Importancia de Los Metodos Numericos en La Simulación de Procesos Quimicos

Alejandro S. M. Santa Cruz

Matemtica Superior Aplicada 3er. Ao Ing. Qca.

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MATEMTICA SUPERIOR APLICADA

CAPTULO I

IMPORTANCIA DE LOS MTODOS NUMRICOS EN LA SIMULACIN DE PROCESOS QUMICOS

I.1 Introduccin

Es sabido que el procedimiento metodolgico fundamental para resolver un problema en ingeniera consiste en representarlo de una manera adecuada, de tal

forma de lograr una sustitucin del sistema real (equipo, proceso, etc.) por uno ms

adecuado para el tratamiento formal. Por lo general, las herramientas lgico-

matemticas nos brindan un marco til para representar mediante un sistema de

smbolos y reglas, el comportamiento de los sistemas reales.

Bajo el mtodo cientfico, por ejemplo, se consolidan leyes y teoras en diver-

sas ramas del conocimiento, las cuales son expresables por medio de sistemas de

ecuaciones diferenciales. En otras palabras, se logra construir un nuevo sistema, del

cual conocemos sus reglas de juego y smbolos, como un resultado de un proceso

de abstraccin de la realidad. Obviamente, dado la infinita complejidad de los fen-

menos fisicoqumicos, estas construcciones abstractas, conocidas genricamente

como modelos, son slo meras aproximaciones de la realidad. En efecto, no es otra

cosa lo que se realiza cuando en fsica utilizamos ecuaciones para describir el mo-

vimiento de una partcula, o resolvemos los balances correspondientes aplicando las

leyes de conservacin de la materia, energa o cantidad de movimiento; o bien

cuando nos enfrentamos al diseo de un equipo segn los procedimientos que co-

nocemos a partir del campo de las operaciones unitarias.

De aqu se desprende que si bien el sistema real a estudiar es nico, puede

existir un nmero muy grande de modelos asociados al mismo. En efecto, para ob-

tener un modelo que pueda resolverse (es decir que sea til), resulta necesario

adoptar un conjunto de hiptesis. Por ejemplo, si consideramos la friccin, si es im-

portante o no contemplar el intercambio de energa por radiacin, si existen y se



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consideran los efectos electromagnticos, etc. Las necesidades de exactitud que el

problema a resolver nos impone, determinan el conjunto de hiptesis a utilizar. Por

ejemplo, el error de una milsima de grado en el clculo de un ngulo puede no te-

ner implicancias en el punto de impacto de un proyectil que recorre una distancia

pequea, pero no puede afirmarse lo mismo para una trayectoria intergalctica. En

sntesis, dado el sistema real y los objetivos tecnolgicos perseguidos, existir un

conjunto de hiptesis adecuadas que determinarn las caractersticas del modelo, o

sistema de ecuaciones a resolver. Lo expresado recientemente implica una relacin

entre modelo (conjunto de hiptesis asumidas) y objetivos del ingeniero.

Resulta evidente que no todo sistema de ecuaciones puede resolverse fcil-

mente, al menos desde el punto de vista analtico. Esto impuso a lo largo de la histo-

ria limitaciones importantes al tipo de modelos que podan resolverse, o de otra for-

ma, la necesidad de recurrir a hiptesis inadecuadas o restrictivas (super-

simplificaciones) para al menos poder tratar el problema. Es por ello tambin que en

los orgenes de las ciencias tecnolgicas los modelos podan ser considerados en

gran medida como empricos, esto es, con parmetros incorporados que surgan de

experiencias, y no a partir de los primeros principios o leyes fundamentales. No debe

extraar que an hoy, pese a todos nuestros avances, exista la necesidad de utilizar

permanentemente parmetros en nuestros modelos, que no son otra cosa que la

medida de nuestra ignorancia, y por lo tanto, implican la necesidad de reemplazar

las leyes bsicas por aproximaciones causales obtenidas de datos experimentales.

Este es el caso por ejemplo de la estimacin de las propiedades de equilibrio de

mezclas de comportamiento altamente no ideal.

A medida que evolucionaron las diversas ramas de las matemticas y con el

advenimiento de la ciencia de la computacin, poderosa herramienta complementa-

ria al anlisis numrico y simblico, se abrieron caminos revolucionarios. Contar con

herramientas ms potentes para resolver sistemas de ecuaciones, o lo que es lo

mismo, relativizar la necesidad de adoptar hiptesis inadecuadas al plantear mode-

los para resolver problemas complejos, result un gran paso adelante. Ms an, la

velocidad de clculo provoc que la dimensin abordable se incrementara rpida-

mente. En efecto, si bien el grado de complejidad conceptual para resolver la inversa



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de una matriz de dimensin tres es equivalente al de una de cinco mil, resulta obvio

que la complejidad operativa o fctica no resulta comparable. La computacin ha

barrido literalmente con dicha limitacin, haciendo ahora tratables problemas cuya

dimensin es tal, que dcadas atrs ni siquiera era pensable plantearlos.

Sistema Fsico

Modelodel

Sistema Fsico

Comparacin del

Modelo y del

Sistema Fsico

Comportamientode la

Solucin

Diseoy

Simulacin

Problema

S

No Aproxima?

I.2 Modelado y Simulacin de Procesos Qumicos

La simulacin es el acto de representar algunos aspectos del mundo real por

nmeros o smbolos que pueden manipularse fcilmente para facilitar su estudio

La simulacin digital por computadora constituye una poderosa herramienta

para la resolucin de las ecuaciones (modelos matemticos) que describen a los

sistemas en ingeniera qumica. Las principales dificultades que se plantean en la

simulacin numrica de procesos qumicos son dos, a saber:

1. Encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales

(que usualmente se efecta mediante un mtodo iterativo).



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2. Efectuar la integracin numrica de ecuaciones diferenciales ordinarias y en

derivadas parciales (mediante ecuaciones discretizadas en diferencias finitas

que aproximan a las ecuaciones diferenciales continuas). Siempre se debe

tener presente que la ecuacin diferencial discretizada utilizada (algoritmo de

integracin) afecta la exactitud y estabilidad de la solucin numrica.

En la literatura especfica se han propuesto muchos algoritmos (procedimien-

tos) de clculo. Algunos de ellos funcionan mejor que otros sobre determinados pro-

blemas (esto es, son ms rpidos y por consiguiente demandan menos tiempo de

cmputo para alcanzar la solucin con un grado especificado de exactitud). Desafor-

tunadamente no existe un algoritmo que funcione en forma ptima para todos los

problemas que se plantean.

En los ltimos tiempos se han desarrollado paquetes para simulacin digital.

En teora, estos paquetes relevan al ingeniero de adquirir conocimientos acerca de

los mtodos de integracin numrica. Automticamente monitorean los errores y la

estabilidad del mtodo ajustando el paso o intervalo de integracin para satisfacer

un criterio de exactitud. En teora, estos paquetes facilitan al ingeniero la formulacin

y resolucin de los problemas que se le plantean. En la prctica, estos lenguajes de

simulacin tienen una utilidad limitada; en su puja por generalizar, usualmente, se

vuelven ineficientes.

El tiempo computacional de ejecucin para resolver un problema real de inge-

niera con uno de estos simuladores o paquetes de simulacin es usualmente ms

largo que con un programa computacional ad-hoc (hecho para un propsito determi-

nado) escrito en lenguaje FORTRAN, BASIC O PASCAL. Sin embargo, quienes

promueven la utilizacin de estos paquetes arguyen que el tiempo de formulacin y

de resolucin se reduce. Esta afirmacin proviene de aquellos que no conocen el

arte de la programacin y utilizan a la computadora ocasionalmente y nicamente en

simulaciones dinmicas.

La utilizacin de un paquete de simulacin requiere que el ingeniero aprenda

un nuevo lenguaje y un nuevo sistema. Por consiguiente, dado que en general se

conoce algn lenguaje de programacin y que las tcnicas numricas sencillamente



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programadas funcionan bien, la experiencia demuestra que es mucho mejor para el

estudiante o ingeniero desarrollar un programa especfico para el problema que se

desea resolver. No slo es computacionalmente ms eficiente sino que adems ga-

rantiza al estudiante o ingeniero el conocimiento de cmo funciona el programa y

cules son las hiptesis realizadas y las tcnicas utilizadas. Esta metodologa permi-

te la supervisin del programa cuando ste no funciona y su modificacin para ma-

nejar mucho ms fcilmente nuevas situaciones que se planteen.

Por otro lado, es altamente recomendable el uso de subrutinas especiales

para efectuar clculos especficos. En muchos lugares (universidades, institutos de

investigacin, etc.) se dispone de bibliotecas de subrutinas de clculo como las

IMSL, IBM, Numerical Recipes, etc.

I.2.1 Propsitos de la simulacin digital

Diseo de nuevas unidades y de nuevos procesos. Adaptacin de equipos en uso a otras alternativas de procesos (RE-

VAMP).

En operacin: Identificacin de cuellos de botella. Estudios de conservacin energticos. Revisin para nuevas especificaciones o distintas alimentaciones. Optimizacin y ajustes.

I.2.2 Qu es un simulador de procesos?

Es una herramienta de ingeniera, que permite realizar en forma automtica

clculos sobre balances de materia, balances de energa y propiedades fsicas y

qumicas.

No es un ingeniero de procesos!

I.2.3 Ventajas que ofrece un simulador

Los clculos son rpidos (velocidad de clculo).



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Se pueden explorar muchas soluciones. Exactitud y resultados consistentes. Clculos sofisticados (termodinmicos y operaciones unitarias). Estandarizacin de organizaciones internas. La experiencia es menos costosa que cualquier ensayo en planta.

I.2.4 Situaciones (estados) y/o regmenes de operacin/diseo de procesos en los que se aplica la simulacin de procesos

1. Situaciones de operacin y/o diseo:

1.a) Anlisis en estado estacionario.

1.b) Anlisis dinmico.

1.c) Anlisis de eventos discretos.

2. Regmenes de operaciones y/o diseo de procesos:

2.a) Rgimen seguro => operacin segura, diseo seguro.

Anlisis de parada y arranque. Condiciones de emergencia. Fallas de los sistemas. Fugas. Sistemas de control. Entrenamiento de operadores.

2.b) Operacin/diseo en estado estacionario.

Diseo de planta (balances, costos, anlisis econmicos). Estudio de la capacidad de una planta (rediseo o retrofit-

ting).

Reconciliacin de datos: - Planificacin.

- Procedimientos de medicin.



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- Deteccin de fallas, inconsistencias.

Estimacin: - Propiedades fsicas.

- Parmetros cinticos.

- Parmetros de modelo.

2.c) Operacin/diseo ptimo.

Optimizacin de plantas off-line (fuera de lnea). Optimizacin en lnea (en tiempo real). Operaciones batch. Polticas de cambios de la alimentacin. Diseo flexible ptimo.

I.2.5 Beneficios que otorga la simulacin

1. Anlisis en estado estacionario.

1.a) Base para toma de decisiones econmicas.

1.b) Base para optimizacin del proceso.

1.c) Para anlisis de rutina on-line.

1.d) Conduce a diseos ms ajustados o a medida con flexibilidad.

1.e) Mejora de sistemas de administracin o gestin de procesos.

2. Anlisis dinmico en el diseo.

2.a) Suministra visin dinmica del sistema. Diseo de Sistemas de Control.

2.b) Mejoramiento de la calidad a travs de un control ms adecuado.

2.c) Mejora de las polticas de arranque y parada.

2.d) Mejor seguridad. Deteccin de riesgos.

3. Anlisis dinmico en operaciones.



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3.a) Mejora calidad:

Entrenamientos de operadores. Control ms ajustado.

3.b) Operacin ms segura:

Investigacin de incidentes. Procedimientos de emergencia.

I.2.6 Para una correcta simulacin se requiere:

Modelos de operaciones unitarias apropiados. Datos de componentes apropiados. Modelos termodinmicos apropiados. Datos de constantes de alimentacin apropiados. Datos de operaciones unitarias apropiados.

I.2.7 Dificultades que presenta la simulacin

Encontrar modelos adecuados. Rigurosidad. Calidad de la informacin termodinmica y fisicoqumica Disponibilidad de correlaciones adecuadas. Interpretacin. Implementacin.

I.2.8 Principales tpicos a considerar para el funcionamiento de un simula-dor:

Modelado. Flowsheeting, Particionado, Rasgado, Ordenamiento. Simulacin en estado estacionario/dinmico. Mtodos de solucin.



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Estrategias de simulacin I.2.9 Por qu los modelos?

Para ganar una mayor comprensin de un proceso o parte de l.

I.2.10 reas de aplicacin:

Investigacin y desarrollo. Diseo. Operaciones.

I.2.11 Principios usados en el desarrollo de modelos matemticos de un sis-tema de ingeniera qumica

1. Base

1.a) Leyes fsicas y qumicas fundamentales.

1.b) Conservacin de materia, energa y momento.

1.c) Ecuaciones de transporte.

1.d) Relaciones de equilibrio de fases.

1.e) Ecuaciones de estado.

1.f) Ecuaciones de reacciones qumicas.

2. Hiptesis a adoptar en el modelo

3. Consistencias matemticas

3.a) Verificacin de unidades.

3.b) Verificacin de grados de libertad.

4. Solucin de las ecuaciones del modelo

4.a) Mtodos numricos (implementacin en computadora).

4.b) Mtodos analticos.

5. Verificacin

5.a) ste describe o aproxima en el grado deseado la realidad?



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I.2.12 Implementacin del modelo

La sntesis de un algoritmo comprende:

a) Formulacin del modelo (sistemas de ecuaciones y variables).

b) Eleccin del mtodo de solucin.

c) Eleccin del mtodo numrico (algoritmo).

d) Generacin de la estimacin inicial de las variables.

e) Diseo de la arquitectura del programa.

f) Programacin.

g) Ensayos del programa.

Modelado y Simulacin de Procesos Qumicos

Simulacin

Estado Estacionario

Optimizacin Simulacin Dinmica

Modelos Matemticos Grandes sistemas

de ecuaciones algebrai-cas no lineales

Encontrar el mximo o mnimo de una funcin sujeto a restricciones

Grandes sistemas de ecuaciones algebraicas

y diferenciales no lineales

Algoritmos Sustitucin directa

Newton Wegstein

Quasi-Newton

Programacin lineal y no lineal

Mtodos complejos

Euler Runge-Kutta

Gear Otros

Herramientas Computacionales

PROCESS

ASPEN HYSIS

CHEMCAD Otros

LINDO GINO

MINOS GAMS Otros

SPEEDUP DYFLO HYSIS

CHEMCAD Otros

I.3 Los Mtodos Numricos como Herramienta para el Modelado de Proce-sos en Ingeniera Qumica

Los mtodos numricos son una clase de mtodos para resolver una amplia

variedad de problemas matemticos. Estos problemas se plantean a partir de la mo-

delizacin matemtica de fenmenos o procesos fisicoqumicos. Esta clase de m-



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todos utilizan nicamente operaciones lgicas y aritmticas; por consiguiente, pue-

den implementarse sobre computadoras digitales.

En rigor de verdad, el dedo de una mano sobre un baco puede considerarse

una computadora digital. Sin embargo, esta expresin la utilizaremos aqu para indi-

car dispositivos electrnicos que poseen unidad aritmtica de clculo, que pueden

almacenar programas y cuyo uso ha ido en creciente aumento desde mediados de la

dcada de los aos 50.

En realidad, los mtodos numricos fueron desarrollados muchos aos antes

del advenimiento de las computadoras electrnicas digitales. En efecto, un gran n-

mero de los mtodos numricos usualmente utilizados datan de los comienzos de

las matemticas modernas. Sin embargo, el uso de tales mtodos estuvo restringido

hasta el advenimiento de las computadoras personales (PC's), incrementndose

dramticamente con la introduccin de la computadoras electrnicas digitales.

La combinacin de mtodos numricos y computadoras digitales constituye

una poderosa herramienta para el anlisis matemtico. Por ejemplo, los mtodos

numricos son capaces de manejar no linealidades, geometras complejas y siste-

mas de ecuaciones acopladas que son necesarias para la simulacin segura de mu-

chos sistemas fisicoqumicos que se presentan en ingeniera. La matemtica clsica,

an en manos de los ms ingeniosos matemticos aplicados no puede resolver es-

tos problemas con el nivel requerido por la tecnologa actual. Como consecuencia de

ello, los mtodos numricos han desplazado al anlisis matemtico clsico en diver-

sas industrias y aplicaciones en investigacin. Los enfoques analticos rara vez son

considerados, an en problemas en donde podran obtenerse soluciones analticas,

dado que los mtodos numricos son baratos, fciles de emplear y con frecuencia

se dispone de ellos en programas comerciales.

I.3.1 Capacidad de Clculo de los Mtodos Numricos

La primera pregunta que uno se formula es si existe algn lmite a la capaci-

dad de clculo de los mtodos numricos. La respuesta es afirmativa. Segn la opi-

nin de un gran nmero de cientficos e ingenieros, si un problema no puede resol-

verse analticamente, lo mejor es ponerlo en una computadora (mediante un algorit-



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mo adecuado). Este punto de vista se debe, sin lugar a dudas, al enorme poder de

clculo de los mtodos numricos. Sin embargo es desafortunadamente cierto que

existen muchos problemas imposibles de resolver utilizando mtodos numricos.

Para algunos de estos problemas no se ha encontrado todava un modelo matemti-

co completo y seguro, de manera que resulta obvio que es imposible encontrarles

una solucin numrica. La dimensin de otros problemas es tan grande que su solu-

cin est ms all de los lmites prcticos en trminos de la tecnologa computacio-

nal disponible. Por ejemplo, se ha estimado que para obtener una solucin depen-

diente del tiempo en problemas de flujo turbulento, incluyendo el efecto de los vrti-

ces ms pequeos, se requeriran alrededor de 30 aos de tiempo computacional.

Esta estimacin fue efectuada con la tecnologa computacional disponible a fines de

la dcada de los aos 60. Probablemente, con la tecnologa hoy disponible ese

tiempo puede haberse reducido en un factor 5 o 10. Por supuesto que la cuestin es

fuertemente dependiente de cunto uno est dispuesto a pagar para obtener una

respuesta. Algunos problemas son tan importantes que las industrias y los gobiernos

estn dispuestos a invertir millones de pesos para obtener la solucin de ciertos pro-

blemas de valor estratgico. En conclusin, todava restan muchos problemas que

resolver, tanto desde el punto de vista de la modelizacin de los sistemas fisicoqu-

micos como de la capacidad computacional.

I.4 Justificacin del Estudio de los Mtodos Numricos

Parecera extrao en razn del amplio uso de los mtodos numricos en los

diversos campos de las ciencias y de la tecnologa, que se deba tratar de justificar el

estudio de los mismos. Ciertamente que la justificacin no es necesaria en el caso

de los analistas de sistemas actuales y futuros as como en los cientficos computa-

cionales. Sin embargo, esta justificacin no resulta tan clara entre los ingenieros,

tecnlogos y cientficos.

En los ltimos aos se han desarrollado grandes programas computacionales

para simular el comportamiento de sistemas fisicoqumicos complejos. Usualmente,

estos programas se disean para ser utilizados por aquellos profesionales de la in-



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geniera e investigadores cientficos sin un conocimiento extensivo de su fun-

cionamiento interno. Por otra parte, existen bibliotecas en continua expansin de

subrutinas que utilizan sofisticados mtodos numricos para realizar una amplia va-

riedad de tareas matemticas. De cara a estos hechos uno podra verdaderamente

maravillarse si existiese la necesidad de los cientficos e ingenieros de adquirir un

conocimiento funcional de los mtodos numricos. Sin embargo, el ingeniero o cien-

tfico que espera utilizar un programa empaquetado o una subrutina de una bibliote-

ca para resolver un problema matemtico determinado se desengaar. En efecto,

la seleccin y aplicacin de un mtodo numrico en una situacin especfica es ms

una actividad propia de un arte que de una ciencia. Por consiguiente, el usuario de

computadora que no tenga la habilidad ni el conocimiento para seleccionar y utilizar

un mtodo numrico para aplicar a un problema especfico y efectuar la programa-

cin del mtodo, encontrar una severa restriccin en el rango de problemas que

puede manejar. Por supuesto que cuando se disponga de programas empaquetados

o subprogramas que han sido probados y que se ha demostrado su buen funciona-

miento, lo ms razonable es utilizarlos sin hesitacin. An en estos casos, es alta-

mente valorado el conocimiento del funcionamiento de los mtodos numricos dado

que por lo general el usuario de tales programas o subrutinas encontrar dificultades

en su utilizacin. Estas dificultades pueden provenir de mltiples causas, entre ellas:

a) Una situacin fsica no compleja puede ser simulada exactamente por un mo-

delo matemtico.

b) El mtodo numrico no est completamente libre de dificultades en todas las

situaciones en las que se lo utilice.

c) El mtodo numrico no est completamente libre de errores.

d) El mtodo numrico no es ptimo en todas las situaciones en las que se lo

utilice.

En general puede existir superposicin entre las situaciones (b), (c) y (d). Las

dificultades con los mtodos numricos pueden aparecer en los programas empa-

quetados o en las subrutinas suministrando resultados errneos, o bien no aparecer

en absoluto. Adems, el usuario en bsqueda de un subprograma de una biblioteca



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para realizar una determinada tarea, puede encontrar una agobiante variedad y n-

mero de subprogramas que pueden ser aplicables, pero el material descriptivo rara

vez dar una indicacin sobre la eficiencia de la subrutina para resolver un problema

especfico. El usuario con algunos de estos problemas pero sin un conocimiento ca-

bal de los mtodos numricos deber buscar a alguien con la informacin necesaria,

si es que existe alguien a quien consultar. Sin embargo, ante una situacin de esta

naturaleza puede ser dificultoso para el usuario formular las pregunta correctas y

para el consultor dar las respuestas adecuadas, dado que el background de los dos

puede ser muy diferente.

Se concluye entonces que existe una fuerte justificacin para que el ingeniero

o cientfico adquiera conocimiento acerca del funcionamiento de los mtodos num-

ricos. Este conocimiento permitira al usuario de computadora, seleccionar, modificar

y programar un mtodo adecuado para cualquier tarea especfica, ayudarse en la

seleccin y uso de programas empaquetados y en subrutinas de bibliotecas y posibi-

litar la comunicacin con un especialista en una forma inteligente y eficiente toda vez

que busque ayuda para resolver un problema particularmente difcil.

Finalmente, no se debe dejar de reconocer que el desarrollo de mtodos nu-

mricos es efectuado por ingenieros y cientficos y no por analistas de sistemas.

I.5 Lenguajes de Computacin

La mayora de los estudiantes avanzados de ciencias exactas e ingeniera as

como de los profesionales de estas disciplinas tienen alguna experiencia en el uso

de lenguajes de alto nivel tales como FORTRAN, PASCAL, ALGOL o BASIC. Estos

lenguajes permiten al usuario escribir programas en una forma que incluye frmulas

algebraicas, sentencias lgicas en ingls as como sentencias de entrada y salida.

Los lenguajes de alto nivel son virtualmente independientes de la computadora so-

bre la cual se corre el programa. A travs del uso de un programa de computadora

llamado compilador (o trasladador) los programas de alto nivel pueden convertirse a

lenguaje de mquina (cdigo de mquina) sobre el que el realmente el programa se

ejecutar.



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Por lejos, el lenguaje algebraico ms utilizado para propsitos cientficos es el

FORTRAN o modificaciones menores de ste. Con pocas excepciones, el ALGOL es

raramente utilizado por los cientficos computacionales de la actualidad, pero es am-

pliamente utilizado como lenguaje universal de algoritmos descriptivos. BASIC es

bastante popular como lenguaje en sistemas de tiempo compartido, utilizndoselo

para tareas de programacin relativamente simples.

Otros lenguajes de alto nivel que el usuario cientfico puede encontrar son los

APL (ampliamente utilizados en sistemas de tiempo compartido y adecuados para

tareas que van de relativamente simples a altamente sofisticadas); MAD (un lengua-

je obsoleto parecido al ALGOL) y PL-1 (un lenguaje poderoso de inters de los cien-

tficos computacionales).

La aparicin de cada nuevo lenguaje de computacin es recibido con algn

recelo por el usuario promedio, dado que ello significa un nuevo conjunto de reglas

que debe aprender y una posible confusin con otros lenguajes. No obstante, cual-

quier persona razonablemente flexible encontrar pocas dificultades en adaptarse a

un nuevo lenguaje de programacin si fuese necesario. Un aspecto mucho ms im-

portante es el econmico, dado que el desarrollo de programas de computacin ex-

tensos es muy caro y la conversin de grandes programas de un lenguaje de pro-

gramacin a otro puede convertirse en una tarea ms compleja involucrando mu-

chos meses de trabajo. Esta es una de las principales razones de porqu el FOR-

TRAN es el lenguaje cientfico estndar siendo poco probable que sea desplazado

como tal en un futuro cercano.

I.6 El Problema de la Verificacin

Una de las tareas ms difciles que debe efectuarse al obtenerse una solucin

numrica de un problema de ingeniera es verificar si el programa computacional y la

solucin final son correctos. El proceso de verificacin se lleva a cabo en dos eta-

pas:

Determinar si el programa funciona como el programador desea (por ejemplo, si la codificacin es correcta).



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Determinar si el algoritmo empleado suministrar la solucin correcta. El primer aspecto se cumplimenta imprimiendo resultados intermedios y si es

necesario, efectuando manualmente verificaciones puntuales o mediante calculado-

ras de escritorio.

La verificacin del segundo aspecto, dado que la solucin del problema no se

conoce de antemano (si no, uno no se molestara en hallar una solucin numrica),

usualmente, es indirecta. Esta verificacin indirecta podra consistir, por ejemplo, en

analizar los casos lmites del problema para los cuales muchas veces pueden en-

contrarse soluciones analticas. Estos casos lmites podran simularse con el pro-

grama bajo consideracin haciendo iguales a cero algunos trminos de las ecuacio-

nes discretizadas, permitiendo que algunas constantes o ciertas condiciones se

vuelvan muy grandes o muy pequeas u omitiendo temporalmente algunas seccio-

nes del programa y/o insertando otras. En muchas ocasiones el procedimiento de

verificacin puede ser ms caro y consumir ms tiempo que obtener la respuesta

final deseada. Sin embargo, la confianza que uno pueda depositar en el resultado

final est directamente relacionada con el cuidado y el tiempo invertido en el proceso

de verificacin.

En el caso de programas o subrutinas de bibliotecas, el proceso de verifica-

cin, por lo general, se realiza en forma similar pero de una manera ms extensiva y

cuidadosa. Este procedimiento debera incluir una serie de pruebas que involucren

los peores casos para comprobar la capacidad del programa para hacer frente a

problemas que presentan dificultades conocidas.

I.7 Cometen Errores las Computadoras?

En un sentido o en otro, las computadoras pueden cometer errores. Sin em-

bargo, debe notarse que la gran mayora de los errores encontrados en computacin

provienen de los usuarios. A veces resulta difcil de aceptar que un error que se re-

siste a ser detectado provenga de uno mismo. Por consiguiente, el procedimiento

ms eficiente que debe seguirse para descubrir errores es suponer que invariable-



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mente stos provienen del usuario hasta que esa posibilidad sea esencialmente eli-

minada.

En el caso en que sean detectados errores de computacin, stos pueden

deberse a:

1) Errores de hardware (mquina).

2) Errores de software (programa de computacin).

3) Una combinacin de ambos.

Los errores de hardware son relativamente raros y en esta presentacin de

mtodos numricos no se est en condicin de discutirlos. Los errores de software

son ms comunes e incluyen tpicamente errores en el sistema operativo de la com-

putadora, errores en la computadora que resulta en cdigos incorrectos del progra-

ma objeto (programa de mquina) y errores en las subrutinas de las bibliotecas.

Los errores en el sistema administrador de la computadora (tambin llamado

sistema operativo, sistema supervisor, etc.) pueden confundir al usuario. Los siste-

mas modernos de computacin incorporan la capacidad de manejar simultneamen-

te diversos programas (multiprocesamiento) en razn de hacer ms efectiva la utili-

zacin del hardware. En otros casos es posible que mltiples usuarios de computa-

doras conversen con el sistema desde terminales remotas (sistema de tiempo com-

partido). Algunos sistemas combinan ambas capacidades. La mayora de las dificul-

tades que el usuario encuentra provienen del sistema operativo a partir de interac-

ciones imprevistas de un programa con otro. Estas interacciones pueden devenir en

una falla completa del sistema o bien en un comportamiento errtico y en resultados

errneos de los programas especficos del usuario. Estos errores rara vez se repiten,

por consiguiente, si se vuelve a ejecutar el programa stos se corregirn.

Particularmente frustrantes para el usuario son los errores de compilacin,

dado que un programa escrito en un lenguaje de alto nivel puede generar cdigos

incorrectos en el lenguaje de mquina y por consiguiente resultados errneos. Afor-

tunadamente, debido a una verificacin extensiva que se hace de los mismos,

usualmente, no se encuentran errores serios de compilacin. Sin embargo, en aque-



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llos programas que incorporan mtodos de optimizacin pueden ocurrir serios e im-

predecibles errores. En este contexto, la optimizacin se interpreta como la forma

ms eficiente de generar cdigo de mquina a partir de un programa escrito en un

lenguaje de alto nivel. Este lenguaje de optimizacin implica, en algunos casos, mo-

dificar el orden de las operaciones especificadas en el lenguaje de alto nivel con el

propsito de obtener las mismas respuestas con menor tiempo de clculo. En mu-

chos casos, el proceso de optimizacin se traduce en un considerable ahorro del

tiempo computacional. Sin embargo, cuanto mejor sea el optimizador (en el sentido

de la eficiencia) es ms probable que genere cdigo de mquina incorrecto. En otros

casos, es posible desactivar la facilidad de optimizacin del compilador o encontrar

un compilador similar sin optimizacin o con optimizacin relativamente simple y li-

bre de errores. En principio, se recomienda que en las corridas iniciales un programa

sea seguido en modo supervisin (debugger), mientras que un compilador con un

elevado grado de optimizacin sea utilizado slo para producir programas donde la

eficiencia sea decididamente importante. La versin altamente optimizada debera,

por supuesto, verificarse con los resultados obtenidos sin optimizacin.

Los errores en las subrutinas de las bibliotecas son, en general, producto de

procedimientos de verificacin no efectivos y usualmente no pueden ser tratados por

el usuario excepto informando de la falla de la subrutina al personal responsable de

los sistemas de cmputo.

I.8 Consideraciones Acerca del Uso de los Mtodos Numricos

En este punto crucial se hace necesario afirmar que para comprender a los

mtodos numricos no basta con estudiarlos sino que los mismos deben ser utiliza-

dos en la resolucin de problemas prcticos. Por consiguiente, resulta de vital impor-

tancia que el estudiante resuelva los problemas matemticos que se generan en la

modelizacin de los sistemas fisicoqumicos que se plantean en las industrias de

procesos mediante la utilizacin de mtodos numricos que se describen en los

prximos captulos.

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