2 1 8

LECTURA N 27: INECUACIONES Material tomado con fines instruccionales de:

Inecuaciones. Artculo no publicado.

solucin consta del conjunto de nmeros que la satisface. Veamos los procedimientos de

solucin relativos a la siguiente clasificacin.

Inecuaciones Lineales

Cuando una inecuacin contiene una expresin de grado uno (si hay fracciones la variable

aparece en el numerador), la inecuacin es lineal.

Estudiemos ahora la diferencia entre ecuacin e inecuacin. Si nos piden la solucin de la

siguiente ecuacin:

714 =x 24

884174 ===+= xxxx

Para comprobar sustituimos 2=x en la ecuacin original y notamos que la igualdad es verdadera.

Esto indica que slo el nmero 2 cumple con la ecuacin, si en lugar de x , colocamos, por

ejemplo 3 , es decir, 3=x , tendramos: ( ) 71171127134 === , lo cual es falso As tenemos que la nica solucin es 2=x . Por otro lado, si ahora nos piden la solucin de

714

2 1 9

)(75

714cierto

2 2 0

Se acostumbra colocar la variable del lado izquierdo: 3x Respuesta: [ )+ ,3:S Solucin Alterna: 3432 + xx Algunos estudiantes prefieren (por costumbre) agrupar las variables en el lado izquierdo desde

el inicio, entonces:

32

6

62

3342

+

xx

x

xx

Respuesta: [ )+ ,3:S Nota:

Cuando se divide (o multiplica) entre un nmero negativo cambia el sentido de la desigualdad

pero no el signo del resultado. Es decir, el resultado es 3x y no 3x . El signo del resultado se mantiene, cambia slo el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 3: Determina la solucin para 2131

32 xx

Solucin:

Despejamos la variable aplicando las propiedades de las desigualdades (Unidad 1, Lectura N

2).

216

332 xx

( ) ( ) 31864163322 xxxx

143314

36184

xx

xx

Respuesta:

143,:S

Aplicando la propiedad de orden de la multiplicacin y recordando que si divide por un nmero negativo, por ejemplo 2 , cambia el sentido de la desigualdad.

Como 2 y 3 son nmeros positivos, pueden pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, sin cambiar su sentido.

Como 014

2 2 1

Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplo 4: Resolver 5x Aplicando la propiedad 9 del Valor Absoluto, de la Lectura N 21, tenemos:

555 xx , es decir, 321.1.

5E

x y 321.2.

5E

x

Entonces, determinar la solucin de la desigualdad 5x , es hallar la interseccin de cada una de las soluciones .2.y .1. EE

Resolvamos la inecuacin .1.E :

5x , representa los valores que estn en el intervalo ( ] 15, S=

Resolvamos la inecuacin .2.E

5x , representa los valores que estn en el intervalo [ ) 2,5 S=

Como se tienen que cumplir al mismo tiempo las dos inecuaciones, las soluciones 1S y 2S .se

intersectan, es decir, se hallan los valores comunes a 1S y 2S .

( ] [ ) [ ]5,5,55,21 === SSS

- + + - 5 0 5

- + + + 0 5

Fig. 1 5x

- + -5 0

Fig. 2

5x

2 2 2

Por lo tanto, resolver la desigualdad 5x , es hallar el conjunto de valores que cumplen las condiciones: x sea mayor o igual a 5 y x sea menor o igual a 5 al mismo tiempo, es decir,

[ ]5,5=S Interpretacin Grfica de 5x

Resolver esta desigualdad, es encontrar los valores reales cuya distancia d a cero es menor o igual a 5.

En general podremos asegurar que para 0>a si ax , entonces la solucin de esta inecuacin es { } [ ]aaaxaxS ,: ==

Si d = distancia de x al valor cero.

Ejemplo 5: Resolver 35 x Para hallar la solucin de la inecuacin 35 x , utilizaremos la propiedad 9 de valor absoluto. Para 5= xf , tenemos que

35335 xx , es decir

434 21

484 76

.2.

.1.

35

35

E

E

x

x

Hallamos la solucin de la inecuacin .1.E , 1S y la solucin .2.E , 2S ., para luego interceptarlos

y obtener la solucin S de la inecuacin 35 x .

Resolvemos la inecuacin .1.E :

0 -5 5

5d unidades 5d unidades

0 a

ad ad

a

2 2 3

35 x , para resolver esta inecuacin, vamos a despejar x , utilizaremos las propiedades de las desigualdades:

25355 ++ xx Luego, la solucin de inecuacin .1.E es [ )= ,21S

Resolvemos ahora la inecuacin .2.E : 35 x , despejar x ++ 5355x 8x

La solucin de la inecuacin .2.E es: ( ]8,2 =S

Luego la solucin de la inecuacin 35 x , es 21 SSS = , es decir, los valores comunes, tanto a S1 como a S2.

[ ) ( ] [ ]8,28,,2S ==

Respuesta: La solucin de la inecuacin 35 x , es el intervalo [ ]8,2 . Nota:

Este tipo de inecuaciones pueden resolverse de manera directa, el procedimiento se aclara con

los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6: Resolver 595 x Aplicando la propiedad 9 de valor absoluto, tenemos

5955595 xx Vamos a trabajar con las dos desigualdades al mismo tiempo.

- + 0 2 8

- + + 0 2

- + + + 0 8

2 2 4

Como queremos despejar x de la inecuacin, vamos a ir aplicando las propiedades de las desigualdades:

5955 x

14549599595

+++

xx

514,

54

514

54

514

55

54

xx

x

Entonces, la solucin de la inecuacin 595 x , es el intervalo

=5

14,54S

Ahora resolveremos algunas inecuaciones utilizando la propiedad 10 del Valor Absoluto, de la

Lectura N 21.

Ejemplo 7: Resolver 6x La solucin de la inecuacin 6x es: 6o6 xx , es decir, los valores comunes y no comunes a ambos intervalos.

[ ] ( ] [ ) ( ]6,,66, o,6 xxx

Observe que los intervalos no tienen valores comunes

Respuesta: La solucin de la inecuacin 6x es ( ] [ ) ,66, Ejemplo 8: Resolver 83 x

Para hallar la solucin de la inecuacin 83 x , aplicamos la propiedad 10 del Valor Absoluto, de la Lectura N 21, donde 3= xf .

83o8383 xxx Vamos a trabajar conjuntamente con ambas inecuaciones. Para despejar la variable x en cada inecuacin.

Sumamos 9, en cada uno de los lados de las desigualdades

Utilizamos la definicin de intervalo [ ] { }bxaxba = :,

6 6 - + + +

2 2 5

83 x 83 x 3833 ++x 3833 ++x

11x 5x [ ) ,11x ( ]5,x

( ] [ )= ,115,S

Observa que los intervalos no tienen valores comunes, por lo que la unin de los mismos se

representa como los dos intervalos conectados por el smbolo de la unin

Ejemplo 9: Resolver 1648 x Aplicamos la propiedad 10 de valor absoluto, en este caso xf 48 = .

1648o16481648 xxx Trabajamos con las dos inecuaciones:

16481648 xx 816848816848 xx

24484 xx

424

44

48

44

xx

62 xx ( ] [ ) ,62, xx

Respuesta: ( ] [ )= ,62,S Muchas veces las desigualdades no incluyen la igualdad, como es el caso de la desigualdad

menor que, denotada por < y la desigualdad mayor que, denotada por > . Las propiedades de valor absoluto con las desigualdades < (menor que) y > (mayor que), son similares a las

+11 5 0

2 2 6

propiedades ya enunciadas para los smbolos (menor o igual que) y (mayor o igual que), pero en los intervalos de solucin no se incluyen los valores extremos.

Ejemplo 10: Resolver 7

2 2 7

Despejar x en cada inecuacin

9199591995 ++ xx

85105 xx 58

55

510

55 xx

582 xx

( ) ( )

58,,2

58, , 2 xxx

Respuesta: La solucin de 195 >x es ( )

= ,258,S

A continuacin, resolveremos inecuaciones racionales con valor absoluto, utilizando las

propiedades vistas anteriormente.

Ejemplo 14: Hallar la solucin de 4312

xx

4312

xx

4 34 21434 21.2..1.

43124

3124

3124

EE

xxy

xx

xx

El objetivo es hallar la solucin de la inecuacin S , con valor absoluto a partir de la solucin 1S

de la inecuacin .1.E y de la solucin 2S de .2.E y luego interceptarlas, 21 SSS = , es decir, los valores comunes a 1S y a 2S

Solucin de la inecuacin .1.E

4312

xx

04312

xx

03

12412 +

xxx

03211

x

x

- + + 0

58

2

Resolvemos el lado izquierdo de la inecuacin

2 2 8

Luego evaluamos el signo de la expresin 3211

xx

, para ello:

1. Hallamos las races del numerador y del denominador:

2

112110211 === xxx raz del numerador

303 == xx raz del denominador. 2. Representamos en el cuadro las races en la recta real y la misma nos queda dividida en

intervalos: ( )3, , ( ]211,3 y [ )+,211 . Recuerda que las races del denominador no se incluyen nunca en los intervalos, mientras que

las races del numerador siempre se incluyen en los intervalos cuando las desigualdades son

o 3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los

intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la

expresin completa.

- 3 11/2 + Numerador x211 + + -

Denominador 3x - + + Expresin

3211

xx

- + -

4. Entonces, tomamos los intervalos donde la expresin es negativa, es decir 03211

x

x en

( )

,2

113,

La solucin de la inecuacin .1.E es ( )

= ,2

113,1S

Grficamente tenemos:

Encontremos ahora la solucin de la inecuacin .2.E

- + + + + 3 2

11

2 2 9

4312

xx 04

312 +

xx

( ) 03

3412 +

xxx

+ 0

312412

xxx

03136

xx

Ahora evaluamos el signo de la expresin 3136

xx

:

1. Busquemos las races del numerador y las races del denominador:

6

131360136 === xxx raz del numerador

303 == xx raz del denominador 2. Representemos en el cuadro las races en la recta real y la misma nos queda dividida en

intervalos: ( ]613, , [ )3,613 y ( )+,3 . Recuerda que las races del denominador no se incluyen nunca en los intervalos,

mientras que las races del numerador siempre se incluyen en los intervalos cuando

las desigualdades son o 3. Evaluamos el signo de cada una de las expresiones por separado, en cada uno de los

intervalos, tomando un valor dentro de cada intervalo. Luego evaluamos el signo de la

expresin completa.

- 13/6 3 + 136 x - + + 3x - - +

3136

xx

+ - +

Entonces, la expresin 3136

xx

es positiva en los intervalos ( )

,36

13, .

La solucin de la inecuacin .2.E es ( )

= ,36

13,2S .

Grficamente tenemos:

2 3 0

Por lo tanto, la solucin S de la inecuacin 4312

xx

es 21 SS , es decir:

= 21 SS ( )

,3

613,,

211)3,(

Grficamente la representacin es:

Representaremos con diagonales de izquierda a derecha la solucin 1S ( ) y con diagonales

de derecha a izquierda la solucin 2S ( ), como buscamos la interseccin (comunes),

entonces donde se crucen las lneas, determinaremos a la solucin.

Respuesta: La solucin es =S

+

,2

116

13,

Ejemplo 15: Resolver 64102 >+

xx

64102 >+

xx

44 344 214 34 21

.2..1.

641026

4102

DD

xx

xx +

Nuestro objetivo es hallar la solucin 1S de la inecuacin .1.D y la solucin 2S de la inecuacin

.2.D y as obtener la solucin S , de la inecuacin 64102 >+

xx

, que ser 21 SSS = .

Resolvemos .1.D :

>+ 6

4102

xx 06

4102 >+

xx

, resolvemos el lado izquierdo de la inecuacin:

( ) 04

46102 >++

xxx 0

4246102 >+

x

xx y nos queda:

- + + + 6

13 3

- + 6

13 3 211

2 3 1

04344 >+

xx

Como los trminos del numerador ambos tienen signo negativo, multiplicamos ambos lados de la

desigualdad por )1( . Recuerde que cuando multiplicamos una desigualdad por un nmero negativo, sta cambia el sentido

( ) ( )10

4)344(1

2 3 2

Grficamente es: 1S

Resolvemos .2.D

6

4102

2 3 3

La solucin de la inecuacin .2.D es =2S

47,4 .

Grficamente tenemos:

Luego, tenemos la solucin 1S de .1.D y la solucin 2S de .2.D , y la solucin S de la

inecuacin 64102 >+

xx

, es 21 SSS = .

Grficamente tenemos:

Respuesta: La solucin de la inecuacin 64102 >+

xx

es

4,2

17

47,4 .

Ejercicios Propuestos:

Resolver las siguientes inecuaciones:

115. 9x 116. 15132 +x

117. 553 x 118. 2562 +x

119. 153 x 120. 413 >+x

121. 024 > x 122. 3381 + x

123. 8

435 x

- + -4 -7/4

- + -17/2 -4 -7/4

2 3 4

127. 1

2> x

x

128. 1

294 x

x

129. 4

322