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IN172 INVESTIGACIN DE OPERACIONES 1

Material de Trabajo Ciclo 2014 1

Profesores: Fernando Bresciani

[email protected]

Carlos Culquichicn [email protected] Eduardo Lpez

[email protected]

Marzo 2014

Ciclo 2014 - 1

2 IN172 - Investigacin de Operaciones 1

NDICE

Problemas para resolver en clase captulo 1 .......................................................................................................................... 3

Problemas para resolver en clase captulo 2 ....................................................................................................................... 14




Ciclo 2014 - 1


PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE CAPTULO 1

Modelos de produccin de un solo periodo 1. Una empresa produce dos tipos de productos, uno para el mercado nacional y el otro para exportacin. Se

quiere determinar la mezcla de produccin ptima para el siguiente mes. El producto que se elabora para el mercado nacional usa en su produccin 7 unidades de la materia prima 1, 18 unidades de la materia

prima 2 y 11 horas de mano de obra. El producto que se exporta utiliza en su elaboracin 8 unidades de la materia prima 1, 11 unidades de la materia prima 2 y 23 horas de mano de obra.

Por poltica de la compaa la produccin de ambos productos deben utilizar por lo menos 56 unidades de

la materia prima 1 y hasta 198 unidades de la materia prima 2.

Por motivos de la situacin actual el nmero de horas con las que se cuenta mensualmente ha ido variando

en los ltimos meses y para este mes se prev que se podr contar con un mximo de 253 horas de mano de obra en la planta de produccin.

Adems se presenta la siguiente restriccin: cuatro veces la produccin del producto para exportacin no debe ser mayor que nueve veces la produccin del producto para el mercado nacional ms 36 unidades.

Tomando en cuenta el precio de venta y los costos de todo aquello utilizado en la produccin de ambos productos se ha llegado a establecer que la utilidad por unidad del producto en el mercado nacional es de $ 200 y que la utilidad de un producto que se exporta es de $ 500. Elabore un modelo de programacin

lineal para este caso.

2. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos A, B, C y D. Cada producto debe ser procesado de manera secuencial por el taller 1, luego por el taller 2 y finalmente por el taller 3. El tiempo que requiere una unidad de producto en cada uno de esos talleres, el costo por hora, la cantidad de horas mensuales

disponibles que tendr cada taller, la produccin mnima que asegura la rentabilidad de negocio y el precio de venta de cada tipo de producto se muestra en la siguiente tabla. Formule un modelo de

programacin lineal que permita maximizar la utilidad total. La demanda no representa un factor limitante para la venta. No es obligatorio que la produccin sea un nmero entero.

Taller

Tiempo requerido (minutos / unidad)

Costo de

produccin ($/hora)

Horas

mensuales disponibles A B C D

1 32 151 72 118 89 160

2 39 147 61 126 81 160

3 46 155 57 121 84 160

Produccin mnima

mensual (unidades) 40 25 20 20

Precio de venta

($/unidad) 200 190 170 180

3. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos A, B, C y D. Cada producto puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres que dispone. El tiempo necesario para completar cada producto en cada uno

de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendr cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. Formule un modelo de programacin lineal que permita cumplir con la

demanda mensual al mnimo costo posible. No es obligatorio que la produccin en cada taller sea un nmero entero.

Taller

Tiempo requerido (minutos / unidad)

Costo de

produccin ($/hora)

Horas

mensuales disponibles A B C D

1 32 151 72 118 89 160

2 39 147 61 126 81 160

3 46 155 57 121 84 160

Demanda mensual

(unidades) 80 50 40 40

4. La empresa "Triturados y Derivados S.A." (TRIDESA), desea producir tres diferentes tipos de block de concreto I, II, III. En la tabla mostrada a continuacin, se proporcionan las estimaciones que TRIDESA ha elaborado del requerimiento necesario de cada elemento, para fabricar cada uno de los tipos de block, su

disponibilidad, as como de la utilidad unitaria que obtiene en la venta de los mismos.

Ciclo 2014 - 1


Requerimiento unitario

Block (tipo)

Cemento (kg)

Arena (kg)

Grava (kg)

Agua (litros)

Horas mquina

Utilidad ($/unidad)

I

II III

1.50

1.20 0.80

0.80

0.60 1.00

0.40

0.60 0.80

0.30

0.40 0.50

0.004

0.002 0.010

6

8 9

Disponibilidad 12000 kg 8000 kg 600 kg 400 litros 300 horas

Adems, se sabe que se debe producir como mnimo 100 bloques de cada tipo, con el fin de asegurar la

rentabilidad del negocio. Formule un modelo de programacin lineal para determinar el nmero de blocks a fabricar diariamente que maximice la utilidad. Todo lo que se produzca se vender.

5. El departamento de energa de Lilliput actualmente est en el proceso de desarrollar un plan nacional de energa para el ao siguiente. Lilliput puede generar energa de cualquiera de cinco fuentes: carbn, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroelctricos y petrleo. Los datos sobre los recursos de energa,

las capacidades de generacin medidas en megawatt-horas (MW-hr), y los costos unitarios de generacin se dan en la siguiente tabla:

Fuente de energa

Capacidad total (MW-hr)

Costo de generacin ($/MW-hr)

Carbn 45000 6.0

Gas natural 15000 5.5

Nuclear 45000 4.5

Hidroelctrica 24000 5.0

Petrleo 48000 7.0

Lilliput necesita 50,000 MW-hr de energa de uso domstico, y el pas tiene un compromiso para producir 10,000 MW-hr para exportacin. Ms an, a fin de conservar los recursos de energa y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones:

La generacin proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energa total generada por Lilliput.

Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbn.

La cantidad de energa generada a partir del gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir del petrleo.

Los efluentes que salen a la atmsfera no deben exceder los lmites especificados en la siguiente tabla:

Contaminante ( g / MW-hr)

Fuente de energa Dixido de

azufre Monxido de

carbono Partculas de

polvo Desechos slidos

Carbn 1.5 1.2 0.7 0.4

Gas Natural 0.2 0.5 --- -----

Nuclear ----- 0.1 0.2 0.7

Hidroelctrica ----- ---- ----- ----

Petrleo 0.4 0.8 0.5 0.1

Kg. mximos permitidos 75 60 30 25

Formule un programa lineal para determinar un plan de energa a costo mnimo.

6. Rylon Corporation fbrica los perfumes Brute y Chanelle. Se pude comprar la materia prima que se necesita para producir cada tipo de perfume a 3 dlares/libra. Para procesar 1 lb. de materia prima, se necesita 1 hora de trabajo en el laboratorio. Cada libra de materia prima procesada produce 7 onzas de perfume en total distribuidos de la siguiente forma: 3 oz. de Perfume Brute Regular, y 4 oz. de perfume Chanelle

Regular.

Se puede vender Brute Regular a 7 dlares/oz., y Chanelle Regular a 6 dlares /oz. Rylon tiene tambin la

opcin de seguir procesando Brute Regular y Chanelle Regular para producir Brute Luxury, vendido a 18 dlares/oz., y Chanelle Luxury, vendido a 14 dlares/oz.

Cada onza de Brute Regular necesita 3 horas adicionales de laboratorio y causa 4 dlares extra de costos de produccin, para producir 1 oz. de Brute Luxury. Cada onza de Chanelle Regular necesita 2 horas

adicionales de laboratorio y causa 4 dlares extra de costos de produccin para producir 1 oz. de Chanelle Luxury. Cada ao, Rylon dispone de 6000 horas de laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb. de materia prima. Formule un modelo de Programacin Lineal que se pueda utilizar para determinar cmo

Ciclo 2014 - 1


puede maximizar Rylon sus ganancias. Supngase que los costos de laboratorio son fijos y que todo lo que se produzca se vender.

7. Birdeyes Real Estate Co. Posee 800 acres de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lago escnico en la parte central de las montaas. En el pasado, se aplicaba poca o ninguna regulacin a nuevas

urbanizaciones en torno al lago. Las orillas del lago ahora estn alineadas con residencias vacacionales agrupadas. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desage por alcantarillado, se utilizan muchos

tanques spticos, la mayora instalados en forma inadecuada. Con el paso de los aos, la filtracin de los tanques spticos ha provocado un severo problema de contaminacin del agua.

Para controlar la degradacin ms profunda en la calidad del agua, los funcionarios del municipio presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicados a todas las urbanizaciones a futuro:

Slo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total.

Para limitar el nmero de tanques spticos, se requieren tamaos de lote mnimos de 2, 3 y 4 acres para casas de una, dos y tres familias.

Se deben establecer reas de recreo de 1 acre cada una a razn de un rea por cada 200 familias.

Para preservar la ecologa del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardn.

El presidente de la compaa estudia la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compaa en el lago.

La nueva urbanizacin incluir casas para una, dos y tres familias. El estima que el 15% del terreno se utilizar en la apertura de calles y vas de acceso para servicios. Tambin calcula que los siguientes sern

sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales:

Unidades habitacionales

Sencilla Doble Triple

Ingreso neto por unidad ($)

10000 15000 20000

El costo de conexin del servicio de agua al rea es proporcional al nmero de unidades que se construyan.

Sin embargo, la comunidad estipula que se deber colectar un mnimo de $ 100000 para que el proyecto sea econmicamente factible. Adems, la expansin del sistema acufero ms all de su capacidad actual

est limitada a 200000 galones por da durante periodos de consumo mximo, pico. Los datos que siguen resumen el costo de la conexin del servicio de agua y tambin del consumo de agua suponiendo una familia de tamao medio:

Unidad habitacional Sencilla Doble Triple Recreo

Costo del servicio de agua

por unidad ($) 1000 1200 1400 800

Consumo de agua por unidad (gal./da)

400 600 840 450

Formule el modelo de programacin lineal correspondiente.

Modelos de Horarios de trabajo

8. Cierto restaurante atiende al pblico los siete das de la semana. La administracin ha contratado camareros para que trabajen seis horas diarias. En el contrato firmado con el sindicato se estipula que cada uno de ellos debe trabajar cinco das consecutivos y descansar dos. Todos los camareros perciben el mismo

salario. En la siguiente tabla aparecen los requerimientos de personal. Suponga que este ciclo de requerimientos se repite indefinidamente y pase por alto el hecho de que la cantidad de camareros

contratados tiene que ser un nmero entero. La gerencia desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estos requerimientos a un costo mnimo. Formule este problema como modelo de PL.

Da Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

Horas camarero requeridas

150 200 400 300 700 800 300

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Modelos de Transporte

9. Una empresa desea programar el transporte de su producto principal que se elabora en 4 plantas con destino a 3 almacenes. Se conoce la demanda de los almacenes, la capacidad de produccin de las plantas

y el costo de transporte por unidad de transporte de una planta a un almacn.

Plantas Almacenes ($ / Unid) Capacidad

(unidades) 1 2 3

1 3 2 4 950

2 2 4 3 1150 3 3 5 3 1000

4 4 3 2 900

Demanda (unidades)

1200 900 500

Elabore un modelo de programacin lineal que permita hallar el plan ptimo de transporte.

10. Una compaa tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un mximo de 100 unidades y la segunda un mximo de 200 del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacn es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Los precios de venta en cada uno de los tres almacenes

son: $12 en el primero, $ 14 en el segundo y $15 en el tercero. En la siguiente tabla se muestra el costo de la manufactura en la planta i y del transporte al almacn j. La compaa desea determinar cuntas

unidades debe transportar de cada planta a cada almacn para maximizar sus utilidades.

Costos de manufactura y transporte ($ / unidad)

Planta Almacn 1 Almacn 2 Almacn 3

1 8 10 12

2 7 9 11

Modelos de Transbordo

11. Una empresa extrae roca de 2 minas. Una vez que levanta el material del suelo y lo carga en un camin, lo enva a una de 2 plantas para ser procesado. Luego, la roca procesada se enva a una de 3 tiendas de materiales para construccin, donde se vende para propsito de arreglo de jardines. El costo de

transportacin, las existencias disponibles en cada mina, los costos y la capacidad de procesamiento en cada planta se dan en la tabla siguiente:

A la planta de procesamiento ($ / t) Suministro

diario (t) De la mina 1 2

A 6 8 320 B 7 10 450

Costo de procesamiento

($ / t) 22 18

Capacidad de procesamiento (t / da)

500 500

El costo de envo de cada planta de procesamiento a cada tienda y la demanda diaria son como sigue:

Hacia la tienda ($ / t)

De la planta 1 2 3

1 13 17 20 2 19 22 21

Demanda diaria (t) 200 240 330

Formule el programa lineal que pueda utilizarse para determinar cmo satisfacer las demandas de las 3

tiendas al mnimo costo.

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Modelos de la dieta

12. El Battery Park Stable alimenta y aloja los caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por las calles del histrico distrito ribereo de Charleston. El propietario del establo reconoce la necesidad de disear una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo quiere mantener al mnimo el

costo diario de alimentacin.

Las mezclas disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamente

enriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de 5 ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo. Los requerimientos mnimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las 3 mezclas se muestran a

continuacin:

Mezcla de alimento (unidades / libra) Requerimiento

diario mnimo (unidades)

Ingredientes Producto de

avena Granos

enriquecidos Productos minerales

A 2 3 1 6

B 0.5 1 0.5 2 C 3 5 6 9 D 1 1.5 2 8

E 0.5 0.5 1.5 5

Costo ($ / libra) 0.09 0.14 0.17

Adems, el propietario determina que 6 libras de alimento por da es lo mximo que un caballo necesita.

Modelos de Mezclas

13. La administracin de un viedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos de vinos en forma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se

muestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composicin de las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto debern constituir cuando menos 75 % de

la mezcla A y cuando menos 35 % de la mezcla C. Adems, la mezcla A deber contener cuando menos 8 % de la cosecha 4, mientras que la mezcla B deber contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a lo

sumo 35 % de la cosecha 4. Se podr vender cualquier cantidad que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo de PL que aproveche en la mejor forma las cosechas disponibles.

Mezcla Cosecha Precio de venta

($ / galn) 1 2 3 4

A * cuanto menos 75% 2 y 3 en cualquier proporcin

cuanto menos 8%

80

B * cuanto menos

10% *

cuanto mucho

35% 50

C * cuanto menos 35% 2 y 3 en cualquier proporcin

* 35

Existencias

(galones) 130 200 150 350

* Indica que no existe restriccin alguna.

14. La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de material de desecho slido y los trata para amalgamarlos en un producto comercializable (el tratamiento y el amalgamado son dos procesos diferentes). Se pueden hacer tres grados diferentes de este producto (ver la primera columna de

la tabla 1), segn la mezcla de materiales que se use. Aunque existe una flexibilidad para esta mezcla en cada grado, los estndares de calidad especifican una cantidad mnima y una mxima para la proporcin

de los materiales permitidos en ese grado (esta proporcin es el peso del material expresado como un porcentaje del peso total del producto de ese grado). Para los dos grados ms altos se especifica un

porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas especificaciones se dan en la tabla 1 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta de cada grado.

Ciclo 2014 - 1


Tabla 1

Grado Especificacin

Costo de

amalgamado ($ /libra)

Precio de venta

($ / libra)

A

Material 1: no ms del 30% del total

Material 2: no menos del 40% del total Material 3: no ms del 50% del total

Material 4: exactamente el 20% del total

3.00 8.50

B Material 1: no ms del 50% del total Material 2: no menos del 10% del total

Material 4: exactamente el 10% del total

2.50 7.00

C Material 1: no ms del 70% del total 2.00 5.50

El centro de reciclado recoge los materiales de desecho slido de ciertas fuentes habituales por lo que casi

siempre puede mantener una tasa de produccin estable para tratarlos. En la tabla 2 se dan las cantidades disponibles para la recoleccin y tratamiento semanal, al igual que el costo del proceso para cada tipo de material.

La Save-it Co. es propiedad de Green Earth, una organizacin dedicada a asuntos ecolgicos, por lo que las ganancias se usan para apoyar las actividades de Green Earth. Esta organizacin ha logrado

contribuciones y apoyos por la cantidad de $ 30000 semanales, que deben usarse exclusivamente para cubrir el costo del tratamiento completo de los desechos slidos. El consejo directivo de Green Earth ha

girado instrucciones a la administracin de la Save-it para que divida este dinero entre los materiales de manera tal que al menos la mitad de la cantidad disponible de cada tipo de material sea recolectada y

tratada. Estas restricciones adicionales se numeran en la tabla 2.

Tabla 2

Material Libras por semana

disponibles

Costo del

Tratamiento ($ por libra)

Restricciones Adicionales

1 3000 3.00 1.- Para cada material deben recolectarse y tratarse al menos la mitad de las libras

disponibles por semana 2.- Deben usarse $ 30000 semanales para

tratar estos materiales.

2 2000 6.00

3 4000 4.00

4 1000 5.00

Dentro de las restricciones especificadas en las tablas 1 y 2, la administracin desea determinar la cantidad

que debe producir de cada grado y la mezcla exacta de materiales que debe usar para cada uno, de manera que maximice la ganancia semanal total.

15. Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando tres tipos de petrleo crudo (1, 2 y 3). En la tabla siguiente se muestran los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petrleo crudo. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles

de cada tipo de petrleo crudo diariamente.

Gasolina Precios de venta por barril ($) Crudo Precio de compra por barril ($)

Gasolina 1 70 Crudo 1 45



Los tres tipos de gasolina difieren en su ndice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo

menos 10 y a lo ms 1% de azufre. La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo ms 2% de azufre.

La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo ms 1% de azufre.

El ndice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petrleo se dan en la tabla que sigue a continuacin. La transformacin de un barril de petrleo en un barril de gasolina cuesta 4 dlares, y la

refinera se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina.

Ciclo 2014 - 1


Crudo ndice de octano Contenido de azufre

Crudo 1 12 0.5%

Crudo 2 6 2.0%

Crudo 3 8 3.0%

Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compaa se siente comprometida a

cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dlar invertido diariamente en el publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina en 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente

20 dlares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un modelo de Programacin Lineal que permita a Sunco a maximizar sus

ganancias diarias (ganancias = ingreso costos).

Modelos de Inventarios

16. Sailco Corporation tiene que determinar cuntos veleros hay que producir en cada uno de los cuatro trimestres. La demanda durante cada uno de los siguientes cuatro trimestres es: primer trimestre, 40 veleros; segundo trimestre, 60 veleros; tercer trimestre, 75 veleros; cuarto trimestre, 25 veleros. Sailco tiene que

cumplir a tiempo con las demandas.

Al principio del primer trimestre, Sailco tiene un inventario de 10 veleros. Durante cada trimestre, Sailco

pude producir hasta 40 veleros, en el tiempo regular de trabajo, a un costo total de 400 dlares por velero. Sailco puede producir ms veleros, al hacer que trabajen tiempo extra los empleados durante un

trimestre, a un costo total de 450 dlares por velero. El costo de inventario por cada velero es de $ 20. Utilice la programacin lineal para determinar un programa de produccin e inventario para Sailco.

17. Gandhi Co. fabrica camisas y pantalones. La demanda en los prximos 3 meses, la cual se debe cumplir a tiempo, es la siguiente:

Mes 1 Mes 2 Mes 3

Camisas 10 12 14

Pantalones 15 14 13

Durante cada mes, cuesta $4 elaborar una prenda cualquiera en turno normal y cuesta $8 en turno extra. La capacidad mensual de produccin en turno normal es 25 prendas y la capacidad mensual de produccin

en turno extra es ilimitada. Es posible almacenar prendas, a un costo de inventario mensual de $3 por prenda. Al inicio del mes 1, en el almacn hay una camisa y 2 pantalones.

Cada camisa requiere 2 yardas2 de tela y cada pantaln requiere 3 yardas2 de tela. Lo mximo de tela que se puede comprar y el costo de compra se muestran a continuacin:

Mes 1 Mes 2 Mes 3

Mximo a comprar (yardas2) 10 12 14

Costo ($/yarda2) 2 1.5 1.8

Es posible almacenar tela en cada mes, con un costo de almacenamiento despreciable. Elabore un modelo

de programacin lineal que permita satisfacer la demanda al mnimo costo total.

18. La empresa Body Cycling se dedica a la fabricacin y ensamblaje de bicicletas para la exportacin; posee 3 lneas de bicicletas: MTB, ATB y BMX, las cuales poseen tiempos de produccin diferentes, como se muestra en la siguiente tabla.

Lnea Tiempo de produccin

(horas)

MTB 6

ATB 5

BMX 4

La demanda de cada tipo de bicicletas para los prximos seis meses, en unidades, se proporciona en la siguiente tabla.

Ciclo 2014 - 1


Demanda

MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN

MTB 1000 500 250 250 200 200

ATB 500 200 150 150 120 150

BMX 250 120 50 50 60 60

La planta cuenta con 30 operarios, los cuales deben permanecer en forma constante trabajando 8 horas diarias, 4 semanas al mes y 5 das por semana. Sin embargo es posible trabajar horas extras, hasta un

lmite de 40% respecto a las horas normales de trabajo.

El almacn tiene capacidad para 1000 bicicletas, indistintamente del modelo o tamao y se han establecido

los siguientes costos:

Mano de obra regular: $3200 al mes, para un total de 160 horas mensuales.

Mano de obra extra: $25 por hora adicional.

Mantenimiento de Stock: $5 por unidad almacenada.

El inventario inicial de cada tipo de bicicletas para el mes de Enero aparece en la siguiente tabla:

Lnea Stock

MTB 400

ATB 150

BMX 50

Formule un modelo de programacin lineal para el programa de produccin de la empresa que tome en cuenta satisfacer la demanda mensual (no se aceptan ventas pendientes).

19. CLS es una cadena de tiendas de servicio para computadoras. El nmero de horas de reparacin especializada que requiere CLS durante los prximos cinco meses, se da a continuacin:

Horas de reparacin requeridas mensualmente

Mes 1 (enero) 6000

Mes 2 (febrero) 7000 Mes 3 (marzo) 8000 Mes 4 (abril) 9500

Mes 5 (mayo) 11000

Al principio de enero, 50 tcnicos especializados trabajan para CLS. Cada tcnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas, hay que capacitar a nuevos tcnicos. La

capacitacin de un nuevo tcnico dura un mes. Un tcnico experimentado tiene que supervisar al aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada tcnico experimentado se le pagan mensualmente

$2000 (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento, se paga al aprendiz $1000 al mes. Al final de cada mes, 5% de los tcnicos experimentados de CLS, cambian de trabajo, para irse con Plum Computers. Formule un modelo de Programacin Lineal cuya solucin permita a CLS minimizar los

costos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicio durante los prximos meses.

Modelos de Planificacin financiera

20. Una compaa debe establecer su estrategia de inversiones durante los siguientes 3 aos. En la actualidad (tiempo 0) hay $100000 disponibles para invertir en cinco opciones A, B, C, D y E. El flujo de efectivo relacionado con la inversin de $1 en cada opcin se muestra a continuacin:

Ao

Opciones de inversin 0 1 2 3

A -1 0.5 1 0

B 0 -1 0.5 1

C -1 1.2 0 0

D -1 0 0 1.9

E 0 0 -1 1.5

Por ejemplo, $1 invertido en la opcin B, requiere una salida de efectivo en el ao 1 y da un rendimiento

de $0.5 en el ao 2 y $1 en el ao 3. La compaa requiere que se asigne no ms de $75000 para cada opcin de inversin. Adems de dichas opciones de inversin, la compaa puede ganar 8% de inters

Ciclo 2014 - 1


anual por mantener el efectivo sin invertir en el banco. El rendimiento de las inversiones se puede volver a invertir de forma inmediata (por ejemplo, el flujo de efectivo positivo recibido de la opcin C en el ao 1

podra ser reinvertido inmediatamente en la opcin B). Finalmente, la compaa no puede pedir fondos prestados, as que el efectivo disponible para inversin en cualquier ao est limitado al efectivo disponible

que se posea en ese momento. Plantee un modelo de programacin lineal que permita maximizar el efectivo disponible al final del ao 3.

Modelos de Programacin entera binaria

21. El Departamento de Investigacin ha identificado seis proyectos en los que la compaa High Tech puede elegir invertir o no. Cada proyecto ha sido evaluado para determinar la cantidad de capital que debe

invertirse, la rentabilidad esperada y tambin un factor de riesgo usando un algoritmo patentado. Estos datos se resumen en la siguiente tabla:

Proyecto Capital requerido

($) Rentabilidad

(% respecto al capital requerido) Riesgo

1 100 000 10 0.50

2 400 000 5 0.40

3 170 000 20 0.70

4 250 000 15 0.65

5 200 000 7 0.45

6 250 000 30 0.80

Los socios generales han acordado que el riesgo total, obtenido aadiendo los factores de riesgo para cada proyecto respaldado, no debe exceder de 3, y que no deben emprenderse ms de dos proyectos con

un factor de riesgo mayor a 0.6. Formule un modelo de programacin lineal que permita maximizar la rentabilidad total.

22. Un inversionista dispone de $ 20000, los cuales desea destinarlos a la compra de paquetes de acciones y dispone de 10 alternativas. Los costos y la rentabilidad de cada paquete de acciones, as como el rubro al que pertenecen las compaas que ofrecen las acciones se presentan en la siguiente tabla:

Rubro Construccin Minera Agricultura

Paquete de

acciones A B C D E F G H I J

Costo ($) 3500 2900 4000 3800 4200 3600 3200 3000 3700 3300

Rentabilidad (%) 9.2 10.0 8.4 8.6 8.2 9.2 9.6 9.9 8.9 9.4

El inversionista slo puede adquirir un paquete por cada tipo de accin, y por recomendacin de un experto en finanzas:

A lo ms debe adquirir 2 paquetes de acciones en total por cada rubro.

Si invierte en el paquete A, entonces debe invertir en el paquete de acciones B.

Si invierte en el paquete D, entonces no debe invertir en el paquete E.

Formule el modelo de programacin lineal binaria que permita determinar qu paquetes de acciones se

deben adquirir.

23. Sobre el caso anterior, ahora el inversionista ya no tiene restricciones respecto al nmero de paquetes totales adquiridos por cada rubro. En lugar de ello, considere que a lo ms puede invertir en 2 rubros distintos.

Ciclo 2014 - 1


24. Una empresa desea programar el transporte de su producto principal que se elabora en 4 plantas con destino a 3 almacenes. Se conoce la demanda de los almacenes, la capacidad de produccin de las plantas

y el costo de transporte por unidad de transporte de una planta a un almacn.

Plantas Almacenes ($ / Unid) Capacidad

(unidades) 1 2 3

1 3 2 4 950 2 2 4 3 1150

3 3 5 3 1000 4 4 3 2 900

Demanda (unidades)

1200 900 500

Se estima un costo fijo de operacin para cada planta.

Planta 1 2 3 4

Costo fijo de operacin ($) 600 900 200 800

Asimismo, se debe tener en cuenta que si trabaja la planta 1, no debe trabajar la planta 2; y si trabaja la

planta 3, entonces debe trabajar la planta 4.

Formule el modelo de programacin lineal entera binaria que permita determinar desde que plantas

realizar los envos, as como el nmero de unidades a enviar desde cada una de las plantas seleccionadas hacia cada uno de los almacenes.

Otros modelos

25. Una compaa de inversiones tiene actualmente $ 10 millones para la inversin. La meta que se ha trazado consiste en maximizar la retribucin esperada durante el siguiente Ao. Sus 4 posibles posibilidades de

inversin se presentan resumidas en la siguiente tabla. Adems, la compaa a especificado que cuanto menos 30 % de los fondos tendrn que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorera y que no mas del 40 % del dinero deber invertirse en fondos de mercado y ttulos municipales. Se invertir la

totalidad de los 10 millones actualmente a la mano. Formule el modelo de PL que indique a la empresa cunto dinero debe invertir en cada instrumento.

Posibilidad de inversin

Retribucin esperada (%)

Inversin mxima (millones de $)

Bonos de la Tesorera 8 5

Acciones ordinarias 6 7

Mercado de dinero 12 2

Ttulos municipales 9 4

26. Una empresa de servicios pblicos de electricidad est planeando la expansin de su capacidad generadora para los siguientes cinco aos. Su capacidad actual es de 800MW, pero con base en el pronstico de la demanda se requerir capacidad adicional tal como se muestra en la tabla # 1. La

empresa puede aumentar su capacidad instalando generadores de 10, 50 y 100 MW. El costo de instalacin de un generador depende de su tamao y del ao en que se instala. Vase tabla # 2. Una vez

que se pone en funcionamiento un generador, su capacidad est disponible para hacer frente a la demanda de aos posteriores. Formule un programa de programacin lineal entera que minimice el costo de poner en funcionamiento los generadores al mismo tiempo que se satisfagan los requisitos mnimos de

capacidad.

Tabla # 1

Ao Capacidad Mnima (MW)

1 880

2 960

3 1050

4 1160

5 1280

Tabla # 2

Tamao del

Generador

Ao

1 2 3 4 5

10MW $300 $250 $208 $173 $145

50MW $670 $558 $465 $387 $322

100MW $950 $791 $659 $549 $458

Ciclo 2014 - 1


27. Una empresa produce rollos de papel con un ancho estndar de 20 pies de ancho cada rollo. Esta empresa atiende pedidos de los clientes, los cuales le solicitan rollos de papel de distintos anchos: rollos de 5 pies,

rollos de 7 pies y rollos de 9 pies. El da de hoy esta empresa tiene que atender lo siguientes pedidos: 150 rollos de 5 pies de ancho, 200 rollos de 7 pies de ancho y 300 rollos de 9 pies de ancho. Para atender los

pedidos, esta empresa debe cortar los rollos de ancho estndar.

En la prctica, se surte un pedido ajustando las cuchillas a los anchos deseados. En general, hay varias

maneras de cortar un rollo de ancho estndar para surtir un determinado pedido. Por ejemplo:

De un rollo de ancho estndar se pueden obtener un rollo de 5 pies y un rollo de 9 pies, generando un desperdicio de 4 pies de ancho.

De un rollo de ancho estndar se pueden obtener dos rollo de 5 pies y un rollo de 7 pies, generando un desperdicio de 3 pies de ancho.

Se pide determinar cmo debe llevarse a cabo el corte de los rollos de ancho estndar de tal manera que se puedan atender los pedidos de hoy da minimizando el desperdicio total.

Ciclo 2014 - 1



1. La empresa Cosmtica S.A. fabrica dos tipos de productos. Para producir una unidad del producto dirigido al mercado tipo A se necesitan 15 unidades de materia prima, 20 horas de mquina y 9 horas de mano de obra. Para producir una unidad del producto dirigido al mercado tipo B se necesitan 23 unidades de

materia prima, 14 horas de mquina y 4 horas de mano de obra. La demanda total del producto dirigido al mercado tipo B no es mayor de 14 unidades y la demanda para el producto dirigido al mercado tipo A

no debe exceder de 10 unidades. Por polticas de la empresa son severas y establecen: La produccin del producto dirigido al mercado tipo A no debe exceder a 12 unidades ms 4 veces la produccin del

producto dirigido al mercado tipo B. Tambin se deben utilizar por lo menos 36 horas hombre en la produccin total de la empresa. Adems se requiere que la produccin del producto dirigido al mercado tipo B no exceda a cuatro veces la produccin del producto dirigido al mercado tipo A ms doce unidades.

La empresa cuenta con un mximo de 345 unidades de materia prima y con una disponibilidad mxima de 280 horas de mquina.

Se sabe que el precio de venta del producto dirigido al mercado tipo A es de 400 dlares y los costos involucrados en la produccin de este tipo de producto suman 100 dlares. El precio de venta del producto

dirigido al mercado tipo B es de 500 dlares y los costos involucrados en la produccin de este tipo de producto suman 200 dlares.

Se pide lo siguiente:

a) Formule un modelo de programacin lineal para el caso de la empresa Cosmtica S.A.

b) Encuentre, empleando el mtodo grfico, la solucin ptima y el valor ptimo.

c) Cunto es lo mximo que puede aumentar el precio de venta del producto dirigido al mercado tipo A para que el programa de produccin no cambie?

d) Qu sucede con la solucin ptima si el costo de produccin del producto dirigido al mercado tipo B se disminuye en 25%?

e) El mercado para el producto tipo A ha disminuido por efectos de las condiciones econmicas del entorno. Esto hace ver que la demanda del producto dirigido al mercado tipo A se ver recortada.

Cunto es lo mximo que se puede reducir la demanda del producto dirigido al mercado tipo A para que no cambie el punto solucin ptima?

2. La empresa Hoja Verde se dedica a la produccin de tomate y de duraznos enteros enlatados. El gerente general ha citado al gerente de produccin para precisar ciertos puntos para la prxima campaa.

En el departamento de operaciones de la empresa se ha determinado lo siguiente: para producir mil cajas

de tomate en lata se requieren 7 horas mquina y para producir mil cajas de duraznos en lata se necesitan 14 horas mquina, por ser un producto ms delicado. Para el siguiente periodo de produccin, el

departamento de mantenimiento ha informado que se tendrn 980 horas mquina disponibles.

Por especificaciones de cada producto, se conoce que para producir mil cajas de tomate en lata se

necesitan 12 horas hombre y para mil cajas de durazno en lata se requieren de 8 horas hombre. Para el periodo siguiente se tendrn 960 horas hombre disponibles en la planta.

El departamento de marketing ha pronosticado la demanda del durazno en lata y ha determinado que

para el siguiente periodo se podrn vender como mximo 68000 cajas del producto, por la reduccin del mercado de este producto. Por el contrario, para los tomates en lata se ha presentado una oportunidad en

el mercado y el departamento de marketing ha determinado que hay que producir por lo menos 40000 cajas.

En cuanto a la materia prima para la produccin se ha determinado lo siguiente: Para el periodo siguiente se tendrn disponibles un mximo de 200000 kilos de tomate y 450000 kilos de duraznos. Por

especificaciones de diseo para producir mil cajas de tomate en lata se necesitan 2000 kilos de materia prima y para producir mil cajas de durazno en lata se requieren 3000 kilos de materia prima.

El departamento de ventas le ha enviado la siguiente informacin al gerente de produccin: la utilidad que

obtiene la empresa por mil cajas de tomates en lata es de $200 y por cada mil cajas de duraznos en lata es de $500.

El gerente general le pregunta al gerente de produccin lo siguiente:

a) Cul es la utilidad mxima que podramos ganar?

Ciclo 2014 - 1


b) Cuntos miles de cajas de cada producto estaremos produciendo este periodo?

c) Cules son los recursos ms importantes para la produccin?

d) Qu sucede si contratamos 10% ms de horas hombre?

e) Qu sucede si adquirimos 20% ms de horas mquina?

f) Qu sucede si se malogra el 15% de los tomates disponibles?

g) Qu sucede si podemos contar con 20% ms de disponibilidad de duraznos?

h) Cunto estamos usando de cada uno de nuestros recursos?

i) Nos sobra algn recurso?

j) Qu deberamos hacer para elevar nuestras utilidades?

k) Resultara importante elevar la demanda de los duraznos en lata?

Utilizando el modelo de programacin lineal y resolvindolo usando el mtodo grfico, responda las

preguntas planteadas por el gerente general.

3. La empresa ROBOTICS Inc. se dedica a ensamblaje de micro componentes electrnicos para ser usados en telfonos celulares. Dentro de los muchos productos que ensambla, tiene dos que estn dirigidos a los nuevos telfonos celulares. Los productos RS109 y KL345 son los productos que la empresa debe posicionar bien en

el mercado.

El gerente de operaciones desea optimizar el ensamblaje diario de los dos productos mencionados. Ambos

comparten ciertos componentes en su ensamblaje y desea hacer mejor uso de estos recursos. Para lograr este objetivo se ha propuesto la creacin de un modelo matemtico que proporcione un mejor uso de las limitaciones de la empresa.

Para el ensamblaje de una unidad de RS109 se necesitan: 31 componentes tipo 1, 23 componentes tipo 2, 21 componentes del tipo 3 y 1 componente del tipo 5. Adems este producto requiere de 11 horas de

trabajo. Para el ensamblaje de una unidad de KL345 se necesitan: 22 componentes tipo 1, 29 componentes tipo 2, 40 componentes del tipo 3 y 1 componente del tipo 4. Adems este producto requiere de 5 horas de

trabajo.

Por disponibilidad de nuestro proveedor solo se pueden contar con 682 unidades del componente del tipo

1, 19 unidades del componente 4 y 14 unidades del componente 5. El componente tipo 2 es importado, el gobierno tiene por poltica no permitir el ingreso de no ms de 667 unidades por da.

Por capacidad del almacn, este no permite almacenar ms de 840 unidades del componente tipo 3 por

da.. La empresa, con el objetivo de mantener a su personal ocupado plantea que las horas hombre que se usen en el ensamblaje de ambos productos deben ser por lo menos 55 por da. Adems, para mantener

cierta relacin entre el ensamblaje de ambos productos se plantea que dos veces la produccin del RS109 no debe ser mayor que 7 veces la produccin del KL345 ms 14 unidades.

Despus de hacer un anlisis de costos y el precio de venta de cada uno de los productos, se ha llegado a determinar que la utilidad que se tiene por la venta de un RS109 es de $900 y mientras que la utilidad por

la venta de un producto KL345 se calcula en $800.

a) Elabore un modelo matemtico de programacin lineal para este caso.

b) Utilizando el mtodo grfico, resuelva el modelo planteado en el inciso anterior.

c) El proveedor que nos suministra el componente 1 ha invertido en mejorar la tecnologa de sus procesos productivos. Esta mejora le proporciona una mayor capacidad de produccin lo que hace que nos

pueda ofrecer 15% ms de lo que hasta ahora nos proporciona. Acepta Ud. El incremento del suministro de componente 1 que propone el proveedor? Cunto es lo mximo que podra incrementar

la disponibilidad del componente 1?

d) El gobierno est estudiando una norma que liberara la cantidad mxima diaria de importacin del componente 2. Ahora, como ya no habra restriccin a la cantidad disponible del componente 2 Cuntas unidades deberamos comprar del componente 2 para mejorar las utilidades?

e) La utilidad unitaria que representa la venta de un producto KL345 se ha elevado en 18%. Haciendo uso del anlisis de sensibilidad del mtodo grfico, determinar si el punto solucin ptima cambia con este incremento.

4. La empresa LIVES S.A. produce dos tipos de productos para el mercado nacional. La gerencia de operaciones se ha propuesto para el prximo mes elaborar un modelo matemtico de programacin lineal

Ciclo 2014 - 1


que ayude a tomar mejores decisiones y que permita manejar las operaciones de forma ptima. Cada producto debe pasar por tres mquinas en forma secuencial para ser elaborados.

Se ha logrado recopilar la siguiente informacin acerca de la produccin de los dos productos. El producto tipo 1 requiere de 19 unidades de materia prima, 21 horas de trabajo, 6 horas de trabajo en mquina 1,

10 horas en mquina 2, y 14 horas de mquina 3. El producto tipo 2 requiere de 15 unidades de materia prima, 13 horas de trabajo, 8 horas de trabajo en mquina 1, 6 horas en mquina 2, y 3 horas de mquina

3.

La empresa dispone de 285 unidades de materia prima, 273 horas de trabajo para la produccin de

ambos productos. Por polticas de la compaa se ha establecido que la mquina 1 debe trabajar por lo menos 48 horas, la mquina 2 debe trabajar por lo menos 60 horas y la mquina 3 debe trabajar por lo menos 42 horas. Adems se ha establecido que la demanda del producto tipo 1 no debe exceder de 10

unidades y que la demanda del producto tipo 2 no deber exceder de 16 unidades.

El costo incurrido para la produccin del un producto tipo 1 es de $5 y de $4 para un producto tipo 2.

a) Elabore un modelo matemtico de programacin lineal para el caso.

b) Usando el mtodo grfico, resuelva el modelo planteado en a).

c) El encargado del almacn nos ha informado que algunas de las unidades de materia prima en almacn se han malogrado. Cunto es lo mximo que se puede reducir la disponibilidad de materia prima

para que el punto solucin ptima no cambie?

d) Se han incrementado en 25% los costos de produccin del producto 2. Utilizando el anlisis de sensibilidad del mtodo grfico determine si este cambio en los costos cambia tambin el punto solucin

ptima.

5. Una empresa que fabrica alimentos balanceados, debe determinar la cantidad de insumo X e Y que debe contener una bolsa de alimento light para perros. La composicin de minerales, vitaminas, oligoelementos y grasa que contiene cada kilogramo de insumo se muestra a continuacin.

Insumo Minerales

(mg)

Vitaminas

(mg)

Oligoelementos

(mg)

Grasa

(g)

X 0.9 0.2 0.1 300

Y 0.2 0.3 0.3 600

La bolsa de alimento debe contener por lo menos 3.6 mg de minerales, 3.6 mg de vitaminas y 2.4 mg de

oligoelementos.

Sabiendo que se quiere un alimento con el menor contenido de grasa posible, se pide lo siguiente:

a) Defina las variables de decisin y en qu unidades se expresan.

b) Escriba el modelo de programacin lineal.

c) Determine grficamente la regin factible, la solucin ptima y el valor ptimo. Presente los valores de la solucin ptima y del valor ptimo.

d) Entre qu valores puede variar el contenido de grasa del insumo Y sin que vare la cantidad de insumos X e Y en el alimento? Muestre su procedimiento.

e) Se ha comprobado en el laboratorio que la cantidad de oligoelementos por kilogramo de insumo Y es en realidad 0.4 mg. La solucin ptima se modifica? Justifique su respuesta. Si la respuesta es afirmativa, determine grficamente la solucin ptima.

6. Una planta produce energa elctrica a partir de la combustin de carbn. Esta planta emplea dos tipos de carbn A y B, cuyas caractersticas se muestran a continuacin:

Emisin de contaminantes por tonelada

de carbn que se utiliza Horas necesarias para

quemar una tonelada de carbn

Cantidad de vapor que

genera una tonelada de carbn Tipo de carbn Azufre Ceniza

C1 1800 PPM 0.5 kg 1.5 horas 24 000 libras

C2 3800 PPM 1 kg 1 hora 20 000 libras

La faja transportadora, que lleva el carbn hacia el caldero, puede transportar como mximo 20

toneladas. En el caldero, el carbn es quemado con el fin de generar vapor. Se sabe que el caldero puede trabajar no ms de 24 horas.

Finalmente, el Ministerio de ambiente ha impuesto las siguientes condiciones:

Ciclo 2014 - 1


No se debe emitir ms de 12 kg de ceniza en total.

No se debe emitir ms de 3000 PPM de azufre en promedio. (El promedio, es un promedio ponderado en funcin de las cantidades de carbn C1 y C2 que se utilizan)

Sabiendo que se desea generar la mxima cantidad posible de vapor, se pide lo siguiente:

a) La definicin de las variables de decisin y el modelo de programacin lineal que permita resolver el problema.

b) Aplique el mtodo grfico para resolver el modelo. Presente su procedimiento y coloree la regin factible. Determine grficamente la solucin ptima y calcule el valor ptimo.

c) Informan que el motor que mueve la faja transportadora no est funcionando debidamente; por ello la faja slo podr transportar hasta 16 toneladas Se ver afectada la generacin de vapor? Justifique su respuesta.

d) A partir del modelo original: El jefe de operaciones afirma que si se compra un caldero que pueda trabajar ms de 24 horas, se podra aumentar la generacin de vapor. Est usted de acuerdo?

Justifique su respuesta. Si su respuesta es afirmativa, determine cul es la cantidad mxima posible de vapor que se podra generar. Presente su procedimiento.

e) Cul es la mxima y la mnima cantidad de vapor que puede generar una tonelada de carbn C1 sin que cambie la solucin ptima.

Ciclo 2014 - 1



1. Una empresa ensambladora de automviles presenta el siguiente modelo para optimizar su plan de produccin. El modelo tiene como objetivo la maximizacin de las utilidades de la compaa, y presenta las

siguientes variables:

C: Nmero de autos compactos a ensamblar

S: Nmero de autos supercompactos a ensamblar.

Max 6740C + 5100S

st

200C + 150S

Ciclo 2014 - 1


Reporte LINDO:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 9105.883

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 105.882355 0.000000

X2 0.000000 0.196078

X3 100.000000 0.000000

X4 388.235291 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 0.627451

3) 0.000000 9.411765

4) 268.235291 0.000000

5) 0.000000 -11.843137

6) 94.117645 0.000000

7) 120.000000 0.000000

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 16.000000 16.000000 1.000000

X2 18.000000 0.196079 INFINITY

X3 12.000000 11.843137 INFINITY

X4 16.000000 1.066667 0.208334

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 1400.000000 149.999985 168.750000

3 1000.000000 180.000000 159.999985

4 120.000000 268.235291 INFINITY

5 100.000000 57.446808 51.063828

6 200.000000 INFINITY 94.117645

7 120.000000 INFINITY 120.000000

Tomando en cuenta los resultados obtenidos al correr el modelo de programacin lineal de la empresa en el LINDO responder las siguientes preguntas:

a) Despus de obtener los resultados del LINDO, el gerente de produccin se le acerca y le dice que por contrato con uno de los clientes ms importantes de la empresa debemos entregar a fin de esta semana 200 unidades del producto 2. Qu sucedera con la utilidad de la empresa?

b) Nuestro proveedor de materia prima ha bajado su precio y la empresa ha adquirido 200 unidades ms de materia prima de lo previsto por el modelo. Con los resultados que tiene Ud. en la mano.

Cunto incrementarn las utilidades de la empresa esta semana?

c) Por las actuales condiciones del mercado, la demanda del producto 3 ha aumentado en 25%. Cul es el efecto de este aumento en las utilidades de la compaa?

d) El gerente de produccin de la empresa quiere aumentar la utilidad, le ha encargado a Ud. que determine las formas de poder hacerlo y cunto es lo mximo que podra elevarla.

e) Por razones de escasez de materia prima el precio del producto 3 se ha incrementado en 18%. Cmo afecta esto a las utilidades de la empresa?

f) Si se pudiera incrementar la disponibilidad de la mano de obra en 50 horas y la disponibilidad de la materia prima en 100 unidades, Se puede determinar la nueva utilidad ptima a partir del reporte

de resultados mostrados lneas arriba? Justifique y en caso se pueda, calcule la nueva utilidad,

g) Si se pudiera incrementar la disponibilidad de la mano de obra en 50 horas y decrementar la disponibilidad de la materia prima en 100 unidades, Se puede determinar la nueva utilidad ptima a

Ciclo 2014 - 1


partir del reporte de resultados mostrados lneas arriba? Justifique y en caso se pueda, calcule la nueva utilidad,

h) Si se pudiera incrementar la utilidad unitaria del producto 3 en $6 y la utilidad unitaria del producto 4 en $1, Se puede determinar la nueva utilidad ptima a partir del reporte de resultados mostrados

lneas arriba? Justifique y en caso se pueda, calcule la nueva utilidad,

3. Dado el siguiente modelo de programacin lineal y su solucin en el LINDO.

Min X1+X2+X3+X4+X5+X6

subject to

2X2 + 2X3 + 4X4 + X5 >= 150

X1 + X2 + 2X5 >= 200

X1 + X3 + 2X6 >= 300

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 262.5000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.125000

X2 0.000000 0.125000

X3 25.000000 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 100.000000 0.000000

X6 137.500000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 -0.250000

3) 0.000000 -0.375000

4) 0.000000 -0.500000

NO. ITERATIONS= 3

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 1.000000 INFINITY 0.125000

X2 1.000000 INFINITY 0.125000

X3 1.000000 0.000000 0.500000

X4 1.000000 INFINITY 0.000000

X5 1.000000 0.250000 0.750000

X6 1.000000 0.200000 0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 150.000000 INFINITY 50.000000

3 200.000000 100.000000 200.000000

4 300.000000 INFINITY 275.000000

a) Qu tipo de solucin presenta el problema? Sustente.

b) La solucin presenta ptimo alternativo? Sustente.

c) Cunto sera el valor objetivo si X1 fuese igual a 4.5?

d) Qu sucede con el valor objetivo si aumentamos 5 unidades el lado derecho de la restriccin designada por la fila 4?

Ciclo 2014 - 1


e) Qu sucede con la solucin ptima si el coeficiente de la variable X3 en la funcin objetivo se reduce en 0.4999?

f) Qu sucede con la solucin ptima si el lado derecho de la primera restriccin fuese 99.99?

g) Qu sucede con la solucin ptima si a la vez cambiamos el lado derecho de la tercera restriccin a 200 y el coeficiente de la variable X1 en la funcin objetivo a 1.124999?

4. La empresa PRODUCTOS SINTTICOS S.A. tiene en el mercado nacional cinco productos a partir de un solo tipo de materia prima. Se est elaborando el plan de produccin para el prximo mes. La informacin que se ha logrado obtener sobre los cinco productos es la siguiente:

PRODUCTO 1

Precio de venta: 200 dlares por unidad

Costo de materia prima: 50 dlares por unidad

Costo de horas hombre: 20 dlares por unidad

Costo de horas Mquina: 10 dlares por unidad

Consumo de materia prima: 12 unidades de materia prima por unidad de producto

Consumo de horas hombre: 1.5 horas hombre por unidad de producto

Consumo de horas mquina: 3 horas mquina por unidad de producto

PRODUCTO 2







Consumo de horas mquina: 3.2 horas mquina por unidad de producto

PRODUCTO 3






Consumo de horas hombre: 2 horas hombre por unidad de producto


PRODUCTO 4







Consumo de horas mquina: 2.9 horas mquina por unidad de producto

Ciclo 2014 - 1


PRODUCTO 5








Se sabe adems, que la disponibilidad de materia prima para el mes ser de 15000 unidades; la disponibilidad de horas hombre ser de 1200 horas efectivas, y la disponibilidad de horas mquina ser

de 1400 horas.

Por poltica de la empresa se requiere que tres veces la produccin del producto 1 ms dos veces la

produccin del producto 2, ms cuatro veces la produccin del producto 4 ms una vez la produccin del producto 5 sea por lo menos 100 unidades.

Formule un modelo de programacin lineal, utilizando el LINDO resuelva el caso y responda las siguientes preguntas sustentndolas nicamente a partir del reporte de la solucin ptima y de los rangos de sensibilidad:

a) La empresa acaba de recibir dos pedidos especiales: Un pedido de 4 unidades del producto 1 y un pedido de 20 unidades del producto 4. Si el gerente debe atender solamente uno de los dos pedidos

Cul pedido le convendra atender? Cunto sera el nuevo valor ptimo?

b) El gerente de mantenimiento nos da la noticia que hay 3 mquinas que deben ir al mantenimiento correspondiente. Suponiendo que cada mquina aporta a la produccin 140 horas Cuntas de las tres mquinas pueden ir sin afectar la utilidad ptima de la empresa?

c) El proveedor de materia prima nos piensa entregar 100 unidades ms de materia prima para elevar nuestras utilidades. Cul es el efecto real?

d) La utilidad unitaria del producto 1 se ha incrementado en 10% por razones de un proceso de mejora continua seguido en la produccin de la empresa. Cmo afecta esto al modelo?

e) Se quiere incrementar la utilidad de la empresa en 25% Cmo recomendara que se logre este objetivo?

5. La Arizona Air Conditioning inc. (AAI) desea comenzar la produccin de dos nuevos tipos de aire acondicionado, utilizando el exceso de tiempo disponible en tres lneas de produccin. Esas lneas ejecutan su proceso por pasos secuenciales. Cada uno de los dos aires acondicionados tienen que pasar por las tres lneas para que el producto sea completo. El primer aire acondicionado requiere 4, 8, y 6 horas para ser

procesado en las lneas 1, 2 y 3 respectivamente. El segundo aire acondicionado requiere de 4, 10 y 12 horas para ser procesado en las lneas 1, 2 y 3 respectivamente. El exceso de tiempo disponible es de 120,

240 y 360 horas en las lneas 1, 2 y 3 respectivamente. La utilidad unitaria para primer aire acondicionado es de $100 y para el segundo es de $150. El objetivo de la AAI es maximizar las utilidades.

El modelo de programacin lineal para la AAI y los reportes de la solucin ptima y rangos de sensibilidad se muestran a continuacin:

Ciclo 2014 - 1


Max 100 A1 + 150 A2

Subject to

4 A1 + 4 A2

Ciclo 2014 - 1


Asimismo, la empresa necesita producir semanalmente por lo menos 1600 Kg. del compuesto medicinal.

El siguiente diagrama ilustra el caso:

Proceso P1

Proceso P2XB2

XA1

XB1

XA2

0.015 XA1

0.02 XB1

0.017 XA2

0.0185 XB2

Compuesto

Medicinal

( 1600 kg )

rbol A

(Disponibilidad:

38000 kg)

rbol B

(Disponibilidad:

50000 kg)

Capacidad:

40000 kg

Capacidad:

50000 kg

Las variables de decisin son:

Xij: kg de corteza extrada del rbol i que pasa por el proceso j (i = A, B; j = 1, 2)

El modelo de programacin lineal que permite resolver el problema es el siguiente:

MIN = 1.35 XA1 + 1.05 XA2 + 1.5 XB1 + 1.2 XB2 (Costo total)

XA1 + XA2

Ciclo 2014 - 1


Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 38000.00 12000.00 1513.514

3 50000.00 INFINITY 1400.000

4 40000.00 INFINITY 3400.000

5 50000.00 18666.67 3675.676

6 1600.000 28.00000 732.0000

a) Qu sucedera con el valor de la funcin objetivo si se decidiera destinar 2000 Kg. de corteza de rbol A al Proceso 1?

b) Si en lugar de tener la necesidad de producir por lo menos 1600 Kg. de compuesto medicinal; ahora solo se debe producir por lo menos 1580 Kg. Cul sera el nuevo valor de la funcin objetivo? Sustente

su respuesta.

c) Un proveedor le ofrece al administrador de la empresa, suministrarle corteza adicional de cualquiera de los tipos de rbol. Si, usted como administrador se decidiera por la compra de alguno de los tipos de corteza. Por cul se decidira? Cuntos Kg. podra adquirir sin que la base ptima se modifique? Sustente su respuesta.

d) Cul de los procesos trabaja a toda su capacidad? Cul puede ser la mxima capacidad de dicho proceso a fin de que la base actual no cambie?

e) Debido a que las mquinas del proceso P1 pasarn a mantenimiento, la capacidad de dicho proceso se ver reducida en 8% Se ver afectada la produccin ptima del compuesto medicinal Justifique su

respuesta.

f) Entre qu valores puede variar el costo de procesamiento de la corteza del rbol B en el proceso 1 sin que la solucin ptima cambie?

7. Un fundo posee tres parcelas para cultivar cuatro tipos de cultivo. El modelo lineal que maximiza la utilidad total (en US$) del fundo, posee las siguientes variables de decisin:

XIJ: Cantidad de hectreas a cultivar del cultivo I en la parcela J (I = 1, 2, 3, 4; J = 1, 2, 3)

A continuacin se muestra el modelo lineal y el reporte de la solucin ptima que arroja el software LINDO:

MAX 4896X11 + 4004 X12 + 4920 X13 + 7480 X21 + 6000 X22 + 5460 X23

+ 3840 X31 + 2400 X32 + 2240 X33 + 5976 X41 + 6328 X42 + 5632 X43

3400 X11 + 2600 X12 + 3000 X13

Ciclo 2014 - 1


Global optimal solution found.

Objective value: 574216.0

Variable Value Reduced Cost

X11 1.000000 0.000000

X12 0.000000 892.0000

X13 24.00000 0.000000

X21 25.00000 0.000000

X22 0.000000 600.0000

X23 0.000000 284.0000

X31 10.00000 0.000000

X32 15.00000 0.000000

X33 0.000000 904.0000

X41 0.000000 2160.000

X42 30.00000 0.000000

X43 0.000000 1624.000

Row Slack or Surplus Dual Price

2) 4600.000 0.000000

3) 0.000000 2.200000

4) 0.000000 1.800000

5) 0.000000 2.260000

6) 4.000000 0.000000

7) 1.000000 0.000000

8) 0.000000 24.00000

9) 0.000000 4896.000

10) 0.000000 -1920.000

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease

X11 4896.000 24.00000 892.0000

X12 4004.000 892.0000 INFINITY

X13 4920.000 INFINITY 24.00000

X21 7480.000 INFINITY 371.3846

X22 6000.000 600.0000 INFINITY

X23 5460.000 284.0000 INFINITY

X31 3840.000 INFINITY 640.0000

X32 2400.000 480.0000 1808.000

X33 2240.000 904.0000 INFINITY

X41 5976.000 2160.000 INFINITY

X42 6328.000 INFINITY 1421.000

X43 5632.000 1624.000 INFINITY

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2) 80000.00 INFINITY 4600.000

3) 85000.00 13600.00 85000.00

4) 68000.00 3200.000 800.0000

5) 84000.00 2800.000 84000.00

6) 40.00000 INFINITY 4.000000

7) 46.00000 INFINITY 1.000000

8) 24.00000 1.000000 4.000000

9) 25.00000 1.352941 1.000000

10) 25.00000 0.2500000 1.333333

Ciclo 2014 - 1


Responda las siguientes preguntas mostrando el procedimiento que justifique sus respuestas

a) En qu unidades se expresan los costos reducidos del modelo y en qu unidades se expresan los precios duales de las cuatro primeras restricciones?

b) Si un proveedor le ofrece al dueo del fundo plantones adicionales de los 4 tipos de cultivo. A cual de ellos le conviene elegir? Justifique su respuesta con los datos del reporte de solucin y rangos de sensibilidad.

c) Se desea modificar la ltima restriccin del modelo Cree usted que una reduccin de las 25 hectreas que se deben cultivar como mnimo del cultivo 3 es conveniente para el fundo? Justifique su respuesta con los datos del reporte de solucin y rangos de sensibilidad.

d) Qu valor debe tener como mnimo la utilidad por sembrar una hectrea del cultivo 2 en la parcela 2 para que sea conveniente su produccin?

e) Se le ha presentado al dueo del fundo la oportunidad de ampliar las hectreas de la parcela 3, la cual colinda con el terreno de otro fundo cuyo dueo quiere vender sus tierras a un precio por hectrea de $20. Le conviene comprar? Justifique su respuesta. Si la respuesta anterior es afirmativa, determine cuntas

hectreas puede comprar como mximo sin que vare la base ptima y calcule la nueva utilidad ptima.

Ciclo 2014 - 1



1. Dada la siguiente tabla de transporte se pide:

1 2 3 Oferta

A 10 8 4

45

B 9 5 7

50

C 3 6 9

45

D 5 7 6

30

Demanda 90 30 50

a) La solucin Inicial Factible, utilizando el mtodo de la esquina noroeste

b) La solucin Inicial Factible, utilizando el mtodo de Aproximacin de Vogel

c) Determine la solucin ptima, utilizando el mtodo de pasos secuenciales

d) Determine la solucin ptima, utilizando el mtodo de distribucin modificada

2. Dada la siguiente tabla de transporte se pide:

1 2 3 Oferta

A 41 45 40

500

B 31 29 38

400

C 46 36 35

600

Demanda 600 700 200

a) La solucin Inicial Factible, utilizando el mtodo de la esquina noroeste

b) La solucin Inicial Factible, utilizando el mtodo de Aproximacin de Vogel

c) Determine la solucin ptima, utilizando el mtodo de pasos secuenciales

d) Determine la solucin ptima, utilizando el mtodo de distribucin modificada

3. La empresa donde Ud. trabaja, lo ha nombrado asistente de logstica. Su primer trabajo en el nuevo puesto ser elaborar el programa de envos de productos terminados a los tres almacenes que la empresa posee en el territorio nacional.

La empresa posee cuatro plantas de produccin en diferentes lugares del pas (P1, P2, P3, P4). Las

capacidades de produccin de las diferentes plantas son: 400, 250, 250 y 300 unidades mensuales respectivamente. Las demandas en los tres almacenes (A1, A2, A3) son: 250, 350 y 600 unidades mensuales

respectivamente.

Los costos de transporte se presentan en la siguiente tabla.

1 2 3

P1 5.7 4.4 6.2

P2 1.2 5.9 6.7

P3 9.9 6.6 5.4

P4 4 2.7 6.5

Se pide lo siguiente:

a) Encuentre el costo ptimo del envo.

b) Segn las ltimas noticias, la carretera que une el origen 1 con el destino 3 ha sufrido un gran dao por un derrumbe. Con esta informacin adicional cul sera el nuevo programa de envos y cunto

aumentara el costo de la empresa.

Ciclo 2014 - 1


4. Una empresa posee 3 plantas, las cuales deben surtir a 3 almacenes de un cierto producto. Los costos de envo y los costos de produccin se presentan en la siguiente tabla:

Costo de envo a cada almacn ($ / tonelada)

Planta A1 A2 A3 Capacidad

(toneladas)

Costo de

produccin ($ / tonelada)

P1 40 50 30 300 10

P2 60 60 40 500 15

P3 70 60 50 200 10

Demanda (toneladas)

250 300 420

Debido a que esta empresa est interesada en hallar el plan de transporte que minimice el costo total, se

pide lo siguiente:

a) Halle la solucin factible inicial empleando el Mtodo de Vogel. Es la solucin factible hallada anteriormente la solucin ptima? En caso que no lo sea, encuentre la solucin ptima y el costo total ptimo, mostrando ordenadamente su procedimiento y sus clculos.

b) Un puente ubicado en la ruta de la planta P2 hacia el almacn A3 se ha derrumbado, quedando inhabilitada dicha ruta. Cul sera el nuevo plan de transporte ptimo y en cunto se incrementar el costo total?

5. Steelco fabrica 3 tipos de acero en diferentes plantas. El ritmo de produccin en cada planta, la capacidad disponible en cada planta y los costos de produccin se muestran a continuacin:

Costo de produccin ($ / tonelada) Ritmo de

produccin (minutos/tonelada)

Capacidad

disponible (horas)

Planta Acero tipo 1 Acero tipo 2 Acero tipo 3

1 60 40 28 20 40

2 50 30 30 16 40

3 43 20 20 15 40

Cada semana debe producirse 100 toneladas de cada tipo de acero.

a) Encuentre el plan ptimo de produccin. Presente ordenada y detalladamente su procedimiento.

6. La empresa TXW est abriendo cuatro sucursales y se requiere de un administrador en cada sucursal. Han sido preseleccionados el Sr. Reyes, El Sr. Garca, el Sr. Rodrguez, el Sr. Guerrero y el Sr. Vsquez. Despus de evaluar el costo de asignacin (en $) para cada posible candidato en cada sucursal Ud. ha obtenido la

siguiente informacin:

Sucursales

1 2 3 4

Reyes 400 600 700 300

Garca 600 550 650 450

Rodrguez 700 650 750 800

Guerrero 750 900 800 900

Vsquez 850 1000 850 400

Formule el modelo de programacin lineal que permita determinar el plan de asignacin ptima.

7. Un socio de la Foot, Thompson y Mcgrath, agencia de publicidad, trata de decidir cual de cuatro ejecutivos de contabilidad debe asignar a cada uno de cuatro clientes mayores. En la siguiente tabla se presentan los costos estimados de la asignacin de cada ejecutivo. Use el mtodo hngaro para encontrar la solucin

ptima del problema. Establezca el valor ptimo de la funcin objetivo.

Cuenta

Ejecutivo 1 2 3 4

A 15 19 20 18

B 14 15 17 14

C 11 15 15 14

D 21 24 26 24

Ciclo 2014 - 1


8. La empresa TXW est abriendo nuevas posiciones de trabajo al interior de seis sucursales. La condicin es que deben ser cubiertas por personal de confianza. Han sido seleccionados el Sr. Reyes, El Sr. Garca, el Sr.

Rodrguez, el Sr. Guerrero y el Sr. Vsquez. Despus de evaluar el costo de asignacin para cada posible candidato en cada sucursal Ud. ha obtenido la siguiente informacin:

Posiciones

1 2 3 4 5 6

Reyes 40 60 70 30 20 40

Garca 60 55 65 45 30 35

Rodrguez 70 65 75 80 50 60

Guerrero 75 90 80 90 40 70

Vsquez 85 100 85 40 20 50

Adems, se sabe que el Sr. Rodrguez no puede ser asignado a la posicin 3, el Sr. Reyes no puede ser asignado a la posicin 6 y que el Sr. Guerrero no puede ser asignado a la posicin 2. Se pide determinar

la asignacin y el costo ptimos.

9. En la gerencia de produccin de una empresa metal-mecnica se desea realizar la programacin de las operaciones para el mes de Marzo. Para obtener un mayor rendimiento el ingeniero Giancarlo, Gerente de produccin, debe asignar 4 operarios a cuatros mquinas. Los costos de asignacin en unidades monetarias

se dan en la siguiente tabla. Adems se sabe que el operario 1 no puede ser asignado a la mquina 3 y el operario 3 no puede ser asignado a la mquina 4. Obtener la asignacin ptima.

Mquina

Operario 1 2 3 4

1 5 5 ----- 2

2 7 4 2 3

3 9 3 5 ------

4 7 2 6 7

10. El municipio de un distrito tiene cuatro camiones para recoger la basura. El recorrido de todo el distrito se lleva a cabo en cuatro rutas. Los costos de operacin dependen del camin y de la ruta que recorra:

Camin Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4

1 $ 4000 $ 5000 ----- -----

2 ----- $ 4000 ----- $ 4000

3 $ 3000 ----- $ 2000 -----

4 ----- ----- $ 4000 $ 5000

Por ejemplo: El camin 1 no puede operar en las rutas 3 y 4.

a) Suponga que a cada camin se le debe asignar solamente una ruta. Utilice el Mtodo Hngaro para minimizar el costo del municipio de recorrer las 4 rutas.

b) Suponga que a cada camin se le puede asignar hasta dos rutas como mximo. Plantee nicamente la tabla inicial de asignacin que permitir aplicar el Mtodo Hngaro para encontrar la solucin ptima (no se pide resolver).

Ciclo 2014 - 1



1. MTV Steel Company produce tres tamaos de tubos: A, B y C, que son vendidos respectivamente en

$10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos del tiempo del

procesamiento sobre un tipo particular de mquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45

minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Despus de la produccin, cada pie de tubo, sin

importar el tipo, requiere de 1 onza de material de soldar. El costo se estima en $3, $4 y $4 por pie

de tubos A, B y C respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan

2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como slo se disponen de 40

horas de tiempo de mquina esta semana y slo se tienen en inventario 5500 de onzas de material de

soldar, el departamento de produccin no podr satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97

horas de tiempo de mquina y 11000 onzas de material de soldar.

No se espera que contine este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las

instalaciones de produccin, la gerencia de MTV Steel est considerando la compra de algunos de

estos tubos a proveedores de Japn a un costo de entrega de $6 por pie de tubo A, $6 por pie de

tubo B y $7 por pie de tubo C. Supngase que la compaa se ha establecido una meta de ganancia

de $55,000 y desea que los costos de importacin no superen los $40,000. Formule este modelo como

un problema de metas, sabiendo que la meta de ganancia es dos veces ms importante que la meta de

costos de importacin.

TIPO

PRECIO

DE

VENTAS

($/ft)

DEMANDA

(ft)

TIEMPO DE

MQUINA

(min/ft)

MATERIAL

PARA

SOLDAR

(oz/ft)

COSTO DE

PRODUCCIN

($/ft)

COSTO DE

COMPRA

($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 3 6

C 9 5000 0.6 1 4 7

Cantidad disponible 40 hr 5500 oz

2. El departamento de nutricin del Hospital General Mountain View est preparando un men de comida

que ser servido un da cada mes. El departamento ha determinado que esta comida deber

proporcionar 63000 miligramos (mg) de protena, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina

y 50 mg de vitamina C. Para lograr este objetivo, la comida debe consistir en una cierta cantidad de

espagueti, carne de pavo, papas gratinadas, espinaca y pastel de manzana. En la siguiente tabla se

indica la cantidad que proporcionan de cada nutriente y el costo (en US$), por cada 100 gramos, para

cada uno de dichos alimentos:

PROTEINAS HIERRO NIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA COSTO

Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 0.15

Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 0.80

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 0.12

Espinaca 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 0.20

Pastel de

Manzana

4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 0.51

Ciclo 2014 - 1


El departamento sabe que debe presentar una comida bien balanceada que guste al paciente. Con

este objetivo en mente, el departamento no servir ms de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de

pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como

director del departamento de nutricin, usted desea determinar la composicin de una comida que

satisfaga los requerimientos nutricionales y cumpla 2 metas:

1) El costo del men no debe superar los US$ 2

2) El contenido de grasa mximo por men debe ser de 55000 mg.

3. Una compaa qumica produce cuatro productos qumicos diferentes(A, B, C y D), mediante dos

procesos (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1, este entrega 400 kg de A, 100 kg de B y

100 kg de C. El proceso 2 entrega 100 kg de A, 100 kg de B y 100 kg de D por hora. El

departamento de marketing de la compaa ha especificado que la produccin diaria debe ser no ms

de 500 kg de B y 300 kg de C, y al menos 800 kg de A y 100 kg de D. Una corrida del proceso 1

tiene un costo de 500 Bs/hr, y una corrida del proceso 2 tiene un costo de 100 Bs/hr. Suponga que 1

kg de cada qumico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 Bs respectivamente, y que las ventas

del proceso 1 son de 1400 Bs/hr y 1000 Bs/hr, as como tambin las ganancias del proceso 1 son de

900 Bs y del proceso 2 900 Bs. Formule un modelo de programacin lineal para alcanzar las siguientes

metas: que los costos se encuentren por debajo de 30,000 Bs, que las ventas superen 100,000 Bs y que

las ganancias mnimas sean 200,000 Bs.

4. En una planta se pueden fabricar dos productos diferentes (1 y 2). El tiempo que cada producto

requiere en cada una de las dos mquinas es el mostrado en el cuadro anexo. Cada mquina est

disponible 220min. para cada producto. Formule un modelo de programacin lineal para alcanzar las

siguientes metas:

Produccin total: 14 unidades

Del producto 1: 8 unidades

Del producto 2: 9 unidades

Mquina (minutos)

Producto 1 2

1 20 15

2 14 18

Tiempo disponible (min) 220 220

Nota: Por cada meta se identifica una funcin objetiva o viceversa.

5. Una compaa est considerando unos nuevos productos. Se est buscando determinar la mezcla ptima

de los productos considerando 3 factores:

a) Mantener el nivel actual de empleo de 400 trabajadores.

b) Sostener la inversin de capital a menos de 60 millones de US$.

c) Alcanzar una utilidad de por lo menos 120 millones de US$.

Ante la duda de no poder alcanzar las metas se establecen las siguientes penalizaciones: 5 si no llegan

a la meta de utilidad (por milln de US$ menos); 2 por sobrepasar la meta de empleo (por cien

trabajadores); 4 por quedar por debajo de la misma meta; 3 por exceder la meta de inversin de

capital (por milln de US$ de ms). La contribucin de cada producto a la utilidad, nivel de empleo e

inversin se presenta en la siguiente tabla:

Ciclo 2014 - 1


1 2 3

Utilidad a largo plazo (US$) 12 9 15 Al menos 120.000.000

Nivel de empleo (N de trabajadores) 5 3 4 Mantener 400

Inversin de capital (US$) 5 7 8 Menos de 60.000.000

6. A. Un inversor est dispuesto a invertir un capital de $ 80,000 en seleccionar una cartera de

inversiones en base a 2 tipos de acciones (US OIL y HUB properties).

El inversor ha identificado 2 objetivos para su seleccin de cartera:

- 1 Objetivo: Asumir un riesgo inferior a un ndice de Riesgo de la cartera de 700 puntos

- 2 Objetivo: Obtener un rendimiento anual mnimo de $9,000

La tabla siguiente resume los datos de precio y de rendimiento anual en pesos por accin y adems se

detalla el ndice de riesgo que posee cada tipo de accin:

Acciones Precio $/accin Rend. anual $/accin ndice de Riesgo

puntos/accin

US Oil $25 $3 0.50

HUB Properties $50 $5 0.25

B. Se consult al inversor y se obtuvieron los siguientes coeficientes de penalizacin:

a) Cada desvo correspondiente a un punto de riesgo superior es penalizado con un parmetro igual

a 30.

b) Cada desvo correspondiente a un peso de rendimiento anual menor es penalizado por un

coeficiente igual a 15.

7. A. Una agencia publicitaria se plantea determinar un plan publicitario en la TV abierta, para la

empresa Nevel S.A. que est preparando el prximo lanzamiento de un nuevo modelo de automvil.

La empresa Nevel S.A. tiene 3 objetivos para su pauta publicitaria:

- 1 Objetivo: Al menos 40 mil hombres de altos ingresos (HAI)

- 2 Objetivo: Al menos 60 mil personas de nivel de ingresos medios (NIM)

- 3 Objetivo: Al menos 35 mil mujeres de altos ingresos (MAI)

La agencia puede comprar 2 tipos de pautas publicitarias: pautas en programas deportivos y pautas

en programas de entretenimiento musical. Se dispone de un presupuesto publicitario de $ 600,000.

La tabla siguiente resume los datos de costos y de audiencia potencial en miles de personas por minuto

de pauta:

Pauta Publicitaria HAI MAI NMI Costo

Sport 7 5 10 $ 100,000

Musical 3 4 5 $ 60,000

Ciclo 2014 - 1


B. Tambin es necesario identificar un costo asociado a los desvos de cada uno de los objetivos en

trminos de costo de oportunidad para la empresa Nevel S.A. Para este fin el departamento comercial

de Nevel S.A. estim los siguientes costos de oportunidad que servirn de base a la determinacin de

los coeficientes de penalizacin:

a) Cada desvo correspondiente a 1000 personas del Objetivo 1 representa un costo de oportunidad

estimado de $ 200 mil.

b) Cada desvo correspondiente a 1000 personas del Objetivo 2 representa un costo de oportunidad


c) Cada desvo correspondiente a 1000 personas del Objetivo 3 representa un costo de oportunidad


8. La Gerencia de A.F. Co ha establecido metas para los porcentajes de mercado que desea capturar

para cada uno de los dos nuevos productos de la compaa en sus respectivos mercados. En particular,

desea que el producto A capture al menos 15% de su mercado (Meta 1) y el producto B al menos 10%

(Meta 2).

Se han planificado tres campaas de publicidad para el logro de estas metas. La primera est dirigida

al producto A, la segunda al producto B y la tercera intenta hacer hincapi en la imagen general de la

compaa y sus productos.

Sean x1, x2, x3 el presupuesto asignado (en miles de dlares) a las respectivas campaas. El porcentaje

de mercado para los dos productos se estima como:

% mercado de A = 0.5 x1 + 0.2 x3

% mercado de B = 0.3 x2 + 0.2 x3

Se dispone de US$ 55 mil para las tres campaas, y la gerencia ha dispuesto que se dedique al menos

US$ 10 mil a la tercera. Si no se puede lograr las 2 metas de parte de mercado de A y B, l

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