.75 0 1.875 1.875 0.015625p x x x p′ = − = ⇒ = = −

( ) 3.25 0.015625 0.025390625002!

xε < =

Expresemos las cotas de error obtenidas para ambas funciones en los diferentes intervalos en forma de tabla:

Intervalo u1(x) u2(x) [0, 1[ 0.001145077796 0.001145077796 [1, 1.75[ 0. 01184493175 0.2285156250 [1.75, 2[ 0. 01184493175 0.02539062500 [2, 3] 0.1658290375 0.1658290375

En resumen, si bien las cotas de error en los intervalos [0, 1[ y [2, 3] son idénticas para ambas funciones interpoladoras a trozos, el error esperado en el intervalo [1, 2[ es menor en el caso de u1(x).

8.- De una cierta función f(x) se conocen los siguientes valores:

x -2.0 -0.5 0.0 0.5 2.0

( )f x 0.2 0.8 1.0 0.8 0.2

y se desea interpolar mediante una función u(x), polinómica a trozos, tal que u(x) es un polinomio de primer grado en el intervalo [-2,-0.5], un polinomio de segundo grado en el intervalo [-0.5, 0.5] y un polinomio de primer grado en el intervalo [0.5, 2]. Se pide:

a) Determinar y representar gráficamente las funciones de base correspondientes a los puntos x = –0.5, x = 0 y x = 0.5.

b) Obtener la función u(x) en los intervalos [-2, 0.5], [-0.5, 0.5] y [0.5, 2]. c) Se sabe que:

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]

1 2,2

2 2,2

5 2,2

24 2,2

100 2,2

iv

v

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x

′ ≤ ∀ ∈ −

′′ ≤ ∀ ∈ −

′′′ ≤ ∀ ∈ −

≤ ∀ ∈ −

≤ ∀ ∈ −

y se desea aproximar el valor de f(x) en el punto x = 0.25. ¿Qué tipo de aproximación tiene una menor cota de error en ese punto, la citada u(x) o el polinomio interpolador de f(x) en el sentido de Lagrange relativo al soporte {-2, -0.5, 0, 0.5, 2}?

Solución: Apartado a)

( )

( )

1

2 2 2 2 0.50.5 2 3

0 0.5 12 0.5 0.50.5 0 0.5 0.5 2

0 0.5 2

x x x

x xx x x x

x

ϕ

+ = + − ≤ < −− +− − = = − − ≤ < − − − −

≤ ≤

( ) 22

0 2 0.50.5 0.5 1 4 0.5 0.5

0 0.5 0 0.50 0.5 2

xx xx x x

x

ϕ

− ≤ < − + −= = − − ≤ < + −

≤ ≤

( )

( )

3

0 2 0.50.5 0 12 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0 22 2 2 0.5 2

0.5 2 3

xx xx x x x

x x x

ϕ

− ≤ < −

+ − = = + − ≤ < + − −

= − ≤ ≤ −

Apartado b)

Necesitamos 0ϕ y 4ϕ además de las funciones de base obtenidas en el apartado a).

( ) ( )0

0.5 1 2 1 2 0.52 0.5 3

0 0.5 2

x x xx

xϕ

+ = − + − ≤ < −= − + − ≤ ≤

( ) ( )4

0 2 0.50.5 1 2 1 0.5 2

2 0.5 3

xx x x x

ϕ− ≤ < −

= −= − − ≤ ≤ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

2

1 0.4 2 0.51 0.8 0.5 0.51 0.4 0.5 2

u x f x x f x x f x x f x x f x x

x xx xx x

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + + =

+ − ≤ < −= − − ≤ < − ≤ ≤

Apartado c) El error de interpolación viene dado por:

( )(

( ) ( )1

01 !

nn

ii

fx x xn

ε+

=

= −+ ∏

En x = 0.25, u(x) es un polinomio de segundo grado por lo que el error cometido en la determinación de f(0.25) mediante esta función polinomial a trozos puede acotarse mediante:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )250.5 0 0.5 0.253! 6

fx x x x Max x x

ξε

′′′= + − − ≤ −

1ϕ2ϕ

3ϕ

Calculemos ( )( )2 0.25Max x x − . Llamemos ( ) ( )2 0.25x x xπ = − . Derivando e

igualando a cero:

( ) 23 0.25 0 0.2886751346x x xπ ′ = − = ⇒ = ±

( )0.2886751346 0.04811252244π = −

Luego:

( ) 5 0.04811252244 0.040093768706

xε ≤ =

Si aproximáramos f(0.25) mediante un polinomio de cuarto grado, el error vendría acotado por:

( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )5 31002 0.5 0 0.5 2 4.25 15! 120

vfx x x x x x Max x x

ξε = + + − − − ≤ − +

Calculemos ( )5 34.25 1Max x x− + . Llamemos ( ) 5 34.25 1x x xπ = − + . Derivando e

igualando a cero:

( ) 5 2 1.5713037245 12.75 1 0

0.2846130819x

x x xx

π= ±′ = − + = ⇒ = ±

( ) ( )( ) ( )1.571303724 1.571303724 38.31428192

0.2846130819 0.2846130819 0.0074702353

π π

π π

= − − =

= − − =

Luego:

( ) 100 38.31428192 31.92856827120

xε ≤ =

Por consiguiente, la cota de error es menor utilizando la interpolación polinomial a trozos descrita.