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1. INTEGRACIÓN 11.1. Conceptos básicos de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Suma de Riemann (Integral Definida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Integración por sustitución Simple o Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5. Integrales que contienen Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1. Integrales de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2. Integrales de Secantes y de Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6. Integración por Sustitución Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7. Integración por Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

CÁLCULO INTEGRALProfesor Marcos Alejo Sandovalemail: [email protected] Los Libertadores

1. INTEGRACIÓN

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas en general, contribuyen en el desarrollo del ingenio y la capacidad de análisis que todo futuroingeniero necesita. Parte fundamental en la construcción del pensamiento matemático que todo ingeniero debetener consiste en la comprensión conceptual del cálculo integral.En esta unidad temática iniciaremos el estudio de la integral, vamos a encontrar como inicialmente la integrales vista simplemente como una antiderivada o operación inversa de la derivada, de acuerdo a ese aspecto, sitenemos una derivada cualquiera, lo importante es encontrar la función o funciones cuya derivada es la ya dada.Cuando hemos tenido una comprensión acerca de las antiderivadas, podemos conceptualizar a la integral como elárea bajo la curva de una función, para esto utilizaremos el método de aproximación por "sumas de Riemann";y por último, estudiaremos los diferentes procesos para desarrollar diferentes tipos de integrales, por mediode unas técnicas básicas como son técnica de integración por sustitución, por partes, técnica de funcionestrigonométricas, por fracciones parciales y por sustituciones especiales.

OBJETIVO GENERAL

Brindar un apoyo holístico a los estudiantes, en el desarrollo de la comprensión de los conocimientos del cálculointegral; para así fortalecer su visión analítica, que pueda plantear y solucionar cualquier situación problemaque involucre estos saberes.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

-Estudiar el concepto de la integral.-Comprensión geométrica de la integral-Desarrollar integrales utilizando las técnicas de integraciónPALABRAS-CLAVE: Antiderivada, Sumas de Riemann, Técnicas de integración, Teorema Fundamental delCálculo

1

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para el estudio del cálculo integral, el estudiante debe estar familiarizado con el concepto de función, es im-portante que él tenga claro cuáles son la funciónes constante, idéntica, polinómica, logarítmica, exponencial,trigonométricas.También, el estudiante requiere conocimientos en derivación como su definición, sus propiedades, las fórmulasde derivación, la derivada de las funciones en general y de una función compuesta.Otro factor importante en la fácil comprensión del cálculo integral, es la construcción de gráficos en el planox− f (x), especialmente de las diferentes funciones.

MAPA TEMÁTICO

Por sustitucióntrigonométrica

Por partes Por sustitucióntrigonométrica

Con contenidoTrigonométrico

Por Fracciones Parciales

Por sustitucionesespeciales

Por sustitucióntrigonométrica

Por partes Por sustitucióntrigonométrica

Con contenidoTrigonométrico

Por Fracciones Parciales

Por sustitucionesespeciales

Concepto básico de la integral

Operación inversa de la derivada: Antiderivada

Área bajo la curva:Sumas de RiemannNotación

Propiedades de las integrales

Reglas de integración

Técnicas de integración

Integral definida

Teorema Fundamental

del Cálculo

IntegralIndefinida

Concepto básico de la integral

Operación inversa de la derivada: Antiderivada

Área bajo la curva:Sumas de RiemannNotación

Propiedades de las integrales

Reglas de integración

Técnicas de integración

Integral definida

Teorema Fundamental

del Cálculo

IntegralIndefinida

INTEGRACIINTEGRACIINTEGRACIINTEGRACIÓÓÓÓNNNN

2

1.1. Conceptos básicos de la Integral

Al utilizar operaciones básicas como la suma, el producto, la potenciación, la exponenciación, podemos medianteun proceso inverso, volver al operando inicial.En el caso de la derivada, descubriremos una operación inversa que me determina cuál es la función de la cualobtengo esa derivada.Iniciemos con una funcion sencilla:Si f (x) = x2, entonces su derivada es f ′ (x) = 2xAhora, si tenemos f ′ (x) = 2x, su operación inversa, sería el proceso que el que se llega nuevamente a f (x) = x2.Esta operación recibe el nombre de antiderivada.Definición: Sea f (x) una función y f ′ (x) su derivada, entonces f (x) se llama una ANTIDERIVADA de f ′ (x).Ejemplo: Encontrar una función f (x) cuya derivada es f ′ (x) = 7x6. En otras palabra, encontrar una an-tiderivada para f ′ (x) = 7x6.Solución: Basta observar que para y = x7, entonces dy

dx= 7x6.

y si tuvieramos y = x7 + C, donde C es una constante, y′ = 7x6

Por consiguiente,la antiderivada de y′ = 7x6 es y = x7 + C, donde C es una constante.Como podemos observar, una función puede tener muchas antiderivadas. Por ejemplo, las funciones f (x) =x7 + 3, f (x) = x7 + 3

√2, f (x) = x7 − π y f (x) = x7 son antiderivadas de 7x6

Graficamente podemos observar algunas antiderivadas de f ′ (x) = 2xLa antiderivada en su forma general es f (x) = x2 + C

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

La gráfica corresponde con las funciones:f (x) = x2 + 2f (x) = x2 + 1f (x) = x2

f (x) = x2 − 1f (x) = x2 − 2f (x) = x2 − 3

Si f ′ (x) = 0 para todo x en un intervalo (a, b), entonces f (x) = C, en todo este intervalo donde C es unaconstante.Como la razón de cambio de la función f (x) en un intervalo dado es 0, la función es una constante arbitrariaC.Teorema: Si f ′ (x) = g′ (x) para todo x ∈ (a, b), entonces f (x) = g (x) + C.donde C es una constante.Esto es, si las derivadas de dos funciones son iguales, las funciones se diferencian de una constante aditiva.Corolario: La antiderivada más general de f ′ está definida por

f (x) + C

donde f es una antiderivada particular de f ′ y C es una constante arbitraria. Todas la antiderivadas de f ′ sepueden obtener de esta, dando valores a C particulares. Se le llama familia de antiderivadas.

3

Ejemplos:Encuentre la familia de antiderivadas de las siguientes funciones:

1. g (x) = 3x2

Debemos encontrar una G (x) tal que G′ (x) = g (x)

Sabemos 3x2 es la derivada de x3, entonces una antiderivada de g (x) = 3x2 es x3. De forma general, lafamilia de antiderivadas de g (x) es

G (x) = x3 + C

2. h (x) = cosx

Debemos encontrar una H (x) tal que H ′ (x) = h (x)

Sabemos, ddx

[sen (x)] = cosx, entonces una antiderivada para h (x) = cosx es sinx. De forma general, lafamilia de antiderivadas de h (x) es

H (x) = sinx + C

3. v(t) = 540− 5t2

Debemos encontrar una V (t) tal que V ′(t) = v(t). Para el caso la solución es:

V (t) = 540t− 5

3t3 + C

Por qué?EjerciciosEncuentre la familia de antiderivadas de las siguientes funciones:

1. f (x) = x

2. g(x) = 3 cosx

3. h(x) = 5x11

4. v(t) = 2t2 − 34

5. v(t) = sec2 t

Notación de las AntiderivadasEl símbolo utilizado para simbolizar la antiderivada de una función es

∫...dx

.Leibniz, uno de los protagonistas en la creación del cálculo integral diseñó este símbolo, que goza de granpopularidad quien escribía de la siguiente forma:

∫f (x) dx

Siguiendo el lenguaje de Leibniz , ahora usaremos el término de integral indefinida para referirnos a laantiderivada, por consiguiente, integrar es antiderivar.

Teorema (Regla de potencias)Si r es un número Real cualquiera diferente de −1, entonces

∫xrdx =

xr+1

r + 1+ C

4

Ejemplos:

1.

∫x3dx =

x3+1

3 + 1+ C =

x4

4+ C

2.

∫125x4dx = 125

[x4+1

4 + 1

]+ C = 125

[x5

5

]+ C = 25x5 + C

3.

∫5x−2dx = 5

[x−2+1

−2 + 1

]= 5

[x−1

−1

]+ C = −5x−1 + C = − 5

x+ C

Nota: En el caso de que r = 0, tenermos lo suguiente:∫x0dx =

x0+1

1+ C = x + C

en conclusión, ∫dx = x + c

Propiedades de las integrales indefinidasSean f (x) y g (x) funciones contínuas, y c ∈ �, se tiene que

1.

∫[f (x) + g (x)] dx =

∫f (x) +

∫g (x)

2.

∫cf (x) dx = c

∫f (x) dx

3.

∫[f (x)− g (x)] dx =

∫f (x) dx−

∫g (x) dx

Tabla de integrales indefinidas básicas

1.

∫kdx = kx + C

2.

∫xndx =

xn+1

n+ 1+ C (n �= −1)

3.

∫1

xdx = ln |x|+ C

4.

∫exdx = ex + C

5.

∫axdx =

ax

ln a+ C

6.

∫senxdx = − cosx + C

7.

∫cosxdx = senx + C

8.

∫sec2 xdx = tanx + C

9.

∫csc2 xdx = − cotx + C

10.

∫secx tanxdx = secx + C

11.

∫cscx cotxdx = − cscx+ C

12.

∫1

x2 + 1dx = tan−1 x + C

13.

∫1

2√

1− x2dx = sen−1x + C

EjemplosEncuentre la antiderivada o integral indefinida en cada una de las expresiones dadas:1. f (x) = (x− 1)3

Solución:

5

∫(x− 1)3dx =

∫ (x3 − 3x2 + 3x− 1

)dx

=∫x3dx−

∫3x2dx +

∫3xdx−

∫1dx =

x4

4− 3x3

3+

3x2

2− x + C

=x4

4− x3 +

3x2

2− x + C

2.g (x) =secx

cosx∫ secx

cosxdx, reemplazamos

1

cosx= secx

∫secx secxdx =

∫sec2 xdx = tanx + C

3.h (x) =4

3x3∫ 4

3x2dx =

4

3

∫ 1

x2dx =

4

3

∫x−2dx

=4

3(−1)

(x−1

)+ C =

−4

3x+ C

4. v (t) = π (16 cos t− 4t)∫π (16 cos t− 4t) dt = π

∫(16 cos t− 4t) dt = π

[∫16 cos tdx−

∫4tdt

]

= π

[16sent− 4t2

2

]+ C = 16πsent− 2πt2 + C

5. s (t) = 3sen2x(1− cos2 x

)

∫ 3sen2x

(1− cos2 x)dx =

∫ 3sen2x

sen2xdx

∫3dx = 3x + C

Ejercicios:

Encuentre la antiderivada de las siguientes funciones:

1. y = (x− 1) (x− 2)

2. y =3√x19 + 2

3. y =3

x7

4. y = πx +3 cosx

sen2x

5. y = 3ex − 2

1.2. Suma de Riemann (Integral Definida)

Si intentamos conocer el área de una región, una alternativa sería subdividir esta región en regiones cuyas áreassean conocidas.

Problema: Hallar el área de la región S que está debajo de la curva y = f (x), desde a hasta b

Esto significa, que debemos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, cuyo límite inferior es a y ellímite superior es b, además la función debe ser contínua y f(x) ≥ 0

6

S = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}

No es fácil hallar el área de una región con lados curvos, sabemos encontrar el área de un rectánculo, de untriángulo, pero no de una región curva.

Podemos iniciar aproximando el área bajo la curva dividiendo la región en rectángulos de la siguiente manera:

A = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

Como vemos en el gráfico anterior, estamos aproximando el área de la curva, por medio de la suma de estosrectángulos; calculando la altura f(x) sobre el lado derecho de cada rectángulo. Pero, podría ser de otras formas.

7

B = b1 + b2 + b3 + b4Como vemos en el gráfico anterior, estamos aproximando el área de la curva, por medio de la suma de estosrectángulos; hemos calculador la altura f(x) por izquierda de cada rectángulo.Sea S la región bajo la curva, entonces para el caso

A < Area de S < B

y al aumentar el número de rectángulos en el intervalo (a, b), nos estaremos aproximando cada vez más al áreareal.Si el ancho de cada rectángulo es lo suficientemente pequeño o muy cercano a cero; el número de rectángulosen una región tiende a ∞.Apliquemos esta idea a la región más general S. Empecemos a subdividir S en n franjas S1, S2,S3,...,Sn deanchos iguales. el ancho del intervalo [a, b] es b− a, de modo que el ancho de cada una de las n franjas es:

∆x =b− a

n

Estas franjas dividen el intervalo [a, b], en n subintervalos

[x0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , ..., [xn−1, xn]

donde x0 = a y xn = b

Obtengamos una aproximación de la i_esima franja, Si ,con un rectángulo con ancho ∆x y altura f(xi), quees el valor de f en los extremos de la derecha

8

El área del i_esimo rectángulo es f (xi)∆x

Podemos decir que el área de toda la región S se aproxima con la suma de las áreas de estos rectángulos

Rn = f (x1)∆x + f (x2)∆x+ f (x3)∆x + ... + f (xn)∆x

Si la cantidad de rectángulos tiende a infinito, podemos definir el área de una región S de la siguiente manera:

DefiniciónEl área A de la región S, que se encuentra entre la función f y el eje x es:

A = lımn→∞

Rn

A = lımn→∞

[f (x1)∆x + f (x2)∆x + f (x3)∆x + ... + f (xn)∆x]

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x

De hecho, en vez de utilizar los puntos laterales de cada triángulo, podemos tomar la altura del i_esimo

rectángulo como el valor de f en cualquier número x∗i en el i_esimo subintervalo [xi−1, xi]

9

Podemos escribir la expresión del área de la siguiente forma

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(x∗i )∆x

A este tipo de límite le damos nombre y notación especial.

Definición (Suma de Riemann o Integral Definida)Si f es una función contínua definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual

ancho ∆x =

(b− a

n

). Denotamos con x0, x1, x2..., xn los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los

puntos muestra x∗1, x∗2, ..., x

∗n en estos subintervalos, de modo que si x∗i se encuentra en el i_esimo subintervalo

[xi−1, xi]. Entonces la integral definida o Suma de Riemann de f , desde a hasta b es

∫ b

a

f (x) dx = lımn→∞

n∑

i=1

f (x∗i )∆x

Es el nombre de Suma de Riemann en honor al matemático Bernhard Riemann (1826-1866)Si f toma tanto valores positivos como negativos, entonces la suma de Riemann es la suma de las áreas de losrectángulos que se encuentran arriba del eje x y los negativos de las áreas de los rectángulos que están debajodel eje x. Puede interpretarse como una diferencia de áreas.

∫ baf (x) dx = A1 −A2

EjemploExprese

lımn→∞∑n

i=1

[x16i + cotxi

]∆x, como una integral en el intervalo

[π2 , π

]

Podemos darnos cuenta que esta expresión tiene la forma de una Suma de Riemann, ahora debemos identificarla función y los puntos muestra de la siguiente manera:f (x) = x16 + cotxx∗i = xia = π

2 , b = π

Luego

lımn→∞∑n

i=1

[x16i + cotxi

]∆x =

∫ π

π

2

(x16 + cotx

)dx

10

Ejemplo 1Exprese

lımn→∞

∑n

i=1[lnxi]∆x, como una integral en el intervalo [1, 5]

Soluciónf (x) = lnx

x∗i = xia = 1 , b = 5

lımn→∞∑n

i=1 [lnxi]∆x =

∫ 5

1

lnxdx

Ejemplo 2Exprese

lımn→∞∑n

i=1

[e−2xi − cos5 xi

]∆x, como una integral en el intervalo

[0, 3√

7]

f (x) = e−2x − cos5 xx∗i = xia = 0 , b = 3

√7

lımn→∞∑n

i=1

[e−2xi − cos5 xi

]∆x =

∫ 3√7

0

[e−2x − cos5 x

]dx

Ejemplo 3a.Exprese

∫ ba

f (x) dx =∫ baxdx como una Suma de Riemann, tomando los puntos extremos derechos como

a = 1 , b = 2; n = 5b. Evalúela la integral usando la definición de integral definida

Solución:a. Para expresar la función como una suma de Riemann es necesario conocer los límites de la integral y lafunción y el ancho del intervalo.→Ancho del intervalo

∆x =b− a

n=

2− 1

5=

1

5= 0, 2

De modo que la suma de Riemann es

R6 =∑5

i=1f(xi)∆x

R5 = f(1,2)∆x + f(1,4)∆x + f(1,6)∆x + f(1,8)∆x + f(2)∆x

R5 = 1,2∆x + 1,4∆x + 1,6∆x + 1,8∆x+ 2∆x

R5 = ∆x (1,2 + 1,4 + 1,6 + 1,8 + 2)R5 = 0,2 (8)R5 = 1,6

b.

∫ 2

1

xdx = lımn→∞

n∑

i=1

f (xi)∆x

∆x =b− a

n,evaluándo en toda el intervalo tenemos,

11

∆x =1

n

entonces

∫ 2

1

xdx = lımn→∞

n∑

i=1

f

(3i

n

)1

n

= lımn→∞

∑n

i=1

(3i

n

)1

n= lımn→∞

1

n

∑n

i=1

3i

n

= lımn→∞3

n2

∑n

i=1i = lımn→∞

1

n2

[3n2 + 3n

2

]

= lımn→∞3n2 + 3n

2n2=

3

2

Propiedades de las integrales definidas

Sean f (x) y g (x) funciones contínuas, y c ∈ �, se tiene que

1.

∫ b

a

f (x) dx = −∫ a

b

f (x) dx

2.

∫ a

a

f (x) dx = 0

3.

∫ b

a

cdx = c(b− a)

4.

∫ b

a

[f (x) + g (x)] dx =

∫ b

a

f (x) +

∫ b

a

g (x)

5.

∫ b

a

cf (x) dx = c

∫ b

a

f (x) dx

6.

∫ b

a

[f (x)− g (x)] dx =

∫ b

a

f (x)−∫ b

a

g (x)

7.

∫ c

a

f (x) dx+

∫ b

c

f (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOEste teorema proporciona la relación entre la derivación y la integración. Aunque la derivación se obtiene delestudio de las tangentes y la integración del estudio del área; como procesos matemáticos son inversos.El teorema fundamental del cálculo presenta la relación inversa precisa entre la derivada e integral.Teorema parte 1:Si f es continua en [a, b] , la función g definida por

g (x) =∫ xaf (x) dx, a ≤ x ≤ b

es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g′ (x) = f (x)Teorema parte 2Si f es continua en [a, b], entonces

∫ baf (x) dx = F (b)− F (a)

donde F es cualquier antiderivada de f , esto es, una función tal que F ′ = f

Nota: Tener en cuenta que la función debe ser continuaEjemplos1. Determine la derivada de h (x) =

∫ x0(4sent− 3 cos t)3dt

Solución: como f(t) = 4sent− 3 cos t es continua y aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo(parte 1), tenemos que

h′(x) = 4senx− 3 cosx

2. Determine la derivada de R (x) =∫ b0cos (3m) dm+

∫ xb

cos (3m) dmSolución: Aplicando propiedad aditiva de las integrales definidas tenemos que

12

∫ b0cos (3m) dm +

∫ xb

cos (3m) dm =∫ x0

cos (3m) dm

entonces como f(m) = cos (3m) es continua y aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo (p 1),tenemos que

R′(x) = cos (3x)

3. Evalúe al integral∫ π0

2 cosxdxSolución: La función es continua en todo el intervalo y la antiderivada de f(x) = 2 cosx esF (x) = 2senx, por lo tanto

∫ π

0

2 cosxdx = 2senx]π0 = 2senπ − 2sen0 = 0

4. Evalúe la integral∫ 3−2

x3

64dx

Solución: La función es continua en todo el intervalo y la antiderivada de f(x) =x3

64es

F (x) =x4

256, por lo tanto

∫ 3−2

x3

64dx =

x4

256]3−2 =

34

256− (−2)4

256=

81

256− 16

256=

65

256

Ejercicios1-5. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

1. g(x) =

∫ x

0

dt

t32 + t16 + 2

2. h(y) =

∫ y

0

log4 162xdx

3. j(x) =

∫ x

0

cos3 y8

4. g(y) =

∫ y

0

dδ

sen2δ

5. l(x) =

∫ x

0

[1

2t7 + 1− et

]dt

6-10 Evalúe las siguientes integrales utilizando parte del teorema fundamental del Cálculo

6.

∫ 3

−3

2

135x2 − 1dx

7.

∫ π

0

4senxdx

8.

∫ 5

5

2

(1

2

)tdx

9.

∫ 3π

2

π

cosx secxdx

10.

∫ 2

1

dx

x

TECNICAS DE INTEGRACIÓN

1.3. Integración por sustitución Simple o Compuesta

En el anterior tema, analizamos las relaciones que existen entre la derivada y la integral; aprendimos a evaluarintegrales definidas y sabemos hacer el proceso con funciones básicas y utilizando las propiedades.Existen algunas Técnicas de integración que son de gran ayuda para evaluar integrales de funciones compuestas.Comenzaremos el estudio de las técnicas de integración con la Sustitución Simple o Directa.Regla de sustitución simple o directa de las integrales indefinidasSi u = g(x) es una función diferenciable, cuyo rango es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces

13

∫f (g(x)g′(x)) dx =

∫f(u)du

Ejemplo 1 Encuentre∫

2x(x2 + 5

)dx

Solución: Como sabemos, la derivada de(x2 + 5

)es 2xdx, entonces haremos la sustitución siguiente:

u =(x2 + 5

)du = 2xdx

Ahora sustituimos en la integral ∫2x(x2 + 5

)dx =

∫udu

Resolvemos∫

udu =u2

2+ C =

(x2 + 5

)2

2+ C

Debemos dar solución en función de la variable originalEjemplo 2 Encuentre

∫x2(2√x3 − 7

)dx

Solución: Como sabemos, la derivada de(x3 − 7

)es 3x2dx, entonces haremos la sustitución:

u =(x3 − 7

)du = 3x2dx⇒ du

3= x2dx

Sustituyendo en la integral

∫x2(

2

√x3 − 7

)dx =

∫2√udu

Resolvemos

∫(u)

1

2 du =2u

3

2

3+ C =

2(x3 − 7

) 32

3+ C

Ejemplo 3 Encuentre

∫2

(x + 5)8 dx

Solución: tomando: u = (x + 5) du = dx

Sustituimos en la integral tenemos

∫2

(x+ 5)8dx =

∫2du

u8

Luego

∫2du

u8=

∫2u−8du = 2

u−7

−7= −2

7(x+ 5)−7 =

−2

7(x + 5)7

14

Ejemplo 4 Encuentre

∫1 + 8x

2√

5 + x + 4x2dx

Solución: Como sabemos, la derivada de(5 + x + 4x2

)es (1 + 8x), entonces haremos la sustitución siguiente:

u =(5 + x+ 4x2

)du = (1 + 8x) dx

Ahora sustituimos en la integral

∫1 + 8x

2√

5 + x + 4x2dx =

∫du2√u

Luego

∫du2√u

=

∫(u)

−1

2 du = 2u1

2

1+ C = 2

(5 + x+ 4x2

)+ C = 2

2

√5 + x + 4x2 + C

Ejemplo 5 Encuentre∫sen2x cosxdx

Solución: Como sabemos, la derivada de (senx) es (cosx) dx, entonces haremos la sustitución siguiente:u = (senx) du = (cosx) dx


∫sen2x cosxdx =

∫u2du

Resolvemos

∫u2du =

u3

3+ C =

sen3

3+ C

Ejemplo 6 Encuentre∫ex 2√

3 + exdx

Solución: Como sabemos, la derivada de (3 + ex) es exdx, entonces haremos la sustitución siguiente:u = (3 + ex) du = exdx


∫ex 2√

3 + exdx =∫

2√udu

Resolvemos

∫2√udu =

∫u1

2 du =2u

3

2

3= 2

3 (3 + ex)3

2

Ejemplo 7 Encuentre∫ex cos exdx

Solución: tomando :u = ex du = exdx


∫ex cos exdx =

∫cosudu

Resolvemos

15

∫cosudu = sinu + C = sin ex + C


sec2 (x) tan (x) dxSolución: Como sabemos, la derivada de (secx) es (sec (x) tan (x)), entonces haremos la sustituciónsiguiente:u = secx du = secx tanxdx


∫sec2 (x) tanxdx =

∫udu

Resolvemos

∫udu =

u2

2+ C =

sec2 x

2+ C


cosx cos(senx)dx

Solución: Como sabemos, la derivada de (sinx) es (cosxdx), entonces haremos la sustitución siguiente:u = sinx du = cosxdx


∫cosx cos(senx)dx =

∫cosudu

Resolvemos

∫cosudu = sinu + C = sin(sinx) + C

Ejemplo 10 Encuentre

∫x

4√x + 1

dx

Solución: Como sabemos, la derivada de (x + 1) es (dx), entonces haremos la sustitución siguiente:u = x + 1 despejando tenemos x = u− 1du = dx


∫ (u−1)4√u

dx =∫

u4√udx−

∫14√udx

Resolvemos

∫u4√udx−

∫14√udx =

∫4√u3dx−

∫14√udx =

4u7

4

7− 4u

3

4

3+ C

=4 (x + 1)

7

4

7− 4 (x + 1)

3

4

3+ C

Ejercicios

1.∫ex sec exdx

2.∫ x

x2 + 1dx

16

3.∫ cos (lnx) dx

x

4.∫

csc 2tdt

5.∫ esin z

sec zdz

Regla de sustitución simple o directa de las integrales definidasSi g′ es continua en [a, b] y f lo es en la imagen de u = g(x), entonces

∫ b

a

f(g(x)g′(x))dx =

∫ g(b)

g(a)

f(u)du

Ejemplo 1 Encuentre∫ 20

(2x + 3)(x2 + 3x

)dx

Solución: Como sabemos, la derivada de(x2 + 3x

)es (2x + 3), entonces haremos la sustitución siguiente:

u =(x2 + 3x

)du = (2x + 3) dx

Como la integral es definida, debo encontrar los nuevos límitesSi x = 0⇒ u = 0 , x = 2⇒ u = 10

Ahora sustituimos en la integral∫ 20

(2x + 3)(x2 + 3x

)dx =

∫ 100

udu

Resolvemos

∫ 100

udu =u2

2|100 = 50 | 5

Ejemplo 2 Encuentre

∫ 1

0

cos (πt) dt

Solución: Como sabemos, la derivada de (πt) es (πdt), entonces haremos la sustitución siguiente:

u = (πt) du = πdt⇒ dt =du

π

Como la integral es definida, debo encontrar los nuevos límitesSi t = 0⇒ u = 0 , t = 1⇒ u = π

Ahora sustituimos en la integral∫ 1

0

cosπtdt =

∫ π

0

cos udu

π

Resolvemos∫ π

0

cos udu

π=

1

π[sinu]

π

0 = 0

Ejemplo 3 Encuentre

∫ π

4

0

sin 4tdt

Solución: Como sabemos, la derivada de (4t) es (4dt), entonces haremos la sustitución siguiente:

u = (4t) du = 4dt⇒ dt =du

4

Como la integral es definida, debo encontrar los nuevos límitesSi t = 0⇒ u = 0 , t = π

4 ⇒ u = π


17

∫ π

4

0

sin 4tdt =

∫ π

0

sin udu

4

Resolvemos∫ π

0

sin udu

4=

1

4[− cos u]

π

0 = −1

4[−1− 1] =

1

2

Ejemplo 4 Encuentre

∫ 1

0

dx

(x− 2)3

Solución: Como sabemos, la derivada de (x− 2) es (dx), entonces haremos la sustitución siguiente:u = (x− 2) du = dx

Como la integral es definida, debo encontrar los nuevos límitesSi x = 0⇒ u = −2 , x = 1⇒ u = −1


∫ 1

0

dx

(x− 2)3=

∫ −1

−2

du

u3

Resolvemos

∫ −1

−2u−3du =

[−u−22

]−1

−2=

[− 1

2u2

]−1

−2= −1

2+

1

8= −3

8

Ejemplo 5 Encuentre

∫ 1

2

0

sin−1 x√1− x2

dx

Solución: Como sabemos, la derivada de sin−1 x es1√

1− x2dx, entonces haremos la sustitución siguiente:

u = sin−1 x du =1√

1− x2dx

Como la integral es definida, debo encontrar los nuevos límitesSi x = 0⇒ u = 0 , x = 1

2 ⇒ u = π


∫ 1

2

0

sin−1 x√1− x2

dx =

∫ π

0

udu

Resolvemos[u2

2

]π

0

=π2

2

Ejercicios

1.

∫ π

6

0

2sinx cosxdx

2.

∫ π

2

0

cosxdx

1 + sin2 x

18

3.∫ 10x10x

2

dx

4.

∫ 3

4

0

cos√

1− x√1− x

dx

5.

∫ π

2

0

sinx

16 + cos2 xdx

1.4. Integración por Partes

Si fracasa la integración por sustitución, puede intentarse una doble sustitución, mejor conocida como integraciónpor partes.Este método se basa en la fórmula diferencial de un producto.d (u.v) = udv + vdu

de donde, udv = d(u.v)− vdu

integrando tenemos,∫udv = u.v −

∫vdu + C

Se trata, de encontrar una integral vdu, en lugar de la propuesta originalmente udv. El método, como es natural,solo tiene aplicación, si la segunda integral es más sencilla que la primera.

Ejemplo 1 Encuentre∫xexdx

Solución: Para aplicar la integración por partes, queremos escribir el integrando de la forma∫udv.

Hay varias formas de hacerlo, y lo esncial es encontrar la que me simplifique a una más sencilla; ahora muestrolas diferentes formas:1. u = x dv = exdx

2. u = ex dv = xdx

3. u = 1 dv = xexdx

4. u = xex dv = dx

Siguiendo las normas, elegimos la primera opción, puesto que ex es la parte más complicada del integrando quese ajusta a una fórmula básica de integración.

Por tanto,

u = x ⇒ du = dx

dv = exdx ⇒ v =∫dv =

∫exdx = ex

Utilizando la técnica de integración por partes tenemos,

∫udv = u.v −

∫vdu + C∫

xexdx = xex −∫exdx∫

xexdx = xex − ex + C

Ejemplo 2 Encuentre∫x2 lnxdx

En este caso se integra más fácilmente x2 que lnx; además, la derivada de lnx es sencilla.Entonces,

u = lnx ⇒ du =1

xdx

dv = x2 ⇒ v =

∫dv =

x3

3

∫udv = u.v −

∫vdu + C

19

∫x2 lnxdx =

x3

3lnx−

∫ x3

3

1

xdx =

x3

3lnx−

∫ x2

3dx =

x3

3lnx− x3

9+ C


lnxdx

En este caso se integra más fácilmente dx que lnx; además, la derivada de lnx es sencilla.Entonces,

u = lnx ⇒ du =1

xdx

dv = dx ⇒ v =

∫dv =

∫dx = x

∫udv = u.v −

∫vdu + C

∫lnxdx = x lnx−

∫x1

xdx = x lnx−

∫dx = x lnx− x + C

Ejemplo 4 Encuentre∫x cosxdx

En este caso se integra más fácilmente cosx; además, la derivada de x es dx.Entonces,u = x ⇒ du = dx

dv = cosxdx ⇒ v =

∫dv =

∫cosxdx = sinx

∫udv = u.v −

∫vdu + C∫

x cosxdx = x sinx−∫

sinxdx = x sinx−− cosx = x sinx + cosx + C


sec3 xdx (caso especial)

Entonces,u = secx ⇒ du = secx tanxdx

dv = sec2 xdx ⇒ v =

∫dv =

∫sec2 xdx = tanx

∫udv = u.v −

∫vdu + C

∫sec3 xdx =

∫secx sec2 xdx = secx tanx −

∫tanx secx tanxdx

= secx tanx −∫

tanx secx tanxdx = tanx secx −∫

tan2 x secxdx

= tanx secx −∫ (

sec2 x− 1)secxdx

= tanx secx −∫

sec3 xdx +

∫secxdx

y como

∫sec3 xdx = tanx secx −

∫sec3 xdx+

∫secxdx =⇒

∫sec3 xdx+

∫sec3 xdx = tanx secx +

∫secxdx

2

∫sec3 xdx = tanx secx +

∫secxdx = tanx secx + ln [secx + tanx] + c

20

entonces

∫sec3 xdx =

1

2[tanx secx + ln (secx+ tanx)] + c

Ejercicios1.∫

lnxdx

2.∫ xex

(x + 1)2dx

3.∫x2 ln2 xdx

4.∫xexdx

5.∫x3ex

2

dx

6.∫x2 sinxdx

1.5. Integrales que contienen Funciones Trigonométricas

1.5.1. Integrales de senos y cosenos

1. Si la potencia del seno es positiva e impar, quédese con un factor seno y convierta los restantesfactores en cosenos.

Ejemplo∫sin3 x cos4 xdx =

∫sin2 x cos4 x (sinx) dx (guardar sinx)

=∫ (

1− cos2 x) (

cos4 x)(sinx) dx

=∫ (

cos4 x− cos6 x)(sinx) dx

=∫

cos4 x sinxdx−∫

cos6 x sinxdx

= −∫

cos4 x (− sinx) dx +∫

cos6 x (− sinx) dx (sea u = cosx ⇒ du = − sinxdx)∫

sin3 x cos4 xdx = −cos5 x

5+

cos7 x

7+ c

2. Si la potencia del coseno es positiva e impar, quédese con un factor coseno y convierta losrestantes factores en senos.Ejemplo∫

sin2 x cos5 xdx =∫

sin2 x cos4 x (cosx) dx (guardar cosx)

=∫

sin2 x(cos2 x

)2cosxdx

=∫

sin2 x(1− sin2 x

)2cosxdx

=∫

sin2 x(1− 2 sin2 x + sin4 x

)cosxdx

=∫ (

sin2 x− 2 sin4 x + sin6 x)cosxdx

=∫

sin2 x cosxdx− 2∫

sin4 x cosxdx +∫

sin6 x cosxdx (sea u = sinx ⇒ du = cosxdx)∫

sin2 x cos5 xdx =sin3 x

3− 2 sin5 x

5+

sin7 x

7c

3. Si la potencia de ambos seno y coseno son pares y no negativas, utilice las siguientesidentidades:

sin2x =1− cos 2x

2y cos2 x =

1 + cos 2x

2

A continuación se procede como en el caso número 2.Ejemplo∫

sin2 x cos2 xdx =∫ (1− cos 2x

2

)(1 + cos 2x

2

)dx

21

=1

4

∫ (1− cos2 2x

)dx

=1

4

∫dx− 1

4

∫cos2 2xdx

=1

4x− 1

4

∫ 1 + cos 4x

4dx

=1

4x− 1

16x− 1

16sin 4x+ c

Ejercicios

1.∫

sin5 2x cos 2xdx2.∫

cos2 3xdx3.∫

sin4 x cos2 xdx4.∫

cos3 x sinxdx

5.∫

sin4 x cos4 xdx6.∫

sin2 x cos4 xdx

1.5.2. Integrales de Secantes y de Tangentes

1. Si la potencia de la secante es positiva y par, quédese con un factor de la secante al cuadradoy convierta los restantes factores en tangentes.

Ejemplo

∫sec4 3x tan3 3xdx si u = tan 3x ⇒ du = 3 sec2 3xdx Entonces:∫sec4 3x tan3 xdx = sec23x tan3 3x

(sex23x

)dx

=∫ (

1 + tan2 3x)tan3 3x

(sec2 3x

)dx

=1

3

∫ [tan3 3x + tan5 3x

] (3 sec2 3x

)dx (sea u = tan 3x ⇒ du = 3 sec2 3xdx)

=1

3

∫tan3 3x

(3 sec2 3x

)dx+

1

3

∫tan3 3x

(3 sec2 3x

)dx

=1

3

[tan4 3x

4+

tan6 3x

6

]+ c

2. Si la potencia de la tangente es positiva e impar, quédese con un factor secante-tangente ycovierta los restantes factores en secantes.

Ejemplo

∫ tan3 x√secx

dx =∫

(secx)−1

2 tan3 xdx =∫

(secx)−3

2

(tan2 x

)(secx tanx) dx =

∫(secx)−

3

2

(sec2 x− 1

)(secx tanx) dx

=∫

(secx)−3

2

(sec2 x− 1

)(secx tanx) dx =

∫ [(secx)

1

2 − (secx)−3

2

](secx tanx) dx

(sea u = secx ⇒ du = secx tanxdx)∫ tan3 x√

secxdx = (secx)

3

2 + 2 (secx)− 3

2 + c

3. Si no hay factores de la secante y la potencia de la tangente es positiva y par, convierta unfactor tangente cuadrado en secantes.Ejemplo

∫tan4 xdx =

∫ (tan2 x

)tan2 xdx =

∫tan2 x

(sec2 x− 1

)dx =

∫tan2 x sec2 xdx−

∫tan2 xdx

=∫

tan2 x sec2 xdx−∫ (

sec2 x− 1)dx

22

(sea u = tanx ⇒ du = sec2 xdx)

∫tan4 xdx =

tan3 x

3− tanx + x+ c

4. si no se está en ninguna de las tres situaciones previas, intente reescribir el integrando en términosde senos y cosenos.

Ejemplo∫ secx

tan2 xdx =

∫ ( 1

cosx

)(cosx

sinx

)2dx =

∫(sinx)−2 cosxdx = −(sinx)−1+ c = − cscx+ c

Ejercicios

1.∫

sec3 xdx2.∫

sec4 5xdx3.∫

tan2 x sec2 xdx4.∫

csc2 3x cot 3xdx5.∫

sec6 4x tan 4xdx

1.6. Integración por Sustitución Trigonométrica

Este método se utilixa cuando la función integrando contiene expresiones de la forma:

a2+− x2

x2+− a2

ax2 + bx+ c

El objetivo con las sustituciones trigonométricas consisite en eliminar los radicales del integrando.

Ejemplo 1 Encuentre

∫ √3− x2

x2dx

En el triángulo anterior sin θ =x√3, derivando se obtiene cos θdθ =

dx√3⇒

√3 cos θdθ = dx

y cos θ =

√3− x2√

3⇒

√3 cos θ =

√3− x2, luego la integral quedaría de la siguiente forma:

∫ √3− x2

x2dx =

∫ (√3 cos θ

) (√3 cos θ

)

3 sin2 θdθ =

∫cos2 θ

sin2 θdθ =

∫cot2 θdθ =

∫ (csc2 θ − 1

)dθ

∫ (csc2 θ − 1

)dθ = − cot θ − θ+c reemplazando del triángulo se obtiene que

∫ √3− x2

x2dx = −

√3− x2

x− arcsin

(x√3

)+c

Ejemplo 2 Encuentre

∫dx

x√

4 + x2

23

En el triángulo anterior tan θ =x

2, derivando se obtiene sec2 θdθ =

dx

2⇒ 2 sec2 θdθ = dx

y sec θ =

√4 + x2

2⇒ 2 sec θ =

√4 + x2, luego la integral quedaría de la siguiente forma:

∫dx

x√

4 + x2=

∫2(sec2 θ

)

(2 tan θ) (2 sec θ)dθ =

1

2

∫(sec θ)

tan θdθ =

1

2

∫ (1

cos θ

)(sin θcos θ

)dθ =1

2

∫cos θ

cos θ sin θdθ

1

2

∫cos θ

cos θ sin θdθ =

1

2

∫dθ

sin θ=

1

2

∫csc θdθ reemplazando del triángulo se obtiene que

∫dx

x√

4 + x2=

1

2ln

(√4 + x2

x− 2

x

)

+c

Ejemplo 3 Encuentre

∫x2√x2 − 9

dx

En el triángulo anterior sec θ =x

3, derivando se obtiene sec θ tan θdθ =

dx

3⇒ 3 sec θ tan θdθ = dx

y tan θ =

√x2 − 9

3⇒ 3 tan θ =

√x2 − 9, luego la integral quedaría de la siguiente forma:

∫x2√x2 − 9

dx =

∫ (32 sec2 θ

)(3 sec θ tan θ)

3 tan θdθ = 9

∫sec3 θdθ

Como ya vimos,

∫sec3 θdθ =

1

2[tan θ sec θ + ln (sec θ + tan θ)] + c Luego,

9

∫sec3 θdθ = 9

[1

2[tan θ sec θ + ln [sec θ + tan θ]]

]+c Reemplazando del triángulo se obtiene que:

9

[1

2[tan θ sec θ + ln [sec θ + tan θ]]

]+c = 9

[1

2

[√x2 − 9

3

x

3+ ln

(x

3+

√x2 − 9

3

)]]

+c

∫x2√x2 − 9

dx = 27

[x√x2 − 9

6+ ln

(x+

√x2 − 9

)]

+c

Ejercicios

1.

∫dx√

x2 − 6x + 10(complete cuadrado)

2.

∫dx

(x2 + 1)2

3.

∫dx

(x2 − 4x)3

2

4.dx

x3√x2 − 9

24

1.7. Integración por Fracciones Parciales

En este método se podrá ver cómo se integra cualquier función racional (como razón de polinomios)expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales.Para ver cómo funciona en general el método de fracciones parciales, trabajaremos sobre una función

racional.

f(x) =P (x)

Q(x)en donde P y Q son polinomios

Es posible expresar a f(x) como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P

sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.

si P (x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a1x + a0 en donde an es diferente de cero, el grado de P (x) es n.f(x) es impropia si el grado de P (x) es mayor o igual al gardo de Q(x), el primer paso es dividir Q(x)entre P (x), hasta obtener un residuo R(x), tal que el grado de R(x) sea menor que el grado de Q(x).

Es decir, f(x) =P (x)

Q(x)= S(x)+

R(x)

Q(x), en donde R y S son polinomios.

Caso 1 El denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Ejemplo Evalue

∫x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2xdx como el grado del numerador es menor que el grado del

denominador no necesitamos dividir.

2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x− 2

)= x(2x− 1) (x + 2)

Como los tres factores lineales son distintos, la descomposición en fracciones parciales queda:

x2 + 2x− 1

x(2x− 1) (x + 2)=

A

x+

B

2x− 1+

C

x + 2, hallamos los valores A, B, C

x2 + 2x− 1 = A(2x− 1) (x + 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1) = (2A +B + 2C)x2 + (3A + 2B − C)x− 2A

igualamos los coeficientes de x2, x y también de las constantes.2A +B + 2C = 13A + 2B − C = 2

−2A = −1

Al resolver el sistema obtenemos:A = 1

2 , B = 15 , C = 1

10 luego,

∫x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2xdx =

∫ [1

2

1

x+

1

5

1

2x− 1− 1

10

1

x + 2

]dx =

1

2ln (x) +

1

10ln (2x− 1)− 1

10ln (x + 2)+ c

25

Caso 2 Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Ejemplo Evalue

∫x2 + 2x + 3

(x− 1) (x + 1)2dx

la descomposición en fracciones parciales queda:

x2 + 2x + 3

(x− 1) (x + 1)2=

A

x− 1+

B

x + 1+

C

(x + 1)2

x2 + 2x+ 3 = A (x+ 1)2 +B (x + 1) (x− 1) + C (x− 1) = A (x + 1)2 +B(x2 − 1

)+ C (x− 1) =

(A+B)x2 + (2A+ C)x + (A−B − C)

A+B = 1

2A + C = 2

A−B − C = 3

Al resolver el sistema obtenemos:

A = 32 , B = −1

2 , C = −1 luego,

∫x2 + 2x + 3

(x− 1) (x + 1)2dx =

3

2

∫1

x− 1dx +−1

2

∫1

x+ 1dx−

∫1

(x + 1)2dx =

3

2ln (x− 1)− 1

2(x + 1) +

1

x+ 1+ c

Caso 3 Q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite

Ejemplo Evalue

∫x2

(x2 + 1)2 dx


x2

(x2 + 1)2 =

Ax +Bx

x2 + 1+

Cx +D

(x2 + 1)2

x2 = Ax+Bx(x2 + 1

)+ Cx +D

x2 = Ax3 +Bx2 + (A+ C)x + (B +D)

Igualando los coeficientes obtenemos:

A = 0, B = 1, C = 0, D = −1

de modo que la integral queda:

∫x2

(x2 + 1)2 dx =

∫ [1

x2 + 1dx− 1

(x2 + 1)2

]

dx =

∫1

x2 + 1dx−

∫1

(x2 + 1)2 dx = arctanx− 1

2(arctanx+)

∫x2

(x2 + 1)2 dx = arctanx− 1

2

(arctanx+

x

(x2 + 1)

)+ c

Caso 4 Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido.

Ejemplo Evalue

∫1− x + 2x2 − x3

x (x2 + 1)2 dx


26

1− x + 2x2 − x3

x (x2 + 1)2 =

A

x+

Bx + C

(x2 + 1)+

Dx +E

(x2 + 1)2

1− x + 2x2 − x3 = A(x2 + 1

)2+ (Bx + C)

(x2 + 1

)x + (Dx +E)x

−x3 + 2x2 − x+ 1 = A(x4 + 2x2 + 1

)+B

(x4 + x2

)+ C

(x3 + x

)+Dx2 +Ex

−x3 + 2x2 − x + 1 = (A +B)x4 + Cx3 + (2A+B +D)x2 + (C +E)x+ A

Igualando los coeficientes obtenemos:A = 1, B = −1, C = −1, D = 1, E = 0

de modo que la integral queda:

∫1− x + 2x2 − x3

x (x2 + 1)2dx =

∫ [1

x− x+ 1

x2 + 1+

x

(x2 + 1)2

]

dx =

∫dx

x−∫

x

x2 + 1−∫

dx

x2 + 1+

∫xdx

(x2 + 1)2∫

1− x+ 2x2 − x3

x (x2 + 1)2dx = ln (x)− 1

2ln(x2 + 1

)− tan−1 x− 1

2 (x2 + 1)+ c

Ejercicios

1.

∫1

x2 − 1dx

2.

∫3

x2 + x− 2dx

3.

∫x + 2

x2 − 4dx

4.

∫6x2 − 3x + 14

x3 − 2x2 + 4x− 8dx

5.

∫6x2 + 1

x2 (x− 1)3dx

6.

∫x3

(x2 − 4)2dx

7.

∫3x2 + 2x− 2

(x− 1) (x2 + x + 1)dx

27

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