INFORME ESCRITO N◦1

Luis Miguel Perez Pertuz

March 1, 2016

Revision de bibliografıa de modelos RVE para compuestos Woven.Calculo de modulos de Young (E) y Poisson(ν) y modelos de falla

.

La micro-mecanica es usada para estimar las propiedades mecanicas de losmateriales compuestos a partir de propiedades conocidas de la fibra y de lamatriz. Este analisis es utilizado para hallar las constantes ingenieriles delmaterial compuesto y esta basada en las siguientes hipotesis:

• Union perfecta entre fibra y matriz.

• Las fibras son paralelas y uniformemente distribuidas en la matriz.

• La matriz esta libre de tensiones residuales.

• Tanto la matriz como la fibra son isotropicas y obedecen a la Ley de Hooke.

• Las cargas son paralelas o transversales.

Modelos RVE (Representative Volume Element)

El RVE es el volumen mas pequeno sobre el que se puede hacer una medicionque producira un valor representativo de la totalidad del material. Con el RVEpodemos utilizar la tecnica de homogeneizacion la cual es la ley de las mezclas.

Si la dispersion de la fibra es estadisticamente homogenea, el RVE es esta-diticamente igual para el compuesto.

Figure 1: Elemento de volumen representativo (RVE)

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Calculo de modulo de Young (E) y Poisson(ν)

Calculo del modulo de Young E1

El primer modulo que debe determinarse es el del material compuesto enuna 1-direccion, es decir, en la direccion de la fibra:

Figure 2: RVE cargado en 1-direccion

ε1 =∆L

L(1)

Donde ε1 se aplica tanto para las fibras y la matriz de acuerdo con la su-posicion basica. Entonces, si los dos materiales constituyentes se comportanelasticamente, las tensiones en la direccion de la fibra son:

σf = Efε1

σm = Emε1 (2)

Una tension media σ1 actua sobre un area de seccion transversal A del ele-mento de volumen representativo, σf actua sobre un area de seccion transversalde la fibra Af , y σm actua sobre un area de seccion transversal de la matrizAm, entonces la fuerza resultante en el elemento de volumen representativo delmaterial compuesto es:

P = σ1A = σfAf + σmAm (3)

De la macro-mecanica tenemos que:

σ1 = E1ε1 (4)

Luego entonces sustituimos (2) en (3):

E1 = EfAfA

+ EmAmA

(5)

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Pero la fraccion de volumen de la fibra y de la matriz se puede escribir como:

Vf =Af

A

Vm =AmA

(6)

Entonces:

E1 = EfVf + EmVm (7)

Calculo del modulo de Young E2

En la mecanica de materiales el modulo de Young E2, esta dado en las condi-ciones en que una carga σ2 es aplicada perpendicularmente a la direccion quelleva las fibras, como se muestra en la siguiente figura:

Figure 3: RVE cargado en 2-direccion

La deformacion en la fibra y en la matriz a partir de las tensiones aplicadasperpendicularmente es:

εf = σ2

Ef

εm =σ2Em

(8)

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La deformacion εf que actua sobre el area transversal se puede expresar deforma aproximada como VfW , ası como la deformacion de la matriz εm puedeser VmW , de esta manera el area transversal total deformada es:

∆W = ε2W = VfWεf + VmWεm (9)

oε2 = Vfεf + Vmεm (10)

sustituyendo εf y εm en la ecuacion (10):

ε2 = Vfσ2Ef

+ Vmσ2Em

(11)

Pero la relacion esfuerzo-deformacion macroscopica es:

ε2 = E2ε2 = E2[Vfσ2Ef

+Vmσ2Em

] (12)

Donde:

E2 =EfEm

VmEf+VfEm(13)

Calculo de la proporcion de Poisson (ν12)

Este es obtenido por una similar aproximacion a el analisis de E1, La mayorproporcion de Poisson es:

ν12 = −ε2ε1

(14)

Para un estado de tension σ1 = σ y todos los otros esfuerzos son cero.Entonces las deformaciones estan representadas en el elemento de volumen rep-resentativo de la siguiente figura:

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Figure 4: RVE cargado en la 1-Direccion

De la misma manera que en el analisis del modulo de Young E2, la defor-macion transversal ∆mW y ∆fW son aproximadamente:

∆mW = WVmνmε1

∆fW = WVfνfε1 (15)

Combinando las ecuaciones en (15) y dividiendo en ε1:

ν12 = νmVm + νfVf (16)

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Modelos de Falla de los materiales compuestos

El fallo de un material compuesto puede producirse por uno o mas mecan-ismos basicos, como lo es la aplicacion de carga axial, torsion o flexion.

Para predecir el comportamiento de una lamina de material compuesto, sedeben determinar los valores de las tensiones ultimas.

Figure 5: Mecanismos de carga, Longitudinal, transversal y cortante

Considerando las tensiones ultimas aplicadas en la lamina, se pueden prede-cir las curvas de tension-deformacion.

Cuando la matriz es fragil:

Figure 6: Curva Esfuerzo-deformacion para compuesto con matriz fragil

Cuando la matriz es ductil: Figura [7]

Simplificaciones hechas al modelo de prediccion de las curvas de esfuerzo-deformacion.

Se presenta transferencia de carga entre fibra y matriz incluso unavez rotas.

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Figure 7: Curva Esfuerzo-deformacion para compuesto con matriz ductil

- El agrietamiento multiple de la matriz o de la fibra no supone que dejende soportar carga.- La aparicion de danos es asociada a una perdida de rigidez.

La resistencia de la fibra no es constante.

- Bajo carga axial, la fibra se rompe por el eslabon mas debil.- Los modelos estocasticos calculan la resistencia del material compuesto.

Fallo por grietas en la matriz

Se presentan dos tipos de comportamiento, relacionados con esta falla:

El primero es si la grieta es capas de penetrar la fibra, se dice que tiene uncomportamiento fragil. En caso de que la grieta se desvie por la intercara, seconoce como comportamiento pseudo-tenaz. Por el efecto de la rotura de lafibra, hace que se carguen las fibras contiguas.

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Figure 8: Interaccion de matriz-fibra cuando se presenta una grieta en la matriz

Modelo ACK (Aveston, Cooper y Kelly, 1971)

Describe el proceso de agrietamiento de una lamina de matriz fragil con re-fuerzo de fibras largas unidireccional sometidas a carga axial.

Planteamientos del modelo:

• Ignora el caracter probabilıstico de la fractura.

• No existe adhesion en la intercara fibra/matriz, por lo tanto los esfuerzoscortantes se producen debido a la friccion.

• εm = εf hasta la aparicion de la primera grieta.

• Si εmu es mayor que εfu la primera grieta aparece en la matriz y se propagaperpendicularmente a las fibra.

• Si Vf es suficiente, la carga soportada por la matriz se transmite a lasfibras de forma que estas puentean la grieta.

Figure 9: Representacion del modelo ACK (Puentes en el material compuesto)

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• σm = 0 en el plano de la grieta y aumenta con la distancia a la grieta.

• El gradiente de aumento de σm depende de τ .

• A una distancia X de la grieta se alcanza σmu se genera una nueva grieta.

• Sin incrementar carga aplicada (el modelo considera σmu constante) seproduce agrietamiento multiple de la matriz con un espaciado medio entregrietas ls que oscila entre X y 2X, siendo X:

X =VmVf

σmuR

2τ(17)

Siendo:

• Vf,m: Fraccion volumetrica de fibra y matriz

• R: Radio de la fibra

• σmu: Tension de rotura de la matriz

• τ : Tension a cortadura de la intercara

Segun Kimber y Keer (1982): ls= 1.34X

La relacion entre la tension de agrietamiento del material compuesto σmc yla tension de la rotura de la matriz σmu, teniendo en cuenta la tension residualen la matriz q:

σmu = σmcEmEc

+ q (18)

Donde q se puede medir o estimar para materiales densos a partir de loscoeficientes de expansion termica de fibra y matriz y de la disminucion de latemperatura durante el proceso de fabricacion.

El modelo ACK se basa en un balance energetico, obteniendo:

σmc = [6τGmEfE

2cV

2f

R(1 − Vf )E2m

]13 (19)

Siendo:

Gm = Energıa de fractura de la matriz por unidad de superficie

Una vez elegida la fibra y la matriz se puede aumentar σmc si:

• Si aumentamos Vf o τ

• Si reducimos R (radio de la fibra)

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Campo de tensiones alrededor de una grieta

Producidas en las matrices fragiles por deslizamiento con friccion y ex-traccion de fibras.

-Tensiones radiales compresivas:

Las superficies despegadas permanecen en contacto en la estela de la grieta.

La propagacion de grietas se genera por nuevos despegues y friccion orig-inada por deslizamientos a lo largo de la zona despegada que se opone a laapertura de la grieta.

Figure 10: Fractura de la matriz alrededor de la fibra

Rotura y extraccion de fibras

Fractura estocastica de las fibras (distribucion de Weibull) � Las fibras serompen en puntos donde la carga aplicada es suficiente para activar los defectospreexistentes.

Extraccion de fibras de la matriz: se produce si k¡lc, siendo lc la longitudcrıtica para la cual la fibra se fracturara bajo la accion de la tension aplicada.

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Figure 11: Fractura de la fibra

Referencias Bibliografıas

• ROBERT M.JONES - MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS -SECOND EDITION

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