Influencia de polos y ceros: Estabilidad

W(s)= ;

Según la posición de los polos podemos determinar si un sistema es estable o no:

Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo negativo.

Un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano, complejo positivo o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen.

Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los demás situados en el semiplano negativo.

Un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos situados en el semiplano negativo.

Polos y ceros de la función de transferencia. El cociente de polinomios que aparece en la definición de la función de transferencia de

un circuito, (referencia 6.3), puede escribirse de otra forma, aplicando el teorema fundamental del álgebra:

(6.4)

Se denominan ceros de la función de transferencia al conjunto de valores para los cuales se anula el polinomio del numerador.6.8

Se denominan polos de la función de transferencia al conjunto de valores para los cuales se anula el polinomio del denominador.6.9

POLOS Y CEROS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

 Considerando un sistema descrito por la Ec. (6.1), tomando la trnsformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la función de transferencia del sistema G(s) será:

El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la Ec. (6.1)  igual a cero.

Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene:

donde   zi = ceros de la función de transferencia

            pi = polos de la función de transferencia

Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados. En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea estable.

“Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del plano s”

La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tienen ningún efecto sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero no afectan la estabilidad

6.7.1      

  Ceros y polos de la función de transferencia con UNTSIM

El simulador UNTSIM puede usarse para obtener los ceros y polos de la función de transferencia.

        Por ejemplo se desea obtener los ceros y polos de la siguiente función de transferencia:

Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería química – Automatización y control – Transformación de modelos – Func. De Transf. a ceros y polos:

 Seleccionando del Menú principal: Cálculos de Ingeniería química – Automatización y control – Transformación de modelos – Func. De Transf. a ceros y polos: 03-Sep-2004ESTE PROGRAMA TRANSFORMA UN MODELO DE FUNCION DE TRANSFERENCIA A CEROS Y POLOS Ver Automatización y control Cap. VI**********************************************Ingrese coeficientes del numerador: 1/8Ingrese coeficientes del denominador: conv([1 1], conv([1 1],[1 1]))--------------------------------------------

Los ceros sonz = Empty matrix: 0-by-1 Los polos sonp = -1.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000iLa(s) ganancia(s) sonk = 0.1250>>

6.8    GANANCIAS AL ESTADO ESTACIONARIO

       La ganancia al estado estacionario es la razón de la salida  en el estado estacionario sobre la perturbación de entrada.

En el proceso de dos tanques con calentamiento dado en el Ejemplo 6.11, las dos funciones de transferencia son dadas por la Ec. (6.123). la ganancia al estado estacionario entre la temperatura de entrada T0 y la salida T1 se ha encontrado a ser 1 oF/oF cuando s es establecido igual a cero. Esto dice que cuando cambia un grado en la temperatura de entrada variara la temperatura de salida un grado, lo cual es razonable. La ganancia al estado estacionario entre T2 y el calor de entrada Q1 es 1/2160 oF/Btu.min. Se debe tener cuidado en las unidades de la ganancia. Algunas veces se tienen unidades de ingeniería, como en este ejemplo, otras veces son usadas ganancias adimensionales.

6.9       FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DIRECTA

Al representar un sistema de control mediante un diagrama de bloques, se debe colocar en cada bloque la función de transferencia correspondiente al elemento del sistema. Así para el sistema de control de lazo cerrado mostrado en la Fig. 2.3

Fig. 6.27  Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado

Como se vera más adelante, el diagrama de la Fig. 6.27 se puede reducir a la forma dada en la Fig. 6.28a  y 6.28b.

(a)

(b)

Fig. 6.28  Sistema de lazo cerrado

a)      H(s) ≠ 1 

b)      H(s) =  1

La salida Y(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La salida Y(s), se obtiene en este caso, multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s).

Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada.

Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, la señal de salida es generalmente la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de una temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de compararla con la señal de entrada. Esta conversión lo realiza el elemento de retroalimentación (medidor), cuya función de transferencia es H(s).

La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida antes de compararla con la entrada. En la mayoría de los casos el elemento de retroalimentación es un sensor que mide la salida del proceso. La salida del sensor se compara con la entrada (valor de referencia) y así se genera la señal de error. En este ejemplo la señal de retroalimentación que se envía de vuelta al punto de suma para su comparación con la entrada es Ym(s) = H(s) Y(s).

Con referencia a la Fig. 6.28, la relación entre la señal de retroalimentación Ym(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina función de transferencia de lazo abierto. Es  decir:

Función de transferencia de Lazo Abierto

La relación entre la salida Y(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina función de transferencia directa, de modo que:

Función de transferencia Directa

Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad, la función de transferencia de lazo abierto y la función de transferencia directa son lo mismo

6.10    FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO

       Para el sistema que se muestra en la Fig. 6.28, la  salida Y(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue:

 Y(s) = G(s) E(s)

E(s) = R(s) – Ym(s)

       =  R(s) – H(s)

Eliminando E(s) de ésta ecuación se tiene

 Y(s) = G(s) R(s) – H(s) Y(s)

 o

Usando MATLAB, la función de transferencia se evalúa de acuerdo a:

      Para la Fig. 6.28a

                   Gs = feedback(G, H)

       Para la Fig. 6.28b

                  Gs = feedback(G, 1)

La función de transferencia que relaciona Y(s) con R(s), se denomina función de transferencia de lazo cerrado. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de los elementos de acción directa y los de la retroalimentación

De la Ec. (6.157) se obtiene Y(s) por:

Así la salida del sistema de lazo cerrado depende claramente tanto de la función de transferencia de lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada