Aritmética

11. Dado los conjuntos unitarios: A={(n+m);(n+p);8};B={(m+p);10} Hallar: (m+n-p)A) 3 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4

12. Dado los conjuntos unitariosA={( + );14}; B = {(2 -3 );3 }Calcular: a+bA) 106 B) 14 C) 96 D) 18 E) 74

13. Si A=B; calcular ab

A = {3a-8;44}B = {10;ba -20}A) 64 B) 25 C) 16 D) 36 E) 49

14. Si se cumple que: A={2a+b;17}, 13={b+1;3a-b} son conjuntos unitarios. Hallar la unión del conjunto A y B.

A) {16;8} B) {15;3} C) {17;8}D) {20;10} E) {17;9}

15.Sean los conjuntos iguales A= {a2+1;7}; B= {a+b;10} ¿Cuál puede ser el valor de: “a-b”?A) 1 B) 7 C) -5 D) -13 E) 3

16.¿Cuántos subconjuntos tienen:A={a,c,c,i,o,n}B={r,e,v,o,l,u,c,i,o,n }Dar como respuesta la suma de ambos valoresA) 256 B) 544 C) 360D) 180 E) 144

17. De un grupo de 100 encuestados se sabe que 42 no beben y 62 no fuman. Si 16 beben y fuman. ¿Cuántos ni fuman ni beben?A) 10 B) 20 C) 30 D) 24 E) 35

18. Dos conjuntos A y C son disjuntos, y los conjuntos B y C también. La intersección de los conjuntos potencia de A y B tiene 16 elementos. Los conjuntos (A-C) y (B-C) tienen cada uno 9 elementos.Si n(ABC)=32¿Cuántos elementos tiene C?A) 12 B) 18 C) 10 D) 6 E) 20

19. ¿A qué operación corresponde el siguiente diagrama de Venn Euler?A) (AB) CB) A(BC)C) (AB) (AC)D) (AB)CE) (AC)B

20. En un grupo de 55 personas, 25 hablan español, 32 quechua,33 inglés y 5 los tres idiomas.¿Cuántas personas hablan sólo 2 de estos idiomas?A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 28

21. La suma del número de subconjuntos de A con el número de subconjuntos de B es igual a 20. Hallar n(A) + n(B)A) 4 B) 5 C) 10 D) 8 E) 6

22. De 250 personas. 75 saben nadar 65 saben remar y 150 no saben nadar ni remar. ¿Cuántas personas saben hacer las dos cosas?A) 75 B) 100 C) 40 D) 50 E) 65

23. La parte sombreada del diagrama de Venn-Euler mostrado, corresponde a la operación:A) A (BC)B) A (BC)C) (AB)CD) AC)CE) (AB)C

24. Sabiendo que el conjunto A tiene 31 subconjuntos propios, ¿Cuántos elementos tiene A?A) 6 B) 5 C) 4 D) 31 E) 32

25. De 90 personas se sabe que 61 son solteros y 55 son hombres. Sí son 12 mujeres casadas, ¿Cuántos son los hombres solteros?A) 28 C) 29 C) 18 D) 48 E) 45

26. Sabiendo que:n[(AB)-C]=32n[(AC)-B]=9n[C-(AB)]=14n(BC)=12Hallar: n(ABC)A) 58 B) 71 C) 69 D) 67 E) 68

27. Si “n” significa el número de elementos; siendo A y B dos conjuntos tales que:n(AB)=30;n(A-B)=12n(B-A)=8Hallar: 5[n(A)]-4[n(B)]

A) 38 B) 60 C) 48 D) 70 E) 100

28. De 600 alumnos de la academia José María Arguedas se tienen los siguientes datos: 320 practican ajedrez, 240 practican voley y 100 no practican estos deportes.¿Cuántos practican ambos deportes?A) 20 B) 50 C) 40 D) 60 E) 62

TEORIA DE CONJUNTOS

NOCION DE CONJUNTOSSe entiende por conjunto una colección, agrupación o clase de integrantes bien definidos. por ejmeplos:A= {a,e,i,o,u}, B={x/x es un país}

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

A. POR EXTENSIÓN.Cuando se escriben todos los elementos del conjunto separados mediante comas.A= {1,3,5,7,9 }

B. POR COMPRENSIÓNCuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos del conjuntoA={x N/x < 10 x es impar}CONJUNTOS NÚMERICOSN= {1,2,3,4,…..}Z= {…..-2, -1, 0, 1, 2, …..}Z+ = {1, 2, 3, …..}Z- = {-1, -2, -3, …..}Determinar por extensión los siguientes conjuntosA= {x N / x < 6}…………………………………..

III. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

A. INCLUSIÓNSe dice que un conjunto A está incluido en otro B cuando todos los elementos de A son también elementos de B.

Ejemplo: Sea: A={2, 4, 5} B= {2,3,4,5,6}A está incluido en BNotación: A BTambién: A es subconjunto de B

B. IGUALDADLos conjuntos A y b son iguales cuando cumplen lo siguientes(AB) (BA) Sea: A={2, 4, 5} B= {2, 4, 5, 4}

BAObservación: AB A=BNota:Si se cumple AB ABSe dice entonces de que A es un subconjunto propio de BSea: A={1, 3} B= {1, 2, 3, 4, 5}Observación: AB ABA es subconjunto propio de B.

C. CONJUNTOS DISJUNTOSSe dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunesSea: A={x N/ x es par} B= {x N / x es impar}A y B son disjuntos

IV.- CLASES DE CONJUNTOS

A. CONJUNTO UNITARIOEs aquel conjunto que posee un solo elementoA= {3} Nota: x={4, 4, 4, 4}

B. CONJUNTO VACIOEs aquel conjunto que carece de elementosA= {x N / x2 = 5}

Observación: Como en este caso x A es vacio. Notación: A = ó A = { }

V. CARDINAL DE UN CONJUNTOEl cardinal de un conjunto A, denotado como n(A) nos determina la cantidad de elementos defirentes del conjunto A. A= {2, 4, 6, 8} n(A) = 4 B= {3, 4, 4, 5, 5} n(B) = 3VI. FAMILIA DE CONJUNTOS

A. CONJUNTO DE CONJUNTO:Es aquel conjunto cuyos elementos son también conjuntos. A= {{2},{4, 5}; {1, 3, 5, 8}} Ejm: _ _

B. COJUNTO POTENCIAEs conjunto potencia es de A; denotado como P(A) es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Sea A= {a, b} Subconjunto de A es , {a}, {b}, {a,b}Sea: A= {a,b,c}Subconjunto de AEs , {a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}P(A)= {, {a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}}

PROPIEDADES1.- Si n(A) = k n [P(A)] = 2k

2.- Si n(A) = k A tienen 2k subconjuntos3.- Si n(A) = k A tienen 2k-1 subconjuntos propios.

VII.- REPRSENTACIÓN DE CONJUNTOSA. DIAGRAMA DE VENN

VIII.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

A.- UNIÓNAB={x/x A x B}

Grafico

AB = ///

AB = ///

Una hora de estudio es una hora oración Una hora de estudio es una hora oración

A B

A B

A B

A B

C

A B

C

Aritmética

AB = B

Sea: A= {2, 5, 7, 8, 10} B= {3, 4, 5, 8, 9}

AB = ………………………………….

PROPIEDADES:- A A = A - A B = B A- A (B C) = (A B) C- A = A - A U = U

B. INTERSECCIÓN

A B= {x/x A x B }grafico

AB = ///

AB =

AB = A

Ejm:Sea: A= {2, 3, 5, 6, 8, 10} B= {3, 4, 6, 7, 9, 10}

AB= ………………

C. DIFERENCIA:

Grafico A- B=///

A - B = A

A - B =

Sea:A= {3,5,7,8,10,12} B={4,5,6,7,9,10,13}

A – B = {3, 8, 12}B – A = …………….

PROPIEDADES:- A - A = - A - = A- A - U = - - A = - Si A B A – B = D. DIFERENCIA SIMÉTRICAAB= (AB) – (AB)AB= (A-B) (B-A)Grafico:

AB=///

Ejm:

Sea : A= {2,3,5,7,9,12,13} B= {3,4,6,7,8,12,14}

AB= {2,5,913,4,6,8,14}

PROPIEDADES:- A A = - AB = BA- A (B C) = (A B) C

E. COMPLEMENTO

C(A) = AC = U – A

Grafico:

Ejm:Sea : U = {x N / x < 10}A = {x N/ x 6 x es par }Hallar AC

Propiedades

- - UC = - C = U - A U AC = U

_ A AC =

Ley de morgan

-

-

Ley de la diferencia A – B = A BC

AB = A - BC

CONJUNTO PRODUCTOEJM: Sea : A= {2,4,6} B={3,5} hallar AxB y BxA. AxB =…………………………………….

BxA =……………………………………..

.

PROBLEMAS

01. Si A={2;5;{3}; {2;3}} y se afirma:* A * A * 5A* 3{2;3} * {3}A * {3}A¿Cuántas son verdaderas?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

02. Dado el conjunto:A={3;4;{3}; ;{11; }}Cuántas proposiciones son verdaderas:I. 3A II. A III. 4 AIV. A V. {4}A VI. 2AA) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

03. Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas dado el conjunto

A={1;a;{2;b};3;4} n(A)=6 {1; } A bA

A {1;4}A {2;b}A{{2; b}}A {3}A 1An[P(A)]=32 {1;2;b}AA) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3

04. Calcular la suma de elementos de: A={x/xN;10<3x+2 <18}

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 23

05. Determine la suma de los elementos del conjunto: A= {x2+1 /xZ; -3<x<3}A) 10 B) 15 C) 12 D) 8 E) 11

06. Calcular la suma de los elementos del conjunto A:A= {x2 + x/x Z -4 x 2}

A) 4 B) 6 C) 8 D) 20 E) 12

07. Cuántos subconjuntos tiene:A={1; {1};1;}

A) 16 B) 15 C) 8 D) 4 E) 32

08. Diga usted cuántos subconjuntos propios tiene:C= {2; 6; 12; 20;……….;110}

A) 1 023 B) 1 024 C) 1 025D) 9 E) 10

09. Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto: A= {x2/ x Z; -9 < 2x - 1 < 11}A) 512 B) 1 28 C) 64 D) 32 E) 1 024

10. Sabiendo que el siguiente, conjunto es unitario:A={a + b; a + 2b – 3 ;12} Calcular: a2 +b2

A) 80 B) 74 C) 104 D) 90 E) 39

Una hora de estudio es una hora oración Una hora de estudio es una hora oración

A

B

A B

A B

A

B

A B

A B

A

B

A B

U

A

CA