III Momento, Factorizacion, Limites y Derivadas Mayo 2013

ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013

Actividad Núm. _______

EFECTUAR LA FACTORIZACION DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 | P á g i n aIng. Areli Gerardo Pérez


Actividad Núm. _______ SIMPLIFICACION DE FRACCIONES (FACTORIZACIÓN)

1) X2−1X2−3 X+2

=¿

2)2 X−8

X2−7 X+12=¿¿

3) X2−1X−1

=

4)X−5

X2−25=¿¿

5)4 X

X2−4 x=¿¿

6)X−3

X2+5 X−24=¿¿

7) X2−7 X+12X−4

=¿¿

8)X−1

X2−1=¿¿

9)2 X

X2−5 X=¿¿

10)6 X−18

X2−3 X=¿

11) X2−2 X7 X

=¿

12)X−2

X2−4=¿

13)2 X−6

X2−9=¿¿

14) 2 X2−12 X4 X−24

=¿

15)3 X−24

X 2−64=¿¿

16)X−7

X2−49=¿¿

17) X2−17 X+72X−9

=¿¿

18) X3−1X2−1

=¿

19)8 X+40

X 2−25=¿

20)X−5

X2−5 X=¿

21)4 X+16

X2−16=¿

22)2 x−12

X2−6 X=¿¿

23)5 X−20

X2−7 X+12=¿¿

24)4 X−36

X2−X−72=¿¿

25)3 X

X2+3 X=¿¿

26) X2+5 X−14X2−11X+18

=¿¿

27) X3−64X2−16

=¿¿

28) −X2+9X3+27

=¿



Actividad Núm. _______ NOTACIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

a _____________________________________________ b

ES UN TIPO DE COTA QUE SE PUEDE O NO REBASAR

NOTACIÓN

LIMITE SE REPRESENTA CON Lim

TENDENCIA SE REPRESENTA CON

limX→C

f ( x )=¿¿¿

Se lee: Límite de una función cuando la variable

independiente tiende a una cantidad es igual a ________

1) Determinar la tendencia de la variable “Y”, si se proponen valores para “X” que van en

aumento desde 1 hasta cualquier valor real.

Y = . 1 . Al aumentar “X”, Y ______ 2X Es decir Lím Y = _______

X Y OPERACIONES Y

1

2

3

4

5

6 0 X

7

8



9

“UNA FUNCIÓN NO PUEDE TENDER A DOS LÍMITES DISTINTOS A LA VEZ, ES DECIR, SI EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EXISTE, ESTE ES ÚNICO”

CÁLCULO DEL LÍMITE DE FUNCIONES..

EXISTEN VARIOS CASOS PARA CALCULAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN:

a) SI LA FUNCIÓN DADA, ESTÁ TOTALMENTE SIMPLIFICADA, SE SUSTITUYE DIRECTAMENTE.

SI EL LIMITE EXISTE, SU RESULTADO ES UN NUMERO REAL UNICO. ES APLICABLE A TODAS LAS FUNCIONES

ENTERAS Y ALGUNAS FUNCIONES FRACCIONARIAS. ES IMPRESCINDIBLE RESPETAR EL ORDEN O

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.

b) SI AL SUSTITUIR DIRECTAMENTE EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE EN LA FUNCIÓN SE

TIENE LA FORMA QUE SE DENOMINA INDETERMINADA ( 00), LA TRANSFORMACIÓN DE LA EXPRESIÓN DADA SE

OBTIENE POR MEDIO DE LA FACTORIZACIÓN DEL NUMERADOR, Y EN ALGUNOS CASOS DEL DENOMINADOR. ES

APLICABLE EN LAS FUNCIONES FRACCIONARIAS. LA FACTORIZACION PERMITE LA SIMPLIFICACION DE LAS FUNCIONES

FRACCIONARIAS PARA ELIMINAR LA INDETERMINACION Y ENCONTRAR SU LIMITE COMO UN VALOR REAL SI ESTE

EXISTE.

c) SI AL IGUAL QUE EN EL CASO ANTERIOR TENEMOS LA INDETERMINACIÓN ( 00

), Y OBSERVAMOS QUE EXISTE

UN SIGNO RADICAL, ES NECESARIO SIMPLIFICAR LA FUNCIÓN MEDIANTE LA RACIONALIZACIÓN. ES APLICABLE A LAS

FUNCIONES RACIONALES.

d) SI EN UNA FUNCIÓN LA VARIABLE INDEPENDIENTE TIENDE A INFINITO, Y SE DESEA OBTENER EL LÍMITE DE

UN COCIENTE DE POLINOMIOS (FUNCION FRACCIONARIA), SI SUSTITUYÉRAMOS DIRECTAMENTE TENDRÍAMOS LA

FORMA INDETERMINADA ( ¿, EN ESTE CASO ES NECESARIO DIVIDIR EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR ENTRE LA

VARIABLE DE MAYOR EXPONENTE QUE HAY EN EL COCIENTE; ESTO SE HACE TÉRMINO A TÉRMINO.

EXISTEN CIERTOS LÍMITES QUE GENERALMENTE SE PRESENTAN CUANDO LA VARIABLE “X” TIENDE A CERO O AL

INFINITO, LOS CUALES SE ENUNCIAN A CONTINUACIÓN.

1) Lím c = ó c = x0 x 0

4) Lím c = 0 ó c = 0 x x

2) Lím c x = 0 ó (c) (0) = 0 x0

5) Lím c x = ó c () = x

3) Lím x = 0 ó 0 = 0 x0 c c

6) Lím x = ó = x c c



***** ( c ) ES UNA CONSTANTE DIFERENTE DE CERO.

Actividad Núm. _______LIMITES. I CASO. (DIRECTO) LIMITES (NO EXISTE) (N. E.)

1) limX→1

X2−2X+5=4

2) limX→ 3

X3−5 X2+4 X−7=−13

3) limX→ 3

√7 X−5¿ 4

4) limX→ 1

X 4−5 X3−X−1=−6

5) limX→−1

X3−4 X2−2 X+10=7

6) limX→ 2

X 4+2 X3+4 X2−7 X−34=0

7) limX→2

x3−7 x2−8 X+24=−12

8) limX→6

√X−2¿2

9) limX→ 5

√6 X−14¿4

10) limx→7

5x

√ x+2=35

3

11) limx→3

√ x+1x−4

=−2

1) limX→4

1X−4

=N .E .

2) limX→ 3

4 X−92 X−6

=N . E .

3) limX→5

X−4

X2−9 X+20=N .E .

4) limX→−4

X−4

X 2−16=N . E .

5) limX→−8

X−3

X2+5 X−24=N . E .

6) limX→−2

4 X−20

X2−3 X−10=N .E .

7) limX→−4 /3

18 X−24

9 X2−16=¿N . E .¿

8) limX→0

√X−1¿N . E .

9) limX→3

X2−7 X+6X2−9

=N .E .

10) limX→ 5

4 X−104 X−20

=N . E .

11) limX→−2

3 X2−X−62 X+4

=N . E .

12) limX→−5

3 X+4

2 X2+7 X−15=N . E .

13) limX→4

2 X+3

X 2−16=N .E .



12) limx→4

3√x+4 = 2

13) limx→5

1+√2 x−10x+3

=18

14) limX→−8

X−8

X2−64=N .E .

15) limX→ 3

5 X+10

X2−X−6=N . E .

Actividad Núm. _______ LIMITES. II CASO. (FACTORIZACIÓN)

29) limX→ 1

X 2−1X2−3 X+2

=−2

30) limX→4

2 X−8

X 2−7 X+12=2

31) limX→ 1

X2−1X−1

= 2

32) limX→5

X−5

X2−25=1 /10

33) limX→ 0

4 X

X2−4 x=−1

34) limX→3

X−3

X2+5 X−24=1/11

35) limX→ 4

X 2−7 X+12X−4

=1

36) limX→1

X−1

X2−1=1/2

37) limX→ 0

2 X

X2−5 X=−2/5

38) limX→2

3 X−6

2X 2+3 X−14=¿3/11¿

39) limX→ 3

6 X−18

X2−3 X=2

40) limX→0

X2−2 X7 X

=−2/7

44) limX→ 0

X

X2+7 X=1/7

45) limX→8

3 X−24

X2−64=3/16

46) limX→ 7

X−7

X2−49=1/14

47) limX→9

X2−17 X+72X−9

=1

48) limX→ 1

X3−1X2−1

=3 /2

49) limX→−5

8 X+40

X2−25=−4 /5

50) limX→ 5

X−5

X2−5 X=1 /5

51) limX→−4

4 X+16

X2−16=−1/2

52) limX→ 6

2 x−12

X2−6 X=1

3

53) limX→4

5 X−20

X 2−7 X+12=5

54) limX→ 9

4 X−36

X2−X−72=4 /17

55) limX→0

3 X

X2+3 X=1



41) limX→2

X−2

X2−4=1/ 4

42) limX→ 3

2 X−6

X2−9=1 /3

43) limX→6

2 X2−12 X4 X−24

=3

56) limX→2

X2+5 X−14X2−11X+18

=−9/7

57) limX→ 4

X3−64X2−16

=6

58) limX→−3

−X2+9X3+27

=2 /9


CONCLUSION DE LA INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Una función f(x) se puede graficar. f(x)

Si se deriva y sustituimos

las coordenadas de un punto P ( x1, y1 ), P ( x1, y1 )

en esa función derivada f’(x), obtenemos

“La pendiente de la recta tangente m=dydx

en ese punto de la curva.”

En Geometría Analítica En Cálculo diferencial

m=¿ y2 - y1 m= Δ yΔ x

2 puntos infinitamente cerca cuya

x2 - x1 distancia tiende a cero, por lo que se

considera solo la coordenada de un

punto P ( x1, y1 )

m=Δ yΔ x

=dydx

= lim∆ x→0

f ( x+∆ x )−f (x )∆ x



Si s = t 2 + t - 1

dsdt

= m = velocidad = 2 t + 1 velocidad = distancia

Tiempo m=0 v=0

m=¿ m=¿ Actividad Núm. _______ Algebra para solución de derivadas

I) Transformar las siguientes expresiones fraccionarias en multiplicaciones ( 2 factores )

1)x2

2= 2)

x❑

−2= 3)

x1 /2

4=

4)x7

7= 5)

3x2

2= 6)

5t❑

3=

II) Efectúa las siguientes divisiones, aportando al final una conclusión

7)x7

53

= 8)4 x3 /2

−32

= 9)x−3/4

−34

=

10)−x1 /2

12

= 11)5x3 /2

52

= 12)−4 x6

25

=

____________________________________________________________________________________________________________________

III) Convierte las siguientes expresiones radicales a expresiones con exponentes fraccionarios y viceversa, justificada con la siguiente ley de

exponentes y radicales n√am=amn donde: a es la base, m el exponente

y n el índice.



13) x1/2= 14) x2/3= 15)3√ y2=

16) x3/2= 17) x3/4= 18)4√v5=

19) x1/3= 20) √ t= 21)6√w=

22) x5/2= 23) x4 /3= 24)3√w4=

25) x7 /2= 26) x4 /5= 27) √ y=

28) x2/5= 29) √ x= 30)4√ x=

31) 3√ x 32) 4√ t 33) √s3

IV) Presenta las siguientes variables con exponentes negativos en variables con exponentes positivos y viceversa, justificada con la siguiente ley de

exponentes a−n= 1

an ; an= 1

a−n

34)x2

2= 35)

1

−2x−2= 36)2

x3=

37)3x5

5= 38) t 5= 39)

3

2w−4=

40) x−3= 41)y2

−3= 42)

1

x2=

43)x−4

2= 44)

5

4 w−3= 45)8

t−3=



46)2x−2

3= 47) 9 t 7= 48)

1

2r−4=

49) y−3= 50)6 r4

5= 51)

1z=

52)1

s−8 53)1

5 y4 54)3

4 x3

55)1

z6 56)3

2w−4/5

57) v5

V) Recuerda también las siguientes leyes de exponentes

an=a ∙a ∙a… (nveces ) Donde: a es la base y n el exponente.

am∙ an=am+n

am

an =am−n

a0=1

(am )n=am∙n

( ab )m

=am

bm

n√a ∙b ∙ c=(a ∙b ∙c )1n=a

1n ∙ b

1n ∙ c

1n=n√a ∙ n√b ∙ n√c

n√a ∙ n√b ∙ n√c=n√a ∙b ∙ c

n√ ab=( ab )

1n=

a1n

b1n

=n√an√b

n√m√a=(m√b )1n=(a 1

m )1n=a

1nm=nm√a

n√an√b

=n√ ab



El que no sabe y no sabe que no sabe, es un necio; apártate de él. El que no sabe y sabe que no sabe, es sencillo; instrúyelo. El que sabe y no sabe que sabe, está dormido; despiértalo. El que sabe y sabe que sabe, es sabio; síguelo.

Sabiduría popular árabe.

Actividad Núm. _______ Notación de Función Derivada.

Símbolo que indica que lo que está dentro del paréntesis va a derivarse.

d( ¿ ¿dx =

Tenemos 3 Formas de presentar las funciones iniciales y 3 formas para presentar las funciones derivadas

Formas de presentar las funciones iniciales

Dentro del paréntesis, en el símbolo de derivación en la parte izquierda de la igualdad con respecto a la variable independiente.

d( 2 x3−7 x+2¿ ¿dx =_______

Como función explícita Y = x 4 – x 2 – 3x + 5

Como función de la variable independiente.

f ( x )=¿ x 4 – x 2 – 3x + 5

Notaciones de funciones derivadas

DirectaCuando la función inicial y la función derivada están en el lado izquierdo y en el lado derecho de la igualdad respectivamente.

AbreviadaCuando en la función explícita se agrega a la variable dependiente o a la f ( x ), el símbolo ( ‘ ) “prima”, el cual representa función derivada.



Relacionando variables

Cuando la función es explícita y se presenta la función derivada como una razón o relación de variable dependiente con respecto a la variable independiente.

La notación para presentar las funciones derivadas son exclusivas para la parte izquierda de la igualdad de las mismas, ya que la parte derecha se resolverán con fórmulas particulares que veremos en la siguiente actividad.

Notación Directa

Función inicial Función derivada

1) d( 2 x3−7 x+2¿ ¿dx =___________

2) d(5 t 3−t 2+4 t−7¿ ¿dt =___________

3) d ( 8 s2−4¿ ¿ds =______________

Función inicial Funciones derivadas

Función explícita Notación: AbreviadaRelacionanado variables

Y = x 4 – x 2 – 3x + 5 y ’ = _______________dydx

=¿¿

s = 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9 s ’ = _______________dsd t

=¿¿

w = 6z 5 – 7z 3 – 8z -10 w ’ = _______________dwdz

=¿¿

Función inicial Funciones derivadas

Función de la variable independiente

Notación: Abreviada



f ( x )=¿ x 4 – x 2 – 3x + 5 f ' ( x )=¿¿

f ( t )=¿ 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9 f ' (t )=¿ ¿f ( z )=¿ 6z 5 – 7z 3 – 8z -10

f ' ( z )=¿_______________

Actividad Núm. _______ Participación individual con: LECTURA de Fórmulas de derivación algebraicas ( Monomios )

1)d (c )dx

= 0 La derivada de una constantecon respecto a “x” es igual a cero.

2)d (x )dx

=1La derivada de una variable con coeficiente y exponente unocon respecto a “x” es igual a la unidad

3)d (c x )dx

= cLa derivada de una constante por una variable con exponente uno,con respecto a “x” es igual a la constante

4) d (xn )dx

=n x n – 1

La derivada de una variable con coeficiente uno y exponente “n”con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la variable elevada al exponente “n” menos uno.

5) d (c xn )dx

= nc x n – 1

La derivada de una constante por una variable con exponente “n”con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la constante, por la variable elevada al exponente “n” menos uno.

fórmula 1 constante: absolutas y arbitrarias números y primeras letras del alfabeto ( a p )Fórmulas de la 2 a la 5 Variables últimas letras del alfabeto ( q z )

y las letras del alfabeto griego ( θ, ø, ω )



La variable tiene 2 acompañantes: el coeficiente ( constante) y el exponente.

Actividad Núm. _______Derivación de términos algebraicos ( monomios ) fórmulas particulares

Fórmula No. 1 d (c )dx

= 0

La derivada de una constante con respecto a “x” es igual a cero.

LA CONSTANTE PUEDE SER ENTERA, FRACCIONARIA, POSITIVA O NEGATIVA, TENER EXPONENTES ENTEROS O FRACCIONARIOS (RADICALES)

EJERCICIO:

FUNCION INICIAL

FUNCION DERIVADA

FUNCION INICIAL

FUNCION DERIVADA

1) f ( x ) = 7 9) y = 2

2) f ( w ) = 2 √b 10) d ( a 5 ) = dx

3) t = b c 3 11) u = 5 a 2 b 3

4) z = b 2 12) f ( s ) = 3 c

5) f ( t ) = 20 13) f ( z ) = p 5

6) d ( 2m ) = dx

14) d ( 6a ) = dx

7) f ( u ) = √a 15) t = b2/ 3



8) y = 10 16) y = √3b

Fórmula No. 2 d (x)dx

= 1

La derivada de una variable con coeficiente y exponente uno

con respecto a “x” es igual a la unidad

EJERCICIO:Notación

Directa

Notacion

Abreviada

Notacion

Abreviada

Notacion

Relac. Variables

1)¿d (X )dx

=

2)d (q)dq

=

3)d (r )dr

=

4)d (s)ds

=

5)d (t)dt

=

6)d (u)du

=

8) f ( v )=v 9) Y = U10)Y = t

11) f (w )=w 12) R = V 13) R = S

14) f ( x )=x 15) T = W 16) T = U

17) f ( y )= y 18) S = X 19) S = W

20) f ( z )=z❑ 21)ω =Y22) W = X

23) f (ø )=ø 24) Y = Z 25) Y = θ

26) f (S )=¿S 27) U = Q 28)θ = ω



7)d (θ)dθ

=

29) f (t )=¿ t 30)V = R31)V = ø

Fórmula No. 3 d (c x )dx

= c

La derivada de una constante por una variable con exponente uno,

con respecto a “x” es igual a la constante

FUNCION INICIAL

FUNCION DERIVADA

FUNCION INICIAL

FUNCION DERIVADA

1) f ( z ) = 2 z f ‘( z ) = 2 10) y = 16 wdydw

=16

2) y = b 2 s y’ = b2 11) y = - a t

3) f ( v ) = 2 b v f’ ( v ) = 2 b 12) s = 9 c t

4) y = 5 a w 13) s = 3 a5 t

5) y = - 2 m v 14) r = ( - ½ ) a 3 q

6) y = 4 m2 u 15) s = a r

7) t = 3 s 16) w = ( ½ )b u

8) v = b2 t 17) x = - 3 v

9) y = - w 18) z = - a4 x



Fórmula No. 4 d(xn )dx

=n x n – 1

La derivada de una variable con coeficiente uno y exponente “n” con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la variable elevada al exponente “n” menos uno.EJERCICIO:

FUNCIONINICIAL

FUNCION DERIVADA

1) Y=X4

2) Y=X7

3) Y=t9

4) Y=u8

5) Y=x−1

6) r=s−3

7) t=w−5

8) v=z−6

9) z=q3 /2

10) r=ω7 /4

11) θ=s5/3

12) u=x5 /2

13) ø=r1/2

14) s=t1 /5

15) x=v2/3

16) u=w3 /4

17) Y=z−1/3

18) v= y−5 /4

En los resultados de los problemas derivados



Considerar que: si los EXPONENTES son:

Enteros positivos. Es lo que se requiere Enteros negativos Convertirlos a enteros positivos

Fracciones positivas Convertirlos a radicales Es lo que se requiere Fracciones negativas Convertirlos a fracciones positivos Convertirlos a radicales

Fórmula No. 5 d (c xn )dx

= nc x n – 1

La derivada de una constante por una variable con exponente “n”

con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la constante, por la variable elevada al exponente “n” menos uno.

EJERCICIO:FUNCIONINICIAL

FUNCION DERIVADA

1) Y=2x3

2) Y=4 x5

3) Y=6 t7

4) Y=8u9

5) Y=−3x4

6) Y=−5x6

7) r=−7 x8

8) t=−9 w2

9) v=8 z−4

10) ø=3 r−6

11) s=4 t−8



12) u=.5v−9

13) w=−6 x−3

14) ω=−7 z−4

15) z=5 y8 /5

16) r=−3θ1/3

17) t=1ω4

−4

18) u=−5 s2

4

19) Y=−6 x5

9/6

20) θ=2v3

−1 /8

21) s=−3ω4

−4 /3

22) x=1ø2

4 /5

Actividad Núm. _______ Identificación de términos algebraicos



En tu cuaderno, presenta un cuadro de 3 columnas, ( 20 términos algebraicos con su respectivo número, descripción textual de los términos algebraicos, anotación de la fórmula correspondiente con la que se derivará correctamente. )

2 x3 t−1 √325

q

M

7 x 4 x a2/3 y1 /2 –S

2 x4 √2 c −5 y w3/2

3 t 2 5a2 z−3 /4 √6 t −23

v−4

t 13

b

3u2 /5 14

r - r

Actividad Núm. _______ En tu cuaderno, Deriva los siguientes términos algebraicos ( monomios), utilizando las diferentes notaciones de funciones derivadasNotación

Directa

Notacion

Abreviada

Notacion

Abreviada

Notacion

Relac. Variables

32)¿d (2 x3)

dx=

33)d (7 x)dx

=

34)d (2)dx

=

35)d (3 t2)dt

=

36)d (t)dt

=

37)d (−r )dr

=

38) f ( t )=t

39) f ( x )=4 x

40) f (w )=w4

41) f ( x )=5 a2

42) f ( x )=13b

❑

43) f ( v )=−23

v−4

44) f (S )=¿–S

45) f ( z )=¿m z 6

46) Y = x 4

47) R = √3

48) T =a2/3

49) S = U

50) W =z−3 /4

51) Y = 3u2 /5

52) U = −25

W

53) V = y1 /2

54) Y = √6 t

55) R = −5 y

56) T = 14

r

57) S =w3/2

58) W = m

59) Y =√2 c

60) U =25

q

61) V = - θ



Actividad Núm. _______ Participación individual con: LECTURA de Fórmulas de derivación algebraicas ( Polinomios )

6¿d (u+v−w )

dx = d (u)dx

+d (v)dx

−d (w )dx

La derivada de un polinomio es igual ala derivada de cada término por separado, respetando su

signo.

7¿d (vn )dx

= n v n -1 d (v )dx

La derivada de un polinomio elevado a un exponente “n” es igual a

el producto de el exponente “n” por el polinomio elevado al exponente “n” menos uno, por la derivada del

polinomio..

8¿d (√u )dx =

d (u)dx

2√u

La derivada de la raiz cuadrada de un monomio o un polinomio es igual a

la derivada del monomio o polinomio entre 2 veces la raíz cuadrada del monomio o polinomio.

9¿d (u v )dx = u d (v )

dx+v

d(u)dx

La derivada del producto de 2 factores es igual ael primer factor por la derivada del segundo factor MAS

el segundo factor por la derivada del primer factor.

10) d ( uv)

dx= v

d (u)dx

−ud (v)dx

v2

La derivada de una fracción es igual ael denominador por la derivada del numerador MENOSel numerador por la derivada del denominador TODO

ENTREel denominador al cuadrado.




Fórmula No. 6 d (u+v−w )dx = d (u)

dx+d (v)dx

−d (w )dx

La derivada de un polinomio es igual a la derivada de cada término por separado, respetando su signo.

EJERCICIO: Comprobar cada una de las siguientes derivadas.

1) y = x – x 3 y’ = 1 – 3 x 2

2) y = a t 5 - 5 b t 3 y’ = 5 a t 4 - 15 b t 2

3) y = a x 3 + b x 2 + c x + d y’ = 3 a x 2 + 2 b x + c

4) t = 3 x 4 –2 x 2 + 8 x – 1 t’ = 12 x 3 – 4 x + 8


Fórmula No. 7 d (vn )dx

= n v n -1 d (v )dx

La derivada de un polinomio elevado a un exponente “n” es igual a el producto del exponente “n” por el polinomio elevado al exponente “n” menos uno, por la derivada del polinomio..

1) y = ( 2 – 3 t 2 ) 3 2) r = √1– 2 = ( 1 – 2 ) 1/2

n = n =

v = v =

n – 1 = n – 1 =

v’ = v’ =

y’ = r’ =




Fórmula No. 8 d (√u )dx =

d (u)dx

2√u

La derivada de la raiz cuadrada de un monomio o un polinomio es igual a la derivada del monomio o polinomio entre 2 veces la raíz cuadrada del monomio o polinomio.

EJERCICIO:1) y = √a2−x2 2) r = √1– 2

u = u =

du/dx = du/dx =

y’ = r’ =


Fórmula No. 9 d (u v )dx = u d (v )

dx+v

d(u)dx

La derivada del producto de 2 factores es igual a el primer factor por la derivada del segundo factor MAS el segundo factor por la derivada del primer factor.

EJERCICIO:1) y = ( 3 x + 2 ) ( x 2 – 1 ) t = ( 3 v 2 + a 2 ) ( v 2 – a 2 )

u = u =

v = v =

u’ = u’ =

v’ = v’ =

y’ = t’ =

y’ = t’ =Actividad Núm. _______



Fórmula No. 10 d ( uv)

dx= v

d (u)dx

−ud (v)dx

v2

La derivada de una fracción es igual a el denominador por la derivada del numerador MENOS el numerador por la derivada del denominador TODO ENTRE el denominador al cuadrado.

EJERCICIO:y = ( 2 x – 5 ) / ( x 2 + 1 ) y’ = ( - 2 x 2 + 10 x + 2 ) / ( x 2 + 1 ) 2

u =

v =

u’ =

v’ =

v 2 =

r = ( a 2 + s 2 ) / ( a 2 – 4 s 2 ) r’ = 10 a 2 s / ( a 2 – 4 s 2 ) 2

u =

v =

u’ =

v’ =

v 2 =

Actividad Núm. _______ Identificación y derivación de expresiones algebraicasDeriva y describe textualmente las siguientes expresiones algebraicas, anotando la fórmula correspondiente con la que se derivará correctamente.

Función inicial Descripción textual Fórmula de



derivación correspondiente

1) f ( x )=2x3- 7x + 2

2) y=5 x3−2 x2+4 x−7

3) y=3 t 2−t+t−1

4) f (r )=√5−7 r

5) f ( z )=√7 z2−4 z

6) f ( t )=√6 t+5

7) f ( y )=( y¿¿2− y)−2¿

8) y= 5√(3 x+2)4

9) u=(x2+1 ) (x2−3)

10) t=(7 y−2 )(2 y+1)

11) y=√x + 1

12) v=2x4+3 x2−1x2



13) v= 1

x 4−x2+1❑

14) r=(8 s¿¿2−4)4¿

15)d ( 5t 2– 7 )

dt=¿

16)d ( 2 s2 –3 s+1 )

ds=¿

17) t=u2+13

18) q=w2+1w−1

19) s=(t ¿¿3−2)5 /2¿

20) y= 6

x3



Actividad Final

Deriva los sig. términos algebraicos ( monomios) Y Funciones algebraicas (polinomios) utilizando la tabla de la siguiente

página con las diferentes notaciones.

62)¿d (2 x3)

dx=

63)d (7 x)dx

=

64)d (2)dx

=

65)d (3 t2)dt

=

66)d (t)dt

=

67)d (−r )dr

=

68) f ( t )=t

69) f ( x )=4 x

70) f (w )=w4

71) f ( x )=5 a2

72) f ( x )=13b

❑

73) f ( v )=−23

v−4

74) f (S )=¿–S

75) f ( z )=¿m z 6

76) Y = x 4

77) R = √3

78) T =a2/3

79) S = U

80) W =z−3 /4

81) Y = 3u2 /5

82) U = −25

W

83) V = y1 /2

84) Y = √6 t

85) R = −5 y

86) T = 14

r

87) S =w3/2

88) W = m

89) Y =√2 c

90) U =25

q

91) V = - θ

92) v=√3θ2−5

93) r=3 s−s4+8 s6

94) y= (x−5/4 )5/4

95) v=√3θ2−5

96) y=( 3θ2−5 )3/2

97) v=√4ω3−6

98)u=a3−z3+z

99) r=√2−x3

100) y=a7−θ7+θ

101)

ω=√7 s−2−b2

102) U=W 3/8

3

103) v=√4ω−5−b

104) s=a5−t5+t

105) y=( 5θ2−4 )3/4

106)d ( 8−5 X 4+2 X−2 )

dX

=

107) d ¿¿=

108) z=(6 x2−9 )9/4

109) r=√5 t8−ab

110) y=θ5( a7−θ7 )

111)

t=a4−ω4+ω

112)

113)

t=(6 S−2

−a2 )4 /3

114)

s=2θ+θ4−7θ2

115)

u=ω3 /4−34

116) y=( 3x2−4 )5 /4

117)

Q= Z4+6Z2



FUNCIÓN INICIAL FUNCIÓN DERIVADANUMERO DE FÓRMULA

NOTACION DIRECTA NOTACION ABREVIADANOTACION: RELACION DE

VARIABLESY FÓRMULA A

UTILIZAR

d (5 r )dr

= d (5 r )dr

=

d (w7−4)dw

=¿d (w7−4)

dw =

Q = √3 b4 d (√3b4)dx

=¿ Q’ = ____________________dydx

=¿¿

Y = x 4 – x 2 – 3x + 5d (X 4– X2 –3 x+5)

dx=¿

y ’ = _______________

dydx

=¿¿

s = 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9

d ( 4 t 3– 2 t2– 3 t+9 )dt

=¿s ’ = _______________

dsd t

=¿¿

w = 6z 5 – 7z 3 – 8z -10d ( 6 z5 –7 z3 –8 z – 10 )

dz=¿

w ’ = _______________

dwdz

=¿¿

f ( x )=¿ x 4 – x 2 – 3x + 5d ( X4 – X2– 3 x+5 )

dx=¿

f ' ( x )=¿¿

f (t )=¿ 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9 d ( 4 t 3– 2 t2– 3 t+9 )dt

=¿ f ' ( t )=¿ ¿



f ( z )=¿ 6z 5 – 7z 3 – 8z -10 d ( 6 z5 –7 z3 –8 z – 10 )dz

=¿ f ' ( z )=¿_______________


III Momento, Factorizacion, Limites y Derivadas Mayo 2013

Documents

Transcript of III Momento, Factorizacion, Limites y Derivadas Mayo 2013